直线与椭圆的位置关系练习题目与答案

直线与椭圆的位置关系练习（2）

1. 椭圆19

252

2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则

ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．

2

3

解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，

所以82101012=-=-=MF MF ，

又因为ON 为21F MF ∆的中位线，所以

42

1

2==

MF ON ，故答案为A ．

2. 若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152

2=+m

y x 恒有公共点，求实数m 的取值范围

解法一：

由⎪⎩⎪

⎨⎧=++=15

1

22m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即

1152≥+≥k m

51≠≥∴m m 且

解法二：直线恒过一定点)1,0(

当5

当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m 综述：51≠≥m m 且

解法三：直线恒过一定点)1,0(

要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部11502

2≤+m

即

1≥m

3. 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点

（2）若直线被椭圆截得的弦长为

5

10

2，求直线的方程．

3. 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得

()142

2=++m x x ，

即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得

2

525≤≤-

m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得

5

221m

x x -

=+，51221-=m x x ． 根据弦长公式得 ：5102514521122

2

=-⨯-⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．

4. 已知椭圆11

22

2=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）

及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积 4. 解法一：由题可知：直线AB l 方程为022=++y x

由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=112

2

222

y x

x y 可得04492=-+y y ，91044)(2122121=-+=-y y y y y y 9

104212121=-=

∴∆y y F F S 解法二：2F 到直线AB 的距离5

5

4=

h 由⎪⎩⎪

⎨⎧=+--=112

2

222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB

9

10421==

∴∆h AB S 解法三：令),(),,(2211y x B y x A 则11ex a AF +=，21ex a BF +=其中

2

2

,2=

=e a 2F 到直线AB 的距离5

5

4=

h 由

⎪⎩⎪⎨⎧=+--=112

2222

y x x y 可得061692=++x x ，

9

2

10)(222121=

++=+++=x x e a ex a ex a AB 9

10421==

∴∆h AB S [评述]在利用弦长公式2122121

11y y k

x x k AB -+

=-+=（k 为直线斜率）或焦（左）半径公式)(22212121x x e a ex a ex a PF PF AB ++=+++=+=时，应结合韦达定理解

5. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3

π

的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．

5. 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以

33=c ．因为焦点在x 轴上，

所以椭圆方程为19362

2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为

93+=x y ．

由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-

=+x x ，13

8

3621⨯=x x ，3=k ， 从而13

48

]4))[(1(1212212212=

-++=-+=x x x x k x x k AB ．

6. 已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为23，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是3

2

-，求椭圆的方程

6. 解法一：

令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：

32221-=+x x ，3

1

221-=+y y