第九章 相对论量子力学

E = ± p 2c 2 + m2c 4
显然，Dirac 方程还是存在负能量问题。 3、自由电子的能量本征矢——正负能态解 作业：推导自由电子的能量本征矢。 四、电磁场中的 Dirac 方程
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1、电磁场中的 Dirac 方程 当带电荷为 −e 的电子在电磁场（ A, Φ ）中运动，算符则作如下变换
2
p 2c 2 + m2c 4
（另一个不要）
ˆ = cα i p ˆ + β mc 2 E
α , β 不是普通的常数。对上式平方后与 E 2 = p 2 c 2 + m 2c 4 进行比较，可得 α iα j + α jα i = 2δ i j α i β + βα i = 0 β 2 =1
i, j = x, y, z 。解方程组得
∂ ∂t
p → −i ∇
将能量动量关系算符化后作用到波矢ψ (r , t ) ，得 Klein-Gordon [− 2c 2∇ 2 + m 2 c 4 ]ψ (r , t ) 2 ∂t
3、Klein-Gordon 方程的讨论 （1） 、单色平面波和波包都满足 Klein-Gordon 方程。 （2） 、负能量与负概率问题 负能量问题： E = ± p 2c 2 + m 2 c 4 在经典物理中，由于能量连续变化， E (0) ≥ 0 ，必有 E (t ) ≥ 0 ； 在量子物理中，正能量在非相对论极限下趋于静能 mc 2 ，理解上没有问题；但是粒子可 以在两个状态中跃迁，需要考虑负能量问题。 负概率问题： 由非相对论量子力学，几率密度 ρ 与几率流密度 j 分别为
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第九章 相对论量子力学
§9.1 Klein-Gordon 方程 一、Klein-Gordon 方程 1、物理研究对象：考虑相对论效应，自旋为零的微观粒子（标量粒子）动力学 2、Klein-Gordon 方程的建立（自由粒子） 相对论能量动量关系： E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 将能量动量算符化： E → i
ψ (r ) = (ψ 1 ψ 2 ψ 3 ψ 4 )
T
将ψ (r ) 代入定态方程，可得关于ψ (r ) 分量的齐次方程组，齐次方程组对应的久期方程为
E − mc 2 −cσ i p −cσ i p E + mc 2 =0
利用 (σ i A )(σ i B ) = Ai B + iσ i( A × B ) ，求得能量本征值
3、对于自由电子，求（ H , p, Σi p ）的共同本征函数。
ˆ 、 α 的共同本征函数。 4、对于满足 Dirac 方程的粒子，求总角动量 J 2 ， J z 以及 K r
5、证明在非相对论极限下，Dirac 方程的一级近似即为 Pauli 方程. 6、求狄拉克粒子在深为 V0 、宽为 a 的一维方势阱中的能级。 7、设在 t = 0 时，电子的归一化态矢量为
a 1 b 1 pz / ψ ( x ,0) = e ， c V d
其中 a, b, c, d 与 x , t 无关，而且满足
| a |2 + | b |2 + | c |2 + | d |2 = 1 。
试求出电子处于态： E > 0 ，自旋向上； E > 0 ，自旋向下； E < 0 ，自旋向上； E < 0 ，自旋 向下的几率。
ρ = ψ *ψ ≥ 0
j=− i ψ *∇ψ −ψ∇ψ * 2m
* ∂ ∂ * ψ ∂ t ψ −ψ ∂t ψ
Klein-Gordon 方程：
ρ=
i 2mc 2
j=−
i ψ *∇ψ −ψ∇ψ * 2m
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由 Klein-Gordon 方程导出的 ρ 不是正定的。 （3） 、负能量问题解决：Pauli 与 Weisskopf 指出，要把 Klein-Gordon 方程认作为场方程，对 其二次量子化处理后，ψ (r , t ) 就成为场算符。 正能量 ↔ 正粒子 负能量 ↔ 反粒子
作业：在非相对论极限下，研究 Klein-Gordon 方程。 二、电磁场中的 Klein-Gordon 方程 当带电荷为 q 的粒子在电磁场（ A, Φ ）中运动，算符则作如下变换
i
∂ ∂ →i − qΦ ∂t ∂t
p → −i ∇ −
q ˆ A c
将能量动量关系算符化后作用到波矢ψ (r , t ) ，得电磁场中的 Klein-Gordon 方程
∂Ψ ˆ = HΨ ∂t
自由电子的 Dirac 动力学方程的解具有多分量的平面波形式
ψ (r , t ) = ψ (r )exp ψ (r ) 满足定态方程
i ( pir − Et )
ˆ + β mc 2 )ψ (r ) = Eψ (r ) (cα i p
2、自由电子的能量本征值
2、氢原子能级的精细结构 （1） 、球旋量的引入 （2） 、氢原子能级的精细结构 （3） 、讨论 五、Dirac 方程的非相对论近似
2
§9.3 相对论量子力学的评价 一、Klein 佯谬
二、Dirac 海
三、评价
143
习题 1、中微子是自旋为 1/2，静质量为 0 的基本粒子。试仿照建立自由电子 Dirac 方程的方法， 建立中微子的相对论性波动方程。 2、设
I
0
σ i 为 Pauli 矩阵， I 为二阶单位矩阵。
ˆ = cα i p ˆ + β mc 2 ，作用到波矢ψ (r , t ) ，得 Dirac 方程 将能量动量算符化后， E i ∂ ψ (r , t ) = [−i cα i∇ + β mc 2 ]ψ (r , t ) ∂t
3、Dirac 方程的讨论
i
∂ ∂ →i + eΦ ∂t ∂t
e ˆ p → −i ∇ + A c
将能量动量关系算符化后作用到波矢ψ (r , t ) ，得电磁场中的 Dirac 方程
∂ e ˆ 2 ˆ i ˆ+ A + eΦ ψ (r , t ) = c α i p + β mc ψ (r , t ) c ∂t
2 2 2 α2 x= α y= α z = β = 1
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α x , α y , α z , β 任意两个都是反对易的。
Dirac 指出：满足上述条件的 α x , α y , α z , β 只能用矩阵来实现，而且只能是四阶厄米矩阵
αi = σ i
0
σi
0
β = 0 −I
σ 0 ˆ = cα i p ˆ ˆ ˆ + β mc 2 ， Σ = H ， J = L+ Σ 2 0 σ
ˆ, H ˆ]=0 证明： （1） [ J ˆ ] = 0 ， [ σ i p, H ˆ ] = 0 ，[ H ˆ, L ˆ + σ ⊗ σ / 2] = 0 。 ˆ, H （2） [ p 0
ˆ=r ˆ=p ˆ× p ˆ 与非相对论情形下的动能算符 T ˆ 2 / 2m 是对易的 一个粒子的轨道角动量算符 L ˆ, T ˆ] = 0 [L ˆ=r ˆ× p ˆ 与相对论情形下的自由粒子的密顿算符并不对易 但是轨道角动量算符 L ˆ, H ˆ]=0 [L ˆ = cα i p ˆ + β mc 2 ） （H
这表明，自由粒子的轨道角动量在运动中不是守恒量。然而，对于自由电子来说，空间是各 向同性的，角动量应是守恒量。因此，对电子来说，在轨道角动量之外，还应该具有固有的 一种角动量——自旋角动量。
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2、预言 设
σ 0 Σ= 0 σ
ˆ=L ˆ+ Σ J 2
总角动量
有
ˆ, H ˆ]=0 [J 2
ˆ 表示粒子的速度。 （1） 、 α 的物理意义：由算符运动方程，可以推证 cα
（2） 、几率密度 ρ 与几率流密度 j
ρ = ψ +ψ ≥ 0
ˆψ j = c ψ +α
由此得到连续性方程
∂ρ + ∇i j = 0 ∂t
Dirac 方程不存在负概率问题。
（3） 、Dirac 方程存在负能量问题。 二、Dirac 方程应用——预言存在电子自旋角动量 1、问题
自旋角动量： S =
Σ
作业：证明自旋沿动量方向的投影 S p = S in （ n = p / p ）与 H 对易。 [ S in, H ] = 0 三、Dirac 方程求解——自由电子平面波解 1、自由电子的 Dirac 方程
ˆ = cα i p ˆ + β mc 2 自由电子的哈密顿算符： H
自由电子的 Dirac 动力学方程： i
∂ q ˆ 2 2 4 ˆ− A − qΦ ψ (r , t ) = p i + m c ψ ( r , t ) c ∂t
§9.2 Dirac 方程 一、Dirac 方程 1、物理研究对象：考虑相对论效应，自旋为 1/ 2 的微观粒子动力学 2、Dirac 方程的建立（自由粒子） 相对论能量动量关系： E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 但只能取： E = 将能量动量算符化：令