探求正四面体外接球、内切球半径求法

正四面体内切圆半径公式

正四面体内切圆半径公式正四面体是一种具有四个面的多面体，每个面都是一个等边三角形。

内切圆是指一个圆与多边形的每一边都相切，且圆心与多边形的中心重合。

在正四面体内切圆中，内切圆的圆心与正四面体的重心重合，即内切圆的圆心位于正四面体的中心点上。

我们来推导正四面体内切圆的半径公式。

我们需要知道正四面体的一些基本性质。

正四面体的高是等边三角形的高，等于边长的根号3除以2。

正四面体的底面边长为a，高为h，则正四面体的体积V等于1/3乘以底面积S乘以高。

正四面体的底面是一个等边三角形，其面积S等于边长a的平方乘以根号3除以4。

将S带入体积公式，得到正四面体的体积公式为V等于1/12乘以a的三次方乘以根号2。

我们知道，正四面体的体积V等于1/3乘以底面积S乘以高，即V=1/3×S×h。

将S和h代入，得到V=1/3×（a的平方乘以根号3除以4）×（a的平方乘以根号3除以2）。

化简得到V=1/12×a的三次方乘以根号2。

将V带入球的体积公式V=4/3×π×r的立方，我们可以得到内切圆半径r的公式。

1/12×a的三次方乘以根号2=4/3×π×r的立方。

化简得到r=1/6×a的平方乘以根号6除以π。

所以，正四面体内切圆的半径r等于1/6×a的平方乘以根号6除以π。

通过上述推导，我们得到了正四面体内切圆半径的公式。

这个公式可以帮助我们计算正四面体内切圆的半径，从而更好地理解和研究正四面体的性质。

正四面体内切圆半径公式的推导过程虽然简单，但是其中蕴含着丰富的几何知识和数学思维。

通过掌握这个公式，我们可以更深入地研究正四面体的几何特征，也可以应用到实际问题中，如建筑设计、机械制造等领域。

正四面体内切圆半径公式的推导不仅是数学知识的运用，更是思维的展示和思考的结果。

在学习过程中，我们需要灵活运用数学知识，善于思考和分析，才能更好地理解和应用这个公式。

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC +=所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA ==在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D (C设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y xACCy所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

A CDBEOABCP三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x222222)3()1(z y x z y x +-+-=++ 解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

探求正四面体外接球、内切球半径求法知识讲解

探求正四面体外接球、内切球半径求法探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h a a 即34R h =；内切球a 即14r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）作平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH V 中，222BO BH OH =+，即222()()33R a a R =+-，,.R a r h R a a a ∴==-=-= 方法二：（三角正切倍角公式）作平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO = ,2.AO BO ABO BAO BOH θθ=∴∠=∠∠=Q在Rt ABHV中，tan,23aBHAHθ===在Rt OBHV中，3tan2,3aBHOH r rθ===23r⨯∴==,.r a R h r a a a∴==-=-=方法三：（分割等体积）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V高3h AH a==，设O为球心，则.O AH∈连结,,,BO CO DO得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r，设正四面体每个面的面积为S，则4,O BCD A BCDV V--=即114,33S r S AH⨯=g g11,4412.3124r AH h aR h r a a a∴====-=-=方法四：（侧棱、高相似或三角）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V22tantan2,1tanθθθ=-Q高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设M 是AB 的中点，连结,,,OM OB BHAO BO OM AB =∴⊥QAMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠，AMO AHB ∴V :V ， AM AO AH AB∴=，即,aR a =,.R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设BAH MAO θ∠=∠=，则在Rt ABH V中，3cos a AH AB aθ==，在Rt AMO V 中，2cos .aAM AO Rθ==32a aa R∴= ，以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）作平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,AE EH ，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC V 中心，N 是AE 的三等分点，平面，ON 是内切圆半径r,ON ABC ⊥且 ,Rt ANO Rt AEH V :VAN AO AH AE ∴=，32a R = ，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设EAH NAO θ∠=∠=，则在Rt AEH V中，cos 2a AH AEθ==，在Rt ANO V中，3cos .a AN AO Rθ==3aa R∴=，以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,,AE DE DO ，延长DO 交AE 于N ，则N 是AE 的三等分点，.H DE ∈ 且DN ⊥平面.ABC则,Rt ODH Rt DNE V :V OH OD NE DE∴= 即 OH OD = NE DE 13=， 13r R ∴=， 3.R r ∴=又,R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 或：在Rt DNE V 中，1sin ,3NE NDE DE ∠== 在Rt DOH V 中，sin sin ,OH NDE ODH OD∠=∠= 13OH OD ∴=，即13r R =， 3.R r ∴=又,3R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为a的棱长为.2a 正方体的体对角线等于外接球直径，有22a R ⨯=，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 方法八：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD V 于H ，则H 为BCD V 的外心，求得,,33AH a BH a == 由相交弦定理得2(2)).333a R a a -=g解得.4R a =.r h R a a a ∴=-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。

正四面体外接球和内切球的半径的求法

设正方体的棱长为，则２Ｒ＝且ｎ＝，所以Ｒ＝
７－ａ，从而ｒ＝了１尺＝
ｎ．
故所求的外接球的半径和内切
球的半径分别为ｎ和ｎ．
解后反思：由此解法知，正方体的内切球也是与正四面体的各棱都相切的球，易得正方体的内切球的半径为
北京建工学院１０００４４孙瑜蔓中央民大附中１０００８１孙猛
我们常用到“ｙ：＋ ”型最值，我们
口十
Ｄ一
只要妙添 “１”，然后将 “１” 变形为１＝
０｝十Ｄ即可求出这一类最值，程序如
下：
ｙ＝－·（＋）
解法３（体积法）如图４，记正四面体ＡＢＣＤ的体积为，每个面的面积为．ｓ，高为ｈ，内切球球心为０，连结ＤＡ，０日，Ｄｃ，ＯＤ，贝０ｒ．
ＤＶ：洲＋ｃＤ＋ｃ￡Ｍ＋
，
Ｃ
所以÷．ｓ：４·了１．ｓｒ，从而ｒ＝图４
＝口＋ｂ · （、口＋＋ｂ～），
＝［Ａ＋８＋＋］
分析利用１＝ＣＯＳ＋ｓｉｎ添 “１”
解Ｙ：－。（、ＣＯ８，＋ＳＩｎ），＝ｓ２＋ｓｉｎＺｘ（＋）
＝１３＋４ｔａｎ＋９ｃｏｔ ≥ １３＋２ ·２ｔａｎｘ ·３ｃｏｔｘ＝２５
方法拓展：１．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其外接球也是以这三条侧棱为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球，若设其三条侧棱长分别为ａ，ｂ，Ｃ，则易得外接球的半径为

简单几何体的外接球和内切球的半径的求法

简单几何体的外接球和内切球半径的求法1、正方体若正方体的棱长为a ，则其外接球半径为，内切球半径为，棱切球半径为球心全是正方体的体对角线的交点32a 12a 22a例：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm ，求球的体积．解：该球是正方体的外接球，球心到正方体各顶点的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的体对角线长设球的半径为R ，a R a R 2332==得则)(23)23(34343333cm a a R πππ==∴球的体积为若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

外接球的球心到多面体各顶点的距离均相等。

例：将一个棱长为6cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积。

解：这个最大的球体是正方体的内切球，球心到正方体各个面的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的棱长设球的半径为R ，则2R =6，得R =3)(3633434333cm R πππ=⨯=∴最大零件的体积为若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

内切球的球心到多面体各面的距离均相等。

⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究若正方体的棱长为a ，则a3a2a右图，红色球是正方体的棱切球棱切球的球心到正方体各条棱的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的面对角线的长2、长方体若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其外接球半径为球心是长方体的体对角线的交点222 1+2a b c例：有一个球与长方体的面相切，这个球的最大直径是多少？长方体的长、宽、高中的最小者例：一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为____________若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

四面体外接球地球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

A CDBEOABCP三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

四面体外接球的球心、半径求法2017完美打印版

四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA ==在PAC Rt ∆中OC OB OP ==AC所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法之宇文皓月创作在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的概况积。

解：所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R球的概况积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB=ACCy式知222222)2(z y x z y x ++-=++222222)2(-++=++z y x z y x 解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

四面体的内切球半径公式

四面体的内切球半径公式
设四面体的体积为V，表面积为S，内切球的半径为r。

根据欧
拉公式，四面体的体积V、表面积S和内切球的半径r之间存在着
以下关系：
V = (S r) / 3。

而四面体的体积V可以用行列式表示：
V = (1/6) |x1(y2z3 y3z2) + x2(y3z1 y1z3) + x3(y1z2
y2z1) (x1y2z4 x1y4z2 x2y1z4 + x2y4z1 + x4y1z2 x4y2z1)|。

其中，(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), (x4, y4, z4) 分别是四面体的四个顶点的坐标。

四面体的表面积S可以用以下公式表示：
S = 1/2 (|A1| + |A2| + |A3| + |A4|)。

其中，|A1|, |A2|, |A3|, |A4| 分别是四面体的四个面的面积。

综合上述公式，我们可以得到四面体内切球半径r的公式： r = 3V / S.
这就是四面体内切球半径的公式，它可以通过四面体的体积V 和表面积S来计算。

当我们已知四面体的顶点坐标和面积时，就可以利用这个公式来求得内切球的半径。

探求正四面体外接球、内切球半径求法

在中，，
在中，
，以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）作
高，设为球心，则
设为中点，连结，
作于点，则是中心，是的三等分点，且，即，或：设，则在中，，在中，
，以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作
高，设为球心，则
设为中点，连结，延长交于，
则是的三等分点，且平面
则即 =，，又或：在中，
以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的
方法一：（勾股定理）作高，设为球心，则连结在中，，即，方法二：（三角正切倍角公式）作高，设为球心，则连结在中，在中，
方法三：（分割等体积）作高，设为球心，则连结得到四个以为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径，设正四面体每个面的面积为，则即方法四：（侧棱、高相似或三角）作高，设为球心，则设是的中点，连结，又，，，即或：设，则
探求正四面体外接球、内切球半径
正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.
已知正四面体棱长为，设外接球半径为，内切球半径为，球心为，则正四面体的高是，外接球半径是即；内切球半径是即. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：
在中，，即，又
方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的
外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为，则正方体
的棱长为正方体的体对角线等于外接球直径，有

正四面体相关结论

正四面体相关结论正四面体是一种具有特殊性质的几何图形，它由四个相等的正三角形组成，每个角都是60度。

在正四面体中，有一些重要的结论和性质，这些结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用。

1、中心与顶点之间的关系正四面体的中心到四个顶点的距离相等，也就是说，中心是四个顶点所组成的菱形的中心。

这个结论可以用于计算正四面体的半径和中心到顶点的距离。

2、边长与高之间的关系正四面体的边长和高之间有一个重要的关系，即高是边长的2/3。

这个结论可以用于计算正四面体的高，也可以用于解决与正四面体的边长和高有关的问题。

3、体积与半径之间的关系正四面体的体积与半径之间有一个重要的关系，即体积是半径的立方根。

这个结论可以用于计算正四面体的体积，也可以用于解决与正四面体的体积和半径有关的问题。

4、三个两两垂直的平面相交于一点在正四面体中，三个两两垂直的平面相交于一点，这个结论可以用于解决与正四面体的三个两两垂直的平面相交有关的问题。

5、相对的两条边互相垂直在正四面体中，相对的两条边互相垂直，这个结论可以用于解决与正四面体的相对的两条边互相垂直有关的问题。

正四面体的一些重要结论和性质在解决相关的几何问题时非常有用，这些结论和性质可以帮助我们更好地理解和解决正四面体的问题。

正四面体外接球和内切球的半径的求法在几何学中，正四面体是一种具有特殊性质的几何形态。

它由四个相等的正三角形构成，每个面都是一个等边三角形。

这种几何形态在许多领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、工程学等。

在解决实际问题时，我们常常需要找出正四面体的外接球和内切球的半径。

下面将介绍两种求法。

第一种方法是通过几何计算直接求解。

首先，我们需要找到正四面体的中心点。

这个点可以通过连接正四面体的四个顶点并取其中间位置来找到。

一旦找到了中心点，我们就可以通过连接这个点和正四面体的各个顶点，找到外接球的球心。

外接球的半径就是从球心到正四面体顶点的距离。

内切球的半径则是从球心到正四面体四个面的中心的距离。

四面体外接球的球心、半径求法

For personal use only in study and research; not forcommercial use四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++= 1663142222=++=R 所以2=R球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += A CD B E所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC在PAC Rt ∆中斜边为AC取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP == 所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

正四面体的外接球与内切球PPT讲稿

解题小结:
(1) V1:V2=R13:R23; S1:S2=R12:R22.
(2) 注意扩大与扩大到的区别.
(3) 解这类问题的关键:找到变化前后半径的大小关系.
例3. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3， 6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积。
例4.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm²和400πcm²,求球的表面积。
若将“球心同侧”这个条件去掉，又如何？
O₂
A
O₁
B
O
题组二:
1、一个四面体的所有2的棱都
一球为面上，，则四此个球顶的点表在面同积
（） A 3л
B 4л C
3 3
D 6л
2、若正四体的棱长都为6，内有一切球。与求四球个的面表都面相积。
1、一个四面体的所有的2 棱都
一球为面上，，则四此个球顶的点表在A面同积
的外接球，此时球的直径
为 3，
D
S球 =4 (
3 )2 2
3 ,
选A
A
C1 B1
C B
2、若正四体的棱长都为6，内有一
切球，与求四球个的面表都面相积。
解：作出过一条侧棱PC和高PO的截面，则截面三
角形PDC的边PD是斜高，DC是斜高的射影，球被截
P
成的大圆与DP、DC相切，连结EO，设球半径为r，
R2 2 ( 3
2 R)2,解得R 3
3 2
, 所以S球
4
R2
3 .
1、一个四面体的所有的2 棱都一（A为球3л面）上，B则四4л 此个C 球顶的点表在3 面同3 积 D 6л
解法2 构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、B、D

正四面体内切球半径推导过程

正四面体内切球半径推导过程正四面体是一个四个等边等角的三角形构成的多面体，内切球则是能够刚好与多面体的四个面接触的球体。

要推导出正四面体内切球的半径，我们可以使用几何和三角学的知识。

首先，我们设正四面体的边长为a。

假设内切球的半径为r。

我们可以使用勾股定理求出正四面体的高h：h=a√2/3```/\/\/\/\/\/\/______\/______\ra/2```根据勾股定理，我们可以得到三角形两边及斜边的关系：a^2=h^2+(a/2)^2代入我们之前计算得到的h，可以得到：a^2=(a^2/3)+(a^2/4)通过简化上式，我们可以解出a的平方的值：a^2=36r^2/45解这个方程可以得到a的平方的值为：a^2=10r^2/3然后，我们可以计算出正四面体的表面积S。

由于正四面体有四个等边三角形的表面，我们可以按照如下公式计算总的表面积：S=4*[√3*(a/2)^2]=√3*a^2代入我们之前计算得到的a的平方的值，可以得到表面积的计算式：S=4*(√3*10r^2/3)=4*√3*10/3*r^2最后，我们可以计算出正四面体体积V。

体积V等于正四面体所包围的空间的体积，可由下式计算：V=(1/3)*S*h=(1/3)*√3*a^2*(a√2/3)代入我们之前计算得到的a的平方和h的值，得到体积的计算式：V=(1/3)*√3*(10r^2/3)*(a√2/3)=(10/9)*√2*√3*r^2*a^3由于正四面体的体积V等于正四面体内切球的体积的四倍，我们可以得到：4/3*π*r^3=(10/9)*√2*√3*r^2*a^3然后我们可以解这个方程，计算出内切球的半径r：r=(√6*a)/12π因此，正四面体内切球的半径为(√6*a)/12π。

四面体外接球的球心、半径求法

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。