探求正四面体外接球、内切球半径求法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
探求正四面体外接球、内切球半径
正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角 形，
有外接球、内切球，且球心重合 .
已知正四面体 ABCD 棱长为 a ，设外接球半径为 R ，内切球半径为 r ，球心为 O ，则 正四面体的高 h 是 36
a ，外接球半径是 46
a 即R 43
h ；内切球半径是 126
a 即
1
r h . 外接球半径是内切球半径的 3 倍 . 下面从不同角度、用不同方法进行探求： 4
方法一：（勾股定理）
作AH 平面BCD 于H 点,则点 H 是V BCD 的中心，
在 Rt V BOH 中， BO 2 BH 2 OH 2
，
作AH 平面BCD 于H 点,则点 H 是V BCD 的中心，
高h
AH 6
a
3 a ， 设 O 为球心，
则O
AH . 连结 BH , BO .
Q AO
BO
ABO
BAO =
, BOH
2.
在 Rt V ABH 中，
tan
BH AH
3
a 3 6
3
a
2
, 2,
在 Rt V OBH 中，
tan 2
BH OH
3
a 3 r
3a
, 3r ,
高 h AH
6
a ，设 O 为球心，则 O
3
AH . 连结 BH , BO .
即 R
2
( 33 a )2 ( 36 a 33
R )2，
46
a ,r
4
hR 66 aa
34
6
a
12
方法二： 三角正切倍角公式）
2
方法三：（分割等体积） 作AH
平面BCD 于H 点,则点 H 是V BCD 的中心，
得到四个以 O 为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是 内切球的半径 r ，设正四面体每个面的面积为 S ，
则
4V
O BCD
V
A BCD
,
即 4
13
S g r
1
3
S g AH ,
11 r AH h
12
6a ,
44
12
R h r 6 a
6
a
6
a .
3
12 4
方法四：（侧棱、高相似或三角）
作AH 平面BCD 于H 点,则点 H 是V BCD 的中心， 高 h AH 6
a ，设 O 为球心，则 O AH .
3
设 M 是 AB 的中点，连结 OM ,OB , BH ,
Q AO BO OM AB
AMO AHB Rt ，又 MAO
HAB ，
Q tan 2
2 tan tan
2 3a 3r
2 ( 22)2
2 2,
6
a , R h r
12
6
a
3 6
a
12 6
a .
4
V AMO : V AHB ，
AM AO
AH AB ，
高 h AH
6
a ，设 O 为球心，则 O
3
AH . 连结 BO , CO , DO ,
a
即
2
R
a
,
6a a 3
6
a a
3
a
方法五：
（斜高、高相似或三角）
作 AH
平面BCD 于H 点,则点 H 是V BCD 的中
心，
高 h AH
6
a ，设 O 为球心，则 O AH .
3
设 E 为 BC 中点，连结 AE , EH ，
3
a
即
3
6
a
3
作ON AE 于N 点，则 N 是V ABC 中心， N 是 AE 的三等分
点，
ON
平面 ABC ， ON 是内切圆半径 r, 且
Rt V ANO : Rt V AEH ,
6
a , r
a , r 4
hR
66 aa
34
6
a . a .
12
或：设 EAH NAO
，则
或：设 46a , 4
R 6 a 6a
34
126a .
BAH
MAO
，则
在 Rt V ABH 中，
cos AH
AB
6
a
3
，
a
在 Rt V AMO 中， cos
AM
AO
以下同上 .
AN AH
AO
AE ，
R
2