二元二次方程组的解法解析
二元二次方程组解析
二元二次方程组解析1. 引言二元二次方程组是指包含两个未知数和两个二次方程的方程组。
解析二元二次方程组能够帮助我们找到方程组的解，从而解决实际问题。
本文将介绍解析二元二次方程组的方法和步骤。
2. 解析二元二次方程组的一般形式解析二元二次方程组的一般形式可以表示为：\[\begin{cases}a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 + d_1x + e_1y + f_1 = 0 \\a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2 + d_2x + e_2y + f_2 = 0 \\\end{cases}\]其中，\(a_1, b_1, c_1, d_1, e_1, f_1, a_2, b_2, c_2, d_2, e_2, f_2\) 是已知系数。
3. 解析二元二次方程组的求解步骤解析二元二次方程组的求解步骤如下：步骤 1: 通过消元法得到标准形式将方程组中的交叉项\(b_1xy\)和\(b_2xy\)通过适当的线性变换消掉，从而得到标准形式。
步骤 2: 求解标准形式下的方程组求解标准形式下的方程组，可以通过因式分解、配方法或完成平方等数学方法得到方程组的解。
步骤 3: 确定解析二元二次方程组的解利用步骤 2 得到的解，求解原方程组，从而得到解析二元二次方程组的解。
4. 例子以下是一个解析二元二次方程组的例子：\[\begin{cases}x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x - 8y + 5 = 0 \\4x^2 + xy + y^2 - 20x - 12y + 15 = 0 \\\end{cases}\]解析这个方程组的步骤如下：步骤 1: 得到标准形式通过减去第一个方程的4倍和第二个方程的1倍，消去交叉项\(4xy\)和\(xy\)，得到标准形式：\[\begin{cases}x^2 + 4y^2 - 10x - 12y + 5 = 0 \\3x^2 + 4y^2 - 12x - 11y + 15 = 0 \\\end{cases}\]步骤 2: 求解标准形式方程组通过因式分解或其它方法，求解标准形式方程组，得到以下解：\[\begin{cases}x = 1, y = 1 \\x = 3, y = -1 \\\end{cases}\]步骤 3: 确定解析方程组的解将步骤2 得到的解代入原方程组进行验证，得到以下解析结果：\[\begin{cases}x = 1, y = 1 \\x = 3, y = -1 \\\end{cases}\]这就是解析二元二次方程组的解。
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法在代数学中，方程是一个等式，其中包含了未知数和常量的符号。
方程组则是由多个方程组成的集合，它们共同包含了多个未知数和常量。
二元二次方程组是指包含了两个未知数和常量的二次方程的集合。
形式如下：ax^2 + bx + c = 0dx^2 + ex + f = 0其中，a、b、c、d、e和f都是常量，x和y是未知数。
解决这个方程组的目标就是找到一组(x, y)的值，使得这两个方程都成立。
为了解决二元二次方程组，我们可以使用以下三种常见的方法：配准法、代入法和消元法。
下面将依次介绍这三种方法的步骤及示例。
一、配准法配准法又称一般解法，它的步骤如下：1. 将两个方程都转化为标准的二次方程形式。
2. 通过配准，将两个方程中的常数项相等。
3. 将两个方程相减得到一个一元二次方程。
4. 解决这个一元二次方程，得到一个未知数的值。
5. 将这个值代入其中一个方程，解决另一个未知数。
示例：假设我们有以下二元二次方程组：2x^2 - 3xy + y^2 = 10x^2 - 2xy + 3y^2 = 14根据配准法，我们可以将它们转化为标准形式：2x^2 - 3xy + y^2 - 10 = 0x^2 - 2xy + 3y^2 - 14 = 0通过对比系数，我们可以得到：a = 2,b = -3,c = 1,d = 1,e = -2,f = 3接下来，我们将两个方程相减并进行化简：(2x^2 - 3xy + y^2 - 10) - (x^2 - 2xy + 3y^2 - 14) = 0 x^2 + 4y^2 - 3xy + xy - 4 = 0x^2 + 4y^2 - 2xy - 4 = 0继续简化，得到一个一元二次方程：x^2 - 2xy + 4y^2 - 4 = 0解决这个一元二次方程，我们得到一个解 x = -1。
将 x = -1 代入其中一个方程我们得到：2(-1)^2 - 3(-1)y + y^2 - 10 = 02 + 3y + y^2 - 10 = 0y^2 + 3y - 8 = 0解决这个一元二次方程，我们得到 y = 1 或 y = -4。
初二数学解二元二次方程组的方法与应用
初二数学解二元二次方程组的方法与应用二元二次方程组是数学中常出现的问题，解决这类问题需要运用特定的方法和技巧。
本文将介绍解二元二次方程组的常见方法以及其在实际问题中的应用。
1. 消元法消元法是解二元二次方程组常用的方法之一。
首先通过操作将其中一个方程的某一个未知数消去，然后将消去后的方程代入另一个方程中求解未知数。
具体步骤如下：（示例：方程组1）①通过乘以适当的系数，使其中一个方程的两个未知数的系数相等；②将两个方程相减，消去一个未知数；③将求解得到的未知数的值代入其中一个方程，求解另一个未知数；④检验求解结果是否满足另一个方程。
2. 代入法代入法是另一种用于解二元二次方程组的常见方法。
通过将其中一个方程解出一个未知数，然后将该解代入另一个方程求解另一个未知数。
具体步骤如下：（示例：方程组2）①选择其中一个方程，将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数；②将该函数代入另一个方程，并解得未知数；③将求解得到的未知数代入其中一个方程，求解另一个未知数；④检验求解结果是否满足另一个方程。
3. 矩阵法矩阵法是解二元二次方程组的另一种常见方法。
通过将方程组转化为矩阵形式，利用矩阵的运算方法求解未知数。
具体步骤如下：（示例：方程组3）①将方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式；②对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形；③根据行最简形求解未知数的值；④检验求解结果是否符合所有的方程。
二元二次方程组的解法不止以上三种，还有配方法、因式分解法等等。
在实际问题中，解二元二次方程组可以帮助我们解决很多与多个未知数相关的问题，例如：1. 阶梯问题：解二元二次方程组可以用来求解楼梯的台阶数和踏步数；2. 交通问题：解二元二次方程组可以用来求解汽车、火车等交通工具的速度和时间；3. 销售问题：解二元二次方程组可以用来求解商品的进货价和售价等。
总结起来，解二元二次方程组是数学中重要的一部分，可以通过消元法、代入法和矩阵法等多种方法来解决。
二元二次方程组的解法有哪些
二元二次方程组的解法有哪些二元二次方程组的解法有同学知道吗?小编想大部分学子可能都忘记了，为了同学们遇题不慌。
下面是由小编为大家整理的“二元二次方程组的解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
二元二次方程组的解法有哪些由于解一般形式的二元二次方程组所涉及的系数颇多，故通常就实际问题来解。
e.g.1.解:2x^2+y^2+3xy+6x+2y+12=0…①, 且x^2+4y^2+4xy+x+y+15=0…②. 提示: 解方程的基本思想是消元与降次。
仅仅就其消元而言，任给的①,②都难以直接用一个变量表示另一个变量(即用关于x的代数式表示y,或y的代数式用表示x)，其症结在于二元二次项3xy,4xy，因此，首先需消去二元二次项。
②*3-①*4，得到一个新的方程。
再运用配方法分别将其x,y配方为如下形式:a(x+i)^2+b(y+j)^2+c=0,就可实现了用一个变量表示另一个变量，但其涉及到开方，且变为无理方程作解，比较复杂。
就其降次而言，可运用因式分解法(包括十字相乘法的推广:叉乘法及叉阵)，难度较大。
也可以运用函数的解析法。
在此，谨作点拨。
总的而言，一般有三种普遍的方法:代数方程解法，因式分解法，运用函数。
拓展阅读：二元二次方程组怎么解对于第一类型的二元二次方程组，可用代入消元法，从而归结为解含一个未知数的一个二次方程;而对于第二类型的二元二次方程组，经过消元后一般将归结为一元四次方程，但对如下几种特殊情形可以用一次和二次方程的方法来求解的：1、存在数m和n，使mF1(x，y)+nF2(x，y)是一元方程;或是一次方程;或是可约。
2、F1(x，y)和F2(x，y)均为对称多项式或反对称多项式。
例题：x+y=a ①x^2+y^2=b ②由1得 y=a-x ③将③代如②得：x^2+(a-x)^2=b即 2*x^2-2*a*x+(a^2-b) =0若2b-a^2>=0则解之得：x1=(a+根号(2b-a^2))/2x2=(a-根号(2b-a^2))/2再由③式解出相应的y1，y2。
二元二次方程组
二元二次方程组在数学中，二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
它的一般形式为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数，同时x和y是未知数。
求解二元二次方程组的目标是找到满足上述两个方程的x和y的值。
二元二次方程组的解法可以使用代数方法或图形方法。
下面将介绍两种常见的解法。
一、代数方法对于二元二次方程组，我们可以通过消元或代入法来求解。
1. 消元法消元法的思路是通过消去一个未知数，将方程组转化为一元二次方程，然后再求解。
首先，我们可以通过乘法或加减运算将两个方程的系数配平，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减或相加，消去该未知数。
举例来说，假设我们有以下方程组：2x^2 + 3y^2 + 4x + 5y + 6 = 03x^2 + 2y^2 + 5x + 4y + 7 = 0我们可以将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，使得x的系数相等，得到：4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12 = 09x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21 = 0然后，我们将两个方程相减，消去x，得到一元二次方程：(9x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21) - (4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12) = 0 5x^2 + 7x + 2y + 9 = 0这样，我们就将二元二次方程组转化为了一元二次方程，可以用一般的方法求解该方程。
2. 代入法代入法的思路是先解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而求得另一个未知数的值。
继续以上面的方程组为例，假设我们已经解得x的值为2，那么我们可以将x=2代入任意一个方程，得到：2(2)^2 + 3y^2 + 4(2) + 5y + 6 = 08 + 3y^2 + 8 + 5y + 6 = 03y^2 + 5y + 22 = 0然后，我们可以使用求解一元二次方程的方法来解得y的值。
二元二次方程组的解法技巧
二元二次方程组的解法技巧二元二次方程组是高中数学中比较重要的一部分，解决二元二次方程组的问题可以帮助我们更好地理解高中数学知识，同时也有助于我们在日常生活中应用数学知识。
一、方程式二元二次方程组通常可以表示为以下形式：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l均为实数。
二、解法技巧1. 消元法消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其思想是将方程组中的一些变量消除，得到一个只有一个未知数的一元二次方程。
例如，将方程组x^2 + y^2 = 25x + y = 7中的y消去，就得到一个只含有x的二次方程，从而可以求出x的值。
通过将得到的x值带入方程中，可以求出y的值。
2. 完全平方公式完全平方公式是解决二元二次方程组的重要方法之一。
对于一个一元二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，根据完全平方公式，可将其表示为(a x + k)^2 + p = 0，其中k和p分别为常数，根据该公式可以方便地求解一元二次方程的根。
对于二元二次方程组，我们可以尝试将其转化为一元二次方程，从而运用完全平方公式来求解。
例如，转化为一元二次方程后，方程组x^2 – y^2 = 36x^2 + y^2 = 100可表示为(x^2 + y^2) – (x^2 – y^2) = 100 – 362y^2 = 64y^2 = 32y = ±√32带入x^2 + y^2 = 100中可得出x^2 = 68，从而得出x = ±√68。
3. 消元法和完全平方公式的结合运用有时候，解决二元二次方程组需要结合运用上述两种方法。
例如，对于方程组x^2 – 4x – 5y + 18 =0y^2 + 6x + 8y + 9 = 0我们可以先使用“合并同类项”的方法，得到：(x^2 – 4x + 4) – 5y = -2y^2 + 6x + 8y + 9 = 0进一步变形后，有：(x – 2)^2 – 5y = -2 + 4y^2 + 6x + 8y + 9 = 0(x – 2)^2 = 5y + 2将上式代入第二个式子，得到：y^2 + 6x + 8y + 9 = 05y + 2 + 6x + 8y + 9 = 0从而得出y = -1，带入x –2 = ±√7，得出x = 2 ±√7。
二元二次解方程方法详解
二元二次解方程方法详解二元二次方程是指含有两个未知数x和y，并且x和y的最高次数都为2的方程，其一般形式为ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0，其中a、b、c、d、e、f为已知数，且a、b、c不同时为0。
解二元二次方程的方法如下：消元法通过消去其中一个未知数的项，将方程转化为只含有一个未知数的二次方程，然后求解该方程，最后再将求出的根代入另一个方程中，求出另一个未知数的值。
但是，这个方法比较复杂，因为需要解决一元二次方程的两个解，而且还需要检查这两个解是否符合原方程的要求。
代入法通过将其中一个未知数用另一个未知数的表达式代入到方程中，得到只含有一个未知数的二次方程，然后求解该方程，最后再将求出的根代入到另一个方程中，求出另一个未知数的值。
例如，对于方程x^2+2xy+y^2-6x-6y+9=0，我们可以将其中一个未知数y用另一个未知数x的表达式代入到方程中，得到x^2+2x(x-3)+(x-3)^2=0，然后化简得到3x^2-12x+9=0，解出x的值为x=1或x=3。
将x=1或x=3代入到原方程中，得到两个二元二次方程，分别为y^2-4y+4=0和y^2-12y+36=0，解出y的值为y=2或y=2或y=6或y=6。
因此，方程的解为(x,y)=(1,2)或(3,6)。
配方法通过变量代换将二元二次方程化为关于新变量u和v的一元二次方程，然后用一元二次方程的求解方法求解，最后再用代换公式将u和v表示成x和y的形式。
例如，对于方程x^2-4xy+4y^2-4x+16y=0，我们可以通过配方法将其化为关于新变量u和v的一元二次方程(u=x-2y,v=x+2y)，得到u^2+5v^2-4v=0。
然后用一元二次方程的求解方法求解，得到v=2或v=2/5。
将v=2或v=2/5代入到u^2+5v^2-4v=0中，解出u的值，然后再用代换公式将u和v表示成x和y的形式，得到方程的解。
以上是解二元二次方程的常用方法，需要根据具体的题目选择合适的方法进行求解。
初中数学方程与不等式之二元二次方程组解析含答案
初中数学方程与不等式之二元二次方程组解析含答案一、选择题1．解方程组：22+2-0110x y x y ⎧=⎨-+=⎩【答案】：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】【分析】把(2)変形后代入(1)便可解得答案【详解】22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①② 由②得:x=y-1代入①得:12023y y =⎧⎪⎨=⎪⎩, 分别代入②得:12113x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 故原方程组的解为：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【点睛】此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则2．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①② ,由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．3．阅读材料，解答问题 材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组． 如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程： ， 将代入得：，方程组的解为 请你用代入消元法解方程组：【答案】解：由（1）得，代入（2）得化简得：， 把，分别代入得：， ，【解析】这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可4．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩．【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．【详解】由①得25y x =-+．③把③代入②，得22(25)70x x x --+++=．整理后，得2760x x -+=．解得11x =，26x =．由11x =，得1253y =-+=．由26x =，得21257y =-+=-．所以，原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩.5．解方程组()()22x y x y 0x y 8⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩. 【答案】11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】【分析】先把方程组转化成两个二元二次方程组，再求出两个方程组的解即可．【详解】解：由原方程组变形得：22x y 0x y 8⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②， 22x-y 0x y 8⎧=⎪⎨+=⎪⎩③④ 由①变形得：y=-x ，把y=-x 代入②得：22x -x 8+=（），解得12x =2x =-2，，把12x =2x =-2，代入②解得：12y =-2y =2，，所以解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 由③变形得：y=x ，把y=x 代入②得：22x x 8+=，解得34x =2x =-2，，把34x =2x =-2，代入②解得：34y =2y =-2，，所以解为：33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 综上所述解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键．6．解方程组：⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2{1x y ==-；（2）3{45x y z ===【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.（1）2{1x y ==- ； (2) 3{45x y z ===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.7．解方程组：（1）4{526y x x y =-+= ；（2） 358{32x y x y +=-= 【答案】（1）22x y =⎧⎨=-⎩；（2） 【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．解：(1) ①代入②得x =2把x =2代入①得y =-2 ∴(2) ①-②得y =1把y =1代入①得x =1∴“点睛”本题通过“代入”“加减”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.8．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．9．解方程组：224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩【解析】【分析】把2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.【详解】由②得：()()20x y x y +-=所以200x y x y +=-=或 44200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或, 121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】考查二元二次方程组的解法，把方程2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.10．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．【详解】由②得：()()30x y x y -+=；所以，0x y -=或30x y +=；整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩； 解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．11．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0-=---=． 【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】 注意到22x xy 2y --可分解为，从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解.【详解】 解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.12．222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩【答案】111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】【分析】首先将二元二次方程进行因式分解，然后组成两个新的二元二次方程，求解即可.【详解】222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩①② 将②因式分解，得()()220x y x y --=∴方程组可化为两个新方程组：21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩∴方程组的解为：111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.13．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩（2）217,11 1.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩ 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-， 所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．14．解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩【答案】1184x y =⎧⎨=⎩或2293x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】利用因式分解法求22560x xy y -+=，得到20x y -=或30x y -=，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可.【详解】解：由（1）得20x y -=或30x y -=，2012x y x y -=⎧⎨+=⎩或3012x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解方程组得：1184x y =⎧⎨=⎩，2293x y =⎧⎨=⎩ ， 则原方程组的解为 1184x y =⎧⎨=⎩和 2293x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.15．解方程组：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩． 【答案】7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y =⎧⎨=⎩． 【解析】【分析】将方程22210x y xy +--=变形整理求出1x y -=或1x y -=-，然后分别与25x y +=组成方程组，求出对应的x ，y 的值即可．【详解】解：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩①②， 对②变形得：()21x y -=，∴1x y -=③或1x y -=-④，①－③得：34y =，解得：43y =， 把43y =代入①得：4253x +⨯=，解得：73x =； ①－④得：36y =，解得：2y =，把2y =代入①得：225x +⨯=，解得：1x =， 故原方程组的解为：7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”，掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键．16．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1•k 2＝﹣1．解决问题：①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m的值是____；②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值．【答案】（1）y ＝﹣12x 2+12x+1；（2）①-12；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（35. 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标；（3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值【详解】解：（1）将A ，B 点坐标代入，得10(1)11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，抛物线的解析式为y ＝211x x 122-++；（2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得2m ＝﹣1， 即m ＝﹣12；故答案为﹣12；②AB 的解析式为1122y x =+当PA ⊥AB 时，PA 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，联立PA 与抛物线，得21112222y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=--⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩（舍），614x y =⎧⎨=-⎩，即P （6，﹣14）；当PB ⊥AB 时，PB 的解析式为y ＝﹣2x+3，联立PB 与抛物线，得21112223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩（舍）45x y =⎧⎨=-⎩，即P （4，﹣5），综上所述：△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）如图：，∵M （t ，﹣12t 2+12t+1），Q （t ，12 t+12），∴MQ ＝﹣12t 2+12S△MAB＝12MQ|x B﹣x A|＝12（﹣12t2+12）×2＝﹣12t2+12，当t＝0时，S取最大值12，即M（0，1）．由勾股定理，得AB＝2221＝5，设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得h＝5＝5．点M到直线AB的距离的最大值是5．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键17．解方程：【答案】【解析】解：原方程组即为····································（2分）由方程（1）代人（2）并整理得：·······························································（2分）解得，························································（2分）代人得18．解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩ 【答案】111,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】首先将由22230x xy y --=得30x y -=或0x y +=，分别与223x xy y -+=求解即可.【详解】解： 22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩①②由①得30x y -=或0x y +=，原方程组可化为22303x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩；2203x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩解这两个方程组得原方程组的解为11,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩227x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩331,1,x y =-⎧⎨=⎩441,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.19．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm ，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm ，故杆顶着地处比前次远10dm ，求此杆的高度．【答案】此竿高度为50dm【解析】【分析】由题中条件，作如下示意图，可设第一次折断时折断处距地面AB 的高为x dm ，余下部分BC 长为y dm ，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．【详解】解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm ，余下部分为BC 为ydm ．由题意得22222220;(5)(5)30.y x y x ⎧=+⎨+=-+⎩ 解得 2129x y =⎧⎨=⎩此杆的高度为x+y=21+19=50 dm答：此竿高度为50dm【点睛】本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．20．解方程组22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩． 【答案】原方程组的解是114,32;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩224,32;3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩334,2;x y =⎧⎨=⎩444,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由①得x+2y=0，或x-2y=0，由②得x-y=2，或x-y=-2，从而可将原方程组化为4个二元一次方程组求解．【详解】 22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩①②， 由①得(x+2y)(x-2y)=0，∴x+2y=0或x-2y=0，由②得(x-y)2=4，∴x-y=2或x-y=-2，∴原方程组可化为202x y x y +=⎧⎨-=⎩，202x y x y +=⎧⎨-=-⎩，202x y x y -=⎧⎨-=⎩，202x y x y -=⎧⎨-=-⎩， 分别解这四个方程组得114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩， ∴原方程组的解是114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，将原方程组化为4个二元一次方程组求解是解答本题的关键．。
二元二次方程组的解法与应用
二元二次方程组的解法与应用二元二次方程组是由两个未知数x和y以及形如ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0的二次项组成的方程。
解决二元二次方程组的问题在数学和实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍二元二次方程组的解法及其应用。
一、二元二次方程组的解法求解二元二次方程组可以使用常见的代数解法，如代入法、消元法和用韦达定理等方法。
下面将逐一进行介绍。
1.1 代入法代入法是求解二元二次方程组的一种简单直接的方法。
首先将其中一个方程的其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程，从而解出该未知数的值。
再将该值代入到另一个方程中，求解另一个未知数的值。
例如，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 + 4xy + y^2 = 10(2) 3x^2 - 2xy + 2y^2 = 11我们选择方程(1)中的x表示成y的函数：x = (10 - y^2)/(4y + 1)。
将其代入方程(2)中，可以得到：3[(10 - y^2)/(4y + 1)]^2 - 2[(10 - y^2)/(4y + 1)]y + 2y^2 = 11化简上述方程后，我们可以得到一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)即可求出x的值。
1.2 消元法消元法是求解二元二次方程组的另一种常用方法。
通过消去其中一个未知数，将方程组化简为一元二次方程。
消元法有三种常见的形式，分别是相减消去、相加消去和代入消去。
以相减消去为例，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 - 3xy + 2y^2 = 5(2) 2x^2 - 5xy + 3y^2 = 12我们将两个方程相减，得到新方程：-x^2 + 2xy - y^2 = -7此时，可以将新方程视为一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)或(2)求解另一个未知数的值。
1.3 韦达定理韦达定理是解决二元二次方程组的另一种方法。
二元二次方程组解法例说
二元二次方程组解法例说1.消元法：通过将其中一个方程的两边进行相减或相加，消去其中一个未知数，从而得到另一个含有一个未知数的一次方程。
然后带入到另一个方程中，即可求得另一个未知数的值。
最后再将求得的值带回原方程组中，即可求得两个未知数的值。
例如，考虑以下二元二次方程组：{x^2+y^2=25(1){x+y=7(2)首先，我们可以通过将式(2)两边乘以2，得到2x+2y=14然后，将这个式子与式(1)相减，得到：x^2+y^2-(2x+2y)=25-14，即x^2-2x+y^2-2y=11、化简后，得到：x^2-2x+y^2-2y-11=0。
接下来，我们可以将这个方程进行配方法，得到：(x-1)^2-1+(y-1)^2-1-11=0。
化简后，得到：(x-1)^2+(y-1)^2=13于是，我们得到了一个含有未知数x和y的一次方程。
我们可以选择将解析几何的知识来解决这个方程。
或者，我们也可以通过将这个方程与式(2)相减，得到(x-1)^2+(y-1)^2-(x+y)=0。
化简后，得到：(x-1)^2-x-(y-1)^2-y=0。
最后，我们可以将这个方程展开，得到：x^2-2x+1-x-y^2+2y-1-y=0。
化简后，得到：x^2-3x-y^2+y=0。
现在我们得到了一个新的只含有x和y的二次方程，我们可以使用求解一元二次方程的方法，求解这个方程，从而得到x和y的值。
最后，将求得的值带回原方程组中，即可求得方程组的解。
2.代入法：通过将其中一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的二次方程。
求解这个二次方程，可以得到一个未知数的值。
然后将这个值带回到原方程组中，可以求得另一个未知数的值。
例如，考虑以下二元二次方程组：{ x^2 - 2xy + y^2 = 4 (1){x+y=4(2)我们可以将式(2)表示为x=4-y，然后将其代入式(1)中，得到：(4-y)^2-2(4-y)y+y^2=4化简后，得到：16-8y+y^2-8y+2y^2+y^2=4、合并同类项，得到：4y^2-16y+12=0。
(完整版)二元二次方程组的解法
二元二次方程的解法一、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。
当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意：不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。
除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
高中数学二元二次方程组解题技巧
高中数学二元二次方程组解题技巧在高中数学中，二元二次方程组是一个重要的考点。
解决二元二次方程组需要掌握一定的解题技巧。
本文将介绍一些常见的解题方法，并通过具体的例子来说明这些方法的应用。
一、代入法代入法是解决二元二次方程组的一种常用方法。
其基本思想是将其中一个方程中的一个变量表示成另一个变量的函数，然后将其代入另一个方程中，从而得到一个关于另一个变量的一元二次方程。
通过求解这个一元二次方程，我们可以得到一个变量的值，再将其代入原方程中求解另一个变量的值。
例如，考虑以下二元二次方程组：$\begin{cases}x^2+y^2=25 \\x+y=7\end{cases}$我们可以将第二个方程改写为$x=7-y$，然后将其代入第一个方程中，得到$(7-y)^2+y^2=25$。
展开后化简得到$2y^2-14y+24=0$，进一步化简得到$y^2-7y+12=0$。
解这个一元二次方程可以得到$y=3$或$y=4$，再将这两个值代入$x=7-y$中，可以得到$x=4$或$x=3$。
因此，原方程组的解为$(x,y)=(4,3)$或$(x,y)=(3,4)$。
二、消元法消元法是解决二元二次方程组的另一种常用方法。
其基本思想是通过消去一个变量，将方程组化为一个一元二次方程。
例如，考虑以下二元二次方程组：$\begin{cases}x^2+y^2=20 \\x^2-y^2=4\end{cases}$我们可以通过将第二个方程两边同时乘以$x^2+y^2$，然后利用差平方公式将方程组消去变量$y$。
具体步骤如下：$(x^2+y^2)(x^2-y^2)=20 \cdot 4$$(x^4-y^4)=80$$(x^2+y^2)(x^2-y^2)=80$$(x^2+y^2)=10$现在，我们得到了一个只含有$x$的一元二次方程$x^2+y^2=10$。
解这个方程可以得到$x=\pm \sqrt{10}$，再将这个值代入原方程组中求解$y$。
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
解决这种方程组的关键是找到方程组的解。
一、一般形式的二元二次方程组一般情况下，二元二次方程组的一般形式如下：1. 假设方程组为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 设变量：X = x²， Y = y²， XY = xy3. 将方程组转化为四元二次方程组：a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂X + b₂XY + c₂Y + d₂x + e₂y + f₂ = 04. 用消元法将X、Y消去：例：通过第一个方程将X消去令 A = a₁/a₂则 a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0变为： Aa₂X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0再通过第二个方程将X消去，得到一个只包含Y、x、y的方程。
5. 解出Y，并将其代入剩下的方程中，解出x和y，即得到方程组的解。
二、例题解析以一道例题来说明解决二元二次方程组的方法。
例题：解方程组：x² + y² - 4 = 02x² + 3y² - 13 = 0解答：1. 设 X = x²， Y = y²则方程组可化为：X + Y - 4 = 02X + 3Y - 13 = 02. 通过第一个方程将 X 消去：2(X + Y - 4) + 3Y - 13 = 0简化后得到：2X + 5Y - 21 = 03. 解得：Y = (21 - 2X)/54. 将 Y 代入第一个方程：X + (21 - 2X)/5 - 4 = 0简化后得到：3X - 19/5 = 05. 解得：X = 19/156. 将 X 代入 Y 的表达式：Y = (21 - 2*(19/15))/5简化后得到：Y = 16/157. 根据 X 和 Y 的值，可以求出 x 和 y 的值：对 X 和 Y 开平方根即可得到 x 和 y。
二元二次方程的解法有哪些
二元二次方程的解法有哪些二元二次方程解法是什么，典型有效的方法是什么？想知道的小伙伴看过来，下面由小编为你精心准备了“二元二次方程的解法有哪些”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯!二元二次方程的解法有哪些1、代入消元法(1)概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法。
(2)代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数;②将变形后的方程代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(在代入时,要注意不能代入原方程,只能代入另一个没有变形的方程中,以达到消元的目的.);③解这个一元一次方程,求出未知数的值;④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中,求出另一个未知数的值;⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解;⑥最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边)。
2、加减消元法(1)概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时,把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数,从而将二元一次方程化为一元一次方程,最后求得方程组的解,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.(2)加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式;②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(一定要将方程的两边都乘以同一个数,切忌只乘以一边,然后若未知数系数相等则用减法,若未知数系数互为相反数,则用加法);③解这个一元一次方程,求出未知数的值;④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,求出另一个未知数的值;⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解;⑥最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边)。
学习技巧掌握解二元二次方程组的完整步骤
学习技巧掌握解二元二次方程组的完整步骤学习技巧：掌握解二元二次方程组的完整步骤在数学学习中，解二元二次方程组是一个重要的内容。
掌握解决这种类型方程组的技巧，不仅能提升数学能力，还能应用于实际问题的解决。
本文将介绍解二元二次方程组的完整步骤，帮助读者准确掌握这一知识点。
一、方程组的定义和形式二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，通常形式如下：{ a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0{ a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中，a1, b1, c1, d1, e1, f1, a2, b2, c2, d2, e2, f2是已知数或系数，x 和y是未知数。
二、解二元二次方程组的步骤在解二元二次方程组前，我们首先需要了解以下步骤：步骤1：判断方程组类型根据方程组的系数判断方程组类型，可能有三种情况：1. 如果两个方程的系数都不为0，则为普通二元二次方程组；2. 如果一个方程系数全为0，另一个方程的系数不全为0，则为次齐次方程组；3. 如果两个方程的系数都为0，则不构成方程组。
步骤2：化简方程组对方程组进行化简，通过消元或其他方法将方程组转化为更简单的形式。
例如，通过消去某些变量或消去平方项，减小方程组的复杂度。
步骤3：代入法求解通过代入法，即将其中一个方程的解代入到另一个方程中，进而求解未知数的值。
代入法是解二元二次方程组最常用的方法之一。
步骤4：直接消元法求解对方程组进行直接消元，通过加减、乘除等运算将方程组转化为只含一个未知数的方程，然后解决该方程从而求得其他未知数的值。
步骤5：使用数学软件或计算器在实际应用中，可以借助数学软件或计算器来解决二元二次方程组。
通过输入方程的系数，运行相应的函数或命令，即可得到方程组的解。
三、实例演示以下是一个实例，演示了解二元二次方程组的完整步骤：例题：{ 2x^2 - xy + y^2 = 13{ 3x^2 + xy + 2y^2 = 19解答步骤：步骤1：判断方程组类型。
二元二次方程的解法
二元二次方程的解法二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + by^2 + cxy+ dx + ey + f = 0。
解二元二次方程是初中数学中的重要内容，掌握解题方法对于学生来说至关重要。
本文将介绍几种常见的解二元二次方程的方法，并通过实例进行说明。
一、配方法配方法是解二元二次方程的常用方法之一。
它的基本思想是通过将方程中的某些项配成完全平方的形式，从而将方程化简为两个一元二次方程。
下面通过一个例子来说明配方法的具体步骤。
例题：解方程组{ x^2 + y^2 + 2xy = 9{ x^2 - y^2 = 1解析：首先，我们可以将第一个方程中的2xy项配成完全平方的形式。
具体来说，我们可以将其改写为(x+y)^2。
然后，将这个改写后的表达式代入第一个方程，得到：(x+y)^2 = 9解这个方程，我们可以得到两个解：x+y=3或x+y=-3。
接下来，我们将这两个解分别代入第二个方程，得到两个一元二次方程：x^2 - y^2 = 1x^2 - y^2 = -7分别解这两个方程，我们可以得到四个解：(x,y)=(2,1)，(x,y)=(-2,-1)，(x,y)=(2,-1)，(x,y)=(-2,1)。
综上所述，方程组的解为{(2,1), (-2,-1), (2,-1), (-2,1)}。
二、代入法代入法是解二元二次方程的另一种常用方法。
它的基本思想是通过将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的函数，然后代入另一个方程，从而将方程化简为一个一元二次方程。
下面通过一个例子来说明代入法的具体步骤。
例题：解方程组{ x^2 + y^2 = 9{ x + y = 3解析：首先，我们可以将第二个方程改写为y = 3 - x。
然后，将这个表达式代入第一个方程，得到：x^2 + (3 - x)^2 = 9化简这个方程，我们可以得到一个一元二次方程：2x^2 - 6x = 0。
解这个方程，我们可以得到两个解：x=0或x=3。
怎么解二元二次方程组
怎么解二元二次方程组一、方程组的定义与性质1.1 方程组的定义方程组是由多个方程组成的集合。
1.2 方程组的分类•线性方程组：方程的最高次数为1。
•非线性方程组：方程的最高次数大于1。
1.3 二元二次方程组二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
二、解二元二次方程组的一般步骤2.1 消元法通过消元法将方程组化简为更简单的形式，通常可以使用以下两种方法： 1. 代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，从而消去一个未知数。
2. 相减法：将两个方程相减，从而消去一个未知数。
2.2 二次方程的求根公式对于一元二次方程 Ax^2 + Bx + C = 0，其求根公式为： x = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / (2A)2.3 解二元二次方程组的步骤1.化简方程组：将方程组化简为更简单的形式，通常通过消元法实现。
2.求解一元二次方程：将化简后的方程组中的一个未知数表示为另一个未知数的表达式。
3.代入求解：将求解得到的未知数的表达式代入另一个方程中，求解另一个未知数。
4.检验解：将求解得到的两个未知数分别代入方程组中，验证是否满足原方程组。
三、例题解析3.1 例题一解方程组： { 2x^2 + 3y = 7, x + y^2 = 5 }解答步骤：1.化简方程组：无需化简。
2.求解一元二次方程：根据第二个方程得到 x = 5 - y^2。
3.代入求解：将 x = 5 - y^2 代入第一个方程，得到 2(5 - y2)2 + 3y = 7。
4.化简方程：展开并整理方程，得到 2y^4 - 20y^2 + 3y - 3 = 0。
5.求解二次方程：根据二次方程的求根公式，解得y ≈ -0.867 或y ≈1.476。
6.求解另一个未知数：将求解得到的 y 代入 x = 5 - y^2，求得相应的 x 值。
7.检验解：将求解得到的 x、y 值代入原方程组，验证是否满足。
3.2 例题二解方程组： { x^2 - y = 4, x^2 + y = 10 }解答步骤：1.化简方程组：无需化简。
二元二次方程组及其解法
八年级第21讲 二元二次方程组及其解法知识点1：二元二次方程及二元二次方程组的有关概念：1、 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫做二元二次方程。
如：05422=-+y xy x ，5=xy ,0422=-y x ，0245222=+++-y x y xy x 等. 2、 注意点：（1）二元二次方程是整式方程.（2）二元二次方程含有两个未知数. （3)含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式 :220ax bxy cy dx ey f +++++=．这里，必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零，否则就不是二元二次方程了.“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”，但不能说成“不为零”或“都不为零"，因为它们的意义是不一样的. 4、二元二次方程的解：能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。
5、二元二次方程组：定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。
如:6、二元二次方程组的解：二元二次方程组中所含方程的公共解，叫做二元二次方程组的解.例1、在方程组①⎩⎨⎧==-132xy y x 、②()⎩⎨⎧=-=-12232xy x x y x 、③⎩⎨⎧=-=-32232y y x 、④⎪⎩⎪⎨⎧=-=+57xy x xy x 、⑤⎩⎨⎧-==24yz xy 中，是二元二次方程组的共有＿＿＿＿＿个.分析:抓住关键(1）组内方程是整式方程。
（2)方程组中含有两个未知数。
（3）含有未知数的项的最高次数是2答：①③是二元二次方程组。
②中()12=-xy x x 含有未知数的项的最高次数是3。
④中方程不是整式方程.⑤方程组中含有3个未知数。
限时训练：1、下列各方程中不是二元二次方程的是 ( ) A.x+xy=5C 。
x 2+y 2=3 D.x 2+2y 1=02、已知一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是⎩⎨⎧==21y x和⎩⎨⎧-=-=21y x ,试写出一个符合要求的方程组_______________。
从几何意义看二元二次方程组的解法
从几何意义看二元二次方程组的解法一般的二元二次方程组如上，很不好解。
所以中学数学课本里只介绍了很简单的几个例题，并没有给出一般解法，使人总感觉遗憾。
我综合了几种资料中的介绍，总算是得到一套完整的解法，特此奉献给大家。
其中资料 1 是我最先接触到的，但有的疑问并没有解开，后来参考另几种资料，方得明白。
在开始下面内容以前，先说明一下，二元二次方程组一般由两个方程组成，其中之一如果是一次的，或者是一元的，则利用代入法即可求解，这也就是中学课本里讲过的。
因此下面只针对两个方程都是二元二次方程的情况。
下面谈谈我们的思路：如果其中一个方程的式子能分解成两个一次式的乘积，只要把这两个一次式方程分别和另外一个方程联立，当然也就成功了。
如果不行呢？我们可以利用恒等变换，得到一个含参数的新方程(3)，进而求解（下面的和即是方程(3)左边分解后得到的两个一次式）：因此，我们的任务包括：得到合适的值，对二元二次多项式进行分解。
幸运的是，这两方面都有公式。
一个一般的二元二次多项式（注意交叉项和一次项系数前有个）能分解的充分必要条件是：以上结论的证明参见资料2（原文给出的行列式有误，对照其后的展开式可知正确表达式）。
我们只要把含的方程(3)各项系数带入上面的行列式，就可以求出合适的值。
可以看出，这个关于的行列式方程最高是三次的，大不了可以利用三次方程求根公式求出。
有了合适的，仅能保证(3)式能够分解，但是如何分解呢？以下给出一种方法——取零法（见资料3）：对可分解的二元二次多项式，先忽略掉所有含的项，包括交叉项、的二次项和一次项，对剩余的项进行分解，得到再忽略掉所有含的项，对剩余的项进行分解，得到两式综合在一起（注意两个式子里的常数项是对应的），即原式可分解为此法简单有效。
而其中道理也很简单，把上面几个式子分别展开然后对比系数就可以，只是要注意必须先确定原式能分解才行。
资料 4 中介绍了二元二次多项式因式分解的公式法，比较复杂，这里就不介绍了。
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解下列方程组：
(x 2y)(x 6y) 0 ①
(1)x2 4 y 2 10
②
解：由①得
x-2y=0或x+6y=0
因此，原方程组可化为两个方程组
x2+4y2=10 x-2y=0
x2+4y2=10 x+6y=0
解这两个方程组，得原方
程组的解为
x1
5
x2
5
5
5
y1
2
y
2
2
x3
3
x
4
5 2
y
2
5 2
x-2y =0
x3 y3
2 2
x4 y4
2 2
解方程组：
(2)
x x
2 2
4 xy 3 y 2 y2 5
0
① ②
解这两个方程组，得原方
程组的解为
解：由①得
x-y=0或x-3y=0
x1
10 2
x 2
10 2
因此，原方程组可化为两 个方程组
y1
10 2
3
y3
1 2
y4
1 2
(
2)
x x
2 2
y 2 20 5xy 6 y 2
0
① ②
解：由②得
x-2y=0或x-3y=0
解这两个方程组，得 原方程组的解为
因此，原方程组可化为两个方程 组
x1
3
2
x
2
3
2
x2+y2=20 x-2y=0
x2+y2=20 x-3y=0
y1 2 y2 2
x3 y3
4 2
x4 y4
4 2
尝试题二
解下列方程组：
解：由①得
(1)x 2 3x
3xy 2 2 2xy
y2 20
0
① ②
解这两个方程组，得原
x-y=0或x-2y=0
方程组的解为
因此，原方程组可化为两个
方程组
3x2+2xy=20 x-y=0
x1
5
x
2
5
3x2+2xy=20
y1
x-2y=0或
x-y=0或
x-3y=0
(3) x2-6xy+9y2=16
x-3y=0
(4) 2x2-5xy=3y2
x-3y=4或
x-3y=0或
x-3y= - 4
2x+y=0
尝试练习一
填空：
（1）方程x2 +4xy +4y2=9可降次为方程 _x_+_2_y_=__3___和方程___x_+_2_y_=__-3___;使用的方 法是_直__接__开__平__方__法__;
由一个二元二次方程和 一个二元一次方程组成 的方程组的解法
学习目标：
会用分解、降次法解由一个二元
二次方程和一个可以分解为两个 二元一次方程的方程组成的方程组。
准备练习
1.解由一个二元二次方程和一个二元一次方 程组成的方程组的基本方法是代__入__消__元_法___; 基本思想是 __消_元__、__降__次__。
y
2
10 2
x2+y2=5 x-y=0
x2+y 2=5 x-3y =0
3 2
32
x3 2 x4 2
y
3
2 2
y
4
2 2
小结
一般步骤： 1、把能分解的方程转化为两个
二元一次方程； 2、把这两个二元一次方程分别与另一个方
程组成两个由一个二元一次方程和一个二 元二次方程组成的方程组； 3、解这两个方程组，得原方程组的解。
(2)由一个二元二次方程和一个可以分解为两 个二元一次方程的方程组成的方程组的基本 思路是__降__次__、__消__元__;
尝试练习一
(3)方程组
x x
2 2
y 2 20 4xy 4 y 2
可转化为 0
x2+y2=20
x2+y2=20
方程组 __x-_2_y_=0_____和方程组 ____x_-_2_y=_0_____,
思考题
解方程组 x 2 ( x
2xy y y)2 3(
2
x4 y)100（1）此方程组与学过的方程组有何异同？
（2）此方程组能否像前面所学的方程组 那 样来解？ 你能否想出其它的方法 来解？试加以证明。
2.把下列各式因式分解
(1)x2-3xy+2y2 =(x-2y)(x-y) (2)4x2-4xy+4y2-25 =(2x-y+5)(2x-y-5) (3)(x+y)2-3(x+y)-4 =(x+y-4)(x+y+1) • (4) 4x2-9y2 =(2x-3y)(2x+3y)
3.把下列方程化成两个二元一次方程： （1）x2-5xy+6y2 =0 (2) x2-4xy+3y2=0
然后用__代__入__消__元____法来解。
(4)方
程组
x x
2 2
y2 20 6xy 9 y 2
可转化为 16
x2+y2=20
x2+y2=20
方程组____x-_3_y=_4_____ 和方程组__x-_3_y_=_-4______
然后用__代__入__消__元__法来解。
尝试题一