22.3抛物线与几何图形的综合(专题)

22.3抛物线与几何图形的综合(专题)

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一．解答题（共4小题）

1．（2016•枣庄）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

2．（2016•临沂模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y 轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2016•广州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线

y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=﹣x+3恰好经过B，C两点

（1）写出点C的坐标；

（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；

（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

4．（2016•沈丘县二模）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、

B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

一．解答题（共4小题）

1．（2016•枣庄）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

【解答】解：（1）依题意得：，

解之得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3

∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），

∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，

得，

解之得：，

∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；

（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．

把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，

∴M（﹣1，2），

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；

（3）设P（﹣1，t），

又∵B（﹣3，0），C（0，3），

∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；

②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，

③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=

，t2=；

综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．

2．（2016•临沂模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵B（1，0），

∴OB=1；

∵OC=3BO，

∴C（0，﹣3）；（1分）

∵y=ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），

∴；

解这个方程组，得

∴抛物线的解析式为：（2分）

（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N

在中，令y=0，

得方程

解这个方程，得x1=﹣4，x2=1

∴A（﹣4，0）

设直线AC的解析式为y=kx+b

∴

解这个方程组，得

∴AC的解析式为：（3分）

∵S四边形AB C D=S△AB C+S△ADC

=

=

设，

（4分）

当x=﹣2时，DM有最大值3

此时四边形ABCD面积有最大值（5分）

（3）如图所示，

①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，

∵C（0，﹣3）

∴设P1（x，﹣3）

∴

解得x1=0，x2=﹣3

∴P1（﹣3，﹣3）；