高考数学解析几何和向量的结合专题

解析几何与向量的结合问题专题1.教学目标1.1熟练掌握平面向量的三角形与平行四边形法则、数量积的相关概念以及它与解析几何的结合应用2.2通过对解析几何中，与向量的结合问题，渗透从特殊到一般的思想、数形结合思想、空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力以及运算求解能力；3.3提高学生分析问题、自主探究和解决问题的能力，提升学生数学的核心素养。

2.教学重点、难点2.1重点：利用数学基础知识与基本技能探究解析几何问题，并培养学生分析问题以及解决问题的能力；2.2难点：如何找到解决解析几何问题的知识与能力的平衡点，并探寻合理的解决方法，进而培养学生的逻辑思维能力。

3.教学过程喜欢学习解析几何问题的学生很多，喜欢动脑，非常好的事。

但遇到解析几何问题，得分率又不高，细化汇总来看，在一些问题上还有待提高，其中错误率较高的问题都反映在什么地方呢？今天我们就一起来探讨一下。

试卷上刚做过得一题：例1：已知双曲线C ：),0,0(122>>=-n m ny m x 21,F F 是双曲线C 的左、右焦点，直线l 与双曲线C 交于A,B 两点，E 是A 关于y 轴的对称点。

若1,1m n ==，(1,0)A -，直线l 与坐标轴不垂直，点M 为直线BE 与y 轴的交点，且满足3ME EB =u u u r u u u r，求直线l 的斜率；3.1学生分析题目 站在学生角度分析：（1）学生看到32ME EB =u u u r u u u r，两个动M B 和，无法下手。

（2）学生看到32ME EB =u u u r u u u r，第一步表示出E 标，由(1,0)A -关于y 轴对称写出(1,0)E ，B 第二步：再求出点坐标，如何求B 点坐标呢? 设AB: (1)y k x =+，(,)B B B x y然后我把直线AB: (1)y k x =+和双曲线方程221x y -=联立，用韦达定理222222(1)(1)2101y k x k x k x k x y =+⎧⇒----=⎨-=⎩，222211(1)11B B k k x x k k --+⋅-=⇒=-- 然后求出22212(,)11k k B k k +--，但下面学生不知如何求出k ，也不知怎么用32ME EB =u u u r u u u r ，然后做不下去。

（3）学生看到32ME EB =u u u r u u u r，想到用向量的坐标形式和向量的相等设(0,),(,)M B B M y B x y 由32ME EB =u u u r u u u r ，(1,),(1,)m B B ME y EB x y =-=-u u u r u u u r可知：31(1)122(,)3332B M M B x B y y y⎧-=-⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩，但我下面不知如何做，做不下去。

3.2问题引入问题1：从题目看，我们探究一下遇到解析几何和向量的结合题，我们要采用什么方法解决呢？3.2.1探究、分析、解决问题1．从代数的角度理解32ME EB =u u u r u u u r一要勇敢的假设M 点的坐标，二要把32ME EB =u u u r u u u r看作向量的相等问题用坐标形式解决问题，或可以用定比分点坐标公式，想法求出B 点，就可以马上表示出来，B 点中还有一个未知数，再找一个条件，B 在双曲线上，代入就解决问题了。

2.从几何的的角度理解32ME EB =u u u ru u u r 可以看作..M E B 共线或//ME EB u u u r u u u r ，对于该题来说，从代数的角度理解32ME EB =u u u r u u u r更方便一些。

小结：遇到解析几何和向量的结合题，可以从坐标形式和几何意义两方面解决，建议先想坐标形式。

变式：双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 与双曲线交于A 、B 两点.设b =若l 过2F 且斜率存在，11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r，求l 的斜率；思路分析：第一步：知道2213y x -=，1(2,0)F -，2(2,0)F ，看到11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r ，想到勇敢的假设坐标，用向量的坐标形式，设11221111222121(,),(,),(2,),(2,),(,)A x y B x y F A x y F B x y AB x x y y =+=+=--u u u r u u u r u u u r，22221121211221212121()(4)()()()440F A F B AB x x x x y y y y x x x x y y +⋅=++-++-=-+-+-=u u u r u u u r u u u r 222222112121212121()443(1)3(1)44440F A F B AB x x x x x x x x x x +⋅=-+-+---=-+-=u u u r u u u r u u u r 22112121212121()44440()()()0F A F B AB x x x x x x x x x x +⋅=-+-=⇒-++-=u u u r u u u r u u u r 因为直线斜率存在，所以121x x +=-第二步：怎么就得到121x x +=-？ 直线AB 与双曲线方程联立。

由学生完成：设AB ：(2),y k x =-显然k 存在且不为0222222(2)(3)443033y k x k x k x k x y =-⎧⇒-+--=⎨-=⎩2212230Δ0413k k k x x k ⎧⎪-≠⎪⎪>⇒=⎨⎪-⎪+==-⎪-⎩问题2：用向量的坐标形式解决11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r有点繁，,我们探究一下遇到的是解析几何和向量的结合题，我们还可以要采用什么方法解决呢？第三步：进一步探究从向量的几何意义出发：由11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r的几何意义，1111()00F A F B AB F R AB F R +⋅=⇒⋅=⇒u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的中点即AB 中点 然后，设AB 中点M （00,x y ）12212221212241263,,3312(4)3F Mk x x k k k k M k k ky y k x x k ⎧-+=⎪⎛⎫--⎪-=-⇒⎨ --⎝⎪+=+-=⎪-⎩12222613223F Mk k k k k k k --∴==-⇒=--+- 小结：遇到解析几何和向量的结合题： 先想用向量的坐标形式直译题意；两种方法做，但学生对几何意义不熟，就一定要用坐标法。

例2：设常数2>t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2F ，直线t x l =:，曲线()0,08:2≥≤≤=Γy t x x y ，l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点B ，Q P ,分别是曲线Γ与线段AB 上的动点，设8=t ，是否存在以FQ FP ,为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由；思路分析：从FQ FP ,为邻边的矩形FPEQ 入手，首先四边形FPEQ 是平行四边形，其次FP FQ ⊥问题1：如何解决这两个问题呢？问题2：四边形FPEQ 是平行四边形可以转化为什么呢？FE FQ FP =+⇒u u u r u u u r u u u r四边形FPEQ 是平行四边形问题3：FP FQ ⊥可以转化为什么呢？0FQ FP ⋅=u u u r u u u r解析如下：()0,2F ，()[]8,0,,8,,82∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛Q Q P P y y Q y y P ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==P P Q y y y ,28,,62，以FQ FP ,为邻边的矩形FPEQ ，则()226,2,62088P P Q P Q P y y FQ FP y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r 则[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈⇒∈-=4,378168,04312P Pp Q y y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==+=412,48,4822P P P Q P P y y y y y y FP FQ FE ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++412,682P P P y y y E ，又E 在x y 82=上 （舍）或48516023046721568841222422-=⇒=-+⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+P P P P P P y y y y y y 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈=4,37816554P y ，则存在点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛554,52P 满足要求； 从这个题的题干中并没有看到向量，但经过分析可以转化为用向量问题来解决。

小结：（1）解析几何与向量的结合问题，一般有两类型，如例1和例2 （2）特别关注向量背景下的解几问题，及解几背景下的向量问题．能熟练地将“向量语言”转化为“解几语言”，如：0OA OB =u u u r u u u r g 即OA OB ⊥；//AB AC u u u r u u u r即A B C 、、三点共线等；有时也需要将“几何语言”转化为“向量语言”，如：APB ∠为锐角等价于：0PA PB >u u u r u u u rg 且A PB 、、、不共线；注重向量的坐标形式和几何意义3.2.3小试牛刀学生练习：1.已知过椭圆221:143x y C += 的右焦点，且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q 两点．设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n ，使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r？若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；思路分析：（1） 根据刚才我们做题的方法，我看到QP NP PQ NQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，就想到勇敢的假设坐标，用向量的坐标形式表示，设1122(,),Q(,),P x y x y (,0)N n ，由QP NP PQ NQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r可得：121211212122(,)(,)(,)(,)x x y y x n y x x y y x n y --⋅-=--⋅-22222222121212211221121212212()3(1)3(1)2()0441()()2()048x x x x y y n x x x x n x x x x x x x x n x x n -+-+-=-+---+-=+-++-=⇒= 推出了关键条件式：128x x n +=联立方程可得：22222221(34)881203344k k x k x k n k k +-+-=⇒==++， 所以1(0,)4n ∈.（2）法二：我看到QP NP PQ NQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r比较复杂，我试着用一下向量的几何意义：第一步：由(2)0QP NP PQ NQ PQ NR ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，直线NR 为直线PQ 的中垂线，第二步：求出直线NR 的方程设直PQ ：(1),(0)y k x k =-≠，1122(,),Q(,),P x y x y 线段PQ 的中点为33(,)R x y 联立方程可得：2222(34)88120k x k x k +-+-= ，0∆>恒成立.2123332243,(1)23434x x k k x y k x k k +===-=-++ ， NR ：222314()3434k k y x k k k+=--++， 令0y = 得：N 点的横坐标22213344k n k k==++所以1(0,)4n ∈ 2.倾角为3π的直线l 过抛物线x y 42=的焦点F 与抛物线交于A 、B 两点，点C 是抛物线准线上的动点．若△ABC 是钝角三角形，求点C 纵坐标的取值范围．解析： 设),1(m C -，则}332,34{},32,4{m m --=-=，2)332(-=⋅m 不可以为负，所以ACB ∠不为钝角．若CAB ∠为钝角，则0<⋅，}338,38{=，则0)32(338332<-+m ，得3310>m ．若角ABC ∠为钝角，则0<⋅AB CB 且C 、B 、A 不共线．可得332-<m 且36-≠m ．综上知，C 点纵坐标的取值范围是),3310()332,36()36,(+∞----∞Y Y 因为椭圆2222C 1(0)x y a b a b +=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，即2a =又长轴长是短轴长的两倍，即241a b b =⇒=，所以椭圆方程2214x y +=3.3数形转化时要注意挖掘几何特征 解析几何毕竟是解决几何问题，所以决不能忽视对几何对象的几何特征的认识与理解，几何问题代数化时，首先要注意几何问题的几何解释，找到易于处理的几何条件，这样可以减少代数的运算。