三角函数线教案2

教学内容与教学目标

本节教学目的是使学生掌握正弦线、余弦线和正切线，重点是掌握用这几种函数线分析三角函数的有关问题、难点是对有向线段表示实数的理解．建议教学中改用动态图形演示三角函数线，由学生观察各三角函数线的特征．

课题引入

三角函数线是用几何手段，形象地表示三角函数的重要工具，又是用数形结合思想解题的好帮手．用三角函数线反映三角函数的性质直观、形象，便于理解和使用．它的产生过程及过程中蕴含的思想如下（以正弦线为例）

知识讲解

本节课学生接受起来有一定难度，讲授时注意讲清下几点:

1．单位圆中的三角函数线是有向线段，它与平面几何中所遇到的线段不同，它不但有长度，还有方向，我们引一条直线MN，点A在直线MN上移动到达点B，AB就是一条有向线段，记作AB，对于直线MN，可以规定某一个方向为正方向（例如数轴），则称MN

为轴，若AB 与轴的方向一致，就规定为“正”；若AB 与轴的方向相反，就规定为“负”．根据AB 与轴MN 的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记作AB ，要强调AB 不能写成BA ，因为AB=－BA

2．单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向可以用来表示三角函数值，称它们为三角函数线（本课只讲正弦线、余弦线、正切线），三角函数线既然是有向线段，在用字母表示这些线段时，就要注意它们的方向，分清始点和终点，书写顺序不能颠倒，为此，我们规定：凡由原点出发的线段，以原点为始点；不从原点出发的线段，以函数线与坐标轴的交点为始点，如图4-13中，MP 叫做角α的正弦线，A T 叫做角α的正切线，其中，

(4-13)

（1）正弦线、正切线的方向从纵坐标轴一致（向上）时为正，同纵坐标轴反向（向下）时为负，

（2）余弦线的方向同横坐标轴一致（向右）时为正，同横坐标轴反向（向左）时为负．

3．三角函数线为什么可以表示三角函数值，是学生理解此概念的关键，教师务必使学生清楚理解：

正弦线是有向线段MP ，而有向线段MP 的符号和点P 的纵坐标y 的符号相同，且MP 的量度等于y ，又1=r ，所以MP sin ===

y r

y α．

因此，可说明OM cos ===

x r

x α

正切线是有向线段A T ，设点T 的坐标为),(y x ''，由图4-13可以看出，OPM ∆∽

OTA ∆，并且当x 和y 同号时，x '和y '也同号；当x 和y 异号时，x '和y '也异号，又x '=1，

所以AT 1

tan ='='=

'

'=

=

y y x y x

y α，要强调指出，由x '=1可知，不管α是第几象限角，

作正切线时，都要从单位圆与x 轴正半轴的交点A 处画起．

4．最后说明角α的终边落在轴上时的情况，当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．

例题分析

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 （1）

6

5π ； （2）π4

5 ； （3）3

π

-

.

分析：本例是为了使学生掌握各象限（尤其是第二、三、四象限）内角的正弦线、余弦线、正切线的画法，属于基础题．

解（1）如图4-14 （2）如图4-14 （3）如图4-14

例2．已知角α的正弦线长度为

2

2，且方向与y 轴的正向相反，求α角．

分析：此例是利用各象限内正弦线长度相等的角之间的关系来求角的问题，比例1灵活一些．

解：先求0~2π之间的相等在第一象限，2

2PM =

，4

POX π

=

∠，第三象限，与

OP 关于原点或中心对称的P O '，有2

2M P =

''，在第四象限，与OP 关于x 轴对称的P O ''，

有2

2M P =''''，4

5P XO π=

'∠与4

7P XO π=

''∠符合题

意.

∴ ππαk 24

5+=或)Z k (k 24

7∈+=

ππα

例3．角α是第一象限角，求证：1cos sin >+αα

(4-14)

边

分析：本例是利用单位圆中的三角函数线，采用数形结合的方法，证明三角不等式的题目，证法巧妙，使学生初步体验到三角函数线是有用的． 解：在第一象限作出角α的正弦线、余弦线，

如图4-15，因为α是第一象限角，所以0cos ,0sin >>αα，故 OM cos ,PM sin ==αα，在OPM ∆中，有

OP OM PM >+

∴1cos sin >+αα

例4．若

2

4π

απ

<

<，比较αsin 、αcos 、αtan 的大小．

分析：本例仍是三角函数线的应用题，由于

2

4π

απ

<

<时，αsin 、αcos 、αtan 都

大于0，故可以直接观察角α的正弦线、余弦线、正切线的长短来比较三者的大小．

解：如图4-16，由于

2

4π

απ

<

<，知0t a n ,0c o s ,0s i n >>>ααα，所以

AT tan ,OM cos ,MP sin ===ααα.

∵AT MP OM <<， ∴αααtan sin cos <<．

练习与讲评

1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 （1）

6

π

； （2）3

2π； （3）4

3π-

； （4）3

π

-

．

2．以5cm 为单位长度作单位圆，分别作出以210º、315º角的正弦线、余弦线、正切线量出它们的长度，从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值．

答 案

1．（图略） 2．（图略）

.

1315tan 7

.0315cos 7.0315sin ,6.0210tan 9.0210cos 5.0210sin -=︒≈︒-≈︒≈︒-≈︒-=︒