坡度、坡角
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沪科九年级数学上册第23章2 第4课时 坡角、坡度问题
2m .
(3)若斜坡AB的坡度 i = 1∶2.5，l = 5 m，则 h =
B
h
C
l
A
知识回顾
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题)
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直
角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
k
x2 x1
α
O
x
1.如图，直线y=2x+1向上的方向与x轴的正方向所夹的锐角为α.那么
(1)tan α=
2
；(2) sin α=
2 5
5 ；(3) cos α=
y
α
O
x
5
5
.
2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 的 第 一 象 限 中 ， 有 一 点 P(x ， y) ， 记
r=|OP|= ² + ².
要计算斜坡AB的坡角α，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1：3；
要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=6 m，只要再分别求出AE和FD即可；
还要计算AB，在Rt△ABE中求解即可.
α
β
E F
A
23
6
B C
D
解：分别过点B、C作垂线，交AD于E、F点，垂足分别为E点、F点，则有
D
2.如图，水库大坝的横断面是四边形ABCD，BC∥AD，坝顶宽为6 m，
坝高为23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i'=1∶2.5，求：
(1)斜坡AB的坡角α的值(精确到1°)；
(2)坝底宽AD和斜坡AB的值(精确到0.1 m).
(3)若斜坡AB的坡度 i = 1∶2.5，l = 5 m，则 h =
B
h
C
l
A
知识回顾
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题)
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直
角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
k
x2 x1
α
O
x
1.如图，直线y=2x+1向上的方向与x轴的正方向所夹的锐角为α.那么
(1)tan α=
2
；(2) sin α=
2 5
5 ；(3) cos α=
y
α
O
x
5
5
.
2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 的 第 一 象 限 中 ， 有 一 点 P(x ， y) ， 记
r=|OP|= ² + ².
要计算斜坡AB的坡角α，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1：3；
要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=6 m，只要再分别求出AE和FD即可；
还要计算AB，在Rt△ABE中求解即可.
α
β
E F
A
23
6
B C
D
解：分别过点B、C作垂线，交AD于E、F点，垂足分别为E点、F点，则有
D
2.如图，水库大坝的横断面是四边形ABCD，BC∥AD，坝顶宽为6 m，
坝高为23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i'=1∶2.5，求：
(1)斜坡AB的坡角α的值(精确到1°)；
(2)坝底宽AD和斜坡AB的值(精确到0.1 m).
坡度与坡角解析
第二步：利用正弦，通过坡角、斜边求对边
Pα
M
牛刀小试
1、某水坝的坡度为i = 1∶ 3 ，则坡角为 30°。
2、已知 ABC 中，∠C = 90°, ∠A的坡度i=1∶1, 则
∠A= 45° 。 第一二题：利用正切，通过坡度求坡角
3、如图，高2米的某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度
i=1∶2，则AB的长为 2 5 米。 B 第一步：利用正切，通过坡度
P
lM
查表可求得 ∠α 约为29°3′ ；第一步：利用正切，通过坡度求坡角
在直角三角形PMN中， ∠M=90°∠P= 29°3′ 。 PN=240m.由于NM是∠P的对边，PN是斜边，因此，
sin
α
=
NM PN
=
NM 240
.
即MN=
240·sinα
；可求
N
得 NM 240sin 293 116.5m.. 240米
坡度越大，山坡越陡．
(1)
(2)
自学指导
例６．一山坡的坡度i＝1:1.8，小刚从山坡脚下点P上 坡走了240m到达点N，他上升了多少米（精确到 0.1m）？这座山坡的坡角是多少度（精确到1'）？
分析
N
已知坡度i = 1:1.8，用α 表示坡角的大小，
h
由于 tan α =
1 1.8
0.5556.
。
5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，求斜坡高为
_______米。
如果桃源水库某大坝的横断为等腰梯形，
大坝的顶宽(即等腰梯形的上底长)为11.6m，
巩固练习
大坝的坡度i=1:1.6，等腰梯形的高为12m.你能 求出坝基的底宽AB和坡角α吗？
坡度 坡角分析
B
2.8米
C
A
D
一段河坝的断面为梯形ABCD，BC=4.5米， 。 4米，试根据图中的数据，求出坝底宽 高为 AD。
B i=1：2 A F C
i=1：3
E
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 、
达标测试
1、斜坡的坡比是1: 3 ， 则坡角α=______度。 2、如图，梯形 ABCD是拦水坝的横断面图（图中的i 1 : 3是指坡面 的铅垂高度DE与水平宽度CE的比），B 60° ， AB 6，AD 4， 求拦水坝的横断面 ABCD 的面积。
解直角三角形（2）
---------坡度 坡角
学习目标：
1、理解坡度（坡比）、坡角的概念。 2、会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、 坡角有关的实际问题。
理解概念
坡面的铅垂高度（ h）和水平长度（l ）的比值。 坡度（坡比）：
记作i
h 即i = l
坡角： 坡面与水平面的夹角，记作α ，
h i tan l
α
L
h
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _______。 3、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路 程为 _______米。
一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，路基顶宽 BC为2.8米，路基高为1.2米，斜坡AB的坡度i=1：1.6 , 求(1)路基的下底宽 （2）坡角；
A D
i 1: 3
B
C
F E (2题图)
本节课你有什么收获？ 课堂小结：
（1）内容总结：
坡角和坡度的概念: 坡角与坡度之间的关系是：
h i tan l
2.8米
C
A
D
一段河坝的断面为梯形ABCD，BC=4.5米， 。 4米，试根据图中的数据，求出坝底宽 高为 AD。
B i=1：2 A F C
i=1：3
E
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 、
达标测试
1、斜坡的坡比是1: 3 ， 则坡角α=______度。 2、如图，梯形 ABCD是拦水坝的横断面图（图中的i 1 : 3是指坡面 的铅垂高度DE与水平宽度CE的比），B 60° ， AB 6，AD 4， 求拦水坝的横断面 ABCD 的面积。
解直角三角形（2）
---------坡度 坡角
学习目标：
1、理解坡度（坡比）、坡角的概念。 2、会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、 坡角有关的实际问题。
理解概念
坡面的铅垂高度（ h）和水平长度（l ）的比值。 坡度（坡比）：
记作i
h 即i = l
坡角： 坡面与水平面的夹角，记作α ，
h i tan l
α
L
h
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _______。 3、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路 程为 _______米。
一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，路基顶宽 BC为2.8米，路基高为1.2米，斜坡AB的坡度i=1：1.6 , 求(1)路基的下底宽 （2）坡角；
A D
i 1: 3
B
C
F E (2题图)
本节课你有什么收获？ 课堂小结：
（1）内容总结：
坡角和坡度的概念: 坡角与坡度之间的关系是：
h i tan l
28.2 应用举例 方位角、坡度、坡角
解:设 BC=x 米,在 Rt△ABC 中,∠CAB=180°-∠EAC=50°,所以 AB= BC ≈ BC = 5 x(米), tan 50 1.20 6
因为在 Rt△EBD 中,i=DB∶EB=1∶1, 所以 BD=EB,所以 CD+BC=AE+AB, 即 2+x=4+ 5 x,解得 x=12,所以 BC=12 米.
上,则船C到海岸线l的距离是
km. 3
4.(2017海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供 的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图所示,已 知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin 50°≈0.77, cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.20)
探究点二:坡度与坡角问题 【例2】 如图,水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5米,迎水面坡度为1∶ 面坡度为1∶1,坝高为4米,求:坝底AD和迎水面CD的长及坡角α 和β .
,背3 水
【导学探究】 1.作CE⊥AD,BF⊥AD,由坡度可得,CE∶ DE =1∶ 2.由坡度是坡角的 正切 值可得坡角.
第2课时 方位角、坡度、坡角
一、方位角 1.平面测量时,经常以正北、正南方向为基准描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫 做方位角. 2.如图,射线OA,OB,OC,OD分别表示北偏东30°,南偏东70°,南偏西50°,北偏西35°.
二、坡度、坡角 1.坡度:坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i,即 i= h .
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,tan 30°= CD = 3 ,所以 CD= 3 BD≈115(km),
因为在 Rt△EBD 中,i=DB∶EB=1∶1, 所以 BD=EB,所以 CD+BC=AE+AB, 即 2+x=4+ 5 x,解得 x=12,所以 BC=12 米.
上,则船C到海岸线l的距离是
km. 3
4.(2017海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供 的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图所示,已 知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin 50°≈0.77, cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.20)
探究点二:坡度与坡角问题 【例2】 如图,水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5米,迎水面坡度为1∶ 面坡度为1∶1,坝高为4米,求:坝底AD和迎水面CD的长及坡角α 和β .
,背3 水
【导学探究】 1.作CE⊥AD,BF⊥AD,由坡度可得,CE∶ DE =1∶ 2.由坡度是坡角的 正切 值可得坡角.
第2课时 方位角、坡度、坡角
一、方位角 1.平面测量时,经常以正北、正南方向为基准描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫 做方位角. 2.如图,射线OA,OB,OC,OD分别表示北偏东30°,南偏东70°,南偏西50°,北偏西35°.
二、坡度、坡角 1.坡度:坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i,即 i= h .
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,tan 30°= CD = 3 ,所以 CD= 3 BD≈115(km),
坡度和坡角
D
4.2米 A
32 °
12.51米
C
28 ° B
9
D
12.51米
C
4.2米 A
32 ° E
∟
∟
28 °
F
B
解：作DE AB,CF AB,垂足分别为E、F .由题意可知
DE CF 4.（2 米），CD EF 12.5（1 米）.
在Rt△ADE中， i DE 4.2 tan 32 , AE AE
α
A
EF
D
=184′，AD=132.5 m，AB=23 10 m
3
问题探究
4
如图，坡面的铅锤高度（ h）和水平长度（ l） 的比叫做坡面坡度（或坡比）,记作 i ,即 i h .
l 坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i 1 : 6
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .
i h:l h
l
5
7
④堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）
若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=__43___,AD=
____5___;
若AB=10，CD=4，i= 1
5
3
,则h=___5___.
D
C
h
i
∟
∟
AE
F
B
8
例1：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2 米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角 分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）
完成该工程需要多少土方？
ED C
α FA
B
11
解：作DG AB于G,作EH AB于H . CD∥AB, EH DG 5米.
ED C
DG 1 , AG 6米. AG 1.2
解直角三角形的应用——坡度、坡角
3.坡度与坡角的关系：
i=h:l=tanα
坡度越大，坡角就越 大 ，坡面 就越陡
自学检测：
知识点一 坡度与坡角
1.以下对坡度的描述正确的是（ B ）
A.坡度是指斜坡与水平线夹角的度数
B.斜坡是指斜坡的铅垂高度与水平宽度的比
C.斜坡式指斜坡的水平宽度与铅垂高度的比
D.坡度是指倾斜角度的度数
2、若斜坡的坡角为 5 6 ∘ 1 9 、，坡度i=3:2，则（ C ）
x- 2
AF =
=
°=
ta n ∠ D A F
ta n 3 0
3 (x - 2 )
AF=BE=BC+CE
即 3 (x - 2） = 2 3 &6.
DE=6米
物体通过的路程为 3 5 .
再试牛刀:
知识点二 坡度、坡角及实际问题
1. 如图，河堤横切面迎水坡AB的坡比是1：
，堤
3
高BC=10m,则坡面AB的长度是（ C ）
A.15m
B. m 2 0 3
C.20m
D. 1 0 3 m
2、如图是拦水坝的横切面，斜坡AB的水平宽度为
12m,斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为（ B ）
拓展提升:
如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内 一颗树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前 的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30度，朝着这 棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰 角为60，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 1: 3 ,且B、C、E三点在同一条直线上，请根据以上 条件求出树DE的高度（测角器的高度忽略不计）
A. 4 3 m
B.6 5 m
C. 1 2 5 m
初三上数学课件(华东师大)-坡度与坡角
h
坡度 (或坡比)，记作 i，即 i＝ l .坡度一般写成 1∶m 的形式．坡面
与水平面的夹角叫做 坡角 ，记作 α，有 i＝hl ＝ tanα α 就 越大 ，坡面就 越陡 ．
.坡度越大，坡角
1．下列对坡度的描述正确的是( B )
A．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数
B．坡度是指斜坡的铅垂高度与水平宽度的比
解：(1)∵FD∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡 AB 长 60 2米，D 是 AB 的中点，∴BD＝30 2米，∴DF＝BD·cos∠BDF＝30 2× 22＝30(米)， BF＝DF＝30 米．∵斜坡 BE 的坡比为 3∶1，∴BEFF＝ 13，∴EF＝10 3米， ∴DE＝DF－EF＝(30－10 3)米，∴休闲平台 DE 的长是(30－10 3)米； (2)设 GH＝x 米，则 MH＝GH－GM＝(x－30)米，DM＝AG＋AP＝33＋30 ＝63(米)，在 Rt△DMH 中，tan30°＝MDMH，即x－6330＝ 33，解得 x＝30＋21 3， ∴建筑物 GH 的高为(30＋21 3)米．
11．为邓小平诞辰 110 周年献礼，广安市政府 对城市建设进行了整改．如图，斜坡 AB 长 60 2 米，坡角(即∠BAC)为 45°，BC⊥AC，现计划 在斜坡中点 D 处挖去部分斜坡，修建一个平行 于水平线 CA 的休闲平台 DE 和一条新的斜坡 BE(下面两个小题结果都保留根号)． (1)若修建的斜坡 BE 的坡比为 3∶1，求休闲平台 DE 的长； (2)一座建筑物 GH 距离 A 点 33 米远(即 AG＝33 米)，小亮在 D 点测得建筑 物顶部 H 的仰角(即∠HDM)为 30°.点 B、C、A、G、H 在同一个平面内， 点 C、A、G 在同一条直线上，且 HG⊥CG，问建筑物 GH 高为多少米？
坡度坡角问题
1、斜坡的坡度为1：3 ，则坡角a=_____. 2、斜坡的坡角为60°，则坡比为______.
3、斜坡的坡长为10米，坡高为5米，则坡比为___， 坡角为______. 4、斜坡的坡度为1:3，斜坡长为100米，则斜坡的 高为______米。
【例1】如图所示，一段路基的横断面是梯形，高 为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面 的倾角分别是32°、28°，求路基下底的宽.(精确 到0.1米) 参考数据：tan32°≈0.6249， tan28°≈0.5317
D C
A
32 °
28 °
B
【例2】某商场为方便顾客使用购物车，准备将 滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图）． 如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯 水平宽度增加部分BC的长．
பைடு நூலகம்
【例3】如图，某防洪指挥部发现长江边一处长 500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤 （横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证， 防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用 土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡 EF的坡比i=1： 3 . （1）求加固后坝底增加的宽度AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？ （结果保留根号）
学习目标：
1、理解“坡角、坡比（坡度）”意义,掌握坡角、 坡比（坡度）间的关系 2、能根据直角三角形的知识解决与坡角、坡比 （坡度）有关的实际问题；
3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合、 抽象归纳的思想方法.
坡度、坡角
坡面的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡 度（或叫做坡比），一般用i表示．把坡面与 水平面的夹角α叫做坡角．
【2011•随州】如图，防洪大堤的横断面是梯形， 背水坡AB的坡比i=1： 3 ），且AB=20m．身高为 1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点 D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆 CD的髙度（结果保留三个有效数字， 3 ≈1.732）
24.4.3坡度、坡角问题课件
4.得到实际问题的答案.
课堂小结
3.
4.
P.121 12.； P123页13
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
D
12.51
C
28⁰
【分析】
4.2 A
32⁰
E 12.51 F
B
（1）对于梯形问题通常怎么做辅助线？把它转化成 什么问题？ （2）要求下底AB的长，可以分别求哪些线段的长？ （3）怎么求AE，BF？
变式训练：
如图，某地计划在河流的上游修建一条 拦水大坝。大坝的横断面ABCD是梯形， 坝顶宽BC=6米，坝高25m，迎水坡AB的坡 度 i=1： ，背水坡CD的坡角为450 求（1）求坡角α ; （2）求拦水大坝的底面AD的宽.
——坡度、坡角
裴营一初中 余超
学习目标
1、知道坡度、坡角的意义。 2、能将h、L、i各量的计算问题转化为 解直角三角形的问题，这些量中若已知 两个量，可求其他量. 3、会运用解直角三角形有关知识解决 与坡度、坡角有关的实际问题。 4、在有些实际问题中没有直角三角形， 学会添加辅助线构造直角三角形.
知识回顾
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； ； (2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: sinA＝ a b cosA＝ c a tanA＝ b Ａ Ｂ
解直角三角形----坡度、坡角问题
5 12
4.如下图，河堤的横断面中，堤高BC是5米，迎水斜坡 AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（ C ） A.1：3 B.1：2.6 C.1:）如图，一水库大坝的横断面为 梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡 AB的坡度 i1＝1∶3，斜坡CD的坡度 i 2＝1∶2．5．求： （1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0．1米）
——坡度坡角问题
1、理解坡角、坡度的概念；
2、运用解直角三角形有关知识解决与 坡角、坡度有关的实际问题； 3、注意数形结合的数学思想和方法。
阅读课本P115“读一读”，解决以下问题：
1、什么是坡角？
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
i= h : l
坡面
2、什么是坡度（坡比）？
α
h
水平面
1: 3 。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡度是_______
h α
L
坡度在日常生活中的应用也很广泛!
例 如图，一段路基的横断面是梯形，高 为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡 面与地面的倾角分别是32°和28°．求 路基下底的宽．（精确到0.1米）
例
如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米， 上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别 是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）
450
）m 3
AD AE EF FD
3）m
答：坝底宽AD为（10+4
米，斜坡AB的长为8米．斜坡CD的坡 角α为45°。
课堂检测 1.一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动 65 米，则物体升高 1 米． 了_____ 2.如下图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线 距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡 30° 的坡角为_____ ． 3.如上图，已知一商场自动扶梯的长为13米，高度h为5米， 自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值为_____
4.如下图，河堤的横断面中，堤高BC是5米，迎水斜坡 AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（ C ） A.1：3 B.1：2.6 C.1:）如图，一水库大坝的横断面为 梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡 AB的坡度 i1＝1∶3，斜坡CD的坡度 i 2＝1∶2．5．求： （1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0．1米）
——坡度坡角问题
1、理解坡角、坡度的概念；
2、运用解直角三角形有关知识解决与 坡角、坡度有关的实际问题； 3、注意数形结合的数学思想和方法。
阅读课本P115“读一读”，解决以下问题：
1、什么是坡角？
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
i= h : l
坡面
2、什么是坡度（坡比）？
α
h
水平面
1: 3 。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡度是_______
h α
L
坡度在日常生活中的应用也很广泛!
例 如图，一段路基的横断面是梯形，高 为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡 面与地面的倾角分别是32°和28°．求 路基下底的宽．（精确到0.1米）
例
如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米， 上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别 是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）
450
）m 3
AD AE EF FD
3）m
答：坝底宽AD为（10+4
米，斜坡AB的长为8米．斜坡CD的坡 角α为45°。
课堂检测 1.一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动 65 米，则物体升高 1 米． 了_____ 2.如下图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线 距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡 30° 的坡角为_____ ． 3.如上图，已知一商场自动扶梯的长为13米，高度h为5米， 自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值为_____
坡度与坡角
C
i=1:2.5
α
23
EF D
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和 矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结 合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△C的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
A
α
23
EF D
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高 23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度 i=1∶2.5，求：坝底AD与斜坡AB的长度。（精确
到0.1m ）
分析：（1）由坡度i会想到产
生铅直高度，即分别过点B、
C作AD的垂线。
A
6
i 1 : 3B
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h—
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值
显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：坝 底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
C.80sin 20m
D.80cos 20m
5、如图是一个拦水大坝的横断面图,AD∥BC, (1)如果斜坡AB=10m,大坝高为8m,则斜坡AB的 坡度 iAB ____ . (2)如果坡度 iAB 1: 3,则坡角B ____ .
(3)如果坡度 iAB 1: 2, AB 8m,则大坝高度为___.
直角三角形的应用 第3课时
坡度和坡度角
道路设计：坡度 角是道路设计中 重要的参数，用 于确定道路的倾 斜度和排水系统 的布置。
排水系统：坡度 决定了排水系统 的水流速度和流 向，坡度角的大 小影响排水沟的 设计和施工难度。
防洪排涝：在城 市排水设计中， 合理利用坡度和 坡度角，可以有 效地防止洪水、 内涝等自然灾害 的发生。
景观设计：在景 观设计中，可以 利用坡度和坡度 角的变化，创造 出优美的景观效 果，提高城市的 环境品质。
人为因素的影响
道路设计：道路的坡度与坡度角受到设计者的理念和习惯影响 施工方法：施工方法的选择会影响到坡度和坡度角的实现 维护管理：道路的维护和保养也会影响坡度和坡度角的变化 交通流量：交通流量的大小对坡度和坡度角的要求不同
感谢您的观看
汇报人：XX
坡度和坡度角的影响因素
第五章
地形地貌的影响
地形起伏：坡度的变化影响水流、土壤侵蚀等自然现象
坡度角大小：影响土壤的发育和植物生长，进而影响生态系统的结构和功能
地貌类型：不同的地貌类型对坡度和坡度角有不同的影响，如山地、平原、河流等 地形地貌的演变：地形地貌的长期变化会对坡度和坡度角产生影响，如河流的冲刷、 山地的抬升等
土木工程中的应用
道路设计：坡度角是道路设计中重要的参数，用于确定道路的排水和行车安全。
斜坡稳定性分析：坡度角的大小影响斜坡的稳定性，土木工程师需要根据坡度角的大 小进行斜坡稳定性分析。
土压力计算：在挡土墙设计中，坡度角是计算土压力的重要参数。
边坡防护：根据坡度角的大小，采取相应的边坡防护措施，如植草防护、挡土墙等。
土壤和地质的影响
土壤类型：不同类型的土壤对坡度和坡度角的影响不同，例如沙土和粘土的稳定性不同
土壤湿度：土壤湿度对土壤的承载能力和稳定性有影响，进而影响坡度和坡度角
解直角三角形(坡度和坡角)讲义
解直角三角形（坡度和坡角）一、知识点讲解1、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
2、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即 lh i =，坡度通常写成1∶m 的形式。
3、坡度与坡角的关系： αtan ==lh i 坡度等于坡角的正切值二、典例分析题型一：利用解直角三角形解决坡度、坡角问题例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i =1∶3，斜坡CD 的坡度i =1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度（精确到0.1m ）；（2）斜坡CD 的坡角α（精确到 1°）。
变式练习：1、如图，一人滑雪沿坡度为1：2斜坡滑下，下滑了距离s =100米，则此人下降的高度为（ ）A 、50米B 、350米C 、520米D 、550米第1题 第2题 第3题2、如图是人民广场到重百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、人发广场电梯口处地面的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约为25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是。
3、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH ∥BC ，坡角∠ABC ＝74°，坝顶到坝脚的距离AB ＝6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长(精确到0.1 m )．题型二：利用解直角三角形解决其它例2 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．第1题第2题2、小强和小明去测得一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处（A）用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔的高BE为。
21.5应用举例-坡度、坡角问题
h l sin
l1 α
h
图(3)
练习：
（1）一段坡面的坡角为60°，则坡度i=___3__;
（2）已知一段坡面上，铅直高度为 3 ，
坡面长为 2 3 ，
则坡度i＝___3____,坡角α＝__3_0___。
3
例1：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜 坡CD的坡度i= 1∶2.5， 求:斜坡AB的坡角α; 坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
例2:修建一条铁路要经过一座高山，需 在山腰B处开凿一条隧道BC。经测量，西 山坡的坡度i＝5:3，由山顶A观测到点C 的俯角为60°，AC的长为60m，如图所示， 试求隧道BC的长
A
B
C
巩固练习:
利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6 米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠 道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
复习
如图，在Rt△ABC中：∠C=90° (1)∠A=30°，AB=4，解这个直角三角形；
(2)tanA= 2 ， 求∠A的大小。
2
B
A
C
导入
如图，有三个斜坡，其坡面与水平面的夹 角分别为α、β、γ，且α>β>γ，观察三个斜 坡的情况。
α
β
γ
探究
如图是某一大坝的横断面：
(1)坡面AB的垂直高度与水平
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形， 或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
3．选择合适的边角度进行计算， 并按照题目中要求的精确度确定答 案以及注明单位．
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积； ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
解直角三角形坡度、坡角
15:51
问题五: 如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽 BC为6m，堤高为3.2m，为了提高海堤的拦水能力， : : 需要将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡 CD的坡度也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改 成i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。 (1)求加高后的堤底HD的长。 (2)求增加部分的横断面积 (3)设大堤长为1000米，需多少方土加上去？ (4)若每方土300元，计划准备多少资金付给民工？
M 6m E 2m B 6m 3.2m
C
H
15:51
A
D
M M
H
6m 6m E E 2m 6m B C B C 5.2m 5.2m 6m 3.2m 3.2m 3.2m
图①
A A
N
G
F
H
D D D
图②Βιβλιοθήκη 15:51图③(1): 从图③中,你能求得这个横断面哪些量? 图②呢? 求堤底 HD的长与图 ③有关吗? 从图②中如何求出HD的长. 解:HD=HN+NF+DF=13+6+10.4=29.4(m) 答:加高后的堤底HD的长是29.4米 (2): 如何求增加部分的面积?直接能求图① 中阴影部分的面积吗?那么增加部分的 面积与什么图形的面积有关?
达标检测
15:51
∴AE=1.5×0.6=0.9(米)． ∵等腰梯形ABCD， ∴FD=AE=0.9(米)． ∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．
2
总土方数=截面积×渠长 =0.8×100=80(米3)． 答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为 100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．
导入示标
自学教材P115,回答问题：什么叫坡度、坡角？
问题五: 如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽 BC为6m，堤高为3.2m，为了提高海堤的拦水能力， : : 需要将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡 CD的坡度也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改 成i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。 (1)求加高后的堤底HD的长。 (2)求增加部分的横断面积 (3)设大堤长为1000米，需多少方土加上去？ (4)若每方土300元，计划准备多少资金付给民工？
M 6m E 2m B 6m 3.2m
C
H
15:51
A
D
M M
H
6m 6m E E 2m 6m B C B C 5.2m 5.2m 6m 3.2m 3.2m 3.2m
图①
A A
N
G
F
H
D D D
图②Βιβλιοθήκη 15:51图③(1): 从图③中,你能求得这个横断面哪些量? 图②呢? 求堤底 HD的长与图 ③有关吗? 从图②中如何求出HD的长. 解:HD=HN+NF+DF=13+6+10.4=29.4(m) 答:加高后的堤底HD的长是29.4米 (2): 如何求增加部分的面积?直接能求图① 中阴影部分的面积吗?那么增加部分的 面积与什么图形的面积有关?
达标检测
15:51
∴AE=1.5×0.6=0.9(米)． ∵等腰梯形ABCD， ∴FD=AE=0.9(米)． ∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．
2
总土方数=截面积×渠长 =0.8×100=80(米3)． 答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为 100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．
导入示标
自学教材P115,回答问题：什么叫坡度、坡角？
坡度和角度换算方法
坡度和角度换算方法一、坡度计算公式：1、百分比法表示坡度最为常用的方法，即两点高程差与其路程的百分比，其计算公式如下：坡度= (高程差/路程)x100%2、度数法用度数来表示坡度，利用反三角函数计算而得，其公式如下：tanα(坡度)= 高程差/路程二、角度计算公式角度和弧度关系是：2π弧度=360°。
从而1°≈0.0174533弧度，1弧度≈57.29578°。
1、角度转换为弧度公式：弧度=角度×(π÷180 )2、弧度转换为角度公式：角度=弧度×（180÷π）扩展资料依据国际地理学联合会地貌调查与地貌制图委员会关于地貌详图应用的坡地分类来划分坡度等级，规定：0°～0.5°为平原，>0.5°～2°为微斜坡，>2°～5°为缓斜坡，>5°～15°为斜坡，>15°～35°为陡坡，>35°～55°为峭坡，>55°～90°为垂直壁。
中国大陆规定>25°不能耕种。
西北黄土高原地区15°和25°分别为坡面流水面状侵蚀的下限和上限临界坡角。
在实际应用中，整数的角度已经够精准。
当需要更准确的角度值时，如天文学中量度星体或地球的经度和纬度，除了可用小数表示，还可以把角度细分为角分和角秒：1度为60分（60′），1分为60秒（60″）。
例如40.1875°= 40°11′15″。
要再准确一点的话，便用小数表示角秒，不再加设单位。
度为最常用的单位，其他单位与特定行业要求相关。
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h L α课题： 解直角三角形的应用三
学习目标：
1、 知道坡角、坡比（坡度）的意义.
2、能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题
自学自探：
认真看课本第115页到第116页，注意理解坡角、坡度的意义及它们的关系，例题的解题格式。
自学检测：
1、坡面的铅垂高度（h ）与水平宽度（L ）的比叫做 （或 ），记作,i 即L h i =. 坡度通常写成 的形式.
2、坡面与水平面的夹角叫做 ,记作α.
3、坡度与坡角的关系：
根据定义，你能用坡度来刻画斜坡的倾斜、即陡的程度吗？
答：
4、斜坡的坡度是
，则坡角α=______度
5、斜坡的坡角是450 ，则坡度是 _______
6、斜坡长是12米，坡高6米，则坡度是_______
7、某人沿坡度为i=120m ，则该人升高了 8、水库拦水坝的横断面为梯形ABCD ，背水坡CD 的坡比i=1，•已知背水坡的坡长CD=24m ，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度．
教师点拨：
理解坡度坡角的概念，在复杂图形中求解时要结合图形，理解题意，运用所学知识通过构造直角三角形求解。
3:1
当堂检测
1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，•要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么
相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（•≈1.73）2、如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡
AB的长为_______米．
3.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了米．
4.（2015•四川广安）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为i FC=1：10（即EF：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα=，升旗台高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．。