二阶导数的应用
二阶求导公式
二阶求导公式二阶求导公式是微积分中的重要概念，用于求解函数的二阶导数。
在这篇文章中，我们将探讨二阶求导公式的含义和应用，并通过一些具体例子来说明其作用。
让我们回顾一下一阶导数的概念。
一阶导数描述了函数在给定点的斜率或变化率。
而二阶导数则提供了一些更深入的信息，它描述了函数的曲率以及一阶导数的变化率。
简而言之，二阶导数可以帮助我们更全面地理解函数的行为。
为了更好地理解二阶求导公式，让我们以一个简单的例子开始。
假设我们有一个函数f(x)，我们想要求解它在特定点x=a的二阶导数。
根据二阶求导公式，我们可以得到如下结果：f''(a) = lim(h->0) [f'(a+h) - f'(a)] / h这个公式的含义是：当我们取非常小的h值时，函数f在x=a处的二阶导数等于一阶导数在x=a处的变化率与h的比值的极限。
换句话说，我们可以通过计算一阶导数的变化率来获得二阶导数。
现在让我们看一个具体的例子来说明二阶导数的应用。
假设我们有一个物体在某一时刻的位置函数s(t)，我们想要求解它在特定时刻t=t0的加速度。
根据二阶求导公式，我们可以得到如下结果：a(t0) = s''(t0)这个公式的含义是：物体在特定时刻的加速度等于它在该时刻位置函数的二阶导数。
换句话说，通过求解位置函数的二阶导数，我们可以得到物体在特定时刻的加速度。
通过这个例子，我们可以看到二阶求导公式在物理学中的应用。
它可以帮助我们了解物体的加速度，并进一步推导出其他与运动相关的物理量，如速度和位移。
除了物理学之外，二阶求导公式还在其他领域有着广泛的应用。
在经济学中，二阶导数可以用于分析市场的曲率和弹性。
在工程学中，二阶导数可以用于分析信号的频率和谐波。
在生物学中，二阶导数可以用于分析生物体的生长速率和变化趋势。
总结起来，二阶求导公式是微积分中的重要概念，用于求解函数的二阶导数。
它可以帮助我们更全面地理解函数的行为，并在各个领域中有着广泛的应用。
二阶导函数
二阶导函数二阶导函数是指函数的导函数再求导的结果。
它是微积分中一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势和性质。
本文将从几个方面介绍二阶导函数的概念、性质以及应用。
我们来回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)而言，它的导数f'(x)表示函数在某一点的切线斜率，即刻画了函数在该点的变化速率。
而二阶导数f''(x)则是对一阶导数f'(x)再次求导得到的结果，它反映了函数变化的加速度。
可以说，二阶导函数是对函数变化趋势的进一步描述。
二阶导函数具有一些重要的性质。
首先，如果函数f(x)的二阶导数f''(x)存在且连续，那么f(x)在某一点x处的函数值和一阶导数f'(x)的函数值都可以通过二阶导数f''(x)来推导。
这意味着二阶导函数可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
二阶导函数还可以帮助我们判断函数在某一点的凹凸性。
具体来说，如果函数f(x)的二阶导数f''(x)大于零，那么函数在该点处是凹的；如果二阶导数f''(x)小于零，那么函数在该点处是凸的。
这个性质在优化问题中非常有用，可以帮助我们找到函数的极值点。
二阶导函数还可以用来判断函数的拐点。
拐点是指函数曲线由凹转凸或由凸转凹的点，也是函数变化趋势发生突变的点。
通过分析二阶导函数的零点，我们可以找到函数的拐点位置。
这个特性在曲线绘制和图形分析中非常有用。
除了以上的性质，二阶导函数还可以应用于泰勒级数的推导。
泰勒级数是将一个函数表示为无穷级数的形式，通过前几项的求和可以近似表示原函数。
而二阶导函数在泰勒级数中起到了重要的作用，它决定了函数在某一点附近的近似精度。
二阶导函数是对函数变化趋势的进一步描述，可以帮助我们判断函数的凹凸性和拐点位置。
它在数学分析、优化问题、曲线绘制和泰勒级数等领域都有广泛的应用。
通过研究二阶导函数，我们可以更深入地理解函数的性质和特点，并且在实际问题中得到更准确的解答。
位移对时间的二阶导
位移对时间的二阶导
在数学中，位移对时间的二阶导数是指对位移关于时间的一阶导数再进行一次求导，记作$s''(\tau)$。
对于直线运动，其加速度就是位置函数$s(t)$对时间$t$的二阶导数。
对于更复杂的运动情况，二阶导数可以用来描述其运动的加速度和曲率。
通过分析二阶导数的符号和数值，可以得到关于物体运动特征的有用信息，例如是否存在拐点、极值点等。
在物理学和工程学等领域中，二阶导数也有广泛的应用。
例如在电路分析中，二阶导数可以用来描述电信号的变化率；在机械工程中，二阶导数可以用于研究振动和弹性问题。
2-6二阶导数的应用
(−∞,3)
3
0
( 3, +∞ )
+
+
f ( x)
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第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
[例 7 ] 在一个有限的环境中，人口 P 的增长通常 遵从于如图所示的 S 曲线，它描述了人口增长率 是怎样随时间变化的，解释 t0 与 L 的实际意义.
PLຫໍສະໝຸດ ot0t四川职业技术学院数学教研室
若 lim+ | f ( x ) |= +∞ 或 lim− | f ( x ) |= +∞ ,
则x = x0 称为曲线 y = f ( x ) 的垂直渐近线 .
x → x0 x → x0
水平渐近线和垂直渐近线统称为渐近线 渐近线. 水平渐近线和垂直渐近线统称为渐近线
1 , 例如 y = ( x + 2)( x − 3) 1 lim y = lim = ∞, x → −2 x → −2 ( x + 2)( x − 3)
−
o
π
2
x
x →−∞
lim y = lim arctan x = −
x →−∞
π
2
, xlim y = xlim arctan x = →+∞ →+∞
π
2
有水平渐近线两条: y =
π
2
或y = −
π
2
.
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第二章 一元函数微分学
课题十 二阶导数的应用
2.垂直渐近线 2.垂直渐近线
f ′′(0) = 0
的拐点. 但( 0,0)并不是曲线 f ( x ) 的拐点
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二阶导数凹凸技巧
二阶导数凹凸技巧在微积分中，二阶导数凹凸技巧是解决函数凹凸性质的重要工具。
通过分析函数的二阶导数可以判断函数在某个区间上的凹凸性质，从而对函数的变化趋势有更深入的认识。
本文将介绍二阶导数凹凸技巧的基本原理和应用。
一、二阶导数的概念函数的二阶导数是指对函数的一阶导数再次求导得到的导数。
数学上，我们通常使用f''(x)或者d²y/dx²来表示函数f(x)的二阶导数。
二阶导数描述了函数在某一点上的曲率，可以通过曲率的变化来判断函数的凹凸性质。
二、凹凸性的判断1. 凹函数和凸函数的定义在数学中，如果函数在某个区间上的曲线位于其切线的下方，则该函数在该区间上是凹函数；如果函数在某个区间上的曲线位于其切线的上方，则该函数在该区间上是凸函数。
2. 利用二阶导数判断凹凸性对于凹凸函数，我们可以通过二阶导数的正负性来判断。
具体来说，如果函数的二阶导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间上是凹函数；如果函数的二阶导数在某个区间上恒小于0，则函数在该区间上是凸函数。
三、二阶导数凹凸技巧的应用1. 极值点的判断对于函数的极值点，我们可以通过分析二阶导数的正负性来判断。
如果函数在某个点的二阶导数大于0，则该点是函数的极小值点；如果函数在某个点的二阶导数小于0，则该点是函数的极大值点。
2. 凹凸区间的判断通过分析函数的二阶导数的正负性，我们可以确定函数的凹凸区间。
具体来说，如果函数的二阶导数在某个区间上恒大于0，则该区间是函数的凹区间；如果函数的二阶导数在某个区间上恒小于0，则该区间是函数的凸区间。
3. 拐点的判断对于函数的拐点，我们可以通过分析二阶导数的变化来判断。
如果函数的二阶导数在某个点发生了正负号的改变，即从正变为负或从负变为正，则该点是函数的拐点。
四、案例分析为了更好地理解二阶导数凹凸技巧的应用，我们来看一个简单的案例。
考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，我们需要判断该函数的凹凸性质。
多元函数的二阶偏导数及其应用
多元函数的二阶偏导数及其应用在微积分学中，多元函数是指依赖于多个自变量的函数。
而二阶偏导数则是对多元函数进行二次求导的操作。
本文将介绍多元函数的二阶偏导数的概念以及其应用。
一、二阶偏导数的定义在多元函数中，二阶偏导数是指对函数的一阶偏导数再进行求导的过程。
以二元函数为例，设函数f(x, y)具有一阶偏导数，在给定点(x₀, y₀)处，对x的一阶偏导数表示为∂f/∂x，对x的二阶偏导数则表示为(∂²f)/(∂x²)。
同理，对y的一阶和二阶偏导数分别表示为∂f/∂y和(∂²f)/(∂y²)。
而对于混合偏导数，比如对y求x的偏导数，可以表示为(∂²f)/(∂x∂y)。
二、二阶偏导数的计算在计算二阶偏导数时，我们可先对函数进行一阶偏导，然后再对一阶偏导数进行一次偏导。
假设有函数f(x, y)，我们首先分别对x和y进行一阶偏导，得到∂f/∂x和∂f/∂y。
然后，再对∂f/∂x和∂f/∂y分别对x和y 进行偏导，可得到(∂²f)/(∂x²)、(∂²f)/(∂y²)和(∂²f)/(∂x∂y)三个二阶偏导数。
需要注意的是，二阶偏导数的求导顺序一定要与原函数的变量顺序一致，否则结果可能不同。
三、二阶偏导数的应用二阶偏导数在物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见应用示例：1. 凸凹性和拐点二阶偏导数可用于判断函数的凹凸性以及凹凸区间。
对于一元函数，若二阶偏导数大于0，则函数凸；若二阶偏导数小于0，则函数凹。
而在拐点的位置，二阶偏导数会发生突变。
2. 泰勒级数展开泰勒级数是将函数表示成无穷级数的形式，通过计算二阶偏导数可以得到函数的更精确的展开形式。
二阶偏导数可以提供更多的信息，使得泰勒级数能够更准确地逼近原函数。
3. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，在求解拟合参数时，需要用到二阶偏导数。
二阶偏导数可以帮助我们找到最佳拟合曲线，从而更好地拟合实验数据。
函数二阶导数的意义
函数二阶导数的意义函数的二阶导数是指对函数进行两次求导所得到的导数。
在数学中，函数的导数是研究函数变化率的一种工具。
而函数的二阶导数，则进一步揭示了函数变化的二阶性质，即函数的变化速率的变化率。
在各种学科领域中，二阶导数都具有重要的意义。
对于函数f(x)，其一阶导数f'(x)表示函数在x处的切线斜率。
而f''(x)则表示函数在x处二阶导数的值。
其定义为：f''(x) = [(d/dx)f'(x)]即对f'(x)进行求导。
用数学语言来说，二阶导数可以理解为一阶导数的导数。
1. 函数的凹凸性质函数的二阶导数可以反映函数的凹凸性质。
如果f''(x) > 0，则f(x)在x处呈现凸的形状；如果f''(x) < 0，则f(x)在x处呈现凹的形状。
如果f''(x) = 0，则函数可能是平坦的或者在x处的拐点。
这个性质在很多领域中都有应用，尤其是在物理学中的运动学和力学中，二阶导数被用来描述物体的加速度，通过物体的加速度来反映物体运动的凹凸性质。
2. 函数的最值在经济学中，二阶导数被用来描述公司需求曲线和供给曲线的弹性。
通过求导得出其二阶导数，进而反映出企业市场均衡点，供求曲线的拐点和最值点。
3. 对曲线的描述二阶导数可以描述曲线的曲率。
曲率是一个曲线上某个点的弯曲程度。
相对于一阶导数，二阶导数更加精确地描述了曲线的曲率，因为它反映了曲线的变弯程度。
物理学中的波形和电磁波形都可以通过二阶导数来描述。
通信领域中的数字信号实时监测就是基于二阶导数的，将信号处理为数字，对二阶导数的特性进行分类，以此来判断信号的类型。
三、结语综上所述，二阶导数在很多领域中都扮演着重要的角色。
它可以反映出函数的凹凸性质，帮助我们求出函数的局部极值和拐点，还可以描述曲线的曲率。
因此，理解二阶导数的意义和应用，对我们掌握和应用各种数学和科学领域的知识，都有很大的帮助。
专题07 导数之二阶导数的应用(解析版)
专题07 导数之二阶导数的应用一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值） 【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性 【题型】三、利用二阶导数求参数的范围 【题型】四、利用二阶导数证明不等式 【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值 【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值 二、题型讲解总结【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（ ） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e【答案】B 【分析】不等式121112x x x x -->化简可得()()11221ln 1ln x x x x ->-，利用导数研究函数()()1ln f x x x =-的单调性，结合已知条件和函数的单调性可求m 的最小值.【详解】由121112x x x x -->，化简可得121112ln ln x x x x -->，即()()11221ln 1ln x x x x ->-．令()()1ln f x x x =-，则原不等式可化为()()12f x f x >， 由已知()f x 在(),m +∞上为单调递减函数，又()11ln ln 1x f x x x x x -=-+=-+-'，令()1ln 1u x x x =-+-，则()2110u x x x-'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递减，又()10u =，所以当()0,1x ∈时，()0u x >，当()1,x ∈+∞时，()0u x <．故当()0,1x ∈时，0fx，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．即()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以m 1≥．所以正数m 的最小值是1， 故选：B ．例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（ ）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-【答案】D【分析】将元不等式变形为ln 1()x ax b g x x++≥=，利用导数研究()g x 的单调性可得当直线y ax b =+与()g x 相切时ba取得最小值，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，进而得出(2ln 1)()b x x h x a x+-==，利用二次求导研究()h x 的单调性，求出max ()h x 即可.【详解】由()1f x =-知1c =-，∴()21f x ax bx =+-，∴()ln 1ln x f x x ax b x +≥⇔+≥，令ln 1()(0)x g x x x +=>，则1()0eg =， 2ln ()xg x x-'=，令()01g x x '>⇒<，令()01g x x '<⇒>， 所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 如图，若y ax b =+图象在()g x 图象上方，则01x <<，要使y ax b =+图象在()g x 图象上方，则ba表示x 轴截距的相反数，ba的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线y ax b =+与()g x 相切， 记切点为00(,)x y ，则0020ln ()x g x a x -'==，又00ln 1()x g x x +=， 所以00000220000ln ln 1ln 2ln 1()x x x x y x x x x x x x -+-+=-+=+， 有()0002ln 1ln x x b a x +-=，设()()2ln 1(01)ln x x h x x x+=<<，则()()2222ln 1ln 12(ln )ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -++-'==，故当1(0,)ex ∈时，函数()0h x '>，当1(,1)e x ∈时，()0h x '<，故当(0,1)x ∈时，函数()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,1)e 上单调递减，此时max 11()()e eh x h ==，综上，b a的最小值为1e -.故选：D.例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（ ）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值 【答案】D【分析】先对()f x 求导并整理，当3k =时，令2()(2)4x g x x e x =++-，对()g x 二次求导判断其单调性，得()g x 在R 上单调递增，由函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得()f x 的单调性即可判断；当4k =时，令2()(3)5x h x x e x =++-，同理求导，判断单调性即可判断.【详解】解：由()()(1)x x k f x e e x -=--，得 1()()(1)()(1)xxkxxk f x e e x k e e x ---'=+-+--12(1)(1)1k x x x x k e x k e--⎡⎤=-++--⎣⎦， 当3k =时，22(1)()(2)4xx x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦， 令2()(2)4x g x x e x =++-，222()2(2)1(25)1x x x g x e x e x e '=+++=++， 222()22(25)(412)x x x g x e x e x e ''=++=+，所以当3x <-时，()0g x ''<，()g x '在(),3-∞-上单调递减； 当3x >-时，()0g x ''>，()g x '在()3,-+∞上单调递增， 所以6()(3)10g x g e -''≥-=->，所以()g x 在R 上单调递增，又2(0)240,(1)330g g e =-<=->，则()g x 在区间()0,1上存在唯一零点0x ， 当0x x <时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在()0,x +∞单调递增； 所以()f x 在0x x =处取得唯一极值，故选项A 、B 错误； 当4k =时32(1)()(3)5x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦， 令2()(3)5x h x x e x =++-，则222()2(3)1(27)1x x x h x e x e x e '=+++=++， 222()22(27)(416)x x x h x e x e x e ''=++=+，所以当<4x -时，()0h x ''<，()h x '在(),4-∞-上单调递减； 当4x >-时，()0h x ''>， ()h x '在()4,-+∞上单调递增； 所以8()(4)10h x h e -''≥-=->，则()h x 在R 上单调递增， 又(0)0,(1)0h h <>，则()h x 在区间()0,1上存在唯一零点t ， 则令()0f x '=，得1x =或(0,1)x t =∈， 当x t <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1t x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x t =处取得极大值，在1x =处取得极小值，选项C 错误，选项D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是，利用二次求导判断导函数的单调性，然后再利用函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得原函数的单调性.例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012xa f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.【详解】根据题意，求导可得，()()204x a f x ae x a a '=-->， ∴()1022xx a f x ae x a e x ⎛⎫''=-=-> ⎪⎝⎭（ x e x >）， ∴f x 在R 上单调递增，又∴当0x =时，()00f '= ∴当0x <时，0f x ，即函数()f x 在,0上单调递减，当0x >时，0fx，即函数()f x 在0,上单调递增，故有()()min 02f x f a ==-，即得()[)2,f x a ∈-+∞，所以根据题意，若使()()min 2f f x a =-，需使()f x 的值域中包含[)0,+∞， 即得202a a -≤⇒≤， 故a 的最大值为2. 故选：B.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； （5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x xh x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-， 则（ ）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】先由对数的运算法则把,,a b c 转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而,,a b c 的真数的大小关系，最后利用ln y x =的单调性判断,,a b c 的大小. 【详解】由对数的运算法则得1ln 9ln 9b =-=，10ln(ln 0.9)ln ln 9c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.令函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 在R 是单调递减. 11sin 99∴<令函数()()sin ln 1,0,6g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 1g x x x '=-+，令函数()1cos ,0,16h x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭，则()()21sin 1h x x x '=-++， ()h x '在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()211010,06216h h ππ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()000,,06x h x π⎛⎫'∴∃∈= ⎪⎝⎭， 所以()h x 在()00,x 上单调递增，在0,6x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又()1600,06616h h πππ⎛⎫===-> ⎪+⎝⎭+ ()0h x ∴>在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立 ()0g x '∴>，即()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ()()0=0g x g ∴>，则()sin ln 1x x >+ 当19x =时，1110sin ln 1ln 999⎛⎫>+= ⎪⎝⎭. 又ln y x =在()0,∞+上单调递增10ln19∴> 1011ln ln ln sin ln 999⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ c a b ∴<<【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题： 在构造函数时需要视具体情况而定在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（ ） A ．0a b +≥ B ．0a b +≤ C ．0ab ≥ D ．0ab ≤【答案】C【分析】变形()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，构造函数()2e 2e x xf x x =-，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a 、b 符号.【详解】()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，设()2e 2e x xf x x =-，则()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x x x =-+=--'，设()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以()()2e 0xf xg x '=≥，()f x 单调递增．当a b ≥时，()()e 0bb f a f b =-≥，故此时0a b ≥≥；当a b ≤时，()()e 0bb f a f b =-≤，故此时0a b ≤≤，所以0ab ≥.故选：C ．例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（ ） A ．2a b > B ．2a b < C ．|||2|>a b D ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∴22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∴()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∴()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将不等式转化为()()22e 21e x x a x ->-，分别研究两个函数的性质，确定a 的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小a 的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>，化简得：()()22e 21e x x a x ->-，设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式即为()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <， ∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴0a >.∴()20f =，()22e 0g a =>，∴()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥， 则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--. 设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()21e 2e 2ex x x ϕ+'=-在[)3,+∞单调递减，所以()()()21e 2e302ex x x ϕϕ+''=-≤=，所以()()2e 2e 22ex x x x ϕ=--在[)4,+∞单调递减，∴()()()242e 2e 0x ϕϕ≤=-<，∴当4x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[]4,+∞上为减函数， 即()()2423e 44e 3e e 402h x h a ⎛⎫≤=-≤-< ⎪⎝⎭，∴当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立， ∴原不等式的解集中没有大于2的整数.∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()334455f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即232425e 2e 4e 3e 9e 4e a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩， 解得32944e 3e a ≤<. 则实数a 的取值范围为3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D【点睛】已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解. 【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（ ） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【答案】C【分析】利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到12x x ， 的取值区间；再利用一阶导数求出相应点的切线方程，再求y 轴上的截距，然后确定12b b - 的单调性，然后就可以确定它的取值范围. 【详解】因为()2ln f x x x =+而()121206x x x x ∈<，，，，所以()22212x f x x x x-'=-+=， 在点1112ln A x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 处的切线方程为：()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；在点2222ln B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 处的切线方程为：()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以()1111211112124ln ln 1b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2224ln 1b x x =+-； 令()4ln 1b x x x =+- ，则()22414x b x x x x-'=-+= 11212121224444ln 1ln 1ln xb b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为12l l ∥ ，所以2211222121x x x x -+=-+，且124x x << 所以211112x x +=， 112102x x x =-> ，12x > ，12246x x <<<<所以112122224482ln 2ln 2x b b x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪-⎝⎭，令()12822ln2g x b b x x =-=-+- ，()46x ∈， 则()()()222481022x g x x x x x -'=-=-<-- 所以()12822ln 2g x b b x x =-=-+-在()46，单调递减. 所以()122ln 203b b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故选：C例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞【答案】B 【分析】等价于2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，利用导数求出函数()f x 的最大值即得解. 【详解】解：依题意，2ln 42x a x x x x≥-+-， 设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，则()224ln 3x x x f x x---+='， 令()24ln 3h x x x x =---+，故()21420h x x x x'=---<， 所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，而()10h =， 故当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<， 故函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故()max ()11==f x f ，则1a ≥. 故选：B ．例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+【答案】A【分析】求出原函数的导函数并化简得到()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=-⎪⎝⎭，1x =为导函数的零点，进而设()()22e 10xg x x kx=->，然后再通过导数方法判断出函数()g x 的零点，进一步得到函数()f x 的单调区间，最终确定出极值点个数求出答案.【详解】由题意，()22e 10,ln x x f x x kx x ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，则()()223222e 1112e 1x x x x x f x kx x x kx -⎛⎫--'=-=- ⎪⎝⎭， 设()()22e 10xg x x kx=->，()22221e x x g x k x -'=⋅⋅. 当0k >时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()min 14e12g x g k⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （1）若04e k <≤，则()()min 0g x g x ≥≥，则()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 有唯一极值点1x =. （2）若24e<2e k <，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=->，22211212e e e 22212e2e 112e 10112e 2e 2e g k k ⋅⎛⎫=-=->-> ⎪⎝⎭⋅⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在110,,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上存在唯一一个零点12,x x ，于是()10,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()12,x x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()2,1x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以()f x 有12,,1x x 三个极值点；（3）若22e k =，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=-=，221212e e 2212e 12e 1012e 2e g k ⋅⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点3x ，于是()30,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()3,1x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()1,x ∈+∞时，0fx ，()f x 单调递增，所以()f x 有3x x =唯一一个极值点；（4）若22e k >，则()22e 110g k=-<，又102x <<时，()22e 211x g x kx kx =->-，所以102x <<且2x k<时，()0g x >. 设()()e 1xh x x x =->，()e 1e 10x h x '=->->，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()221e 10e e x x h x h x x >=->⇒>⇒>，于是1x >时，()22211x xg x kx k>-=-，所以1x >且2kx >时，()0g x >. 结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在()10,,1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点45,x x ，于是()40,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()4,1x x ∈时，0fx，()f x 单调递增，()51,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()5,x x ∈+∞时，0f x，()f x 单调递增，所以()f x 有45,1,x x 三个极值点.当0k <时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，()max 14e102g x g k⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，即()0g x <恒成立，于是()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x 有唯一极值点1x =. 综上所述：k 的取值范围为(){}2,0(0,4e]2e -∞⋃⋃.故选：A.【点睛】本题非常复杂，注意以下两个方面：∴对函数求完导之后一定要因式分解，()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=- ⎪⎝⎭，现在只需要考虑()()22e 10xg x x kx =->的零点即可；∴因为导函数()f x '有一个零点1，所以在讨论函数()()22e10xg x x kx=->的零点时一定要注意它的零点是否为1，方法是将x =1代入得到()222e 1102e g k k=-=⇒=，以此作为讨论的一个分界点. 例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】把给定不等式转化为214ln x m x -≤在[]2,4上有解，构造函数()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，探讨该函数最大值即可得解.【详解】由[]2,4x ∈，得ln 0x >，又关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，所以214ln x m x -≤在[]2,4上有解，即2max 14ln x m x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，则()()()()2224124ln 12ln 4ln 4ln x x x x x x x x g x x x ⋅--⋅-+'==，设()12ln h x x x x x=-+，[]2,4x ∈，则()22112ln 212ln 10h x x x x x '=+--=+->，即()h x 在[]2,4上单调递增，则()()13324ln 224ln 220222h x h ≥=-+=->->， 于是有()0g x '>，从而得()g x 在[]2,4上单调递增， 因此，()()max 161151544ln 44ln 48ln 2g x g -====，则158ln 2m ≤， 所以m 的取值范围是15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及不等式在给定区间上有解求参数范围问题，常常采用分离参数，构造函数，再求函数最值的思路来解决问题. 【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（ ） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出()f x 的单调性，由此化简不等式(3)(21)0f x f x ---<来求得不等式的解集.【详解】当0x ≥时，()()()'''2sin s 2cos 0,2,in x x x e x f x f x e x x e x x =++>=++++单调递增，()'01f =，所以()()'0,f x f x >单调递增.因为()f x 是偶函数，所以当0x <时，()f x 单调递减.(3)(21)0,(3)(21)f x f x f x f x ---<-<-，()()22321,321x x x x -<--<-，22269441,3280x x x x x x -+<-++->，()()23402x x x +->⇒<-或43x >.即不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：D例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D【分析】根据题中a ，b ，c 的形式构造函数()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，利用二次求导的方法判断函数()f x 的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】因为()1212a =+，()11e b e =+，()1313c =+，所以令()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=， 令()()()ln 1,01x g x x x x =-+>+，则()()201x g x x -'=<+， ∴()g x 在()0,∞+上单调递减，()()00g x g <=， ∴()0f x '<恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递减． ∴23e <<，∴()()()23f f e f >>，即()()()111ln 12ln 1ln 1323e e +>+>+，所以()()()11123ln 12ln 1ln 13e e +>+>+， 所以()11132314e e >+>，即a b c >>， 故选：D ．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x xh x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =， 故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用二次求导法，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】()()()()2cos 1sin 1cos 02x f x x g x f x x x g x x ''=-+⇒==-+⇒=-≥，故()g x 为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，可得()f x 为增函数. 又()f x 为偶函数，故()()f x a f x a +=+，()()22221111f x a f x x a x x x a x x +<+⇔+<+⇔---<<-+恒成立. 因为221331()244x x x -+=-+≥，221331()244x x x -+-=---≤-，所以有3344a -<<，故答案为：33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007【答案】A【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解. 【详解】()3211533212g x x x x =-+-，所以()()23,21g x x x g x x '''=-+=-，令12102x x -=⇒=，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()3211533212g x x x x =-+-的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭ ，()()1220141201412,20152015201520152015g x g x g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=∴++⋅⋅⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22013100710081007220142015201520152015g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∴()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0， 则()()20g x g x -+=， ∴11921831791121010101010101010+=+=+==+=∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：A.例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212【答案】B【分析】通过条件，先确定函数()f x 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和. 【详解】由()3272392f x x x x =-+-，可得()2669f x x x '=-+，()126f x x ''=-，令()1260f x x ''=-=，得12x =，又32111171239222222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以对称中心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以12021220201,12022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，11010102022202122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201011222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以12320211202110101202220222022202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：B.例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【答案】D【分析】先求出()f x ''，结合题意求得函数()f x 的对称中心，进而得到()()12f x f x +-=，进而求出1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可.【详解】由题意得，()()23,21f x x x f x x '''=-+=-，令()0f x ''=，解得12x =，又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的对称中心为1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()12f x f x +-=，1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1120162201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=. 故选：D ．【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有（ ）∴()sin cos f x x x =+，∴()e x f x x -=-，∴()ln 2f x x x =-，∴3()21f x x x =-+-. A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【答案】B【分析】根据题意，分别验证各个选项中的函数的二阶导数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是否是负数即可.【详解】∴()sin cos f x x x =+,则()sin cos f x x x ''=--，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,cos 0x x >>，则()sin cos 0f x x x ''=--<，选项∴满足；∴()e x f x x -=-，则()(2)x f x x e -''=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20x ->，即()0f x ''>，∴不符题意； ∴()ln 2f x x x =-，则21()0f x x ''=-<，选项∴满足； ∴3()21f x x x =-+-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()60f x x ''=-<，选项∴满足.综上有3个函数符合题意. 故选：B例22．（2023·全国·高三专题练习）设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.【答案】(-∞【分析】对函数()f x 求导，并对其导函数再次求导，将问题转化为函数最值问题，利用导数求最值即可.【详解】由()21ln f x m x x x=++，得()212m f x x x x '=-+，令()212m h x xx x =-+，则()2322m h x x x'=-++， 令23220m x x-++>恒成立，即222m x x <+恒成立， 令()()2220g x x x x =+>，则()()32214224x g x x x x-'=-+=，当x ⎛∈ ⎝时，()0g x '<，g （x ）单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0g x '>，g （x ）单调递增，所以()2221g x g ≥=+=所以m <故答案为：(-∞.例23．（2021·江苏扬州·高三阶段练习）函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<【答案】BC【分析】根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出． 【详解】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足()0f x ''>在定义域内恒成立．对于A ，2()log (0)f x x x =>，则2111()()0ln 2ln 2f x x x '''==-⋅<在0x >时恒成立， 不符合题意，故选项A 错误；对于B ，()2x f x e x -=+，则()(21)20x x f x e e --'''=-+=>恒成立， 符合题意，故选项B 正确；对于C ，3()2(0)f x x x x =-+<，则2()(32)60f x x x '''=-+=->在0x <时恒成立， 符合题意，故选项C 正确；对于D ，2()sin (0)f x x x x π=-<<，则()(cos 2)sin 20f x x x x ''=-'=--<在0πx <<时恒成立，不符合题意，故选项D 错误. 故选：BC.。
二阶导数判定法
二阶导数判定法二阶导数判定法是高等数学中关于函数凹凸性质的重要判定方法之一。
本文将详细介绍二阶导数判定法的理论基础、具体步骤以及其在实际问题中的应用。
一、二阶导数判定法的理论基础二阶导数是函数的导数的导数，表示了函数变化的速率的变化。
对于一元函数f(x)，其二阶导数是f''(x)，即f''(x)=d^2f(x)/dx^2。
二阶导数判定法是通过研究函数的二阶导数来判断该函数在某个区间上的凹凸性质。
1. 凹凸点的定义凹凸点是函数f(x)图像上的特殊点，对于给定的函数f(x)，如果存在区间[a,b]，使得对于任意的x1,x2∈[a,b]，并且有f''(x)>0，那么称点(x,f(x))为函数f(x)在[a,b]上的凹点。
如果对于任意的x1,x2∈[a,b]，并且有f''(x)<0，那么称点(x,f(x))为函数f(x)在[a,b]上的凸点。
2. 凹凸区间的定义凹凸区间是函数f(x)图像上的特殊区间，对于给定的函数f(x)，如果在[a,b]上的每个点都是凹点，那么称区间[a,b]为函数f(x)的凹区间。
如果在[a,b]上的每个点都是凸点，那么称区间[a,b]为函数f(x)的凸区间。
3. 临界点的定义临界点是函数f(x)图像上的特殊点，对于给定的函数f(x)，如果在点c处f''(c)=0或者f''(c)不存在，那么称点(x,f(x))为函数f(x)的临界点。
二、二阶导数判定法的具体步骤二阶导数判定法通过研究函数的二阶导数的正负来判断函数的凹凸性质。
具体步骤如下：1. 求出函数f(x)的一阶导数f'(x)；2. 求出函数f'(x)的二阶导数f''(x)；3. 解方程f''(x)=0，找出函数f(x)的临界点；4. 确定函数f(x)的凹凸区间：a. 将临界点和定义域的端点分别作为凹凸区间的边界点；b. 将f''(x)的符号变化的点也加入凹凸区间的边界点；c. 根据f''(x)的符号确定函数f(x)的凹凸性质。
二阶导数怎么用拉格朗日中值定理
二阶导数怎么用拉格朗日中值定理二阶导数怎么用拉格朗日中值定理一、引言二阶导数是微积分中非常重要的一个概念，它描述了函数曲线的凹凸性。
而拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，它联系了函数的导数和函数值。
本文将通过深入理解二阶导数以及它如何与拉格朗日中值定理相结合，帮助读者更好地理解这些概念和方法。
二、二阶导数的定义和性质1. 什么是二阶导数？二阶导数是函数在某一点的导数的导数，可以理解为对函数曲线进行两次微分得到的结果。
在一元函数的情况下，二阶导数可以通过对原函数的一阶导数再次求导得到。
若函数f(x)的一阶导数存在，则f(x)的二阶导数可表示为f''(x)或d^2y/dx^2。
2. 二阶导数的凹凸性二阶导数可以描述函数曲线的凹凸性。
如果在一个区间内，函数的二阶导数大于零，则函数曲线在该区间内凸; 如果二阶导数小于零，则函数曲线在该区间内凹。
如果二阶导数恒大于零或者恒小于零，则函数曲线称为严格凸或严格凹。
三、拉格朗日中值定理1. 什么是拉格朗日中值定理？拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，它建立了函数导数与函数值之间的联系。
定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)上可导，则存在一个c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
这个定理的物理几何意义是：在曲线上至少存在一点，该点的切线与曲线上两点间的连线平行。
2. 二阶导数与拉格朗日中值定理的关系由拉格朗日中值定理可知，函数在开区间(a,b)上可导，则在该区间内一定存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
如果再对该等式两边同时求导，由于导数的连续性，我们可以得到f''(c)=0。
这说明了二阶导数在满足特定条件下的应用，即当函数在两点间的变化率恒为常数时，存在某一点的二阶导数为零。
四、二阶导数在实际问题中的应用1. 函数的拐点二阶导数可以告诉我们函数曲线上的拐点。
红外曲线二阶导数
红外曲线二阶导数红外曲线二阶导数是利用红外光谱测量中的一种数据处理方法。
它在红外光谱分析中起着非常重要的作用，具有非常高的应用价值。
本文将对红外曲线二阶导数这个概念进行详细的介绍，包括其定义、应用和计算方法等。
一、概念定义红外曲线二阶导数是指将红外光谱曲线进行二阶求导之后得到的新的光谱曲线。
一般来说，红外光谱曲线中的各种吸收峰都是由荷布反应、协同振动和离子反应等多种分子振动引起的。
这些吸收峰的形状和位置可以反映出分子结构的不同特征。
而通过对红外光谱曲线二阶导数的分析，可以更加准确地确认光谱峰位的位置，进一步提高光谱分析的准确性和稳定性。
二、应用价值红外曲线二阶导数具有非常高的应用价值，主要体现在以下几个方面：1、提高峰位的分辨率。
在一些复杂的红外光谱曲线中，吸收峰的释放很密集，有时难以区分和识别。
而使用二阶导数算法可以有效提高峰位的分辨率，降低识别难度，更精确地判断光谱峰位的位置和强度。
2、减少峰的重叠。
在一些分子振动中，会出现吸收峰的重叠现象。
此时使用传统的光谱分析方法往往难以分辨，但是通过二阶导数法可以将重叠的峰分离出来，得到更为精确的光谱峰位和强度。
3、检测光谱峰的高低。
在红外光谱分析中，有时光谱峰的高低会成为分析的关键指标。
通过二阶导数分析，可以更加准确地测量出光谱峰的高低和精确值。
4、确认峰的形状和特征。
通过对光谱曲线的二阶导数分析，可以更加准确地确认吸收峰的形状和特征。
这有助于进一步了解样品的分子结构和化学特性。
三、计算方法计算光谱曲线的二阶导数，需要借助二阶微分方程的计算原理。
红外光谱仪一般自带二阶微分计算功能，也可以通过计算机软件自行进行二阶微分的计算。
具体步骤如下：1、将光谱曲线进行 Smoothing 处理，以去除曲线中的噪声和干扰。
具体方法有Savitzky-Golay 平滑处理、线性傅里叶平滑处理等。
2、对 Smoothing 处理后的曲线进行二阶微分计算，得到红外曲线的二阶导数。
二阶导数的应用
二阶导数的应用
在数学中，二阶导数可以用来确定函数的凸凹性和拐点。
当函数的二阶导数大于零时，函数呈现凸形，即在该点处的斜率逐渐增大；当二阶导数小于零时，函数呈现凹形，即在该点处的斜率逐渐减小。
而当二阶导数等于零时，函数存在拐点，即曲线的弯曲方向发生变化。
在物理学中，二阶导数也有着广泛的应用。
例如，当我们研究物体的加速度时，其加速度的变化率就是物体的二阶导数。
另外，在波动学中，二阶导数也可以用来描述波函数的弯曲程度。
总之，二阶导数在数学和物理学中都有着广泛的应用，是一种非常重要的概念。
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二阶偏导几何意义
二阶偏导几何意义
二阶偏导数是函数在某一点处的二阶导数，也就是对函数的某一变量求导两次，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在几何上，二阶偏导数可以用来描述函数的局部曲率和曲率变化率。
具体来说，设函数f(x,y)具有两个连续偏导数，即f(x,y)、
fx(x,y)和fy(x,y)均连续。
则在(x0,y0)处，f的二阶偏导数可以表示为以下形式：
f''(x0,y0)=[2f/x2](x0,y0) [2f/yx](x0,y0)
[2f/xy](x0,y0) [2f/y2](x0,y0)
其中，[2f/x2](x0,y0)表示f在x0处沿x轴方向的曲率，
[2f/y2](x0,y0)表示f在y0处沿y轴方向的曲率，[2f/xy](x0,y0)和[2f/yx](x0,y0)分别表示f在(x0,y0)点处的曲率变化率。
几何上，可以把f(x,y)看成是一个曲面，而(x0,y0,f(x0,y0))则是该曲面上的一个点。
在这个点处，[2f/x2](x0,y0)和
[2f/y2](x0,y0)分别描述该曲面沿x轴和y轴方向的曲率，即曲面在该点处向该方向弯曲的程度。
而[2f/xy](x0,y0)和[2f/yx](x0,y0)则表示曲面在该点处沿着斜线方向进行弯曲的程度。
因此，通过对二阶偏导数的分析，可以深入了解曲面的特性，进而更好地理解和掌握函数的本质。
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二阶导数在解高考函数题中的应用
浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。
这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。
解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。
若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。
本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
例1.（全国卷Ⅰ第20题）已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .（1） 若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围；（2） 证明：0)()1(≥-x f x .原解答如下:解（1）函数的定义域为（0，+∞），xx x f 1ln )('+= ， 11ln 1)('22++≤+⇔++≤ax x x x ax x x xf ，max )(ln ln x x a x x a -≥⇔-≥⇔ .令,11)('ln )(-=-=xx g x x x g 则 递减，时，当递增；时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><< 从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ，故所求a 的范围是[-1,+∞﹚.证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则① 10<<x 时，0)1(ln ln )(≤+-+=x x x x x f ；② 0)111(ln ln )1ln (ln )(1≥+--=+-+=≥xx x x x x x x x f x 时，. 综上可知，不等式成立.对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。
二阶导数怎么用拉格朗日中值定理
《二阶导数与拉格朗日中值定理》在微积分领域中，二阶导数和拉格朗日中值定理是两个非常重要的概念和定理。
它们不仅在数学理论中有着重要的地位，更是在实际问题的分析和解决过程中起着关键性的作用。
本文将深入探讨二阶导数和拉格朗日中值定理的概念、性质，并结合具体例子进行分析，帮助读者更好地理解和应用这两个重要的数学工具。
一、二阶导数的概念和应用1. 二阶导数的定义在微积分中，我们知道函数的一阶导数描述了函数曲线的斜率和变化率，而二阶导数则描述了一阶导数的变化率。
如果函数f(x)的一阶导数存在，那么其二阶导数可以表示为f''(x)或者d^2/dx^2[f(x)]。
它可以用来描述函数曲线的凹凸情况、拐点等重要性质。
2. 二阶导数的计算方法在实际计算中，可以通过对函数的一阶导数再求导得到二阶导数，也可以利用泰勒级数展开、微分学的基本公式等方法进行计算。
在具体应用中，我们经常会用到二阶导数来分析函数的凹凸性质，例如求函数的拐点、凹凸区间等问题。
3. 二阶导数的应用举例（这一部分请你根据你的具体应用场景和例子进行填充，展示二阶导数在实际问题中的应用。
）二、拉格朗日中值定理的概念和原理1. 拉格朗日中值定理的表述拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内的某一点处的取值之间的关系。
具体而言，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)。
2. 拉格朗日中值定理的几何解释从几何的角度来理解，拉格朗日中值定理实际上描述了函数曲线在某个区间内的平均变化率与其切线斜率之间存在关系。
这个定理在实际问题中有着广泛的应用，尤其是在求解函数在某个区间内的平均增长率、平均速度等问题时非常实用。
3. 拉格朗日中值定理的应用举例（这一部分请你根据你的具体应用场景和例子进行填充，展示拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
二阶导数的应用
4
2 n n
2 n 1
2 ! 4 ! ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝-1!，f"'(x)＝2!
的速度都比lnx趋于＋∞的速度快。
e1111
2!
n!
例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx
f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1
f(4)(0)＝0，… f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0 于是，sinx在x＝0点的泰勒展开式为：
一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。
那么 我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
[定理4.8] 设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导
数，那么
f(x ) f( 0 ) f'( 0 )x f" 2 ( ! 0 )x 2 f(n n ) ! ( 0 )x n R n (x )
例4.23 求极限 lim1cosx
x x0
2
解：当x→0时原式是0 型的不定式，用罗必塔法那么
0
有lx i0m 1x c2ox slx i0m s2ixxn1 2
例4.24
求极限
x3 3x2 lxim1 x3 x2 x1
解：当x→1时原式是0 型的不定式，用罗必塔法那么
微积分中的二阶及高阶导数的概念及计算
ex 1 x x2 xn O(xn )
2!
n!
在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式
e 11 1 1
2!
n!
例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx
f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1
f(4)(x)＝cosx，… ∴f(0)＝1，f'(0)＝0，f"(0)＝－1，f"'(x)＝0
f(4)(0)＝1，… f(2n－1)(0)＝0，f(2n)(0)＝(－1)n 于是，cosx在x＝0点的泰勒展开式为：
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n O(x2n1)
例4.13 判定曲线y＝1 的凹凸性
x
解：∵y＝ 1 ∴f'(x)＝－ 1 ，f"(x)＝ 1 ，
x
x2
x3
无拐点但有间断点x＝0
当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，
当x＞0时，f"(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性
例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2
∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的， 点(0,－1)不是拐点。
4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准
确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为：
势能的二阶导数的物理意义
势能的二阶导数的物理意义摘要：1.势能的概念及其在物理学中的应用2.二阶导数的定义及其在势能中的应用3.势能二阶导数的物理意义4.实例分析：势能二阶导数在物理学中的具体应用5.总结：势能二阶导数在物理学研究中的重要性正文：势能是物理学中一个重要的概念，它描述了物体由于位置或位形而具有的能量。
在物理学中，势能的二阶导数有着重要的物理意义。
首先，我们来回顾一下势能的概念。
势能又称作位能，它是描述物体在相互作用场中的能量状态。
在国际单位制中，势能的单位是焦耳（J）。
势能的概念最早由艾萨克·牛顿提出，他在研究引力场时发现了势能的概念。
此后，势能被广泛应用于电磁场、量子力学等领域。
其次，我们来了解一下二阶导数的定义。
二阶导数是数学中一个概念，它表示函数的斜率的变化率。
在物理学中，二阶导数被用来描述势能的变化率。
具体来说，势能的二阶导数表示了单位质量物体在某一位置的势能对位置的二次微分的值。
这个值反映了势能曲线的曲率，从而揭示了势能随位置变化的速率。
那么，势能二阶导数的物理意义是什么呢？首先，当势能的二阶导数大于零时，表示势能曲线的上方部分是上升的，即势能增加；而当二阶导数小于零时，表示势能曲线的上方部分是下降的，即势能减少。
这为我们判断物体在某一位置的势能变化提供了依据。
此外，势能二阶导数在物理学中还具有实际应用。
例如，在电磁学中，电势的二阶导数表示了电场的强度。
通过计算电势的二阶导数，我们可以得到电场的分布情况，从而为工程设计和科学研究提供重要依据。
在量子力学中，势能的二阶导数与波函数的解析有关。
通过研究势能的二阶导数，我们可以更好地理解量子力学中的波动性质。
总之，势能二阶导数在物理学研究中具有重要意义。
它不仅揭示了势能随位置变化的速率，还为电磁学、量子力学等领域的研究提供了有力工具。
函数二阶可导
函数二阶可导
函数二阶可导是数学中的一个重要概念，它描述了函数在某个点处的二阶导数存在的性质。
在本文中，我将介绍函数二阶可导的概念，并探讨它的应用和意义。
函数的一阶导数描述了函数在某个点处的斜率或变化率。
而函数的二阶导数描述了一阶导数的变化率。
换句话说，二阶导数可以告诉我们函数的曲线在某点处是凹还是凸，以及曲线的曲率大小。
具体来说，如果函数的二阶导数大于零，则函数在该点处是凸的，曲线向上弯曲。
如果二阶导数小于零，则函数在该点处是凹的，曲线向下弯曲。
而如果二阶导数等于零，则函数在该点处可能是拐点或是平坦的。
函数二阶可导的概念可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
例如，通过研究函数的二阶导数，我们可以确定函数的拐点和极值点。
这在优化问题和最值问题中非常有用。
函数二阶可导还可以用于描述物理学中的运动问题。
例如，我们可以用二阶导数来描述物体的加速度。
通过分析加速度的变化，我们可以了解物体的运动状态和轨迹。
函数二阶可导的概念在微积分学中有着广泛的应用。
它不仅可以帮助我们理解函数的性质，还可以用于解决各种实际问题。
因此，深入学习和理解函数二阶可导的概念是非常重要的。
总结起来，函数二阶可导是描述函数在某个点处的二阶导数存在的性质。
它可以告诉我们函数的曲线是凹还是凸，以及曲线的曲率大小。
函数二阶可导在数学和物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种实际问题。
因此，我们应该深入学习和理解函数二阶可导的概念，以提升我们的数学和科学素养。
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小结 曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法.
思考题
思考题解答
例
练习题
二、曲线的渐近线 定义: 若一条曲线在它无限延伸过程中,无限接
近于一条直线,则称这条直线为该曲线的渐近线.
1.水平渐近线
例如 有水平渐近线两条:
2.垂直渐近线
水平渐近线和垂直渐近线统称为渐近线.
最大值 极小值
极大值 拐点 最小值
凹的
思考题
思考题解答
练习题
二、
练习题答案
例如
有垂直渐近线两条:
[例
1] 解
[例
2] 解
三、函数图形的描绘 1. 利用函数特性描绘函数图形的一般步骤
第一步
第二步
第三步
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其 他变化趋势;
第五步
2. 作图举例
[例 3] 解
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点 :
拐点
极值点
不存在
不存在
2. 凸的
上述结论反过来是否成立呢?
2. 曲线凹凸的判定
[例 1] 解
注意到,
[例 2] 解
拐点
拐点
[例 3解]
拐点
练一练：
解
拐点
[例 4] 解
拐点
由此可知，二阶导数不存在时，也可能产生拐点 .
解
,
[例
6] 解
勇于开始，才能找到成 功的路 L
L
间 断 点
作图
[例
4]
解
偶函数, 图形关于y轴对称.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
拐点
极大值
拐点
[例5] 解
无奇偶性及周期性.
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
极大值
拐点
极小值
小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
凸的
单增
单减
二阶导数的应用
2020年4月23日星期四
前面我们学习了函数的单调性及其判别法,利用 函数的单调性能准确刻划曲线的形状吗?
请观察下图中四条曲线的特征
四条曲线都单调增加,但曲线的弯曲方向不一样!!!
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
上弯曲线总在其
下弯曲线总在其切切
切线的上方
线的下方
一、曲线的凹凸与拐点 1. 曲线的凹凸与拐点的定义