电场强度及高斯定理证明
电场的高斯定理
= = =
−σ1 +σ 2ε o
σ1 −σ2
σ
2ε 1+
σo
2
2ε o
σ EA = EC = 0
板外电场为 0 。
E2
=
σ2 2ε o
r 2i
r i
带电平板电容
r 器间的场强 i
EB
=
σ εo
均匀带电体，体密度为ρ，
空腔内任一点的场？
O1
rv1 rv2 O2
E= ρ r 3ε 0
v E1
=
ρ 3ε 0
(3)正确理解 （4）
∑q = 0
，不是E＝0，只是积分为零
r
由库伦定律
E
给定电荷分布 由高斯定理
Φr E
（通常情况） （电荷对称分布）
（5）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场
高斯定理可以证明电场线有如下性质： 电场线发自于正电荷， 终止于负电荷， 在无电荷处不间断。
证： 设P点有电场线发出
解：
r l
选择高斯面——同轴柱面
上下底r面 Err⊥dSr 侧面 E // dS,且同一
r
柱面上E 大小相等。
E
r
r dSr E
∫ ∫ ∫ Φ =
rr E ⋅dS
S
=
rr E ⋅dS +
测
rr E ⋅dS
上下底
= E ⋅ 2πrl Φ = lλ
εo
E= λ 2 πε o r
方向：垂直带电线
无限长均匀带电直线 E = λ
因为 qin = 0 ，有
E=0
S
球层内的空腔中没有电场。
0 (r < R1)
电场强度通量
S
E
Q
l
O
r
E
p
S
o
均匀带电球壳 均匀带电细棒
r
例3(P27)求无限长均匀带电直线的场强分布。 设线电荷密度为 该电场分布具有轴对称性。 距离导线 r 处一点 p 点的 场强方向一定垂直于带电直导线 沿径向，并且和 P点在同一圆柱 面(以带电直导线为轴)上的各点 场强大小也都相等，都沿径向。
O
S
h
r
E
p
以带电直导线为轴，作一个通过P点， 高为 h 的圆筒形封闭面为高斯面 S， 通过S面的电通量为圆柱侧面和上下 底面三部分的通量。
E
// E
E
dS
1、均匀电场中通过平面S的电通量
定义：矢量面元 dS dS n
dN d e EdS E dS dS dS cos( E n ) dS cos
dS
E
n
dS
大小等于面元的面积，方向取其法线方向。
因此电通量： d e E dS
p E
均匀带电无限大平板
例2(P26)均匀带电的球壳内外的场强分布。 设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。 解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。
具有与场源同心的球对称性。选同心球 面为高斯面，场强的方向沿着径向，且 在球面上的场强处处相等。
当 r R 高斯面内电荷为Q， 所以：
高斯定理——精选推荐
高斯定理电场和电荷的数学联系讲课思路：一、回忆电场强度通量 二、立体角三、高斯定理——证明、意义四、高斯定理的应用ES一、电场强度通量定义：通过电场中某一个面的电力线数叫做通过这个面的电场强度通量，均匀电场，垂直平面EESΦ=e θcos e ES Φ=均匀电场，与平面夹角EθθnθSE Φ ⋅=e ES,∫⋅=sS E Φ d e .n d d e S S ⋅=∫∫=⋅=SSSE S E Φd cos d e θ闭合曲面的电场强度通量SE Φ d d e ⋅=规定规定闭合曲面法线方向向外为正！即如电力线从闭合曲面内向外穿出，则电通量为正；反之，电通量为负θESd ES为封闭曲面S （平面）角:由一点（顶点）到某一曲线上两个端点作直线，由这两条直线为界所围成的空间部分称为（平面）角。
平面角是以扇形的顶点为心，半径为1的园被截得的弧度来度量。
如果在该园上所切出的长度L ，就是该平面角为L 。
二、立体角1=R 平面角弧长:2211S r l r l ==ϕ1r 2r 1l 2l ππ22==Θrr园环的弧度：1,2'====Θ∫∫n n r dl d LLπϕ（包围顶点）闭合曲线的弧度：==Θ∫Ld ϕ（不包围顶点）闭合曲线的弧度：立体角:由一点（顶点）到某一闭合曲线上所有各点作直线，由这些直线为界所围成的空间部分称为立体角。
立体角是以锥的顶点为心，半径为1的球面被锥面所截得的面积来度量的。
如果立体角在该球面上所切出的面积ds ，就是该立体角的量值d Ω。
球面:222211dS r dS r dS d ==Ω任意面元ds （ds 的法线方向n 与r 的夹角不为零）时，须将ds投影到半径为r 的球面上ds’，再对应到单位球面，求出ds 对O 点所张的立体角。
232cos ˆ'r dS r d r dS d θ=⋅==ΩS r πθ4cos '22∫∫∫===Ω=ΩSS Sr dS r dS d 整个球面对球心O 所张的立体角为4π，单位为球面度。
利用高斯定理那些电荷分布情况下的电场强度
利用高斯定理的电场强度分析介绍高斯定理是电磁学中的重要定理之一，用于计算电场在闭合曲面上的通量。
通过应用高斯定理，我们可以计算出不同电荷分布情况下的电场强度。
本文将详细探讨高斯定理的原理和应用，并分析几种常见的电荷分布情况下的电场强度。
高斯定理的原理高斯定理是根据电场的散度性质推导出来的。
根据高斯定理，闭合曲面上的电场通量正比于该闭合曲面内的电荷总量。
数学表达式如下所示：Φ=∮E⋅dA=Q enc ϵ0其中，Φ表示闭合曲面上的电场通量，E表示电场强度，dA表示曲面元素的面积矢量，Q enc表示闭合曲面内的电荷总量，ϵ0表示真空介电常数。
点电荷的电场强度点电荷的定义点电荷是指电荷分布极为集中，可以近似看作具有质点性质的电荷。
点电荷的电场强度分布具有球对称性。
球面上的电场强度对于一个球面上的点电荷，根据高斯定理，可以得到球面上的电场强度为：E=14πϵ0⋅Qr2其中，E表示球面上的电场强度，Q表示点电荷的电荷量，r表示球面到点电荷的距离。
电场强度的方向根据库仑定律，点电荷产生的电场强度是沿着与点电荷相连的直线方向的。
在球面上，电场强度的方向始终指向球心。
均匀带电球壳的电场强度均匀带电球壳的定义均匀带电球壳是指球壳上的电荷均匀分布。
球壳内部没有电荷。
球壳内部的电场强度根据高斯定理，球壳内部的电场强度为零。
因为球壳内部没有电荷，闭合曲面上的电荷总量为零，所以根据高斯定理，电场通量也为零，即球壳内部的电场强度为零。
球壳外部的电场强度根据高斯定理，可以得到球壳外部的电场强度为：E=14πϵ0⋅Qr2其中，E表示球壳外部的电场强度，Q表示球壳的总电荷量，r表示球壳外某一点到球心的距离。
均匀带电球体的电场强度均匀带电球体的定义均匀带电球体是指球体内外的电荷分布均匀。
球体内部的电场强度根据高斯定理，球体内部的电场强度为零。
因为球体内部没有电荷，闭合曲面上的电荷总量为零，所以根据高斯定理，电场通量也为零，即球体内部的电场强度为零。
大学物理：2第二讲 电场强度计算续、高斯定理
2
R
r
x
p dE// x
E
qx
4 0 r 3
iˆ
dE dE
cos x / r
1
讨论：1. x 0 : Eo 0
E
qx
40 (R2
x2 )3/2
iˆ
o
y
r
圆环中心电场为零
2.
x R :
Ep
q
40 x2
iˆ
R
o
z
E
x px
p
R
x
●无论带电体形状如何，在离其足够远处均可视为
点电荷。 2
例4：半径为R的簿圆盘均匀带电，面电荷密度为。
求中心轴线上一点 p处的电场强度。
解：将圆盘分割成许多带 电细圆环，其电量
dq ds 2 rdr
细圆环电场
dr
l
r
Ep
o xpx
dE
dqx
40 (r2
x2 )3/2
2 rxdr rxdr 40 (r2 x2 )3/2 20 (r2 x2 )3/2
3
dE
rxdr 20 (r2 x2
二、电通量
●通过某一曲面的电力线数，叫做 通过该曲面的电通量。记为“e”.
电通量的计算
s
de E dS
e
E dS
S
通过闭合曲面的电通量
e S E dS
规定：曲面正法线由曲面指向外
E de dSn
ds E
ds
E
q
s
11
例：点电荷q位于球面内球心处，求通过该球面的
电通量。
解：球面上的电场强度
各点产生的电场。
解：由对称性可知，该球壳产生的
高斯定理求电场强度
高斯定理求电场强度
高斯定理是电学中的一项基本定理，用于求解电场强度。
它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪末提出的。
在数学上，高斯定理也叫做散度定理，它可以将一个三维空间中的向量场在某个闭合曲面上的通量与该向量场在该曲面所包围的体积积分相联系。
在电学中，高斯定理用于求解电场强度。
它表明：一个电场从一个闭合曲面内通过的电通量等于该曲面内的电荷量的比值。
具体来说，高斯定理可以表示为：
∮S E·dS = Q/ε0
其中，S代表一个闭合曲面，E代表电场强度，Q代表该曲面内的总电荷量，ε0代表真空介电常数。
左侧的积分表示电场向曲面S的法向量的通量，右侧的比值表示该曲面内的总电荷量。
因此，如果我们已知一个由电荷产生的电场，并且想要求解该电场在一个闭合曲面内的通量，那么只需要使用高斯定理即可。
具体步骤是：选择一个适当的闭合曲面，计算该曲面内的总电荷量，然后代入高斯定理求解即可。
需要注意的是，高斯定理的适用范围是仅限于电场强度在曲面上处处连续的情况。
当电场强度在曲面上不连续时，需要使用其他方法进行求解。
高斯定理证明 (3)
高斯定理证明导言高斯定理是电磁学中的重要定理之一，在电场和电荷分布之间建立了联系。
它可以用来计算电场通过一个封闭曲面的总电通量。
在本文中，我们将给出高斯定理的证明。
高斯定理的表述高斯定理表述如下：若$\\vec{E}$ 是一个连续分布的电场，$d\\vec{A}$ 是曲面元素的法向量，并且 $\\rho$ 是该曲面元素上的电荷密度，那么通过曲面S的总电通量 $\\Phi$ 可以表示为：$$ \\Phi = \\oint_{S} \\vec{E} \\cdot d\\vec{A} =\\frac{1}{\\varepsilon_0}\\iiint_V \\rho dV $$其中，$\\varepsilon_0$ 是真空介电常数。
证明为了证明高斯定理，我们首先考虑一个封闭曲面S，其中包含一个被均匀分布的电荷量S的点电荷。
我们将证明通过曲面S的总电通量等于 $Q / \\varepsilon_0$。
我们可以将曲面S划分为无数个小面元素SS S。
假设我们选择中心在电荷的球形曲面，这样每个小面元素都与电荷距离相等。
假设每个小面元素的面积为SS，那么总的面积为S。
考虑到电场是由点电荷在每个面元素上产生的，每个面元素SS上的电场强度为：$$ dE = \\frac{kQ}{r^2} $$其中，S是电场常数，S是对称中心到面元素的距离。
我们可以计算通过小面元素SS S的电通量：$$ d\\Phi_i = \\vec{E} \\cdot d\\vec{A_i} = E \\cdot dA_i \\cdot \\cos(\\theta_i) $$其中，S是点电荷在曲面上产生的电场强度，$\\theta_i$ 是电场和法向量 $d\\vec{A_i}$ 之间的夹角。
由于每个小面元素都相同，我们可以用S和$\\cos(\\theta_i)$ 的平均值来近似计算总电通量 $\\Phi$。
因此，通过曲面S的总电通量可表示为：$$ \\Phi = \\sum_i \\vec{E} \\cdot d\\vec{A_i} \\approx E \\cdot \\sum_i dA_i \\cdot \\cos(\\theta_i) $$而总的面积S可以表示为小面元素的累加：$$ A = \\sum_i dA_i $$因此，上述公式可以简化为：$$ \\Phi \\approx E \\cdot A \\cdot \\langle \\cos(\\theta) \\rangle $$其中，$\\langle \\cos(\\theta) \\rangle$ 表示所有小面元素的 $\\cos(\\theta_i)$ 的平均值。
6-1电场强度&高斯定理
1、电荷的种类 2、电荷的量子性 3、电荷守恒
e＝1.602×10-19 C
二、
库仑定律
中学：真空中，两个静止的点电荷间相互作用 力 q1q2
F k
r
2
静电力恒量
k 9 109 N m 2 C2
1 0 8 85 1012 C 2 N 1m 2 引入真空电容率: 4k q1q2 1 q1q2 r F e 3 2 r 写成矢量式： 4 0 r 4 0 r
qxi 均匀带电圆环轴线上： E 4 0 ( x 2 R 2 )3 2
无限大均匀带电平面： E 2 0
垂直于带电面
6-2 高斯定理
预习要点 1. 引入电场线的意义是什么? 性质? 电力线有哪些
2. 领会电场强度通量这个概念及计算公式. 3. 高斯定理的内容是什么? 其数学表达式如 何? 高斯定理反映静电场具有什么性质? 4. 如何应用高斯定理计算某些特殊分布电荷的 场强度?
—— 动量传递
(2) 带电体在电场中移动时，场对带电体做功 ——能量传递 用 质
E 、U
来分别描述静电场的上述两项性
四、电场强度
场源电荷：产生电场的点电荷、点电荷系、或带电体。
试验电荷：电量足够小的点电荷（正电）
略去对场源电荷 分布的影响 与场点对应
F 定义 E q0
大小：等于单位正电荷在该点 所受电场力
一 电场线 1.定义: 为形象描绘静电场而引入的一组空间曲线. 规定 EB EA 电场线方向：曲线上每一点 B A 切线方向为该点电场方向； 电场线密度：垂直于 E 的单位面积的电场线数目， 大小等于 . E
dS 2.电场线特性 1）始于正电荷(或来自无穷远),止于负电荷(或伸向 无穷远). 2）在没有点电荷的空间里，任何两条电场 线不相交. 3）静电场电场线不闭合.
大学物理-电场强度通量,高斯定理
2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布，q , R 解： 通量
q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S
n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS
注： E为dS处的电场强度
n E
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理 （1） 证明: 略.书P166-168 （2 ）内容(书P168): 真空中 注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S：高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
（如图中 q1、q2） ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷（面内、外电荷） 共同产生（如图中 q1、 q2 、 q3）
；
.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一 个顶点上，则通过整个 正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q
高斯定理的证明方法和应用
同理可得
dB dS
0 Idl y x dydz dxdz 0 4 S r 2 r2
0 Idl r 2 dS S 4 r
（c）电流元在任意闭曲面内 以此类推，在闭曲面 S 内，以电流元为球心作一辅助球面 S1，因为
dB dS dB dS 0
（2） 当电荷 Q 不包含在闭合曲面 S 内时，则
S V
r E dS dV 0
0
由此，高斯定理得证。 3、 高斯定理的另一种证明
如图所示，设有一电量为 q 孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意 r 为 半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为
E
2 S
S
dS
4 r 2
（1）
0
（b）点电荷在任意闭曲面外 闭曲面 S 的电通量为
S
E dS q q
1 4 0
S
q r dS r3
（2）
1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 1 1 1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 r3 r3
（c）点电荷在任意闭曲面内 在任意闭曲面 S 内以点电荷 q 为球心作一辅助球面 S1，其法向朝内，根据（1）式可知点 电荷 q 在闭曲面 S+S1 的电通量为零，即：
E dS E dS 0
S S1
E dS E dS E dS
S S1 S2
r dS S r 2 dl
dB dS 0
S
（b）电流元 Idl 在任意闭曲面外 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为
电场强度通量-高斯定理
非均匀电场，闭合曲面S .
Φe
E dS
S
E cosθdS
S
“穿出”θ 90
“穿进”θ 90
E
θ
en
S
θ en
E
第五章 静电场
6
5-4 电场强度通量 高斯定理
讨论
(1)
S 方向的规定：
非闭合曲面
闭合曲面
凸为正，凹为负 向外为正，向内为负
E ds 0 电场线穿出 E ds 0 电场线穿入
S E1 dS
S E2 dS
S En dS
Φe1 Φe2 Φen
E
Φout ei
0
E dS
S
Φin ei
1n ε0 i1
1 ε0
qiin
qiin
dS
s qi
第五章 静电场
15
5-4 电场强度通量 高斯定理
高斯定理
e
E dS
1
S
0
i
qi (内)
（不连续分布的源电荷）
S
en
Sθ
E
第五章 静电场
4
5-4 电场强度通量 高斯定理
非匀强电场，曲面 S . 定义：矢量面元 dS dS en
大小等于面元的面积，方向取其法线方向。
dΦe E cosθdS E dS
Φe
dΦe
E dS
S
en
θ
E
dS
S
第五章 静电场
5
5-4 电场强度通量 高斯定理
步骤：先证明点电荷的场, 然后推广至一般 电荷分布的场
第五章 静电场
11
5-4 电场强度通量 高斯定理
点电荷位于球面中心
第四节 电场强度通量 高斯定理
7-4 电场强度通量高斯定理为了更形象地描述电场，这一节将在介绍电场线的基础上，引进电场强度通量的概念；并导出静电场的重要定理——高斯定理一、电场线下图是几种带电系统的电场线。
在电场线上每一点处电场强度E的方向沿着该点的切线，并以电场线箭头的指向表示电场强度的方向。
电场线密度越大，该处的电场强度越大。
静电场的电场线有如下特点：（1）电场线总是始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲线；（2）任何两条电场线都不能相交，这是因为电场中每一点处的电场强度只能有一个确定的方向。
图7-12S E N d d =或E S N=d d （7-8）这就是说，通过电场中某点垂直于E 的单位面积的电场线数等于该点处电场强度E 的大小。
SNd d 也叫做电场线密度。
二、电场强度通量我们把通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电场强度通量，用符号eΦ表示。
如下图(左)所示。
这是一个匀强电场，匀强电场的电场强度处处相等，所以电场线密度也应处处相等。
这样，通过面S 的电场强度通量为SE Φe =如果平面S 与匀强电场的E 不垂直，那么面S 在电场空间可取许多方位。
为了把面S 在电场中的大小和方位两者同时表示出来，我们引入面积矢量S ，规定其大小为S ，其方向用它的单位法线矢量e n 来表示，有S =S e n 在上图（中）中，面S 的单位法线矢量e n 与电场强度E 之间的夹角为θ。
因此，这时通过面S 的电场强度通量为θcos ES Φe =由矢量标积的定义可知，SΦn e E S E e ⋅=⋅=如果电场是非匀强电场，并且面S 不是平面，而是任意曲面[上图（右)]则可以把曲面分成无限多个面积元d S ，每个面积元d S 都可看成是一个小平面，而且在面积元d S 上，E 也可以看成处处相等。
仿照上面的办法，若e n 为面积元d S 的单位法线矢量，则e n d S =d S 。
如设面积元d S 的单位法线矢量e n 与该处的电场强度E 成θ角，于是，通过面积元d S 的电场强度通量为SE d cos d ⋅==θS E Φe d为了给出电场线密度与电场强度间的数量关系，我们对电场线的密度作如下规定：经过电场中任一点，想像地作一个面积元dS ，并使它与该点的E 垂 直（上图），由于dS 很小，所以dS 面上各点的E 可认为是相同的，则通过面积元dS 的电场线数dN 与该点E 的大小有如下关系：所以通过曲面S 的电场强度通量eΦ，就等于通过面S 上所有面积元dS 电场强度通量eΦd 的总和，即⎰⎰⎰⋅===SE d s s S E ΦΦd d e s e θcos （7-9）式中“⎰s ”表示整个曲面S 进行积分。
_电场强度_电场强度通量
Φe前 = Φe后 = Φe下 = ∫ s v v Φe左 = ∫ E ⋅ dS = ES左 cos π = − ES左 s左 v v Φe右斜 = ∫ E ⋅ dS = ES 右斜 cos θ = ES 左 s右斜
z
v Me
Q
v E R x
n
y
N
P
S右
∴Φe = Φe前 + Φe后 + Φe左 + Φe右斜 + Φe下 = 0
电场强度通量 高斯定理
∑ ∫
i （外）
S
v v Ei ⋅ dS
v v Q ∑ ∫ Ei ⋅ dS = 0 S i （外） v v 1 ∴ Φe = ∑ ∫ E i ⋅ d S =
i （内） S
q1
∑
qi
i (内）
q2
v Ev
ε0
高斯定理 Φ
e
=
∫
S
v v 1 E ⋅dS =
ε
∑
n
s
qi
dS qi
0 i (内 )
总 结
(i) 高斯面为封闭曲面. 高斯面为封闭曲面. (ii) 高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度 所有内外电荷的总电场强度. (iii) 穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出正为. 穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出正为. (iv) 仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 通量有贡献 (v) 静电场是有源场. 即是电荷产生的电场. 静电场是有源场. 即是电荷产生的电场. 有源场
v v dS＇ dS
q dS＇ q dΦ e = = dΩ 2 4 πε 0 r 4 πε 0
静电场的高斯定理
静电场的高斯定理引言静电场是指电荷在没有运动的情况下所形成的电场分布。
静电场的高斯定理是描述电场分布的一个重要定理，它由物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出。
高斯定理可以被用来计算任意闭合曲面内的电场强度，并且被广泛应用于电场的分析和解题中。
高斯定理的表述高斯定理的表述为：通过任意闭合曲面的电场通量等于该闭合曲面内部所包围电荷的总电量的1/ε0 倍，其中ε0为真空中的介电常数。
数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0其中∮表示闭合曲面上的面积分，E为闭合曲面上的电场强度，dA为闭合曲面上的面积元素，Q为被闭合曲面包围的总电量。
高斯定理的表述说明了电场强度的分布与所包围电荷分布的关系，即闭合曲面上的电场通量与所包围电荷的性质直接相关。
高斯定理的证明高斯定理的证明可以通过以下几个步骤完成：1.假设存在一个闭合曲面，我们可以通过取一个小区域在曲面上，该小区域面积为dA。
假设该小区域上的电场强度为E，那么在该小区域上的电场通量为E·dA。
2.通过不断增大小区域的数量，将整个闭合曲面分成许多小区域，那么闭合曲面上的电场通量可以表示为所有小区域上电场通量的和。
3.由于电场可以穿过某些小区域而不通过闭合曲面，因此我们需要将穿过闭合曲面的电场通量作为负数计算。
这可以通过将某些小区域上的电场通量乘以-1来实现。
4.根据电场强度的定义，可以知道通过闭合曲面的电场通量与闭合曲面内部所包围的电荷有关。
因此，我们可以将电场通量表示为闭合曲面内电荷分布的函数。
5.结合步骤2和步骤3，我们可以将闭合曲面上的电场通量表示为闭合曲面内电荷分布的累加。
通过进一步的数学推导，最终可以得到高斯定理的数学表达式。
高斯定理的应用高斯定理在电场分析和解题中有着广泛的应用。
通过高斯定理，我们可以方便地计算出一个闭合曲面内部的电场强度。
一些常见的应用场景包括： 1. 计算均匀带电球壳内外的电场强度。
6.2电场强度通量 高斯定理
一半径为 R , 均匀带电 Q 的球体 .
E
E Qr 40 R
3
E
Q 40 r
2
O
R
r
电场强度通量
高斯定理
静电场
例 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，电荷线密度为 ，求距 直线 处的电场强度.
r
解 对称性分析：轴对称 选取闭合的柱形高斯面 E dS
有几条电场线穿进必然有同 样数目的电场线从面内出来。
电场强度通量
高斯定理
静电场
练习1：半径为R的半球面置于电场强度为E的均匀电场 中，选半球面的外法线为面法线正方向，则通过该半球 面的电场强度通量 E 为（ ）
A. B. C. D.
R E
2
E
2
2R E 3R E
2
R
R E
2
2
o
r
电场强度通量
高斯定理
静电场
利用高斯定律求静电场的分布（ E ）
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
步骤： 1.对称性分析，确定 E 的大小及方向分布特征 2.选择一合适的闭合曲面作高斯面，计算电通量及 qi
3.利用高斯定律求解 E
电场强度通量
例
高斯定理
静电场
均匀带电球壳的电场强度分布 一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄球 壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度.
π 2
,
Φe 0
电场强度通量
高斯定理
静电场
3. 非均匀电场或非平面情况下求电通量
d Φe E d S
Φe
E
en
d S dS en
9-3高斯定理
二、电场强度通量(electric flucx) 1.定义 通过任一面积元的电场线的条数称为通过这 一面积元的电场强度通量。（简称电通量） 如果垂直于电场强度的面积为dS，穿过的 电场线条数为de，那么
S
E
de E dS
若选择比例系数为1，则有de = E d S . 如果在电场强度为E的匀强电场中，平面S与电 场强度E 相垂直，则 e = E S .
14
qi e E dS
S
0
qi E dS
S
0
E
0 dS
S
qi
15
续28
16
续29
续28
17
例题2 求电荷呈球对称分布时所激发的电场强度 解： 电荷及场分布特点: 球对称,设球半径R,电荷 量为q。
高斯面:半径为r的球面。 由高斯定律:
23
4 3 r Q 3 rQ 2 3 e E 4πr 3 4 3 0 ( R ) 0R 3 3 R Q E r r rR 3 3 3 0 r1 4π 0 r1
半径为R的均匀带电球体在球内外各点的场强分布。 设球体电荷密度为 ，总电量为Q 。 因为电荷分布具有球对称性。 1 4πr 3 固选取同心的球面为高斯面。
1 E dS
S
0 inside,i
q
i
证明：1. 包围点电荷q 的同心球面S 的电通量
球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。
1 q d e E dS EdS dS 2 4π 0 r
r
q
E
S
8
1 q d e E dS EdS dS 2 4π 0 r q q e d e dS 2 2 S S 4 π r 4π 0 r 0
高斯定理
0
q dS
r s
电荷分布具有较 高的空间对称性 的带电体
1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场 4. 均匀带电球体的电场 5. 均匀带电球体空腔部分的电场
高斯定理的应用
例1. 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。球外充满 均匀各向同性的介电体，相对电容率为 r
dS
dN E E
dS
注意：dS是垂直 E的
电场线
点电荷的电场线
负电荷 正电荷
+
非均匀电场
电场线
一对等量异号电荷的电场线
+
电场线
一对等量正点电荷的电场线
+
+
电场线
一对异号不等量点电荷的电场线
+ 2q
q
电场线
带电平行板电容器的电场
++ ++ + + + + +
远离边缘的区 域是均匀电场
d
S
0
S1
+
高斯定理
q e E dS
S
1 当点电荷在球心时
2 任一闭合曲面S包围该电荷
3 闭合曲面S不包围该电荷
q e E dS
S
0
e E dS 0
S
0
4 闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，同时面外也有 多个电荷qk+1-qn 由电场叠加原理
e E dS
S
k n E Ei Ei En
i
i 1
i k 1
平行板电容器场强公式推导高斯定理
平行板电容器场强公式推导高斯定理引言在电磁学中，平行板电容器是一种常见的电路元件，由两块平行的金属板构成，两板之间填充了绝缘材料以防止电流通过。
在该文档中，我们将推导出平行板电容器中电场强度的公式，并将其应用到高斯定理中。
推导过程我们假设平行板电容器的两板面积分别为A，间距为d。
为了推导出电场强度的公式，我们首先需要确定电场的分布情况，并建立恰当的场强公式。
电场分布情况由于电场强度和电势之间存在基本关系：E = -∇V。
根据该关系，我们可以得出：•两板之间的电势差为V，电量为Q；•两板之外的电势为0。
根据上述条件，我们可以得到两板之间的电势分布公式为：V = Ed这是因为电场强度在两板之间是一直的，所以V = Ed。
电场强度的公式我们可以使用高斯定理来推导出平行板电容器中的电场强度公式。
高斯定理表达了电场流量通过一个封闭曲面的电荷分布的关系，即：∮ E · dA = (1/ε0) ∫ ρ dV其中，E表示电场强度，dA表示曲面元，ρ表示电荷密度，ε0表示真空介电常数。
在平行板电容器中，根据电场的特性，我们可以推出电荷密度为0，因此上述公式可以简化为：∮ E · dA = 0根据高斯定理的基本原理，可以得出在平行板电容器内，电场强度是均匀分布的。
考虑到平行板电容器的对称性，我们可以选择一个较小的矩形曲面作为高斯曲面。
我们选择一个宽度为w，高度为h 并与两板垂直的矩形曲面，该曲面在两板之间。
由于电场强度在整个高斯曲面上是恒定的，因此根据高斯定理，我们可以得到：E ∮ dA = 0根据高斯曲面的形状，我们可以计算面积的积分：E wh = 0因此：E = 0由上述推导，我们可以得出平行板电容器中的场强是0，这是不可能的。
因此，我们需要重新考虑我们的推导过程。
重新分析问题，我们可以看到高斯定理中的电荷密度项丢失了。
我们需要将电荷密度考虑进去，这里我们假设电荷Q 平均分布在两板上。
为了简化计算，我们将高斯曲面的宽度w取为平行板的宽度A，高度h取为平行板之间的间距d。
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e为体电荷密度 e为面电荷密度 e为线电荷密度
电 场 线 p11 图
2013/2/27
p12例题2： 计算电偶极子臂 的延长线上和中 垂线上的场强分 布,设 l r
2013/2/27
（1）延长线上
EP E E
E
1
4
0
(r
q l
)2
2
E
1
4 0
(r
q l
)2
2
E
q
4 0
电荷q所受的力的大小为
1 Qq 与Q激发的电场有关
F
4 0
r2
与q的 电 量 大 小 、 正 负 有 关
引入试探电荷q0 ：
几何线度充分小——点电荷
电量充分小——小到什么程度？
2013/2/27
电场强度定义
从F中扣除q0可得
F q0
1
4 0
Q r2
与Q激发的电场有关 与 q0无 关 ， 反 映 Q 的 电 场 的分 布
S
规定： 取闭合面外法线方向为正，则
2
, dE
0
;
2
, dE
0
2013/2/27
Gauss面上的场强，是
所有电荷产生的场
高斯定理 p22
面内电量的代
数和，与面外
通过任意
E
S
EdS 1
0
qi
S内
电荷无关
闭合曲面 的电通量
Gauss面
立体角定义
d
dS' r2
rˆ dS r2
(球 面 度）
§3.高斯定理
习题 p72/ p88 1-14、15、16、17、20
2013/2/27
电力线、通量
为什么要研究通量、环流？
对象变导致一系列深刻的变化——不仅规律 的形式，而且规律的性质发生变化
研究范畴
对象
规律 规律的性质
牛顿力学 质点、刚体、连续体 可逆
热学
大量分子构成的群体 不可逆性
决定论 非决定论
1891 年 斯 通 尼 把 基 本 电 荷 取 名 为 “ 电 子 （electron）”,并根据上式估算出e的大小
1897年J.J.汤姆孙的阴极射线实验确定射线是负电 粒子流，并测出其荷质比为氢离子的千余倍，从而 发现比氢原子更小的基本粒子——电子；
2013/2/27
1909年密立根通过直接测量油滴的电 荷，直接证实了电荷的量子性
2013/2/27
证明： 从特殊到一般
点电荷q被任意球面包围
设q >0，场具有球对称性
E
E dS
S
S
EdS
S
1
4 0
q r2
dS
1 q
E
4 0 r 2
1q
q
4 0 r 2
S
dS
0
4r 2
一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为
中心的任意球面的电通量等于
q
0
2013/2/27
点电荷q被 任意曲面包围
3.积分
1 rdz
dEr
2
4 0
(r 2
z2)32
E d E Er dEr
l1
rdz
Er dEr 2 0 4 0 (r 2 z 2 ) 32
1
l 1
q E
2 0 r r 2 l 2 4 0 r r 2 l 2
2013/2/27
4.讨论 l
E 1
l
2 0 r
l
2
(
r2 l2
高斯定理是静电场的一条重要的定理，有其重 要的理论地位，是静电场基本方程之一 ，它 是由库仑定律导出的， 反映了电力平方反比 律 ，如果电力平方反比律不满足，则高斯定 理也不成立。
2013/2/27
静电力是有心力，但高斯定理只给出了 源和通量的关系，并没有反映静电场是 有心力场这一特性，它只反映静电场性 质的一个侧面（下一节还要讲另一个定 理——环路定理）
E2 cos2 S1
电场线起始于正电荷或无穷 远，止于负电荷或无穷远
2013/2/27
大 小 ： 单 位 正 电 荷 在 电场 中 受 到 的 电 场 力 的 大小 E 方向：与单位正电荷所受的力的方向一致
单位 牛顿/库仑 NC-1 [I-1LMT-1]
2013/2/27
场强叠加原理
点电荷组在空间某点产生的电场等于 各点电荷单独存在时在该点产生的场 的矢量和。
点电荷组
E Ei
带电油滴滴入匀强电场
F电 F重
qE 油 空 (油 空）gV
q 8.026 10 19 C
q ne
使油滴带不同电量，重复测量得油滴所带电量
总是一个最小电量e的整数倍
直接证实了电荷的量子性 1986年e的推荐值为
e 1.60217733 (46) 10 19 库仑
2013/2/27
第二讲
电场强度 通量、环流 高斯定理表述及证明 对应录像03、04
2013/2/27
§2.电场强度
p72 /p89 1-8、9、10、12
电场
库仑定律给出了两个点电荷相互作用的定量关系
问题：相互作用是如何传递的？
电荷
直接、瞬时 电荷
超距作用
电荷 传递需要时间 电荷
近距作用
▪ 两者争论由来已久
自学 p16 习题 p74/p91 1－27 属于电学中的受力问题 要求：会计算
电荷在电场中受力 点电荷系在电场中所受的力和力矩
2013/2/27
密立根油滴实验和电荷的量子性
1834年法拉第由实验得出电解定律，表明：
为了析出1mol单价元素需要相等的电量 F（法拉第常数）——1mol单价离子的电量 看出 e=F/NA——基本电荷
引入熵
概率论
表明研究对象变化，规律性质发生变化， 会有相应的数学手段的引入 如牛顿研究引力的同时提出了微积分
2013/2/27
场是一定空间范围内连续分布的客体
温度T 温度分布——温度场（标量场） 流速v 流速分布——流速场（矢量场） 电荷产生的场具有什么性质？
已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布 已知场分布也可求得其它带电体在其中的运动 物理学家不满足于这些，各种各样的电荷的场分布五
1)
2 0r
1 l
r2 l2
1
2 0r
即为与无限长均匀带电棒相距r处的场强
具有轴对称性，相同的r处， E相同
思考：
若上题中求的不是中垂面上的场强 Ez=0?
2013/2/27
例题：
求均匀带电圆环轴线
上的场强分布，设圆
环半径为a，带电总量
为Q。 解：1）取微元：
dq dl Q
2a
2 E
cos
1
4 0
(r 2
ql l 2 / 4)3 / 2
1
4 0
ql r3 (1 l 2 / 4r 2 )3 / 2
1
4 0
P r3
(令x l 1, 2r
(1 x)3 1 3 x2 1) 2
2013/2/27
电偶极子电场线
2013/2/27
P15 例题3:
求均匀带电棒中垂面 上的场强分布，设棒
dE
1
4 0
dq r2
1
4 0
dl
x2 a2
2013/2/27
2.对称性分析
y方向投影，抵消，Ey=0 x方向，同向
3.求积分 E d E Ex dEx
cos x ,
x2 a2
dEx dE cos
Ex
dEx
1
4 0
(x2
x
a
2
)
3 2
l 2a 0
dl
1
4 0
(x2
Qx a2)32
d' d
'E E
则电通量也有 对于闭合面S’+S，总通量为
E 0
结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的
电通量为零
2013/2/27
多个点电荷 被任意闭合曲面包围
设带电体系由n个点电荷组 成 ，其中 k个在闭合面内， n-k个在闭合面外
由场强叠加原理，通过闭 合面的总通量为
E E d S E1 d S Ek d S
花八门，只是表面现象，其本质是什么？ 期望从不同的角度揭示电场的规律性 经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场
2013/2/27
流速场
0
通量 v dS 0? S
0
0
环流 v dl L
0
有源（或汇）、有旋 、两者兼而有之
2013/2/27
类比
流线——电力线
流量——电通量 S
长为2l，带电总量为q。
微元法步骤 取微元 对称性分析 积分 讨论
2013/2/27
1.取微元
1 dz d E 4 0 r 2 z 2
其中， q ,场方向如图
2l
2.对称性分析
cos r
r2 z2
Ez 0,
dEr
2dE cos
2
1
4 0
rdz
(r 2z23源自)22013/2/27
2013/2/27
讨论：当 x>>a时
E
1
4 0
Qx
x3 (1
a2 x2
3
)2
1
4 0
Q x2
就是点电荷的电场
思考：
求均匀带电圆盘轴线上一点的场强，如何取微元？ 正方形带电线框中垂线上一点的场强？ 长方形带电板中垂线上一点的场强？
2013/2/27
§2.6 带电体在电场中受的力及其运动