3.9-3.10 全微分 边际 弹性 复习

QK
dK dL
QL QK
为边际替代率，记为MRTSLK。类似地，若用资本替
代劳动，则边际替代率为 MRTS KL
dL dK
QK QL
例如，设生产函数为Q=25K0.6L0.4，则K=243，L=1024处 的边际替代率MRTSLK为 0.158 。
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二、弹性分析
设经济函数y=f(x)，当x从x0变到x1时，自变量的改变量为 Δx=x1- x0 ，则自变量增加了100Δx/x0﹪；函数的改变量为 Δy=y1- y0 =f(x1)- f(x0) ，则因变量增加了100Δy/ y0﹪。
理论”的经济学，格森和门格尔也致力于这种理论的研究并 获 得了很大成果。后来经济学家发现，“边际”就是数学中的 “导 数”或“偏导数”。
例如：
定义 总成本函数C(Q)的导数C′(Q)称为边际成本函数， 也记作MC；总收入函数R(Q)的导数R′(Q)称为边际收入函 数，也记作MR；总利润函数L(Q)的导数L′(Q)称为边际利润函
y
答案
1dz 2xdx 2 ydy
1 x2 y2
2dz
e x2 y
2xy arctan
x y
x2
y
y2
dx
x 2
arctan
x y
x2
x
y2
dy
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类似于一元函数微分的形式不变性，多元函数的全微分 也具有形式不变性。以二元函数为例：变量z的微分都等于 两个变量u、v的微分乘以z对它们的偏导数再求和(不管是 u、v中间变量还是自变量)：
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对多元函数，可同样定义偏弹性。下面举一个例子以说明。
例 已知某种商品的需求量Q1是该商品的价格p1、另一相关 商品的价格p2和消费者收入y的函数：
Q11 200Fra bibliotek3 2
5
p1 8 p2 5 y 2
求需求的直接价格偏弹性E11、交叉价格偏弹性E12、以及收入偏
弹性E1y。
3. 需求Q对价格p的弹性：
设需求函数为Q=f(P),定义需求价格弹性
P
P dQ Q dP
P f (P)
f (P)
表示在价格为P时,价格上涨(或下跌)1%,需求量约减少(或增加)
|
|%.
P
<P 0.
若 P <-1,表示需求量的相对变化率高于价格的相对变化率,
需求对价格的反应较强,价格变化1%,需求量的变化将超过1%, 称为弹性需求或富有弹性.
注 这个定理的逆命题也不真。 定理 两个偏导数都连续时函数可微。 总结 多元函数的偏导数存在、连续、可微等之间的关系 如下，注意每个推理的逆向都不成立。
偏导数存在、 连续
可微
偏导数存在
连
续
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三、计算
计算全微分，可以先求偏导数，代入公式计算。
例1
z x y ,求dz. x y
例 设Q=f(K,L)为一次生产函数，证明
①资本和劳动的边际产量MQK与MQL都是投入比K/L的函
数；
②Q Q K L Q
K
L
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在经济学中，经常要考虑要素替代问题。 例如，对生产函数Q=f(K,L)，其中K为投入的资本，L为投 入的劳动。下面考虑的问题是，在产量不变的情况下，投入一 单位劳动相当于投入多少单位的资本？ 对Q=f(K,L)，两边求微分得：
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§3.9 全微分
我们知道，在近似计算一元函数的函数值时可借用一元函
数的微分。当计算多元函数的函数值时，可以借鉴相同的思路
方法。要计算f(x1,y1)，先找到与(x1,y1)非常靠近的点(x0,y0)，保
证f(x0,y0)能够方便地计算出来。下面的工作是计算因变量的改
变量Δz=f(x1,y1)-f(x0,y0)。为方便起见， y 下面用比较简单的函数进行分析。
df(x,y) =1·Δx+0·Δy，即dx=Δx。同理可得dy=Δy 。因此，以后二
元函数的微分记为dz=Adx+Bdy。
注 上面的定理的逆命题不真，即
两个偏导数都存在时函数不一定可微。
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定理 函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微，则z=f(x,y)在点(x0,y0)连 续。
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生产函数Q=f(K,L)的偏导数称为资本和劳动的边际产量，
记为MQK与MQL，表示在另一投入要素不变时单位要素对产量 的贡献。
效用函数U=f(x,y)的偏导数分别为两商品的边际效用，记
为MUx与MUy，表示在另一商品的消费量不变时，多消费一个 单位的商品所增加的效用。通常有MUx>0，MUy>0 。
1 定义 设函数y=f(x)在x0的某邻域内连续，y0=f(x0)≠0，称
y
f (x0 x) f (x0 )
y0
f (x0 ) x0 f (x0 x) f (x0 )
x x0
x x0
f (x0 )
x
为y=f(x)在点x0与x0+Δx之间的平均相对变化率或弧弹性。 弧弹性表示当x从x0变到x0+Δx时x改变1﹪时引起的y的平
均百分比变化。
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定义 设函数y=f(x)在x0的某邻域内连续，y0=f(x0)≠0，称
y
lim y0 x0 x
x0
lim x0
x0 f (x0 )
f (x0 x) x
f (x0 )
x0 f (x0 )
f (x0 )
存在，则称之为y=f(x)在x0的相对变化率或弹性，记作 它反映了在x0处y随x的变化速度。
对一元函数，微分的计算实质上是导数的计算，对多元
函数的全微分，相应的结果为(以二元函数为例)：
定理 函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微，则z=f(x,y)在点(x0,y0)的
偏导数存在。且dz=AΔx+BΔy，其中
A z B z 。
x
y
例如，对z=f(x,y)=x，由于fx′(x,y)=1， fy′(x,y)=0，则
dQ Q dK Q dL
K
L
由产量不变，因此可令dQ=0，得到
Q dK Q dL 0
K
L
一般情况下，边际产量大于零，所以减少一种要素的投入，必
然会增加另一种的投入。
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在 Q dK Q dL 0中，令dL 1，则得dK QL
K
L
QK
它表示
用一单位的劳动，可代 替 QL 个单位的资本且使产量 不变。 称
例 设需求函数为Q=100(6-P) (0<P<6).求价格P=1.5，3，
4 时的需求价格弹性.
解
Q
100, EP
100
P
100(6 P)
P P6
E3
3 36
1,
E4
4 46
2,
E1.5=-0.33 此时提价1%,需求 量只减少0.33%；
此时提价1%,需求量 也减少1%；
此 时 提 价 1%, 需 求 量 将减少2%.
解
z 2 y z 2x
x x y2 , y x y2
dz
z x
dx
z y
dy
2 ydx 2xdy
x y2
例2 求函数z=(1+x)y的全微分。 答案 dz=y(1+x)y-1 dx+(1+x)y ln(1+x) dy
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练习 求全微分：
1z ln(1 x2 y 2 ) 2z e x2y arctan x
别为 C(Q) 4 3 Q R(Q) 12 Q Q3 (0 Q 3)，其中Q的 单位为千升，C(Q)、R(Q)的单位为千元，求边际成本、边际
收入和边际利润。 答案 C(Q) 3
2Q
R(Q) 3(4 Q) 2Q
L(Q) 3(3 Q) 2Q
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对于多元函数，同样称其偏导数为边际函数。 设甲、乙两种商品，他们的价格分别为p1和p2，需求量Q1 和Q2由价格p1和p2和消费者的收入M确定，记需求函数为： Q1( p1, p2 ,M)、 Q2( p1, p2 ,M)，则Q1和Q2关于p1、p2 和M的偏导 数表示这两种商品的边际需求。 若厂商生产A、B两种产品，产量分别为Q1、Q2，总成本 函数为C(Q1,Q2)，其偏导数称为两种产品的边际成本，记作 MCA、MCB。其中MCA表示在原有生产规模下，B产品的产量 不变，多生产1单位的A产品所增加的成本； MCB有类似意义。 总收入函数为R(Q1,Q2)的偏导数称为两种产品的边际收入，记 作MRA、MRB，分别表示在另一产品产量不变时，多生产一个 单位的产品所引起的收入的改变量。
利用全微分的形式不变性分层次考虑变量之间的关系不易 出错，因此可用全微分求隐函数的微分或偏导数。
例 已知z=f(x,y)是由方程x+y-z=xex-y-z所确定的隐函数，求 dz。 计算过程
练习
设z f ( x, y)是由z x arctan y 所确定的隐函数，求dz 。 z x
答案 dz dx
zx
dy
(z x)2 y2 y
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四、应用——近似计算 由定义可知，全微分可用来求近似值。以二元函数为例：
若二元函数z=f(x,y)可微，则有近似计算公式：
f(x,y)≈f(x0,y0)+ fx′(x0,y0)Δx+ fy′(x0,y0)Δy