工程结构可靠性理论与应用(习题及答案)

《工程结构可靠性理论与应用》习题4.1某地区年最大风压实测值见教材表3-3。

(1)用K-S检验法对年最大风压分布进行假设检验，证明该地区年最大风压可用极值I型来拟合，并写出相应的分布函数；(2)试求该地区设计基准期T= 50年的最大风压的统计特征(统计参数和分布函数) 解：(1)列出年最大风压实测值表，见表1。

表1某地年最大标准风压(kgf/m 2)实测值(25年)(2)对荷载进行统计分析，依据该地区25年实测最大风压力绘制计统计频率分布直方图，为偏态，所以初步判断年最大风压力服从极值I型分布，试用极值I型分布拟合。

已知极值I型分布函数r - x-^T\ R(x)=exp -exp -IL a」.l(3)参数估计1 1子样平均数：X (X1 X2 • X25)= (11.14 • 13.81 川10.12) =19.9325 25子样标准差：11「 2 2 2 一〔(11.14-19.99)2(13.81 -19.99)2III (10.12-19.99)2〕 =8.62 24在M(X)，二(X)，未知情况下，分别用上述估计值M?(x) = 19.93、；：?(X) = 8.62来近似代替，计算未知参数a,u的估计值。

M (x) = 0.5772a - J二(x) = 1.2826ac ；?(X) 8.62 1a? —---------------- ■-------------1.2826一1.2826 0.151垐二M?(X)-0.5772a =19.93 -0.5772 16.080.15于是可以得到该地区年最大风压可以用F i(x)二exp'-exp〔-0.15(x-16.08)b来拟合。

(4)假设检验假设H):该地区年最大风压服从极值I型分布，即其分布函数为F| (x)二exp \ - exp 丨-0.15(x -16.08)卜1其中a ，.二-16.08。

0.152)将X的经验分布函数F n(x)(统计量)与假设的X的分布函数F(x)进行比较，使用max F n(X)- F(X)二maX D n(x)，其中D n(x)=F n(x)-F(x)，来度量抽-x . x :统计量D n 二得的子样与要检验的假设之间的差异，数量大就表示差异大。

为便于计算D n的观测值D n，列表计算D n(x)。

见表2。

表2 子样检验差异表风压值频数累计频数假设分布值经验分布值D n(xJ X i V i F(x) F n(x)7.98 1 1 0.0344 0.04 0.005610.12 1 2 0.0867 0.08 0.006711.14 1 3 0.1227 0.12 0.002711.89 1 4 0.1534 0.16 0.006612.67 1 5 0.1887 0.20 0.011313.81 2 7 0.2452 0.28 0.034814.31 1 8 0.2714 0.32 0.048614.82 1 9 0.2988 0.36 0.061216.04 2 11 0.3657 0.44 0.074319.8 4 15 0.5642 0.60 0.035820.2 1 16 0.5833 0.64 0.056720.4 1 17 0.5927 0.68 0.087321.42 1 18 0.6383 0.72 0.081721.83 1 19 0.6557 0.76 0.104322.25 1 20 0.6728 0.80 0.127223.69 1 21 0.7266 0.84 0.113431.44 1 22 0.9050 0.88 0.025050考虑风向时：F WT (X )二[F wT (x)]mexp[- exp(X -0.323W K0.151W K)]exp[ -exp(-x -0.910W K0.150W K)]35.29 1 23 0.9455 0.92 0.0255 37.441 24 0.9602 0.96 0.0002 43.671250.98421.000.0158表中 F(x i ^ex^-ex^-0.15(x -16.08)1/F n (X )VjnD n (X )= F n (Xj-F(X i )从表 2可见：Dn =max F n(X i)—F(xj|= 0.12723)给显著水平a =0.05，求出临界值D n,o.o5。

当n 足够大时，我们可以认为 VnD n 的 分布近似于Q(k)。

给定a =0.05，临界值D n ,0.05即满足P(VnD n A D n,0.05)=0.05二 P^/nDn "： D n,0.05 )=0.95=Q(D n,0.05)查教材附表川D n ,0.05 = 1.36•_n D n = 0.645< D n,0.05 =1.36 ,故接受H ),即认为该地区年最大风压服从极值I 型分布，其分布函数为:Fi (x)二 exp \ - exp 丨-0.15(x -16.08) V1a , u =16.080.15(5) 求该地区设计基准期 T = 50年，最大风压的统计特征值。

不考虑风向时：50由此得到：J WT =1.11W K ，:WT =0.19由此得到:F WT (X )二[F WT (x)]m= exp[-exp(X -0.359W K0.167W K)]=exp[ -exp(X -1.012W K0.167W K)]-WT =0.998W K , 、WT = 0.19由于=0.998W K W K所以规范规定的风荷载标准值W K即相当于设计基准使用为50年的考虑了风作用方向的最大风荷载W T概率分布的平均值。

4.2求钢筋混凝土轴心受压构件的抗力统计参数。

2已知C30 混凝土f C k=17.5N/mm ，卩k fc=1.41 , =0.19 20MnSi钢筋 2f y k=340N/mm ,・£=1.14, =0.07截面尺寸b k=300mm , h k = 500mm , "kb = "kh=1.0, '1 = --h= 0.02配筋率；-=0.015，稳定系数=1.0，抗力表达式R p二f c b^ f y A S钢筋截面积：J k A s' = 1.0 , 、AS'二0.03计算模式："k p=1.0 ,、*p = 0.05解:计算公式为：R -K P F^P - K p(R a bh R g A g )，统计参数为.怙二怙」b柿」Rg「％ *=1.41 17.5 300 500 +1.14 340 0.015 1 300 500=4573350 N令 C -kRg RgK=0.015 ”4 340 =0.236 kRa ，R aK1.41"17.5皆 _晡+甲+时+。

2(碼+硒)_0.192 +0.022 +0.022 +0.236(0.072 +0.032) (1 C)2(10.236)2=0.0248得：K R 1.35R K R K'R^ \ " KP " RP =°・1654.3 已知极限状态方程Z=g( F, S)= R- S=0, "R=100, "s=50, ; R= 0.12，飞=0.15 ,试求下列情况下1。

(1)R S均服从正态分布；(2)R服从对数正态分布，S服从极值I型分布。

解：(1)当R S均服从正态分布时：JR=100, J S=50,、R= 0.12，、：S= 0.15二R= -R U R =12，二s= 'S U S = 7.5得=土二U R_U E = 3.53°z Jcr；+舅(2) R服从对数正态分布，S服从极值I型分布时：1) 由于R服从对数正态分布，首先对抗力R进行当量正态化: 令R*的初值为其平均值，A R = R(1 —In R^+UMR) = R(1 +1n U R—In R)=100(1+4.59802153-4.60517019)=99.285j = R^R =R jn(V :R)=100 •. In(1 0.122) = 11.957132) S服从极值I型分布，对荷载S当量化：令S”的初始值为其平均值a - 6；二/二=,6 7.5/二=5.848u =比-0.577 a = 50-0.577 5.848 = 46.62571 1y (S -u) (50-46.6257 )= 0.57701a 5.848F S(S )= exp[-exp(-y)] = exp[exp(-0.57701)] = exp[-0.561575] = 0.57031 1S(S ) exp(-y)exp[ -exp(-y)] exp(-0.57703)exp[-exp(-0.57703)]a 5.8481= 0.561575 0.5703= 0.0547655.848二S= 心〔F s(S )〕/ s(S )=：叮〔0.5703〕/0.054765;(0.177) 0.054765(4):-1-exp(-3.50.00995 -0.5 0.00995) -R ——2.98200.1G 为正态分布：-G =3.5L 为极值i 型分布：_{m [-m (0.9997674)] 0.5772}—6.0731.28252.98200.1 U R = 0.0852 J R3.5[二 U GG=0.0742 G K0.17721 一-r-2e0.3927417—厶—7.171400.054765 0.0547651 1•1S= S —：.：」—[ F s (S)]；「s = U S[F s (S )]汪=50-0.1777.1714 — 48.73066以R •的统计参数 •、二R 代替R 的统计参数、二R ；并以S 的统计参数二S 、丿S 代 、匚S ，计算得可靠度为■—电二 U L_U L — _99.285二48.73066_ — 3.626 CT z Jb R 卄 2 J11.957132 +7.1714024.4已知极限状态方程 RGL =O对数正态分布， =1.13R k , :.R = 0.1 正态分布， J G =1.06G k , :G = 0.07R 抗力, G 恒载, L --- 活载, 极值I 型，人=0・7L k ,、L = 0.288设：?=丘G K= 0.1及2，目标可靠度指标 -=3.5，试求相应的设计分项系数。

解:⑴；「R 二 U R R =0.113 R K ，二G=U G G =0.0742 G K ，二 L =U L L =0.2016 L K1= 3.5 , 1- R =「(3.5) =0.9997674(2)极限状态方程为g =R- G L =0, 空=1，上9 = 一1,cR cG£g ;：L(3)R 为对数正态分布: 2k =1 n(1+§R )= 0.00995(5)当二=土 =0.1 时G K6 =6073 0.02016 G K= 0.03498 G K由 一：=3.5=____ uR -七-比J(0.0852U R )芥(0.0742G K(0.03498G K )2得 R < -1.52G KCOS % =-O.。