工程力学第五章：重心及形心
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重心与形心
Biblioteka 力系的平衡\重心与形心 目录
力系的平衡\重心与形心 3. 分割法 某些形状较为复杂的均质物体常可看成为几个简单物体的组合，
这些简单物体的重心位置均为已知，于是可利用重心坐标公式求得 该物体重心的位置。
【例3.14】 试求图示T形截面的形心位置。
目录
力系的平衡\重心与形心
【解】 建立坐标系Oxy，由于截面关
目录
力系的平衡\重心与形心
4. 实验法
形状复杂或质量分布不均匀的物体，要通过计算来确定它们重 心的位置是比较困难的，这时可采用实验的方法测定其重心的位置。 常用的方法有：
1) 悬挂法。 对于平板形物体或具有对称面的 薄零件，可将该物体（或取一均质板 按一定比例做成模拟用的截面）用线 悬挂在任一点A，根据二力平衡条件， 重心必在过悬挂点A的铅垂线上，标出 此线如图(a)所示。然后再将它悬挂在 任意点B，标出另一铅垂线如图(b)所示。 这两条铅垂线的交点就是该物体 的重心。有时可再作第三次悬挂用来校验。
xC
Wi xi W
， yC
Wi yi ， W
zC
Wi zi W
目录
力系的平衡\重心与形心
1.3 形心和静矩的概念
对于均质物体，若用表示物体每单位容积的重量，Vi表示各微 小部分的体积，V表示整个物体的体积，则Wi=Vi以及 W=ΣWi=ΣVi=V， 代入重心坐标公式，得
xC
xiVi ， V
于y轴对称，形心C必在y轴上，故xC=0。 为了求出yC，将T形截面分割为Ⅰ、Ⅱ两 个矩形，它们的面积和形心坐标分
矩形Ⅰ： A1=13500mm2，y1=165mm 矩形Ⅱ： A2=9000mm2 ， y2=15mm 由形心坐标公式得
力系的平衡\重心与形心 3. 分割法 某些形状较为复杂的均质物体常可看成为几个简单物体的组合，
这些简单物体的重心位置均为已知，于是可利用重心坐标公式求得 该物体重心的位置。
【例3.14】 试求图示T形截面的形心位置。
目录
力系的平衡\重心与形心
【解】 建立坐标系Oxy，由于截面关
目录
力系的平衡\重心与形心
4. 实验法
形状复杂或质量分布不均匀的物体，要通过计算来确定它们重 心的位置是比较困难的，这时可采用实验的方法测定其重心的位置。 常用的方法有：
1) 悬挂法。 对于平板形物体或具有对称面的 薄零件，可将该物体（或取一均质板 按一定比例做成模拟用的截面）用线 悬挂在任一点A，根据二力平衡条件， 重心必在过悬挂点A的铅垂线上，标出 此线如图(a)所示。然后再将它悬挂在 任意点B，标出另一铅垂线如图(b)所示。 这两条铅垂线的交点就是该物体 的重心。有时可再作第三次悬挂用来校验。
xC
Wi xi W
， yC
Wi yi ， W
zC
Wi zi W
目录
力系的平衡\重心与形心
1.3 形心和静矩的概念
对于均质物体，若用表示物体每单位容积的重量，Vi表示各微 小部分的体积，V表示整个物体的体积，则Wi=Vi以及 W=ΣWi=ΣVi=V， 代入重心坐标公式，得
xC
xiVi ， V
于y轴对称，形心C必在y轴上，故xC=0。 为了求出yC，将T形截面分割为Ⅰ、Ⅱ两 个矩形，它们的面积和形心坐标分
矩形Ⅰ： A1=13500mm2，y1=165mm 矩形Ⅱ： A2=9000mm2 ， y2=15mm 由形心坐标公式得
大学工程力学重点知识点总结—期末考试、考研必备!!
工程力学重点总结—期末考试、考研必备！！第一章静力学的基本概念和公理受力图一、刚体P2刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。
力的三要素：大小、方向、作用点。
平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。
二、静力学公理1、力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。
2、二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。
3、加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。
（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
4、作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。
5、刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。
三、约束和约束反力1、柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体。
2、光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力。
3、光滑圆柱铰链约束：①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定。
4、链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。
第5章重心和形心ppt课件
用“称重法”确定其重心坐标。
为此，在B处放一垫子，在A处 放一秤。当机床水平放置时，A
y x A
处秤上读数为1750N，当θ=20º
时秤上的读数为1500 N。试算出 机床重心的坐标 ( x c , y c ) 。
x C Px
i i
o x
y
P
工程力学电子教案
同理有
y C
P y
i
i
P
为确定 zC ，将坐标系连同物体绕y轴转90º，使重力与 x轴平行，得
z
z C
Pz
i
i
P
O x
ΔP1
C1 C Ci P ΔPi y
2. 均质物体的重心坐标公式 这时物体容重g 是常量，则
z1 zC zi x1 y1 xC xi yC yi
= 64.5 mm
x
另一种解法： 负面积法
将截面看成是从200mm×150mm 的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部
y
20
分）而得到，从而
A1 = 200×150= 30000 mm2
200 1 O 150 20 x
工程力学电子教案
y
x1= 75 mm,
y1= 100 mm
200
20
A2= -180×130 = -23400 mm2 x2= 85 mm, 故 xC = 30000×75 - 23400×85 30000 - 23400 30000×100 - 23400×110 30000 - 23400 y2= 110 mm
y 20 y 20 200 1 150 (a)
200 20
x O
O
2 150
20 x
(b)
《工程力学》课程教学大纲
《工程力学》课程教学大纲一、教学目标本课程是新能源科学与工程专业的学科教育平台课程。
工程力学是研究物体机械运动规律以及构件强度、刚度和稳定性等计算原理的科学。
本课程既具有基础性，即为后续课程的学习提供必要的力学知识与分析计算能力；又具有很强的工程应用性，即它为协调新能源技术类的风力发电设备以及光伏发电设备等的安全性和经济性矛盾提供了科学的解决方法。
它集理论与实践于一体，是工程技术人员必修的一门课程，该课程的开设符合应用型本科教育以就业为导向，以能力为本位的教学定位。
通过本课程的学习，学生会初步学会应用静力学的理论和方法去分析和处理力学模型，并应用强度、刚度、稳定性的知识，解决一些简单的工程实际问题；培养用力学的方法提出问题、分析问题、解决问题的能力。
分项教学目标如下（1）知识目标使学生能把简单的工程实际物体抽象为力学模型，并能从简单的物体系统中恰当地选取研究对象，熟练地画出受力图；能熟练运用截面法分析杆件的内力，并能画出内力图；掌握静定杆件在基本变形情况下的应力计算，能对杆件进行强度验算；能对压杆进行稳定性的校核和设计。
（2）能力目标具备对风力发电系统或者光伏发电系统中的具体构件进行简单设计的能力。
（3）素质目标具有良好的工程意识、质量意识与社会责任意识。
三、学时安排课程内容与学时分配表四、课程教学内容与基本要求第一章静力学公理和物体的受力分析教学目的与要求：通过本章的学习，使学生理解静力学所涉及的基本概念、公式及几种典型的约束及其约束性质和约束反力。
掌握物体受力分析，会画受力图。
主要知识点：1.力的基本概念2.力的基本运算3.约束与约束力4.物体的受力分析、受力图教学重点：各种约束反力的画法教学难点：物体的受力分析和受力图教学方法：举例、讲授、板演第二章平面力系教学目的与要求：通过本章学习，通过本章的学习，使学生掌握平面任意力系的简化及简化结果，深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程；并能正确计算考虑摩擦时的平衡问题。
《重心和形心》课件
重心在实际生活中的应用
平衡与稳定性
在建筑、机械、交通等领域中，重心位置的计算对于保证物体的稳定性和安全性至关重要 。例如，在桥梁设计中，需要计算桥墩的重心位置，以确保桥墩心位置的计算对于分析物体的运动规律和受力情况非常重要。例 如，在研究物体的平动和转动时，需要计算物体的重心位置。
03
重心和形心都是物体质量的中心点。
重心是物体质量分布的等效点，而形心是物体几何形 状的中心点。
在形状规则、质量分布均匀的物体中，重心和形心通 常是重合的。
区别
重心是质量分布的等效点，其 位置取决于物体的质量分布， 而形心是几何形状的中心点， 其位置取决于物体的几何形状 。
重心的质量分布是均匀的，而 形心的质量分布不一定均匀。
质量分布
在生产制造和质量控制中，通过测量和计算物体的重心位置，可以了解物体的质量分布情 况，从而对产品质量进行控制和检测。例如，在制造汽车时，需要测量和计算车身的重心 位置，以确保车辆的稳定性和安全性。
03
形心
定义与性质
定义
形心是二维封闭图形或三维封闭物体 上所有点组成的集合的重心。
性质
形心是唯一的，且只与图形的形状和 大小有关，与图形的位置无关。
为什么学习重心和形心
实际应用
重心和形心在日常生活和工程中有着 广泛的应用，例如建筑结构的稳定性 分析、物体的平衡和稳定性研究等。
理论意义
重心和形心是数学中重要的概念，对 于理解力学、几何学等领域的基础理 论具有重要意义。
02
重心
定义与性质
定义
物体的重心是物体各部分所受重力的合力的作用点。在质量分布均匀、形状规 则的物体中，重心就是其几何中心。
结构分析
在建筑和机械设计中，形心对 于分析结构的强度、刚度和稳 定性非常重要。例如，在分析 梁的弯曲时，需要考虑梁的形 心位置和截面的惯性矩。
工程力学第五章
第5章 轴向拉伸与压缩
工程力学第五章
5.1 材料力学基础
5.1.1 材料力学的任务
机械及工程结构中的基本组成部分，统称为 构件。
为了保证构件正常工作，每一构件都要有足 够的承受载荷作用的能力，简称为承载能力。
工程力学第五章
构件的承载能力，通常由下列三个方面来衡 量：
(1)强度。构件抵抗破坏的能力叫作强度。
分布的密集程度(简称集度)较大造成的。由此
可见，内力的集度是判断构件强度的一个重
要物理量。通常将截面上内力的集度称为应
力。
工程力学第五章
工程力学第五章
应力的单位是帕斯卡(Pascal)(国际单位)， 简称帕(Pa)。1Pa=1N/m2。由于帕斯卡这 一单位太小,工程中常用兆帕(ΜΡa)或吉帕 ( GΡa)作为应力单位。 1MPa=106Pa=106N/m2；1G Ρa=109 Ρa。
5.3.3 斜截面上的应力分析
由截面法求得斜截面上的轴力，
工程力学第五章
依照横截面上正应力分布的推理方法，可得 斜截面上应力 也是均匀分布的，其值为
工程力学第五章
式中 ——斜截面面积。 若横截面面积为A，则
工程力学第五章
5.2 轴向拉伸和压缩
5.2.1 拉伸和压缩的概念
拉伸和压缩是指直杆在两端受到沿轴线作用 的拉力或压力而产生的变形。
杆件的受力特点是：作用在杆端各外力的合 力作用线与杆件轴线重合
变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短
工程力学第五章
5.2.2 拉压杆的内力
5.2.2.1 内力的概念
材料力学中所说的内力，则是指构件受到外 力作用时所引起的构件内部各质点之间相互 作用力的改变量，称为“附加内力”。材料 力学所研究的这种附加内力，以后均简称为 内力。
工程力学第五章
5.1 材料力学基础
5.1.1 材料力学的任务
机械及工程结构中的基本组成部分，统称为 构件。
为了保证构件正常工作，每一构件都要有足 够的承受载荷作用的能力，简称为承载能力。
工程力学第五章
构件的承载能力，通常由下列三个方面来衡 量：
(1)强度。构件抵抗破坏的能力叫作强度。
分布的密集程度(简称集度)较大造成的。由此
可见，内力的集度是判断构件强度的一个重
要物理量。通常将截面上内力的集度称为应
力。
工程力学第五章
工程力学第五章
应力的单位是帕斯卡(Pascal)(国际单位)， 简称帕(Pa)。1Pa=1N/m2。由于帕斯卡这 一单位太小,工程中常用兆帕(ΜΡa)或吉帕 ( GΡa)作为应力单位。 1MPa=106Pa=106N/m2；1G Ρa=109 Ρa。
5.3.3 斜截面上的应力分析
由截面法求得斜截面上的轴力，
工程力学第五章
依照横截面上正应力分布的推理方法，可得 斜截面上应力 也是均匀分布的，其值为
工程力学第五章
式中 ——斜截面面积。 若横截面面积为A，则
工程力学第五章
5.2 轴向拉伸和压缩
5.2.1 拉伸和压缩的概念
拉伸和压缩是指直杆在两端受到沿轴线作用 的拉力或压力而产生的变形。
杆件的受力特点是：作用在杆端各外力的合 力作用线与杆件轴线重合
变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短
工程力学第五章
5.2.2 拉压杆的内力
5.2.2.1 内力的概念
材料力学中所说的内力，则是指构件受到外 力作用时所引起的构件内部各质点之间相互 作用力的改变量，称为“附加内力”。材料 力学所研究的这种附加内力，以后均简称为 内力。
第5章重心和形心
工程力学教程电子教案
例题 6-2
静力学专题
21
作一截面m-m将三杆截断，取左 边部分为分离体，作其受力图。
由平衡方程
Fx 0,
FCD FAx FKE FCE cos 45 0
Fy 0, FAy FC FCEsin 45 0 MC F 0, FKE a FAy a 0
cos fs sin
cos fs sin
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静力学专题
48
用几何法求解
解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
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静力学专题
49
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan( )
P tan( ) F P tan( )
30
思考题6-3参考答案：
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静力学专题
31
§6-2 摩擦
摩擦
滑动摩擦 滚动摩擦
静滑动摩擦 动滑动摩擦
静滚动摩擦 动滚动摩擦
摩擦
干摩擦 湿摩
擦
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静力学专题
32
一、滑动摩擦
Fx 0 FT FS 0 FS FT
静滑动摩擦力的特点
方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向；
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静力学专题
8
6.1.2 模型的建立
1. 屋架结构的简化
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静力学专题
9
2. 桁架简化的几个假设
(1) 各杆在节点处用光滑的铰链连接； (2) 各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； (3) 所有外力（主动力及支座约束力）都作用在
工程力学第五章 空间力系(2)
l l l
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O
2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小 体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O
2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小 体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )
《重心和形心》课件
重心和形心
在这份PPT课件中，我们将探讨重心和形心的概念、计算方法以及应用。这 两个概念不仅在物理领域中扮演关键角色，也在各个设计和优化领域中发挥 作用。
什么是重心和形心？
1 重心
物体所受重力的集中点，也是物体平衡的关键点。
2 形心
物体所有小部分形状、质量加权后得到的点，也是物体对应的简化物体的重心。
形心
• 物体质心位移估计 • 物流、仓储布局优化 • 结构设计优化
总结
1 重心和形心的重要
性
重心和形心都是描述物 体重量分布的重要点。
2 计算重心和形心要
考虑的因素
计算重心和形心需要应用
范围
重心和形心的应用涉及 到各个领域的设计和优 化。
如何计算重心和形心？
1 重心
2 形心
若物体均匀，则重心位于物体中心。若物 体不均匀，则可以通过挂钟实验或测量法 计算重心位置。
若物体有规则形状，则可以使用公式计算 形心位置。若物体没有规则形状，则可以 通过分割成若干个规则形状再计算每个形 状的形心位置后加权平均得到。
重心和形心的应用
重心
• 汽车平衡设计 • 物体挂钩位置确定 • 反击点位置确定
在这份PPT课件中，我们将探讨重心和形心的概念、计算方法以及应用。这 两个概念不仅在物理领域中扮演关键角色，也在各个设计和优化领域中发挥 作用。
什么是重心和形心？
1 重心
物体所受重力的集中点，也是物体平衡的关键点。
2 形心
物体所有小部分形状、质量加权后得到的点，也是物体对应的简化物体的重心。
形心
• 物体质心位移估计 • 物流、仓储布局优化 • 结构设计优化
总结
1 重心和形心的重要
性
重心和形心都是描述物 体重量分布的重要点。
2 计算重心和形心要
考虑的因素
计算重心和形心需要应用
范围
重心和形心的应用涉及 到各个领域的设计和优 化。
如何计算重心和形心？
1 重心
2 形心
若物体均匀，则重心位于物体中心。若物 体不均匀，则可以通过挂钟实验或测量法 计算重心位置。
若物体有规则形状，则可以使用公式计算 形心位置。若物体没有规则形状，则可以 通过分割成若干个规则形状再计算每个形 状的形心位置后加权平均得到。
重心和形心的应用
重心
• 汽车平衡设计 • 物体挂钩位置确定 • 反击点位置确定
第5章空间力系、重心和形心
r F2
)
工程力学电子教案
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一 与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
=
=
F1 F1 F2
=
=
F2 F3 F3
工程力学电子教案
力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
工程力学电子教案
300
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
M y Miy M 2 80N m M z Miz M1 M4 sin 45o M5 sin 45o 193.1N m
工程力学电子教案
例5-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于 z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解：取整体为研究对象，主动力为 两个力偶，由于力偶只能用力偶来 平衡，轴承A、B处的约束力也应形 成力偶，故受力图如图所示。
(rrA
rrB )
r F
r M
工程力学电子教案
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体 的作用效果不变。
=
=
=
r M
r (FR
,
r FR
重心及截面的几何性质-工程力学-课件-附录
Sy 0
C
形心 x
反之，若图形对某轴静矩为零，该轴一定过形心。 2、平面图形若有对称轴，则形心在对称轴上。 （因为图形关于对称轴的静矩为 0。）
O
5
三、组合图形（组合截面）的静矩与形心
1．组合图形： 由简单图形(矩形、圆形等）组合而成的图形。
2．组合图形的静矩： 组合图形由A1、A2、An组成，其形心分别为（xC1，yC1） （xC2，yC2） （xCn，yCn）。
A A1 A2 An
i 1
n
组合截面的惯性矩等于各个组成部分（简单图形）对同一轴的 惯性矩之和。 对于任意截面，都可以利用积分求惯性矩。但计算繁琐。 由于组合截面由几个简单图形组成，如矩形，圆形。而矩形、 圆形关于自身对称轴的惯性矩已有现成公式，可以在此基础上用平 行移轴定理很方便的求出组合截面的惯性矩。
1
附录：重心及截面的几何性质
z C
§1
C2 C1 ∆W2 Ci ∆Wi W zC yC xC zi xi
重心•形心•静矩
利用合力矩定理： M y (W ) M y ( Wi ) W xC W i x i
∆W1
y
W 若物体在xi、yi、zi处单位体积的重
量为 ，称为重度。 ∆Wi=dVi
xc
x W
i
i
x
yi
xc
对于均质物体 为常量：
V
x dV
V
dV
yc
V
y dV
V
dV
y dV V
zc
V
z dV
V
dV
xc
x dV
C
形心 x
反之，若图形对某轴静矩为零，该轴一定过形心。 2、平面图形若有对称轴，则形心在对称轴上。 （因为图形关于对称轴的静矩为 0。）
O
5
三、组合图形（组合截面）的静矩与形心
1．组合图形： 由简单图形(矩形、圆形等）组合而成的图形。
2．组合图形的静矩： 组合图形由A1、A2、An组成，其形心分别为（xC1，yC1） （xC2，yC2） （xCn，yCn）。
A A1 A2 An
i 1
n
组合截面的惯性矩等于各个组成部分（简单图形）对同一轴的 惯性矩之和。 对于任意截面，都可以利用积分求惯性矩。但计算繁琐。 由于组合截面由几个简单图形组成，如矩形，圆形。而矩形、 圆形关于自身对称轴的惯性矩已有现成公式，可以在此基础上用平 行移轴定理很方便的求出组合截面的惯性矩。
1
附录：重心及截面的几何性质
z C
§1
C2 C1 ∆W2 Ci ∆Wi W zC yC xC zi xi
重心•形心•静矩
利用合力矩定理： M y (W ) M y ( Wi ) W xC W i x i
∆W1
y
W 若物体在xi、yi、zi处单位体积的重
量为 ，称为重度。 ∆Wi=dVi
xc
x W
i
i
x
yi
xc
对于均质物体 为常量：
V
x dV
V
dV
yc
V
y dV
V
dV
y dV V
zc
V
z dV
V
dV
xc
x dV
重心和形心
工程力学
重心和形心
1.1 平行力系的中心
平行力系是工程实际中较常见的一种力系，如风对建筑 物的压力，物体受到的地球引力，水对堤坝的压力等。在研 究这类问题时需要确定力系的合力及其作用点的位置。
在力学中，平行力系合力的作用点称为平行力系的中心。 可以证明，平行力系的中心的位置只与力系中各力的大小和 作用点的位置有关，与各力的方向无关，因此，当保持各力 的大小和作用点不变时，各力绕其作用点往相同的方向转过 相同的角度，力系的中心位置不变。
重心和形心
重心和形心
重心和形心
【例2-4】
图2-12
重心和形心
【解】图2-12中的阴影部分是一个比较复杂的图形， 为了计算的方便，可将其看成是由两个半圆形图形组合后 再从中挖掉一个圆。建立图示的坐标系，利用组合法求出 形心。
（1）分别确定三部分的形心在对应坐标系中的坐标 及图形的面积。
重心和形心
重心和形心
2. 组合法（分割法
）
当均质物体是由几个简单规则形状 的物体组合而成的，而且这几个简单形 状的物体的重心已知或容易确定，就可 将物体看成是由这几个规则形状的物体 构成，直接应用1.2和1.3中的公式求出 物体的重心或形心。
3. 实验法
重心和形心
在实际问题中，有许多物体的形状不规则或是非均质的， 用上述方法求重心非常麻烦或无法确定，就只有采用实验的 方法来确定其重心。
（2）求出截面形心位置坐标。
工程力学
重心和形心
如图2-11所示，设某物体总重为G，将其分成若干个 小微元体，第i个微元体的重力为ΔGi，在直角坐标系中其 重心位置坐标为Cixi，yi，zi，而该物体的重心坐标为CxC， yC，zC，分别将物体的总重G及微元体的重力ΔGi对坐标轴 取矩，根据合力矩定理，导出重心坐标公式为
重心和形心
1.1 平行力系的中心
平行力系是工程实际中较常见的一种力系，如风对建筑 物的压力，物体受到的地球引力，水对堤坝的压力等。在研 究这类问题时需要确定力系的合力及其作用点的位置。
在力学中，平行力系合力的作用点称为平行力系的中心。 可以证明，平行力系的中心的位置只与力系中各力的大小和 作用点的位置有关，与各力的方向无关，因此，当保持各力 的大小和作用点不变时，各力绕其作用点往相同的方向转过 相同的角度，力系的中心位置不变。
重心和形心
重心和形心
重心和形心
【例2-4】
图2-12
重心和形心
【解】图2-12中的阴影部分是一个比较复杂的图形， 为了计算的方便，可将其看成是由两个半圆形图形组合后 再从中挖掉一个圆。建立图示的坐标系，利用组合法求出 形心。
（1）分别确定三部分的形心在对应坐标系中的坐标 及图形的面积。
重心和形心
重心和形心
2. 组合法（分割法
）
当均质物体是由几个简单规则形状 的物体组合而成的，而且这几个简单形 状的物体的重心已知或容易确定，就可 将物体看成是由这几个规则形状的物体 构成，直接应用1.2和1.3中的公式求出 物体的重心或形心。
3. 实验法
重心和形心
在实际问题中，有许多物体的形状不规则或是非均质的， 用上述方法求重心非常麻烦或无法确定，就只有采用实验的 方法来确定其重心。
（2）求出截面形心位置坐标。
工程力学
重心和形心
如图2-11所示，设某物体总重为G，将其分成若干个 小微元体，第i个微元体的重力为ΔGi，在直角坐标系中其 重心位置坐标为Cixi，yi，zi，而该物体的重心坐标为CxC， yC，zC，分别将物体的总重G及微元体的重力ΔGi对坐标轴 取矩，根据合力矩定理，导出重心坐标公式为
第5章重心和形心
用坐标法计算物体的理论根据就是前面讲过的合 力矩定理。把理想的物体分割成形状基本规则的 几部分，先求出分割后得每一部分得重力和重心， 然后利用合力矩定理求出整个物体的重心。
重心坐标的一般公式
Gx xC G Gy yC G
第二节 形心
匀质 形心的概念 形心计算公式
物体有一定的几何形状，存在一个几何中心， 称为物体的形心．
对质量均匀的物体，其重心和形心是重合的．
形心的计算公式
匀质体常用形心计算公式（也可做为重心 计算公式） Ax xC A Ay yC A Az zC A
具有对称轴的简单形状物体的形心，可从工程手 册中查得。
20
x
30000×75 - 23400×85 xC = 30000 - 23400
30000×100 - 23400×110 yC = 30000 - 23400 两种方法的结果相同。
= 39.5 mm
= 64.5 mm
复习和作业
重心和形心的概念来自重心和形心的坐标公式第一节 重心
什么是重心？
G1
G G2
把物体看成由许多微小体 组成得，则无体内每一微 小体积都要受地球引力， 合力的作用点就是物体的 重心。合力：
G Gi
二、重心的求法
1．观察法
球的重心在球心
长方体的重心在对称轴的中点
工程力学教程电子教案
第6章 重心和形心
‹#›
A
B
.
B A C
（组合法）
20
Ⅱ
将截面看成是从200mm×150mm的 大矩形Ⅰ中挖去图中的小矩形Ⅱ （虚线部分）而得到，从而
工程力学第5章重心和形心
边长为a的均质等厚正方形板 ABCD，被截去等 腰三角形AEB。试求点E的极限位置 ymax以保证剩余 部分AEBCD的重心仍在该部分范围内。
y
D
a
C
a
E A
ymax
B
x
工程力学教程电子教案
重心和形心
21
例题 5-3
解：分两部分考虑
xC =
a 2
极限位置 yC= ymax
Ⅰ： A1 a ymax / 2
则
Sx
y
A
dA
R
2y 0
R2
y2
d
y
2 (R2 3
3
y2)2
|
R 0
2 3
R3
工程力学教程电子教案
重心和形心
13
例题 5-1
代入公式有
yC
y
A
d A Sx
4
R
A
A 3π
y
C
.O
x
2R
工程力学教程电子教案
重心和形心
14
2. 组合法
当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每
线上将有一确定的点C,当原力系各力的大小和作用点
保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则
合力也绕C点转过同一角度。 C点称为平行力系的中
心。对重力来说，则为重心。 z
重心的位置对于物体的
相对位置是确定的,与物体在 空间的位置无关。
x
C1
C Ci
P
o
Δz1P1
zC
ΔPi zi
y1 yyiC x1 xC
11
若为平面图形，则
x dA
y
D
a
C
a
E A
ymax
B
x
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重心和形心
21
例题 5-3
解：分两部分考虑
xC =
a 2
极限位置 yC= ymax
Ⅰ： A1 a ymax / 2
则
Sx
y
A
dA
R
2y 0
R2
y2
d
y
2 (R2 3
3
y2)2
|
R 0
2 3
R3
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重心和形心
13
例题 5-1
代入公式有
yC
y
A
d A Sx
4
R
A
A 3π
y
C
.O
x
2R
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重心和形心
14
2. 组合法
当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每
线上将有一确定的点C,当原力系各力的大小和作用点
保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则
合力也绕C点转过同一角度。 C点称为平行力系的中
心。对重力来说，则为重心。 z
重心的位置对于物体的
相对位置是确定的,与物体在 空间的位置无关。
x
C1
C Ci
P
o
Δz1P1
zC
ΔPi zi
y1 yyiC x1 xC
11
若为平面图形，则
x dA
工程力学第5节 物体的重心
L ydL L yC L zdL L zC L
xdL L xC
二、确定物体重心的几种方法
1、对称法 对于具有对称轴、对称面或对称中心的匀质物 体，可以利用其对称性确定重心位置。可以证明这 种物体的重心必在对称轴、对称面或对称中心上。 例：圆球体或球面的重心在球心，圆柱体的重 心在轴线中点，圆周的重心在圆心，等腰三角形的 重心在垂直于底边的中线上。 2、积分法 对于具有某种规律的规则形体，可以根据重心 计算公式，利用积分方法求出形体的重心。表2-1
n
A
式中A——是整个面积体的面积。
例4-11 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心 的位置。 解 取 Oxy 坐标系如图 所示，角钢截面可分为两个 矩形。两矩形的形心位置C1 和C2分别处于矩形对角线的 交点，坐标分别为：
x1 15mm
y1 150mm
225 30 x2 (30 )mm 2 x2 127.5mm y2 15mm
Ai yi
A
4、负面积法
形体组合法的推广
如果在规则形体上切去一部分，例如钻孔或开槽 等。当求这类形体的形心时，首先认为原形体是完整 的形体，然后把切去的部分视为负面积，运用公式求 出形心。 例2-12 已知振动器上用 的偏心块为等厚度的匀质形 体，如图所示。其上有半径 为 r2 的圆孔。偏心块的几何 尺寸R=120mm，r1=35mm， r2=15mm。试求偏心块形心 的位置。
xC
Gi xi
i 1 n
n
Gi
i 1
; yC
Gi yi
i 1 n
n
Gi
i 1
; zC
Gi zi
i 1 n
n
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Wi
W x
i i
yC
y
W Wi yi
zi xC xi
zC
zC
W Wi zi W
yC
x
有影响，可使物体
被分割成任意个部分进行计算。通常，对均质连续的物体 通常对物体在极限情况下 (n-∞)进行分割， 此时重心坐标 公式转化成积分形式。
2 R sin 3
y
R
2 C
x
扇形形心为
xC 2 R sin 3
y
当α为90°时，扇形为半圆
R C
x
xC
2 R sin
2 4R 3 3 2
对这类常用的简单几何图形和均质物体的重心或形心位置，均 可采用积分法进行求解。也可直接查询工程手册的形心表。
常 见 平 面 图 形 的 形 心 公 式 表
C
C
C
2. 积分法
例2：求半径为R，顶角为2 的扇形的形心。
如图所示建立参考直角坐标系，x为对称轴 yC 0
y
微元部分的面积为:
A
d
1 1 2 dA dL R R d 2 2
dA
O
C
B
扇形形心为
2 微元部分的形心坐标：x R cos 3 2 1 2 xdA R cos R d 3 2 A x x C 2 A R 2 2 1 3 R cos d 3 R 2 sin 2 R 3
M z ( FR ) M z ( F1 ) M z ( F2 ) M z ( Fn ) M z ( Fi )
即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有 分力对同一轴的矩的代数和。
当力臂难以判定，可利用合力矩定理来进行力对轴之
矩的求解。
例1： 在直角弯杆的C端作用 着力F， 试求这力对三个坐标 轴的矩。已知 OA =a = 6 m， AB=b=4 m，BC=c=3 m，q
xC yC zC
xdW
W
W
W
ydW W
zdW
W
W
对于均质物体，重心和形心重合。可推知均质体，均质板，均
质杆的重心（形心）坐标公式分别为：
V x xdV ,y
i i V
立体 : xC
V
V
C
V y
i i
V
ydV V
V
, zC
V z zdV
3. 组合法（分割法和负面积法） 例3：求图示平面图形的形心，尺寸如图所示。
y
解：采用分割法
10
如图建立直角坐标系
A1 10 30 300mm , x1 5mm, y1 15mm
2
30
Ⅰ
Ⅱ
10
A2 10 15 150mm , x2 17.5mm, y2 5mm
问题引入：重心的计算是工程力学中的重要内容，和许多工程
实际问题密切相关。
手机的振动电机 偏心块
偏心块：手机的振动强度与偏心块的偏心距密切相关，那么，偏
心块的偏心距该如何求解呢？
y z
T形梁截面：这是常见的梁截面，在梁中应用非常广泛。对其进
行强度的时候必须求其形心。此截面的形心怎么求解呢？
第一节 空间任意力系概述 第二节 物体的重心
第二节 重心及形心
运动员速滑重心低且靠前
飞机重心位置靠前靠后均对飞行不利
重 心 与 物 体 的 平 衡 有 关
重心偏离造成船体倾斜
运渣车重心高造成侧翻
手机振动电机
压路机模型
重心偏离机器转轴会引起机器的振动。
一、重心的概念及公式 1. 重心的概念 物体的重力就是地球对物体的引力，物体上每个微小部分都
量，其大小等于力在垂直于转轴的平面内的投影的大小和它 与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手螺旋规则确定。
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy d 2OA' B'
可以得知： 力对//它的轴的矩为零,力F与轴共面时力对轴之矩为零。
二、合力矩定理
与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：
M y M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) cF cos cos 0 bF sin 107 N m
M z M z ( Fx ) M z ( Fy ) M z ( Fz ) bF cos sin aF cos cos 0 69 N m
i i V
V
V
薄板(平面图形）: xC
A x xdA ,y
i i A
A
A
C
A y
i i
A
ydA A
A
细杆(平面线段）: xC
l x xdl ,y
i i l
l
l
C
l y
i
i
l
ydl
l
l
二、确定物体重心的几种方法 1. 对称判别法 若物体是均质的，且有对称面、对称轴、对称中心，则重心 或形心一定在对称面、对称轴和对称中心上。如均质球体的 重心在球心，圆形的形心在其圆心。
受地球引力的作用。这些引力组成的力系是一个空间汇交力
系，可近似地处理成一空间平行力系，此平行力系的合力W 称为物体的重力。
通过实验我们知道，无论物体怎样放置，这些平行力的合力 总通过物体内的一个确定点，这个点就是物体的重心。
2. 重心公式
z
建立空间直角坐标系，由空 间力系的合力矩定理可得：
xC
C W O
第一节 空间任意力系概述
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力
系，称空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系； (b)图中如果没有风力则为空间平行力系。
一、力对轴的矩的概念与计算
动 画 演 示
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数
=30º , β=60º ，F=25N。 解： 将力F分解成沿着坐标轴的分力
Fx F cos cos
Fy F cos sin
Fz F sin
M x M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) 0 aF sin cF cos sin 106 N m
2
O
25
x
xC yC
A x A
i
i i
A1 x1 A2 x2 300 5 150 17.5 mm 9 mm A1 A2 300 150 A1 y1 A2 y2 300 15 150 5 mm 12 m m A1 A2 300 150
W x
i i
yC
y
W Wi yi
zi xC xi
zC
zC
W Wi zi W
yC
x
有影响，可使物体
被分割成任意个部分进行计算。通常，对均质连续的物体 通常对物体在极限情况下 (n-∞)进行分割， 此时重心坐标 公式转化成积分形式。
2 R sin 3
y
R
2 C
x
扇形形心为
xC 2 R sin 3
y
当α为90°时，扇形为半圆
R C
x
xC
2 R sin
2 4R 3 3 2
对这类常用的简单几何图形和均质物体的重心或形心位置，均 可采用积分法进行求解。也可直接查询工程手册的形心表。
常 见 平 面 图 形 的 形 心 公 式 表
C
C
C
2. 积分法
例2：求半径为R，顶角为2 的扇形的形心。
如图所示建立参考直角坐标系，x为对称轴 yC 0
y
微元部分的面积为:
A
d
1 1 2 dA dL R R d 2 2
dA
O
C
B
扇形形心为
2 微元部分的形心坐标：x R cos 3 2 1 2 xdA R cos R d 3 2 A x x C 2 A R 2 2 1 3 R cos d 3 R 2 sin 2 R 3
M z ( FR ) M z ( F1 ) M z ( F2 ) M z ( Fn ) M z ( Fi )
即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有 分力对同一轴的矩的代数和。
当力臂难以判定，可利用合力矩定理来进行力对轴之
矩的求解。
例1： 在直角弯杆的C端作用 着力F， 试求这力对三个坐标 轴的矩。已知 OA =a = 6 m， AB=b=4 m，BC=c=3 m，q
xC yC zC
xdW
W
W
W
ydW W
zdW
W
W
对于均质物体，重心和形心重合。可推知均质体，均质板，均
质杆的重心（形心）坐标公式分别为：
V x xdV ,y
i i V
立体 : xC
V
V
C
V y
i i
V
ydV V
V
, zC
V z zdV
3. 组合法（分割法和负面积法） 例3：求图示平面图形的形心，尺寸如图所示。
y
解：采用分割法
10
如图建立直角坐标系
A1 10 30 300mm , x1 5mm, y1 15mm
2
30
Ⅰ
Ⅱ
10
A2 10 15 150mm , x2 17.5mm, y2 5mm
问题引入：重心的计算是工程力学中的重要内容，和许多工程
实际问题密切相关。
手机的振动电机 偏心块
偏心块：手机的振动强度与偏心块的偏心距密切相关，那么，偏
心块的偏心距该如何求解呢？
y z
T形梁截面：这是常见的梁截面，在梁中应用非常广泛。对其进
行强度的时候必须求其形心。此截面的形心怎么求解呢？
第一节 空间任意力系概述 第二节 物体的重心
第二节 重心及形心
运动员速滑重心低且靠前
飞机重心位置靠前靠后均对飞行不利
重 心 与 物 体 的 平 衡 有 关
重心偏离造成船体倾斜
运渣车重心高造成侧翻
手机振动电机
压路机模型
重心偏离机器转轴会引起机器的振动。
一、重心的概念及公式 1. 重心的概念 物体的重力就是地球对物体的引力，物体上每个微小部分都
量，其大小等于力在垂直于转轴的平面内的投影的大小和它 与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手螺旋规则确定。
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy d 2OA' B'
可以得知： 力对//它的轴的矩为零,力F与轴共面时力对轴之矩为零。
二、合力矩定理
与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：
M y M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) cF cos cos 0 bF sin 107 N m
M z M z ( Fx ) M z ( Fy ) M z ( Fz ) bF cos sin aF cos cos 0 69 N m
i i V
V
V
薄板(平面图形）: xC
A x xdA ,y
i i A
A
A
C
A y
i i
A
ydA A
A
细杆(平面线段）: xC
l x xdl ,y
i i l
l
l
C
l y
i
i
l
ydl
l
l
二、确定物体重心的几种方法 1. 对称判别法 若物体是均质的，且有对称面、对称轴、对称中心，则重心 或形心一定在对称面、对称轴和对称中心上。如均质球体的 重心在球心，圆形的形心在其圆心。
受地球引力的作用。这些引力组成的力系是一个空间汇交力
系，可近似地处理成一空间平行力系，此平行力系的合力W 称为物体的重力。
通过实验我们知道，无论物体怎样放置，这些平行力的合力 总通过物体内的一个确定点，这个点就是物体的重心。
2. 重心公式
z
建立空间直角坐标系，由空 间力系的合力矩定理可得：
xC
C W O
第一节 空间任意力系概述
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力
系，称空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系； (b)图为空间任意力系； (b)图中如果没有风力则为空间平行力系。
一、力对轴的矩的概念与计算
动 画 演 示
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数
=30º , β=60º ，F=25N。 解： 将力F分解成沿着坐标轴的分力
Fx F cos cos
Fy F cos sin
Fz F sin
M x M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) 0 aF sin cF cos sin 106 N m
2
O
25
x
xC yC
A x A
i
i i
A1 x1 A2 x2 300 5 150 17.5 mm 9 mm A1 A2 300 150 A1 y1 A2 y2 300 15 150 5 mm 12 m m A1 A2 300 150