数学必修二试题全(附答案)

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高中数学必修二测试题及答案人教版

第一章空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图左视图俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160． 8．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点，三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3．另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6． 16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12．三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π．20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积COAV 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)．(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ．棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45，仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。

(word完整版)高中数学必修二练习题(人教版,附答案)

高中数学必修二练习题（人教版，附答案）本文适合复习评估，借以评价学习成效。

一、选择题1. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A.3B.-2C. 2D. 不存在2．过点且平行于直线的直线方程为（）A． B．C．D．3. 下列说法不正确的．．．．是（）A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.4．已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（）A． B． C． D．5. 研究下在同一直角坐标系中，表示直线与的关系6. 已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A.一定是异面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能相交7. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是( )（A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）①和④8. 圆与直线的位置关系是（）A．相交 B.相切 C.相离 D.直线过圆心9. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．－1 B．2 C．3 D．010. 在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么( )A．点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内 D.点P必在平面ABC外11. 若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（C ）A.MN∥βB.MN与β相交或MNβC. MN∥β或MNβD. MN∥β或MN与β相交或MNβ12. 已知A、B、C、D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC（A ）A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定二填空题13.已知A（1，-2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|,则点P的坐标为；14.已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP=2,则PC＝；15.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ___________；16.圆心在直线上的圆C与轴交于两点，，则圆C的方程为．三解答题17(12分) 已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0 求AC边上的高所在的直线方程.18(12分)如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1) FD∥平面ABC;(2) AF⊥平面EDB.19（12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，（1）求证：平面A B1D1∥平面EFG;（2）求证：平面AA1C⊥面EFG.20(12分)已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切;②在直线y=x上截得弦长为2;③圆心在直线x－3y=0上. 求圆C的方程.设所求的圆C与y轴相切，又与直线交于AB，2分)设有半径为3的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？22（14分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3) 当直线l的倾斜角为45度时，求弦AB的长.一、选择题（5’×12=60’）（参考答案）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A D B C C A A C A C A二、填空题：(4’×4=16’) （参考答案）13. (0,0,3) 14. 15 y=2x或x+y-3=0 16. (x-2)2+(y+3)2=5三解答题17(12分) 解：由解得交点B（－4，0），. ∴AC边上的高线BD的方程为.18(12分) 解：(1)取AB的中点M,连FM,MC,∵F、M分别是BE、BA的中点∴ FM∥EA, FM=EA∵ EA、CD都垂直于平面ABC ∴ CD∥EA∴ CD∥FM又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD是平行四边形∴FD∥MCFD∥平面ABC(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB又 CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF,因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB.19解：略20解：∵圆心C在直线上，∴圆心C（3a，a），又圆与y轴相切，∴R=3|a|. 又圆心C到直线y－x=0的距离在Rt△CBD中，.∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为或.21解解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇.则P、Q两点坐标为（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）.由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，………………3分（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,即.……①………………6分将①代入……………8分又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置. 设直线相切，则有……………………11分答：A、B相遇点在离村中心正北千米处………………12分22解：(1)已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC, 直线l的方程为, 即 x+2y-6=0(3)当直线l的倾斜角为45度时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为.。

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)

一、选择题1．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O 是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（）A 5B ．2C 3D 22．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（） A ．30B ．45C ．60D ．903．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //4．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（） A ．2217B ．22121C ．77D ．7215．如图，在正四棱锥P ABCD -中，设直线PB 与直线DC 、平面ABCD 所成的角分别为α、β，二面角P CD B --的大小为γ，则（）A ．,αβγβ>>B ．,αβγβ><C ．,αβγβ<>D ．,αβγβ<<6．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π7．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为（）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．24B ．30C ．47D ．679．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A ．16B ．13C ．23D ．211．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A ．43 B ．83C ．3D ．412．αβ是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（）A ．m 、n 是α内的两条直线，且//m β，βn//B ．α、β都垂直于平面γC ．α内不共线三点到β的距离相D ．m 、n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．在正三棱锥O ABC -中，已知45AOB ∠=︒，记α为二面角--A OB C 的大小，cos =m n αm ，n 为整数，则以||n ，||m ，||m n +分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________．14．如图在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=，E 为AB 中点，将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90，则空间A '、C 两点的距离为________；15．在三棱锥P ABC -中，P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心，点M 为棱PA 的中点，记二面角P BC M --的平面角为α，则tan α的最大值为___________.16．如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -27，则此三棱锥的外接球的表面积为______18．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________．19．已知点O 为圆锥PO 底面的圆心，圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ，圆锥PO 的外接球的表面积为______.20．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，π2DPA ∠=，23AD =2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为________.三、解答题21．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAH ；（2）若2PA AD ==，求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值. 22．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1B O//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求三棱锥P ACM -的体积.24．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离．25．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEB ⊥平面ABCD ，4EBA π∠=，2EB =，F 为CE 上的点，BF CE ⊥.（1）求证：BF ⊥平面ACE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离.26．我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160dm 3.（Ⅰ）求正方体石块的棱长；（Ⅱ）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出2522x AO OE -===，1333xOE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ，由三视图可知5AB AC AD ===，45AEC ∠=，设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-，则在等腰直角三角形AOE 中，2522x AO OE -===， O 是底面中心，则133xOE CE ==，则2532x x-=，解得3x =，则1AO =，底面边长为23，则正视图（等腰三角形）的腰长为()22312+=.故选：B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2．C【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果. 【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===，所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ，所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．3．C解析：C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误；对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．4．A解析：A 【分析】根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离. 【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得11==A B AC 1A BC 为等腰三角形，所以1A BC ，由对称性可知，111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为1122=⨯=A BC S △122ABCS =⨯=111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即7h == 故选：A.【点睛】一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.5．A解析：A【分析】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，根据正棱锥的性质可知，PCE α∠=，PCO β∠=，PEO γ∠=，再比较三个角的正弦值可得结果.【详解】连接AC 、BD 交于O ，连PO ，取CD 的中点E ，连,OE PE ，如图：因为//AB CD ，所以PBA α∠=，又因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PCE α∠=，由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面ABCD ，所以PCO β∠=，易得OE CD ⊥，PE CD ⊥，所以PEO γ∠=，因为sin PE PC α=，sin PO PCβ=，且PE PO >，所以sin sin αβ>，又,αβ都是锐角，所以αβ>，因为sin PO PE γ=，sin PO PCβ=，且PC PE >，所以sin sin γβ>，因为,βγ都是锐角，所以γβ>. 故选：A【点睛】关键点点睛：根据正棱锥的性质，利用异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义得到这三个角是解题关键，属于中档题.6．B解析：B【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可.【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=，而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===，所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则23R =所以外接球的表面积为2412S R ππ==故选：B【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．7．B解析：B【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段25MB =.【详解】设底面圆半径为r ，由母线长4l ，可知侧面展开图扇形的圆心角为22r r l ππα==，将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ；如图，在ABM 中，25,2,4MB AM AB ===，所以222AM AB MB +=,所以2MAB π∠=, 故22rππα==，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=,故选：B【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为2r lπα=，其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长，解三角即可求解底面圆半径r ，利用圆锥表面积公式求解.8．D解析：D【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -，由题得22437AD =-=，所以几何体的高为7.所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅⋅=. 故选：D【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 9．D解析：D【分析】过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ，则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，然后在CFG △中求解.【详解】如下图所示，在平面ABFE 中，过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ，则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，设1EF =，则3AB =，2BC CF AE ===，因为//EF AB ，//FG AE ，所以，四边形AEFG 为平行四边形，所以，2FG AE ==，1AG =，2BG =，由于2ABC π∠=，由勾股定理可得2222CG BC BG =+=所以，222CG CF FG =+，则2CFG π∠=.故选：D.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．C解析：C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD⊥底面BCD，1AD=，所以112 =221=323V⨯⨯⨯⨯，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.11．A解析：A【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC-，该棱锥的体积：11142223323V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 12．D解析：D【分析】取a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，利用线面平行的判定定理可判断A 选项；根据αγ⊥，βγ⊥判断平面α与β的位置关系，可判断B 选项；设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，判断出A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，可判断C 选项；过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，利用线面平行、面面平行的判定定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，m β⊄,n β⊄,则//m β，βn//，但α与β相交；对于B 选项，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交；对于C 选项，设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，如下图所示：D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则//DE BC ，DE β⊂，BC β⊄，//BC β∴，所以，点B 、C 到平面β的距离相等，由于D 为AB 的中点，则点A 、B 到平面β的距离相等，所以，点A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，但平面α与平面β相交；对于D 选项，如下图所示：由于//n α，过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，则//a n ，//n a ，a β⊄，n β⊂，//a β∴，//m β，m a A =，m α⊂，a α⊂，//αβ∴.故选：D.【点睛】方法点睛：证明或判断两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论（即“线线平行”⇒“面面平行”），通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；④借助“传递性”来完成．二、填空题13．【分析】过作垂足为连接则为二面角的平面角即在中利用余弦定理结合为整数求出的值进而可得外接球直径【详解】如图过作垂足为连接则为二面角的平面角即不妨设因为所以所以所以在中因为为整数所以则设以为长宽高的长解析：6【分析】过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α，在AHC 中，利用余弦定理结合m ，n 为整数，求出m ，n 的值，进而可得外接球直径．【详解】如图，过A 作AH OB ⊥，垂足为H ，连接CH ，则AHC ∠为二面角--A OB C 的平面角，即∠=AHC α．不妨设2OC a =，因为45AOB ∠=︒，所以===CH a AH OH ，所以21)=HB a ，所以22222(422)=+=-=BC HB HC a AC ．在AHC 中，222cos 2+-==⋅⋅HA HC AC HA HC α2222(422)212+--==a a a m n a因为m ，n 为整数，所以1m =-，2n =，则||1m =，||2n =，||1m n +=．设以||m ，||n ，||m n +为长、宽、高的长方体的外接球半径为R ，则2222(2)||||||6=+++=R m n m n 6．6【点睛】关键点点睛：本题考查二面角的应用，考查几何体的外接球，考查解三角形，解决本题的关键点是利用定义法找出二面角的平面角，在AHC 中，利用余弦定理结合已知条件求出m ，n 的值，考查学生空间想象能力，考查计算能力，属于中档题．14．【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为：【点睛】对于翻折问题解题时要认解析：22【分析】由二面角A ED C '--的大小为90，可得平面A ED '⊥平面EDCB ，得到A E '⊥平面EDCB ，由勾股定理可得答案.【详解】连接DB CE 、，2AB AD ==，60A ∠=，所以ABD △、CBD 是等边三角形，所以2AD BD CD ===，因为E 为AB 中点，1AE A E '==，所以DE AB ⊥，DE A E ⊥'，3DE =， 30EDB ∠=，所以90EDC ∠=，即DE CD ⊥，所以222347EC ED CD =+=+=，因为平面A ED '⊥平面EDCB ，DE A E ⊥'，平面A ED '平面EDCB DE =，所以A E '⊥平面EDCB ，EC ⊂平面EDCB ，所以A E EC '⊥，所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为：22.【点睛】对于翻折问题，解题时要认真分析图形，确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了，哪些量没有变，根据线线、线面、面面关系正确作出判断，考查了学生的空间想象力.. 15．【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到；过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角；为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面解析：34【分析】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，根据题中条件，得到AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠，()23tan tan tan 14tan MHN PGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠，令tan 0x MHN =∠>，进而可求出最值.【详解】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，则O 为ABC 的重心，MN ⊥平面ABC ；PO ⊥平面ABC ；由于点M 为棱PA 的中点，所以有AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，因为BC ⊂平面ABC ，所以MN BC ⊥，同理PO BC ⊥；又MN NH N ⋂=，MN ⊂平面MNH ，NH ⊂平面MNH ，所以BC ⊥平面MNH ；因为MH ⊂平面MNH ，所以BC MH ⊥，所以MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；同理BC PG ⊥，所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，所以tan PO PGO OG ∠=，tan MN MHN HN∠=，因为NO OE =，//OG NH ，所以12OG NH =；因此2tan 4tan 12PO MN PGO MHN OG HN ∠===∠，所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHN PGO MHN PGO MHN MHN α∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠，令tan 0x MHN =∠>，则2333tan 1444x x x x α=≤=+，当且仅当214x =，即12x =时，等号成立. 故答案为：34. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于确定二面角MBC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系，由题中条件得出二面角A BC P --是二面角M BC A --的4倍，进而可求得结果.16．【分析】取AB 中点连接根据平行四边形性质可得为等腰梯形ABCD 的外心取SB 中点O 连接则可得O 是四棱锥的外接球球心在中求得r=OA 即可求得体积【详解】取AB 中点连接则所以四边形为平行四边形所以同理所以解析：823π【分析】取AB 中点1O ，连接11,O C O D ，根据平行四边形性质，可得1O 为等腰梯形ABCD 的外心，取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则可得O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，求得r=OA ，即可求得体积. 【详解】取AB 中点1O ，连接11,O C O D ，则1//CD O A ，所以四边形1ADCO 为平行四边形，所以1=1CO ，同理1=1O D ，所以1111=O A O B O C O D ==，即1O 为等腰梯形ABCD 的外心，取SB 中点O ，连接1,,,OA OC OD OO ，则1//OO SA ，因为SA ⊥平面ABCD ，所以1OO ⊥平面ABCD ，又2AB SA ==, 所以=OA OB OC OD ==，又SA AB ⊥，所以OA OS =，即O 是四棱锥S ABCD -的外接球球心，在Rt SAB 中，2AB SA ==，所以122OA SB == 所以34822)33V ππ=⨯=，故答案为：823π. 【点睛】解决外接球的问题时，难点在于找到球心，可求得两个相交平面的外接圆圆心，自圆心做面的垂线，垂线交点即为球心，考查空间想象，数学运算的能力，属中档题.17．【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为解析：20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ，ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ，过O 作的平行线OE 交AD 于 E ，连接OA ，OD ，如图所示，在ABC 中，运用正弦定理求得 ABC的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径，运用球的表面积公式可得答案. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.在ABC中，由正弦定理得2sin BC r BAC ==∠r =. 在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，可得2117963AB AB =+-⋅⋅，得4AB =.所以11sin 34223ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△因为11333D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯=△，所以4AD =.连接1OO ，又1//OO AD ，所以四边形1EAO O 为平行四边形，1128EA OO AD ===，所以R ===所以该三棱锥的外接球的表面积224π4π20πS R ===.故答案为：20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球，及球的表面积计算公式，解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径，属于中档题.18．【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想解析：163π【分析】P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得答案.【详解】PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB ==，1133PO ==，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得23R =21643S R ππ==. 故答案为：163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19．【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故解析：163π【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面，即过球心的截面且球心在PO 上，由等边三角形性质有Rt AO O '△，即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ，进而求外接球的表面积. 【详解】设外接球球心为O '，连接AO '，设外接球的半径为R ，依题意可得1AO =，3PO =，在Rt AO O '△中，有222O A AO O O ''=+，即)22213R R =+，解得3R =，故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=.故答案为：163π. 【点睛】本题考查了求圆锥体的外接球面积，由截面是等边三角形，结合等边三角形的性质求球半径，进而求外接球面积，属于基础题.20．【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心由题意可得外接球的半径进而求出外接球的体积【详解】解：取矩形的对角线的交点解析：323π【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由PAD △为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面PAD ⊥平面ABCD 可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．【详解】解：取矩形的对角线的交点O 和AD 的中点E ，连接OE ，OP ，OE ，则O 为矩形ABCD 的外接圆的圆心，而2DPA π∠=，23AD =，2AB =，PA PD =，则//OE AB ，112OE AB ==， 132PE AD ==，所以E 为PAD △的外接圆的圆心，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以O 为外接球的球心，OP 为外接球的半径，在POE △中，222222(3)14R OP PE OE ==+=+=，所以2R =，所以外接球的体积343233V R ππ==，故答案为：323π．【点睛】本题考查四棱锥的棱长与外接球的半径的关系及球的体积公式，属于中档题．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）105. 【分析】（1）由PA ⊥底面ABCD ，得PA DE ⊥，由Rt ABH Rt DAE ≌△△，得DE AH ⊥，可得答案.（2）由可知DE ⊥平面PAH ，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角，在Rt PDG △中，由sin DPG ∠可得答案. 【详解】（1）因为PA ⊥底面ABCD ，DE ⊂底面ABCD ，所以PA DE ⊥，因为E ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，,,AB DA BH AE HBAEAD ，所以Rt ABH Rt DAE ≌△△，所以BAH ADE ∠=∠，由90AED ADE ∠+∠= 所以90BAH AED ∠+∠=，所以DE AH ⊥，因为PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA AH A ⋂=，所以DE ⊥平面PAH .（2）由（1）可知DE ⊥平面PAH ，设AH DE G ⋂=，如图，连接PG ，则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角，因为2PA AD ==，所以22PD =，5DE =，在Rt DAE 中，由于AG DE ⊥，所以2AD DG DE =⋅，所以45DG =⋅，所以5DG =，所以在Rt PDG △中，105sin 522DG DPG PD ∠===，即直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值为105.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法，对于线面角的求法的步骤,作：作（或找）出斜线在平面上的射影，证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算. 22．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO ，证明11B O DO 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）由题意可得平面11DA C ⊥平面11B D DB ，过点O 作1OH DO ⊥于H ，在矩形11B D DB 中，连接1OO ，可得1O OD OHD ∽△△，由三角形相似，对应边成比例即可求解. 【详解】（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =， 11B O DO ∴是平行四边形.11//B O DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，11A C ∴⊥平面11B D DB .∴平面11DA C ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ，即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1O OD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=， 22236OH ⨯∴==即点O 到平面11DA C 的距离为233. 【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的判定定理，点到面的距离，解题的关键是过点O 作1OH DO ⊥于H ，得出OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离，考查了计算能力.23．（1）证明见解析；（2）23．【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，由中位线定理得//OM PB ，从而得证线面平行；（2）由M 是PD 中点，得12M ACD P ACD V V --=，求出三棱锥P ACD -的体积后可得．【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，则O 是BD 中点，又M 是PD 中点， ∴//OM PB ，又PB ⊄平面ACM ，OM ⊂平面ACM ，所以//PB 平面ACM ；（2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△，又M 是PD 中点，所以1223M ACD P ACD V V --==，所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=．【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论． 24．（1）证明见解析；（2）22. 【分析】（1）利用面面垂直的性质先证明出BC ⊥面PAB ，得到PA BC ⊥，再由PA PB ⊥，结合线面垂直的判定定理可知PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ，然后证得平面PBC ⊥平面PAC ；（2）先计算三棱锥P BCE -的体积，然后再计算PBC 的面积，利用等体积法P BCE E PBC V V --=求解.【详解】解：（1）证明：∵面PAB ⊥面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊂面ABCD BC ∴⊥面PAB ，又PA ⊂面PAB PA BC ∴⊥又因为由已知PA PB ⊥且PB BC B ⋂=，所以PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ∴面PAC ⊥面PBC .(2)PAB △中，PA PB =，取AB 的中点O ，连PO ，则PO AB ⊥ ∵面PAB ⊥面ABCD 且它们交于,AB PO ⊂面PABPO ∴⊥面ABCD由1133BCEEPBC P BCE PBC BCE PBCSPOV V S h S PO h S--=⇒=⇒=，由已知可求得1PO =，1BCES=，2PBCS=，所以22h =. 所以点E 到平面PBC 的距离为22.【点睛】（1）证明面面垂直的核心为证明线面垂直，要证明线面垂直只需郑敏面外的一条弦和面内的两条相交线垂直即可；（2）点到面的距离求解一般采用等体积法求解，也可采用空间向量法求解. 25．（1）证明见解析；（223【分析】（1）先由面面垂直的性质，得到CB ⊥平面ABE ，推出CB AE ⊥，根据题中条件，得到AE BE ⊥，利用线面垂直的判定定理，得到AE ⊥平面BCE ；得出AE BF ⊥，再次利用线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；。

高二数学必修二测试题及答案

高二数学必修二测试题及答案高二数学必修二测试题及答案【一】卷Ⅰ一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.对于常数、，“”是“方程的曲线是双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A.所有不能被2整除的数都是偶数B.所有能被2整除的数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数是偶数D.存在一个能被2整除的数不是偶数3.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为A.B.C.D.4.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.B.C.D.5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为A.B.C.D.6.曲线在点处的切线的斜率为A.B.C.D.7.已知椭圆的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线的焦点坐标为A.B.C.D.8.设是复数,则下列命题中的假命题是A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则9.已知命题“若函数在上是增函数，则”，则下列结论正确的是A.否命题“若函数在上是减函数，则”是真命题B.逆否命题“若，则函数在上不是增函数”是真命题C.逆否命题“若，则函数在上是减函数”是真命题D.逆否命题“若，则函数在上是增函数”是假命题10.马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.设，，曲线在点()处切线的倾斜角的取值范围是，则到曲线对称轴距离的取值范围为A.B.C.D.12.已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为A.2B.3C.4D.5卷Ⅱ二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设复数，那么等于________.14.函数在区间上的值是________.15.已知函数，则=________.16.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于、两点(在轴左侧)，则.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知z是复数，和均为实数(为虚数单位).(Ⅰ)求复数;(Ⅱ)求的模.18.(本小题满分12分)已知集合，集合若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19.(本小题满分12分)设椭圆的方程为点为坐标原点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点,点在线段上且满足，直线的斜率为.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点为椭圆的下顶点,为线段的中点，证明：.20.(本小题满分12分)设函数(其中常数).(Ⅰ)已知函数在处取得极值，求的值;(Ⅱ)已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围.21.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，且椭圆上点到椭圆左焦点距离的最小值为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程.22.(本小题满分12分)已知函数(其中常数).(Ⅰ)讨论函数的单调区间;(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围.参考答案一.选择题CDBACCDABBDB二.填空题三.解答题17.解：(Ⅰ)设，所以为实数，可得，又因为为实数，所以，即.┅┅┅┅┅┅┅5分(Ⅱ)，所以模为┅┅┅┅┅┅┅10分18.解：(1)时，，若是的充分不必要条件，所以，，检验符合题意;┅┅┅┅┅┅┅4分(2)时，，符合题意;┅┅┅┅┅┅┅8分(3)时，，若是的充分不必要条件，所以，，检验不符合题意.综上.┅┅┅┅┅┅┅12分19.解(Ⅰ)已知，，由，可得，┅┅┅┅┅┅┅3分所以，所以椭圆离心率;┅┅┅┅┅┅┅6分(Ⅱ)因为，所以，斜率为，┅┅┅┅┅┅┅9分又斜率为，所以()，所以.┅┅┅┅┅┅┅12分20.解：(Ⅰ)，因为在处取得极值，所以，解得，┅┅┅┅┅┅┅3分此时，时，，为增函数;时，，为减函数;所以在处取得极大值，所以符合题意;┅┅┅┅┅┅┅6分(Ⅱ)，所以对任意都成立，所以，所以.┅┅┅┅┅┅┅12分21.解：(Ⅰ)设左右焦点分别为，椭圆上点满足所以在左顶点时取到最小值，又，解得，所以的方程为.(或者利用设解出得出取到最小值，对于直接说明在左顶点时取到最小值的，酌情扣分);┅┅┅┅┅┅┅4分(Ⅱ)由题显然直线存在斜率，所以设其方程为，┅┅┅┅┅┅┅5分联立其与，得到，，化简得┅┅┅┅┅┅┅8分联立其与，得到，，化简得，┅┅┅┅┅┅┅10分解得或所以直线的方程为或┅┅┅┅┅┅┅12分22.(Ⅰ)，设，该函数恒过点.当时，在增，减;┅┅┅┅┅┅┅2分当时，在增，减;┅┅┅┅┅┅┅4分当时，在增，减;┅┅┅┅┅┅┅6分当时，在增.┅┅┅┅┅┅┅8分(Ⅱ)原函数恒过点，由(Ⅰ)可得时符合题意.┅┅┅┅┅┅┅10分当时，在增，减，所以，不符合题意.┅┅┅┅┅┅┅12分【二】一、选择题1．一个物体的位移s(米)和与时间t(秒)的关系为s?4?2t?t，则该物体在4秒末的瞬时速度是A．12米/秒B．8米/秒C．6米/秒D．8米/秒2．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为为A．21711B．C．D．41212323．给出下列四个命题：（1）若z?C，则z≥0；（2）2i-1虚部是2i；（3）若a?b,则a?i?b?i；(4）若z1,z2，且z1>z2，则z1,z2为实数；其中正确命题的个数为．．．．A.1个B.2个C.3个D.4个4．在复平面内复数(1+bi)(2+i)（i是虚数单位，b是实数）表示的点在第四象限，则b 的取值范围是A.bB.b??11C.?5．下面几种推理中是演绎推理的为．．．．A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；1111,,,的通项公式为an?B．猜想数列(n?N?)；n(n?1)1?22?33?42C．半径为r圆的面积S??r，则单位圆的面积S??；D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2?r2．6．已知f?x2x?1??2a?3a,若f1??8,则f??1??xA．4B．5C．-2D．-337．若函数f?x??lnx?ax在点P?1,b?处的切线与x?3y?2?0垂直,则2a?b等于A．2B．0C．-1D．-28．sinx?cosx?dx的值为A．0B．2?2??C．2D．449．设f?x?是一个多项式函数,在?a,b?上下列说法正确的是A．f?x?的极值点一定是最值点B．f?x?的最值点一定是极值点C．f?x?在?a,b?上可能没有极值点D．f?x?在?a,b?上可能没有最值点10．函数f?x?的定义域为?a,b?，导函数f??x?在?a,b?内的图像如图所示，则函数f?x?在?a,b?内有极小值点A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知a1?1,an?1?an且?an?1?an??2?an?1?an??1?0,计算a2,a3,猜想an等于A．nB．nC．nD．n?3?n12．已知可导函数f(x)(x?R)满足f￠(x)>f(x)，则当a?0时，f(a)和eaf(0)大小关系为A.f(a)eaf(0)C.f(a)=eaf(0)D.f(a)≤eaf(0)232二、填空题13.若复数z=(a-2)+3i(a?R)是纯虚数，则14．f(n)=1+a+i=.1+ai111++鬃?(n?N+)23n经计算的f(2)?357,f(4)?2,f(8)?,f(16)?3,f(32)?，推测当n≥2时，有______.2221(n?N+)，记f(n)?(1?a1)(1?a2)(1?an)，试通过计算(n+1)215．若数列?an?的通项公式an=f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)?________________.16．半径为r的圆的面积s(r)??r2，周长C(r)?2?r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(?r2)'?2?r①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0,+?)上的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．三、解答题：17.抛物线y?x2?1，直线x?2,y?0所围成的图形的面积18.已知a?b?c,求证：114??.a?bb?ca?c2an?2an?219.已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?，且an?0,n?N?.2an（1）求a1,a2,a3;（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明21．设函数f?x??xekx?k?0?（1）求曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程．（2）若函数f?x?在区间??1,1?内单调递增，求k的取值范围．22．已知函数f(x)=alnx+x （a为实常数）．（1）若a=-2，求证：函数f(x)在(1,+?)上是增函数；（2）求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值；22??一、选择题题号答案1C2A3A4A5C6A7D8C9C10Ａ11B12B12.提示：令g(x)=e-xf(x)，则gⅱ(x)=e-x[f(x)-f(x)]>0．所以g(x)在(-?,?)上为增函数，g(a)>g(0)．e-af(a)>e0f(0)，即f(a)>eaf(0)，故选B．二、填空题13．n?24-3in14．f(2)?25n?2111f(n)?(1?2)(1?2)[1?]2n?223(n?1)215．f(n)?111111?(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)223 3n?1n?113243nn?2n?2...???22334n?1n?12n?216．(?R)'?4?R；球的体积函数的导数等于球的表面积函数4332三、解答题17.解由x?1?0，得抛物线与轴的交点坐标是(?1,0)和(1,0)，所求图形分成两块，分别用定积分表示面积2S1??|x2?1|dx，S2??(x2?1)dx.1112故面积S?S1?S2??1?1|x2?1|dx??(x2?1)dx=?(1?x2)dx??(x2?1)dx1?11212x3=(x?)318.证明：∵1?111818x32?(?x)1=1??12?(?1)?.333333a-ca-ca-b+b-ca-b+b-c+=+a-bb-ca-bb-cb-ca-bb-ca-b+≥2+2?a-bb-ca-bb-c4，（a>b>c）=2+∴a-ca-c114.+≥4得+≥a-bb-ca-bb-ca-ca11+-1，所以，a1=-1?2a119.（1）a1=S1=3，又∵an>0，所以a1=3-1.S2=a1?a2?a21??1，所以a2?5?3,2a23S3=a1?a2?a3?（2）猜想an=a31??1所以a3?7?5.2a32n-1．3-1成立．2k-1成立2k+1．2n+1-证明：1o当n=1时，由（1）知a1=2o假设n=k(k?N+)时，ak=2k+1-ak+1=Sk?1?Sk?(ak?1aa111-??1)?(k??1)=k+1+2ak+12ak?12ak2所以ak+1+22k+1ak+1-2=0ak+1=2(k+1)+1-2(k+1)-1所以当n=k+1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n?N+都成立．kxkx￠￠f(x)=e+kxe21．解：（1），f(0)=1，f(0)=0∴y=f(x)在（0,0）处的切线方程为y=x．(x)=ekx+kxekx=(1+kx)ekx=0，得x=-（2）法一f￠若k>0，则当x?(?,当x?(1（k10）k1(x)0，f(x)单调递增．,+?)时，f￠k1若k0，f(x)单调递增.)，f￠k1当x?((x)k故f(x)在区间(-1,1)内单调递增时当k>0时，-k的取值范围是[-1,0)U(0,1]法二∵f(x)在区间(-1,1)内单调递增,(x)≥0在区间(-1,1)上恒成立.∴f￠ekx+kxekx≥0，∵ekx>0，∴1+kx≥0.即1+kx≥0在区间(-1,1)上恒成立.令g(x)=1+kx，4ìg(-1)≥0??∴í解得-1≤k≤1.?g(1)≥0??当k=0时，f(x)=1.故k的取值范围是[-1,0)U(0,1].22．解：（1）当a??2时，f(x)?x2?2lnx，2(x2-1)(x)=>0.x?(1,?)，f￠x故函数f(x)在(1,+?)上是增函数．2x2+a(x)=>0.（2）f￠x当x?[1,e]，2x2+a?[a2,a+2e2].若a≥-2，f￠，(x)在[1,e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f￠(x)=0）故函数f(x)在[1,e]上是增函数.此时，[f(x)]min=f(1)=1．若-2e2 故[f(x)]min=f(-若a≤-2e2，f￠(x)在[1,e]上非正（仅当时a=-2e2，x=e时，f￠(x)=0）故函数f(x)在[1,e]上是减函数，此时[f(x)]min=f(e)=a+e2．综上可知，当a≥-2时，f(x)的最小值为1，相应的x的值为1；当-2e22e2时，f(x)的最小值为a+e2，相应的x值为e．。

数学必修二经典测试题含答案

必修二第二章综合检测题一、选择题1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )A．相交B．平行 C．异面 D．平行或异面2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( ) A．3 B．4 C．5 D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a?α，b?αB．a?α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a?α，b⊥α6．下面四个命题：其中真命题的个数为( )①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.A．4 B．3 C．2 D．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有( )A．①②B．②③C．②④D．①④8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a?α，b?β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC ⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE 与D1F所成角的余弦值为( )A．－45B .35C.34D．－3511．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为( )A.33B.13C．0 D．－1212．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是( )A．90° B．60° C．45° D．30°二、填空题三、13．下列图形可用符号表示为________．14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A118．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．20．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D DC1的值．21．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.22．如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．必修二第二章综合检测题1 D2 C AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．3 C 当直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A 错；当l?α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；当l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4 D 由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.5 B 对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a?α，b∥α，B正确；对于选项C，a ⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a?α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6 D 异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7 D 如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF?平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．8 D选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a∥β或a?β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.9 C如图所示：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β.10、3 511 C 取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A －BC－D的平面角又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C.12 B 将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°.13 α∩β＝AB 14 45°如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.15、9如下图所示，连接AC，BD，则直线AB，CD确定一个平面ACBD.∵α∥β，∴AC ∥BD ，则AS SB ＝CS SD ，∴86＝12SD，解得SD ＝9. 16 ①②④如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ?平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a . 由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连接ME ，NE ，MN .则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，∴NE＝12AC＝12a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．17 (1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F ∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1 ∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1 ∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18(1)如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝PAPB，sin∠BPF＝BFPB，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG＝AB2＋AG2＝25，BF＝AB2BG＝1625＝855.于是PA＝BF＝855.又梯形ABCD的面积为S＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝13×S×PA＝13×16×855＝128515.19[解析] (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3 ∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan∠PME＝PEEM＝33＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°20(1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C所以平面AB1C⊥平面A1BC1 .(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，A1B?平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D DC1＝1.21[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB为正方形∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，又G是EC的中点∴GF∥AC，又AC?平面ABC，GF?平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB?平面ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝22AB，∴CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.(3)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝22AB＝22，∴CH⊥AB，且CH＝12，又平面ABED⊥平面ABC∴GH⊥平面ABCD，∴V＝13×1×12＝16.22[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1∵BC1?平面BCC1B，∴AC⊥BC1.(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(3)解：∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角．在△CED中，ED＝12AC1＝52，CD＝12AB＝52，CE＝12CB1＝22，∴cos∠CED＝252＝225.∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为22 5.。

必修2数学经典练习题(含答案)

（数学2必修）第一章空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A. 3B. 23C. 33D. 433．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A ．3:1B ．3:2C ．2:3D ．3:35．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. 92π B. 72π C. 52π D. 32π6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。

高中数学必修2精选习题(含答案)

高中数学必修2精选习题（含答案）一、选择题：（每小题3分，共30分）1．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2. 下列说法正确的是（）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3. 若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是（）A 、 l ∥αB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有 4. 直线k 10x y -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（） A (0,0)B (0,1)C (3,1)D (2,1)5．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（）A ．9与13B ．7与10C ．10与16D ．10与156．如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5C ．5 2D ．1027．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝08．与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=09. 已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是 ( )俯视图主视图A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12 或k ≤－2D ．－2≤k ≤1210. 在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条二、填空题：（每小题4分，共16分）11若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．12.点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________13. 正四棱锥S ABCD -S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________。

高中数学必修2立体几何考题(附答案)(可编辑修改word版)

14高中数学必修2 立体几何考题13. 如图所示，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 、N 分别是 A 1B 1，B 1C 1 的中点．问：(1) AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；(2) D 1B 和 CC 1 是否是异面直线？说明理由．解析：(1)由于 M 、N 分别是 A 1B 1 和 B 1C 1 的中点，可证明 MN ∥AC ，因此 AM 与 CN 不是异面直线．(2)由空间图形可感知 D 1B 和 CC 1 为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法．探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的．解：(1)不是异面直线．理由如下：∵M 、N 分别是 A 1B 1、B 1C 1 的中点，∴MN ∥A 1C 1.又∵A 1A ∥D 1D ，而 D 1D 綊 C 1C ，∴A 1A 綊 C 1C ，∴四边形 A 1ACC 1 为平行四边形．∴A 1A ∥AC ，得到 MN ∥AC ，∴A 、M 、N 、C 在同一个平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线．(2)是异面直线．理由如下：假设 D 1B 与 CC 1 在同一个平面 CC 1D 1 内，则 B ∈平面 CC 1D 1，C ∈平面 CC 1D 1.∴BC ⊂平面 CC 1D 1，这与在正方体中 BC ⊥平面 CC 1D 1 相矛盾，∴假设不成立，故 D 1B 与 CC 1 是异面直线．14. 如下图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 为 AB 的中点，N 为 BB 1 的中点，O 为面 BCC 1B 1 的中心．(1) 过 O 作一直线与 AN 交于 P ，与 CM 交于 Q (只写作法，不必证明)；(2) 求 PQ 的长(不必证明)．解析：(1)由 ON ∥AD 知，AD 与 ON 确定一个平面 α.又 O 、C 、M 三点确定一个平面 β(如下图所示)．∵三个平面 α，β 和 ABCD 两两相交，有三条交线 OP 、CM 、DA ，其中交线 DA 与交线 CM 不平行且共面．∴DA 与 CM 必相交，记交点为 Q .∴OQ 是 α 与 β 的交线．连结 OQ 与 AN 交于 P ，与 CM 交于 Q ，故 OPQ 即为所作的直线．(2)解三角形 APQ 可得 PQ ＝ . 15. 如图，在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AB ＝BC ＝B 1B ＝a ，∠ABC ＝90°，D 、E分别为BB1、AC1的中点．(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值；(2)证明：DE 为异面直线BB1与AC1的公垂线；(3)求异面直线BB1与AC1的距离．解析：(1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角．又AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，所以A1C1＝2a，tan∠A1AC1＝2，即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为2.(2)证明：解法一：如图，在矩形ACC1A1中，过点E 作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1綊MM1.又D、E 分别是BB1、MM1的中点，可得DE 綊BM.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由条件AB＝BC 得BM⊥AC，所以BM⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE 为异面直线BB1与AC1的公垂线．解法二：如图，延长C1D、CB 交于点F，连结AF，由条件易证D是C1F 的中点，B 是CF 的中点，又E 是AC1的中点，所以DE∥AF.在△ACF 中，由AB＝BC＝BF 知AF⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AF⊥AA1，故AF⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE 为异面直线BB1与AC1的公垂线．(3)由(2)知线段DE 的长就是异面直线BB1与AC1的距离，由于AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，2a.所以DE＝2反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线，两条异面直线的公垂线是惟一的，两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离．证明一直线是某两条异面直线的公垂线，可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直．本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直，而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内，另一条直线与这个平面平行．16.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，M 分别是BD1，AA1的中点．(1)求证：MO 是异面直线AA1和BD1的公垂线；(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值；(3)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1与BD1的距离．解析：(1)证明：∵O 是BD1的中点，∴O 是正方体的中心，∴OA＝OA 1，又M 为AA1的中点，即OM 是线段AA1的垂直平分线，故OM⊥AA1.连结MD1、BM，则可得MB＝MD1.同理由点O 为BD1的中点知MO⊥BD1，即MO 是异面直线AA1和BD1的公垂线．33333 2(2)由于AA1∥BB1，所以∠B1BD1就是异面直线AA1和BD1所成的角．在Rt△BB1D1中，设BB1＝1，则BD1＝3，所以cos∠B1BD1＝，故异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值等于.(3)由(1)知，所求距离即为线段MO 的长，1 a由于OA＝AC1＝a，AM＝，且OM⊥AM，所以OM＝a.2 2 2 213.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F，求证：EF∥ABCD.证明：解法一：分别过E、F 作EM⊥AB 于M，FN⊥BC 于N，连结MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN.又B1E＝C1F，∴EM＝FN，故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF∥MN，又MN 在平面ABCD 中，所以EF∥平面ABCD.解法二：过E 作EG∥AB 交BB1于G，B1E B1G连结GF，则1＝1，B A B B∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，C1F B1G∴1＝1，∴FG∥B1C1∥BC.C B B B又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.14.如下图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.过BD 作与PA 平行的平面，交侧棱PC 于点E，又作DF⊥PB，交PB 于点F.(1)求证：点E 是PC 的中点；(2)求证：PB⊥平面EFD.证明：(1)连结AC，交BD 于O，则O 为AC 的中点，连结EO.∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，∴PA∥OE.∴点E 是PC 的中点；(2)∵PD⊥底面ABCD 且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC，△PDC 是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，∴DE⊥PC，①又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD 是正方形，CD⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC.∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，22AB6 3∴DE⊥PB，又DF⊥PB 且DE∩DF＝D，所以PB⊥平面EFD.15.如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A、B 在l1上，C在l2上，AM＝MB＝MN.(1)求证AC⊥NB；(2)若∠ACB＝60°，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．证明：(1)如图由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1＝M，可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1，AM＝MB＝MN，可知AN＝NB 且AN⊥NB.又AN 为AC 在平面ABN 内的射影，∴AC⊥NB.(2)∵Rt△CNA≌Rt△CNB，∴AC＝BC，又已知∠ACB＝60°，因此△ABC 为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC＝NA＝NB，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心．连结BH，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt△NHB 中，3HB 3ABcos∠NBH＝NB＝＝.16.如图，在四面体ABCD 中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F 分别是AB、BD 的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.命题意图：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．证明：(1)在△ABD 中，∵E、F 分别是AB、BD 的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF✪平面ACD，∴直线EF∥平面ACD. (2)在△ABD 中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD 中，∵CD＝CB，F 为BD 的中点，∴CF⊥BD.∵EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF 与CF 交于点F，∴BD⊥平面EFC.又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.13.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2AB.(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；(2)求二面角B－PC－D 的余弦值．5 6 解析：(1)证明：∵PA ⊥平面 ABCD ，∴PA ⊥BD .∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .∴BD ⊥平面 PAC ，又 BD 在平面 BPD 内，∴平面 PAC ⊥平面 BPD . (2)在平面 BCP 内作 BN ⊥PC ，垂足为 N ，连结 DN ，∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，由 BN ⊥PC 得 DN ⊥PC ；∴∠BND 为二面角 B －PC －D 的平面角，在△BND 中，BN ＝DN ＝ a ，BD ＝ 2a ， 5 5 a 2＋ a 2－2a 2 6 6 ∴cos ∠BND ＝ 5 a 2 31 ＝－ . 5 14. 如图，已知 ABCD －A 1B 1C 1D 1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA 1 上，点 F 在 CC 1 上，G 在 BB 1 上，且 AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是 B 1C 1 的中点．(1) 求证：E 、B 、F 、D 1 四点共面；(2)求证：平面 A 1GH ∥平面 BED 1F .证明：(1)连结 FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG 綊 A 1E ，∴A 1G 綊 BE .∵C 1F 綊 B 1G ，∴四边形 C 1FGB 1 是平行四边形．∴FG 綊 C 1B 1 綊 D 1A 1，∴四边形 A 1GFD 1 是平行四边形．∴A 1G 綊 D 1F ，∴D 1F 綊 EB ，故 E 、B 、F 、D 1 四点共面． 3 (2) ∵H 是 B 1C 1 的中点，∴B 1H ＝ . 2 又 B 1G ＝1，∴ B 1G 3 ＝ . B 1H 2 FC 2 又＝，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， BC 3∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知 A 1G ∥BE ，且 HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ，∴平面 A 1GH ∥平面 BED 1F .15. 在三棱锥 P －ABC 中，PA ⊥面 ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别为 BC 、AC 的中点，设 AB ＝PA ＝2.(1) 求证：平面 PBE ⊥平面 PAC ；(2) 如何在 BC 上找一点 F ，使 AD ∥平面 PEF ，请说明理由；(3) 对于(2)中的点 F ，求三棱锥 B －PEF 的体积．解析：(1)证明：∵PA ⊥面 ABC ，BE ⊂面 ABC ，∴PA ⊥BE .∵△ABC 是正三角形，E 为 AC 的中点，∴BE ⊥AC ，又 PA 与 AC 相交，∴BE ⊥平面 PAC ，∴平面 PBE ⊥平面 PAC .(2) 解：取 DC 的中点 F ，则点 F 即为所求．， 3 3 6 2 2 3 3 3∵E ，F 分别是 AC ，DC 的中点，∴EF ∥AD ，又 AD ✪平面 PEF ，EF ⊂平面 PEF ，∴AD ∥平面 PEF . 1 1 1 3 (3) 解：V B －PEF ＝V P －BEF ＝ S △BEF ·PA ＝ × × × ×2＝ . 3 3 2 2 2 416．(2009·天津，19)如图所示，在五面体 ABCDEF 中，FA ⊥平面 ABCD ，AD ∥BC ∥FE ， 1 AB ⊥AD ，M 为 CE 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝ AD . 2(1) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(2) 求证：平面 AMD ⊥平面 CDE ；(3) 求二面角 A －CD －E 的余弦值．解答：(1)解：由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角)为异面直线 BF与 DE 所成的角．设 P 为 AD 的中点，连结 EP ，PC .因为 FE 綊 AP ，所以 FA綊 EP .同理，A B 綊 PC .又 FA ⊥平面 ABCD ，所以 EP ⊥平面 ABCD .而 PC ，AD都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，E P ⊥AD .由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD .设FA ＝a则 EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝故∠CED ＝60°.2a .所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60°.(2) 证明：因为 DC ＝DE 且 M 为 CE 的中点，所以 DM ⊥CE .连结 MP ，则 MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故 CE ⊥平面 AMD .而 CE ⊂平面 CDE ，所以平面 AMD ⊥平面 CDE .(3) 设 Q 为 CD 的中点，连结 PQ ，EQ .因为 CE ＝DE ，所以 EQ ⊥CD .因为 PC ＝PD ，所以 PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角 A －CD －E 的平面角．由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝ a ，PQ ＝ a . PQ 于是在 Rt △EPQ 中，cos ∠EQP ＝＝ .EQ 3 所以二面角 A －CD －E 的余弦值为 . 13．(2009·重庆)如图所示，四棱锥 P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面 ABCD ，PA 1 1 ＝AD ＝DC ＝ AB ＝1，M 为 PC 的中点，N 点在 AB 上且 AN ＝ NB .2 3(1) 求证：MN ∥平面 PAD ；(2) 求直线 MN 与平面 PCB 所成的角．解析：(1)证明：过点 M 作 ME ∥CD 交 PD 于 E 点，连结 AE . 1 ∵AN ＝ NB ， 3 1 1 ∴AN ＝ AB ＝ DC ＝EM .4 2又 EM ∥DC ∥AB ，∴EM 綊 AN ，∴AEMN 为平行四边形，∴MN ∥AE ，∴MN ∥平面 PAD .(2)解：过 N 点作 NQ ∥AP 交 BP 于点 Q ，NF ⊥CB 于点 F .连结 QF ，过 N 点作 NH ⊥QF 于 H ，连结 MH ，易知 QN ⊥面 ABCD ，∴QN ⊥BC ，而 NF ⊥BC ，∴BC ⊥面 QNF ，∵BC ⊥NH ，而 NH ⊥QF ，∴NH ⊥平面 PBC ，∴∠NMH 为直线 MN 与平面 PCB 所成的角．2 2 6 2 2 10 10 5 2 10 53 3 通过计算可得 MN ＝AE ＝，QN ＝，NF ＝ 2，4 4 QN ·NF ON ·NF ∴NH ＝＝＝，QF QN 2＋NF 2 4 NH 3 ∴sin ∠NMH ＝＝，∴∠NMH ＝60°，MN 2∴直线 MN 与平面 PCB 所成的角为 60°.14．(2009·广西柳州三模)如图所示，已知直平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AD ⊥BD ， AD ＝BD ＝a ，E 是 CC 1 的中点，A 1D ⊥BE .(1) 求证：A 1D ⊥平面 BDE ；(2) 求二面角 B －DE －C 的大小．解析：(1)证明：在直平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，∵AA 1⊥平面 ABCD ，∴AA 1⊥BD .又∵BD ⊥AD ，∴BD ⊥平面 ADD 1A 1，即 BD ⊥A 1D .又∵A 1D ⊥BE 且 BE ∩BD ＝B ，∴A 1D ⊥平面 BDE .(2)解：如图，连 B 1C ，则 B 1C ⊥BE ，易证 Rt △BCE ∽Rt △B 1BC ，CE BC ∴ ＝ 1 ，又∵E 为 CC 1 中点， BC ∴BC 2 B B 1BB 21.BB 1＝＝ 22BC ＝ 2a .取 CD 中点 M ，连结 BM ，则 BM ⊥平面 CC 1D 1C ，作 MN ⊥DE 于 N ，连 NB ，由三垂线定理知：BN ⊥DE ，则∠BNM 是二面角 B －DE －C 的平面角． BD ·BC 在 Rt △BDC 中，BM ＝ DC ＝ a ， Rt △CED 中，易求得 MN ＝ a ， BM Rt △BMN 中，tan ∠BNM ＝＝ 5， MN则二面角 B －DE －C 的大小为 arctan 5.15．如图，已知正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AB 的中点．(1) 求直线 B 1C 与 DE 所成的角的余弦值；(2) 求证：平面 EB 1D ⊥平面 B 1CD ；(3) 求二面角 E －B 1C －D 的余弦值．解析：(1)连结 A 1D ，则由 A 1D ∥B 1C 知，B 1C 与 DE 所成的角即为 A 1D 与 DE 所成的角．连结 A 1E ，由正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为 a ，则 A 1D ＝ ∴cos ∠A 1DEA 1D 2＋DE 2－A 1E 2 2a ，A 1E ＝DE ＝ a ，＝ 2·A 1D ·DE ＝ . 10∴直线 B 1C 与 DE 所成角的余弦值是 5. (2)证明取 B 1C 的中点 F ，B 1D 的中点 G ，连结 BF ，EG ，GF .∵CD ⊥平面 BCC 1B 1，3 3 33 ＝且 BF ⊂平面 BCC 1B 1，∴DC ⊥BF .又∵BF ⊥B 1C ，CD ∩B 1C ＝C ，∴BF ⊥平面 B 1CD . 1 1 又 ∵GF 綊 CD ，BE 綊 CD ，2 2∴GF 綊 BE ，∴四边形 BFGE 是平行四边形，∴BF ∥GE ，∴GE ⊥平面 B 1CD .∵GE ⊂平面 EB 1D ，∴平面 EB 1D ⊥平面 B 1CD .(3)连结 EF .∵CD ⊥B 1C ，GF ∥CD ，∴GF ⊥B 1C .又∵GE ⊥平面 B 1CD ，∴EF ⊥B 1C ，∴∠EFG 是二面角 E －B 1C －D 的平面角．设正方体的棱长为 a ，则在△EFG 中，1 GF ＝ a ，EF ＝ a ，2 2 FG ∴cos ∠EFG ＝EF ＝， 3∴二面角 E －B 1C －D 的余弦值为 3 . 16．(2009·全国Ⅱ，18)如图所示，直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为 AA 1、 B 1C 的中点，DE ⊥平面 BCC 1.(1) 求证：AB ＝AC ；(2) 设二面角 A －BD －C 为 60°，求 B 1C 与平面 BCD 所成的角的大小．解析：(1)证明：取 BC 中点 F ，连结 EF ， 1则 EF 綊 2B 1B ，从而 EF 綊 DA . 连结 AF ，则 ADEF 为平行四边形，从而 AF ∥DE .又 DE ⊥平面 BCC 1，故 AF ⊥平面 BCC 1，从而 AF ⊥BC ，即 AF 为 BC 的垂直平分线，所以 AB ＝AC .(2)解：作 AG ⊥BD ，垂足为 G ，连结 CG .由三垂线定理知 CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面 2 角 A －BD －C 的平面角．由题设知，∠AGC ＝60°.设 AC ＝2，则 AG ＝ .又 AB ＝2，BC ＝2 2，故 AF ＝ 2. 由AB ·AD ＝AG ·BD 得 2AD 2 · 3AD 2＋22，解得 AD ＝ 2，故 AD ＝AF .又 AD ⊥AF ，所以四边形 ADEF 为正方形．因为 BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故 BC ⊥平面 DEF ，因此平面 BCD ⊥平面 DEF . 连结 AE 、DF ，设 AE ∩DF ＝H ，则 EH ⊥DF ，EH ⊥平面 BCD .连结 CH ，则∠ECH 为 B 1C 与平面 BCD 所成的角．4 17 17 16 17 17 6 因 ADEF 为正方形，AD ＝ 2，故 EH ＝1，又 EC 1 B C ＝2，＝ 1 2所以∠ECH ＝30°，即 B 1C 与平面 BCD 所成的角为 30°.13. 在正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，底面边长为2的中点．(1) 求证：平面 B 1EF ⊥平面 BDD 1B 1；(2) 求点 D 1 到平面 B 1EF 的距离 d .2，侧棱长为 4，E 、F 分别为棱 AB 、BC分析：(1)可先证 EF ⊥平面 BDD 1B 1.(2)用几何法或等积法求距离时，可由 B 1D 1∥BD ，将点进行转移：D 1 点到平面 B 1EF 的距离是 B 点到它的距离的 4 倍，先求 B点到平面 B 1EF 的距离即可．解答：(1)证明：E rr o r !⇒EF ⊥平面 BDD 1B 1⇒平面 B 1EF ⊥平面 BDD 1B 1. (2)解：解法一：连结 EF 交 BD 于 G 点．∵B 1D 1＝4BG ，且 B 1D 1∥BG ，∴D 1 点到平面 B 1EF 的距离是 B 点到它的距离的 4倍．利用等积法可求．由题意可知，EF 1 AC ＝2，B G ＝ 17. S △B EF ＝ 2 1 1 EF ·B G 1 2× 17＝ 17，1 ＝2 1 S BE ·BF 1 ＝ × 2 1 △BEF ＝＝ × 2 2∵VB －B 1EF ＝VB 1－BEF ，设 B 到面 B EF 的距离为 h 1 17×h 1 1×4，1 ∴h 1＝ . 1，则 × 3 1＝ × 3 ∴点 D 1 到平面 B 1EF 的距离为 h ＝4h 1＝ . 1 解法二：如图，在正方形 BDD 1B 1 的边 BD 上取一点 G ，使 BG ＝ BD ， 4连结 B 1G ，过点 D 1 作 D 1H ⊥B 1G 于 H ，则 D 1H 即为所求距离． 16 17可求得 D 1H ＝ 17(直接法)． 14. 如图直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱CC 1＝2，∠BAC ＝90°，AB ＝AC＝ 2，M 是棱 BC 的中点，N 是 CC 1 中点．求：(1) 二面角 B 1－AN －M 的大小；(2) C 1 到平面 AMN 的距离．解析：(1)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝ ∴AM ⊥BC ，BC ＝2，AM ＝1.∴AM ⊥平面 BCC 1B 1.∴平面 AMN ⊥平面 BCC 1B 1.2，M 是棱 BC 的中点，作 B 1H ⊥MN 于 H ，HR ⊥AN 于 R ，连结 B 1R ，∴B 1H ⊥平面 AMN .又由三垂线定理知，B 1R ⊥AN .∴∠B 1是二面角 B 1－AN －M 的平面角．由已知得 AN ＝ 3 23，MN ＝ 2，B 1M ＝ 5＝B 1N ，则 B 1H ＝ 2 ， RH HN 又 Rt △AMN ∽Rt △HRN ，＝，∴RH ＝ .AM AN 6 2× 2＝1.7 10 5 ∴B 1R ＝14 RH 3 ，∴cos ∠B 1RH ＝ 1 ＝ . B R 14 7∴二面角 B 1－AN －M 的大小为 arccos 14. (2)∵N 是 CC 1 中点，∴C 1 到平面 AMN 的距离等于 C 到平面 AMN 的距离．设 C 到平面 AMN 的距离为 h ，由 V C －AMN ＝V N －AMC 1 1 1 1 得 × ·MN ·h ＝ × AM ·MC . 3 2 3 2 2∴h ＝ 2. 15．(2009·北京海淀一模)如图所示，四棱锥 P －ABCD 中，PA ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形，且 AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，PA ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝4. (1) 求证：BC ⊥PC ；(2) 求 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值；(3) 求点 A 到平面 PBC 的距离．解析：(1)证明：如图，在直角梯形 ABCD 中，∵AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2，∴∠ADC ＝90°，且 AC ＝2 2.取 AB 的中点 E ，连结 CE ，由题意可知，四边形 ABCD 为正方形，∴AE ＝CE ＝2. 1 1 又∵BE ＝ AB ＝2.∴CE ＝ AB ，2 2∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AC ⊥BC .又∵PA ⊥平面 ABCD ，且 AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影，BC ⊂平面 ABCD ，由三垂线定理得，BC ⊥PC .(2) 由(1)可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面 PAC .PC 是 PB 在平面 PAC 内的射影，∴∠CPB 是 PB 与平面 PAC 所成的角．又 CB ＝2 2，PB 2＝PA 2＋AB 2＝20，PB ＝2 5， BC 10 ∴sin ∠CPB ＝PB ＝ 5，即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 . (3) 由(2)可知，BC ⊥平面 PAC ，BC ⊂平面 PBC ，∴平面 PBC ⊥平面 PAC .过 A 点在平面 PAC 内作 AF ⊥PC 于 F ，∴AF ⊥平面 PBC ，∴AF 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离．在直角三角形 PAC 中， PA ＝2，AC ＝2 2，2 63 2 6 36 PC ＝2 3，∴AF ＝ . 即点 A 到平面 PBC 的距离为 . 16．(2009·吉林长春一模)如图所示，四棱锥 P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面 ABCD ， PA ＝2，∠PDA ＝45°，点 E 、F 分别为棱 AB 、PD 的中点．(1) 求证：AF ∥平面 PCE ；(2) 求二面角 E －PD －C 的大小；(3) 求点 A 到平面 PCE 的距离．解析：(1)证明：如图取 PC 的中点 G ，连结 FG 、EG ，∴FG 为△PCD 的中位线， 1 ∴FG ＝ CD 且 FG ∥CD . 2又∵底面四边形 ABCD 是正方形，E 为棱 AB 的中点， 1 ∴AE ＝ CD 且 AE ∥CD ， 2∴AE ＝FG 且 AE ∥FG .∴四边形 AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG .又 EG ⊂平面 PCE ，AF ✪平面 PCE ，∴AF ∥平面 PCE .(2)解：∵PA ⊥底面 ABCD ，∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD .又 AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面 PAD .又∵AF ⊂平面 PAD ，∴CD ⊥AF .又 PA ＝2，∠PDA ＝45°，∴PA ＝AD ＝2.∵F 是 PD 的中点，∴AF ⊥PD .又∵CD ∩PD ＝D ，∴AF ⊥平面 PCD .∵AF ∥EG ，∴EG ⊥平面 PCD .又 GF ⊥PD ，连结 EF ，则∠GFE 是二面角 E －PD －C 的平面角．在 Rt △EGF 中，EG ＝AF ＝ 2，GF ＝1，GE ∴tan ∠GFE 2.＝＝ GF∴二面角 E －PD －C 的大小为 arctan 2.(3)设 A 到平面 PCE 的距离为 h ， 1 1 1 1 由 V A －PCE ＝V P －ACE ，即 × PC ·EG ·h ＝ PA · AE ·CB ，得 h ＝， 3 2 3 2 3 6∴点 A 到平面 PCE 的距离为 3. 13．(2009·陕西，18)如图所示，在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3， ∠ABC ＝60°.，6 2 6 3 6 3 3 4 3 2 3 M(1) 求证：AB ⊥A 1C ；(2) 求二面角 A －A 1C －B 的大小．解析：(1)证明：∵三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 为直三棱柱，∴AB ⊥AA 1，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ ∴∠BAC ＝90°，即 AB ⊥AC .3，∠ABC ＝60°，由正弦定理得∠ACB ＝30°，∴AB ⊥平面 ACC 1A 1，又 A 1C ⊂平面 ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .(2)解：如图，作 AD ⊥A 1C 交 A 1C 于 D 点，连结 BD ，由三垂线定理知BD ⊥A 1C ，∴∠ADB 为二面角 A －A 1C －B 的平面角． AA 1·AC 3 × 3 在 Rt △AA 1C 中，AD ＝＝＝， A 1C 6 AB 6 在 Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝＝，AD 3 ∴∠ADB ＝arctan ，即二面角 A －A 1C －B 的大小为 arctan . 14．如图，三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的底面是边长为 a 的正三角形，侧面 ABB 1A 1 是菱形且垂直于底面，∠A 1AB ＝60°，M 是 A 1B 1 的中点．(1) 求证：BM ⊥AC ；(2) 求二面角 B －B 1C 1－A 1 的正切值；(3) 求三棱锥 M －A 1CB 的体积．解析：(1)证明：∵ABB 1A 1 是菱形，∠A 1AB ＝60°⇒△A 1B 1B 是正三角形 E rr o r !⇒BM ⊥平面 A 1B 1C 1. E rr o r !⇒BM ⊥AC . E rr o r !⇒BE ⊥B 1C 1，∴∠BEM 为所求二面角的平面角， △A 1B 1C 1 中，ME ＝MB 1·sin60°＝ a ，Rt △BMB 1 中，MB ＝MB 1·tan60°＝ a ， MB ∴tan ∠BEM ＝＝2， E ∴所求二面角的正切值是 2. 1 1 1 1 1 3 1 (3)VM －A 1CB ＝ VB 1－A 1CB ＝ VA －A 1CB ＝ VA 1－ABC ＝ × × a 2· a ＝ a 3. 2 2 2 2 3 4 2 1615．(2009·广东汕头一模)如图所示，已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥ AE AF 平面 BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是 AC 、AD 上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．AC AD(1) 求证：不论 λ 为何值，总有 EF ⊥平面 ABC ； 1 (2) 若 λ＝，求三棱锥 A －BEF 的体积． 2解析：(1)证明：∵AB ⊥平面 BCD ，∴AB ⊥CD .又∵在△BCD 中，∠BCD ＝90°，∴BC ⊥CD .∵又 AB ∩BC ＝B ，6 15 ＝ 3，S 15 ∴CD ⊥平面 ABC .AE AF 又∵在△ACD 中，E 、F 分别是 AC 、AD 上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)， AC AD ∴不论 λ 为何值，都有 EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面 ABC . (2)在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1， ∴BD ＝ 2. 又∵AB ⊥平面 BCD ， ∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD . 又∵在 Rt △ABD 中，∠ADB ＝60°， ∴AB ＝BD ·tan60°＝ 6，由(1)知 EF ⊥平面 ABC ， ∴V A －BEF ＝V F －ABE 1 ＝ S △ABE ·EF 3 1 1 ＝ × S △ABC ·EF 3 2 1 1 1 ＝ × ×1× 6× ＝ . 6 2 2 24 6 故三棱锥 A －BEF 的体积是 24 . 16．在四棱锥 P －ABCD 中，侧面 PDC 是边长为2 的正三角形，且与底面垂直，底面 ABCD 是面积为 2 3的菱形，∠ADC 为菱形的锐角． (1) 求证：PA ⊥CD ； (2) 求二面角 P －AB －D 的大小； (3) 求棱锥 P －ABCD 的侧面积；解析：(1)证明：如图所示，取 CD 的中点 E ，由 PE ⊥CD ，得 PE ⊥平面 ABCD ，连结 AC 、AE . ∵AD ·CD ·sin ∠ADC ＝2 3， AD ＝CD ＝2， 3 ∴sin ∠ADC ＝ 2 ，即∠ADC ＝60°，∴△ADC 为正三角形，∴CD ⊥AE . ∴CD ⊥PA (三垂线定理)． (2) 解：∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PA ，AB ⊥AE ， ∴∠PAE 为二面角 P －AB －D 的平面角．在 Rt △PEA 中，PE ＝AE ，∴∠PAE ＝45°. 即二面角 P －AB －D 的大小为 45°. (3) 分别计算各侧面的面积： ∵PD ＝DA ＝2，PA ＝ 6， 1 ∴cos ∠PDA ＝，sin ∠PDA ＝ . 4 1 1 S AB ·PA ＝ 2· 3＝ 6， △PCD △PAB ＝ 2 ·2· 2 1 S △PAD ＝S △PBC ＝ PD ·DA ·sin ∠PDA ＝ . 2∴S P －ABCD 侧＝ 3＋ 6＋ 15.13. 把地球当作半径为 R 的球，地球上 A 、B 两地都在北纬 45°，A 、B 两点的球面距离 π是 3R ，A 点在东经 20°，求 B 点的位置．解析：如图，求 B 点的位置即求 B 点的经度，设 B 点在东经 α，7 2 7 21 ＝， π∵A 、B 两点的球面距离是 3R . π ∴∠AOB ＝，因此三角形 AOB 是等边三角形，∴AB ＝R ， 3又∵∠AO 1B ＝α－20°(经度差) 2问题转化为在△AO 1B 中借助 AO 1＝BO 1＝AO cos45°＝ 2 R ，求出∠AO 1B ＝90°，则 α＝110°，同理：B 点也可在西经 70°，即 B 点在北纬 45°东经 110° 或西经 70°.14. 在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为 49πcm 2 和 400πcm 2，求球的表面积和体积．解析：如图，两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为 AO 1、BO 2，则 AO 1∥BO 2. 若 O 1、O 2 分别为两截面圆的圆心，则由等腰三角形性质易知 OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2，设球半径为 R ，∵πO 2B 2＝49π，∴O 2B ＝7cm ，同理 O 1A ＝20cm.设 OO 1＝x cm ，则 OO 2＝(x ＋9)cm.在 Rt △OO 1A 中，R 2＝x 2＋202，在 Rt △OO 2B 中，R 2＝(x ＋9)2＋72，∴x 2＋202＝72＋(x ＋9)2，解得 x ＝15cm.∴R ＝25cm ，∴S 球＝2500πcm 2， 4 62500 V 球＝ πR 3＝ πcm 3. 3 3 π15. 设 A 、B 、C 是半径为 1 的球面上的三点，B 、C 两点间的球面距离为3，点 A 与 B 、C π两点间的球面距离均为2，O 为球心，求： (1) ∠AOB 、∠BOC 的大小； (2)球心 O 到截面 ABC 的距离． π 解析：(1)如图，因为球 O 的半径为 1，B 、C 两点间的球面距离为3， π π点 A 与 B 、C 两点间的球面距离均为2，所以∠BOC ＝3，∠AOB ＝∠AOC ＝ π ， 2 3 (2) 因为 BC ＝1，AC ＝AB ＝ 2，所以由余弦定理得 cos ∠BAC sin ∠BAC ＝，设 4 4 截面圆的圆心为 O 1，连结 AO 1，则截面圆的半径 r ＝AO 1，由正弦定理得 r ＝ BC ＝，所以 OO 1＝ OA 2－r 2＝ .2sin ∠BAC 7 716. 如图四棱锥 A －BCDE 中，AD ⊥底面 BCDE ，AC ⊥BC ，AE ⊥BE .(1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点共球；(2) 若∠CBE ＝90°，CE ＝ 3，AD ＝1，求 B 、D 两点的球面距离．解析：(1)证明：取 AB 的中点 P ，连结 PE ，PC ，PD ，由题设条件知△AEB 、△ADB 、△ABC 都是直角三角形． 1 故 PE ＝PD ＝PC ＝ AB ＝PA ＝PB . 2所以 A 、B 、C 、D 、E 五点在同一球面上．(2)解：由题意知四边形 BCDE 为矩形，所以 BD ＝CE ＝ 3，在 Rt △ADB 中，AB ＝2，AD ＝1， 2 ∴∠DPB ＝120°，D 、B 的球面距离为 π. 32 2 15 5 63 5 17．(本小题满分 10 分)如图，四棱锥 S —ABCD 的底面是正方形，SA ⊥底面 ABCD ，E 是 SC 上一点．(1) 求证：平面 EBD ⊥平面 SAC ；(2) 假设 SA ＝4，AB ＝2，求点 A 到平面 SBD 的距离；解析：(1)∵正方形 ABCD ，∴BD ⊥AC ，又∵SA ⊥平面 ABCD ，∴SA ⊥BD ，则 BD ⊥平面 SAC ，又 BD ⊂平面 BED ，∴平面 BED ⊥平面 SAC .(2)设AC ∩BD ＝O ，由三垂线定理得BD ⊥SO .AO 1 1 AC 2AB 1 · 2·2＝ 2，SA ＝4，＝＝＝ 2 2 2 则 SO ＝ SA 2＋AO 2＝ 16＋2＝3 2，S 1 BD ·SO 1 ·2 2·3 2＝6.设 A 到面 BSD 的距 △BSD ＝＝ 2 2 1 1 4 离为 h ，则 V S －ABD ＝V A －BSD ，即 3S △ABD ·SA ＝ S △BSD ·h ，解得 h ＝，即点 A 到平面 SBD 的距 3 3 4 离为 . 318．(本小题满分 12 分)如图，正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AA 1＝2AB ＝4，点 E 在 C 1C 上且 C 1E ＝3EC . (1)证明 A 1C ⊥平面 BED ；(2)求二面角 A 1－DE －B 的大小．解析：依题设知 AB ＝2，CE ＝1，(1) 证明：连结 AC 交 BD 于点 F ，则 BD ⊥AC .由三垂线定理知，BD ⊥A 1C .在平面 A 1CA 内，连结 EF 交 A 1C 于点 G ， AA 1 AC由于FC ＝CE＝2 ，故 Rt △A 1AC ∽Rt △FCE ，∠AA 1C ＝∠CFE ，∠CFE 与∠FCA 1 互余．于是 A 1C ⊥EF .A 1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD 、EF 都垂直．所以 A 1C ⊥平面 BED .(2) 作 GH ⊥DE ，垂足为 H ，连结 A 1H .由三垂线定理知 A 1H ⊥DE ，故∠A 1HG 是二面角 A 1－DE －B 的平面角．EF ＝ CF 2＋CE 2＝ 3， CE × CF2 CG ＝ EF ＝3 . 3EG ＝ CE 2－CG 2＝ 3 . EG 1 1 EF × FD ＝，GH ＝ × ＝ .EF 3 3 DE 又 A 1C ＝ AA 21＋AC 2＝2 A 1G6，A 1G ＝A 1C －CG ＝， tan ∠A 1HG ＝ HG＝5 . 所以二面角 A 1－DE －B 的大小为 arctan5 5.19．(本小题满分12 分)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°， AB ＝BC ＝SB ＝SC ＝2CD ＝2，侧面 SBC ⊥底面 ABCD .3 3 3 2 3 2＝ (1) 由 SA 的中点 E 作底面的垂线 EH ，试确定垂足 H 的位置；(2) 求二面角 E －BC －A 的大小．解析：(1)作 SO ⊥BC 于 O ，则 SO ⊂平面 SBC ，又面 SBC ⊥底面 ABCD ，面 SBC ∩面 ABCD ＝BC ， ∴SO ⊥底面 ABCD ① 又 SO ⊂平面 SAO ，∴面 SAO ⊥底面 ABCD ，作 EH ⊥AO ，∴EH ⊥底面 ABCD ② 即 H 为垂足，由①②知，EH ∥SO ，又 E 为 SA 的中点，∴H 是 AO 的中点． (2)过 H 作 HF ⊥BC 于 F ，连结 EF ，由(1)知 EH ⊥平面 ABCD ，∴EH ⊥BC ，又 EH ∩HF ＝H ，∴BC ⊥平面 EFH ，∴BC ⊥EF ， ∴∠HFE 为面 EBC 和底面 ABCD 所成二面角的平面角．在等边三角形 SBC 中，∵SO ⊥BC ， ∴O 为 BC 中点，又 BC ＝2. ∴SO ＝ 22－12＝ 3，EH 1SO ＝， 1 又 HF ＝ AB ＝1， 2 2 2 3EH 2 ∴在 Rt △EHF 中，tan ∠HFE ＝＝＝，HF 1 2 ∴∠HFE ＝arctan . 即二面角 E －BC －A 的大小为 arctan. 20．(本小题满分 12 分)(2010·唐山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝1，AA 1＝2，N 是 A 1D 的中点，M ∈BB 1，异面直线 MN 与 A 1A 所成的角为 90°. (1) 求证：点 M 是 BB 1 的中点；(2) 求直线 MN 与平面 ADD 1A 1 所成角的大小；(3) 求二面角 A －MN －A 1 的大小．解析：(1)取 AA 1 的中点 P ，连结 PM ，PN .∵N 是 A 1D 的中点，∴AA 1⊥PN ，又∵AA 1⊥MN ，MN ∩PN ＝N ，∴AA 1⊥面 PMN .∵PM ⊂面 PMN ，∴AA 1⊥PM ，∴PM ∥AB ，∴点 M 是 BB 1 的中点．305 2 2 2 2(2) 由(1)知∠PNM 即为 MN 与平面 ADD 1A 1 所成的角．1 在 Rt △PMN 中，易知 PM ＝1，PN ＝，2 PM∴tan ∠PNM ＝PN ＝2，∠PNM ＝arctan2. 故 MN 与平面 ADD 1A 1 所成的角为 arctan2.(3) ∵N 是 A 1D 的中点，M 是 BB 1 的中点，∴A 1N ＝AN ，A 1M ＝AM ，又 MN 为公共边，∴△A 1MN ≌△AMN .在△AMN 中，作 AG ⊥MN 交 MN 于 G ，连结 A 1G ，则∠A 1GA 即为二面角 A －MN －A 1 的平面角．在△A 1GA 中，AA 1＝2，A 1G ＝GA ＝， A 1G 2＋GA 2－AA 12 2 2 ∴cos ∠A 1GA ＝ 2A 1G ·GA ＝－，∴∠A 1GA ＝arccos(－ )， 3 3 2 故二面角 A －MN －A 1 的大小为 arccos(－ )． 321．(2009·安徽，18)(本小题满分 12 分)如图所示，四棱锥 F －ABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线 AC ＝2，BD ＝ 2.AE 、CF 都与平面 ABCD 垂直，AE ＝1，CF ＝2. (1) 求二面角 B －AF －D 的大小；(2) 求四棱锥 E －ABCD 与四棱锥 F －ABCD 公共部分的体积．命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．解答：(1)解：连接 AC 、BD 交于菱形的中心 O ，过 O 作 OG ⊥AF ，G 为垂足，连接 BG 、DG . 由 BD ⊥AC ，BD ⊥CF 得 BD ⊥平面 ACF ，故 BD ⊥AF .于是 AF ⊥平面 BGD ，所以 BG ⊥AF ，DG ⊥AF ，∠BGD 为二面角 B －AF －D 的平面角．π 由 FC ⊥AC ，FC ＝AC ＝2，得∠FAC ＝，OG ＝ . 4 2 π 由 OB ⊥OG ，OB ＝OD ＝，得∠BGD ＝2∠BGO ＝ . (2)解：连接 EB 、EC 、ED ，设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H ，则四棱锥 E －ABCD 与四棱锥 F －ABCD 的公共部分为四棱锥 H －ABCD .3 2 3 2 过 H 作 HP ⊥平面 ABCD ，P 为垂足．因为 EA ⊥平面 ABCD ，FC ⊥平面 ABCD ，所以平面 ACEF ⊥平面 ABCD ，从而 P ∈AC ，HP ⊥AC . HP HP AP PC 2 由＋＝＋＝1，得 HP ＝ . CF AE AC AC 3 又因为 S 1 菱形ABCD ＝ AC ·BD ＝ 2， 2 1 2 2 故四棱锥 H －ABCD 的体积 V ＝ S 菱形ABCD ·HP ＝ .3 922．(2009·深圳调考一)(本小题满分 12 分)如图所示，AB 为圆 O 的直径，点 E 、F 在圆 O 上，AB ∥EF ，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在的平面互相垂直．已知 AB ＝2，EF ＝1.(1) 求证：平面 DAF ⊥平面 CBF ；(2) 求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小；(3) 当 AD 的长为何值时，二面角 D －FE －B 的大小为 60°？解析：(1)证明：∵平面 ABCD ⊥平面 ABEF ，CB ⊥AB ，平面 ABCD ∩平面 ABEF ＝AB ，∴CB ⊥平面 ABEF .∵AF ⊂平面 ABEF ，∴AF ⊥CB ，又∵AB 为圆 O 的直径，∴AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面 CBF .∵AF ⊂平面 DAF ，∴平面 DAF ⊥平面 CBF .(2)解：根据(1)的证明，有 AF ⊥平面 CBF ，∴FB 为 AB 在平面 CBF 上的射影，因此，∠ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角．∵AB ∥EF ，∴四边形 ABEF 为等腰梯形，过点 F 作 FH ⊥AB ，交 AB 于 H .AB ＝2，EF ＝1，则 AH ＝ AB －EF 1 ＝ . 2 2在 Rt △AFB 中，根据射影定理 AF 2＝AH ·AB ，得 AF ＝1， AF 1 sin ∠ABF ＝＝，∴∠ABF ＝30°， AB 2∴直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30°.(3)解：过点 A 作 AM ⊥EF ，交 EF 的延长线于点 M ，连结 DM .根据(1)的证明，DA ⊥平面 ABEF ，则 DM ⊥EF ，∴∠DMA 为二面角 D －FE －B 的平面角，∠DMA ＝60°. 1 在 Rt △AFH 中，∵AH ＝，AF ＝1， 2 ∴FH ＝ .又∵四边形 AMFH 为矩形，∴MA ＝FH ＝ . 3 ∵AD ＝MA ·tan ∠DMA ＝ 2 · 3＝3 2 .3因此，当AD 的长为时，二面角D－FE－B 的大小为60°.2。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(54)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是( )A．各月的利润保持不变B．各月的利润随营业收入的增加而增加C．各月的利润随成本支出的增加而增加D．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系2.设i是虚数单位，如果复数(a+1)+(−a+7)i(a∈R)的实部与虚部相等，那么实数a的值为( )A．4B．3C．2D．13.关于频率分布直方图中小长方形的高的说法，正确的是( )A．表示该组上的个体在样本中出现的频率B．表示取某数的频率C．表示该组上的个体数与组距的比值D．表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(2700,3000)内的频率为( )A．0.001B．0.1C．0.2D．0.35. 如果一组数据“x 1，x 2，x 3，x 4，x 5”的平均数是 2，方差是 13，那么另一组数据“3x 1−2，3x 2−2，3x 3−2，3x 4−2，3x 5−2”的平均数和方差分别为 ( ) A ． 2，13B ． 2，1C ． 4，23D ． 4，36. 在 △ABC 中，∠BAC =π2，AB =AC =2，P 为 △ABC 所在平面上任意一点，则 PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的最小值为 ( ) A ． 1B ． −12C ． −1D ． −27. 已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l ，若直线 m ，n 满足 m ∥α，n ⊥β，则 ( ) A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n8. 复数 i (2−i )= ( ) A ． 1+2iB ． 1−2iC ． −1+2iD ． −1−2i9. 若复数 z 满足 z (1+i )=2i ，其中 i 为虚数单位，则 z = ( ) A ． 1−iB ． 1+iC ． −1+iD ． −1−i10. 在 △ABC 中，B =30∘，AB =2√3，AC =2，则 △ABC 的面积是 ( )A ． √3B ． 2√3C ． √3 或 2√3D ． 2√3 或 4√3二、填空题（共6题） 11. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一．( )12. 根据党中央关于“精准脱贫”的要求，某市农业经济部门派甲、乙、丙 3 位专家对 A ，B 两个区进行调研，每个区至少派 1 位专家，则甲、乙两位专家均派遣至 A 区的概率为．13. 已知向量 a =(2,1)，b ⃗ =(−1,x )，若 (a +b ⃗ )∥(a −b ⃗ )，则实数 x 的值为．14. 半径为 3 的球体表面积为．15. 平面与平面垂直的性质定理：文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面．符号语言：α⊥β，α∩β=l，，⇒a⊥β．图形语言：16.若复数z=2+i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应点的坐标为．1−2i三、解答题（共6题）17.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：(1) 球的表面积等于圆柱的侧面积；．(2) 球的表面积等于圆柱全面积的2318.在静水中划船的速度的大小是每分钟40m，水流速度的大小是每分钟20m，如果一小船从岸边某处出发，沿着垂直于水流的方向到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2−a2=2bcsin(B+C)．(1) 求角A的大小；，求△ABC的面积．(2) 若a=2，B=π320.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？21.在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区．这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天然气表显示的读数，如下表（注：天然气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天然气的数量）：日期15日16日17日18日19日20日21日22日小强的天然气表显示读数(单位:m3)220229241249259270279290妈妈11月15日买了一张面值600元的天然气使用卡，已知每立方米天然气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗？为什么？22.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．(1) 结合平均数和方差分析谁更优秀；(2) 结合平均数和中位数分析谁的成绩好些；(3) 结合平均数和命中9环及以上的次数分析谁的成绩好些；(4) 从折线图上两人射击命中环数的走势分析谁更有潜力．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】频率分布直方图2. 【答案】B【解析】由题意得 a +1=−a +7，则 a =3．故选B ．【知识点】复数的乘除运算3. 【答案】D【解析】频率分布直方图中小长方形的高是频率组距，面积表示频率．【知识点】频率分布直方图4. 【答案】D【知识点】频率分布直方图5. 【答案】D【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】如图，以直线 AB ，AC 分别为 x ，y 轴建立平面直角坐标系，则 A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，设 P (x,y )，则 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y )，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,2−y )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2x,2−2y )，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−x (2−2x )−y (2−2y )=2x 2−2x +2y 2−2y =2(x −12)2+2(y −12)2−1,当 x =12，y =12 时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 取得最小值，为 −1．故选C ．【知识点】平面向量数量积的坐标运算7. 【答案】C【解析】由题意知α∩β=l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l．【知识点】直线与直线的位置关系、点、线、面的位置关系8. 【答案】A【解析】i(2−i)=1+2i．【知识点】复数的乘除运算9. 【答案】B【解析】因为复数z满足z(1+i)=2i，所以z=2i1+i=1+i．【知识点】复数的乘除运算10. 【答案】C【解析】由AB=2√3，AC=2，B=30∘及正弦定理ACsinB =ABsinC得sinC=ABsinBAC=2√3×122=√32．由C为三角形的内角可知C=60∘或120∘．因此A=90∘或30∘．在△ABC中，由AB=2√3，AC=2，A=90∘或30∘，得面积S=12AC⋅AB⋅sinA=2√3或√3．【知识点】正弦定理二、填空题（共6题）11. 【答案】×【知识点】余弦定理12. 【答案】16【解析】该试验所有的样本点为(甲,乙丙)，(乙,甲丙)，(丙,甲乙)，(甲乙,丙)，(甲丙,乙)，(乙丙,甲)（其中每个样本点表示的都是“派往A区调研的专家、派往B区调研的专家”），共6个，其中甲、乙两位专家均被派遣至 A 区的样本点有 1 个，因此，所求事件的概率为 16．【知识点】古典概型13. 【答案】 −12【解析】因为 a =(2,1)，b⃗ =(−1,x )，所以 a +b ⃗ =(1,x +1)，a −b ⃗ =(3,1−x )，又 (a +b ⃗ )∥(a −b⃗ )，所以 1−x −3(x +1)=0，解得 x =−12．【知识点】平面向量数乘的坐标运算14. 【答案】 36π【知识点】球的表面积与体积15. 【答案】交线；垂直； a ⊂α ； a ⊥l【知识点】平面与平面垂直关系的性质16. 【答案】 (0,1)【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 略． (2) 略．【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积18. 【答案】如图所示，设向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形 OACB ，连接 OC ．依题意得 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=20，∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=40，所以 ∠BOC =30∘．故船应向上游且与河岸夹角为 60∘ 的方向行进．【知识点】平面向量的实际应用问题19. 【答案】(1) 因为 A +B +C =π，所以 sin (B +C )=sinA ，所以 b 2+c 2−a 2=2bcsinA ，所以b 2+c 2−a 22bc=sinA ，由余弦定理得 cosA =sinA ，可得 tanA =1，又因为 A ∈(0,π)，所以 A =π4．(2) 根据正弦定理得 b =a sinA ⋅sinB =√6，又 sinC =sin (A +B )=sin (π4+π3)=√6+√24，所以S △ABC =12absinC =12⋅2⋅√6⋅√6+√24=3+√32.【知识点】余弦定理、正弦定理20. 【答案】①平面 α 内两条相交直线 a ，b ，即 a ⊂α，b ⊂α，a ∩b =P ．②两条相交直线 a ，b 都与 β 平行，即 a ∥β，b ∥β．【知识点】平面与平面平行关系的判定21. 【答案】 300×1.70<600，够用．【知识点】样本数据的数字特征22. 【答案】(1) 根据题意作出统计表：平均数方差中位数命中9环及以上次数甲7 1.271乙75.47.53因为平均数相同，且 s 甲2<s 乙2，所以甲的成绩比乙稳定，甲更优秀．(2) 因为平均数相同，甲的中位数 < 乙的中位数，所以乙的成绩比甲好．(3) 因为平均数相同，且乙命中 9 环及以上的次数比甲多，所以乙的成绩比甲好．(4) 因为甲的成绩在平均线附近波动，而乙的成绩整体处于上升趋势，从第 4 次开始射靶的环数没有比甲少的情况发生，所以乙更有潜力．【知识点】样本数据的数字特征。

(完整版)高中数学必修2直线与方程练习题及答案详解(最新整理)

这样的直线有 3 条： y 2x ， x y 3 0 ，或 x y 1 0 。
4. 解：设直线为 y 4 k(x 5), 交 x 轴于点 ( 4 5, 0) ，交 y 轴于点 (0,5k 4) ， k
S 1 4 5 5k 4 5, 40 16 25k 10
2k
2. l2 : y 2x 3,l3 : y 2x 3,l4 : x 2 y 3, 3. 2x y 5 0 k ' 1 0 1 , k 2, y (1) 2(x 2)
20 2 4. 8 x2 y2 可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：
是
．
5．当 0 k 1 时，两条直线 kx y k 1、 ky x 2k 的交点在
象
2
限．
三、解答题
1．经过点 M (3, 5) 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？
2．求经过点 P(1, 2) 的直线，且使 A(2, 3) ， B(0, 5) 到它的距离相等的直线方程
3．已知点 A(1,1) ， B(2, 2) ，点 P 在直线 y 1 x 上，求 PA 2 PB 2 取得 2
A． 2x y 1 0 B． 2x y 5 0
C． x 2 y 5 0 D． x 2 y 7 0
3．已知过点 A(2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2x y 1 0 平行，
则 m 的值为（）
A． 0
B． 8
C． 2
D．10
4．已知 ab 0,bc 0 ，则直线 ax by c 通过（）
k 2，
2
y 3 2(x 2), 4x 2 y 5 0 2
2.A
k AB

2024-2025年北师大版数学必修第二册全书综合测评卷(带答案)

全书综合测评卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．关于向量a ，b ，下列命题中，正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若a ＝－b ，则a ∥bC ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．若|a |>|b |，则a >b2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝1＋2i ，z 2＝2－i ，则( ) A ．z 1的共轭复数为－1＋2i B ．z 1的虚部是2i C ．z 1＋z 2为实数 D ．z 1z 2＝4＋3i3．三个数sin 1.5·sin 2·sin 3.1，cos 4.1·cos 5·cos 6，tan 7·tan 8·tan 9中，值为负数的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知函数f (x )＝cos (ωx ＋2π3 )(ω>0)的最小正周期为4π，则下面结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递增B ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递减C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝2π3 对称D ．函数f (x )的图象关于点(2π3 ，0)对称5.宜昌奥林匹克体育中心为了迎接湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形ABCD 区域设计灯带．已知灯带AB ＝CD ＝10米，BC ＝20米，AD ＝102 米，且∠A ＋∠C ＝3π4，则cos ∠BCD ＝( ) A ．35 B ．0 C ．45 D ．2106．已知△ABC 中，3AB → ＋AC → －6AD →＝0，延长BD 交AC 于E ，则AE AC＝( )A ．23B ．12C ．13D ．14 7.如图，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，且CC 1⊥底面ABC ，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角为( )A ．90° B．45° C ．30° D．60°8．当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( ) A ．1 B ．±1 C．3 D ．－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．设z 1，z 2为复数，则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果z 1－z 2>0，那么z 1>z 2B ．如果|z 1|＝|z 2|，那么z 1z － 1＝z 2z －2 C ．如果⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2 >1，那么|z 1|>|z 2|D ．如果z 21 ＋z 22 ＝0，那么z 1＝z 2＝010．已知函数f (x )＝cos (sin x )，g (x )＝sin (cos x )，则下列说法不正确的是( ) A ．f (x )与g (x )的定义域都是[－1，1] B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )的值域为[cos 1，1]，g (x )的值域为[－sin 1，sin 1]D ．f (x )与g (x )都不是周期函数11．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3.给出下列结论，其中不正确的是( )A ．最小正周期为πB ．对称轴为直线x ＝k π(k ∈Z )C ．对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k2π＋π4，0D ．最大值为312.如图，已知四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22 ，A 1B 1＝2 ，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A.该四棱台的高为3 B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．复数z ＝(m 2＋4m ＋3)＋(m ＋3)i ，m ∈R 为纯虚数，则m ＝________．14．已知tan α，tan β是方程2x 2＋3x －5＝0的两个实数根，则tan (α＋β)＝________．15．已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0)满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2，f (π)＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3 上单调，则ω的最大值为________．16．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a －3 c )sin A ＝b sin B －c sin C ，若△ABC 外接圆面积为π，则△ABC 面积的最大值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知复数z ＝m 2－5m ＋6＋(2m 2－3m －2)i ，m ∈R .若z 为纯虚数，求m 的值；(2)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z 满足z ·z －＋i z ＝15＋3i ，求a ，b 的值． 18.(本小题满分12分)函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间[0，m ]有5个零点，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E 是AB的中点．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)在棱DD1上是否存在一点P，使得AP∥平面D1EC，若存在，求DPDD1，若不存在，说明理由；(3)求D到平面D1EC的距离．20．(本小题满分12分)在①2cos2B＋cos2B＝0，②b cos A＋a cos B＝3＋1这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并解决相应问题．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝6，________，求△ABC的面积S的大小．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(本小题满分12分)矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，P 为线段DC 的中点，将△ADP 沿AP 折起，使得平面ADP ⊥平面ABCP .(1)在DC 上是否存在点E 使得AD ∥平面PBE ？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由；(2)求二面角P AD B 的余弦值． 22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1，cos ωx )，n ＝(sin ωx ，3 )(ω>0)，函数f (x )＝m ·n ，且f (x )图象上的一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2 ，与P 最近的一个最低点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－2 .(1)求函数f (x )的解析式；(2)设a 为常数，判断方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的解的个数；(3)在锐角△ABC 中，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝1，求f (A )的取值范围．全书综合测评卷1．答案：B解析：向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同，故A 错误；若a ＝－b ，得a ，b 方向相反，则a ∥b ，故B 正确；当b ＝0，a 与c 不一定平行，故C 错误；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D 错误．故选B.2．答案：D解析：z 1＝1＋2i ，z －1＝1－2i ，故A 错误；z 1的虚部是2，故B 错误；z 1＋z 2＝3＋i为虚数，故C 错误；z 1·z 2＝(1＋2i)(2－i)＝2－i ＋4i －2i 2＝4＋3i ，故D 正确．故选D.3．答案：B解析：0<1.5<π，0<2<π，0<3.1<π，∴sin 1.5·sin 2·sin 3.1>0；π<4.1<3π2，cos 4.1<0，3π2 <5<2π，3π2 <6<2π，cos 5>0，cos 6>0，∴cos 4.1·cos 5·cos 6<0；2π<7<5π2 ，5π2 <8<3π，5π2<9<3π，∴tan 7>0，tan 8<0，tan 9<0，tan 7·tan 8·tan9>0；只有一个负数．故选B.4．答案：C解析：由题意知：2πω ＝4π⇒ω＝12 ，∴f (x )＝cos (12 x ＋2π3)A ，B 选项，当x ∈(0，π)时，12 x ＋2π3 ∈(2π3 ，7π6 )，当12 x ＋2π3 ∈(2π3，π)时，f (x )单调递减，12 x ＋2π3 ∈(π，7π6 )时，f (x )单调递增．因此，A 和B 都错误；C 选项，x ＝2π3 时，12 x ＋2π3 ＝π；x ＝π是cos x 的对称轴，则x ＝2π3是f (x )的对称轴．因此，C 正确；D 选项，由C 可知，x ＝2π3是对称轴的位置，则必不是对称中心，D 错误．故选C.5．答案：A 解析：如图，连接BD .在△ABD 中，由余弦定理有：BD 2＝BA 2＋AD 2－2BA ×AD ×cos A ＝300－2002 cos A ①，在△CBD 中，由余弦定理有：BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos C ＝500－400cos C ②，由①②得：－2 cos A ＝1－2cos C ，又∠A ＋∠C ＝3π4 ，∴－2 cos (3π4－C )＝1－2cos C ，∴－sin C ＝1－3cos C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1.∴(3cos C －1)2＋cos 2C ＝1，∴cos C ＝0或cos C ＝35，∵C ∈(0，3π4)，∴sin C >0，若cos C ＝0，则sin C ＝－1(舍)，∴cos C ＝35.故选A.6．答案：C解析：依题意，设AE → ＝λAC → ，BE → ＝μBD → ，则AE → ＝λAC → ＝λ(－3AB → ＋6AD →)＝－3λAB → ＋6λAD → .又AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋μBD → ＝AB → ＋μ·(AD → －AB → )＝(1－μ)AB → ＋μAD → ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝1－μ，6λ＝μ，两式相加得λ＝13 ，即AE →＝13 AC → ，所以AE AC ＝|AE →||AC →|＝13 .故选C.7．答案：A 解析：设棱长为a ，将三棱柱ABC A 1B 1C 1补成正三棱柱A 1B 1C 1 A 2B 2C 2(如图)，使AA 1＝AA 2.平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2(或其补角)即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，A 2B ＝2a ，BM ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22 ＝52 a ，A 2M ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 22 ＝132 a ，∴A 2B 2＋BM 2＝A 2M 2，∴∠MBA 2＝90°.故选A.8．答案：A解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝34 (sin 2x ＋cos 2x )＋14 sin x cosx ＋34sin x cos x ＝34 ＋12 sin 2x .当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24 ，此时2x ＝2k π＋π2 (k ∈Z )，即x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.故选A.9．答案：BC解析：取z 1＝3＋i ，z 2＝1＋i 时，z 1－z 2＝2>0，但虚数不能比较大小，故A 项错误；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2.又z 1z － 1＝|z 1|2，z 2z － 2＝|z 2|2，所以z 1z － 1＝z 2z － 2，故B 项正确；因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2 ＝|z 1||z 2|>1，所以|z 1|>|z 2|，故C 项正确；取z 1＝1，z 2＝i ，满足z 21 ＋z 22＝0，但是z 1≠z 2≠0，故D 项错误．故选BC.10．答案：ABD解析：f (x )与g (x )的定义域是R ，故A 错误；f (－x )＝cos (sin (－x ))＝cos (sin x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，故B 错误；∵－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，∴f (x )的值域为[cos 1，1]，g (x )的值域为[－sin 1，sin 1]，故C 正确；f (x ＋2π)＝cos (sin (x ＋2π))＝cos (sin x )＝f (x )，则f (x )是周期函数，故D 错误．故选ABD.11．答案：BCD解析：因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3＝12 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3＝12 sin⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＋3＝－12 cos2x ＋3，所以f (x )的最小正周期T ＝π，图象的对称轴为直线x ＝k 2 π，k ∈Z ，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k 2π，3 ，k ∈Z ，最大值为3＋12 ＝72 ，故只有A 正确．故选BCD.12．答案：AD 解析：给四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1补上一个小四棱锥S A 1B 1C 1D 1即可得到四棱锥S ABCD ，如图．连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接AC ，BD 交于点O ，连接SO .由AB ＝22 ，A 1B 1＝2 ，可知△SA 1B 1与△SAB 的相似比为1∶2，则SA ＝2AA 1＝4.由题意可得AO ＝2，则SO ＝23 ，则OO 1＝3 ，故该四棱台的高为3 ，A 正确；因为SA ＝SC ＝AC ＝4，所以AA 1与CC 1的夹角为60°，B 错误；由题意可得该四棱台侧面的高为22－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝142 ，则四棱台的表面积S ＝S上底＋S下底＋S 侧＝2＋8＋4×2＋222 ×142＝10＋67 ，C 错误；因为四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1的上、下底面都是正方形，所以其外接球的球心在OO 1上．连接OB 1，在平面B 1BOO 1中，由OO 1＝3 ，B 1O 1＝1，得OB 1＝2＝OB ，即点O 到点B 与到点B 1的距离相等，则外接球半径r ＝OB ＝2，所以该四棱台外接球的表面积为4πr 2＝16π，D 正确．故选AD.13．答案：－1解析：因为复数z ＝(m 2＋4m ＋3)＋(m ＋3)i ，m ∈R 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m ＋3＝0，m ＋3≠0，所以m ＝－1.14．答案：－37解析：∵tan α，tan β是方程2x 2＋3x －5＝0的两个实数根，∴tan α＋tan β＝－32 ，tan αtan β＝－52 ，由tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝－321－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 ＝－37 . 15．答案：343解析：因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 上单调，所以T 2 ≥π3 －π4 ＝π12 ，解得T ≥π6 ，所以2πω ≥π6 ，解得0<ω≤12.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2，f (π)＝0，所以2k ＋14 T ＝π－π4 ＝3π4 ，k ∈N *，所以T ＝3π2k ＋1 ，所以2πω ＝3π2k ＋1 ，所以ω＝4k ＋23 ，k ∈N *，当ω＝4k ＋23 ≤12时，解得k ≤172 ，k ∈N ，所以ωmax ＝4×8＋23 ＝343.16．答案：2＋34解析：由已知及正弦定理得a 2－3 ac ＝b 2－c 2，所以a 2＋c 2－b 2＝3 ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32 ，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.由△ABC 的外接圆面积为π，得外接圆的半径R ＝1. 由正弦定理得b ＝2R sin B ＝1，所以a 2＋c 2－1＝3 ac ，所以a 2＋c 2＝3 ac ＋1≥2ac ，解得ac ≤2＋3 ，所以△ABC 的面积S ＝12 ac sin B ＝14 ac ≤2＋34，当且仅当a ＝c 时等号成立．17．解析：(1)因为z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋6＝0，2m 2－3m －2≠0，解得m ＝3.(2)设z ＝a ＋b i ，所以z －＝a －b i ， z ·z －＋i z ＝(a ＋b i)(a －b i)＋i(a ＋b i)＝a 2＋b 2－b ＋a i ＝15＋3i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2＋b 2－b ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2. 18．解析：(1)因为A >0，由图象可知A ＝2，且有T 2 ＝πω ＝2π3 －π6 ＝π2，所以ω＝2，因为图象过点(π6 ，2)，所以2cos (2·π6＋φ)＝2，即φ＋π3 ＝2k π，解得φ＝2k π－π3 ，k ∈Z ，因为|φ|<π2 ，所以φ＝－π3 ，故f (x )＝2cos (2x －π3).(2)由(1)知f (x )＝2cos (2x －π3 )，因为x ∈[0，m ]，所以2x －π3 ∈[－π3 ，2m －π3]，由函数f (x )在区间[0，m ]上有5个零点，令2x －π3＝t ，即y ＝2cos t 在区间[－π3 ，2m －π3]有5个零点，由y ＝cos t 的图象知，只需9π2 ≤2m －π3 <11π2即可，解得29π12 ≤m <35π12 ，故m ∈[29π12 ，35π12).19．解析：(1)如图所示，连接AD 1交A 1D 于点O ，则O 为AD 1的中点，由题意可知，四边形ADD 1A 1是正方形，∴A 1D ⊥AD 1. ∵AB ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，∴AB ⊥AD 1. 又∵AB ⊂平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ，AB ∩AD 1＝A ， ∴A 1D ⊥平面AD 1E ，又D 1E ⊂平面AD 1E ，∴A 1D ⊥D 1E ，即D 1E ⊥A 1D .(2)存在一点P 满足DP DD 1 ＝12时，使得AP ∥平面ED 1C ，当点P 满足DP DD 1 ＝12，即P 为DD 1的中点，取CD 1的中点Q ，连接PQ ，EQ ，在△DD 1C 中，P ，Q 为中点，∴PQ ∥DC ，PQ ＝12DC ，∵在长方体AC 1中，E 是AB 的中点，∴AE ∥DC 且AE ＝12DC ，∴AE ∥PQ 且AE ＝PQ ，∴四边形AEQP 为▱AEQP ，∴AP ∥EQ ，又EQ ⊂平面D 1EC ，AP ⊄平面D 1EC ，∴AP ∥平面D 1EC . (3)连接DE ，设D 到平面D 1EC 的距离为h ， ∵在长方体AC 1中，DD 1⊥平面ABCD ， ∵矩形ABCD ，点E 是AB 的中点，∴S △DCE ＝12 S 矩形ABCD ＝12×1×2＝1，∴VD 1－DCE ＝13 S △DCE ·DD 1＝13 ×1×1＝13，在Rt△D 1DC 中，D 1C ＝DD 21＋DC 2＝5 ，在Rt△ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝2 ，∵DD 1⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥DE ，在Rt△D 1DE 中，D 1E ＝DD 21 ＋DE 2＝3 ，在Rt△BCE 中，EC ＝BC 2＋BE 2＝2 ，∴D 1E 2＋EC 2＝CD 21 ，∴ED 1⊥CE ，∴S △D 1CE ＝12 D 1E ×EC ＝12 ×3 ×2 ＝62 ，又VD D 1CE ＝VD 1DCE ，∴13 S △D 1EC ×h ＝13 ，h ＝63 ，∴D 到平面D 1EC 的距离为63. 20．解析：因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，S ＝12bc sin A ，所以2bc sin A ＝2bc cos A ，显然cos A ≠0，所以tan A ＝1，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以A ＝π4 . 若选择①，由2cos 2B ＋cos2B ＝0得， cos 2B ＝14. 又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴B ＝π3 ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2. 又sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22 ×12 ＋22 ×32 ＝6＋24 ，所以S ＝12 ab sin C ＝3＋32. 若选择②，b cos A ＋a cos B ＝3 ＋1，则b cos A ＋a cos B ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b 2＋c 2－a 22c ＋a 2＋c 2－b 22c ＝c ＝3 ＋1，所以S ＝12 bc sin A ＝12 ×6 ×(3 ＋1)×22 ＝3＋32. 21．解析：(1)存在．如图所示：连接AC ，BP ，设AC 交BP 于点F ，∵CP ∥AB ，且CP ＝12AB ， ∴CF CA ＝PF PB ＝13. 取DC 的三等分点E ，使CE CD ＝13，连接EF ，PE ，BE ，则EF ∥AD ，又EF ⊂平面PBE ，AD ⊄平面PBE ，∴AD ∥平面PBE .故存在满足条件的点E ，且E 是线段CD 上靠近点C 的三等分点．(2)在矩形ABCD 中，AP ＝BP ＝2 ，AB ＝2，∴AP 2＋BP 2＝AB 2，∴AP ⊥BP ，又平面ADP ⊥平面ABCP ，BP ⊂平面ABCP ，平面ADP ∩平面ABCP ＝AP ，∴BP ⊥平面ADP ，∴BP ⊥DP ，∴BD 2＝DP 2＋BP 2＝1＋2＝3.在△ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥DB ，又PD ⊥AD ，PD ⊂平面ADP ，BD ⊂平面ADB ，平面ADP ∩平面ADB ＝AD ，∴∠PDB 为二面角P AD B 的平面角，在Rt△PDB 中，cos ∠PDB ＝DP BD ＝13＝33 ，∴二面角P AD B 的余弦值为33. 22．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝sin ωx ＋3 cos ωx ＝2(12 sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 . ∵f (x )图象上的一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2 ，与P 最近的一个最低点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2 ， ∴T 2 ＝7π12 －π12 ＝π2，∴T ＝π，又ω>0，∴ω＝2πT＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 时，π3 ≤2x ＋π3 ≤4π3 ，由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 的图象(图略)可知，当a ∈[3 ，2)时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上有两解；当a ∈[－3 ，3 )或a ＝2时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上有一解；当a <－3 或a >2时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上无解． (3)在锐角△ABC 中，0<B <π2 ，－π6 <π3 －B <π3，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝1，∴π3 －B ＝0，∴B ＝π3 . 在锐角△ABC 中，0<A <π2 ，A ＋B >π2， ∴π6 <A <π2 ，∴2π3 <2A ＋π3 <4π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 ， ∴f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3 ∈(－3 ，3 ). ∴f (A )的取值范围是(－3 ，3 ).GS －2。

高中数学必修2测试题附答案

高中数学必修2测试题附答案数学必修2一、选择题1、下列命题为真命题的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行；解析：平行于同一平面的两条直线一定平行，为真命题，选A。

2、下列命题中错误的是：（）A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；解析：如果直线α垂直于平面β，则α内不存在直线平行于平面β，选A。

3、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，异面直线AA’与BC所成的角是（）解析：异面直线AA’与BC所成的角为直角，选D。

4、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，AB二面角D’-AB-D的大小是（）解析：AB二面角D’-AB-D为60度，选C。

5、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）解析：将y=0代入5x-2y-10=0，得到x=2，即直线在x轴上的截距为2；将x=0代入5x-2y-10=0，得到y=-5，即直线在y轴上的截距为-5，选B。

6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）解析：将2x-y=7和3x+2y-7=0联立，解得交点为(3,-1)，选A。

7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）解析：3x-4y+6=0的斜率为3/4，与其垂直的直线斜率为-4/3，过点P(4,-1)，代入点斜式方程y+1=-4/3(x-4)，化简得到4x+3y-13=0，选A。

8、正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（）解析：正方体的全面积为6a，每个面积为a，每个面的对角线长为正方体的对角线长，即球的直径。

因此球的直径为正方体的对角线长，即a的开根号乘以根号3.球的表面积为4πr^2，即4π(0.5a√3)^2=3πa^2，选C。

9、圆x^2+y^2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）解析：将x^2-4x和y^2-2y分别配方得到(x-2)^2-4+(y-1)^2-1=0，即(x-2)^2+(y-1)^2=5，圆心坐标为(2,1)，选B。

高中数学必修二好题解答题精选(附答案)

一．解答题（共22小题）1．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD ＝，点M在线段EC上．（1）是否存在点M，使得FM⊥平面BDM，如果存在求出点M位置，如果不存在说明理由；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．2．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成的角的大小．3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．4．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．5．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：FM∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，M是PPC的中点，G是线段DM上异于端点的一点，平面GAP∩平面BDM＝GH，PD＝2．（Ⅰ）证明：GH∥面PAD；（Ⅱ）若PD与面GAP所成的角的正弦值为，求四棱锥D﹣PAHG的体积．7．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ADC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝∠ACD＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，（I）证明：平面ABD⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD⊥平面PCD，PC⊥CD，CD＝2AB＝2AD ＝λPC．（Ⅰ）求证：平面BDP⊥平面BCP；（Ⅱ）若平面ABP与平面ADP所成锐二面角的余弦值为，求λ的值．9．已知直线2x+y﹣4＝0与圆C：x2+y2﹣2mx﹣y＝0（m＞0）相交于点M、N，且|OM|＝ON|（O为坐标原点）．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若A（0，2），点P、Q分别是直线x+y+2＝0和圆C上的动点，求|PA|+|PQ|的最小值及求得最小值时的点P坐标．10．已知圆C过点P（2，2），且与圆M：（x+6）2+（y﹣6）2＝r2（r＞0）关于直线x﹣y+6＝0对称．（1）求圆C的方程；（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．11．已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，半径为，且圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6）．①求圆C的方程．②过点（3，0）的直线l截图所得弦长为2，求直线l的方程．12．已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y＝1被圆C截得弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）从圆C外一点P（2，3）向圆引切线，求切线方程．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1＝0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．14．已知圆C的圆心C在直线y＝x上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离为．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，）且与圆C相交于A，B两点，求弦长|AB|的最小值及此时直线l的方程．15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y ﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．16．已知三条直线l1：x+y﹣3＝0，l2：3x﹣y﹣1＝0，l3：2x+my﹣8＝0经过同一点M．（1）求实数m的值；（2）求点M关于直线l：x﹣3y﹣5＝0的对称点N的坐标．17．已知圆C1与y轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l上．（I）求圆C1的方程；（I）若圆C1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣3y+5＝0相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．18．在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a﹣1，a2）（a＞0）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线2x+y+m＝0（m∈R）与圆C交于M，N两点，且点F（，）为线段MN的中点．（Ⅰ）求m的值和圆C的方程；（Ⅱ）若Q是直线y＝﹣2上的动点，直线QA，QB分别切圆C于A，B两点，求证：直线AB恒过定点；（Ⅲ）若过点P（0，t）（0≤t＜1）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当△CDE的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u．19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2+ay＝0（a＞0），直线l：x﹣7y﹣2＝0，且直线l与圆M相交于不同的两点A，B．（1）若a＝4，求弦AB的长；（2）设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝，求圆M的方程．20．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，（1）P为直线l：x＝上一点．①若点P在第一象限，且OP＝，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）已知C（2，0），M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由．21．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底边长均为2，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求三棱锥C1﹣ADB1的体积．22．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD ＝，点M在线段EC上．（1）是否存在点M，使得FM⊥平面BDM，如果存在求出点M位置，如果不存在说明理由；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．【解答】解：（1）不存在点M，使得FM⊥平面BDM．证明如下：∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，∴DA，DC，DE所在直线两两互相垂直，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），F（2，0，2），B（2，2，0），设M（0，b，c），则，，．设平面DBM的一个法向量为，由，取y＝﹣1，则．若与共线，则，即c2﹣2c+2＝0，此方程无解．∴不存在点M，使得FM⊥平面BDM；（2）由（1）知，是平面BDM的一个法向量，而ABF的一个法向量为．由|cos＜＞|＝＝，得，即b＝2c．再由与共线，可得b＝2c＝2．即点M为EC中点，此时，S△DEM＝2，AD为三棱锥B﹣DEM的高，∴．2．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成的角的大小．【解答】解：（1）连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为线段DD1、BD的中点，∴EF为中位线，∴EF∥D1B，∵D1B?面ABC1D1，EF?面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1；（2）由（1）知EF∥D1B，故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R＝2，设AA1＝a，则，解得a＝，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BC⊥平面CDD1C1，CD1?平面CD﹣D1C1，∴BC⊥CD1，在RT△CC1D1中，BC＝2，CD1＝，D1C⊥BC，∴tan∠D1BC＝，则∠D1BC＝60°，∴异面直线EF与BC所成的角为60°．3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．【解答】（1）解：∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…（3分）∴…（6分）（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵PA＝AB＝1，且点F是PB的中点，∴AF⊥PB…（8分）又PA⊥BC，BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又AF?平面PAB，∴BC⊥AF…（10分）由AF⊥平面PBC，又∵PE?平面PBC∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…（12分）4．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）连接AB1交A1B于点M，连接MD．∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴四边形BAA1B1是矩形，∴M为AB1的中点．∵D是AC的中点，∴MD∥B1C．又MD?平面A1BD，B1C?平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．（II）作CO⊥AB于点O，则CO⊥平面ABB1A1，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，假设存在点E，设E（1，a，0）．∵AB＝2，AA1＝，D是AC的中点，∴A（1，0，0），B（﹣1，0，0），C（0，0，），A1（1，，0），B1（﹣1，，0），C1（0，，）．∴D（，0，），＝（，0，），＝（2，，0）．设是平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），∴，，∴，令x＝﹣，得＝（﹣，2，3）．∵E（1，a，0），则＝（1，a﹣，﹣），＝（﹣1，0，﹣）．设平面B1C1E的法向量为＝（x，y，z），∴，．∴，令z＝﹣，得＝（3，，﹣）．∵平面B1C1E⊥平面A1BD，∴＝0，即﹣3+﹣3＝0，解得a＝．∴存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，且AE＝．5．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：FM∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN?平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（2）连BD，由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A＝A，AC，A1A?平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又∵NA?平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，M是PPC的中点，G是线段DM上异于端点的一点，平面GAP∩平面BDM＝GH，PD＝2．（Ⅰ）证明：GH∥面PAD；（Ⅱ）若PD与面GAP所成的角的正弦值为，求四棱锥D﹣PAHG的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于O，则O为AC的中点，连接OM，∵M为PC的中点，则OM∥PA，∵OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，∵PA?平面GPA，平面GPA∩平面MDB＝GH，∴PA∥GH，而PA?平面PAD，GH?平面PAD，∴GH∥面PAD；（Ⅱ）解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），设＝（0，λ，λ），则，＝（0，λ，λ﹣2），设平面PAG的一个法向量为．由，取z＝1，得．，由PD与面GAP所成的角的正弦值为，得|cos＜＞|＝，解得：或λ＝﹣1（舍）．∴G为DM的中点，则H为OD的中点，此时，PA＝，GH＝＝，．D到平面PCAH的距离d＝＝．由，，得cos＜＞＝＝＝．∴sincos＜＞＝．则GH与PA间的距离为h＝．∴四棱锥D﹣PAHG的体积V＝＝．7．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ADC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝∠ACD＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，（I）证明：平面ABD⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点M，连接BM，可得四边形BMDE是正方形．BC2＝BM2+MC2＝2．∵BD2+BC2＝DE2+BE2+BC2＝DC2，∴∠CBD＝90°，∴BD⊥BC．又AC⊥平面CDE，BD?平面BCDE，∴BD⊥AC，故BD⊥平面ABC．∵BD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC．（Ⅱ）解：过点D作DH⊥CE．∵AC⊥DH，∴DH⊥平面ACE．∴∠DAH即为AD与平面ACE所成的角．AB＝DC＝2．在Rt△DCE中，DE＝1，CD＝2，∴CE＝，∴DH＝＝＝．∵AC＝＝，∴AD＝＝，在Rt△AHD中，sin∠DAH＝＝．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD⊥平面PCD，PC⊥CD，CD＝2AB＝2AD ＝λPC．（Ⅰ）求证：平面BDP⊥平面BCP；（Ⅱ）若平面ABP与平面ADP所成锐二面角的余弦值为，求λ的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又∵CD⊥PC，AD∩CD＝D，∴PC⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴PC⊥BD，设AB＝AD＝1，则CD＝2，由题意知在梯形ABCD中，有BD＝BC＝，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，又PC∩BC＝C，∴BD⊥平面BCP．∵BD?平面BDP，∴平面BPD⊥平面BCP．（2）解：以点D为原点，DA、DC、DQ为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AB＝1，PC＝a，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，2，a），＝（1，0，0），＝（0，2，a），设＝（x，y，z）为平面ADP的一个法向量，则＝＝0，可得，令z＝﹣2，则y＝a，∴＝（0，a，﹣2）．同理可得平面ABP的一个法向量＝（a，0，1）．∴|cos|＝＝＝，解得：a＝，∴λ＝．9．已知直线2x+y﹣4＝0与圆C：x2+y2﹣2mx﹣y＝0（m＞0）相交于点M、N，且|OM|＝ON|（O为坐标原点）．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若A（0，2），点P、Q分别是直线x+y+2＝0和圆C上的动点，求|PA|+|PQ|的最小值及求得最小值时的点P坐标．【解答】解：（Ⅰ）化圆C：x2+y2﹣2mx﹣y＝0（m＞0）为．则圆心坐标为C（m，），∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝，∴m＝2或m＝﹣2．∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5或（x+2）2+（y+1）2＝5，由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2＝5时，直线2x+y﹣4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5；（Ⅱ）点A（0，2）关于直线x+y+2＝0的对称点为A′（﹣4，﹣2），则|PA|+|PQ|＝|PA′|+|PQ|≥|A′Q|，又A′到圆上点Q的最短距离为|A′C|﹣r＝﹣＝3﹣＝2．∴|PA|+|PQ|的最小值为2，直线A′C的方程为y＝x，则直线A′C与直线x+y+2＝0的交点P的坐标为（﹣，﹣）．10．已知圆C过点P（2，2），且与圆M：（x+6）2+（y﹣6）2＝r2（r＞0）关于直线x﹣y+6＝0对称．（1）求圆C的方程；（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．【解答】（1）解：由题意可得点C和点M（﹣6，6）关于直线x﹣y+6＝0对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r．设C（m，n），由且，解得：m＝0，n＝0．故原C的方程为x2+y2＝r2．再把点P（2，2）代入圆C的方程，求得r＝．故圆的方程为：x2+y2＝8；（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，则得直线OP和AB平行，理由如下：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y﹣2＝k（x﹣2），PB：y﹣2＝﹣k（x﹣2）．由，得（1+k2）x2+4k（1﹣k）x+4（1﹣k）2﹣8＝0，∵P的横坐标x＝2一定是该方程的解，∴，同理，x B＝．由于AB的斜率k AB＝＝＝＝1＝k OP（OP的斜率），∴直线AB和OP一定平行．11．已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，半径为，且圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6）．①求圆C的方程．②过点（3，0）的直线l截图所得弦长为2，求直线l的方程．【解答】解：①由题意可知，设圆心为（a，a+1），则圆C为：（x﹣a）2+[y﹣（a+1）]2＝2，∵圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6），∴，解得：a＝4．则圆C的方程为：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝2；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣3）即kx﹣y﹣3k＝0，∵过点（3，0）的直线l截圆所得弦长为2，∴，则．∴直线l的方程为12x﹣5y﹣36＝0，当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝3，此时弦长为2符合题意，综上，直线l的方程为x＝3或12x﹣5y﹣36＝0．12．已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y＝1被圆C截得弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）从圆C外一点P（2，3）向圆引切线，求切线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0），则圆心C（1，1）到直线x+y﹣1＝0的距离为：，…（2分）则，∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1；…（5分）（Ⅱ）①当切线的斜率不存在时，切线方程为：x＝2，此时满足直线与圆相切；…（6分）②当切线的斜率存在时，设切线方程为：y﹣3＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k+3；则圆心C（1，1）到直线kx﹣y﹣2k+3＝0的距离为：，…（8分）化简得：4k＝3，解得，∴切线方程为：3x﹣4y+6＝0；…（11分）综上，切线的方程为：x＝2和3x﹣4y+6＝0．…（12分）13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1＝0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1＝0垂直的直线方程为x﹣y﹣3＝0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）所以圆M的半径为r＝，…（6分）所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d＝＝，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx﹣y＝0，由d＝＝，…（11分）整理得k2+8k+7＝0，解得k＝﹣1或﹣7，…（13分）所以直线l的方程为x+y＝0或7x+y＝0．…（14分）14．已知圆C的圆心C在直线y＝x上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离为．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，）且与圆C相交于A，B两点，求弦长|AB|的最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题可设圆心C（a，a），半径r，∵．∴a＝±1．又∵圆C与x轴正半轴相切，∴a＝1，r＝1．∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时弦长|AB|＝2．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：点C到直线l的距离，弦长，当k＝0时，弦长|AB|取最小值，此时直线l的方程为．由①②知当直线l的方程为时，弦长|AB|取最小值为．15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y ﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．【解答】解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1），3x+y+2＝0．（2）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2＝（2﹣0）2+（0+2）2＝8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2＝8．16．已知三条直线l1：x+y﹣3＝0，l2：3x﹣y﹣1＝0，l3：2x+my﹣8＝0经过同一点M．（1）求实数m的值；（2）求点M关于直线l：x﹣3y﹣5＝0的对称点N的坐标．【解答】解：（1）解方程组，得交点M（1，2）．……………………………（3分）将点M（1，2）的坐标代入直线l3：2x+my﹣8＝0的方程，得m＝3．…………（6分）（2）法一：设点N的坐标为（m，n），则由题意可………（9分）解得…………………………………………………………………………（12分）所以，所求对称点N的坐标（3，﹣4）．………………………………………………（14分）法二：由（1）知M（1，2），所以，过M且与x﹣3y﹣5＝0垂直的直线方程为：y﹣2＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣5＝0．…………………………………………………………………（8分）解方程组得交点为H（2，﹣1）………………………………………（10分）因为M，N的中点为H，所以，x N＝2×2﹣1＝3，y N＝2×（﹣1）﹣2＝﹣4．……（13分）所以，所求对称点N的坐标（3，﹣4）．………………………………………………（14分）17．已知圆C1与y轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l上．（I）求圆C1的方程；（I）若圆C1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣3y+5＝0相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．【解答】解：（Ⅰ）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为，即y＝x﹣1．由题意可得，圆心在直线y＝3上，联立，解得圆心坐标为（4，3），故圆C1的半径为4．则圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16；（Ⅱ）∵圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16，即x2+y2﹣8x﹣6y+9＝0，圆C2：x2+y2﹣6x﹣3y+5＝0，两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为2x+3y﹣4＝0．圆C1的圆心到直线2x+3y﹣4＝0的距离d＝．∴两圆的公共弦MN的长为2＝2．18．在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a﹣1，a2）（a＞0）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线2x+y+m＝0（m∈R）与圆C交于M，N两点，且点F（，）为线段MN的中点．（Ⅰ）求m的值和圆C的方程；（Ⅱ）若Q是直线y＝﹣2上的动点，直线QA，QB分别切圆C于A，B两点，求证：直线AB恒过定点；（Ⅲ）若过点P（0，t）（0≤t＜1）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当△CDE的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u．【解答】（Ⅰ）解：由题意，，即2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1（a＞0）．∴圆心坐标为（0，1），半径为1，由圆心到直线2x+y+m＝0的距离d＝＝，可得m＝0或m＝﹣2，∵点F（，）在直线2x+y+m＝0上，∴m＝﹣2．故m＝﹣2，圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝1；（Ⅱ）证明：设Q（t，﹣2），则QC的中点坐标为（），以QC为直径的圆的方程为，即x2+y2﹣tx+y﹣2＝0．联立，可得AB所在直线方程为：tx﹣3y+2＝0．∴直线AB恒过定点（0，）；（Ⅲ）解：由题意可设直线l的方程为y＝kx+t，△ABC的面积为S，则S＝|CA|?|CB|?sin∠ACB＝sin∠ACB，∴当sin∠ACB最大时，S取得最大值．要使sin∠ACB＝，只需点C到直线l的距离等于，即＝，整理得：k2＝2（t﹣1）2﹣1≥0，解得t≤1﹣．①当t∈[0，1﹣]时，sin∠ACB最大值是1，此时k2＝2t2﹣4t+1，即u＝2t2﹣4t+1．②当t∈（1﹣，1）时，∠ACB∈（，π）．∵y＝sin x是（，π）上的减函数，∴当∠ACB最小时，sin∠ACB最大．过C作CD⊥AB于D，则∠ACD＝∠ACB，∴当∠ACD最大时，∠ACB最小．∵sin∠CAD＝，且∠CAD∈（0，），∴当|CD|最大时，sin∠CAD取得最大值，即∠CAD最大．∵|CD|≤|CP|，∴当CP⊥l时，|CD|取得最大值|CP|．∴当△ABC的面积最大时，直线l的斜率k＝0，∴u＝0．综上所述，u＝．19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2+ay＝0（a＞0），直线l：x﹣7y﹣2＝0，且直线l与圆M相交于不同的两点A，B．（1）若a＝4，求弦AB的长；（2）设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝，求圆M的方程．【解答】解：（1）由题意知，a＝4时圆心M坐标为（0，﹣2），半径为2，圆心到直线距离d＝，∴弦|AB|＝；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得50y2+（28+a）y+4＝0．∵△＝（28+a）2﹣16×50＞0，∴．，则，．于是＝＝．∴a＝2．∴圆的方程为x2+y2+2y＝0．20．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，（1）P为直线l：x＝上一点．①若点P在第一象限，且OP＝，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）已知C（2，0），M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由．【解答】解：（1）①设点P的坐标为（，y0），∵OP＝，∴+y02＝，解得y0＝±1．又点P在第一象限，∴y0＝1，即P的坐标为（，1）．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，则切线为y﹣1＝k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k＝0，于是有＝1，解得k＝0或k＝．因此过点P的圆O的切线方程为：y＝1或24x﹣7y﹣25＝0；②设A（x，y），则B（，），∵点A、B均在圆O上，∴有圆x2+y2＝1与圆（x+）2+（y+y0）2＝4有公共点．于是1≤≤3，解得﹣≤y0≤，即点P纵坐标的取值范围是[﹣，]；（2）设M（x，y），假设存在点D（m，n），使为定值t（t＞0），则MC2＝t2MD2，即（x﹣2）2+y2＝t2（x﹣m）2+t2（y﹣n）2，∴，∵M在圆O：x2+y2＝1上，∴，解得t＝，m＝，n＝0．∴存在定点D（），使为定值．21．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底边长均为2，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求三棱锥C1﹣ADB1的体积．【解答】（Ⅰ）证明：因为ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC因为AD?平面ABC，所以CC1⊥AD因为△ABC是正三角形，D为BC中点，所以BC⊥AD，…（4分）因为CC1∩BC＝C，所以AD⊥平面B1BCC1．…（5分）（Ⅱ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，…（8分）因为A1B?平面ADC1，OD?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1；（10分）（Ⅲ）解：V C1﹣ADB1＝V A﹣C1DB1＝＝．…（14分）22．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB＝2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC 所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN＝1，异面直线PM与AC所成的角为。

高中数学必修2立体几何练习题附答案

高中数学必修2立体几何练习题一．单选题（共__小题）1．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A．2B．C．3D．2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S"S4．把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为；②当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为45°；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，]；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，异面直线B C与A D所成角为45°．其中正确结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个5、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20c m的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径（）A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm6．如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则A M+M D1的最小值为（）A．B．C．D．27．下列说法正确的是（）A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．8．平行六面体A B C D-A1B1C1D1中A B=1，A D=2，A A1=3，∠B A D=90°，∠B A A1=∠D A A1=60°，则A C1的长为（）A．B．C．D．9、如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线B D1上，过点P作垂直于B D1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设B P=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]10．一个棱柱为正四棱柱的充要条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直与底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直D．各个面都是矩形的平行六面体二．填空题（共__小题）11．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______•12．一个圆柱的底面面积是16，侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是______．13．若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．14．一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，则s i n12α=______．15．一个正四棱锥的中截面（过各侧棱中点的截面）的面积为Q，则它的底面边长为______．16．若一个n面体中共有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为．由此可知，四棱锥“直度”的最大值为______．17．在三棱锥P-A B C中，给出下列四个命题：①如果P A⊥B C，P B⊥A C，那么点P在平面A B C内的射影是△A B C的垂心；②如果点P到△A B C的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面A B C 内的射影是△A B C的内心；③如果棱P A和B C所成的角为60？，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1；④三棱锥P-A B C的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于；⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s．其中正确命题的序号是______．18．若长方体的三个面的面积分别为6c m2，3c m2，2c m2，则此长方体的对角线长为______．19．已知长方体A B C D-A1B1C1D1的体积为216，则四面体A B1C D1与四面体A1B C1D 的重叠部分的体积为______．20．一个长方体共一顶点的三条棱长为1，2，3，则这个长方体对角线的长是______三．简答题（共__小题）21．已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．22．试构造出一个三棱锥S-A B C，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论．23、已知三棱锥S-A B C的三条侧棱S A、S B、S C两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面A B C上的射影．求证：（1）O为△A B C的垂心；（2）O在△A B C内；（3）设S O=h，则++=．参考答案一．单选题（共__小题）1．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A．2B．C．3D．答案：A解析：解：设正四棱台的高为h，斜高为x，由题意可得4••（3+6）x=32+62，∴x=．再由棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形、可得h==2，故选A．2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°答案：C解析：解析：如图，四棱锥P-A B C D中，过P作P O⊥平面A B C D于O，连接A O则A O是A P在底面A B C D上的射影．∴∠P A O即为所求线面角，∵A O=，P A=1，∴c o s∠P A O==．∴∠P A O=45°，即所求线面角为45°．故选C．3．如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S"S答案：A解析：解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质可得：消去r，然后代入一个方程，可得2故选A．4．把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大值为；②当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为45°；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，]；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，异面直线B C与A D所成角为45°．其中正确结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解析：解：把边长为1的正方形A B C D沿对角线A C折起，构成三棱锥A B C D，如图所示，则下列命题：①以A、B、C、D四点为顶点的棱锥，当侧面A C D⊥底面A B C时，体积最大值==，正确；②由①可知：当体积最大时直线B D和平面A B C所成的角的大小为∠O B D=45°，正确；③B、D两点间的距离的取值范围是（0，），因此不正确；④当二面角D-A C-B的平面角为90°时，由①可知：异面直线B C与A D所成角为90°，因此不正确．综上可知：只有①②正确．故选：C．5、把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20c m的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径（）A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm答案：B解析：解：因为底面是一个正方形，一共有四条棱，皮球心距这四棱最小距离是10，∵四条棱距离正方形的中心距离为10，所以皮球的表面与8根铁丝都有接触点时，半径应该是边长的一半∴球的半径是10故选B．6．如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则A M+M D1的最小值为（）A．B．C．D．2答案：A解析：解：将平面A B A1和平面B C D D1A1放在同一个平面上，如图，则A M+M D1的最小值即为线段A D1，在直角三角形A E D1中，A E=，E D1=，∴A D1==，故选A．7．下列说法正确的是（）A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．答案：B解析：解：如图所示：A．如图（1）符合条件但却不是棱柱；B．图中P A⊥底面A B C，A B是圆O的直径，点C是圆上的一点，则四个面都是直角三角形，符合题意；C．其侧棱不相较于一点，故不是棱台；D．以直角三角形的斜边A B为轴旋转得到的是两个对底的圆锥．综上可知：只有B正确．故选B．8．平行六面体A B C D-A1B1C1D1中A B=1，A D=2，A A1=3，∠B A D=90°，∠B A A1=∠D A A1=60°，则A C1的长为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：平行六面体，如图所示：∵∠B A A1=∠D A A1=60°∴A1在平面A B C D上的射影必落在直线A C上，∴平面A C C1A1⊥平面A B C D，∵A B=1，A D=2，A A1=3，∵=∴||2=（）2=||2+||2+||2+2+2+2=1+9+4+0+2×1×3×+2×2×3×=23，∴||=，∴A C1等于．故选：B．9、如图，正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线B D1上，过点P作垂直于B D1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设B P=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A．[2，6]B．[2，18]C．[3，18]D．[3，6]答案：D解析：解：∵正方体A B C D-A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y m i n=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y m a x=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．10．一个棱柱为正四棱柱的充要条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直与底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直D．各个面都是矩形的平行六面体答案：C解析：解：若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为斜棱柱，故A不满足要求；若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四边形，则棱柱为斜棱柱，故B不满足要求；底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直，则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此时棱柱为正四棱柱，故C满足要求；各个面都是矩形的平行六面体，其底面可能不是正方形，故D不满足要求；故选C二．填空题（共__小题）11．在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______•答案：解析：解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：，所以r=，设正方体的最大棱长为a，所以，，a=故答案为：12．一个圆柱的底面面积是16，侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是______．答案：64π解析：解：圆柱的侧面展开图是正方形，如图；设圆柱的底面半径为r，高为l，∵圆柱的底面面积是16，∴πr2=16，∴r=；∴l=2πr=2π×=8，∴圆柱的侧面积是l2==64π；故答案为：64π．13．若用长度分别为1，1，1，1，x，x的六根笔直的铁棒通过焊接其端点（不计损耗）可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架，则实数x的取值范围是______．答案：（0，）解析：解：根据条件，四根长为1的直铁棒与两根长为x的直铁棒要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：①底面是边长为1的正三角形，三条侧棱长为1，x，x，如图，此时x应满足：∵A D=，S D=，且S D＜S A+A D，∴＜1+，即x2＜2+，∴＜x＜；②构成三棱锥的两条对角线长为x，其他各边长均为1，如图所示，此时应满足0＜x＜；综上，x的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．14．一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，则s i n12α=______．答案：解析：解：∵一平面与正方形的十二条棱所成的角都等于α，∴正方体的面对角线与棱的夹角，∵设正方体的棱长为1，∴A到三角形A B1D1中心的距离为：×=，∴A1点到面A B1D1距离为：=，∴s i nα=∴s i n12α=（）6=，故答案为：15．一个正四棱锥的中截面（过各侧棱中点的截面）的面积为Q，则它的底面边长为______．答案：解析：解：∵四棱锥的中截面与底面相似，且相似比为1：2，面积比为1：4，∴若正四棱锥的中截面的面积为Q，则底面面积为4Q，∵底面为正方形，面积为边长的平方，∴它的底面边长为2故答案为216．若一个n面体中共有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为．由此可知，四棱锥“直度”的最大值为______．答案：解析：解：∵四棱锥有5个面组成，∴n=5，当四棱锥的底面是矩形，一条侧棱与底面垂直时，四棱锥的4个侧面都是直角三角形，∴m=4，∴四棱锥“直度”的最大值为，故答案为：．17．在三棱锥P-A B C中，给出下列四个命题：①如果P A⊥B C，P B⊥A C，那么点P在平面A B C内的射影是△A B C的垂心；②如果点P到△A B C的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面A B C 内的射影是△A B C的内心；③如果棱P A和B C所成的角为60？，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1；④三棱锥P-A B C的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于；⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s．其中正确命题的序号是______．答案：①④⑤解析：解：①若P A⊥B C，P B⊥A C，因为P H⊥底面A B C，所以A H⊥B C，同理B H⊥A C，可得H是△A B C的垂心，正确．②若P A=P B=P C，易得A H=B H=C H，则H是△A B C的外心，不正确．③如果棱P A和B C所成的角为60°，P A=B C=2，E、F分别是棱P B、A C的中点，那么E F=1或；不正确．④如果三棱锥P-A B C的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于，正确．⑤如果三棱锥P-A B C的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-a r c c o s，正确．故答案为：①④⑤．18．若长方体的三个面的面积分别为6c m2，3c m2，2c m2，则此长方体的对角线长为______．答案：解：设长方体的三度分别为：a，b，c，由题意可知：a b=6，b c=2，a c=3所以，a=3，b=2，c=1，所以长方体的对角线长为：故答案为：．19．已知长方体A B C D-A1B1C1D1的体积为216，则四面体A B1C D1与四面体A1B C1D 的重叠部分的体积为______．答案：36解析：解：如图所示，四面体A B1C D1与四面体A1B C1D的重叠部分是以长方体各面中心为定点的多面体，摘出如图，设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则a b c=216，重叠部分的体积为两个同底面的四棱锥体积和，等于．故答案为：36．20．一个长方体共一顶点的三条棱长为1，2，3，则这个长方体对角线的长是______答案：解：因为在长方体中，底面对角线的平方是底面长和宽的平方和，体对角线的平方等于面对角线的平方加上高的平方；长方体对角线的长：故答案为：三．简答题（共__小题）21．已知正四棱台两底面边长分别为a和b（a＜b）．（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．答案：解：（1）如图所示，∵P O⊥平面A B C D，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，∴∠P A O=45°，∴P O=O A=，P O1=O1A1=a．分别取A B，A1B1的中点E，E1，连接O E，O1E1．则P E==，P E1==．∴斜高E E1=P E-P E1=．∴棱台的侧面积S侧==；（2）∵棱台的侧面积等于两底面面积之和，∴=a2+b2，∴E E1=．∴O O1===．22．试构造出一个三棱锥S-A B C，使其四个面中成直角三角形的个数最多，作出图形，指出所有的直角，并证明你的结论．答案：解：如图，S A⊥平面A B C，∠A B C=90°，则∠S A C=∠S A B=90°，又A B⊥B C，所以B C⊥S B，所以∠S B C=90°，即四个面S A B，S A C，S B C，A B C为直角三角形．23、已知三棱锥S-A B C的三条侧棱S A、S B、S C两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面A B C上的射影．求证：（1）O为△A B C的垂心；（2）O在△A B C内；（3）设S O=h，则++=．答案：证明：（1）∵S A⊥S B，S A⊥S C，∴S A⊥平面S B C，B C⊂平面S B C．∴S A⊥B C．而A D是S A在平面A B C上的射影，∴A D⊥B C．同理可证A B⊥C F，A C⊥B E，故O为△A B C的垂心．（2）证明△A B C为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，则底面三角形A B C中，A B=为最大，从而∠A C B为最大角．用余弦定理求得c o s∠A C B=＞0，∴∠A C B为锐角，△A B C为锐角三角形．故O在△A B C内．（3）S B•S C=B C•S D，故S D=，=+，又S A•S D=A D•S O，。

高一数学必修2习题(答案详解)

一、选择题【共10道小题】1、给出的下列命题中,正确命题的个数是( )①梯形的四个顶点在同一平面内②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合④每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:思路解析:逐个对各选项分析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,①对;两条平行直线是可以确定一个平面的,三条平行直线有可能确定三个平面,②错;三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上,③错;设这四条直线分别为l1、l2、l3、l4,取其中两条相交直线l1和l2,则它们可确定一个平面α,取l3,设其与l1、l2的交点分别为A、B,则由题意知这两点不同,且A∈l1,B∈l2,所以有A、B∈α,从而l3∈α;同理可证明l4∈α.所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面,④对.答案:B主要考察知识点:空间直线和平面2、如图2-1-17,空间四边形SABC中,各边及对角线长都相等,若E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90°B.60°C.45°D.30°图2-1-17参考答案与解析:思路解析:求EF与SA所成的角,可把SA平移,使其角的顶点在EF上,为此取SB的中点G,连结GE、GF、BE、AE.由三角形中位线定理得GE=BC,GF=SA,且GF∥SA,所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此空间四边形边长为a,那么GF=GE=a,EA=a,EF=a,因此△EFG为等腰直角三角形,∠EFG=45°,所以EF与SA所成的角为45°.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面3、如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交参考答案与解析:思路解析:利用线面平行的定义.直线a∥平面α,则a与α无公共点,与α内的直线当然均无公共点.答案:D主要考察知识点:空间直线和平面4、若点M在直线α上，α在平面α内，则M、a、α间的上述关系可记为( )A.M∈a,a∈αB.M∈a,aαC.M a,aαD.M a,aα参考答案与解析:B主要考察知识点:空间直线和平面5、在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF与HG交于点M，则( )A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在AC上，也可能在BD上D.M不在AC上，也不在BD上参考答案与解析:A主要考察知识点:空间直线和平面6、下列说法正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点参考答案与解析:解析：A错,不共点的三点;B错,如空间四边形;D错,两平面的三个交点在同一直线上.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面7、若点M在直线a上,a在平面α内，则M，a,α间的上述关系可记为（）A.M∈a,a∈αB.M∈a,C.,D.,参考答案与解析:解析：要明确数学符号语言的表示.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面8、异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线参考答案与解析:解析：A错,有可能平行；B错,有可能平行或相交；C错,有可能平行或相交；D正确.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面9、若a∥α,b∥α,则直线a、b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面 D.A、B、C均有可能参考答案与解析:解析：平行、相交、异面都有可能,此题的难点在于可能选平行,易和平行公理混淆.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面10、下列命题:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线,则a∥α;④若直线a∥b,bα,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α.∴①是假命题.对于②,∵直线a在平面α外包括两种情况:a∥α和a与α相交,∴a和α不一定平行.∴②是假命题.对于③,∵直线a∥b, ,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a不一定平行于α.∴③是假命题.对于④,∵a∥b, ,那么aα或a∥α,∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上所述,真命题的个数为1.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面二、填空题【共4道小题】1、空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，那么由点P和这三条直线最多可以确定的平面的个数为__________.参考答案与解析:解析：(1)当题中三条直线共点但不共面相交时，可确定3个平面；而P点与每条直线又可确定3个平面，故共确定6个.主要考察知识点:空间直线和平面2、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置关系是_______.参考答案与解析:思路解析:由公理4可知不可能平行,只有相交或异面.答案:相交或异面主要考察知识点:空间直线和平面3、看图填空.(1)AC∩BD=_______;(2)平面AB1∩平面A1C1=________；(3)平面A1C1CA∩平面AC=________；(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=_________;(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=_________；(6)A1B1∩B1B∩B1C1=_________.参考答案与解析:解析：两个面的两个公共点连线即为交线.答案：（1）O（2）A1B1（3）AC（4）OO1（5）B1（6）B1主要考察知识点:空间直线和平面4、已知平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定平面_______个.参考答案与解析:解析：分类,如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面,如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,可确定四个.答案：1或4主要考察知识点:空间直线和平面三、解答题【共3道小题】1、如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交平面α于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.参考答案与解析:解析：本题是一个证明三点共线的问题，利用公理3，两平面相交时，有且只有一条公共直线.因此只需证明P、Q、R三点是某两个平面的公共点，即可得这三个点都在两平面的交线上，因此是共线的.证明：设△ABC确定平面ABC，直线AB交平面α于点Q,直线CB交平面α于点P,直线AC 交平面α于点R,则P、Q、R三点都在平面α内，又因为P、Q、R三点都在平面ABC内，所以P、Q、R三点都在平面α和平面ABC的交线上，而两平面的交线只有一条，所以P、Q、R三点共线.主要考察知识点:空间直线和平面2、如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.①哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？②直线BA′和CC′的夹角是多少？③哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？参考答案与解析:解析：①由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′,B′D′所在直线分别与直线BA′是异面直线.②由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以BA′与CC′的夹角为45°.③直线AB，BC，CD，DA，A′B′,B′C′,C′D′,D′A′分别与直线AA′垂直.主要考察知识点:空间直线和平面3、已知直线b∥c,且直线a与b、c都相交,求证:直线a,b,c共面.参考答案与解析:证明:∵b∥c,∴不妨设b,c共面于平面α.设a∩b=A,a∩c=B,∴A∈a,B∈a,A∈α,B∈α,即.∴三线共面.主要考察知识点:空间直线和平面一、选择题【共10道小题】1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )A.平行B.异面C.相交 D.平行或异面参考答案与解析:解析：两平行平面内的直线可能平行，也可能异面，就是不可能相交.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面2、下列结论中，正确的有( )①若aα,则a∥α②a∥平面α,bα则a∥b③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则aαA.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：若aα，则a∥α或a与α相交，由此知①不正确若a∥平面α,bα,则a与b异面或a∥b，∴②不正确若平面α∥β，aα，bβ，则a∥b或a与b异面，∴③不正确由平面α∥β，点P∈α知Pβ过点P而平行平β的直线a必在平面α内，是正确的.证明如下：假设aα，过直线a作一面γ，使γ与平面α相交，则γ与平面β必相交.设γ∩α=b,γ∩β=c,则点P∈b.由面面平行性质知b∥c；由线面平行性质知a∥c,则a∥b,这与a∩b=P矛盾，∴aα.故④正确.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.在内 D.不能确定参考答案与解析:解析：在平面ABC内.∵AE：EB=CF：FB=1：3，∴AC∥EF.可以证明AC平面DEF.若AC平面DEF，则AD平面DEF，BC平面DEF.由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC平面DEF.∵AC∥EF，EF平面DEF.∴AC∥平面DEF.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( )A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A有无数个平面平行于a,bD.过A且平行a,b的平面可能不存在参考答案与解析:解析：如当A与a确定的平面与b平行时，过A作与a,b都平行的平面不存在.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是( )A.b∥αB.bαC.b与α相交D.以上都有可能参考答案与解析:思路解析:a与b垂直,a与b的关系可以平行、相交、异面,a与α平行,所以b与α的位置可以平行、相交、或在α内,这三种位置关系都有可能.答案:D主要考察知识点:空间直线和平面6、下列命题中正确的命题的个数为( )①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内(若改为l与α内任何直线都平行，则必有l∥α),∴①是假命题.对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况a∥α和a与α相交，∴a与α不一定平行，∴②为假命题.对于③,∵a∥b,bα,只能说明a与b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于平面α.∴③也是假命题.对于④,∵a∥b,bα.那么aα,或a∥α.∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上，真命题的个数为1.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面7、下列命题正确的个数是( )(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥αA.0个B.1个C.2个 D.3个参考答案与解析:解析：由直线和平面平行的判定定理知，没有正确命题.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若mα,nβ,m∥n,则α∥β;④若m、n是异面直线，mα,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β.其中真命题是( )A.①和②B.①和③C.③和④ D.①和④参考答案与解析:解析：利用平面平行判定定理知①④正确.②α与β相交且均与γ垂直的情况也成立，③中α与β相交时，也能满足前提条件答案：D主要考察知识点:空间直线和平面9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有()A.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：面A1C1,面DC1,面AC共3个.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（）A.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：取正方体相邻三个面为α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①，若α与β相交，如图所示，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除③.容易证明②④都是正确的.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面1、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_________.参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN∥PQ(∵MN∥平面AC，PQ=平面PMN∩平面AC，∴MN∥PQ).易知DP=DQ=.故.答案：主要考察知识点:空间直线和平面2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________.参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内主要考察知识点:空间直线和平面3、若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________.参考答案与解析:相交或平行或异面主要考察知识点:空间直线和平面4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A，C，E的平面的位置关系是_________.参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BD∩AC=O，连结BD1，在△BDD1中，E 为DD1的中点，O为BD的中点，∴OE为△BDD1的中位线.∴OE∥BD1.又平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行主要考察知识点:空间直线和平面1、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.①是否一定有AD∥BE∥CF；②求证：.参考答案与解析:解析：①平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，但不一定总有AD∥BE. 同理不总有BE∥CF.②过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF的平面，交平面α,β,γ于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF.AGED为平行四边形.∴AG=DE.同理GH=EF.又过AC，AH两相交直线之平面与平面β,γ的交线为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH.在△ACH中，.而AG=DE，GH=EF，∴.主要考察知识点:空间直线和平面2、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证：SA∥平面MDB.参考答案与解析:解析：要说明SA∥平面MDB，就要在平面MDB内找一条直线与SA平行，注意到M是SC的中点，于是可找AC的中点，构造与SA平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB内，即可得证.证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.主要考察知识点:空间直线和平面3、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD 的中心，求证：MN∥平面PB1C.参考答案与解析:证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1.又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.一、选择题【共10道小题】1、二面角指的是( )A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角参考答案与解析:解析：根据二面角的定义讨论，故选C.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面2、α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则( )A.α∥β且γ∥ωB.α∥β或γ∥ωC.这四个平面中可能任意两个都不平行D.这四个平面中至多有一对平面平行参考答案与解析:解析：若α∩β=a.∵α⊥γ,β⊥γ，∴α⊥γ.同理a⊥ω.∴γ∥ω;若α∥β,则γ与ω相交或平行，∴α∥β或γ∥ω.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面3、已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3参考答案与解析:解析：①m∥α,n∥α不一定有m∥α.②③正确.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面4、如图2-3-15,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )图2-3-15A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直参考答案与解析:思路解析:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又∵BC⊥AB,PA∩AB=A,∴PC⊥平面PAB,从而平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A得AD⊥平面PAB.∵AD平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.答案:A主要考察知识点:空间直线和平面5、如图2-3-16,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A 到BC的距离是……()图2-3-16A.1B.C.D.参考答案与解析:思路解析:折叠后BD=DC=,且∠BDC为二面角的平面角,∠BDC=90°,∴BC=.取BC中点E,连结DE,则DE⊥BC,进一步易证AE⊥BC,AE的长为所求距离.∵AD=,DE=BC=,∴AE=.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面6、下列命题正确的是( )A.垂直于同一条直线的两直线平行B.垂直于同一条直线的两直线垂直C.垂直于同一个平面的两直线平行D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行参考答案与解析:思路解析:在空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行相交,也可能异面,所以A,B错,垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内,直线和平面平行,所以D错.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面7、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交参考答案与解析:解析：取BD中点E，连结AE、CE.∵AB=AD=BC=CD,∴AE⊥BD,CE⊥BD.∴BD⊥平面AEC.又AC面AEC，∴BD⊥AC.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面8、线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.120°参考答案与解析:解析：由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面9、设α,β为两个不重合的平面,l,M,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若α∥β,,则l∥β;②若, ,M∥β,n∥β，则α∥β；③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若,,且l⊥M,l⊥n,则l⊥α.其中正确命题的序号是( )A.①③④B.①②③C.①③D.②④参考答案与解析:解析：由面面平行的判定定理,知②错误;由线面垂直的判定定理知④错误.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、下列说法中正确的是()①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直A.①②③B.①②③④C.②③D.②③④参考答案与解析:解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质,知①②③正确;④错,过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面二、填空题【共4道小题】1、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P 作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB，∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：②③④①或①③④②.主要考察知识点:空间直线和平面2、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P 作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB，∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：②③④①或①③④②.主要考察知识点:空间直线和平面3、设三棱锥P ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上:______________.参考答案与解析:解析：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H为垂心.②∵PA⊥PB，PA⊥PC,∴PA⊥面PBC.∴PA⊥BC.又PH⊥面ABC，∴PH⊥BC.∴BC⊥面PAH.∴AH⊥BC.同理BH⊥AC，∴H为垂心.③∵H为AC中点，∠ABC=90°,∴AH=BH=CH.又PH⊥面ABC，由勾股定理知PA=PB=PC.④∵PA=PB=PC，又PH⊥面ABC，同③可知AH=BH=CH，∴H为外心.答案：①②③④主要考察知识点:空间直线和平面4、如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN,截PM=PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是___________.参考答案与解析:解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连结NO，设PM=PN=a,又∠BPM=∠B PN=45°,∴△OPM≌△OPN.∴ON⊥AB.∴∠MON为所求二面角的平面角.连结MN，∵∠MPN=60°,∴MN=a.又,∴MO2+NO2=MN2.∴∠MON=90°.答案：90°主要考察知识点:空间直线和平面三、解答题【共3道小题】1、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.参考答案与解析:解析：要证明EF∥BD1，可构造与它们都垂直的一个平面.由于A1D，AC 均为各面的对角线，通过对角线的平行性可构造垂直关系.证明：连结A1C1，由于AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1,∴EF⊥平面A1C1D. ①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.又A1B1C1D1为正方体,∴A1C1⊥B1D1.∵BB1∩B1D1＝B1,∴A1C1⊥平面BB1D1D.而BD1平面BB1D1D,∴BD1⊥A1C1.同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1,∴BD1⊥平面A1C1D. ②由①②可知EF∥BD1.主要考察知识点:空间直线和平面2、在长江汽车渡口,马力不足或装货较重的汽车上岸时,采用沿着坡面斜着成S形的方法向上开,这是为什么？你能从数学的角度进行解释吗？参考答案与解析:答案:在汽车马力恒定的情况下,行驶单位路程内,垂直上升高度愈大,汽车愈费“力”,当“力”所不及时,就会发生危险.日常经验告诉我们,走S形可减少这种危险,从数学的角度看,可作如下解释.图2-3-22如图,AB表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA),α表示它与水平面所成的交角,CB表示斜着向上行走的路线,β表示它与水平面所成的夹角,它们所达到的高度都是BD.现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大,越大越费力.在Rt△BAD中,sinα=.①在Rt△BCD中,sinβ=.②比较①与②,因为AB、CB分别是直角三角形ABC的直角边和斜边,也就是说AB＜CB,所以＞.又因为α、β都是锐角,所以α＞β.因此汽车沿着CB方向斜着向上开要省力.山区修筑的公路,采取盘山而上的方法,也是这个道理.主要考察知识点:空间直线和平面3、如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，BC=2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小.参考答案与解析:解:取BC的中点E，连结AE、DE，∵AB=AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC.∴DE⊥BC.∴∠AE D为二面角A-BC-D的平面角.又∵△ABC≌△DBC,且△ABC为以BC为底的等腰三角形，故△DBC也是以BC为底的等腰三角形，∴.又△ABD≌△BDC，∴AD=BC=2.在Rt△DEB中，，BE=1，∴,同理.在△AE D中，∵AE=DE=,AD=2,∴AD2=AE2+DE2.∴∠AE D=90°.∴以面BCD和面BCA为面的二面角的大小为90°.主要考察知识点:空间直线和平面一、选择题【共12道小题】1、下列说法中正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等参考答案与解析:B主要考察知识点:简单几何体和球2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥参考答案与解析:D主要考察知识点:简单几何体和球3、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：设球半径为R，截面半径为r.+r2=R2,∴r2=.∴.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球4、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是( )参考答案与解析:解析：由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知A正确.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球5、长方体的高等于h，底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S′，则长方体的侧面积等于( )A. B.C. D.参考答案与解析:解析：设长方体的底面边长分别为a、b，过相对侧棱的截面面积S′=①,S=ab②,由①②得：(a+b)2=+2S,∴a+b=,S侧=2(a+b)h=2h.答案：C主要考察知识点:简单几何体和球6、设长方体的对角线长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°,则此长方体的体积是( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：设长方体的过一顶点的三条棱长为a、b、c，并且长为a、b的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a=4cos60°=2,b=4cos60°=2.根据长方体的对角线性质，有a2+b2+c2=42,即22+22+c2=42.∴c=.因此长方体的体积V=abc=2×2×=.答案：B主要考察知识点:简单几何体和球7、棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则( )A.S1＜S2＜S3B.S3＜S2＜S1C.S2＜S1＜S3 D.S1＜S3＜S2参考答案与解析:解析：由截面性质可知，设底面积为S.;;可知：S1＜S2＜S3故选A.用平行于底面的平面截棱锥所得截面性质都是一些比例关系：截得面积之比就是对应高之比的平方，截得体积之比，就是对应高之比的立方，所谓“高”，是指大棱锥、小棱锥的高，而不是两部分几何体的高.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球8、正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连结球心与正四面体的四个顶点.把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S·r=·S·h,r= h (其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高)答案：C主要考察知识点:简单几何体和球9、若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A.1∶16B.3∶27C.13∶129D.39∶129参考答案与解析:解析：由题意设上、下底面半径分别为r，4r，截面半径为x，圆台的高为2h，则有,∴x=.∴.答案：D主要考察知识点:简单几何体和球10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A. B. C.D.。

高中数学新人教A版：必修二综合测试卷(含答案)

必修二综合测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某几何体的正视图和侧视图均如图①所示(上面是一个圆，下面是个正方形)，则下面四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )图① (1) (2) (3) (4)A ．(1)(3)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(1)(2)(3)(4)解析：由该几何体的正视图和侧视图，可知该几何体可以为一个正方体上面放着一个球，也可以是一个圆柱上面放着一个球，则其俯视图可以为(1)(3)．答案：A2．已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 1经过点A (3，2)，B (－a ，1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：由题意知，直线l 的斜率为1，则直线l 1的斜率为－1，所以2－13＋a＝－1，所以a ＝－4，又l 1∥l 2，所以－2b ＝－1，所以b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2.答案：B3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体，所以体积为12π×22×4＋2×2×4＝16＋8π.答案：A4．已知点Q是点P(3，4，5)在平面xOy上的射影，则线段PQ 的长等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：由题意，得Q(3，4，0)，故线段PQ的长为5.答案：D5．如图①所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图②所示，那么，在四面体A-EFH中必有()图①图②A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析：折成的四面体中有AH⊥EH，AH⊥FH，所以AH⊥面HEF.答案：A6．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2 B．4 2C．6 D．210解析：由题设得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，知圆C 的圆心为(2，1)，半径为2，因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.答案：C7．一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为() A．27πB．18πC．9πD．54π解析：设正方体的棱长为a，球的半径为r，则6a2＝54，所以a＝3.又因为2r ＝3a所以r ＝32a ＝332，所以S 表＝4πr 2＝4π×274＝27π. 答案：A8.已知高为3的直棱柱ABC -A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B ′ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34解析：V B ′ABC ＝13·S △ABC ·h ＝13×34×3＝34. 答案：D9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4，6)B ．[4，6)C ．(4，6]D ．[4，6]解析：因为圆心到直线的距离为|12＋15－2|42＋（－3）2＝5，所以半径r 的取值范围是(4，6)．答案：A10．直线x ＋ky ＝0，2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，则点(－1，－2)在直线x ＋ky ＝0上，得k ＝－12. 答案：B11．在四面体A -BCD 中，棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则顶点A 在底面BCD 上的投影H 为△BCD 的( )A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心解析：因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，因为AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥CD .因为AH ⊥平面BCD ，所以AH ⊥CD ，AB ∩AH ＝A ，所以CD ⊥平面ABH ，所以CD ⊥BH .同理可证CH ⊥BD ，DH ⊥BC ，则H 是△BCD 的垂心．答案：A12.如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：将其还原成正方体ABCD -PQRS ，连接SC ，AS ，则PB ∥SC ，所以∠ACS (或其补角)是PB 与AC 所成的角．因为△ACS 为正三角形，所以∠ACS ＝60°，所以PB 与AC 所成的角是60°.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值是________．解析：|OP |的最小值即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，d ＝|0＋0－4|1＋1＝2 2. 答案：2214．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以a ＋b ＝2.答案：215．圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________．解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝4π(3)2＝12π.答案：12π16．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c;②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________________．解析：因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可以相交、平行、异面，故①错．因为a、b异面，b、c异面．则a、c可能导面、相交、平行，故②错．由a、b相交，b、c相交，则a、c可以异面、平行，故③错．同理④错，故真命题个数为0.答案：0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．解：因为CC1∥AA1.所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝30°. 在Rt△BCC1中，BC＝CC1·tan∠BC1C＝6×33＝23，从而S△ABC＝34BC2＝33，因此该三棱柱的体积V＝S△ABC·AA1＝33×6＝18 3.18．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三角形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长．解：(1)由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧＝12(2πa)·(2a)＝2πa2，S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圆柱底＝πa2，所以此几何体的表面积S表＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S圆柱底＝2πa2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)分别沿点P 与点Q 所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，则|PQ |＝|AP |2＋|AQ |2＝（2a ）2＋（πa ）2＝a 4＋π2.所以P ，Q 两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为a 4＋π2.19．(本小题满分12分)如图，已知在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为2x －y －2＝0，点C (2，0)．求：(1)直线CD 的方程；(2)AB 边上的高CE 所在直线的方程．解：(1)因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，所以k CD ＝k AB ＝2.故CD 的方程为y ＝2(x －2)，即2x －y －4＝0.(2)因为CE ⊥AB ，所以k CE ＝－1k AB ＝－12. 所以直线CE 的方程为y ＝－12(x －2)，即x ＋2y －2＝0.20．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.21．(本小题满分12分)(2015·北京卷)如图所示，在三棱锥V-ABC 中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V-ABC的体积．(1)证明：因为O，M分别AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC.所以VB∥平面MOC(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于13OC·S△VAB＝3 3.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为3 3.22．(本小题满分12分)已知圆C过点A(1，2)和B(1，10)，且与直线x－2y－1＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)设P为圆C上的任意一点，定点Q(－3，－6)，当点P在圆C 上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．解：(1)圆心显然在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a，6)，半径为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2，由点B在圆上得：(1－a)2＋(10－6)2＝r2，又圆C与直线x－2y－1＝0相切，则r＝|a－13|5.于是(a －1)2＋16＝（a －13）25，解得：a ＝3，r ＝25或a ＝－7，r ＝4 5.所以圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80.(2)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，由M 为PQ 的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 0－32，y ＝y 0－62，即：⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋3，y 0＝2y ＋6，又点P (x 0，y 0)在圆C 上，若圆C 的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20，有：(x 0－3)2＋(y 0－6)2＝20，则(2x ＋3－3)2＋(2y ＋6－6)2＝20，整理得：x 2＋y 2＝5，此时点M 的轨迹方程为：x 2＋y 2＝5.若圆C 的方程为(x ＋7)2＋(y －6)2＝80，有：(x 0＋7)2＋(y 0－6)2＝80，则(2x ＋3＋7)2＋(2y ＋6－6)2＝80，整理得：(x ＋5)2＋y 2＝20，此时点M 的轨迹方程为：(x ＋5)2＋y 2＝20.综上所述：点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝5，或(x ＋5)2＋y 2＝20.。

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第一章空间几何体一、选择题1．右面的三视图所示的几何体是( )．A ．六棱台B ．六棱锥C ．六棱柱D ．六边形 (第1题)2．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为( )． A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶813．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( )．4．A ，B 为球面上相异两点，则通过A ，B 两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有( )．A ．一个B ．无穷多个C ．零个D ．一个或无穷多个5．右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是( )． )．A B C D6．下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有( )． A ．1块 B ．2块 C ．3块 D ．4块7．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( )．正(主)视图侧(左)视图 ABCD(第3题)正视图侧视图俯视图(第5题)正视图俯视图侧视图(第6题)A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是135°8．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥(第8题)A．①②B．①③C．①④D．②④9．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是()．A B C D10．如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是()．A．原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心B．原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心C．原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心D．原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心二、填空题11．一圆球形气球，体积是8 cm3，再打入一些空气后，气球仍然保持为球形，体积是27 cm3．则气球半径增加的百分率为．12．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是．13．右图是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：①如果A 是多面体的下底面，那么上面的面是；②如果面F 在前面，从左边看是面B ，那么上面的面是． 14．一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是．三、解答题15．圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形．已知圆柱表面积为6 ，且底面圆直径与母线长相等，求四棱柱的体积．16．下图是一个几何体的三视图(单位：cm ) (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；)侧视图(2)求这个几何体的表面积及体积.17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD ＝2，求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．18．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，试比较它们的体积V正方体，V球，V圆柱的大小．俯视图ABCB＇A＇C＇11正视图B＇BA＇3侧视图ABC1(第16题)(第17题)19．如图，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为2a，求原来水面的高度．20．如图，四棱柱的底面是菱形，各侧面都是长方形．两个对角面也是长方形，面积分别为Q 1，Q 2．求四棱柱的侧面积．(第19题)参考答案一、选择题 1．B解析：由正视图和侧视图可知几何体为锥体，由俯视图可知几何体为六棱锥． 2．A解析：由设两个球的半径分别为r ，R ，则 4 r 2∶4πR 2＝1∶9. ∴ r 2∶R 2＝1∶9，即r ∶R ＝1∶3．3．C解析：在根据得到三视图的投影关系，∵正视图中小长方形位于左侧，∴小长方形也位于俯视图的左侧；∵小长方形位于侧视图的右侧，∴小长方形一定位于俯视图的下侧， ∴ 图C 正确．4．D解析：A ，B 不在同一直径的两端点时，过A ，B 两点的大圆只有一个；A ，B 在同一直径的端点时大圆有无数个．5．D解析：由几何体的正视图和侧视图可知，几何体上部分为圆锥体，由三个视图可知几何体下部分为圆柱体，∴ 几何体是由圆锥和圆柱组成的组合体．6．D解析：由三视图可知几何体为右图所示，显然组成几何体的长方体木块有4块．7．C解析：由平行于x 轴和z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中是原来的一半，∴ C 不对．8．D解析：①的三个视图均相同；②的正视图和侧视图相同；③的三个视图均不相同；④的正视图和侧视图相同．∴有且仅有两个视图相同的是②④．9．A解析：B 是经过正方体对角面的截面；C 是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是(第6题)经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．10．B解析：在平行投影中线段中点在投影后仍为中点，故选B ．二、填空题 11．50%．解析：设最初球的半径为r ，则8＝34πr 3；打入空气后的半径为R ，则27＝34πR 3． ∴ R 3∶r 3＝27∶8．∴ R ∶r ＝3∶2．∴气球半径增加的百分率为50%． 12．160．解析：依条件得菱形底面对角线的长分别是22515-＝200和2259-＝56． ∴菱形的边长为4256256220022=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛＝ 8． ∴棱柱的侧面积是5×4×8＝160． 13．F ，C ．解析：将多面体看成长方体， A ，F 为相对侧面．如果A 是多面体的下底面，那么上面的面是F ；如果面F 在前面，从左边看是面B ，则右面看必是D ，于是根据展开图，上面的面应该是C ．14．80．解析：由三视图可知，几何体是由棱长为4的正方体和底面边长为4，高为3的四棱锥组成，因此它的体积是V ＝43＋31×42×3＝64＋16＝80．三、解答题15．参考答案：设圆柱底面圆半径为r ，则母线长为2r ． ∵圆柱表面积为6π，∴ 6π＝2πr 2＋4πr 2． ∴ r ＝1．∵ 四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形， ∴ 正方形边长为2． ∴ 四棱柱的体积V ＝(2)2×2＝2×2＝4． 16．(1)略．(2)解：这个几何体是三棱柱．由于底面△ABC 的BC 边上的高为1，BC ＝2，∴ AB ＝2．故所求全面积S ＝2S △ABC ＋S BB ′C ′C ＋2S ABB ′A ′＝8＋62(cm 2)．几何体的体积V ＝S △ABC ·BB ′＝21×2×1×3＝3(cm 3)． 17．解：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22＝(60＋42)π．V ＝V 台－V 锥＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1＝3148π．18．解：设正方体的边长为a ，球的半径为r ，圆柱的底面直径为2R ，则6a 2＝4πr 2＝6πR 2＝S ．∴ a 2＝6S ，r 2＝π4S，R 2＝π6S ． ∴(V 正方体)2＝(a 3)2＝(a 2)3＝36⎪⎭⎫ ⎝⎛S ＝2163S ，(V 球)2＝23π34⎪⎭⎫ ⎝⎛r ＝916π2(r 2)3＝916π23π4⎪⎭⎫⎝⎛S ≈1083S ， (V 圆柱)2＝(πR 2×2R )2＝4π2(R 2)3＝4π23π6⎪⎭⎫ ⎝⎛S ≈1623S ．∴V 正方体＜V 圆柱＜V 球．19．解：设水形成的“圆台”的上下底面半径分别为r ，R ，高为h ，则Rr ＝a ha -．则依条件得3π·h ·(r 2＋rR ＋R 2)＝3π·2a ·22⎪⎭⎫⎝⎛R ，化简得(h －a )3＝－87a 3．解得h ＝a －873a ．即h ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-271a ． 20．解：设底面边长为a ，侧棱长为l ，底面的两对角线长分别为c ，d ．则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧③ ＝ 21 ＋ 21② ＝ ① ＝ 22221a d c Q dl Q cl ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛33(第20题)由 ① 得c ＝l Q 1，由 ② 得d ＝l Q 2，代入 ③ 得212⎪⎭⎫ ⎝⎛l Q ＋222⎪⎭⎫⎝⎛l Q ＝a 2．∴21Q ＋22Q ＝4l 2a 2，∴2la ＝2221＋Q Q ．故S 侧＝4al ＝22221＋Q Q ．第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )． A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能2．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 2＝1，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为( )．A ．51B ．52 C ．53 D ．54 3．经过平面外两点与这个平面平行的平面( )． A ．可能没有B ．至少有一个C ．只有一个D ．有无数个4．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC ＝BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是（）．A ．菱形B ．梯形C ．正方形D ．空间四边形5．已知 m ，n 为异面直线，m ⊂平面，n ⊂平面 β，∩ ＝l ，则( )． A ．l 与m ，n 都相交 B ．l 与m ，n 中至少一条相交C ．l 与m ，n 都不相交D ．l 只与m ，n 中一条相交6．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1-BD -C 的大小为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．如果平面外有两点A ，B ，它们到平面的距离都是a ，则直线AB 和平面的位置关系一定是( )．A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．AB ⊂8．设m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．A ．⊥，m ⊥，n ∥⇒m ⊥nB ．∥，m ⊥，n ∥⇒m ⊥nC ．m ⊥，n ⊂，m ⊥n ⇒⊥D ．⊥，∩＝m ，n ⊥m ⇒n⊥9．平面∥平面，AB ，CD 是夹在和之间的两条线段，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与的关系是( )．A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不能确定10．平面 ⊥平面，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面，β所成的角分别为4π和6π，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′，B ′，则AB ∶A ′B ′ 等于( )．A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题11．下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB ，CD 所成角的大小为．12．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是．DCAB(第11题)(第12题)AB CA 1B 1C 1EF(第10题)13．如图，AC是平面的斜线，且AO＝a，AO与成60º角，OC⊂α，AA′⊥于A′，∠A′OC＝45º，则点A到直线OC的距离是．(第13题)14．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的大小为．15．已知a，b为直线，为平面，a∥，b∥，对于a，b的位置关系有下面五个结论：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交．其中可能成立的有个．三、解答题16．正方体AC1的棱长为a．(1)求证：BD⊥平面ACC1A1；(2)设P为D1D中点，求点P到平面ACC1A1的距离．17．如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：(1)P A∥平面BDE；(2)BD⊥平面P AC．POECDBA18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°．(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．19．如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， (1)求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ； (2)求证：BD 1⊥平面ACB 1； (3)求三棱锥B -ACB 1体积．20. 已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AC AE ＝ADAF＝(0D 1C 1B 1A 1CD BA(第19题)(第18题)＜＜1)．(1)求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF⊥平面ACD？参考答案一、选择题 1．D解析：当垂直于直线l 的两条直线与l 共面时，两条直线平行；当这两条直线与l 不共面时，两条直线平行或相交或异面．2．D解析：当将AD 1平移至BC 1，连接A 1C 1，∴∠A 1BC 1是异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 在△A 1BC 1中，容易计算A 1B ＝BC 1＝5，A 1C 1＝2． ∴由余弦定理得cos ∠A 1BC 1＝54． 3．A解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存在． 4．C解析：依条件得EF ∥＝21AC ，GH ∥＝21AC ，∴ EF ∥＝GH ．又EH ∥＝21BD ，FG ∥＝21BD ，∴ EH ∥＝FG ． ∵AB ＝BC ，∴EF ＝EH ．∵ AC 与BD 所成角的大小为90°，∴ EF 与EH 所成角的大小为90°． ∴四边形EFGH 是正方形． 5．B解析：对于A ，满足条件的直线l 可以与m ，n 中一条相交；对于C ，若l 与m ，n 都不相交，∵ l 分别与m ，n 共面，∴ l ∥m ，l ∥n ．∴ m ∥n ．矛盾；对于D ，满足条件的直线可以与m ，n 都相交．6．A解析：若设AC ，BD 交于点O ，连接C 1O ，则BD ⊥CO ，BD ⊥C 1O ． ∴ ∠COC 1是二面角C 1-BD -C 的平面角．tan ∠COC 1＝BCCC 1＝33．∴ ∠COC 1＝30°． 7．C解析：当A ，B 两点在同侧时，直线AB 和平面平行；当A ，B 两点在异侧时，直线AB 和平面相交．8．B解析：对于A ，⊥，m ⊥，n ∥，m ，n 可以不垂直；对于C ，m ⊥，n ∥，m ⊥n ，，可以不垂直；对于D ，⊥，∩＝m ，n ⊥m ， n ，可以不垂直．9．A解析：设A ，C ∈，B ，D ∈，① 若AB ，CD 共面，∵∥，∴ AC ∥BD . ∵ E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ EF ∥AC ，且EF ⊄，AC ⊂，∴ EF ∥．②若AB ，CD 为异面直线，则过点F 做直线MN ∥AB ，MN 交于M ，交于N ，则MC ∥ND ．∴ F 为的MN 中点．∴EF ∥AM ，且EF ⊄，AM ⊂，∴ EF ∥．10．A解析：连接AB ′，A ′B ，于是∠ABA ′＝6π，∠BAB ′＝4π. 设AB ＝a ，∴ A ′B ＝a cos6π＝32a ，BB ′＝a cos 4π＝22a ． ∴ A ′B ′＝12a ．∴ AB ∶A ′B ′＝2∶1．二、填空题 11．60°．解析：将展开图恢复为正方体时，点B ，D 重合，∴ AB ，CD ，AC 三条面对角线构成等边三角形，∴ 直线AB ，CD 所成角的大小为60°．12．5．如图，取A 1B 1的中点G ，连接FG ，EG ， ∵FG ＝1，EG ＝2，∴ EF ＝5． 13．414a ．解析：如图过点A 作AB ⊥OC ，垂足为B ，连接A ′B ，AA ′(第10题)AB CA 1B 1C 1EFG (第12题)点A 到直线OC 距离是AB ．依条件得AA ′＝23a ，A ′O ＝21a ，A ′B ＝42a ． ∴ AB ＝16243+a ＝414a ．14．60°．解析：依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为1，侧面等腰三角形底边上的高为 2，∴ 侧面与底面所成的二面角的余弦值是21． ∴ 侧面与底面所成的二面角的大小是60°． 15．5．解析：依条件可知当a ∥，b ∥ 时，以上五种情况都有可能出现，因此五个结论都有可能成立．三、解答题16．证明：(1)∵ AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，且AB ∩AD ＝A ， ∴ AA 1⊥平面ABCD ．又BD ⊂平面ABCD ，∴ AA 1⊥BD ．又AC ⊥BD ，AA 1∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1． (2)∵ DD 1∥AA 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1， ∴ DD 1∥平面ACC 1A 1．∴ 点P 到平面ACC 1A 1的距离即为直线DD 1到面ACC 1A 1的距离. 也就是点D 到平面ACC 1A 1的距离，设AC ∩BD ＝O ，则DO 的长度是点D 到平面ACC 1A 1的距离．容易求出DO ＝22a ．∴ P 到平面ACC 1A 1的距离为22a ． 17．证明：(1)连接EO ，∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ O 为AC 的中点．∵ E 是PC 的中点，∴ OE 是△APC 的中位线． ∴ EO ∥P A ．∵ EO ⊂平面BDE ，P A ⊂平面BDE ， ∴ P A ∥平面BDE ．(2)∵ PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ PO ⊥BD ．∵ 四边形ABCD 是正方形，ABC A 1B 1C 1 P ·D D 1 O(第16题)POECDBA(第17题)∴ AC ⊥BD ．∵ PO ∩AC ＝O ，AC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， ∴ BD ⊥平面P AC ．18．(1)证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥BC ．由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ．又PD ∩DC ＝D ， PD ，DC ⊂平面PCD ， ∴ BC ⊥平面PCD ．∵ PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．(2)解：(方法一)分别取AB ，PC 的中点E ，F ，连DE ，DF ，则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D ，E 到平面PBC 的距离相等．又点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离的2倍，由(1)知，BC ⊥平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD ．∵ PD ＝DC ，PF ＝FC ，∴ DF ⊥PC ．又 ∴ 平面PBC ∩平面PCD ＝PC ， ∴ DF ⊥平面PBC 于F ．易知DF ＝22，故点A 到平面PBC 的距离等于2． (方法二)：连接AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ． ∵ AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴ ∠ABC ＝90°．由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1．由PD ⊥平面ABCD ，及PD ＝1，得三棱锥P -ABC 的体积V ＝31S △ABC ·PD ＝31．∵ PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥DC ．又 ∴ PD ＝DC ＝1，∴ PC ＝22DC PD +＝2．由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22． (第18题)(第18题)∵ V A - PBC ＝V P - ABC ，∴31S △PBC ·h ＝V ＝31，得h ＝2．故点A 到平面PBC 的距离等于2．19．(1)证明：∵ AC ⊥BD ，又BB 1⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ， ∴ BB 1⊥AC . BD ∩BB 1＝B ，∴ AC ⊥平面B 1 D 1DB ． (2)证明：由(1)知AC ⊥平面B 1D 1DB ， ∵ BD 1⊂平面B 1D 1DB ，∴ AC ⊥BD 1． ∵ A 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，AB 1⊂平面A 1B 1BA ， ∴ A 1D 1⊥AB 1．又 ∵ A 1B ⊥AB 1且A 1B ∩A 1D 1于A 1， ∴ AB 1⊥平面A 1D 1B ． ∵ BD 1⊂平面A 1D 1B ， ∴ BD 1⊥AB 1，又 ∴ AC ∩AB 1＝A ， ∴ BD 1⊥平面ACB 1．(3)解：(方法1)C BB A ACB B V V 11＝--＝31×1×(21×1×1)＝61．(方法2)1ACB B V -＝21(31V 正方体)＝61． 20．(1)证明：∵ AB ⊥平面BCD ，∴ AB ⊥CD ． ∵ CD ⊥BC ，且AB∩BC ＝B ，∴ CD ⊥平面ABC ．又AC AE ＝ADAF＝(0＜＜1)， ∴ 不论为何值，恒有EF ∥CD ， ∴ EF ⊥平面ABC ．∵ EF ⊂平面BEF ， ∴不论为何值总有平面BEF ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴ BE ⊥平面ACD ．∴ BE ⊥AC ．∵ BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴ BD ＝2，AB ＝6，AC ＝7．由△ABC ∽△AEB ，有AB 2＝AE ·AC ，从而AE ＝76．∴ ＝AC AE ＝76．(第20题)故当＝76时，平面BEF ⊥平面ACD ．第三章直线与方程一、选择题1．下列直线中与直线x －2y ＋1＝0平行的一条是( )． A ．2x －y ＋1＝0 B ．2x －4y ＋2＝0 C ．2x ＋4y ＋1＝0D ．2x －4y ＋1＝02．已知两点A (2，m )与点B (m ，1)之间的距离等于13，则实数m ＝( )． A ．－1B ．4C ．－1或4D ．－4或13．过点M (－2，a )和N (a ，4)的直线的斜率为1，则实数a 的值为( )． A ．1B ．2C ．1或4D ．1或24．如果AB ＞0，BC ＞0，那么直线Ax ―By ―C ＝0不经过的象限是( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知等边△ABC 的两个顶点A (0，0)，B (4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是( )．A ．y ＝－3xB ．y ＝－3(x －4)C ．y ＝3(x －4)D ．y ＝3(x ＋4)6．直线l ：mx －m 2y －1＝0经过点P (2，1)，则倾斜角与直线l 的倾斜角互为补角的一条直线方程是( )．A ．x ―y ―1＝0B ．2x ―y ―3＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －4＝07．点P (1，2)关于x 轴和y 轴的对称的点依次是( )． A ．(2，1)，(－1，－2) B ．(－1，2)，(1，－2) C ．(1，－2)，(－1，2)D ．(－1，－2)，(2，1)8．已知两条平行直线l 1 : 3x ＋4y ＋5＝0，l 2 : 6x ＋by ＋c ＝0间的距离为3，则b ＋c ＝( )．A ．－12B ．48C ．36D ．－12或489．过点P (1，2)，且与原点距离最大的直线方程是( )． A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝010．a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )． A ．⎪⎭⎫⎝⎛21 ，61 －B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛61 －，21C ．⎪⎭⎫⎝⎛61 ，21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21 －，61二、填空题11．已知直线AB 与直线AC 有相同的斜率，且A (1，0)，B (2，a )，C (a ，1)，则实数a 的值是____________．12．已知直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是____________．13．已知点(a ，2)(a ＞0)到直线x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为________． 14．已知直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是 ____________________．15．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则22 ＋ y x 的最小值等于____________．三、解答题 16．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程．17．过点P(1，2)的直线l被两平行线l1 : 4x＋3y＋1＝0与l2 : 4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l的方程．18．已知方程(m2―2m―3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．(1)求该方程表示一条直线的条件；(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值；(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．19．△ABC中，已知C(2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，试求顶点B的坐标．参考答案一、选择题 1．D解析：利用A 1B 2－A 2B 1＝0来判断，排除A ，C ，而B 中直线与已知直线重合． 2．C解析：因为|AB |＝ 1 －＋－ 222)()(m m ＝13，所以2m 2－6m ＋5＝13．解得m ＝－1或m ＝4． 3．A解析：依条件有2＋－ 4a a ＝1，由此解得a ＝1． 4．B解析：因为B ≠0，所以直线方程为y ＝B A x －BC ，依条件B A ＞0，BC＞0．即直线的斜率为正值，纵截距为负值，所以直线不过第二象限．5．C解析：因为△ABC 是等边三角形，所以BC 边所在的直线过点B ，且倾斜角为3π，所以BC 边所在的直线方程为y ＝3(x －4)． 6．C解析：由点P 在l 上得2m ―m 2―1＝0，所以m ＝1．即l 的方程为x ―y ―1＝0．所以所求直线的斜率为－1，显然x ＋y －3＝0满足要求． 7．C解析：因为点(x ，y )关于x 轴和y 轴的对称点依次是(x ，－y )和(－x ，y )，所以P (1，2)关于x 轴和y 轴的对称的点依次是(1，－2)和(－1，2)． 8．D解析：将l 1 : 3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0，因为两条直线平行，所以b ＝8．由228＋ 6 － 10c ＝3，解得c ＝－20或c ＝40．所以b ＋c ＝－12或48．9．A解析：设原点为O ，依条件只需求经过点P 且与直线OP 垂直的直线方程，因为k OP ＝2，所以所求直线的斜率为－21，且过点P ．所以满足条件的直线方程为y －2＝－21(x －1)，即x ＋2y －5＝0． 10．B解析：方法1：因为a ＋2b ＝1，所以a ＝1－2b ．所以直线ax ＋3y ＋b ＝0化为(1－2b )x ＋3y ＋b ＝0．整理得(1－2x )b ＋(x ＋3y )＝0．所以当x ＝21，y ＝－61时上式恒成立．所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21．方法2：由a ＋2b ＝1得a －1＋2b ＝0．进一步变形为a ×21＋3×⎪⎭⎫⎝⎛61 －＋b ＝0．这说明直线方程ax ＋3y ＋b ＝0当x ＝21，y ＝－61时恒成立．所以直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛ 61 ，－21．二、填空题 11．251±．解析：由已知得1 － 20 － a ＝1－ 0－ 1a ，所以 a 2―a ―1＝0．解得a ＝251±．12．－1≤k ≤1且k ≠0．解析：依条件得21·|2k |·|k |≤1，其中k ≠0(否则三角形不存在)．解得－1≤k ≤1且k ≠0． 13．2－1．解析：依条件有221＋ 13 ＋ 2 － a ＝1．解得a ＝2－1，a ＝－2－1(舍去)．14．y ＝2x ．解析：已知直线变形为y ＋2＝－a (x ＋1)，所以直线恒过点(―1，―2)．故所求的直线方程是y ＋2＝2(x ＋1)，即y ＝2x ． 15．1360．解析：因为实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，所以22 ＋ y x 表示原点到直线5x ＋12y ＝60上点的距离．所以22 ＋ y x 的最小值表示原点到直线5x ＋12y ＝60的距离．容易计算d ＝144＋ 2560＝1360．即所求22 ＋ y x 的最小值为1360．三、解答题16．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ，所以直线与y 轴的交点为(0，b )；令y ＝0，得x ＝－34b ，所以直线与x 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛0 ，34 －b ．由已知，得|b |＋b 34 －＋2234 －＋ ⎪⎭⎫⎝⎛b b ＝12，解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0． 17．解：当直线l 的方程为x ＝1时，可验证不符合题意，故设l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎨⎧0 ＝ 1 ＋ 3 ＋ 4 － 2 ＋＝ y x x y k k 解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛4 ＋ 38 ＋ 5 －，4 ＋ 37 － 3k k k k ；由⎩⎨⎧0 ＝ 6 ＋ 3 ＋ 4 － 2 ＋＝ y x x y k k 解得B ⎪⎭⎫⎝⎛4 ＋ 301 － 8 ，4 ＋ 321 － 3k k k k ．因为|AB |＝2，所以 4 ＋ 35＋ 4 ＋ 3522⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k ＝2．整理得7k 2－48k －7＝0．解得k 1＝7或k 2＝－71．故所求的直线方程为x ＋7y －15＝0或7x ―y ―5＝0．18．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m 2―2m ―3＝0，解得m ＝－1，m ＝3；令2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1，m ＝21．所以方程表示一条直线的条件是m ∈R ，且m ≠－1． (2)由(1)易知，当m ＝21时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为x ＝34，它表示一条垂直于x 轴的直线．(3)依题意，有3－ 2 － 6－22m m m ＝－3，所以3m 2－4m －15＝0．所以m ＝3，或m ＝－35，由(1)知所求m ＝－35． (4)因为直线l 的倾斜角是45º，所以斜率为1．故由－1－＋ 23 － 2 － 22m m m m ＝1，解得m ＝34或m ＝－1(舍去)．所以直线l 的倾斜角为45°时，m ＝34． 19．解：依条件，由⎩⎨⎧x y x y ＝1－ 2 ＝解得A (1，1)．因为角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，所以点C (2，5)关于y ＝x 的对称点C'(5，2)在AB 边所在的直线上．AB 边所在的直线方程为y －1＝1－ 51－ 2(x －1)，整理得x －4y ＋3＝0．又BC 边上高线所在的直线方程是y ＝2x －1，所以BC 边所在的直线的斜率为－21． BC 边所在的直线的方程是y ＝―21(x －2)＋5，整理得x ＋2y －12＝0．联立x －4y ＋3＝0与x ＋2y －12＝0，解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛25 ，7．(第19题)第四章圆与方程一、选择题1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝14．与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是( )． A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0D ．2x －y ±5＝05．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )． A ．2B ．2C ．22D ．426．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＋4y －6＝0B ．x 2＋y 2＋4x －6＝0C ．x 2＋y 2－2y ＝0D ．x 2＋y 2＋4y ＋6＝07．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．62D ．528．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和(x －b )2＋(y －a )2＝r 2相切，则( )． A ．(a －b )2＝r 2 B ．(a －b )2＝2r 2 C ．(a ＋b )2＝r 2D ．(a ＋b )2＝2r 29．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( )．A ．14或－6B ．12或－8C ．8或－12D ．6或－1410．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( )．A ．453B ．253 C ．253D ．213二、填空题11．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为____________________．12．已知直线x＝a与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则a的值是_________．13．直线x＝0被圆x2＋y2―6x―2y―15＝0所截得的弦长为_________．14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为．三、解答题16．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．19．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1)求直线P A，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．参考答案一、选择题 1．A解析：C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝52，半径r 1＝5；C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝(10)2，半径r 2＝10．圆心距d ＝224 － 2＋ 1 ＋ 2)()(＝13．因为C 2的圆心在C 1内部，且r 1＝5＜r 2＋d ，所以两圆相交． 2．C解析：因为两圆的标准方程分别为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，所以两圆的圆心距d ＝222 － 1 －＋ 2 ＋ 2)()(＝5．因为r 1＝2，r 2＝3，所以d ＝r 1＋r 2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1． 4．D解析：设所求直线方程为y ＝2x ＋b ，即2x －y ＋b ＝0．圆x 2＋y 2―2x ―4y ＋4＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1．由221＋ 2 ＋ 2 － 2 b ＝1解得b ＝±5．故所求直线的方程为2x －y ±5＝0． 5．C解析：因为圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，显然直线x －y ＋4＝0经过圆心．所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22． 6．A解析：如图，设直线与已知圆交于A ，B 两点，所求圆的圆心为C ．依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直．因为已知圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)，所以过点(1，0)且与已知直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为y ＝2x －2．令x ＝0，得C (0，－2)．联立方程x 2＋y 2－2x ＝0与x ＋2y －3＝0可求出交点A (1，1)．故所求圆的半径r ＝|AC |＝223 ＋ 1＝10．(第6题)所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋4y －6＝0． 7．C解析：因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r ＝32．设圆心到直线的距离为d ，d ＝210＞r ，所以最大距离与最小距离的差等于(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62． 8．B解析：由于两圆半径均为|r |，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b －a )2＋(a －b )2＝(2r )2．化简即(a －b )2＝2r 2． 9．A解析：直线y ＝3x ＋c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位．平移后的直线方程为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0．由直线平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，得221＋ 34 －＋ 0 － 0 c ＝10，即|c －4|＝10，所以c ＝14或－6．10．C解析：因为C (0，1，0)，容易求出AB 的中点M ⎪⎭⎫⎝⎛3 ，23 ，2，所以|CM |＝2220 － 3 ＋ 1 －23 ＋ 0 － 2)()(⎪⎭⎫⎝⎛＝253．二、填空题11．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．解析：令y ＝0，得x ＝－4，所以直线与x 轴的交点A (－4，0)．令x ＝0，得y ＝3，所以直线与y 轴的交点B (0，3)．所以AB 的中点，即圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛23 2，－．因为|AB |＝223 ＋ 4＝5，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋223 － ⎪⎭⎫ ⎝⎛y ＝425．即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0． 12．0或2．解析：画图可知，当垂直于x 轴的直线x ＝a 经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切，所以a 的值是0或2．13．8．解析：令圆方程中x ＝0，所以y 2―2y ―15＝0．解得y ＝5，或y ＝－3．所以圆与直线x ＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．所以直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8． 14．7或－5．解析：由2221 －＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 － 6)()()(z ＝11得(z －1)2＝36．所以z ＝7，或－5． 15．22．解析：如图，S四边形P ACB ＝2S △P AC ＝21|P A |·|CA |·2＝|P A |，又|P A |＝12－||PC ，故求|P A |最小值，只需求|PC |最小值，另|PC |最小值即C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，为2243843＋|＋＋|＝3．于是S 四边形P ACB 最小值为132－＝22．三、解答题16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，于是依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋)(，＝＋)(2222 4 － 3 16 － 1r a r a 解得⎪⎩⎪⎨⎧．，－20 ＝ 1 ＝ 2r a 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)因为圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)，所以圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上．则l 的方程为y ＋1＝x －2，即y ＝x －3．由⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋，－＝023 y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧．－＝，＝2 1 y x 即圆心为O 1(1，－2)，半径r ＝222 ＋ 1 －＋ 1 － 2)()(＝2．故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．17．解：以D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面xDy 中，且EA ＝21． (第15题)所以点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，21 ，1，又B 和B 1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，所以点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ，1 ，1，同理可得G 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 21 1，，． 18．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为圆与两坐标轴相切，所以圆心满足|a |＝|b |，即a －b ＝0，或a ＋b ＝0．又圆心在直线5x ―3y ―8＝0上，所以5a ―3b ―8＝0．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧，＝－，＝－－00835b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧，＝＋，＝－－00835b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧，＝，44b a ＝或⎪⎩⎪⎨⎧．＝－，11＝b a 所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1．19．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0．因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1＋ 3 －－ 2k k ＝2，解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2，所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31．如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102．设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．20．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )，(第19题)圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝22 － a ．又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |，设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2，设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7．在Rt △AMC 中，由勾股定理，得 22 2 － ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a ＋(7)2＝(3|a |)2．解得a ＝±1，r 2＝9．故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．综合测试题考试时间：90分钟试卷满分：100分一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．21 B ．23 C ．22 D ．223 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )．(第20题)A ．2x ―y ―1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋21y －1＝0 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是( )． A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y ＋1＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝05．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台6．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2―4x ―2y ＋1＝0的位置关系是( )． A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心7．过点P (a ，5)作圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝4的切线，切线长为32，则a 等于( )． A ．－1B ．－2C ．－3D ．08．圆A : x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0与圆B : x 2＋y 2―2x ―6y ＋1＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含9．已知点A (2，3，5)，B (－2，1，3)，则|AB |＝( )． A ．6B ．26C ．2D ．2210．如果一个正四面体的体积为9 dm 3，则其表面积S 的值为( )． A ．183dm 2B ．18 dm 2C ．123dm 2D ．12 dm 211．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是( )．（4）（3）（1）（2）A ．515 B ．22 C ．510 D ．012．正六棱锥底面边长为a ，体积为23a 3，则侧棱与底面所成的角为( )． A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为( )．A ．2πB ．32＋ 4π C ．32＋ 5π D ．37π 14．在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )．A ．BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD 的距离为3B ．BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD 的距离为362C ．BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成的角大于30° D ．BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成的角小于30° 二、填空题15．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______________． 16．若圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．17．已知△P 1P 2P 3的三顶点坐标分别为P 1(1，2)，P 2(4，3)和P 3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．18．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为____________．19．若圆C : x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90º，则实数m 的值为__________．PABCDE (第14题)三、解答题 20．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．21．如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角的正切值为26． (1)求侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．22．求半径为4，与圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．(第21题)BP参考答案一、选择题 1．D2．A3．B4．B5．C6．D7．B8．C9．B10．A 11．D 12．B 13．D 14．D 二、填空题15．y ＝3x －6或y ＝―3x ―6． 16．－4＜b ＜0或b ＜－64． 17．17，10． 18．－1． 19．－3．三、解答题20．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－34b ，由已知，得21 34 － ⎪⎭⎫⎝⎛b b ·＝6，即32b 2＝6，解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0． 21．解：(1)取AD 中点M ，连接MO ，PM ，依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角． ∵ PO ⊥面ABCD ，∴∠P AO 为侧棱P A 与底面ABCD 所成的角． ∴tan ∠P AO ＝26．设AB ＝a ，AO ＝22a ， ∴ PO ＝AO ·tan ∠POA ＝23a ， tan ∠PMO ＝MOPO＝3． ∴∠PMO ＝60°．MDBACOEP(第21题(1))。