高考数学解析几何和向量的结合专题

解析几何与向量的结合问题专题
1.教学目标
1.1熟练掌握平面向量的三角形与平行四边形法则、数量积的相关概念以及它与解析几何的结合应用
2.2通过对解析几何中，与向量的结合问题，渗透从特殊到一般的思想、数形结合思想、空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力以及运算求解能力；
3.3提高学生分析问题、自主探究和解决问题的能力，提升学生数学的核心素养。

2.教学重点、难点
2.1重点：利用数学基础知识与基本技能探究解析几何问题，并培养学生分析问题以及解决问题的能力；
2.2难点：如何找到解决解析几何问题的知识与能力的平衡点，并探寻合理的解决方法，进而培养学生的逻辑思维能力。

3.教学过程
喜欢学习解析几何问题的学生很多，喜欢动脑，非常好的事。

但遇到解析几何问题，得分率又不高，细化汇总来看，在一些问题上还有待提高，其中错误率较高的问题都反映在什么地方呢？今天我们就一起来探讨一下。

试卷上刚做过得一题：
例1：已知双曲线C ：),0,0(12
2
>>=-n m n
y m x 21,F F 是双曲线C 的左、右焦点，直线l 与
双曲线C 交于A,B 两点，E 是A 关于y 轴的对称点。

若1,1m n ==，(1,0)A -，直线l 与坐
标轴不垂直，点M 为直线BE 与y 轴的交点，且满足3ME EB =u u u r u u u r
，求直线l 的斜率；
3.1学生分析题目 站在学生角度分析：
（1）学生看到32
ME EB =u u u r u u u r
，两个动M B 和，
无法下手。

（2）学生看到32
ME EB =u u u r u u u r
，第一步表示出E 标，由(1,0)A -关于y 轴对称写出(1,0)E ，
B 第二步：再求出点坐标，如何求B 点坐标呢? 设AB: (1)y k x =+，(,)B B B x y
然后我把直线AB: (1)y k x =+和双曲线方程2
2
1x y -=联立，用韦达定理
222222
(1)(1)2101
y k x k x k x k x y =+⎧⇒----=⎨-=⎩，222211(1)11B B k k x x k k --+⋅-=⇒=-- 然后求出22212(,)11k k B k k +--，但下面学生不知如何求出k ，也不知怎么用32
ME EB =u u u r u u u r ，然
后做不下去。

（3）学生看到32
ME EB =u u u r u u u r
，想到用向量的坐标形式和向量的相等
设(0,),(,)M B B M y B x y 由32
ME EB =u u u r u u u r ，(1,),(1,)m B B ME y EB x y =-=-u u u r u u u r
可知：
31(1)122
(,)3332
B M M B x B y y y
⎧-=-⎪⎪⇒⎨
⎪=⎪⎩，但我下面不知如何做，做不下去。

3.2问题引入
问题1：从题目看，我们探究一下遇到解析几何和向量的结合题，我们要采用什么方法解决呢？
3.2.1探究、分析、解决问题
1．从代数的角度理解32
ME EB =u u u r u u u r
一要勇敢的假设M 点的坐标，二要把32
ME EB =u u u r u u u r
看作向量的相等问题用坐标形式解决问
题，或可以用定比分点坐标公式，想法求出B 点，就可以马上表示出来，B 点中还有一个未知数，再找一个条件，B 在双曲线上，代入就解决问题了。

2.从几何的的角度理解32ME EB =
u u u r
u u u r 可以看作..M E B 共线或//ME EB u u u r u u u r ，对于该题来说，从代数的角度理解32
ME EB =u u u r u u u r
更方便
一些。

小结：遇到解析几何和向量的结合题，可以从坐标形式和几何意义两方面解决，建议先想坐标形式。

变式：双曲线2
2
13
y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 与双曲线交于A 、B 两点.
设
b =若l 过2F 且斜率存在，11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r
，求l 的斜率；
思路分析：第一步：知道2
2
13
y x -=，1(2,0)F -，2(2,0)F ，看到11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r ，想到
勇敢的假设坐标，用向量的坐标形式，设
11221111222121(,),(,),(2,),(2,),(,)A x y B x y F A x y F B x y AB x x y y =+=+=--u u u r u u u r u u u r
，
22221121211221212121()(4)()()()440F A F B AB x x x x y y y y x x x x y y +⋅=++-++-=-+-+-=u u u r u u u r u u u r 222222112121212121()443(1)3(1)44440
F A F B AB x x x x x x x x x x +⋅=-+-+---=-+-=u u u r u u u r u u u r 22112121212121()44440()()()0F A F B AB x x x x x x x x x x +⋅=-+-=⇒-++-=u u u r u u u r u u u r 因为直线斜率存在，
所以121x x +=-
第二步：怎么就得到121x x +=-？ 直线AB 与双曲线方程联立。

由学生完成：设AB ：(2),y k x =-显然k 存在且不为0
2222
22
(2)(3)443033y k x k x k x k x y =-⎧⇒-+--=⎨-=⎩
22
12230Δ041
3k k k x x k ⎧
⎪-≠⎪⎪>⇒=⎨⎪-⎪+==-⎪-⎩
问题2：用向量的坐标形式解决11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r
有点繁，,我们探究一下遇到的是解
析几何和向量的结合题，我们还可以要采用什么方法解决呢？
第三步：进一步探究从向量的几何意义出发：由11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r
的几何意义，1111()00F A F B AB F R AB F R +⋅=⇒⋅=⇒u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
的中点即AB 中点 然后，设AB 中点M （00,x y ）
122122
21212241263,,3312(4)3F M
k x x k k k k M k k k
y y k x x k ⎧-+=⎪⎛⎫--⎪-=-⇒⎨ --⎝⎪+=+-=⎪-⎩12
222
613223F M
k k k k k k k --∴==-⇒=--+
- 小结：遇到解析几何和向量的结合题： 先想用向量的坐标形式直译题意；两种方法做，但学生对几何意义不熟，就一定要用坐标法。

例2：设常数2>t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2F ，直线t x l =:，曲线
()0,08:2≥≤≤=Γy t x x y ，l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点B ，Q P ,分别是曲线Γ与
线段AB 上的动点，设8=t ，是否存在以FQ FP ,为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由；
思路分析：从FQ FP ,为邻边的矩形FPEQ 入手，首先四边形FPEQ 是平行四边形，其次
FP FQ ⊥
问题1：如何解决这两个问题呢？
问题2：四边形FPEQ 是平行四边形可以转化为什么呢？
FE FQ FP =+⇒u u u r u u u r u u u r
四边形FPEQ 是平行四边形
问题3：FP FQ ⊥可以转化为什么呢？0FQ FP ⋅=u u u r u u u r
解析如下：()0,2F ，()[]8,0,,8,,82
∈⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛Q Q P P y y Q y y P ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==P P Q y y y ,28,,62，以FQ FP ,为邻边的矩形FPEQ ，
则()226,2,62088P P Q P Q P y y FQ FP y y y y ⎛⎫⎛⎫
⋅=⋅-=-+= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r 则[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-∈⇒∈-=4,378168,04312P P
p Q y y y y ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==+=412,48,482
2P P P Q P P y y y y y y FP FQ FE ，则
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++412,682P P P y y y E ，又E 在x y 82
=上 （舍）或48516023046721568841222422
-=⇒=-+⇒⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+P P P P P P y y y y y y 则⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-∈=
4,37816554P y ，则存在点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛554,52P 满足要求； 从这个题的题干中并没有看到向量，但经过分析可以转化为用向量问题来解决。

小结：（1）解析几何与向量的结合问题，一般有两类型，如例1和例2 （2）特别关注向量背景下的解几问题，及解几背景下的向量问题．能熟练地将“向量语言”
转化为“解几语言”，如：0OA OB =u u u r u u u r g 即OA OB ⊥；//AB AC u u u r u u u r
即A B C 、、三点共线等；有时也需要将“几何语言”转化为“向量语言”，如：APB ∠为锐角等价于：0PA PB >u u u r u u u r
g 且
A P
B 、、、不共线；注重向量的坐标形式和几何意义
3.2.3小试牛刀
学生练习：1.已知过椭圆221:143
x y C += 的右焦点，且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于
,P Q 两点．设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n ，使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
？若
存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；
思路分析：（1） 根据刚才我们做题的方法，我看到QP NP PQ NQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，就想到勇敢的假设
坐标，用向量的坐标形式表示，
设1122(,),Q(,),P x y x y (,0)N n ，由QP NP PQ NQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
可得：
121211212122(,)(,)(,)(,)x x y y x n y x x y y x n y --⋅-=--⋅-
22
22222212
1
2
1
2
211
2
21121212212()3(1)3(1)2()0
441
()()2()048x x x x y y n x x x x n x x x x x x x x n x x n -+-+-=-+---+-=+-++-=⇒= 推出了关键条件式：12
8
x x n +=
联立方程可得：22
2
2
2
2
2
1
(34)881203344k k x k x k n k k +-+-=⇒==++， 所以1(0,)4
n ∈.
（2）法二：我看到QP NP PQ NQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
比较复杂，我试着用一下向量的几何意义：第一步：由(2)0QP NP PQ NQ PQ NR ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，直线NR 为直线PQ 的中垂线，第二步：求出直
线NR 的方程
设直PQ ：(1),(0)y k x k =-≠，1122(,),Q(,),P x y x y 线段PQ 的中点为33(,)R x y 联立方程可得：2
2
2
2
(34)88120k x k x k +-+-= ，0∆>恒成立.
212333
2243,(1)23434x x k k x y k x k k +===-=-++ ， NR ：2
22
314()3434k k y x k k k
+=--++， 令0y = 得：N 点的横坐标22213344k n k k
==++所以1
(0,)4n ∈ 2.倾角为3π
的直线l 过抛物线
x y 42=的焦点F 与抛物线交于A 、B 两点，点C 是抛物线准线上的动点．若△ABC 是钝角三角形，求点C 纵坐标的取值范围．
解析： 设),1(m C -，则}
33
2,34{},32,4{m m --=-=，
2
)332(-
=⋅m 不可以为负，所以ACB ∠不为钝角．
若CAB ∠为钝角，则0<⋅，}
33
8,38{=，则0)32(338332<-+m ，得33
10>
m ．
若角ABC ∠为钝角，则0<⋅AB CB 且C 、B 、A 不共线．可得
33
2-
<m 且36-≠m ．
综上知，C 点纵坐标的取值范围是
),33
10()332,36()36,(+∞-
---∞Y Y 因为椭圆
22
22C 1(0)x y a b a b +=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，即2a =
又长轴长是短轴长的两倍，即241a b b =⇒=，
所以椭圆方程2
21
4x y +=
3.3数形转化时要注意挖掘几何特征 解析几何毕竟是解决几何问题，所以决不能忽视对几何对象的几何特征的认识与理解，几何问题代数化时，首先要注意几何问题的几何解释，找到易于处理的几何条件，这样可以减少代数的运算。

（1）在求的过程中，通过设辅助元素，打开解决较大难题的思路 （2）关注知识技能的掌握更要关注数学核心素养的形成和发展 （3）善于思考，严谨求学。

（4）注重解析几何的思维特征 3.4课堂感悟，总结升华
师：刚刚的讨论和学习同学们都是比较积极热烈的，这样的学习气氛很好，要保持！现在请大家静下心来回忆一下，通过今天的学习，大家收获到了什么？我们解决了哪些问题？ 众生：遇到解析几何和向量的结合题如何解决？
师：那解决这些问题过程中我们学习到什么？
生：遇到解析几何和向量的结合题：先想用向量的坐标形式直译题意；计算量大还可以
想向量的几何意义。

师：从今天的学习中还学到了什么呢？
生：打开解决解析几何能力题的解题思路；
师：还有吗？
生：从特殊到一般的数学方法，学会了如何结合已知和结论，合理地使用了化归思想，进行问题的转化，能优化解题过程。

师：很好！几位同学的总结十分精彩。

4.教学设计说明
4.1设计理念
（1）学生在解决解析几何问题中存在的几个问题:
①学生学习解析几何有一定畏惧感，部分学生存在着态度情感障碍；
②学生对圆锥曲线的基本概念理解不透彻，不少学生对于运用概念和定义解决问题存在理解障碍；
③学生没有掌握基本的运算方法，没有形成基本的运算能力，不少同学对运算操作存在障碍；
④缺乏运用向量解决解析几何问题的意识，导致用代数方法解决几何问题的能力薄弱；
⑤由于对圆锥曲线中数学思想方法的理解不足，及学生本身在解题中存在的思维障碍，学生不能灵活运用数学思想方法解决圆锥曲线的综合问题。

（2）在考试中，从一道解析几何中学生存在的问题入手，为了帮助学生打开解题思路，解决在高考中非常重要的关于解析几何和向量结合题的研究和探究，加强对学生的思维品质和综合能力的培养，理解知识的来源及其所蕴含的数学思想、数学方法、把握知识的纵横联系，培养探索研究问题的能力
4.2抓注重点
圆锥曲线的方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，有时往往和平面向量相结合，这也是高考的重点，因此分析问题时要利用数形结合的思想、函数与方程的思想、坐标法等，达到优化解题思路、简化解题过程的目的。

要强化对常见题型的规律、方法的总结。

4.3渗透数学核心素养
让学生对于自身存在的问题有个直观的认识，并结合错题的类型，通过学生自己的所得、所思、所想，对课堂学习进行很好的归纳总结；教师充满智慧的引导，为学生展示自己的才干搭建了平台，也提升了教学的层次。

这是试卷讲评一个很好的方式，是充分研究学生的错题、运用回归的思想方法思考问题，也是优化和提升学生的思维品质的一次尝试。

通过这样的学习，可以激发学生学习数学的兴趣，提升学生的学习水平，指导学生学会思考、学会学习。

这节课遵循了数学学科的核心素养，提高学生从数学的角度发现问题和提出问题、分析问题、解决问题的能力。

4.4教学过程的设计
通过创设问题情境，引发学生思考，激发学生探究的兴趣和欲望。

通过小组讨论，引发师生对话、生生对话，学生经历引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。

通过一题多解，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

课的最后，通过学生自己的所得、所思、所想，对课堂学习进行了很好的归纳总结；老师充满智慧的引导，为学生展示自己的才干搭建了平台，也提升了教学的层次。

5.课后反思
在课堂上，不可能做到尽善尽美，解析几何的定点定值问题以及和平面向量的结合题一直是高三数学教学的重点和难点，如果能在课堂上借助于TI图形计算器，可能有效直观地
探究出解析几何隐藏在代数式背后的优雅的几何结论。

高三的解析几何教学主要是借助于代数的工具，“精确”地求解，而不是“直观”地求解。

对于定点定值问题，固然可以精确地用代数方法来等价探求，但却失去了几何的直观与优雅。

通过用“几何的方法”来探求并解决“几何”的问题，岂不是一个更纯粹的方法吗？也更容易突破学生思维的瓶颈，引起学生思维的顿悟，真正能获得解决问题的喜悦之情。

正如一些数学教育工作者所说：数学的发生与发展离不开“实验与思辨” 、“归纳与演绎”,而今日的数学改革则主张让学生在数学实验中丰富成功快乐的情感体验，形成科学严谨的治学态度，建立积极向上的人生价值观。

这节课通过从特殊到一般的学习方法，为学生提供了“抓大放小”的可能，重点花在分析问题上，从而使学生更集中精力于“高层次”的思维活动。

帮助学生做出正确的决断与预测，也为学生在进行数学模型的探索与确认时的自信心提供了有利的支持，但还是不能做到所以同学都能学会，还是有学生陷入困境或无能为力的处境。

这样的课，使得教师更加注重学生“顿悟”思维能力的培养，培养学生的“顿悟”思维能力，是提高学生创新思维能力的重要途径。

在高中学习阶段，学生在解决数学问题的过程中，逻辑思维与直觉思维是互补互用的，通过教师精心设计的问题，在探究性教学、类比思想、归纳猜想发现等教学环节中，学生的“顿悟”思维能力是完全可以在教师的循循善诱下，有意识的加以训练和培养的。

这样的也为学生的兴趣和创造力的发展提供了一个广阔的空间。

如果课堂教学再接纳一些新技术、新事物，使现代教学紧跟时代的步伐，借助现代技术的力量，给课堂插上飞翔的翅膀，切实实现教学方式的转变，深化教学改革，使学习数学成为学生最乐意从事的一件事就更好了。

3.3学生课后练习：
1.设O 为△ABC 所在平面内一点．若实数x 、y 、z 满足x
+y
+z
=0，（x 2
+y 2
+z 2
≠0），
则“xyz=0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的（ ）
A ． 充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分也不必要条件 解析：C
2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2:1
4
x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于 上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.
（1）设83
(,)
55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；
（2）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =u u u r u u u r ，4PQ PM =u u u r u u u u r ，
求直线AQ 的方程.
解析：（1）设(,0)M m ，283833
(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=
u u u r u u u r 或1m = 8283864629
(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=
u u u r u u u r
（2）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03(,0)8M x ，∵
4PQ PM =u u u r u u u u r ，
∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =u u u r u u u r ，∴00133(,)42y C x --，代入并联立椭圆方程，
解得
0x =
，019y =-
，∴1
()
3Q ，∴直线AQ
的方程为1y =+
3.已知椭圆Γ：22
221(0)x y a b a b +=>>，其左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为B ，O 为
坐标原点，过
2
F 的直线l 交椭圆Γ于P Q 、
两点，
1sin 3BF O ∠=
.设直线1l
:y =上
总存在点M 满足2OP OQ OM +=u u u r u u u r u u u u r
，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.
解析：
由a =，得椭圆Γ方程为222
330x y b +-=，
且c =，2F
的坐标为,0)，所以可设直线l 的方程
为(cot )x m y m α==，代入
222330x y b +-=得：(
)2
2230
m
y b ++-=
因为点M 满足2OP OQ OM +=u u u r u u u r u u u u r
，所以点M 是线段PQ 的中点
设M 的坐标为
(),x y ''，则y '
=12223y y m +=-
+
因为直线1
:l y =M 满足2OP OQ OM +=u u u r u u u r u u u u r
所以
23y m '=-
=+0m <
，所以36b m m ⎫=-+≥=⎪-⎭，
当且仅当
3
m m -=
-
，即m =.
所以当cot m α==min 6
b =，此时直线l 的倾斜角
56π
α=
.
4.设M N 、分别是曲线C :2
21
2x y +=上的两个不同点，且点在第一象限，点在第
三象限，若
122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r
, 为坐标原点，求直线的斜率；
M N O MN。