直线与椭圆的位置关系练习题目与答案
直线与椭圆的位置关系
3．若椭圆3x62＋y92＝1 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的
直线方程是( )
A．x－2y＝0
B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y－12＝0
D．x＋2y－8＝0
答案 D 解析 设这条弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k， 则xx33126622＋＋yy991222＝＝11，， 两式相减再变形，得x13＋6x2＋ky1＋9 y2＝0. 又弦中点为(4，2)，∴k＝－21. ∴这条弦所在的直线方程为 y－2＝－12(x－4)，即 x＋2y－8＝0.
解得 k＝±1.
(2)∵M→A＝(x1，y1－1)，M→B＝(x2，y2－1)， ∴M→A·M→B＝x1x2＋(y1－1)(y2－1) ＝(1＋k2)x1x2－43k(x1＋x2)＋196 ＝－19（6（2k1＋2＋k12））－9（21k62k＋2 1）＋196＝0. ∴不论 k 取何值，以 AB 为直径的圆恒过点 M. 【答案】 (1)±1 (2)略
【例2】已知椭ax22圆by22 1(ab0)的一个顶点 B（为 0,4） ,离心率
e 5，直线 l交椭圆M于、N两点。 5
（1）若直l的 线方程y为 x4，求弦M长N的长； （2）如果三角 BM形N的重心恰好为椭焦 圆点 的 F， 右求直线
l方程的一般式。
题型二 弦长问题
3 椭圆两顶点 A(－1，0)，B(1，0)过焦点 F(0，1)的直线 l 与椭圆交于 CD 两点．当|CD|＝32 2时．求 l 的方程．
当
y＝－31时，弦长最大为4
3
3 .
方法二：直线所过的定点为(0，1)在椭圆上，可设另外一交 点为(2cosθ，sinθ)，则弦长为
4cos2θ＋（1－sinθ）2 ＝ －3sin2θ－inθ＋5 ＝
2018年高考数学命题角度5.2直线与椭圆位置关系大题狂练理
命题角度5.2 :直线与椭圆位置关系1.已知椭圆 的两个焦点为且经过点 ⑴求椭圆•的方程； ⑵过 的直线与椭圆-交于| ■两点(点」位于 轴上方)，若人 ；，且—■:： ，求直线的斜率的取值范围.£十几1 並【答案】(1)；( 2).【解析】试题分析:(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数 £斜率 的取值范围是k=.试题解析；⑴由椭圆定义2。
= |阴| + |跖| = 4,有a = 2f c =从而W +-w 3(y =+1) ⑵设直线=比& + i)(A >0),有|兰+邑=]设百0") 玖％y)有％ = -久仏y 1y 3=^(y 1+y 3)S 讐二戏戶人#一ST2 <A<3f注洁訂》解得0C 冬乎.3^4Jt==a, A = +y,由已矢皿=¥・2.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率e 2 •以两个焦点和短轴的两个端点2为顶点的四边形的周长为 8,面积为2^3 •(I)求椭圆C 的方程；(n)若点P X o ,y 。
为椭圆C 上一点，直线I 的方程为3x °x • 4y °y -12=0,求证：直线I 与椭圆C 有且只有一个交点.(1)由题意可得 ， i — -- + —，—则椭圆方程为k 的不等式，求解不等式可得直线的J 整理得任+斗a+^fc 2 ■【来源】【全国市级联考】广西桂林 ，百色，梧州，北海,崇左五市2017届高三5月联合模拟理 科数学试题2 2【答案】(I )- y 1 ；( II )详见解析•4 3【解析】试题分析：2 2(1) 利用题意求得b 「3， c =1，椭圆C 的方程为 —1 .4 3(2) 首先讨论当y 。
=0的情况，否则联立直线与椭圆的方程， 结合直线的特点整理可得直线 I 与 椭圆C 有且只有一个交点.试题解析：(I ＞依题意，设椭圆c 的方程为4 + = 焦距为丸,由题设条件知，4^=8, “2,2x 丄x 2c xb= 2-^5 , b 1= / = 4』所以“省，c = b 或— C = j3 (经检验不合题意舍去)， 故椭圆。
高中数学 同步学案 直线与椭圆的位置关系(习题课)
第二课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)[新知初探]1．点与椭圆的位置关系点P(x 0,y 0)与椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 2b 2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的位置关系,判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消y 得一元二次方程．当Δ>0时,方程有两解,直线与椭圆相交； 当Δ＝0时,方程有一解,直线与椭圆相切； 当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆相离． 3．直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． (2)求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则弦长公式为： |AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.[小试身手]1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y2n 2＝1上,则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2,－3)在椭圆内D ．点(2,－3)在椭圆上 答案：D2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 答案：C3．设F 1,F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM|＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为________．答案：4直线与椭圆的位置关系[典例] 对不同的实数值m,讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y,得x 24＋(x ＋m)2＝1, 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m<5时,Δ>0,直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时,Δ＝0,直线与椭圆相切； 当m<－5或m>5时,Δ<0,直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． [活学活用]若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y2m ＝1总有公共点,求m 的取值范围．解：∵直线y ＝kx ＋1过定点A(0,1)． 由题意知,点A 在椭圆x 25＋y2m ＝1内或椭圆上,∴025＋12m ≤1,∴m≥1. 又椭圆焦点在x 轴上∴m<5, 故m 的取值范围为[1,5).弦长及中点弦问题[典例] 已知点P(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 被椭圆截得的弦长． [解] (1)[法一 根与系数关系法] 由题意可设直线l 的方程为y －2＝k(x －4), 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k(4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k4k －24k 2＋1＝8,解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4),即x ＋2y －8＝0. [法二 点差法]设直线l 与椭圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减,有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. 又x 1＋x 2＝8,y 1＋y 2＝4,所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12, 即k ＝－12.所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.(2)由题意可知直线l 的方程为x ＋2y －8＝0,联立椭圆方程得x 2－8x ＋14＝0.法一：解方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4＋2，y 1＝2－22， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4－2，y 2＝2＋22，所以直线l 被椭圆截得的弦长为[4＋2－4－2]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋222 ＝10.法二：因为x 1＋x 2＝8,x 1x 2＝14. 所以直线l 被椭圆截得的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12282－4×14＝10.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下：已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x 0,y 0)是线段AB 的中点,则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②,得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0,变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0,即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22,4a 2＋2b 2＝1,解得a 2＝8,b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )．将y ＝kx ＋b 代入x28＋y 24＝1,得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1,y M ＝k·x M ＋b ＝b 2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ,即k OM ·k＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ),则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1， ①x 228＋y 224＝1， ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 28＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0,∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 1＋x 28y 1＋y 2＝－12·x My M.又k O M ＝y M x M ,∴k AB ·k OM ＝－12.∴直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．与椭圆有关的综合问题[典例] 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22,且点P(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,求△AOB 面积的最大值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝6，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 26＋y23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝－x ＋m, 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 26＋y23＝1，得3x 2－4mx ＋2m 2－6＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－63，∴|AB|＝1＋－12|x 1－x 2|＝439－m 2,原点到直线的距离d ＝|m|2.∴S △OAB ＝12×43 9－m 2·|m|2＝239－m2m 2≤23·9－m 2＋m 22＝322.当且仅当m ＝±322时,等号成立,∴△AOB 面积的最大值为322.求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解．(3)函数法：探求函数模型,转化为函数的最值问题,借助函数的单调性、基本不等式等求解,注意椭圆的范围．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0),左、右焦点分别是F 1,F 2,若椭圆C 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1,F 2的距离和等于4.(1)写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)直线l 过定点M(0,2),且与椭圆C 交于不同的两点A,B,若∠AOB 为锐角(O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由题意得2a ＝4,得a ＝2, 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上,∴14＋34b 2＝1,解得b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1,焦点F 1(－3,0),F 2(3,0)．(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0,设l ：y ＝kx ＋2,代入x 24＋y 2＝1,整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0,Δ＝(16k)2－4(1＋4k 2)·12＝16(4k 2－3)>0,得k 2>34.①设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∴x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2,x 1x 2＝121＋4k 2.∵∠AOB 为锐角,∴cos ∠AOB>0, 则OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2>0, 又y 1y 2＝(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4,∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4 ＝44－k21＋4k 2>0, ∴k 2<4.② 由①②得34<k 2<4.解得－2<k<－32或32<k<2, ∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.层级一 学业水平达标1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆x 29＋y24＝1内部,所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1相交,故选B.2．过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( )A.2b 2a B.2a 2bC.2c 2aD.2c 2b解析：选A 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦．将点(c,y)的坐标代入椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1,得y ＝±b 2a ,故最短弦长是2b2a.3．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y24＝1有两个公共点,则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫54，－54 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0,当Δ＝16(16k 2－5)>0,即k>54或k<－54时,直线与椭圆有两个公共点．故选C. 4．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1,过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,且弦AB 被点P 平分,则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选B 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． ∵点A,B 在椭圆上,∴y 219＋x 21＝1,① y 229＋x 22＝1.② ①－②,得y 1＋y 2y 1－y 29＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12是线段AB 的中点, ∴x 1＋x 2＝1,y 1＋y 2＝1,代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9,即直线AB 的斜率为－9.故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12, 整理得9x ＋y －5＝0.5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F,直线l ：x ＝2,点A ∈l,线段AF 交椭圆C 于点B,若FA ―→＝3FB ―→,则|AF ―→|＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析：选A 设点A(2,n),B(x 0,y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2,b 2＝1,∴c 2＝1,即c ＝1.∴右焦点F(1,0)． 由FA ―→＝3FB ―→得(1,n)＝3(x 0－1,y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43,y 0＝13n.将x 0,y 0代入x 22＋y 2＝1,得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1, ∴|AF ―→|＝2－12＋n 2＝1＋1＝ 2.6．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点F 1,与椭圆交于A,B 两点,则|AB|＝________.解析：因为直线l 经过椭圆的右焦点F 1(1,0),且斜率为2,则直线l 的方程为y ＝2(x －1),即2x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1得3x 2－5x ＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝53,x 1x 2＝0,所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. 答案：5537．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________．解析：∵MF 1―→⊥MF 2―→,∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上,又点M 在椭圆内部,∴c<b,∴c 2<b 2＝a 2－c 2,即2c 2<a 2,∴c 2a 2<12,即c a <22.又e>0,∴0<e<22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 8．已知动点P(x,y)在椭圆x 225＋y 216＝1上,若A 点坐标为(3,0),|AM ―→|＝1,且PM ―→·AM ―→＝0,则|PM ―→|的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ―→·AM ―→＝0, ∴AM ―→⊥PM ―→.∴|PM ―→|2＝|AP ―→|2－|AM ―→|2＝|AP ―→|2－1,∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小,故|AP ―→|min ＝2,∴|PM ―→|min ＝ 3. 答案： 39．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1,∴b ＝4.又e ＝c a ＝35,得a 2－b 2a 2＝925,即1－16a 2＝925,∴a ＝5,∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程,得x 225＋x －3225＝1,即x 2－3x －8＝0,解得x 1＋x 2＝3,∴AB 的中点坐标 x 0＝x 1＋x 22＝32,y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65,即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.10.如图,已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°,求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2―→＝2F 2B ―→,求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°,则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|,即b ＝c. 所以a ＝2c,e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0,b),F 2(1,0),设B(x,y),由AF 2―→＝2F 2B ―→,解得x ＝32,y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1,得94a 2＋b24b 2＝1,即94a 2＋14＝1,解得a 2＝3,b 2＝2,所以椭圆方程为x 23＋y22＝1.层级二 应试能力达标1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1解析：选A 由题意,得4m 2＋n 2 >2,所以m 2＋n 2<4,则－2<m<2,－2<n<2,所以点P(m,n)在椭圆x 29＋y24＝1内,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1有2个交点．故选A.2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M,N 两点,过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22,则mn的值是( )A.22B.233C.922D.2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x消去y 得,(m ＋n)x 2－2nx ＋n －1＝0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),MN 中点为(x 0,y 0), 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ,∴x 0＝n m ＋n, 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n. 由题意y 0x 0＝22,∴m n ＝22,选A.3．若点(x,y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上,则y x －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233D ．以上都不对解析：选C 设yx －2＝k,则y ＝k(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝4，y ＝k x －2消去y,整理得(k 2＋4)x 2－4k 2x 2＋4(k 2－1)＝0, Δ＝16k 4－4×4(k 2－1)(k 2＋4)＝0, 解得k ＝±233,∴k min ＝－233.选C.4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的方程为( )A.x 245＋y236＝1 B.x 236＋y227＝1 C.x 227＋y218＝1D.x 218＋y29＝1 解析：选D 因为直线AB 过点F(3,0)和点(1,－1), 所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3),代入椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1消去y,得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0,所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1,即a 2＝2b 2,又a 2＝b 2＋c 2,所以b ＝c ＝3. 所以E 的方程为x 218＋y29＝1.5．过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0,根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2,y 1＋y 2＝2×1＝2,且y 1－y 2x 1－x 2＝－12,所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0,得a 2＝2b 2,所以a 2＝2(a 2－c 2),整理得a 2＝2c 2,所以c a ＝22,即e ＝22.答案：226．在离心率为32的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上任取一点M,过M 作MN 垂直y 轴于点N,若MP ―→＝12MN ―→,点P 的轨迹图形的面积为π,则a 的值为________．解析：设P(x,y),M(x 0,y 0),则N(0,y 0), 由条件MP ―→＝12MN ―→可知点P 是线段MN 的中点,故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0，y ＝y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝y ，由离心率为c a ＝32,可得4c 2＝3a 2,即4a 2－4b 2＝3a 2,故a ＝2b. 故椭圆方程为x 24b 2＋y2b 2＝1,把点M(x 0,y 0)代入可得2x24b2＋y2b2＝1, 即x 2＋y 2＝b 2,表示半径为b 的圆,面积为πb 2＝π. 故b ＝1,a ＝2b ＝2.答案：27．在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,－3),(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C. (1)求C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A,B 两点,k 为何值时OA ―→⊥OB ―→？此时|AB|的值是多少．解：(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P 的轨迹C 是以(0,－3),(0,3)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b ＝22－32＝1.故曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋4x 2＝4.消去y,并整理,得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－2k k 2＋4,x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA ―→⊥OB ―→,则x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1) ＝k 2x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1,所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k2k 2＋4＋1＝－4k 2－1k 2＋4＝0,所以k ＝±12.当k ＝±12时,x 1＋x 2＝∓417,x 1x 2＝－1217.所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝54×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫±4172＋4×1217＝46517.8．在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B(－2,0),P 是平面内一动点,直线PA,PB 斜率之积为－34.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与轨迹C 交于E,F 两点,线段EF 的中点为M,求直线MA 的斜率k 的取值范围． 解：(1)设P 点的坐标为(x,y), 依题意,有y x －2·y x ＋2＝－34(x≠±2),化简并整理,得x 24＋y23＝1(x≠±2)．∴动点P 的轨迹C 的方程是x 24＋y23＝1(x≠±2)．(2)依题意,直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且斜率不为零,故可设其方程为x ＝my ＋12,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12，x 24＋y23＝1消去x,并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0,∴Δ>0恒成立． 设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),M(x 0,y 0), 则y 1＋y 2＝－3m 3m 2＋4,∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m23m 2＋4, ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4,∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4.①当m ＝0时,k ＝0； ②当m≠0时,k ＝14m ＋4m.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ＝4|m|＋4|m|≥8,∴0<1⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ≤18,∴0<|k|≤18,∴－18≤k≤18且k≠0. 综合①②可知直线MA 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，18.。
2020届高三理数一轮讲义：9.5.2-直线与椭圆的位置关系(含答案)
第2课时 直线与椭圆的位置关系考点一 直线与椭圆的位置关系【例1】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点. 规律方法 研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.【训练1】 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A考点二 中点弦及弦长问题 多维探究角度1 中点弦问题【例2－1】 已知椭圆x 22＋y 2＝1，(1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程； (2)求过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12且被P 点平分的弦所在直线的方程.解 (1)设弦的端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中点是M (x ，y )，则x 2＋x 1＝2x ，y 2＋y 1＝2y ，由于点P ，Q 在椭圆上，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，①x 222＋y 22＝1，② ①－②得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 12（y 2＋y 1）＝－x2y ， 所以－x 2y ＝y －1x －2，化简得x 2－2x ＋2y 2－2y ＝0(包含在椭圆x 22＋y 2＝1内部的部分).(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k ＝－x 2y ＝－12，因此所求直线方程是y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化简得2x ＋4y －3＝0. 规律方法 弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.角度2 弦长问题【例2－2】 (2019·孝义模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D ，且|CD ||AB |＝837？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解 (1)根据题意，设F 1，F 2的坐标分别为(－c ，0)，(c ，0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在斜率为－1的直线l ，设为y ＝－x ＋m ， 由(1)知F 1，F 2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)， 所以以线段F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝1， 由题意知圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|－m |2<1， 得|m |< 2. |AB |＝21－d 2＝21－m 22＝2×2－m 2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－x ＋m ，消去y ，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，由题意得Δ＝(－8m )2－4×7(4m 2－12)＝336－48m 2＝48(7－m 2)>0，解得m 2<7， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8m7，x 1x 2＝4m 2－127，|CD |＝2|x 1－x 2|＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8m 72－4×4m 2－127＝2×336－48m 249＝467×7－m 2＝837|AB |＝837×2×2－m 2，解得m 2＝13<7，得m ＝±33.即存在符合条件的直线l ，其方程为y ＝－x ±33.规律方法 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题. 2.设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率). 【训练2】 (1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________.(2)(一题多解)(2019·广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( ) A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 28＋y 212＝1解析 (1)法一 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1消去y ，得3x 2－5x ＝0， 故得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432＝553. 法二 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)， 直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0， 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.(2)法一 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)， ∴设椭圆方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1(b >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1，y ＝3x ＋7消去x ，得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知y 1＋y 22＝1，∴y 1＋y 2＝14（b 2＋4）10b 2＋4＝2，解得b 2＝8. ∴所求椭圆方程为x 28＋y 212＝1.法二 ∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)， ∴设椭圆的方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1.设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21b 2＋4＋x 21b 2＝1， ①y 22b 2＋4＋x22b 2＝1，②①－②得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＋4＋（x 1－x 2）（x 1＋x 2）b 2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2＋4b 2， 又∵弦AB 的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3，代入上式得3×2×12×（－2）＝－b 2＋4b 2，解得b 2＝8，故所求的椭圆方程为x 28＋y 212＝1.答案 (1)553 (2)D 考点三 最值与范围问题易错警示【例3】 (2019·沈阳质检)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ→＝32QB →. (1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0). 设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝65，y 0＝－45， 代入椭圆方程得b 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*)因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根， 故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16k1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外， 所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0， 解得k 2<4，综上可得34<k 2<4，则32<k <2或－2<k <－32.则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.规律方法 最值与范围问题的解题思路1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.易错警示 (1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.【训练3】 已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63解析 由题意可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 2＝x 20＋y 20－3<0.因为点P 在椭圆上，所以y 20＝1－x 204.所以x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263，即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案 A[思维升华]1.判断直线与椭圆的位置关系主要是代数法，即通过联立直线方程和椭圆方程所得的二次方程的根的个数来进行，当直线过某一定点时，也可利用该定点与椭圆的位置关系，来判断直线与椭圆的位置关系.2.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数. [易错防范]1.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.2.直线与椭圆有交点时，注意由直线方程和椭圆方程联立所得二次方程的Δ≥0.3.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围.数学运算——高考解析几何问题中的“设而不求”1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.类型1 巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求 【例1】 (2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.解析 法一 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B＋p 2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p ， 由⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .法二 (点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212px 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案 y ＝±22x类型2 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法【例2】 (1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，△ABC的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________________. (2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________.解析 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1，又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0.(2)当k ＝0时，显然成立.当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝ y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k ，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0. 综上，k 的取值范围为(－2，2). 答案 (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2，2)类型3 中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0 【例3】 人教A 版教材《选修2－1》第62页习题2.3 B 组第4题：已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1，1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解 假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.类型4 求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【例4】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________.解析 法一 由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t ，联立方程得⎩⎨⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1. 所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2，同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t 2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二 由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，l 2：y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2. 由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k 2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k 2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8. 答案 8基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞) C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)解析由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0. 由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3. 答案 B2.设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( ) A.±32B.±23C.±12D.±2解析 由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k >0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得y 1＝－32，y 2＝32，解得k ＝32；同理可得当k <0时k ＝－32. 答案 A3.(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.－23B.－32C.－49D.－94解析 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.答案 A4.(2018·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) A.60°B.90°C.120°D.150°解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，又F (c ，0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.答案 B5.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105解析 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意知Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0即t 2<5，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8t5，x 1x 2＝4（t 2－1）5，|AB |＝（1＋12）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4255－t 2≤4105(当且仅当t ＝0时取等号). 答案 C 二、填空题6.已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________________.解析 因为椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，焦点坐标为(0，c )，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.答案 y 24＋x 2＝17.(2019·河南八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________.解析 不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝255.答案 2558.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在直线方程是________.解析 由题意知，以M (1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋(1－k )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋（1－k ），则有(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0， 所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k1＋2k 2＝1， 解得k ＝－12(满足Δ>0)，故b ＝32， 所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝0 三、解答题9.(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. (1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ). 由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m ).直线BN 的方程为y ＝n2－m (x －2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.10.已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7. (1)求椭圆C 的离心率；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值.解 (1)由题设知，A (b ，0)，B (0，a )，直线AB 的方程为x b ＋ya ＝1，又|AB |＝a 2＋b 2＝7，ab a 2＋b2＝2217，a >b >0， 计算得出a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝12.(2)由(1)知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m消去y得，(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，直线l 与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k 2－m 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－6km3k 2＋4，x 1x 2＝3m 2－123k 2＋4.又直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切， 则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1). 而|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·48（3k 2－m 2＋4）3k 2＋4＝1＋k 2·48（k 2＋2）3k 2＋4＝43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4，又|MN |＝1227，所以43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4＝1227，即5k 4－3k 2－2＝0，解得k ＝±1，且满足Δ>0，故k 的值为±1.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·北京东城区调研)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1(m >3)的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( ) A.210－5 B.210－4 C.410－11D.410－10解析 易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去.所以m ＝4.联立⎩⎨⎧（x －2）2＋y 2＝1，x 24＋y 23＝1，得x 2－16x ＋24＝0.又x ≤2，所以x ＝8－210.故点P 到直线AB 距离的最大值为3－(8－210)＝210－5. 答案 A12.(2019·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝c b x 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为( ) A.12 B.32C.1D.2解析联立方程可得⎩⎨⎧x ＋2y －22＝0，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a ，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1. 答案 C13.已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________.解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2. 设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k2，所以0＜e 2≤45，又由0＜e ＜1，解得0＜e ≤255.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，255 14.(2019·咸阳一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 的面积的最大值. 解 (1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，所以4a 2＋1b 2＝1.所以a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.又直线l 与椭圆相交，所以Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. 则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5.所以S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时，△PAB 的面积取得最大值为2.。
直线与椭圆关系试题
直线与椭圆一．选择题1．椭圆两焦点F1、F2，过F1作直线AB与椭圆交于A、B两点，△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2．过椭圆+y2=1的左焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两，F2为椭圆的右焦点，则△ABF2的周长为（）A．4B．8C．12 D．16二．解答题3．已知椭圆的中心在原点，左焦点F1（﹣2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过（﹣3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．4．如图，椭圆的中心在坐标原点O，左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，离心率，三角形△BF1F2的周长为16．直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（1）求该椭圆的标准方程．（2）求四边形AEBF面积的最大值．、5．已知焦点在x轴上，对称轴为坐标轴的椭圆的离心率为，且以该椭圆上的点和椭圆的两焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为6，（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点N（1，0）斜率为k直线l与椭圆相交与A、B两点，若，求直线l斜率k的取值范围．6．过椭圆x2+2y2=2的左焦点引一条倾斜角为450的直线，求以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形的面积．7．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为（1）求椭圆的标准方程；（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．9．已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；（2）求证：线段EF被直线AC平分．10．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．11．已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点（P、Q与A不重合），直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与x轴相交于同一点．12．椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny﹣4=0与圆C′：x2+y2=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．13．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B 的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）P是椭圆C上不同于A，B的任意一点，直线AP，BP分别与直线x=3相交于点M，N，直线BM与椭圆C 相交于异于点B的另一点Q．（i）求的值；（ii）求证：A，Q，N三点共线．14．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长与焦距相等，直线x+y﹣1=0与E相交于A，B两点，与x轴相交于C点，且．（1）求椭圆E的方程；（2）如果椭圆E上存在两点M，N关于直线l：y=4x+m对称，求实数m的取值范围．15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．椭圆两焦点F1、F2，过F1作直线AB与椭圆交于A、B两点，△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，AB⊥F1F2，则，由此可得a，c的方程，即可求得椭圆的离心率．解答：解：由题意，AB⊥F1F2，则∵，∴∴∴∴e=故选A．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2．过椭圆+y2=1的左焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两，F2为椭圆的右焦点，则△ABF2的周长为（）A．4B．8C．12 D．16考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：首先根据椭圆方程求出椭圆的长半轴a，再根据椭圆的定义得到AF1+AF2=BF1+BF2=2a=4，最后将此式代入到三角形ABF2的周长表达式中，即可得到答案．解答：解：∵椭圆方程为：+y2=1∴椭圆的长半轴a=2由椭圆的定义可得，AF1+AF2=2a=4，且BF1+BF2=2a=4∴△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=（AF1+BF1）+（AF2+BF2）=4a=8故选：B点评：本题以椭圆中的三角形为例，考查椭圆的定义、标准方程，以及椭圆简单性质的应用，属于基础题．二．解答题（共13小题）3．已知椭圆的中心在原点，左焦点F1（﹣2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过（﹣3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，表示出通径，由其长等于，联立c=2及a2=b2+c2求解a，b的值，所以椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到两交点A，B的纵坐标的和与积，代入向量数量积等于0求解答案．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为．令x=﹣c，代入椭圆方程得，．所以，又a2=b2+c2，解得．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my﹣3，A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与椭圆的方程，得（m2+3）y2﹣6my+3=0，，由题意可知AF1⊥BF1，即，∴=整理得：（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1=0．∴，解得m=．代入△=36m2﹣12（m2+3）=24×3﹣36=36＞0．所以直线l的方程为或x﹣+3=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，直线和圆锥曲线的关系问题，常采用根与系数的关系来解决，考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．4．如图，椭圆的中心在坐标原点O，左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，离心率，三角形△BF1F2的周长为16．直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（1）求该椭圆的标准方程．（2）求四边形AEBF面积的最大值．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程，焦距为2c．由题意可得a，c的关系，结合a2=b2+c2，可求a，b，c进而可求椭圆的方程；（2）解法一：将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程：（16+25k2）x2=400如图，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），表示出四边形AEBF的面积，最后利用基本不等式求S的最大值；解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．再设y1=kx1，y2=kx2，表示出四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=4x2+5y2，最后利用基本不等式求其最大值即可．解答：解：（1）设椭圆的方程为，焦距为2c，依题意有，解得∴椭圆的方程为，（5分）（2）解法一：由消去y，得（16+25k2）x2=400如图，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，∴．①（8分）∵直线AB的方程分别为即4x+5y﹣20=0，∴点E，F到AB的距离分别为，（10分）又，所以四边形AEBF的面积为====，当且仅当16=25k2即时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，y2=﹣y1＞0，且故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=4x2+5y2（10分）===，当且仅当4x2=5y2时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的应用，体现了方程的思想的应用，要注意弦长公式的应用．5．已知焦点在x轴上，对称轴为坐标轴的椭圆的离心率为，且以该椭圆上的点和椭圆的两焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为6，（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点N（1，0）斜率为k直线l与椭圆相交与A、B两点，若，求直线l斜率k的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）直接利用离心率为，以及三角形的周长为6列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得椭圆的标准方程；（2）先设直线l的方程为y=k（x﹣1），再把直线方程与椭圆的标准方程联立求出A、B两点的坐标与k之间的关系，代入，整理后即可直线l斜率k的取值范围．解答：解：（1）设椭圆的标准方程为，依题有2a+2c=6，即a+c=6，又因为，所以a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，所以椭圆的标准方程为（2）设过点N（1，0）的斜率为k直线l的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）由可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0∴，∵=（1+k2）[x1•x2﹣（x1+x2）+1]=，∴，∴点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，韦达定理是一个必不可少的工具，比如本题的第二问．6．（2007•汕头二模）过椭圆x2+2y2=2的左焦点引一条倾斜角为450的直线，求以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形的面积．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化椭圆的方程为标准方程，求出椭圆的左焦点坐标，写出直线l的方程，和椭圆方程联立后求出两个交点的横坐标，由此可得三角形是以半短轴为底的三角形，直接利用面积公式求面积．解答：解：由x2+2y2=2，得椭圆方程，∴a2=2，b2=c2=1，∴c=1，∴左焦点为F1（﹣1，0），∴过左焦点F1的直线为y=tan45°（x+1），即y=x+1．代入椭圆方程得3x2+4x=0，∴，∴所求三角形以半短轴为底，其面积为．点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了方程思想方法，训练了学生的计算能力，是中档题．7．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设使成立的直线l存在，当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，由，，知x1x2+y1y2=0．将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2﹣8）=0，由韦达定理能够导出k2=﹣1，即此时直线l不存在；当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=﹣1，由此能够导出此时直线l不存在．所以使成立的直线l不存在．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知所以，又a2=b2+c2，因此b=2故椭圆的标准方程为（6分）（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设使成立的直线l存在，（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，即m2=k2+1∵，，∴==1+0+0﹣1=0，即x1x2+y1y2=0将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2﹣8）=0由求根公式可得，0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2因此（1+k2）（2m2﹣8）﹣4k2m2+m2（1+2k2）=0将m2=k2+1代入上式并化简得k2=﹣1，即此时直线l不存在；（10分）（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=﹣1，当x=1时，A，B，P的坐标分别为，∴，∴当x=﹣1时，同理可得，矛盾，即此时直线l不存在综上可知，使成立的直线l不存在．（14分）点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意计算能力的培养，提高解题能力和解题技巧．8．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，建立方程，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）将y=k（x+1）代入椭圆方程，利用韦达定理，及线段AB中点的横坐标为，可求斜率k的值．解答：解：（Ⅰ）由题意，满足a2=b2+c2，，…（3分）解得，则椭圆方程为…（6分）（Ⅱ）将y=k（x+1）代入中得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…（8分）△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，所以…（10分）因为AB中点的横坐标为，所以，解得…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．9．已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；（2）求证：线段EF被直线AC平分．考点：圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题；分类讨论．分析：（1）先设出椭圆的标准方程，根据抛物线的方程求得其焦点坐标，进而求得椭圆的c，短半轴b求得a，则椭圆的方程和离心率可得．（2）根据（1）中的椭圆方程求得其准线l的方程，求得点E的坐标，设EF的中点为M，则M的坐标可得，先看当AB垂直于x轴，则设出点A，B，C的坐标，求得AC中点的坐标，判断出线段EF的中点与AC的中点重合；再看AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2的表达式，可表示出AM和CM的斜率，求得二者相等，进而推断出A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，最后综合证明题设．解答：解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）∵y2=4x的焦点为F（1，0）∴c=1，又2b=2，∴b=1，a2=b2+c2=2，所以，椭圆的标准方程为其离心率为e=（2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则M（，0）若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，﹣y1），C（2，﹣y1）∴AC的中点为N（，0）∴线段EF的中点与AC的中点重合，∴线段EF被直线AC平分，若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2）则C（2，﹣y2）把y=k（x﹣1）代入得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0则有x1+x2=，x1x2=∴k AM==，k CM=，∵k AM﹣k CM=2k\frac{（{x}_{1}﹣1）﹣（{x}_{2}﹣1）}{2{x}_{1}﹣3}2（{x}_{1}﹣3）=0=∴k AM=k CM∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，∴线段EF被直线AC平分．点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合运用．考查了学生综合分析问题和分类讨论思想的运用．属中档题．10．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可知b和c，利用隐含条件求出a，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线AB的方程，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A与B的横坐标的和与积，讨论O与A（或B）为直角顶点两种情况，O为直角顶点时，直接由列式求解k的值，若A（或B）为直角顶点时，由斜率之积等于﹣1求出OA的斜率，由两直线联立解出A点（或B）点坐标，代入椭圆方程求得k的值．解答：解：（Ⅰ）因为焦点与短轴的端点都在圆x2+y2=1上，∴c=1，b=1，∴a2=b2+c2=1+1=2．则椭圆方程为：；（Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣2）．联立，得（1+k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．由△=64k4﹣4（1+k2）（8k2﹣2）＞0，得．所以k．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则．若O为直角顶点，则，即x1x2+y1y2=0．y1y2=k（x1﹣2）k（x2﹣2）．所以上式可整理得：．解得k=．满足k．若A或B为直角顶点，不妨设A为直角顶点，，则A满足，解得代入椭圆方程得k4+2k2﹣1=0．解得k=．满足k．综上，k=或k=时三角形OAB为直角三角形．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法哈数学转化思想方法，训练了平面向量在解题中的应用，考查了学生的计算能力，是难题．11．已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点（P、Q与A不重合），直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与x轴相交于同一点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得c=1，利用离心率公式及a2=b2+c2，即可．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x﹣1，与椭圆方程联立得到根与系数的关系．利用点斜式分别写出直线AP、AQ的方程即可得出点M，N的坐标．只要证明k BM﹣k QB为0，即可得到三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．解答：解：（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得，解得．∴椭圆E的标准方程为．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x﹣1．联立．消去x得到（3m2+4）y2+6my﹣9=0．∴，．直线AP的方程为，令x=4，得到y=，∴M．直线AQ的方程为：，令x=4，得到，∴N．∴k BM﹣k QB=﹣==，其分子=3y1（my2+1﹣2）﹣y2（my1+1+2）=2my1y2﹣3（y1+y2）==0，∴k BM﹣k QB=0，即k BM=k QB，∴三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．点评：本题中考查了椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、利用斜率相等证明三点共线等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．12．椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny﹣4=0与圆C′：x2+y2=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．考点：椭圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）依题意可求得a=2，再利用其离心率e===可求得b，从而可求得椭圆C的方程；（2）设圆心O到直线L的距离为d，可求得d=，结合n∈（0，1]，可求得d的范围；利用基本不等式可求得S△OAB最大值为2，继而可得n，m的值，从而可求得直线L的方程．解答：解：（1）由椭圆定义知2a=4，∴a=2，又e===得b=1，∴所求椭圆方程为+y2=1．（2）设圆心O到直线L的距离为d，则d=，又有+n2=1，所以d==，又n∈（0，1]，∴d∈[1，2），S△OAB=|AB|•d=•d=≤=2（当d2=4﹣d2即d=时S△OAB最大），∴S△OAB最大值为2，d=⇒=，n＞0，∴n=，m2=4﹣4n2=，又m＞0，∴m=．所以直线L的方程为x+y﹣12=0，即x+y﹣3=0．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，突出考查基本不等式的应用，考查分析、运算的能力，属于难题．13．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B 的距离为1．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P是椭圆C上不同于A，B的任意一点，直线AP，BP分别与直线x=3相交于点M，N，直线BM与椭圆C 相交于异于点B的另一点Q．（i）求的值；（ii）求证：A，Q，N三点共线．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），利用右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）（i）设出直线AP，BP的方程，求出M，N的坐标，利用向量的数量积公式，结合P在椭圆上，即可求的值；（ii）设出直线MB，AN的方程，求出交点坐标，验证在椭圆上，即可证明A，Q，N三点共线．解答：（I）解：设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0）∵右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1，∴，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），则直线AP：，联立直线AP与直线x=3，可得M（3，）；直线BP：，联立直线AP与直线x=3，可得N（3，），（i）解：∵F（1，0），∴∴=4+∵∴∴=4+=；（ii）证明：直线MB的方程为y=（x﹣2），直线AN的方程为y=（x﹣2）联立直线MB，NA，可得交点坐标为（，）∵∴∴直线MB，NA的交点在椭圆上，∴A，Q，N三点共线．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线的方程，考查交点坐标的求解，考查学生的计算能力，综合性强．14．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长与焦距相等，直线x+y﹣1=0与E相交于A，B两点，与x轴相交于C点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如果椭圆E上存在两点M，N关于直线l：y=4x+m对称，求实数m的取值范围．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；转化思想；待定系数法．分析：（Ⅰ）根据短轴与焦距相等得到b与c相等，且a等于b，则b2=c2，a2=2c2设出椭圆的标准方程，设出已知直线与E的交点A与B的坐标，然后把直线方程代入到设出的椭圆方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到两个之和和两根之积的关系式，同时利用求出C的坐标，和设出的A和B的坐标，由得到A与B横坐标之间的关系式，三者联立即可求出A与B的横坐标及c的值，把c的值代入所设的椭圆方程即可得到椭圆E的方程；（Ⅱ）设出椭圆E上两点M与N的坐标，把设出的两点坐标分别代入到（Ⅰ）求出的椭圆方程得到两个关系式并设出MN的中点坐标，把两个关系式相减并利用中点坐标公式化简即可得到MN中点横纵坐标之间的关系式，然后根据M与N关于直线l对称得到MN的中点在直线l上，把MN的中点坐标代入直线l的方程又得到中点横纵坐标之间的关系式，两个关系式联立即可求出横纵坐标关于m的中点坐标，然后根据中点在椭圆内部，所以把中点坐标代入椭圆方程后其值小于1，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设所求的椭圆E的方程为（c＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2），将y=x+1代入椭圆得3x2﹣4x+2﹣2c2=0，∵，又C（1，0），∴，∴，∴所求的椭圆E的方程为；（Ⅱ）设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，，又设MN的中点为（x0，y0），则以上两式相减得：，⇒，又点（x0，y0）在椭圆内，∴，即，化简得：9m2﹣8＜0，因式分解得：（3m+2）（3m﹣2）＜0，解得：．点评：此题考查学生会求直线与曲线的交点坐标，掌握椭圆的简单性质，会利用待定系数法求椭圆的标准方程，掌握一点在椭圆的内部所满足的条件，灵活运用中点坐标公式及对称知识解决实际问题，是一道综合题．15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，从而可求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．解答：（1）解：由题意设椭圆的标准方程为，由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆的标准方程为；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，则又因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴k AD k BD=﹣1，即∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴∴7m2+16mk+4k2=0解得：，且均满足3+4k2﹣m2＞0当m1=﹣2k时，l的方程y=k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点所以，直线l过定点，定点坐标为点评：本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．。
高二数学椭圆试题答案及解析
高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆上存在两点、关于直线对称，求的取值范围.【答案】．【解析】解题思路：利用直线与直线垂直，设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，消去，整理成关于的一元二次方程，利用中点公式和判别式求出的范围.规律总结：涉及直线与椭圆的位置关系问题，往往采用“设而不求”的方法进行求解..试题解析：设直线方程为，联立得从而则中点是，则解得由有实数解得即于是则的取值范围是.【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.对称问题.2.已知椭圆：的离心率为，一条准线．（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于两点．①若=，求圆的方程；②若是上的动点，求证：点在定圆上，并求该定圆的方程．【答案】（1）；（2）或；（3）点在定圆上【解析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；(2)根据圆的圆心坐标和半径求圆的标准方程.(3)直线和圆相交，根据半径，弦长的一半，圆心距求弦长，圆的弦长的常用求法：（1）几何法：求圆的半径，弦心距，弦长，则（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.（4）与圆有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用直线与圆的位置关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.试题解析：解：（1）由题意可知：，解得，所以椭圆的方程为由①知：，设，则圆的方程：直线的方程：所以圆的方程：或②证明：设，由①知，化简得消去得：所以点在定圆上.【考点】（1）椭圆的标准方程；（2）圆的标准方程；（3）与圆有关的探索问题.3.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】双曲线的焦点在轴上，又渐近线方程为，可设，则，由题意知在椭圆中，所以该椭圆的离心率等于。
【考点】（1）椭圆、双曲线离心率的求法；（2）椭圆、双曲线中的三者关系。
高中数学选修2-1课时作业23：2.2.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系(一)
第2课时 直线与椭圆的位置关系(一)一、选择题1．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为() A.⎝⎛⎭⎫－233，233B.⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫233，＋∞C.⎝⎛⎭⎫43，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43考点题点 [答案] B [解析] 因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故选B.2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断考点题点[答案] A[解析] 方法一 直线过点(0,1)，而0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．方法二 联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0， Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．3．直线y ＝k (x －2)＋1与椭圆x 216＋y 29＝1的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题[答案] B[解析] 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，将P (2,1)代入椭圆方程，得416＋19<1， 所以P (2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( ) A.32B.3C.72D ．4 [答案] C[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12， ∴|PF 2|＝4－12＝72. 5．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m ≥1C ．m >3D ．m >1且m ≠3[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0， ∴Δ>0，即16m 2－4m (3＋m )>0，∴m >1且m <0，又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22B ．±22C.12D ．±12考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交的其他问题[答案] B[解析] 根据椭圆的离心率为22，得ca ＝22.由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b2c 2a 2，所以y 0＝±bca ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.7．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是() A ．m >1 B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5[答案] D[解析] 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m ≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.8．以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题[答案] C[解析] 由题意设椭圆方程为x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1， ⎩⎨⎧ x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，x －y ＋3＝0，得(2b 2＋1)x 2＋6(b 2＋1)x ＋8b 2＋9－b 4＝0，由Δ≥0得b 2≥4，所以b 2的最小值为4，由e ＝1－b 2b 2＋1＝1b 2＋1， 则b 2＝4时，e 取最大值，故选C.二、填空题9．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为____________________________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题[答案] 27 [解析] 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)， 与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27.10．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题[答案] 2[解析] 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点， 所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4， 即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点． 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________. [答案] 57[解析] 设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57. 三、解答题12.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解 (1)由已知|AB |＝52|BF |， 即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ， 得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717. x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0.从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0， 解得b ＝1，满足b >21717. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 13．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 考点题点解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.14．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－263，263 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎝⎛⎭⎫－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－63，63 考点题点 [答案] A[解析] 由F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＝x 20＋y 20－3<0，① 由x 204＋y 20＝1，即y 20＝1－x 204，② ②代入①可得，34x 20－2<0， 即－263<x 0<263. 15．已知椭圆x 2＋y 24＝1，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，点P 是椭圆上一点，则使得点P 到直线l 的距离为55的点P 的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 设直线l ′：2x ＋y ＋n ＝0与椭圆相切，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋n ＝0，x 2＋y 24＝1，整理得8x 2＋4nx ＋n 2－4＝0， 则该方程有且只有一个解，由Δ＝16n 2－4×8(n 2－4)＝0，得n ＝22或n ＝－22，∴l ′的方程为2x ＋y ＋22＝0或2x ＋y －22＝0，易知直线2x ＋y ＋22＝0与直线l 的距离为22－25<55， 直线2x ＋y －22＝0与直线l 的距离为2＋225>55， ∴在直线l 的右侧有两个符合条件的P 点，在直线l 的左侧不存在符合条件的P 点， ∴符合条件的点P 有2个．故选C.。
直线和椭圆练习题10道大题
直线和椭圆位置关系1.已知椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线22:143x y M +=1F C M 1F （不与轴重合）交于两点.l x M ,A B （Ⅰ）求的离心率及短轴长；M （Ⅱ）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的l B AC l 方程；若不存在，说明理由.2.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为．C x 2（Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，P C P 12l C A B 求证：为定值．22||||PB PA +3. 已知椭圆C ：的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点满2211612x y +=(,0)(4)P m m >足条件.||||FA e AP =（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记和的面积分别PMF ∆PNF ∆为，，求证：.1S 2S 12||||S PM S PN = 4.已知椭圆过点．过椭圆右顶点的两2222:1(0)x y C a b a b+=>>A 条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．14-C ,M N （Ⅰ）求椭圆的标准方程；C （Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由．MN D D D5. 已知椭圆的离心率为，且过点.)0(12222>>=+b a by a x 23(01)B ，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实)2(:+=x k y l 数的取值范围.k6. （2012北京，19）.已知曲线C:()()()22528m x m y m R -+-=∈ （I ） 若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；C x m （II ）设，曲线与y 轴的交点为（点位于点的上方），直线 4m =C ,A B A B与曲线交于不同的两点,直线与直线交于点.4y kx =+C ,M N 1y =BM G求证：三点共线.,,A G N7.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3；（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 过椭圆的左焦点并与椭圆C 交于A 、B 两点，求三角形OAB 面积的最大值。
2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含解析】
2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【原卷版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜92．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．164154．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－265．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．646．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为67．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A ，B 两点，若S △ABF 2＝4，则弦长|AB |＝________．8．直线5x ＋4y －1＝0交椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)于M ，N 两点，设MN 中点为P ，直线OP 的斜率等于54，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为________．9．已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 23＝1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP ―→＝3PB ―→，则实数k 的值为________．10．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．4515．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【解析版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜9解析：C 直线y ＝kx ＋1恒过定点P (0,1)，焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1，可得0＜m＜9①，由直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1总有公共点，可得P 在椭圆上或椭圆内，即有09＋1m≤1，解得m ≥1②，由①②可得1≤m ＜9．故选C ．2．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个，故选C ．3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．16415解析：C由G ：x 252＋y 2421知c 2＝52－42＝32，所以F 1(－3，0)，把x ＝－3代入椭圆方程可得y 2＝4425，故y ＝±165，又|AB |＝325，所以AB ⊥x 轴，则S △F 2AB ＝12|AB |×2c ＝12×325×6＝965，故选C ．4．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－26解析：A设直线y ＝x ＋m ＋y 24＝1，x ＋m得13x 2＋18mx ＋9m 2－36＝0，∴Δ＝(18m )2－4×13(9m 2－36)＝0，解得m ＝±13，切线方程为y ＝x ＋13和y ＝x －13，与l 距离较远的是y ＝x －13，∴所求最大距离为d ＝|－13－5|2＝52＋262．故选A ．5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．64解析：D设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m ＞1)，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x ＋ma )，与x 2a 2＋y 2b 2＝1联立得：(b 2＋a 2k 21)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0,则k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)，∴k 21·k 22＝b 4a 4＝则b 2a 2＝58，因此，e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－58＝64．故选D ．6．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝32时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为6解析：ACD设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y＝3 2与椭圆方程联立，可解得－332，F(6，0)，∴AF―→·BF―→＝＝0．∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－6，1)，B(6，1)，∴S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．故选A、C、D．7．已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S△ABF2＝4，则弦长|AB|＝________．解析：∵S△ABF2＝4，∴12×2c×|y A－y B|＝4，又∵|F1F2|＝2，∴|y A－y B|＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2，∴|AB|＝1＋1k2|y A－y B|4＝25．答案：258．直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于54，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)＋x21b2＝1，＋x22b2＝1，两式相减得b2(y21－y22)＋a2(x21－x22)＝0，即y1－y2x1－x2＝－k MN＝－a2b2·1k OP，因为k MN＝－54，k OP＝54，所以b2a2＝1625，所以e＝ca＝1－b2a2＝35．答案：359．已知直线y＝kx－1与椭圆x24＋y23＝1交于点A，B，与y轴交于点P，若AP―→＝3PB―→，则实数k的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线y＝kx－1与y轴交于点P，所以P(0，－1)．联kx －1，＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8kx －8＝0，Δ＞0．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2．因为AP ―→＝3PB ―→，所以(－x 1，－1－y 1)＝3(x 2，y 2＋1)，所以x 1＝－3x 2，将其代入x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，得x 2＝－4k 3＋4k 2．将x 1＝－3x 2，x 2＝－4k 3＋4k2代入x 1x 2＝－83＋4k 2，可得－＝－83＋4k 2k 2＝32，所以k ＝±62．答案：±6210．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．解：(1)由条件可得|PC |＋|PF |＝|PC |＋|PB |＝|BC |＝4＞|FC |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以F ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以2a ＝4,2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y 23＝1，2x ＋m可得19x 2＋16mx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝256m 2－76(4m 2－12)＞0，得m ∈(－19，19)，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－16m19，x 1x 2＝4m 2－1219，因为|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝123019，解得m ＝±1．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点解析：ACD设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，x 0≠±x 1，y 0≠±y 1，则N (－x 1，－y 1)，x 204＋y 20m＝1，x 214＋y 21m ＝1，所以y 20＝m －mx 204，y 21＝m －mx 214，k 1k 2＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－m 4．于是|k 1|＋|k 2|≥2|k 1|·|k 2|＝2|k 1k 2|＝2|－m 4|＝m ，依题意，得m ＝1，解得m ＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1，A 正确；离心率为32，B 错误；焦点坐标为(±3，0)，曲线y ＝log 3x －12经过焦点(3，0)，C 正确；又直线2x －y －2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E 内，故直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点，D 正确．故选A 、C 、D ．12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．解析：根据椭圆定义可知△F 1AB 的周长C ＝4a ＝42；在△F 1AB 内，S ＝12Cr ＝22r ，问题转化为求△F 1AB 面积最大值，设AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(m 2＋2)y 2＋2my －1＝01＋y 2＝－2mm 2＋2，1y 2＝－1m 2＋2，于是S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|22m 2＋1m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1≤222m 2＋1·1m 2＋1＝2，则22r ≤2⇒r ≤12⇒πr 2≤π4，等号在m ＝0时取到．答案：42π413．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．解：(1)由圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8可得|PF 2|＝22，因为|MF 1|＝|MP |，所以2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|MP |＋|MF 2|＝|PF 2|＝22，即a ＝2，又c ＝1，故b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A 为线段PQ 的中点，则AF 1⊥AF 2，所以AF 1―→·AF 2―→＝x 21＋y 21－1＝0，又x 212＋y 21＝1，解得x 1＝0，y 1＝±1，若y 1＝1，则A (0,1)，直线l 的方程为y ＝x ＋1，x ＋1，y 2＝12＝－43，2＝－13，即－43，－所以△ABF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×43＝43，若y 1＝－1，同理可求得△ABF 2的面积S ＝43，综上所述，△ABF 2的面积为43．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．45解析：D由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N的横坐标为c c ，＋y 24＝1，得2c 点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a2＋1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，得a 2＝5，∴a ＝5．由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D ．15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．解：(1)椭圆C 2与C 1相似．如图，在同一坐标系中作出C 1，C 2的图象．∵椭圆C 2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆C 1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，∴两三角形的三边对应成比例，∴这两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1，∴椭圆C 2和C 1相似，且相似比为2∶1．(2)椭圆C b 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b ＞0)．由题意，可设l MN ：y ＝－x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x 0，y 0)．x ＋t ，＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得5x 2－8tx ＋4(t 2－b 2)＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝45t ，y 0＝t5．∵MN 的中点在直线y ＝x ＋1上，∴t 5＝45t ＋1，解得t ＝－53．故直线l MN 的方程为y ＝－x －53．若M ，N 存在，则方程5x 2－8＋－b 2＝0有两个不同的实数解，∴Δ－4×5×40，解得b ＞53．。
直线与椭圆位置关系练习题目与答案
直线与椭圆的位置关系练习（2）1. 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．232. 若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m即1≥m3. 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．3. 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ． 根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．4. 已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积4. 解法一：由题可知：直线AB l 方程为022=++y x由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得04492=-+y y ，91044)(2122121=-+=-y y y y y y 9104212121=-=∴∆y y F F S 解法二：2F 到直线AB 的距离554=h 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB 910421==∴∆h AB S解法三：令),(),,(2211y x B y x A 则11ex a AF +=，21ex a BF +=其中22,2==e a 2F 到直线AB 的距离554=h 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，9210)(222121=++=+++=x x e a ex a ex a AB 910421==∴∆h AB S [评述]在利用弦长公式212212111y y k x x k AB -+=-+=（k 为直线斜率）或焦（左）半径公式)(22212121x x e a ex a ex a PF PF AB ++=+++=+=时，应结合韦达定理解 5. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．5. 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．6. 已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为23，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是32-，求椭圆的方程 6. 解法一：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 可得012)(2=-+++n nx x n m ，m n n m n x x 234221=-=+-=+即 又3222=c a 即2221131nm m -= 34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+=+1122222121ny m x ny m x 作差得)()(21212121y y x x y y x x n m +--=+- m n 2=∴又3222=c a 即2221131n m m -= 34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 7. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy . (Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,图87. [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-.设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by a x .()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BCAC a 则2=∴a224222=-=-=∴c a b .∴椭圆的标准方程是.12422=+y x (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x 联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y消去y 整理得,()0482122=+++kx x k 有221221214,218k x x k k x x +=+-=+ 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则⊥,所以02121=+y y x x , 所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即()()042121212=++++x x k x x k所以,()04211621142222=++-++k k k k 即,0214822=+-k k 得.2,22±==k k所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点.8. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 8.解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=19. 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点． （1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．9. （1）设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：又将代入x y -=1 12222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221b a a x x +=+∴>∆222221)1(b a b a x x +-=代入①化简得 21122=+b a . (2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==ab a b a b ac e 又由（1）知12222-=a a b26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5]. 10.设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，若AP PB λ= 试求λ的取值范围.10 。
直线与椭圆的位置关系典型例题及答案
直线与椭圆的位置关系典型例题1.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l的倾斜角为60o,2AFFB = .（1） 求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.（Ⅰ）直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-.联立22223(),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)2330a b y b cy b ++-=解得22123(2)3(2),b c a b c a y y -+--==因为2AF FB =，所以122y y -=.即223(2)3(2)2b c a b c a +--=∙ 得离心率 23c e a ==. ……6分 （Ⅱ）因为21113AB y y =+-，所以2224315343ab a b∙=+.由23c a =得5b a =.所以51544a =，得a=3，5b =. 椭圆C 的方程为22195x y +=. ……12分2、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.3、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q，满足=，证明：点Q 总在某定直线上.4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =-共线.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明22μλ+为定值.。
第5节 第2课时 直线与椭圆的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第2课时直线与椭圆的位置关系1．点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔01x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔02x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔03x 20a 2＋y 20b 2>1．2．直线与椭圆位置关系的判断已知直线y ＝kx ＋m ，椭圆x 2a 2＋y2b2＝1kx ＋m ，＋y 2b 2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0，若该一元二次方程的判别式为Δ，则Δ>0⇔有04两个交点⇔相交；Δ＝0⇔有05一个交点⇔相切；Δ<0⇔06无交点⇔相离．3．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|k 为直线的斜率且k ≠0.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)：(1)通径的长度为2b 2a.(2)A 1，A 2为椭圆的长轴顶点，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，则kPA 1·kPA 2＝－b 2a 2.(3)AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，O 为原点，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.(4)过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，则k P A ·k PB ＝－b 2a 2.(5)点P (x 0，y 0)在椭圆上，过点P 的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．()(2)直线y ＝x 与椭圆x 22＋y 2＝1一定相交．()(3)直线y ＝x －1被椭圆x 22＋y 2＝1截得的弦长为 2.()答案(1)√(2)√(3)×2．小题热身(1)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T14改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为()A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案A解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．(2)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率为－14，则直线PM 的斜率为()A ．13B ．3C ．－13D ．－3答案B解析∵椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，∴点M 的坐标为(－2，0)，点N 的坐标为(2，0)，又直线PN 的斜率为－14，∴直线PN 的方程为y ＝－14(x －2)，代入椭圆C 的方程x 24＋y 23＝1，得13x 2－4x －44＝0，设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋2＝413，解得x ＝－2213，y ＝1213，故直线PM 的斜率k ＝1213－2213＋2＝3.故选B.(3)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为________________．答案y 24＋x 2＝1解析因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T13改编)已知椭圆C 1：x 24＋y 23＝1，过点P (2，2)作椭圆C 1的切线，则切线方程为________________．答案x －8y ＋14＝0或x ＝2解析因为224＋223>1，所以点P 在C 1外部，当斜率不存在时，易知x ＝2为椭圆的一条切线；当斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为y －2＝k (x －2)，代入C 1中，并整理得(3＋4k 2)x 2＋16(k －k 2)x ＋16k 2－32k ＋4＝0，因为直线与椭圆相切，则Δ＝[16(k －k 2)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－32k ＋4)＝0，解得k ＝18，此时切线方程为x －8y ＋14＝0，所以切线方程为x －8y ＋14＝0或x＝2.考点探究——提素养考点一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，2x ＋m ，＋y 22＝1，消去y 并整理，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程有两个相同的实数根，直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程没有实数根，直线l 与椭圆C 没有公共点．【通性通法】(1)利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的步骤(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点．【巩固迁移】1．已知动点M 到两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点(1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．解(1)由0<m <2，得2m <4，知曲线C 是以两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a ＝2，设曲线C 的方程为x 24＋y 2b 2＝1，把点N，得34＋14b2＝1，解得b 2＝1，由c 2＝a 2－b 2，解得c 2＝3，所以m ＝ 3.(2)由(1)知曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1，联立曲线C 的方程与直线l 的方程，y 2＝1，kx ＋2，消去y ，得2＋22kx ＋1＝0，则有Δ＝4k 2－1>0，解得k 2>14.所以k >12或k <－12，所以k ∞，＋考点二弦长问题例2(2024·内蒙古呼和浩特阶段考试)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为22，斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值．解(1)由题意，2＝b 2＋c 2，＝c a ＝63，c ＝22，解得c ＝2，a ＝3，b ＝a 2－c 2＝（3）2－（2）2＝1，所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)因为k ＝1，所以设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x ＋m ，y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，又直线l 与椭圆M 有两个不同的交点，所以Δ＝36m 2－16(3m 2－3)＝12(4－m 2)>0，所以－2<m <2，所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·9m 24－（3m 2－3）＝12－3m 22，故当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.【通性通法】求弦长的方法(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接利用两点间距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解，但利用弦长公式时不要忽略判别式应大于0.提醒：运用弦长公式时，设直线方程也很考究．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y ＝kx ＋t ；若直线经过的定点在横轴上，一般设为x ＝my ＋n .【巩固迁移】2．(2023·海口模拟)一条过原点的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个交点为(3，6)，则它被椭圆截得的弦长为()A ．3B ．6C ．23D ．26答案B解析如图，设过原点O 的直线的方程为y ＝kx (k ≠0)，该直线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个交点分别为A (3，6)，B (x ，y )，则根据对称性可知A ，B 两点关于原点O 对称，即|OA |＝|OB |，又|OA |＝（3）2＋（6）2＝3，该直线被椭圆截得的弦长为|AB |，所以|AB |＝|OA |＋|OB |＝3＋3＝6.故选B.考点三中点弦问题例3已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被点P 平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案x ＋2y －3＝0解析解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．1＝k （x －1），＋y 22＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k (k－1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0，显然Δ>0，∴x 1＋x 2＝4k （k －1）2k 2＋1，又x 1＋x 2＝2，∴4k （k －1）2k 2＋1＝2，解得k ＝－12.经检验，k ＝－12满足题意．故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y－3＝0.解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其斜率为k ，弦所在的直线与椭圆交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，由①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，又x 2－x 1≠0，∴k＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.经检验，k ＝－12满足题意．∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x＋2y －3＝0.【通性通法】解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法【巩固迁移】3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l 与椭圆x 26＋y 23＝1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y轴分别交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝23，则l 的方程为________________．答案x ＋2y －22＝0解析令AB 的中点为E ，因为|MA |＝|NB |，所以|ME |＝|NE |，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，所以x 216－x 226＋y 213－y 223＝0，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）6＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，所以（y 1＋y 2）（y 1－y 2）（x 1＋x 2）（x 1－x 2）＝－12，即k OE ·k AB ＝－12，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，k ＜0，m ＞0，令x ＝0得y ＝m ，令y ＝0得x ＝－mk ，即－m k，N (0，m )，所以－m 2k ，所以k ×m2－m2k ＝－12，解得k ＝－22或k ＝22(舍去)，又|MN |＝23，即|MN |＝（2m ）2＋m 2＝23，解得m ＝2或m ＝－2(舍去)，所以直线AB ：y ＝－22x ＋2，即x＋2y －22＝0.考点四切线问题例4(2023·陕西渭南二模)在椭圆x 29＋y 24＝1上求一点M ，使点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离最大，则点M 的坐标为()A ．(－3，0)B －95，－C2D ．(－2，0)答案B解析如图，根据题意可知，当点M 在第三象限且椭圆在点M 处的切线与直线x ＋2y －10＝0平行时，点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离取得最大值，可设切线方程为x ＋2y＋m ＝0(m >0)，＋2y ＋m ＝0，x 2＋9y 2＝36，整理得25y 2＋16my ＋4m 2－36＝0，Δ＝162m 2－100(4m 2－36)＝0，因为m >0，解得m ＝5，所以椭圆x 29＋y 24＝1在点M 处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，联立2y ＋5＝0，＋y 24＝1，可得点M－95，故选B.【通性通法】(1)椭圆上的点到直线的距离的最值问题的解题方法：首先转化为平行直线与椭圆相切，然后求出两条平行直线间的距离即可．(2)直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点，过椭圆外一点可以作两条切线，过椭圆上一点只能作一条切线．【巩固迁移】4．(2024·河北唐山模拟)已知F 为椭圆C ：x 23＋y 22＝1的右焦点，点A 是直线x ＝3上的动点，过点A 作椭圆C 的切线AM ，AN ，切点分别为M ，N ，则|MF |＋|NF |－|MN |的值为()A ．3B ．2C ．1D ．0答案D解析由已知可得F (1，0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (3，t )，则切线AM ，AN 的方程分别为x 1x 3＋y 1y 2＝1，x 2x 3＋y 2y 2＝1，因为切线AM ，AN 过点A (3，t )，所以x 1＋ty 12＝1，x 2＋ty 22＝1，所以直线MN 的方程为x ＋ty 2＝1，因为F (1，0)，所以1＋t ×02＝1，所以点F (1，0)在直线MN上，所以M ，N ，F 三点共线，所以|MF |＋|NF |－|MN |＝0.故选D.考点五直线与椭圆的综合问题例5(2023·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，|A 1F |＝3，|A 2F |＝1.(1)求椭圆的方程和离心率e ；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 的面积的二倍，求直线A 2P 的方程．解(1)如图，由题意可知＋c ＝3，－c ＝1，＝2，＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，此椭圆的离心率e ＝c a ＝12.(2)由题意知直线A 2P 的斜率存在且不为0，所以可设直线A 2P 的方程为y ＝k (x －2)．k （x －2），＋y 23＝1，可得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，设P (x P ，y P )，则由根与系数的关系可知x P ＋2＝16k 23＋4k 2，即x P ＝8k 2－63＋4k 2，则y P ＝k (x P －2)＝－12k3＋4k 2.由直线A 2P 交y 轴于点Q 可得Q (0，－2k )，所以S △A 1PQ ＝|S △A 1P A 2－S △A 1QA 2|＝12×4×|y P －y Q |，S △A 2FP ＝12×1×|y P |，因为S △A 1PQ ＝2S △A 2FP ，所以2|y P －y Q |＝|y P |，①当2|y P |－2|y Q |＝|y P |时，|y P |＝2|y Q |，即有12|k |3＋4k 2＝2·|－2k |，解得k ＝0，不符合题意，舍去．②当2|y Q |－2|y P |＝|y P |时，2|y Q |＝3|y P |，即有4|k |＝36|k |3＋4k 2，解得k ＝0(舍去)或k ＝±62.故直线A 2P 的方程为y ＝±62(x －2)．【通性通法】(1)求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法．(2)直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x ＝my ＋n 避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y ＝kx ＋t 的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论．【巩固迁移】5．在①离心率e ＝22；②过点a ＝2b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且________．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，若△OMN (O 为坐标原点)的面积为23，求直线l的方程．解(1)选条件①：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，得c ＝1，因为离心率e ＝c a ＝22，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.选条件②：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，得c ＝1，又椭圆C 过点则1a 2＋12b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.选条件③：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，得c ＝1，又a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，则b 2＝c 2＝1，a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，y 2＝1，my ＋1，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8(m 2＋1)>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，所以△OMN 的面积S ＝12|OF |·|y 2－y 1|＝12（y 2＋y 1）2－4y 2y 1＝12＝2m 2＋1m 2＋2，因为△OMN 的面积为23，所以m 2＋1m 2＋2＝23，解得m ＝±1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.课时作业一、单项选择题1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是()A ．(1，＋∞)B ．(1，3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(0，3)∪(3，＋∞)答案B解析x ＋2，＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3及m >0，得m >1且m ≠3.故选B.2．(2024·河南郑州质检)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，则|AB |＝()A ．247B ．127C ．1227D ．837答案A解析直线AB 的方程为y ＝x －1，联立椭圆方程x 24＋y 23＝1，整理得7x 2－8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝87，x 1x 2＝－87，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝247.故选A ．3．(2024·四川内江模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在椭圆上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为()A ．65B ．3C ．113D ．3711答案A解析由x 24＋y 23＝1，得a 2＝4，b 2＝3，所以a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以F 1(－1，0)，F 2(1，0)，当x ＝－1时，14＋y 23＝1，解得|y |＝32.因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝32，所以|F 2M |＝|MF 1|2＋|F 1F 2|2＝94＋4＝52.设F 1到直线F 2M 的距离为d ，因为d ·|MF 2|＝|MF 1||F 1F 2|，所以52d ＝32×2，解得d ＝65.故选A.4．(2023·河北张家口一模)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点(2，0)的直线交椭圆于A ，B两点．若AB C 的离心率为()A ．12B ．22C ．63D ．32答案D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆的方程，可得x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减，得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0①，又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－1，y 1－y 2x 1－x 2＝－12－01－2＝12，所以代入①，可得2a 2－12b 2＝0，化简得a 2＝4b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4a 2－4c 2，经检验符合题意．故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32.故选D.5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝x ＋m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的面积是△F 2AB 面积的2倍，则m ＝()A ．23B ．23C ．－23D ．－23答案C解析x ＋m ，y 2＝1，消去y 可得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0.因为直线与椭圆相交于A ，B 两点，则Δ＝36m 2－4×4(3m 2－3)>0，解得－2<m <2.设F 1到AB 的距离为d 1，F 2到AB 的距离为d 2，易知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则d 1＝|－2＋m |2，d 2＝|2＋m |2，S △F 1ABS △F 2AB＝|－2＋m |2|2＋m |2＝|－2＋m ||2＋m |＝2，解得m ＝－23或m ＝－32(舍去)．故选C.6．(2024·广东珠海模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，平行四边形ABCD 内接于椭圆E ，且直线AB 与AD 的斜率之积为－12，则椭圆E 的方程为()A ．x 28＋y 24＝1B ．x 212＋y 28＝1C ．x 216＋y 212＝1D ．x 220＋y 216＝1答案A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由对称性可得D (－x 2，－y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以两式相减可得y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a 2，因为直线AB 与AD 的斜率之积为－12，所以y 2－y 1x 2－x 1·－y 2－y 1－x 2－x 1＝－12，即y 22－y 21x 22－x 21＝－12，所以b 2a 2＝12.设椭圆E 的半焦距为c ，因为椭圆E 的焦距为4，所以2c ＝4，所以c ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝4，a 2＝8，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.故选A.7．(2023·湖南部分学校联考)已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A ，B是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足AF →1＝λF 1B →，若AB ⊥AF 2，则λ＝()A ．5B ．4C ．3D ．2答案C解析因为AF →1＝λF 1B →，所以点A ，B ，F 1共线，设|AF 1|＝t ，则|AF 2|＝2a －t ＝4－t ，所以t 2＋(4－t )2＝(22)2，解得t ＝2，即|AF 1|＝|AF 2|＝2，不妨设A (0，2)，则AB ：y ＝x ＋2，联立x ＋2，＋y 22＝1，＝0，＝2＝－423，＝－23，则－423，因为AF →1＝λF 1B →，所以λ＝223＝3.故选C.8．若点(m ，n )在椭圆9x 2＋y 2＝9上，则nm －3的最小值为()A ．－223B ．－233C ．－32D ．－324答案D解析由题知椭圆的方程为x 2＋y 29＝1，如图，求n m －3的最小值即求点(m ，n )与点(3，0)连线斜率的最小值，设过点(m ，n )和点(3，0)的直线方程为y ＝k (x －3)，＝k （x －3），2＋y 29＝1，得(9＋k 2)x 2－6k 2x ＋9(k 2－1)＝0.由题意，知当Δ＝0时，直线的斜率取得最小值，则由Δ＝(－6k 2)2－4(9＋k 2)[9(k 2－1)]＝0，得k 2＝98，故k ＝－324，为斜率的最小值，即n m －3的最小值为－324.故选D.二、多项选择题9．直线y ＝kx －2k ＋62与椭圆x 24＋y 23＝1的位置关系可能为()A ．相交B ．相切C ．相离D ．有3个公共点答案AB解析直线y ＝kx －2k ＋62＝k (x －2)＋62恒过定点，故直线与椭圆可能相交，也可能相切．故选AB.10．设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与OM 垂直B ．若点M 的坐标为(1，1)，则直线方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线方程为y ＝x ＋1，则点MD ．若直线方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析对于A ，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质k AB ·k OM ＝－42＝－2≠－1，所以A不正确；对于B ，根据k AB ·k OM ＝－2，所以k AB ＝－2，所以直线方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线方程为y ＝x ＋1，点则k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，若直线方程为y ＝x ＋2，与椭圆方程x 22＋y 24＝1联立，可得2x 2＋(x ＋2)2－4＝0，整理，得3x 2＋4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.三、填空题11．已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AF 1，BF 2都与x 轴垂直，则|AB |＝________．答案13解析由题意，得c 2＝a 2－b 2＝4－3＝1，因为直线l 过原点，且交椭圆E 于A ，B 两点，所以A 与B 关于原点对称，又AF 1，BF 2都与x 轴垂直，所以设A (－1，y 1)，B (1，－y 1)，则|AB |＝（－1－1）2＋[y 1－（－y 1）]2＝4＋4y 21.又点A 在椭圆E 上，所以14＋y 213＝1，得y 21＝94，则|AB |＝4＋4×94＝13.12．已知直线l ：y ＝k (x －1)与椭圆C ：x 24＋y 2＝1交于不同的两点A ，B ，AB 中点的横坐标为12，则k ＝________．答案±12解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k （x －1），y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，因为直线l 过椭圆内的定点(1，0)，所以Δ>0，x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，所以x 1＋x 22＝4k 24k 2＋1＝12，即k2＝14，所以k ＝±12.13．与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．答案55解析因为所求椭圆与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，＋y 2a 2－1＝1，x ＋3，消去y ，得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)＝0，化简，得a 4－6a 2＋5＝0，解得a 2＝5或a 2＝1(舍去)，则a ＝ 5.又c ＝1，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝15＝55.14．已知点M 是椭圆x 29＋y 216＝1上任意一点，则点M 到直线x ＋y －7＝0的距离的最大值为________．答案62解析设与直线x ＋y －7＝0平行的直线x ＋y ＝m 与椭圆x 29＋y 216＝1相切，＋y 216＝1，y ＝m ，得25x 2－18mx ＋9m 2－144＝0，则Δ＝(18m )2－4×25×(9m 2－144)＝0，解得m ＝5或m ＝－5，由椭圆与x ＋y －7＝0的位置关系，取离直线x ＋y －7＝0远的切线x ＋y ＝－5，此时切点M 是椭圆x 29＋y 216＝1上到直线x ＋y －7＝0的距离最大的点，最大距离等于两条平行直线间的距离d ＝|5＋7|12＋12＝6 2.四、解答题15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，焦距为6 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)若点M (4，2)是直线l 被椭圆E 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．解(1)由已知，得2c ＝63，e ＝c a ＝32，所以c ＝33，a ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝62－(33)2＝9，所以椭圆E 的方程为x 236＋y 29＝1.(2)设直线l 与椭圆E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 2136＋y 219＝1且x 2236＋y 229＝1，两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2），又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k l ＝－12，所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.16．(2023·河北石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AB |＝5，求直线l 的方程．解(1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2，1)，∴4a 2＋1b 2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故椭圆C 的方程为x 28＋y 221.(2)设直线l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝12x ＋m ，＋y 22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝4m 2－8m 2＋16＞0，解得|m |＜2.∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）＝5，解得m ＝±3.故直线l 的方程为y ＝12x ±3.17．(多选)(2024·青岛质检)已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx (k ≠0)与C 交于A ，B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是()A ．四边形AF 1BF 2为平行四边形B ．∠F 1PF 2＜90°C ．直线BE 的斜率为12kD ．S 四边形AF 1BF 2∈(0，4]答案ABC解析对于A ，根据椭圆的对称性可知，|OF 1|＝|OF 2|，|OA |＝|OB |，故四边形AF 1BF 2为平行四边形，故A 正确；对于B ，根据椭圆的性质，当P 在上、下顶点时，|OP |＝b ＝2＝c .此时∠F 1PF 2＝90°.由题意可知P 不可能在上、下顶点，故∠F 1PF 2＜90°，故B 正确；对于C ，如图，不妨设B 在第一象限，BD ⊥x 轴，垂足为D ，则直线BE 的斜率为|BD ||ED |＝|BD |2|OD |＝12k ，故C 正确；对于D ，S 四边形AF 1BF 2＝2S △BF 1F 2＝|F 1F 2|·|BD |＝22|BD |.又0＜|BD |＜2，故S 四边形AF 1BF 2∈(0，4)，故D 错误．故选ABC.18．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两焦点分别是F 1，F 2，其中|F 1F 2|＝2c .直线l ：y ＝k (x ＋c )(k ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，则下列说法中正确的是()A ．△ABF 2的周长为4aB ．若O 为坐标原点，AB 的中点为M ，则k OM ·k ＝b 2a 2C ．若AF 1→·AF 2→＝3c 2，则椭圆的离心率的取值范围是55，12D ．若|AB |的最小值为3c ，则椭圆的离心率e ＝13答案AC解析由直线l ：y ＝k (x ＋c )过点(－c ，0)，知弦AB 过椭圆的左焦点F 1，所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ，所以A 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k OM ＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以k OM ·k ＝y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22，由＋y 21b 2＝1，①＋y 22b 2＝1，②及①－②，得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，所以y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2，则k OM ·k ＝y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2，所以B 错误；因为AF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，AF 2→＝(c －x 1，－y 1)，所以AF 1→·AF 2→＝x 21－c 2＋y 21＝c 2a 2x 21＋a 2－2c 2∈[a 2－2c 2，a 2－c 2]，则a 2－2c 2≤3c 2≤a 2－c 2，可得e ＝ca∈55，12，所以C 正确；由过焦点的弦中通径最短，得|AB |的最小值为通径2b 2a ，则有2b 2a ＝3c ，即2a 2－3ac －2c 2＝0，解得a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12，所以D 错误．故选AC.19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P (1，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若△ABO 的面积为35(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．解(1)由题意，＝32，＝2，＝a 2－b 2，2＝4，2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．my ＋1，y 2＝1，消去x 并整理，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，Δ＝(2m )2－4(m 2＋4)×(－3)＝16m 2＋48>0，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，故|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝4m 2＋3m 2＋4，因为△ABO 的面积为35，所以12|OP ||y 1－y 2|＝12×1×4m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3m 2＋4＝35，设t ＝m 2＋3≥3，则2t t 2＋1＝35，整理，得(3t －1)(t －3)＝0，解得t ＝3或t ＝13(舍去)，即m ＝±6.故直线l 的方程为x ＝±6y ＋1，即x ±6y －1＝0.20.(2023·福建三明期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，B ，P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，PA ，PB 的斜率之积为－34，且△PAB 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线PF 交椭圆C 于另一点Q ，分别过P ，Q 作椭圆的切线，这两条切线交于点M ，证明：MF ⊥PQ .解(1)设点P (x 1，y 1)，由A (－a ，0)，B (a ，0)，得k P A ·k PB ＝y 1x 1＋a ·y 1x 1－a ＝y 21x 21－a 2.因为点P 在椭圆C 上，所以x 21a 2＋y 21b2＝1，即y 21＝b 2a 2(a 2－x 21)，则k P A ·k PB ＝y 21x 21－a 2＝－b 2a 2＝－34，所以b ＝32a .因为△PAB 面积的最大值为23，所以S ＝12·2a ·b ＝ab ＝32a 2＝23，所以a ＝2，b ＝3，即椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：下面证明椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在H (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1.理由如下：当y 0≠0时，切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程，得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0，由Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)(a 2m 2－a 2b 2)＝0，化简得a 2k 2－m 2＋b 2＝0，所以x 0＝－2a 2km ±Δ2（a 2k 2＋b 2）＝－2a 2km ±02m 2＝－a 2k m .将x 0＝－a 2k m 代入y 0＝kx 0＋m ，得y 0＝b 2m ，于是k ＝－mx 0a 2＝－x 0a 2·b 2y 0＝－b 2x 0a 2y 0，则椭圆的切线斜率为－b 2x 0a 2y 0，切线方程为y －y 0＝－b 2x 0a 2y 0(x －x 0)，整理得a 2y 0y ＋b 2x 0x ＝a 2y 20＋b 2x 20，其中b 2x 20＋a 2y 20＝a 2b 2，故a 2y 0y ＋b 2x 0x ＝a 2b 2，即x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.当y 0＝0时，x 0＝a 或－a ；当x 0＝a 时，切线方程为x ＝a ，满足x 0x a 2＋y 0y b 2＝1；当x 0＝－a 时，切线方程为x ＝－a ，满足x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.综上，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在H (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1.由题意知，直线PF 的斜率不为零，设直线PF ：x ＝ny －1，点Q (x 2，y 2)，由(1)及以上知，椭圆C 在点P (x 1，y 1)处的切线方程为x 1x 4＋y 1y 31，同理可得，椭圆C 在点Q (x 2，y 2)处的切线方程为x 2x 4＋y 2y 3＝1.＋y 1y 3＝1，＋y 2y 3＝1，得交点M 的横坐标x M ＝4（y 2－y 1）x 1y 2－x 2y 1＝4（y 2－y 1）（ny 1－1）y 2－（ny 2－1）y 1＝－4，故可设点M (－4，t )，＋ty 13＝1，＋ty 23＝1，所以直线PQ 的方程为－x ＋ty 3＝1，k PQ ＝3t，又k MF ＝t －4＋1＝－t 3，所以k PQ ·k MF＝3t·1，所以MF ⊥PQ ，即证．。
直线与椭圆的位置关系
第3课时 直线与椭圆的位置关系(二)题型一 弦长问题例1 已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程. 考点 题点解 (1)设动点P 的坐标是(x ，y )， 由题意得k P A ·k PB ＝－12.∴y x ＋2·y x －2＝－12，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)设直线l 与曲线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0. Δ＝16k 2－4(1＋2k 2)＝8k 2－4>0， ∴x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2，x 1·x 2＝0.|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝423，整理得k 4＋k 2－2＝0，解得k 2＝1或k 2＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意． ∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1， 即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.反思感悟 求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2⎝⎛⎭⎫或|P 1P 2|)＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．跟踪训练1 已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 考点 题点解 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3，∴F (3，0)，∴直线l 的方程为y ＝x －3，将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x 2－83x ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(83)2－4×5×85＝85.题型二 中点弦问题例2 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．考点 题点解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2. ∵M (2,1)为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )． ∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16. ②①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 反思感悟 解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.跟踪训练2 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 考点 题点 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 与椭圆有关的最值或范围问题 例3 已知椭圆C ：4x 2＋y 2＝1.(1)P (m ，n )是椭圆C 上一点，求m 2＋n 2的取值范围；(2)设直线y ＝x ＋m 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题解 (1)m 2＋n 2表示原点O 到椭圆C 上点P 的距离的平方， 则m 2＋n 2∈⎣⎡⎦⎤14，1.(2)可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2， 将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 所以x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝m 2－15，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋12·⎝⎛⎭⎫－2m 52－4·m 2－15＝2510－8m 2，Δ＝(2m )2－4×5(m 2－1)＝20－16m 2>0，－52<m <52， 所以S △AOB ＝12|AB |·d＝12×2510－8m 2·|m |2＝25⎝⎛⎭⎫54－m 2m 2 ≤25·⎝⎛⎭⎫54－m 2＋m 22＝14.当且仅当54－m 2＝m 2时，上式取“＝”．此时m ＝±104∈⎝⎛⎭⎫－52，52. 所以△AOB 面积的最大值为14，面积最大时直线方程为x －y ±104＝0. 反思感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练3 已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点P 在椭圆上，直线AP 的斜率为33，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． 考点 题点解 直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，所以点M (2,0)．设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6.所以当x ＝92时，d 取最小值15.运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题典例 已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程； (3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 解 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.(2)设EF ：x ＝my －1(m >0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)． 由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3，∴m ＝1或m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. (3)记P (x 1′，y 1′)，Q (x 2′，y 2′)． 将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0，(*) x 1′，x 2′是此方程的两个相异实根． 设PQ 的中点为M ，则x M ＝x 1′＋x 2′2＝－6k3k 2＋1， y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1，由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ， ∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.但k ＝1，k ＝13均使方程(*)没有两相异实根．故这样的k 不存在．[素养评析] 本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略，特别(3)利用定点D 与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k 的方程，减小了数学运算的难度，提高了解题效率.1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．±2 考点 题点 答案 B 解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 考点 题点 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0，设直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－43，故AB 的中点横坐标x 0＝x 1＋x 22＝－23.纵坐标y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.3．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 答案 A解析 由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k ，消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0， 所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.4．过椭圆x 216＋y 29＝1的右焦点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆的面积是________． 考点 题点 答案81π16解析 由题意可知，在x 216＋y 29＝1中，c ＝16－9＝7，故F (7，0)． 当x ＝7时，y ＝±31－716＝±94， 所以|AB |＝92，所以以AB 为直径的圆的面积是π×⎝⎛⎭⎫942＝81π16.5．求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y 216＝1所截得的线段的长度．考点 题点解 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8. ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1625·9＋32＝415.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解．一、选择题1．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 2．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12考点题点答案 D解析 S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12. 3．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为( ) A.423 B.833 C.823 D.1623考点题点答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0， 可知A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823. 4．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时弦中点问题答案 A解析 联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1， 即(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝m m ＋n， 所以k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22. 5．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B ．2 C. 2 D.423考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 D 解析 由题意得椭圆方程为x 22＋y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－x ＋1，化简得3x 2－4x ＝0， 得x ＝0或x ＝43，代入直线方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝43，y ＝－13，不妨设A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎫43，－13， 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫43－02＋⎝⎛⎭⎫－13－12＝423. 6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3 D ．±13 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交的其他问题答案 B解析 由x 22＋y 2＝1，得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1，焦点为(±1,0)． 不妨设直线l 过右焦点，倾斜角为45°，直线l 的方程为y ＝x －1.代入x 22＋y 2＝1得x 2＋2(x －1)2－2＝0， 即3x 2－4x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝0，x 1＋x 2＝43，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－43＝－13， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0－13＝－13. 7．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A.33 B.12 C.22 D.13考点题点答案 C解析 两个交点横坐标是－c ，c ，所以两个交点分别为⎝⎛⎭⎫－c ，－22c ，⎝⎛⎭⎫c ，22c ， 代入椭圆方程得c 2a 2＋c 22b2＝1， 两边乘以2a 2b 2，则c 2(2b 2＋a 2)＝2a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，c 2(3a 2－2c 2)＝2a 4－2a 2c 2，2a 4－5a 2c 2＋2c 4＝0，(2a 2－c 2)(a 2－2c 2)＝0，c 2a 2＝2或12， ∵0<e <1，∴e ＝c a ＝22. 二、填空题8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，|OF |＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43， 所以S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53. 9．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．答案 3 解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．考点题点答案 32解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2，直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1. 由⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2＝1，∴b 2a 2＝14，故椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32. 11．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0， ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.三、解答题12．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若直线AB 的倾斜角为π4，求弦长|AB |. 考点题点解 (1)椭圆x 24＋y 23＝1，a ＝2，b ＝3，c ＝1， 由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝8.(2)由(1)可得F 1(－1,0)，∵AB 的倾斜角为π4，则AB 的斜率为1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，整理得7y 2－6y －9＝0， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝67，y 1y 2＝－97， 则由弦长公式|AB |＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋1·⎝⎛⎭⎫672－4×⎝⎛⎭⎫－97＝247. 13．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是线段AB 的中点，O 为坐标原点，若|AB |＝22，直线OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时弦中点问题解 易知a >0，b >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由题意得ax 21＋by 21＝1，①ax 22＋by 22＝1，②②－①，得a (x 1＋x 2)(x 2－x 1)＋b (y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.∵y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝k OC ＝22， ∴b ＝2a .又|AB |＝1＋k 2AB |x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，∴|x 2－x 1|＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， ∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， ∴|x 2－x 1|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4， 将b ＝2a 代入上式，得a ＝13，b ＝23， ∴所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1.14．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交的其他问题 答案 3解析 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2 ＝|P A →|2－1 ，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.15．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又有PQ ⊥y 轴，∴P ⎝⎛⎭⎫x 2，y ，∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴⎝⎛⎭⎫x 22＋y 2＝1，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 与y 轴不垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1，① 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝ty ＋m 消去x ，并整理得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0，其中Δ＝4m 2t 2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝48>0，∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，将①②代入上式得|AB |＝t 2＋14m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1＝12·43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立， ∴△AOB 面积的最大值为1.。
直线与椭圆位置关系(经典)
直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。
1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。
2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。
3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。
题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。
解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。
另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。
因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。
解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。
因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。
另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。
人教版高二上学期数学(选择性必修1)《3.1.2椭圆的标准方程及性质的应用》练习题及答案
人教版高二上学期数学(选择性必修1）《3.1.2椭圆的标准方程及性质的应用》练习题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________一、选择题1.直线y ＝kx －k 与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A.相交 B.相切C.相离D.不确定2.直线y ＝kx ＋2和椭圆x 23＋y 22＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A.k <－63或k >63 B.k ≤－63或k ≥63C.－63<k <63D.－63≤k ≤633.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是( ) A.159 B.259 C.2959 D.30594.已知过圆锥曲线x 2m ＋y 2n ＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x m ＋y 0y n ＝1.过椭圆x 212＋y 24＝1上的点A (3，－1)作椭圆的切线l ，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为( )A.x －y －3＝0B.x ＋y －2＝0C.2x ＋3y －3＝0D.3x －y －10＝05.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.136.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为( )A.13B.12C.22D.327.(多选)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B.－63C.－33 D.33 8.(多选)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，离心率分别为e 1，e 2，则下列结论正确的是( )A .a 1＋c 1＞2(a 2＋c 2)B .a 1－c 1＝a 2－c 2C .e 1＝e 2＋12D .椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 二、填空题9.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h 为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为87 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d 至少应是________米．10.过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________11.若直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________12.罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为________平方米(保留小数点后两位)．三、解答题13.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．14.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．15.如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)和y 2b 2＋x 281＝1(x ≥0)组成，其中a >b >9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点)．(1)求“挞圆”的方程；(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y ＝t (t ∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值．参考答案及解析一、选择题1.A 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －k ，x 29＋y 24＝1，消去y 得(4＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－36＝0Δ＝(－18k 2)2－4(4＋9k 2)(9k 2－36)＝576(2k 2＋1)，易知Δ>0恒成立∴直线y ＝kx －k 与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为相交． 2.B 解析：将y ＝kx ＋2代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，消去y ，可得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0 ∴Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48∵直线和椭圆有公共点，∴72k 2－48≥0，∴k ≤－63或k ≥63. 3.A 解析：设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由题意可得a －c a ＋c ＝2930整理得a ＝59c ，即c a ＝159. ∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是159. 4.B 解析：过椭圆x 212＋y 24＝1上的点A (3，－1)的切线l 的方程为3x 12＋(－y )4＝1，即x －y －4＝0，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为－1，故过点A 且与直线l 垂直的直线方程为y ＋1＝－(x －3)，即x ＋y －2＝0.5.C 解析：设椭圆长轴长为2a ，短轴长为2b ，由“切面”所在平面与底面成60°角可得2b 2a ＝cos 60°，即a ＝2b ，所以e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝32. 6.B 解析：如图，l 1，l 2 是两条与球相切的直线，分别切于点A ，C ，与底面交于点B ，D ，设篮球的半径为R∴AC ＝2R ＝22，R ＝11过点C 作CE ∥BD 交l 1于点E ，则CE ＝BD在△ACE 中，CE ＝AC sin 60°，∴CE ＝22×23＝2a ，∴a ＝223＝2R 3，b ＝R ∴c ＝4R 23－R 2＝33R ，∴e ＝c a ＝3R 32R 3＝12. 7.AB 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0 解得k ＝±63． 8.ABC 解析：对A ，由题可知a 1＝2a 2，c 1＝a 2＋c 2＞2c 2，所以a 1＋c 1＞2(a 2＋c 2)，所以选项A正确；对B ，由a 1－c 1＝|PF |，a 2－c 2＝|PF |，得a 1－c 1＝a 2－c 2，所以选项B 正确；对C ，由a 1＝2a 2，c 1＝a 2＋c 2，得c 1a 1＝a 2＋c 22a 2＝1＋c 2a 22，即e 1＝e 2＋12，所以选项C 正确；对D ，根据选项C 知，2e 1＝e 2＋1＞2e 2，所以e 1＞e 2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以选项D 错误．故选ABC ．二、填空题9.答案：32解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 236＝1，当点(47，4.5)在椭圆上时，16×7a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫92236＝1，解得a ＝16 ∵车辆高度不超过4.5米，∴a ≥16，d ＝2a ≥32，故拱宽至少为32米．10.答案：22解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1，① x 22a 2＋y 22b 2＝1.② ∵M 是线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1. ∵直线AB 的方程是y ＝－12(x －1)＋1，∴y 1－y 2＝－12(x 1－x 2)． 由①②两式相减可得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，即2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·2b 2＝0.∴a ＝2b ，∴c ＝b ，∴e ＝c a ＝22. 11.答案：(1,3)∪(3，＋∞)解析：∵x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0∴Δ＝16m 2－4m (m ＋3)>0，解得m >1或m <0.∴m >1且m ≠3∴m 的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．12.答案：0.22解析：由条件可得，竞技场的总面积为π×1882×1562＝7 332π(平方米)，表演区的面积为π×862×542＝1 161π(平方米)，故观众区的面积为7 332π－1 161π＝6 171π(平方米)，故观众区每个座位所占面积为6 171π90 000≈6 171×3.1490 000≈0.22(平方米)．三、解答题13.解：设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0(a ≠4) 由⎩⎨⎧ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0 由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，两条直线之间的距离即为所求最短距离 且直线x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离d ＝|4－3|2＝22. 由⎩⎨⎧ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.14.解：(1)设M (x ，y )．因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·y x －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)． 即点M 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)．(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，易知此时线段CD 的中点不是N ，不符合题意． 当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，将点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)的坐标代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，得2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2，② ①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1 故直线l 的方程为y －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0. 15.解：(1)由题意知b ＝15，a ＋9＝34，解得a ＝25，b ＝15.所以“挞圆”方程为x 2252＋y 2152＝1(x ≤0)和y 2152＋x 292＝1(x ≥0)． (2)设P (x 0，t )为矩形在第一象限内的顶点，Q (x 1，t )为矩形在第二象限内的顶点则t 2152＋x 2092＝1，x 21252＋t 2152＝1，可得x 1＝－259x 0.所以内接矩形的面积S ＝2t (x 0－x 1)＝2t ×349x 0＝15×34×2·x 09·t 15≤15×34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2092＋t 2152＝510 当且仅当x 09＝t 15时，S 取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米。
直线与椭圆的位置关系及最值
直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+b y a x 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=+012222C By Ax b y a x 得02=++p nx mx (1)若l 与C 相离的⇔Δ<0；（2）l 与C 相切⇔Δ=0；（3）l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0.2.弦长公式 设直线与椭圆交于点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y kx x k -+=-+=（k 为直线斜率） 一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围.二、弦长问题例题3、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．例4、已知椭圆1222=+y x 的左右焦点分别为1F ,2F ，若过点P （0，-2）及1F 的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积练习、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．三、中点弦问题例题5、已知椭圆C 的焦点分别为12(F F -，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
例题6、如果焦点是F （0，±52）的椭圆截直线3x －y －2=0所得弦的中点横坐标为21，求此椭圆方程.例7. 已知椭圆1222=+y x （1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点A 、B ，O 为原点，且有直线OA 、OB 斜率满足K OA ·K OB =-1/2，求线段AB 中点M 的轨迹方程．四、对称问题例题8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．五、最值问题类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题）例1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
高中数学 课时达标训练(九)直线与椭圆的位置关系(习题课) 新人教A版高二选修2-1数学试题
课时达标训练（九）直线与椭圆的位置关系（习题课） [即时达标对点练] 题组1 直线与椭圆的位置关系 1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值X 围是________． 题组2 直线与椭圆的相交弦问题3．椭圆x 225＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．184．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 5．已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程． 题组3 与椭圆有关的最值问题6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________．7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为________． 8．如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，(1)若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值X 围．[能力提升综合练]1．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( ) A ．至多一个 B ．2个C ．1个D ．0个2．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值X 围是( )A ．[4－23，4＋23]B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋2 2 ]D ．[4－2，4＋2]3．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若＝( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．34．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(0，2)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)O 为坐标原点，求△OAB 的面积．6．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝x ＋m 相交于不同的两点M ，N ，问是否存在实数m 使|AM |＝|AN |；若存在求出m 的值；若不存在说明理由．答 案即时达标对点练1.解析：选A 因为直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交． 2. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 23＝1，y ＝x ＋2，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点，∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16 m 2－4m 2－12m＝12m 2－12m >0，解得m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.答案：(1，3)∪(3，＋∞)3. 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.4. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1， 消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54[]（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 54（4＋24）＝35. 答案：355. 解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由y 2a 2＋x 2b2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0，x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2，由已知x 1＋x 22＝12， 即12b 2a 2＋9b 2＝1， 所以a 2＝3b 2.又c 2＝a 2－b 2＝50，所以得a 2＝75，b 2＝25，所以椭圆的方程为y 275＋x 225＝1. 6. 解析：易知点A (3，0)是椭圆的右焦点．答案： 37. 解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)． 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，取得最大值6. 答案：68. 解：∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， (1)∵P (0，1)，即b ＝2，且B (3，1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1. (2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得，9a 2＋t 2（3－t ）2＝1，解得a 2＝3（3－t ）23－2t . ∵a 2>b 2>0，∴3（3－t ）23－2t >(3－t )2>0.∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 能力提升综合练1. 解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以4m 2＋n2 >2，即m 2＋n 2<4， 所以n 2<4－m 2，则m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1. 所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内部， 故过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．2. 解析：选A 方程可化为x 23＋y 28＝1，故椭圆焦点在y 轴上，又a ＝22，b ＝3，所以－3≤m ≤3，故4－23≤2m ＋4≤23＋4.3. 解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1，0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n . 将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴||＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2. 4. 解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.答案：3－15. 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝32. (2)设l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0， 由l 与圆x 2＋y 2＝1相切得21＋k 2＝1，解得k ＝± 3.将y ＝±3x ＋2代入x 2＋4y 2－4＝0，得13x 2±163x ＋12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝±16313，x 1x 2＝1213， |AB |＝2（x 1－x 2）2＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫163132－4×1213＝2413. 又O 到AB 的距离d ＝1.∴S △OAB ＝12×|AB |×1＝1213. 6解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1， 则右焦点F (a 2－1，0)．由题设|a 2－1＋22|2＝3， 解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1， 得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0.由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即－2<m <2， 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3m 4，从而y P ＝x P ＋m ＝m 4， 所以k AP ＝y P ＋1x P ＝m 4＋1－3m 4，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，所以m 4＋1－3m 4＝－1，解得m ＝2，所以不存在实数m 使|AM |＝|AN |.。
2022版人教A版高中数学选择性必修第一册练习题--直线与椭圆的位置关系及其应用
2022版人教A版高中数学选择性必修第一册--第2课时直线与椭圆的位置关系及其应用基础过关练题组一直线与椭圆的位置关系1.直线y=x+1与椭圆x 25+y24=1的位置关系是 ()A.相交B.相切C.相离D.无法判断2.若直线y=kx+2与椭圆x 23+y22=1有且只有一个交点,则斜率k的值是()A.√63 B.−√63C.±√63D.±√333.椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k的值为()A.±1B.±√2C.±√33D.±√34.(2020山东聊城高二上期末)直线y=kx+2与焦点在x轴上的椭圆x 216+y2b2=1(b>0)恒有两个公共点,则实数b的取值范围是. 题组二直线与椭圆的相交弦问题5.直线y=x+1被椭圆x 24+y22=1所截得的线段的中点的坐标是()A.(23,53) B.(43,73)C.(-23,13) D.(-132,-172)6.过原点的直线l与曲线C:x 23+y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于√6,则直线l的斜率k的可能取值是()A.√33 B.−√33C.√3D.17.经过椭圆x 22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B 两点.设O为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-3 B.-13C.−13或−3 D.±138.过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .9.(2021江西南昌二中高二上月考)在平面直角坐标系中,已知动点P 到定点F 1(-1,0)、F 2(1,0)的距离之和为2√2.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)若直线l :y =x +t 与曲线C 交于A 、B 两点,|AB |=4√23,求t 的值.题组三 直线与椭圆位置关系的综合运用 10.设椭圆C :x 29+y 24=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限的交点为P ,则直线PF 1的斜率为 ( ) A.13B.12C.√33D.√3211.(2020北京清华大学附中高二上期中)已知椭圆C :x 216+y 24=1的右顶点为A ,上顶点为B.点E 在椭圆C 上,且不在直线AB 上. (1)求椭圆C 的离心率和直线AB 的方程; (2)若以AE 为直径的圆经过点B ,求点E 的坐标.能力提升练题组一直线与椭圆的相交弦问题1.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()A.y=2x-3B.y=2x+1C.y=-2x-3D.y=-2x+32.(2020浙江宁波九校高二上期末,)已知圆C:(x+3)2+y2=48和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于M点,则M点的轨迹方程为;若直线l与M点的轨迹相交,且相交弦的中点为P(2,1),则直线l的方程是.3.(2021江苏南京金陵中学高二上月考,)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系Oxy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为2√3π,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,求△OAB面积的最大值.题组二 直线与椭圆位置关系的综合运用 4.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx +ny =4和圆x 2+y 2=4没有交点,则过点(m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点的个数为 ( )A.0或1B.2C.1D.0 5.(2021江西上饶高二上月考,)已知椭圆C :x 28+y 26=1的左、右顶点分别为A 、B ,点P 为椭圆C 上不同于A ,B 的动点,若直线PA 斜率的取值范围是[1,2],则直线PB 斜率的取值范围是 ( )A.[-2,-1]B.[-32,-34]C.[-1,-12] D.[-34,-38]6.(2021江苏泰州中学高二上期初检测,)如图,椭圆C :x 24+y 2=1的右顶点为A ,上顶点为B ,动直线l 交椭圆C 于M 、N 两点,且始终满足OM ⊥ON ,作OH ⊥MN 交MN 于点H ,则HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )A.[3-2√3,3+2√3]B.[45-4√55,45+4√55]C.[-65,145] D.[-54,154] 7.(多选)()已知椭圆C :x 24+y 22=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,直线y =kx (k ≠0)与C 交于A ,B 两点,AE ⊥x 轴,垂足为E ,直线BE 与C 的另一个交点为P ,则下列结论正确的是 ( )A.四边形AF 1BF 2为平行四边形B.∠F 1PF 2<90°C.直线BE 的斜率为12k D.∠PAB >90°8.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点F1作斜率为12的直线l 与C 交于A ,B 两点,若|OF 1|=|OA |,则椭圆C 的离心率为 .9.(2020海南中学高二上期中,)已知点P 是椭圆x 225+y 29=1上任意一点,则当点P到直线4x -5y +40=0的距离达到最小值时,点P 的坐标为 . 10.(2020天津一中高二上期末质量调查,)已知椭圆C :x 24+y 23=1,F 1,F 2分别为椭圆的左,右焦点,P 为椭圆上任意一点. (1)若|PF 1|-|PF 2|=1,求△PF 1F 2的面积;(2)是否存在直线l ,使得当l 经过椭圆左顶点A 且与椭圆相交于点B ,点D 与点B 关于x 轴对称,满足OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−207?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 11.()已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22,点P(−√2,1)在该椭圆上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若点A ,B 是椭圆C 上关于直线y =kx +1(k ≠0)对称的两点,求实数k 的取值范围.12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,且|F1F2|=2,离心率为√22.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≥x2)两点.(i)求|AF2|·|BF2|的最小值;(ii)点Q是直线l上异于F2的点,且满足|QA||QB|=|F2A||F2B|,求证:点Q在一条定直线上.答案全解全析 基础过关练1.A 直线y =x +1过点(0,1),将(0,1)代入x 25+y 24=1得,0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.2.C 由{y =kx +2,x 23+y 22=1,消去y ,并整理得(2+3k 2)x 2+12kx +6=0,由题意知Δ=(12k )2-4×6×(2+3k 2)=0, 解得k =±√63,故选C . 3.C 因为椭圆的离心率为√33,所以c a=√33,即c =√33a,c2=13a2=a2−b2,所以b2=23a2.当x =b 时,直线与椭圆的交点的纵坐标为y =kb,则交点为(b,kb),代入椭圆方程得b 2a2+k 2b 2b 2=1,即23+k2=1,所以k2=13,解得k =±√33,故选C .4.答案 (2,4)解析 直线y =kx +2恒过定点(0,2),要保证直线与椭圆有两个公共点,则定点需在椭圆内,所以016+4b 2<1,又b >0,所以b >2,又因为椭圆的焦点在x 轴上,所以b <a =4,即b ∈(2,4).5.C 联立{y =x +1,x 24+y 22=1,消去y 并整理,得3x 2+4x -2=0.设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),中点M (x 0,y 0).∴x 1+x 2=-43,x0=x 1+x 22=−23,y0=x0+1=13,∴中点坐标为(-23,13).6.D 设直线l 的方程为y =kx (k ≠0),直线l 与曲线C 交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{x 23+y 2=1,y =kx ,消去y 得(1+3k2)x2−3=0,则x1+x2=0,x1x2=−31+3k 2,所以|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2√121+3k 2=√6,解得k 2=1,故选D .7.B 由x 22+y 2=1,得a 2=2,b 2=1,则c 2=a 2-b 2=1,则焦点坐标为(±1,0).不妨设直线l 过右焦点,因为l 的倾斜角为45°,所以直线l 的方程为y =x -1. 代入x 22+y 2=1得x 2+2(x -1)2-2=0,即3x 2-4x =0.设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=0,x 1+x 2=43,y1y2=(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=−43+1=−13,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2=0−13=−13. 8.答案 53解析 由题意知,右焦点的坐标为(1,0),又直线的斜率k =2,所以直线的方程为y =2(x -1),将其与x 25+y 24=1联立,消去y,得3x2−5x =0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=53,x1x2=0,所以|AB|=√1+k 2·|x1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+22×√(53)2-4×0=5√53.设原点到直线的距离为d,则d =|-2|√(-1)+22=2√55. 所以S △OAB =12|AB |·d =12×5√53×2√55=53.9.解析 (1)因为|PF 1|+|PF 2|=2√2>|F1F2|=2,所以动点P 的轨迹为椭圆,且长轴长2a =2√2,焦点坐标为(-1,0),(1,0), 所以a =√2,c =1,又因为a 2=b 2+c 2,所以b 2=1, 所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{x 2+2y 2-2=0,y =x +t ,消去y ,得3x 2+4tx +2t 2-2=0,所以x 1+x 2=-4t3,x1x2=2t 2-23,Δ=16t 2-12(2t 2-2)=24-8t 2>0,即t 2<3.所以|AB |=√1+12·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√23·√24-8t 2=4√23,解得t =±1,满足Δ>0,所以t =±1. 10.B 依题意得,a 2=9,b 2=4,∴c 2=5, 因此以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=5. 由{x 2+y 2=5,x 29+y 24=1,得{x 2=95,y 2=165, 又点P 在第一象限,∴P (3√55,4√55), 又F 1(-√5,0), ∴k PF 1=4√55-03√55+√5=12,故选B .11.解析 (1)由题可得a =4,b =2,c =2√3,则A(4,0),B(0,2),椭圆的离心率e =c a=√32. 直线AB 的方程为x 4+y2=1,即x +2y -4=0.(2)设E (x 0,y 0),由题意可知AB ⊥BE , 即k AB ×k BE =-1, 结合(1)得-12×y 0-2x 0=-1,则2x 0=y 0-2,∵E 是椭圆C 上的点, ∴x 0216+y 024=1.联立{x 0216+y 024=1,2x 0=y 0-2,消去x 0,整理得17y 02−4y0−60=0,解得y0=2(舍去)或y0=−3017,则x0=−3217,所以E (-3217,-3017). 能力提升练1.ACD 直线y =2x -3与直线l 关于原点对称,直线y =-2x -3与直线l 关于x 轴对称,直线y =-2x +3与直线l 关于y 轴对称,因此A 、C 、D 中的直线被椭圆C 截得的弦长一定为7,而直线y =2x +1被椭圆C 截得的弦长大于7.故选ACD .2.答案x 212+y 23=1;x +2y -4=0解析 由圆的方程可知,圆心C (-3,0),半径等于4√3,设点M 的坐标为(x ,y ), ∵BP 的垂直平分线交CP 于点M , ∴|MB |=|MP |.又|MP |+|MC |=4√3,∴|MC |+|MB |=4√3>|BC|.依据椭圆的定义可得,点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且2a =4√3,即a =2√3,c =3,∴b =√3, 故M 点的轨迹方程为x 212+y 23=1.设直线l 交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,AB 的中点为(2,1), ∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2, 则x 1212+y 123=1,x 2212+y 223=1,作差得4(x 1-x 2)12=−2(y 1-y 2)3,∴y 1-y 2x 1-x 2=−12,故直线l 的方程是y -1=-12(x -2),即x +2y -4=0.3.解析 (1)依题意有{ab =2√3,a =2c ,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =√3,所以椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1.(2)由题意知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为x =my +1, 由方程组{x =my +1,x 24+y 23=1,得(3m 2+4)y 2+6my -9=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y1y2=−93m 2+4,所以|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12√m 2+13m 2+4,所以S △OAB =12×|OP |×|y 1-y 2| =6√m 2+13m 2+4,令t =√m 2+1(t ≥1),则m 2=t 2-1,S △OAB =6t 3t 2+1=63t+1t,因为y =3t +1t 在[1,+∞)上单调递增,所以当t =1,即m =0时,△OAB 面积取得最大值,为32.4.B 因为直线mx +ny =4和圆x 2+y 2=4没有交点,所以√m 2+n 2>2,所以m2+n2<4,而m 29+n 24≤m 24+n 24<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y 24=1必有两个交点,故选B .5.D 依题意得A (-2√2,0),B(2√2,0), 设P (x 0,y 0),则x 028+y 026=1,从而y 02=34(8-x 02),①又k PA =0x +2√2kPB =x -2√2,因此k PA ·k PB =x +2√2·x -2√2=y 02x 02-8,将①式代入得k PA ·k PB =-34,则kPA =−34·1k PB,又1≤k PA ≤2,所以1≤-34·1k PB≤2,故-34≤k PB ≤-38,故选D .6.C 直线l 的斜率显然存在,设直线l :y =kx +b ,与椭圆方程联立,得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-4=0, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 得x 1+x 2=-8kb 1+4k 2,x1x2=4b 2-41+4k 2,因为OM ⊥ON ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+b )(kx 2+b )=0, 代入整理得5b 2=4k 2+4, 则|OH |2=(√1+k2)2=b 21+k 2=45, 所以点H 在圆O :x 2+y 2=45上运动,记线段AB 的中点为D , 直线AB 与圆O :x 2+y 2=45相切,则HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|HD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|HD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−54, 在Rt △AOB 中,易知|OD |=12|AB|=√52. 所以|HD |∈[√52-2√55,√52+2√55]=[√510,9√510],|HD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−54∈[-65,145],即HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-65,145].故选C .7.ABC 由椭圆的对称性知,四边形AF 1BF 2是平行四边形,故A 正确; ∵a 2=4,b 2=2,∴c 2=2, ∴∠F 1AF 2<90°, 又∠F 1PF 2<∠F 1AF 2<90°, 故B 正确;由{x 2+2y 2=4,y =kx 得{x 2=41+2k 2,y 2=4k 21+2k2, 结合图形,不妨设k >0, 则A (2√1+2k 2,2k √1+2k 2),B −2√1+2k 2,−2k √1+2k 2,E (2√1+2k 2,0),∴k BE =2k√1+2k 22√1+2k 2+2√1+2k 2=12k ,故C 正确;取k =2,则A (23,43),B (-23,-43),E (23,0),∴直线BE 的方程为y =x -23,与椭圆方程联立得,P (149,89),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(89,-49),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-43,-83),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3227+3227=0,∴∠PAB >90°错误.故选ABC .8.答案√53解析 如图所示,设右焦点为F 2,则|OF 1|=|OA |=|OF 2|,∴AF 1⊥AF 2, 又tan ∠AF 1F 2=12,∴|AF 1|=4√55c,|AF2|=2√55c.因此,2a =|AF 1|+|AF 2|=6√55c ,∴e =ca =√53.9.答案 (-4,95)解析 设平行于直线4x -5y +40=0且与椭圆相切的直线方程为4x -5y +c =0(c ≠40).由{9x 2+25y 2=225,4x -5y +c =0,得25x 2+8cx +c 2-225=0, 令Δ=(8c )2-4×25×(c 2-225)=0, 得c 2=625,解得c =±25.结合图形(图略)可知c =25,此时,x 2+8x +16=0⇒x =-4. 代入4x -5y +25=0得,y =95,∴P (-4,95).10.解析 (1)由{|PF 1|+|PF 2|=4,|PF 1|-|PF 2|=1,得{|PF 1|=52,|PF 2|=32,易求得|F 1F 2|=2. ∵|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,∴PF 2⊥F 1F 2,∴S △PF 1F 2=12|PF 2|·|F 1F 2|=32.(2)存在.易知A (-2,0),故可设直线l 的方程为y =k (x +2),联立{y =k (x +2),x 24+y 23=1,消去y ,得(4k 2+3)x 2+16k 2x +16k 2-12=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1x 2=16k 2-124k 2+3,又x1=−2,∴x2=6-8k 24k 2+3,则B (6-8k 24k 2+3,12k4k 2+3), 故D6-8k 24k 2+3,−12k 4k 2+3,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6-8k 24k 2+3)2−144k 2(4k 2+3)2=64k 4-240k 2+36(4k 2+3)2=−207,即16k 4-25k 2+9=0,故(k 2-1)(16k 2-9)=0.∴k =±1或k =±34.∴存在满足条件的直线l ,且直线l 的方程为y =x +2或y =-x -2或y =34(x +2)或y =−34(x +2).11.解析 (1)e =ca=√22,即c2=12a2,b2=a2−c2=12a 2,将P (-√2,1)代入椭圆方程,得2a2+1b 2=1,∴a 2=4,b 2=2, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),y 1≠y 2,AB 的中点为(x 0,y 0),易知直线y =kx +1(k ≠0)恒过点(0,1),则x 12+(y 1-1)2=x 22+(y 2-1)2,∵点A ,B 在椭圆上,∴x 12=4-2y 12,x 22=4-2y 22, ∴4-2y 12+(y 1-1)2=4-2y 22+(y 2-1)2,化简得y 12-y 22=−2(y1−y2),即y1+y2=−2,∴y0=y 1+y 22=-1.又AB 的中点在直线y =kx +1上, ∴-1=kx 0+1,解得x 0=-2k .由{x 2+2y 2=4,y =-1,可得x =±√2, ∴0<-2k<√2或−√2<−2k<0,即k <−√2或k >√2.故k 的取值范围是(-∞,-√2)∪(√2,+∞). 12.解析 (1)由题意得c =1.因为离心率为√22,所以a=√2,所以b =1.所以椭圆的方程是x 22+y 2=1.(2)(i)由(1)知F 2(1,0),当直线l 的斜率不存在时,不妨设A (1,√22),B (1,-√22),所以|AF 2|·|BF 2|=12.当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程可设为y =k (x -1).联立{x 22+y 2=1,y =k (x -1),消去y ,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-2=0.所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x1x2=2k 2-21+2k 2.所以|AF 2|=√(x 1-1)2+y 12=√1+k 2|x1−1|,|BF2|=√(x 2-1)2+y 22=√1+k 2|x 2-1|. 所以|AF 2|·|BF 2|=(1+k 2)|x 1x 2-(x 1+x 2)+1|=(1+k 2)|2k 2-21+2k2-4k 21+2k2+1|=1+k 21+2k 2 =12(1+11+2k 2). 因为11+2k 2∈(0,1],所以|AF 2|·|BF 2|的取值范围是(12,1]. 因为当直线l 的斜率不存在时,|AF 2|·|BF 2|=12,所以|AF 2|·|BF 2|的最小值是12.(ii)证明:由题意得,直线l 的斜率一定存在.因为点Q 在直线l 上,所以设点Q 的坐标是(m ,k (m -1)). 因为|QA ||QB |=|F 2k ||F 2B |,所以点Q 一定在BA 的延长线上, 所以m -x 1m -x 2=x 1-11-x 2,即(m +1)(x 1+x 2)-2x 1x 2-2m =0. 所以4k 2(m+1)1+2k 2−2(2k 2-2)1+2k 2-2m =0.化简得m =2.所以点Q 的坐标是(2,k ). 因此点Q 在定直线x =2上.。
直线与椭圆的位置关系探究
直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系是解析几何中最核心的部分，是高考考点中的热点和难点。
其题型复杂多变、解法灵活多样，需要学生具有扎实的基础知识储备，较强的解题能力等。
重点考查学生对数形结合、分类讨论、函数与方程、化归等数学思想方法的理解与应用。
此类题型还会涉及到较多的热门考点，如弦长问题、定点问题、定值问题、弦中点问题、最值问题等。
一.位置关系问题例1．已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？二.弦长问题 例2．设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点，直线l 的倾斜角为060，2AF FB =．（1）求椭圆C 的离心率；（2）如果15||4AB =，求椭圆C 的方程．例3.已知4,2（）是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，求直线l 的方程四.定点问题例4.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为,21以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切。
设P （4，0），B A ,是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴交于定点Q 。
例5. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且过点A (2,1)．若P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．六.离心率问题例6.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点A B C D ，，，构成的四边形是菱形，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，求椭圆的离心率例7. 已知椭圆12422=+y x 的左右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线l 交椭圆于B A 、两点，求1ABF ∆的周长.八.对称问题例8. 已知椭圆13422=+y x ，试确定m 的取值范围使得对于直线m x y +=4，椭圆上有两个不同的点关于该直线对称．例9. 已知椭圆1422=+y x G ：，过点(),0m 作221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点 （1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）求||AB 的最大值．【课堂练习】1、判断直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系？2、已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，OAB O b B a A ∆),0,0(),,0(),0,(的面积为1.设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：||||BM AN ⋅为定值．3、已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 斜率为41，椭圆短轴长为2，求椭圆方程。
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直线与椭圆的位置关系练习（2）1. 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ，又因为ON 为21F MF ∆的中位线，所以4212==MF ON ，故答案为A ．2. 若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m 综述：51≠≥m m 且解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m即1≥m3. 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．3. 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ． 根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．4. 已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积 4. 解法一：由题可知：直线AB l 方程为022=++y x由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y xx y 可得04492=-+y y ，91044)(2122121=-+=-y y y y y y 9104212121=-=∴∆y y F F S 解法二：2F 到直线AB 的距离554=h 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB910421==∴∆h AB S 解法三：令),(),,(2211y x B y x A 则11ex a AF +=，21ex a BF +=其中22,2==e a 2F 到直线AB 的距离554=h 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，9210)(222121=++=+++=x x e a ex a ex a AB 910421==∴∆h AB S [评述]在利用弦长公式212212111y y kx x k AB -+=-+=（k 为直线斜率）或焦（左）半径公式)(22212121x x e a ex a ex a PF PF AB ++=+++=+=时，应结合韦达定理解5. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．5. 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．6. 已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为23，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是32-，求椭圆的方程6. 解法一：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y由⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 可得012)(2=-+++n nx x n m ，m n n m n x x 234221=-=+-=+即 又3222=c a 即2221131n m m -= 34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+=+1122222121ny mx ny mx 作差得)()(21212121y y x x y y x x n m+--=+- m n 2=∴又3222=c a 即2221131n m m -= 34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x7. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy . (Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MNOB存在,说明理由.7. [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-.设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by a x .()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BC AC a 则2=∴a224222=-=-=∴c a b .∴椭圆的标准方程是.12422=+y x(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y 消去y 整理得,()0482122=+++kx x k 有221221214,218kx x k k x x +=+-=+ 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则OM ⊥,所以02121=+y y x x , 所以,()()0222121=+++kx kx x x ,即()()042121212=++++x x k x x k所以,()0421********22=++-++k k k k 即,0214822=+-kk 得.2,22±==k k所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点.8. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程8.解设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴n m nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1 9. 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．9. （1）设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得： 又将代入x y -=112222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221ba a x x +=+∴>∆ 222221)1(ba b a x x +-=代入①化简得21122=+ba . (2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==a b ab a b ac e 又由（1）知12222-=a a b26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5].10.设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，若AP PB λ=试求的取值范围.10 。
解：当直线l 垂直于x 轴时，可求得15λ=-;当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x1因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以12xx λ=-＝5929592922-+-+-k k k k ＝59291812-+-k k k ＝25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k ， 解得 952≥k ， 所以 51592918112-<-+-≤-k ，综上 115λ-≤≤-.11.已知椭圆的一个焦点为F1(0,-)，对应的准线方程为y =，且离心率e 满足：24,,33e 成等差数列。