导数解决含参恒成立问题(多变量问题).
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
值范围。
练习：已知函数 f ( x) 1 x ln x 。 （1）求 f ( x) 的最大值；
（2）对 任 意 的 x1 , x2 0, ， 且 x2 x1 是 否 存 在 实 数 m ， 使 得
2 2 mx2 mx 1 x1 ln x1 x2 ln x2 0 恒成立；若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明
1 2 练习：已知函数 f ( x) x a ln x (a 1) x, a R 。 2 （1）当 a=1 时，求函数 f ( x) 图像在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （2）当 a<0 时，讨论函数 f ( x) 的单调性； f ( x2 ) f ( x1 ) a 恒成立？若存在， （3）是否存在实数 a，对任意的 x1 , x2 (0,)且x1 x2有 x2 x1
从而转化为最值问题的求解（其他类型同理）； 而“含参恒成立”问题，例如
f ( x, k ) c, x [a, b]恒成立(c为常数, k为参数)
也可等价转化为 f ( x, k ) min c, x [a, b] ，但参数k的“掺和”往往使函数的最值 变得不确定，不可避免地要经分类讨论，进一步使整个解题过程显得繁琐不堪。
理由。来自百度文库
类型 3.不可分离变量：进行齐次化构造，通过换元后构造新元的新函数后处理。
x 1 例 3：已知函数 f ( x ) x (e 为自然对数的底） 。 e （1）求 f ( x) 的单调区间； 1 （2）设函数 ( x) xf ( x) tf x x ， 存在实数 x1 , x2 0,1 ， 使得 2 ( x1 ) ( x2 ) 成立， e
x y
ln(x 1) 。 ln( y 1)
类型 2.可分离变量， 但分离后两侧不同构： 构造两个新函数， 利用恒成立、 能成立技巧处理； 例 2: 已 知 函 数
1 2 f ( x) x (1 x)e x (e 为 自 然 对 数 的 底 ） ， 2
a g ( x) x (1 a ) ln x , a 1. x （1）求曲线 f ( x) 在 x=1 处的切线方程； （2）讨论函数 g ( x) 的极小值； （3）若对任意的 x1 1,0 ，总存在 x2 e,3，使得 f ( x1 ) g x2 成立，求实数 a 的取
求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由。
练习：已知函数 f ( x) ax 1 ln x(a R) 。 （1）讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数； （2）若函数 f ( x) 在 x 1 处取得极值，对 x 0,, f ( x) bx 2 恒成立，求实数 b 的 取值范围。 （3）当 x y e 1 时，求证： e
f ( x, k ) c 其实，“含参恒成立”问题也可用“参变量分离”的方法处理：将 g ( x) h(k ) ，则等价于 g ( x) min h(k ) 再解关于k的不等式即可。
等价变形为
主要分三种类型： 1.可分离变量，且分离后两侧同构：可构造新函数，利用新函数单调性处理； 2.可分离变量，但分离后两侧不同构：构造两个新函数，利用恒成立、能成立技巧处理； 3.不可分离变量：进行齐次化构造，通过换元后构造新元的新函数后处理。
例 1：已知函数 f ( x) ( x 1) 2 a ln x 。 （1）讨论函数的单调性； （2）若 函 数 f ( x) 在 区 间 (0,) 内 任 取 两 个 不 等 的 实 数 x1 , x2 ， 不 等 式
f ( x1 1) f ( x2 1) 1 恒成立，求 a 的取值范围。 x1 x2
一、导数解决含参恒成立问题（多变量问题） 恒成立问题是高中数学的重要题型，在高考中常常与函数、导数、不等式结合以 压轴题的身份出现，是整个高中教学的重点，也是难点。恒成立问题主要分为“含参 恒成立”和“不含参恒成立”两类，后者相对容易处理，例如：
f ( x) c, x [a, b]恒成立 f ( x)min c, x [a, b]
求实数 t 的取值范围。
练习：已知函数 f ( x) 1 x ln x 。 （1）求 f ( x) 的最大值；
（2）对 任 意 的 x1 , x2 0, ， 且 x2 x1 是 否 存 在 实 数 m ， 使 得
2 2 mx2 mx 1 x1 ln x1 x2 ln x2 0 恒成立；若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明
1 2 练习：已知函数 f ( x) x a ln x (a 1) x, a R 。 2 （1）当 a=1 时，求函数 f ( x) 图像在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （2）当 a<0 时，讨论函数 f ( x) 的单调性； f ( x2 ) f ( x1 ) a 恒成立？若存在， （3）是否存在实数 a，对任意的 x1 , x2 (0,)且x1 x2有 x2 x1
从而转化为最值问题的求解（其他类型同理）； 而“含参恒成立”问题，例如
f ( x, k ) c, x [a, b]恒成立(c为常数, k为参数)
也可等价转化为 f ( x, k ) min c, x [a, b] ，但参数k的“掺和”往往使函数的最值 变得不确定，不可避免地要经分类讨论，进一步使整个解题过程显得繁琐不堪。
理由。来自百度文库
类型 3.不可分离变量：进行齐次化构造，通过换元后构造新元的新函数后处理。
x 1 例 3：已知函数 f ( x ) x (e 为自然对数的底） 。 e （1）求 f ( x) 的单调区间； 1 （2）设函数 ( x) xf ( x) tf x x ， 存在实数 x1 , x2 0,1 ， 使得 2 ( x1 ) ( x2 ) 成立， e
x y
ln(x 1) 。 ln( y 1)
类型 2.可分离变量， 但分离后两侧不同构： 构造两个新函数， 利用恒成立、 能成立技巧处理； 例 2: 已 知 函 数
1 2 f ( x) x (1 x)e x (e 为 自 然 对 数 的 底 ） ， 2
a g ( x) x (1 a ) ln x , a 1. x （1）求曲线 f ( x) 在 x=1 处的切线方程； （2）讨论函数 g ( x) 的极小值； （3）若对任意的 x1 1,0 ，总存在 x2 e,3，使得 f ( x1 ) g x2 成立，求实数 a 的取
求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由。
练习：已知函数 f ( x) ax 1 ln x(a R) 。 （1）讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数； （2）若函数 f ( x) 在 x 1 处取得极值，对 x 0,, f ( x) bx 2 恒成立，求实数 b 的 取值范围。 （3）当 x y e 1 时，求证： e
f ( x, k ) c 其实，“含参恒成立”问题也可用“参变量分离”的方法处理：将 g ( x) h(k ) ，则等价于 g ( x) min h(k ) 再解关于k的不等式即可。
等价变形为
主要分三种类型： 1.可分离变量，且分离后两侧同构：可构造新函数，利用新函数单调性处理； 2.可分离变量，但分离后两侧不同构：构造两个新函数，利用恒成立、能成立技巧处理； 3.不可分离变量：进行齐次化构造，通过换元后构造新元的新函数后处理。
例 1：已知函数 f ( x) ( x 1) 2 a ln x 。 （1）讨论函数的单调性； （2）若 函 数 f ( x) 在 区 间 (0,) 内 任 取 两 个 不 等 的 实 数 x1 , x2 ， 不 等 式
f ( x1 1) f ( x2 1) 1 恒成立，求 a 的取值范围。 x1 x2
一、导数解决含参恒成立问题（多变量问题） 恒成立问题是高中数学的重要题型，在高考中常常与函数、导数、不等式结合以 压轴题的身份出现，是整个高中教学的重点，也是难点。恒成立问题主要分为“含参 恒成立”和“不含参恒成立”两类，后者相对容易处理，例如：
f ( x) c, x [a, b]恒成立 f ( x)min c, x [a, b]
求实数 t 的取值范围。