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练一练1 1. 判断下列方程哪些是一元二次方程?
并说明理由.
(1) 2x=y2－1(不是) (2) y2－2y－3=0(是)
(3) x2-－X2 -3=0(不是) (4) z(3z-1)=3z2+1(不是)
(5)y2=9( 是)
(6)y2-2y3+1=0(不是)
三个条件:(1)是整式方程. (2)只含有一个 未知数. (3)未知数的最高次数是2
这样解是否正确呢？
方程的两边同时除以同一个 不等于零的数，所得的结果仍是 等式.
(4)x2 x
解：(1)当x 0时，左边 02 0，右边 0. 左边 右边， x 0是原方程的解；
(2)当x 0时,方程的两边同除以x，得 x 1
原方程的解为x1 0, x2 1.
(4)x2 x
x 2 0或x 4 0,
x1 2, x2 4.
(3)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
(x 2)(3x 5) 0,
x 2 0,或3x 5 0,
5
x1
2,
x2
. 3
(4)(2a 3)2 (a 2)(3a 4)
解：去括号，整理，得 a2 2a 1 0
直接开平方法
x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以
x 4
即x= 2.
例１解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
解 （1）原方程可以变形为 （x＋1）2＝4， 直接开平方，得
x＋1＝±2. 所以原方程的解是 x1＝1，x2＝－3.
练一练2
❖ 解下列方程：
（1）(x－1)2－18＝0； （2）(1－3x)2＝1； （3）(2x＋3)2－25＝0.
秀峰中学 初三数学组 制作
y
x
本课内容： 一元二次方程及其解法
一元二次方程的概念
❖ 整式方程中都只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次 方程
一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中ax2叫做 二次项，a叫做二次项系数； bx叫做一次项，b叫做一次 项系数， c叫做常数项。
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
小张和小林一起解方程 x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
小林的解法是这样的： 移项，得 x(3x＋2)＝6(3x＋2), 方程两边都除以（3x+2），得 x＝6. 小林说:“我的方法多简便！”
小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
解：移项，得 (4x 3)2 (x 3)2 0,
(4x 3 x 3)(4x 3 x 3) 0 5x(3x 6) 0,
5x 0或3x 6 0,
x1 0, x2 2.
(6)x2 ( 3 2)x 6 0
解：原方程变形为 (x 3)(x 2) 0
x 3 0或x 2 0,
快速回答：下列各方程的根分别 是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
Hale Waihona Puke Baidu
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
(4)x2 x
解：方程的两边同时除以x，得
x 1. 原方程的解为x 1.
课堂小节
❖ ．何种类型的一元二次方程适合用直接开平 方法？
（左边为含有未知数的平方的形式，右边为非 负数或能整理为此形式）
用因式分解法解一元二次方程
x2 4
x2 4 0
(x 2)(x 2) 0
x 2 0或x 2 0
x 2或x 2.
原方程的两个根为x1 2, x2 2.
2.方程(m-2)xImI+3mx+1=0是关于X 的一元二次方程，则m=( ＿2 )
3.关于X的方程(K2-1)X2+2(K-1)X+44=0 当K__≠±__1__时,为一元二次方程,当K=_－_1 时为一元一次方程. 4.一元二次方程的一般形式是_____
__ax_2_+_b_x+_c_=_0__(_a_≠_0_) _. 5.方程(2X-1)(X+5)=6X的二次项系数是 （ 2 ）一次项系数是（ 3 ）常数项 是( －5 )
.
(3)x2 7x 12 0
解：(x 3)(x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
x1 3, x2 4.
(4)t(t 3) 28
解：整理，得 t 2 3t 28 0, (t 4)(t 7) 0, t 4 0或t 7 0,
t1 4,t2 7.
(5)(4x 3)2 (x 3)2
解：移项，得
x2 x 0, x(x 1) 0
x 0,或x 1 0,
原方程的解为: x1 0, x2 1.
注：如果一元二次方程有实数根， 那么一定有两个实数根.
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
用因式分解法解下列一元二次方程：
(1)x2 3x 10 0 解：原方程可变形为
(x 2)(x 5) 0
x 2 0,或x 5 0,
x1 2, x2 5.
(2)x2 9x 18 0
解 : 原方程可变形为 (x 3)(x 6) 0
x 3 0，或x 6 0,
x1 3, x2 6.
(a 1)2 0 a1 a2 1.
练习：用因式分解法解下列方程
(1)5x2 4x 0
解：x(5x 4) 0, x 0或5x 4 0,
x1
0,
x2
4 5
.
(2) 2 y2 3y
解：2 y2 3y 0 y( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
y1
0,
y2
32 2
用因式分解法解下列方程：
(1)(x 5)(x 2) 18
解：整理原方程，得 x2 3x 28 0
(x 7)(x 4) 0
x 7 0,或x 4 0,
x1 7, x2 4.
(2)(x 3)(x 1) 5 解 : 原方程可变形为
x2 2x 8 0
(x 2)(x 4) 0,