2-1复变函数的导数
复变函数的导数
复变函数的导数定义：复变函数是通过一块二维的空间的某个点的坐标，映射为该点的唯一的实数值，而复变函数的导数则是用来描述函数变化的快慢程度的量度。
要了解复变函数的导数，首先要理解复变函数本身。
复变函数是一种将实数和复数之间的单射映射即每一点映射只有一个实数或复数，而每一个实数或复数只被映射到一个点的映射函数，通过它可以将实数和复数，即实部和虚部之间变化联系起来，也就是用函数的方式描述复数和实数之间的变化。
复变函数的导数表示函数中任意一点变化率的大小，它可以帮助我们确定函数中任意一点的斜率。
它是一个定义在实空间上任意部分位置处的一阶导数，可以用来表示曲线变化率的大小，反映了曲线变化的快慢程度。
具体来说，复变函数的某一点的导数指的是这个点上曲线的斜率，也就是这个点的斜率的大小，或者是在这个点曲线发生变化的速度大小。
求复变函数的导数有两种方法，一种是按复数的方式，另一种是按实数的方式。
按实数来求导，首先需要把函数用实变量表示，然后用常规的微积分方法来计算复变函数的导数。
按复数的方式来求导，就是用极坐标来表示复变量，然后用光滑曲线的性质，用公式计算复变函数的导数，其公式为：复变函数的导数即：f′(z)=fz(z)cosθ+fθ(z)sinθ其中，z=x+iy其中，fz表示对z的实部求导的结果，fθ表示对z的虚部求导的结果，θ表示z的极角。
下面我们看看复变函数的导数在求解实际问题中的实际应用。
在微分方程中，复变函数的导数可以用来求解复变数方程，因为它描述了复变量中点的变化率，而微分方程则可以描述复变量的变化状态，所以在求解复变函数的微分方程的时候，复变函数的导数就显得尤为重要。
在几何函数中，复变函数的导数也有一定的作用，可以用来求解几何函数图形的斜率，斜率表明该图形在某一点的曲率，从而可以更直观地描述几何函数图形，帮助我们更清楚地判断几何函数图形的变化状态。
此外，复变函数的导数还可以被用来判断极值点。
极值点是复变函数变化的拐点，复变函数的导数可以用来判断这些拐点，从而可以更加精确的确定极值点的位置。
复变函数的导数
函数解析与可导、连续、极限的关系由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多.区域解析区域可导（在一点）解析→可导→连续→极限存在反之均不一定成立。
7我们还可以定义其他三角函数如下：(2)根据定义有：()1212122cosh z z z z z z +--+1212z z z z eee e e e --=+=+121212121212z z z z z z z z z z z z e ee e e e e ee e e e------=+++--()1212124cosh cosh z z z z z z e e e e--=-+121211122122124cosh cosh z z z z z z z z z z z z z z e e e ee e e e ee ee ------=--+-++()124cosh cosh 4s z z =+()1212inh sinh 2cosh z z z z -+18()121212cosh cosh cosh sinh sinh z z z z z z ⇒+=+The End The End19作业(2)P385, 7, 8, 17, 18, 57817182020。
复变函数与积分变换知识点
复变函数与积分变换知识点复变函数是数学中极具特色和深刻内涵的一个分支，其理论和应用不仅涉及到数学领域，也伸展至物理、工程、计算机等多个领域。
而积分变换则是复变函数中的一项重要技术，可应用于信号处理、控制系统等领域。
本文将介绍关于复变函数和积分变换的知识点。
1. 复数及其运算复数是一种拓展了实数的数学概念，其具有实部和虚部，记作z = x + yi（其中 x 和 y 均为实数，i 为虚数单位，满足 i² = -1）。
复数的加、减、乘法等运算法则与实数有所区别，例如：（1）加法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z + w = (x + u) + (y + v)i。
（2）减法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z - w = (x - u) + (y - v)i。
（3）乘法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z × w = (xu - yv) + (y u + x v)i。
（4）除法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z ÷ w = (xu + yv)/(u²+ v²) + (y u - x v)/(u² + v²)i。
2. 复变函数的概念复变函数是自变量为复数、因变量为复数的函数。
设 z = x + yi，w = u + vi，则复变函数 f(z) 的定义为： f(z) = u(x,y) + v(x,y)i （其中，u(x,y) 和 v(x,y) 均为实函数）。
复变函数的导数、积分、解析函数等概念与实函数也有所不同，例如：（1）导数：复变函数 f(z) 在点 z0 的导数定义为：f'(z0) = lim (f(z) - f(z0))/(z - z0) （其中，极限是沿着复平面中有向直线逼近 z0 时的极限）（2）积分：复变函数沿着简单曲线γ 的积分（记作∮γ f(z) dz）定义为：∮γ f(z) dz = ∫ab f(γ(t))γ'(t) dt （其中，γ(t) 为参数方程，γ'(t) 为γ(t) 的导数）（3）解析函数：对于复平面上的一个区域 D，若在 D 内的每一点都有导数，则称 f(z) 在 D 内为解析函数。
2-1复变函数的导数ppt课件
引理告诉我们，w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微等价. 与一元函数类似地, 记
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz,
如果函数 f (z)在 区域 D内处处可微, 则称 f (z)在 区域 D内可微.
dw f (z) dz
17
2. 充要条件
说明: (1)当g'(z0 ) 0 而 f ' (z0 ) 0时，极限为无穷大。
(2)当 f ' (3) z
( z0
的) 情g'形(z0，) 可0用时，可1继把续问用题L’转Ho化sp为ita求l法则求0极的限极限
z
如: lim z sin 1 lim sin lim cos 1
23
例1 试证函数 f (z) （ znn为自然数）在复平面上处
处可导，且
f '(z) nzn1
证 用定义来证明．
对于复平面上的任意一点 z ，由导数定义有
于是，
在点z的导数存在且等于
由点 z 在复平面上的任意性，证得
上处处可导．
函数
在复平面解析．
． 在复平面
24
例2 设 f (z) z Re定z 义在复平面上，试证 f (于z)复 平面上仅在原点可导．
dw dz
z z0
lim
z0
f
(z) z
f (z0 ) z0
如果函数 f (z) 在区域 D内的每一点可导, 则
称 f (z) 在区域内 D 可导.
此时，在区域D上的导数构成导函数，记为 f (z).
注意 z z0 ( 即z 0 ) 的方式是任意的.
也即 z0 z 在区域 D内以任意方式趋于z0 时, f (z0 z) f (z0 ) 都趋于同一个数.
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数(2.1.1)--函数解析性的概念及其判定
=
lim
Dx0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 ) = lim x x0
f ( x) - f ( x0 ) x - x0
f ( x0 + Dx) Dx
f(
x0 )
=
f ﾮ( x0 ) + r ( Dx )
f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) = f ﾮ( x0 ) Dx + r ( Dx ) Dx
（ 3 ）如果函数 f(z) 在曲线 C 上可导，是否在该曲线上
结论：设函数 f(z),g(z) 在区域 D 内解析 , 则
f ( z) ﾮ g( z),
f ( z)g(z),
f ( z) g( z)
（除去分母为
0
的点）
在区域 D 内解析 .
特别地 ,
（ 1 ）多项式 P(z) 在全平面内解析 . （ 2 ）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解 析.
2 ．可导与连续的关系：
可导 连续
3 ．微分定义：
若 则 称 f ( x0 + Dx ) - f ( x0 ) = aDx + o(Dx ),
f (x)
在 x0点可微，aDx 称为 f ( x) 在 x0 点的
记为 dy = aDx
微分 .
a
= lim Dxﾮ 0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 )
当 z=0 时，上述极限存在且为 0.
zﾮ0
lim
Dzﾮ 0
Dz Dz
=
lim
Dxﾮ 0 Dyﾮ 0
Dx Dx
+
i i
Dy Dy
=
2-1复变函数的导数
设f (z) u( x, y) iv( x, y)定义在区域D内，
工 程
则f (z)在D内一点可导的充要条件是：
大
学
1o u( x, y),v( x, y)在点( x, y)处可微；
复
变
函 数 与
2o 在该点满足柯西—黎曼方程：
积 分 变
u v , u v
换
x y y x
函 数 与 积 分
f (z0 )
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
变
换
u i v
lim
.
x0 x i y
y0
当z沿平行于实轴的直线趋于0时，
哈 尔 滨 工
f
(z0 )
lim
x0
u i v x
u x
i
v x
程
大 学
换 有f (z) u iv (a ib)z z
(a ib)(x iy) o(| z |)
u ax by o(| z |)；
哈 尔
v bx ay o(| z |)；
滨
工 程
于是可得u(x, y),v(x, y)在z点可微,且
分
变 换
6. f (z)
1
w f (z), z (w)是两个
( w )
互为反函数的单值函数.
二、 Cauchy-Riemann方程
哈 复变函数的可导性不等价于它的实部和虚
尔
滨 工
部的可微性。
程
大 学
那么什么条件下复变函数才能可导呢？
复 变
若 w f (z)在z0处可导，故由导数定义，
复变函数怎么求导
复变函数怎么求导复变函数是指一个变量自变量和一个变量的函数。
求复变函数的导数需要使用复变函数的Cauchy-Riemann条件。
复变函数的导数定义如下：设有函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中$u(x,y)$和$v(x,y)$是$x,y$的实函数，若存在复数$L$，使得对于给定的复数$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$，有$$\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)-L\Deltaz}{\Delta z}=0$$则称$L$为复变函数$f(z)$在点$z$处的导数，记为$f'(z)$。
在实数函数的情况下，导数可以通过计算函数的偏导数来求得。
在复变函数的情况下，由于复数存在实部和虚部，计算导数需要满足一定的条件。
接下来，我们将通过推导Cauchy-Riemann条件，来求复变函数的导数。
首先，假设$f(z)$在一个区域内有定义，则$f(z)$可以写为$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$。
我们来计算$f(z)$在点$z$处的增量：$$\Delta f(z)=f(z+\Delta z)-f(z)=\{u(x+\Delta x, y+\Delta y)+iv(x+\Delta x, y+\Delta y)\}-\{u(x, y)+iv(x, y)\}$$将上式展开，并忽略高阶无穷小的项，得到：$$\Delta f(z)=\left[\left(\frac{\partial u}{\partialx}\Delta x-\frac{\partial v}{\partial y}\Deltay\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltay+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x\right)\right]$$我们知道，根据导数的定义，有：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta f(z)}{\Delta z}$$将$\Delta f(z)$代入上式，得到：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to0}\frac{\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x-\frac{\partial v}{\partial y}\Deltay\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltay+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x\right)\right]}{\Delta z}$$根据复数的定义，$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$，因此，我们可以将分子中的$\Delta x$和$\Delta y$替换成$\Delta z$：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to0}\frac{\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\Delta z-i\frac{\partial v}{\partial y}\Deltaz\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltaz+i\frac{\partial v}{\partial x}\Delta z\right)\right]}{\Delta z}$$整理上式，得到：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\left\{\frac{\partialu}{\partial x}-i\frac{\partial v}{\partialx}+\left[\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partialv}{\partial y}\right]\right\}$$根据导数的定义，我们知道$\lim_{\Delta z \to 0}\Delta z=0$，因此我们可以将分母中的$\Delta z$约去，得到：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partialv}{\partial x}+\left[\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right]$$根据复变函数的导数定义，我们知道$f'(z)$是一个复数，因此可以将其改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partialv}{\partial x}+\left[\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right]=\frac{\partialu}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partialx}+\left[\frac{\partial u}{\partial y}-i\frac{\partialv}{\partial y}\right]$$根据复数的加法规则，我们知道复数可以写为实部和虚部的和，因此上式可以改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$根据复数的乘法规则，我们知道$i^2=-1$，因此上式可以改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$最后，我们得到了复变函数的导数公式：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partialv}{\partial x}+i\left(\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)$$为了求出$f'(z)$的具体值$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$可以看出，Cauchy-Riemann条件是保证复变函数$f(z)$可导的充分必要条件。
复变函数第二章(第三讲)
∂u ∂v 1 ∂u ∂v iii) 求导数： f '(z) = ∂x + i ∂x = i ∂y + ∂y 求导数：
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函 数分别关于x, 求导简单拼凑成的 求导简单拼凑成的. 数分别关于 ,y求导简单拼凑成的.实可微与复可微 是完全不同的概念。 是完全不同的概念。
§2.2 解析函数的充要条件
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理 2. 举例
Cauchy-Riemann定理 1. Cauchy-Riemann定理
定理 设f (z)= u + i v, z= x +i y, z0=x0+i y0, 则f (z)在 在
(1) u( x, y), v( x, y)在( x0 , y0 )可微, ∂u ∂v ∂u ∂v z0处可导⇔ . (2) = , = − 在( x0 , y0 )成立 ∂x ∂y ∂y ∂x 定义 方程
∂u ∂v = ∂x ∂y
∂v ∂u =− ∂x ∂y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系. 的联系.
֠ 利用该定理可以判断那些函数是不可导的. 利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
基本步骤: 偏导数的连续性， 基本步骤 i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ， ii) 验证 验证C-R条件 条件. 条件
由以上讨论得 函数； P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 是整个复平面上的解析 函数； P(z) R( z ) = 是复平面上 ( 除分母为 0点外 )的解析函数 . Q( z)
第二章 复变函数的导数
那末就称f ( z ) 在z0可导（或可微） .这个极限值称为 f ( z ) 在 z0 的导数 ,
记作 f ( z 0 )
z z0
. 在定义中应注意: z z0的方式是任意的
若 记 z z0 z , 则 得 到 f ( z0 ) 的 另 一 种 表 达 形 式 f ( z0 z ) f ( z0 ) z f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
z0
5
在扩充复平面上，可以定义以下广义极限
lim f(z) A,
z
lim f(z) ,
z z0
lim f(z) ,
z
f(z) A 的定义为 例如 lim z
如果对任意给定的 ε 0， 总存在正数 ( ) ,当 满 足 |z|
| f ( z ) A | 成立
( z 2 ) 2 z
例2: 讨论函数 f(z)=Im(z)的可导性 解:
f f ( z z ) f ( z ) Im(z z ) Im z Im z Im z Im z z z z z y Im z Im(x iy ) , x i y x iy z
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导 .
11
例3: 证明 函数 f (z)在z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. , 证：根据在z0 可导的定义 使得当0 | z | 时, 0, 0,
f ( z0 z ) f ( z0 ) 有 f ( z0 ) , z
数学物理方法第一章-复变函数导论
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
2-1复变函数的可导性
由以上讨论 P ( z ) a0 a1 z a n z n在 整 个 复 平 面 上 处 处 导 可； P(z) R( z ) 在 复 平 面 上 （ 除 分 母0 为 点外）处 Q( z ) 处可导 .
4
④复合函数的导数 f [g(z)] =f (w)g(z)， 其中w=g(z)。
2
与实函数求导 方法相同
6
例 问f ( z) x 2 yi是否可导？是否连续？
解
f f ( z z ) f ( z ) lim lim z 0 z z 0 z ( x x ) 2( y y )i x 2 yi lim z 0 z y
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
dw f ( z0 z ) f ( z0 ) f ' ( z ) lim 记作 0 dz z z0 z 0 z
如果w = f(z) 在区域D内处处可导，则称f (z)在区域 D内可导。
2
(2)求导公式与法则
① 常数的导数 c = ( a + ib ) = 0.
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续，
但处处不可导的例题是很困难的,
但在复变函数中，却轻而易举。 (3)可导与连续
若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
9
?
2. 复变函数可导的充要条件
定理2.1: 设f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D内有定义， 则f (z)在D内一点z x iy可微
11
的必要条件()
例2.6 判定函数的可导性，并求出在何处可导:
(1) f ( z) e (cos y i sin y);
2-12复变函数的导数和解析函数
函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
27
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的.
z0
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
13
所以 u iv
f (z) a ib u i v x x
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y,
y
四个偏导数
v e x cos y, 均连续 y
即 u v , u v . x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
且 f (z) ex (cos y i sin y) ff((zz)).
黎曼介绍
12
证 (1) 必要性. 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域 D内, 且 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导, 则对于充分小的z x iy 0,
有 f (z z) f (z) f (z)z (z)z, 其中 lim (z) 0,
解 (1) w z, u x, v y,
u 1, u 0, v 0, v 1.
x
复变函数的可导与解析,高数
为复数） （k = 0,±1,±2,L) ( z ≠ 0,α为复数）
性质：（ • 当α 为整数时， α = eαlnz − − − 单值 性质：（ 1 ） 为整数时， z 特别， α为正整数时， z 特别，当 为正整数时，即为的α次幂 p • 当为有理数 （p, q互质, q > 0 时， ） q zα = e
一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。 一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。
证明： 例 3 证明：f ( z ) =
Re z ⋅ Im z 在 z = 0满足 C − R
条件，但不可导。 条件，但不可导。
例4
可导？ 解析？ 判断下列函数何处 可导？何处 解析？ 1 （） f ( z ) = e x (cos y + i sin y )
z → z0 ( x , y )→( x0 , y0 )
f ( z ) 在 z0 连续
z → z0
⇔
u( x, y)，v( x, y)在 ( x0 , y0）连续
( x , y )→( x0 , y0 )
（lim f ( z ) = f ( z0 )） （
lim
u( x, y) = u( x0 , y0 ), v( x , y ) = v ( x 0 , y 0 )
(z )
n
′
= nz n−1
例2
的连续性与可导性。 讨论 f ( z ) = z 的连续性与可导性。
可导必连续,连续不一定可导 可导必连续 连续不一定可导
求导法则: 求导法则
(1) (C ) = 0, 其中 为复常数 其中C ;
′
( 2) z
( )
n
′
= nz
′
复变函数的导数
4）Re(z), Im(z), |z|, Arg(z) 都不可导
17/09/2009
S.H. DENG
5
10:23:12
理学院 邓胜华
第 2 章 解析函数
导数的计算
• • •
∂u −iϕ ∂υ −iϕ ∂u ∂υ f ' ( z) = e +i e C—R方程 f ' ( z ) = ∂x + i ∂x ∂ρ ∂ρ 与实变函数求导形式相同，只是将x换作z，如 ( z n )' =
df ⎛ df ⎞ 极限值记作 f ' ( z ) ( ⎜ ⎟， ⎝ d z ⎠ z0 d z
并称之为在点z的导数(微商)。
z = z0
)
17/09/2009
S.H. DENG
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10:23:12
理学院 邓胜华
第 2 章 解析函数
极限值存在的含义：
∆ω ∆z 以任意方式趋于0时， 都趋于同样的有限值 ∆z ∆y 1)沿x轴方向趋于0 ∆x → 0 ， = 0， 则
'
nz n −1
可微函数的和、差、积、商(在分母不为0的点)仍是可微函数
⎡ f ' ( z ) ⎤ [ f1 ' ( z ) f 2 ( z ) − f1 ( z ) f 2 ' ( z )] ⎢ ⎥ = f 22 ( z ) ⎣ f 2 ( z) ⎦
[ f1 ( z ) ± f 2 ( z )]' = f ' ' ( z ) ± f 2 ' ( z )
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第 2 章 解析函数
复变函数第2章解析函数
当 f (z) z时，dw= dz ，z 所以 f 在(z)点
z 0处的微分又可记为
dw zz0 f (z0 ) d z
亦即
dw
dz zz0
f (z0 )
由此可知，函数 w f (z)在点 z处0 可导与可微 是等价的.
复变函数的求导法则与高数完全类似：
则称 gx, y为 D内的调和函数
定理2.3 设 f z u i，v 若 f 在z 区域 内D 解
析，则 与u 均v 为 内D的调和函数.
定义2.4 若在区域 D内， u与 v均为调和函数
且满足C-R条件
ux vy , uy vx 则称 u 为 v的共轭调和函数
定理2.4 设 ux, y在区域 D内为调和函数，则
z0
)
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f在(z)点 处z 0连续.
同高数一样，称函数 f (z) 的改变量 w的线性部 分 f (z0 )z为函数 f (z在) 点 z处0 的微分，记作 dw 或 zz0 df(z) z，z0 即
2.1 复变函数的导数
定义2.1 设函数 w f z定义在区域 D
内，z0 D ，（z0 z） D ，若极限
lim f z0 z f z0
z0
z
存在，则称此极限为函数 f z在点 z0处的导数，
记作 f z0 或
df ，即
dz zz0
f
z0
df dz
z z0
lim
z0
f
z0
复变函数的导数
复变函数的导数在学习数学过程中，求导数是一个重要的课题。
复变函数的导数更是数学研究者深入探索的一个领域。
复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数。
首先，我们来了解一下什么是复变函数。
复变函数是一类具有特殊特性的函数，其中的变量可以是复数，且它的值也可以是复数。
复变函数的性质使其在许多应用方面变得非常有用，例如，复变函数可用于研究物理形态的变化，可用于解决天体的轨道变化问题，以及可以用来解释解析几何中的复形等。
接下来，我们来认识一下复变函数的导数。
复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数。
复变函数的导数指的是在某一复数点处函数值的变化幅度，导数的符号表示为dF/dz”，其中F为复变函数，z为变量，z点为F在该点处的导数。
要求复变函数的导数，可使用复变函数的定义，通过求偏导数的方式进行求解。
复变函数的定义一般为 F(z)=f(z)，其中z为复变量，f(z)为单变量函数，假定形如f(z)=bz+c，其中b、c为常数，则导数为dF/dz=b。
在复变函数中，还存在着一类特殊的复变函数，即复数函数。
复数函数除了可以用复变函数形式表示外，还可以用复分式的形式表示，其形式为F(z)=A/B，其中A、B为复多项式，A、B的共同的纯量因子除外。
要求复数函数的导数，直接用其定义来求偏导数，即可求出F(z)在z点处的导数，导数的表达式为dF/dz=(AB’-BA’)/(BB’)。
复变函数的导数在复数分析函数和复数分析函数的研究中发挥着重要的作用，它可以帮助我们理解复变函数形式及其特性，以及复数函数在复数空间中变化的特征，为了能够更好地研究复变函数，必须充分理解复变函数的导数的概念和表达式。
综上所述，复变函数的导数是指复变函数在某一复变量点处的导数或偏导数，它可以帮助我们理解复变函数以及复数函数变化的特征，从而为我们更好地利用复变函数提供有效的帮助。
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5. { f [ g( z )]} f ( w) g( z ) 其中w g( z )
1 6. f ( z ) w f ( z ), z ( w )是两个 ( w ) 互为反函数的单值函数 .
若 w f ( z z 0 ) f ( z 0 ) Az o(| z |) (z 0)
称df ( z0 ) Az为函数f ( z )在z0处的微分， 或说函数在z0处可微。 若函数在点z0可微，则A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z f ( z0 )dz
u i v lim . x 0 x i y y 0
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数 与 积 分 变 换
当z沿平行于实轴的直线趋于0时， u i v u v f ( z0 ) lim i x 0 x x x
当z沿平行于虚轴的直线趋于0时， u i v v u f ( z0 ) lim i . y 0 i y y y
x 0 y k x
lim
k x x x (1 ki )
x 0
k 1 ki
随着k值不同，极限值也不同，故极限不存在 所以f ( z )在z 0处不可微.
为什么满足C-R方程，函数还 不可微（导）？ 因为C-R方程只是必要条件 常用u( x , y ), v ( x , y )是否有连续的偏导数 来代替是否可微
2
所以在复平面内是解析的；
f ( z ) x 2 yi在复平面内不可导， 所以复平面内是处处 不解析的；
三、解析函数
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1. 定义：如果函数f ( z )在z0及z0的邻域内处处 可导，则称f ( z )在z0解析 .
如果f ( z )在区域D内每一点解析，称f ( z )在D 内解析，或称f ( z )是D内的一个解析函数 .
如果f ( z )在z0不解析，则称z0为f ( z )的奇点.
比较以上两式即得
u v v u , x y x y
CauchyRiemann方程
定理：复变函数在一点可导的充要条件
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设f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )定义在区域D内， 则f ( z )在D内一点可导的充要条件是：
一点，点z0 z z D . f ( z0 z ) f ( z ) 如果极限 lim 存在， z 0 z 则说f ( z )在z0可导，此极限值称为f ( z )在
z0的导数.
dw 记作：f ( z0 ) dz
'
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
例3
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讨论函数f ( z )
xy 在z 0的可微性． xy , v( x, y ) 0所以
解 由于u( x , y )
u( x ,0) u(0,0) ux (0,0) lim 0 v y (0,0) x 0 x
1) f ( z ) x 2 yi
2) f ( z ) | z |
2
2. f ( z ) | z |2
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解 由导数的定义,有
z 0
lim
( z z ) f z z
z z z lim z 0 z
2
2
( z z )( z z ) zz lim z 0 z z lim( z z z ) z 0 z
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当z0时, 该极限值为零. 故在点z=0处函数可导 且 f (0) 0；
当z 0时, z沿着平行于实轴的方向趋于0时,有
注意：定义中z 0 即z z0 z z0的方式
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是任意的.
问题：复变函数的导数与实变元函数的导
数有什么不同？
区域D内可导：如果f ( z )在区域D内处处可导， 则说f ( z )在D内可导 .
例1 讨论下列函数的可导性.
f ( z ) a ib 所以 z 1 i 2 这里， x i y
于是，有
( lim 0)
z 0
f ( z ) u v v u lim a ib i i z 0 z x x y y
必要性
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z 0
令f ( z ) u iv, f ( z ) a bi ,
有f ( z ) u i v (a ib )z z ( a ib )( x i y ) o(| z |)
u ax by o(| z |)；
u(0, y ) u(0,0) u y (0,0) lim 0 v x (0,0) y 0 y
满足C-R方程； 但是由于
x y f ( z ) f (0) z x i y
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而 lim
x y x i y
其中1 , 2是关于 x y 的高阶无穷小
2 2
u v u v 设a , b x y y x
则 f u i v
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a x b y 1 i ( b x a y 2 ) ( a ib )( x i y ) (1 i 2 )
1 u( x , y ), v ( x , y )在点( x , y )处可微；
2 在该点满足柯西—黎曼方程： u v u v , x y y x
证明：充分性
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设u( x , y ), v ( x , y )在点( x , y )处可微，且C R 方程成立 u u x y 1 , 则在点( x , y)处有 u x v v v v x y 2 x v
例4 验证w u( x , y ) iv ( x , y )是否满足C - R方程， 并讨论其可导性，其中 哈
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xy 2 2 u( x , y ) v ( x , y ) x y 0
x 2 y2 0 x y 0
二、 Cauchy-Riemann方程
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复变函数的可导性不等价于它的实部和虚 部的可微性。 那么什么条件下复变函数才能可导呢？
若 w f ( z )在z0处可导，故由导数定义， f ( z0 z ) f ( z 0 ) f ( z0 ) lim z 0 z
z lim( z z z ) z z z 0 z
z沿着平行于虚轴的方向趋于0时,有
z lim( z z z ) z z z 0 z
所以f ( z ) z 在z 0的点处处不可导 .
2
2. 复变函数的微分
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v bx ay o(| z |)；
于是可得u( x , y), v( x , y)在z点可微,且
u v u v a , b x y y x
C-R方程
例2
例3
讨论函数f ( z ) x iy 2的可导性.
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第二章 解析函数
第三讲 复变函数的导数与解析函数 学习要点 掌握复变函数的导数与微分 掌握C-R方程与函数可导的充要条件
一、复变函数的导数与微分
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1. 定义 设w f ( z )在区域D上有定义，z0为D中
设f ( z )在D内解析，则在D内任意一点z x iy 处可导，且 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) f ( z ) lim lim z 0 z 0 z z
f ( z ) f ( z )z z (lim 0)
讨论函数f ( z )
xy 在z 0的可微性．
例2 解 因为u( x , y ) x , v ( x , y ) y , 所以
2
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u u v v 1, 0, 0, 2 y x y x y
u( x, y )和v( x, y )在复平面上处处可微, v u x 1 y 2 y 1 由C R方程 y 2 u v 0 x y 1 2 因此 , f ( z ) x iy 仅在直线Im(z )= 上 2 的各点可导
与一元函数一样，复变函数的可导和微分是 等价的。
3. 可导与连续的关系
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若f ( z )在z0处可导，则f ( z )在z0处必定连续； 反之不成立。
证：因为
f ( z ) f ( z0 ) lim f ( z ) f ( z0 ) lim( z z0 ) z z0 z z0 z z0 f ( z ) f ( z0 ) lim( z z0 ) lim z z0 z z0 z z0