【好题】高三数学下期中试卷及答案(6)
新高三数学下期中试题附答案
新高三数学下期中试题附答案一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．92．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1103．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( ) A ．－3B ．5C ．33D ．－315．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭6．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．1 B．1 C ．＋2D ．27．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A．BCD8．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40369．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．1610．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．2111．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形12．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．4037二、填空题13．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是____________．14．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 15．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，122n n S a +=-，若212a =，则5S =__________． 16．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________． 17．在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC V，则ab =__18．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 19．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ . 20．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N=-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.23．已知在公比为q 的等比数列{}n a 中，416a =，()34222a a a +=+. （1）若1q >，求数列{}n a 的通项公式；（2）当1q <时，若等差数列{}n b 满足31b a =，512b a a =+，123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和.24．已知函数()cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围．25．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=，（1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==，求ABC ∆的面积. 26．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 2．B解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．A解析：A 【解析】 【分析】先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】根据余弦定理得到22222AC BC AB AC BC +-=-⨯⨯将2AC =,BC =,代入等式得到AB=再由等面积法得到11222CD CD ⨯=⨯⇒=故答案为A. 【点睛】这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4．C解析：C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---，得2q =， 因此，()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---，故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．5．C解析：C 【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以OB =u u u r ，由4221m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.6．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－3 ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)， ∴2a ＋b ＋c 423－＝31)＝3－2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误7．D解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。
高三数学下学期期中试题 理含解析 试题
2021-2021高三第二学期期中考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日理科数学试题第I 卷(选择题 一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题所给出的四个选项里面，只 有一项是哪一项符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的规定的正确位置.〕1.集合{}{}1,0,1,2,|2xA B y y =-==，那么AB =〔 〕A. {}1,0,1-B. {}1,2C. {0,1，2}D. {1,-1，2}【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的值域化简集合B ，由交集的定义可得结果. 【详解】∵集合{}1,0,1,2,A =-{}{}|20x B y y y y ===，所以{}1,2A B ⋂=． 应选B ．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.1ii-的一共轭复数为〔 〕A. 1122i -+ B.1122i + C. 1122i -- D.1122i - 【答案】C 【解析】 试题分析：()()()111,11122i i i i i z z i i i +-+--====--+. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四那么运算上,经常由于忽略而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合一共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四那么运算中,只对加法和乘法法那么给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.一共轭复数的概念.3.假设命题0:x R ρ∃∈，002lg x x ->，那么ρ⌝是〔 〕 A. 0x R ∃∈，002lg x x -≤ B. 0x R ∃∈，002lg x x -< C. x R ∀∈，2lg x x -< D. x R ∀∈，2lg x x -≤ 【答案】D 【解析】【详解】因存在性命题的否认是全称命题,改写量词后否认结论， 所以ρ⌝是x R ∀∈，2lg x x -≤故应选D ．4.如下图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的外表积为〔 〕．A. 2πB.5π2C. 4πD. 5π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱，其高为2，半径为12，由公式易求得它的外表积，得到结果【详解】由三视图可知，该几何体是一个圆柱，其高为2，半径为12， 那么它的外表积为：21152π22222ππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭应选B【点睛】此题主要考察的是根据三视图求外表积，体积，解答此题的关键是判断几何体的形状，属于根底题． 5.函数423,(0)y x x x=-->的最大值是〔 〕 A. 223-B. 243-C. 223+D.243+【答案】B 【解析】【分析】由根本不等式求出当0x >时，43x x+的最小值即可求出函数的最大值. 【详解】由题：0x >，根据根本不等式43x x +≥=，当且仅当43x x =时获得等号，即当x =4(3)x x -+≤-所以当x =423,(0)y x x x =-->获得最大值2-.应选：B【点睛】此题考察求函数最值，可用导函数讨论函数单调性得最值；可用根本不等式性质求得最值，需要在平常学习中多做积累.6.假设实数,x y 满足421x y x y x +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，那么1x yx ++的最小值是〔 〕A.411B.12C.34D.32【答案】C 【解析】作出可行域，如下图：1111x y y x x +-=+++，即求1u 1y x -=+的最小值，可行域上的动点Q x y （，）与定点P 11-（，）连线的斜率的最小值，由图可知最小值为PA 14k =-，1x y x ++的最小值是34.应选C.点睛：此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.7.函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=〔 〕A. 2B. 1C.12D.14【答案】B 【解析】 【分析】利用降幂公式化简成正弦型或者余弦型函数，即()sin()f x A wx ϕ=+或者()cos()f x A wx ϕ=+形式，即可求解.【详解】由题：442222()sin cos (sin cos )(sin cos )f x x x x x x x ωωωωωω=-=+-22(cos sin )cos 2x x x ωωω=--=-，其最小正周期2,2T ππω==所以正数1ω=. 应选：B【点睛】此题考察三角恒等变换和函数周期求法，考察对恒等变形的常见处理方式，纯熟掌握公式对解题可以起到事半功倍的作用. 8.假设1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，那么cos2α等于( ) A.35 B.12C.13D. 3-【答案】A 【解析】1tan 43πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭tan 11tan αα-=+，解得1tan ,2α=22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ααααααααα--=-==++ 将正切值代入得到35. 故答案为A.9.函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的局部图像大致为〔 〕A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x xe f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞+∞，11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101x x e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01xx e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数的奇偶性判断函数的对称性； 4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象 10.ln 2ln 3ln 6,,,236a b c ===那么,,a b c 的大小关系是 〔 〕 A. c b a >>B. b a c >>C. a b c >>D.c a b >>【答案】B 【解析】由题意可得ln ln a b c ===，由于==，所以>>b a c >>，应选答案B ．11.假设函数()3ln 3f x x x x -+-，那么曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是〔 〕 A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】先求()f x ，再求导数得切线斜率，最后求倾斜角.【详解】因为3()ln()3f x x x x=+-+，所以21()1f x x +'=+因此(1)k f =-='，倾斜角为3π，选B. 【点睛】此题考察导数几何意义以及倾斜角，考察根本分析求解才能. 12.假设对于任意x ∈R 都有()2()3cos sin f x f x x x +-=-，那么函数(2)cos 2y f x x =-的图象的对称中心为〔 〕A. ,0,4k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B. (),0,k k π∈ZC. ,0,24k k ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D. ,0,2k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z 【答案】D 【解析】∵对任意x ∈R ，都有f 〔x 〕+2f 〔–x 〕=3cos x –sin x ①，用–x 代替x ，得f 〔–x 〕+2f 〔x 〕=3cos 〔–x 〕–sin 〔–x 〕，即f 〔–x 〕+2f 〔x 〕=3cos x +sin x ②；①②联立，解得f 〔x 〕=sin x +cos x ，所以函数y =f 〔2x 〕–cos2x =sin2x +cos2x –cos2x =sin2x ，图象的对称中心为〔π2k ，0〕，k ∈Z ，应选D ．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分〕 13.函数()()221f x x xf '=+，那么()1f 的值是__________．【答案】-3 【解析】由函数()()221f x x xf =+'，那么()()221f x x f +''=，令1x =，所以()()1221f f =+''，解得()12f '=-，即()24f x x x =-，所以()211413f =-⨯=-.14.函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像上一个最高点的坐标为，由这个最高点到其相邻的最低点间图像与x 轴交于点(6,0)，那么此函数的解析式为__________．【答案】84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】由题意得2ππ6248T A T ω==-⇒==， ,且ππππsin(2)122π()2π()8824k k k k ϕϕϕ⨯+=⇒⨯+=+∈⇒=+∈Z Z所以函数的解析式为ππππsin(2π)sin()8484y x k x =++=+点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法〞中相对应的特殊点求ϕ.15.己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.【答案】2- 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f 〔﹣52〕＝f 〔﹣12〕＝﹣f 〔12〕，结合解析式求出f 〔12〕的值，又因为f 〔2021〕＝f 〔1+2×1009〕＝f 〔1〕＝0；据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数f 〔x 〕是定义在R 上的周期为2的奇函数，那么f 〔﹣52〕＝f 〔﹣12〕＝﹣f 〔12〕， f 〔2021〕＝f 〔1+2×1009〕＝f 〔1〕，又由函数f 〔x 〕是定义在R 上的周期为2的奇函数，那么有f 〔1〕＝f 〔﹣1〕且f 〔1〕＝﹣f 〔﹣1〕，故f 〔1〕＝0，那么f 〔2021〕＝0，又由0＜x ＜l 时，f 〔x 〕＝4x，那么f 〔12〕＝124＝2，那么f 〔﹣52〕＝﹣f 〔12〕＝﹣2； 那么5f f (2019)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝﹣2； 故答案为﹣2【点睛】此题考察函数的周期性与函数值的计算，属于根底题． 16.,,,A B C D 是同一球面上的四个点，,2ABC BAC AB AC π∆∠==中，,AD ⊥平面ABC，6AD =，AB =那么该球的外表积为______________.【答案】60π 【解析】由题设知,,AB AC AD AB AD AC ⊥⊥⊥，故可把三棱锥A BCD -补成长方体，该长方体的体对角线就是外接球的直径，=故该球的外表积为22460S R πππ===，填60π.点睛：与球有关的外表积或者体积问题，可以先确定球心的位置，再求出球的半径的大小，也可以根据几何体的特点采用割补的方法把不规那么的几何体补充规那么的几何体，从而快速确定球的半径.三、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须答题，第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〕17.向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，552||=-b a .〔1〕求cos()αβ-的值；〔2〕假设022ππβα-<<<<，且5sin 13β=-，求sin α的值. 【答案】〔1〕3cos()5αβ-=〔2〕3365【解析】 【分析】〔1〕先由条件得2242.5a ab b -⋅+=再利用向量的坐标公式计算代入得解； 〔2〕先计算αβ-和β的三角函数值，再由sin sin[()]ααββ=-+展开结合条件的三角函数可得解.【详解】〔1〕255a b -=，2242.5a a b b ∴-⋅+= 又(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，221a b ∴==，cos cos sin sin cos()a b αβαβαβ⋅=+=-， 3cos().5αβ∴-=〔2〕022ππβα-<<<<，0.αβπ∴<-<由〔1〕得3cos()5αβ-=，4sin()5αβ∴-=， 又5sin 13β=-，12cos 13β∴=，sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ∴=-+=-+-=4123533.51351365⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭ 【点睛】此题主要考察了三角函数的两角和的展开公式，属于根底题，第二问属于典型的给值求值问题，解题的关键是将未知角通过配凑用角表示，进而由三角函数的两角和的展开公式求解即可.18.在 ABC ∆中，,,a b c 分 别 为 角,,A B C 的 对 边 ，且()sin sin sin B C A C -=-. 〔1〕求角A ；〔2〕假设3a =，求2b c +的最大值.【答案】〔1〕3A π=；〔2〕【解析】 【分析】〔1〕利用sin sin()B A C =+展开代入条件，化简得1cos 2A =，再根据0A π<<，求得3A π=；〔2〕用角B 这一变量来表示2b c +，转化成研究)B B +的最大值. 【详解】〔1〕因为()sin sin sin B C A C -=-，所以()()sin sin sin A C C A C +-=-， 所以1sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos 2A C A C C A C A C A +-=-⇒=， 因为0A π<<，所以3A π=.〔2〕由〔1〕得23C B π=-， 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，所以32sin sin sin()33b cB B ππ==-，所以2,)3b B c B π==-，所以223sin())3b c B B B B π+=+-=+)B ϕ=+，其中tan (0,)22πϕϕ=∈， 由2(0,)3B π∈，存在B 使得2B πϕ+=，所以sin()B ϕ+的最大值为1， 所以2b c +的最大值为【点睛】此题考察三角恒等换、正弦定理及三角函数的最值等知识，考察逻辑推理和运算求解才能，解题过程中要特别注意，求最值的方法，即引入变量B ，构造关于变量B 的函数，接着研究函数的值域，从而得到目的式子的最值.19.()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，当[]1,0x ∈-时，函数解析式1()()42x xaf x a R =-∈． 〔1〕写出()f x 在[]0,1上的解析式； 〔2〕求()f x 在[]0,1上的最大值． 【答案】〔1〕()24xxf x =-；〔2〕0． 【解析】【详解】〔1〕∵()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数， 且()f x 在0x =处有意义，∴(0)0f =， 即001(0)1042af a =-=-=．∴1a =． 设[]0,1x ∈，那么[]1,0x -∈-，∴11()4242x x x x f x ---=-=-； 又∵()()f x f x -=-，∴()42x x f x -=-；所以()24x xf x =-．〔2〕当[]0,1x ∈时，2()242(2)xxxx f x =-=-，∴设2(0)x t t =>，那么2()f t t t =-．∵[]0,1x ∈，∴[]1,2t ∈．当1t =时，取最大值，最大值为110-=． 考点：1、函数表达式的求法；2、函数的奇偶性；3、函数的最值.20.在三棱锥A BCD -中，ABC ∆是等腰直角三角形，且,2,AC BC BC ⊥=AD ⊥平面, 1.BCD AD =〔Ⅰ〕求证：平面ABC ⊥平面ACD ；〔Ⅱ〕假设E 为AB 的中点，求二面角A CE D --的余弦值.【答案】〔1〕见解析；155. 【解析】试题分析：〔1〕通过AD BC ⊥，AC BC ⊥可证得BC ⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ，利用面面垂直的断定定理可得证.(2) 求出面ACE 的法向量()1,0,3n =-和平面CED 的法向量()0,1,2m =-， 试题解析：〔1〕证明：因为AD ⊥平面,BCD BC ⊂平面BCD ，所以AD BC ⊥，又因为,AC BC AC AD A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面,ACD BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD .由可得3CD =如下图建立空间直角坐标系，由()0,0,0C ，()0,2,0B ，)3,0,1A，()3,0,0D，312E ⎫⎪⎪⎝⎭.有3122CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0,1CA =，()3,0,0CD =，设平面ACE 的法向量(),,n x y z =，有30{,{31002x z n CA n CE x y z +=⋅=⋅=++=，令1x =，得(1,0,3n =-， 设平面CED 的法向量(),,m x y z =，有30{310022x m CD m CE x y z =⋅=⋅=++=，令1y =，得()0,1,2m =-，二面角A CE D --的余弦值2315cos 25n m n mθ⋅===⋅.点晴：此题考察的是空间的线面关系和空间角的求解.第一问要考察的是面面垂直，通过先证明线和面内的两条相交直线垂直证得线面垂直，再结合面面垂直的断定定理，可证得；对于第二问空间角的考察是合理建立空间右手系，并求出两个平面的法向量，要注意判断二面角是锐角还是钝角.2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.〔Ⅰ〕设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；〔Ⅱ〕假设(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围 【答案】〔Ⅰ〕当12a ≤时，()(0)1g x g b ≥=-；当122ea <≤时，()22ln(2)g x a a ab ≥--； 当2ea >时，()2g x e a b ≥--.〔Ⅱ〕a 的范围为(0,1). 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕易得()2,()2xxg x e ax b g x e a -='=--，再对分a 情况确定()g x 的单调区间，根据()g x 在[0,1]上的单调性即可得()g x 在[0,1]上的最小值.〔Ⅱ〕设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，注意到(0)0,(1)0f f ==.联络到函数的图象可知，导函数()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x ，即()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由〔Ⅰ〕可知，当12a ≤及2e a ≥时，()g x 在(0,1)122ea <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，且必有(0)10,(1)20gb g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：1b e a =--，代入这两个不等式即可得a 的取值范围.试题解答：〔Ⅰ〕()2,()2xxg x e ax b g x e a -='=--①当0a ≤时，()20x g x e a -'=>，所以()(0)1g x g b ≥=-. ②当0a >时，由()20xg x e a -'=>得2,ln(2)xe a x a >>.假设12a >，那么ln(2)0a >；假设2ea >，那么ln(2)1a >. 所以当102a <≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)1g x gb ≥=-.当122ea <≤时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2g x g a a a ab ≥=--.当2ea >时，()g x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2g x g e a b ≥=--. 〔Ⅱ〕设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，那么由0(0)()0f f x ==可知， ()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减.那么()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负. 故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x . 同理()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x . 所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由〔Ⅰ〕知，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 当2ea ≥时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 所以122e a <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增， 因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：12a b e +=-<，有(0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->.解得21e a -<<.当21e a -<<时，()g x 在区间[0,1]内有最小值(ln(2))g a . 假设(ln(2))0g a ≥，那么()0([0,1])g x x ≥∈，从而()f x 在区间[0,1]上单调递增，这与(0)(1)0f f ==矛盾，所以(ln(2))0g a <. 又(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->，故此时()g x 在(0,ln(2))a 和(ln(2),1)a 内各只有一个零点1x 和2x .由此可知()f x 在1[0,]x 上单调递增，在1(,x 2)x 上单调递减，在2[,1]x 上单调递增. 所以1()(0)0f x f >=，2()(1)0f x f <=， 故()f x 在1(,x 2)x 内有零点. 综上可知，a 的取值范围是(2,1)e -.【考点定位】导数的应用及函数的零点. 【此处有视频，请去附件查看】〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12312x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos (0)a a ρθ=>. 〔1〕求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；〔2〕假设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设点(0,1)M -，2||||||MA MB AB •=，务实数a 的值.【答案】〔1〕直线310x y --=，曲线C :2220x y ax +-=〔2〕53a =【解析】【分析】〔1〕在直线l 的参数方程1231x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩中消去参数t 得直线的一般方程，在曲线C 的极坐标方程为2acos ρθ=中先两边同乘ρ，得曲线的直角坐标方程；〔2〕将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由12•MA MB t t =，()2212||AB t t =-，列方程求出答案.【详解】解：〔1〕因为直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去t 化简得直线l10y --=由2acos ρθ=得22a cos ρρθ=， 因为222x y ρ=+，cos x ρθ=所以222x y ax +=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y ax +-=〔2〕将121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入2220x y ax +-=得221104t at ⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭即)210t a t -+=，)240a∆=->那么12t t a +=，121t t =， ∴12•1MA MB t t ==， ∴2||1AB =∴()())2222121212||441AB t t t t t t a=-=+-=-=∵0a >，∴a =-，满足)240a∆=->∴a =【点睛】此题考察了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.23.函数()|41||2|f x x x =--+． 〔1〕解不等式()8f x <；〔2〕假设关于x 的不等式2()5|2|8f x x a a ++<-的解集不是空集，求a 的取值范围．【答案】(1) 911{|}53x x -<< (2) 1a <-或者9a > 【解析】 【分析】〔1〕分类讨论去绝对值，分别解得每一段的解集，取并集即可. 〔2〕直接利用绝对值三角不等式求得最小值，解得a 的范围即可.【详解】〔1〕由题意可得()33,2151,24133,4x x f x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，338x -+<，得53x >-，无解； 当124x -<<时，518x --<，得95x >-，即9154x -<<；当14x ≥时，338x -<，得113x <，即11143x ≤<.所以不等式的解集为911{|}53x x -<<.〔2〕()5241489f x x x x ++=-++≥， 那么由题可得289a a ->， 解得1a <-或者9a >.【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法，考察了绝对值不等式的几何意义及应用，考察了分类讨论思想，属于中档题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高三数学第二学期期中试卷及答案
高三数学第二学期期中试卷及答案(考试时间120分钟总分值150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两局部第一局部(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，选出契合标题要求的一项.(1)集合 , ,那么(A) (B) (C) (D)(2) 为虚数单位,双数的值是(A) (B) (C) (D)(3)假定满足约束条件那么函数的最大值是(A) (B) (C) (D)(4)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧竞赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次.设命题是甲落地站稳, 是乙落地站稳,那么命题至少有一位队员落地没有站稳可表示为(A) (B) (C) (D)(5)执行如右图所示的顺序框图，那么输入的值是 ( )(A)10(B)17(C)26(D)28(6)函数的图象大致为(A) (B) (C) (D)(7) 和是平面内两个单位向量，它们的夹角为，那么与的夹角是(A) (B) (C) (D)(8)如图，梯形中， , , , ,将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面 .给出下面四个命题：②三棱锥的体积为 ;③ 平面 ;④平面平面 .其中正确命题的序号是(A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④第二局部(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卡上.(9)抛物线的准线方程是 .(10)在一次选秀竞赛中，五位评委为一位扮演者打分，假定去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高分.(11)在中，区分是角的对边. , , ，那么 .(12)一个空间几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为外表积为 .(13)直线与曲线交于不同的两点，假定，那么实数的取值范围是 .(14)将1，2，3，，9这9个正整数区分写在三张卡片上，要求每一张卡片上的恣意两数之差都不在这张卡片上.如今第一张卡片上曾经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，那么6应该写在第张卡片上;第三张卡片上的一切数组成的集合是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明进程.(15)(本小题总分值13分)函数 .(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.(16)(本小题总分值13分)某单位从一所学校招收某类特殊人才.对位曾经选拔入围的先生停止运动协调才干和逻辑思想才干的测试，其测试结果如下表：普通良好优秀普通良好优秀例如表中运动协调才干良好且逻辑思想才干普通的先生是人.由于局部数据丧失，只知道从这位参与测试的先生中随机抽取一位，抽到逻辑思想才干优秀的先生的概率为 . (Ⅰ)求，的值;(Ⅱ)从运动协调才干为优秀的先生中恣意抽取位，求其中至少有一位逻辑思想才干优秀的先生的概率.(17)(此题总分值14分)在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点， , .(Ⅰ)求证：平面 ;(Ⅱ)求证：∥平面 ;(Ⅲ)设点在内(含边界),且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.(18)(本小题总分值13分)设函数，，，记 .(Ⅰ)求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)当时，假定函数没有零点，求的取值范围.(19)(本小题总分值14分)椭圆经过点，一个焦点为 .(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)假定直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.(20)(本小题总分值13分)是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且 . (Ⅰ)假定 ,比拟与的大小关系;(Ⅱ)假定 .(ⅰ)判别能否为数列中的某一项，并请说明理由; (ⅱ)假定是数列中的某一项，写出正整数的集合(不用说明理由).北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案(文史类)2021.3一、选择题题号12345678答案CCDDBACB二、填空题题号91011121314答案16二;三、解答题15. 解：(Ⅰ)由于所以， .由 , ，得，所以的单调递增区间是， . 8分(Ⅱ)由于所以 .所以，当，即时，取得最小值 ;当即时，取得最大值 . 13分16. 解：(I)由题意可知，逻辑思想才干优秀的先生共有人. 设事情：从位先生中随机抽取一位，逻辑思想才干优秀的先生，那么 .解得 .所以 . 5分(Ⅱ)由题意可知，运动协调才干为优秀的先生共有位，区分记为.其中和为运动协调才干和逻辑思想才干都优秀的先生. 从中恣意抽取位，可表示为 ,, , ，共种能够.设事情：从运动协调才干为优秀的先生中恣意抽取位，其中至少有一位逻辑思想才干优秀的先生.事情包括 , , , ，共种能够.所以 .所以致少有一位逻辑思想才干优秀的先生的概率为 . 13分17. 解：(Ⅰ)依题意, 由于四棱柱中，底面，所以底面 .又底面 ,所以 .由于为菱形，所以 .而，所以平面 . 4分(Ⅱ)衔接 ,交于点，衔接 .依题意，∥ ,且， ,所以为矩形.所以∥ .又 , , ,所以 = ，所以为平行四边形，那么∥ .又平面，平面 ,所以∥平面 . 9分(Ⅲ)在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点. 剖析如下：衔接，那么 .由于∥ ,故欲使，只需 ,从而需 .又在中， ,又为中点，所以 .故点一定在线段上.当时，取最小值.在直角三角形中， , , ,所以 . 14分18.解：(I) ，那么函数在处的切线的斜率为 .又，所以函数在处的切线方程为 ,即 4分①当时，，在区间上单调递增;②当时，令，解得 ;令，解得 .综上所述，当时，函数的增区间是 ;当时，函数的增区间是，减区间是 . 9分(Ⅲ)依题意，函数没有零点，即无解.由(Ⅱ)知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，由于，只需，解得 .所以实数的取值范围为 . 13分19. 解：(Ⅰ)由题意得解得， .所以椭圆的方程是 . 4分(Ⅱ)由得 .设，那么有，，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为 .于是，线段的垂直平分线与轴的交点，又点，所以 .又 .于是， .由于，所以 .所以的取值范围为 . 14分20. 解：记的，公差为，公比为，由，得当时，显然 ;当时，由平均值不等式，当且仅当时取等号，而，所以即 .综上所述， . 5分(Ⅱ)(ⅰ)由于，所以得所以或 .由于，所以， . 令，即，，，所以是中的一项.(ⅱ)假定，那么，，当或，( )时， .正整数的集合是 . 13分。
四川省南充市阆中中学2024年高三下学期期中考试(数学试题理)试题
四川省南充市阆中中学2024年高三下学期期中考试（数学试题理）试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．32．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π3．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，()2log3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）5．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．2826．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．17．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B 31 C ．221D ．328．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或39．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（ ） A ．14B ．12C ．10D ．811．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省赣州市十八县市二十四校2024届高三下学期期中联考数学试题(解析版)
2024年赣州市十八县（市）二十四校期中联考高三数学试卷说明：1.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】因为可得，由可得：或，解得：或因为或，所以.故选：C .2. 已知复数，则（ ）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据共轭定义可得，即可根据复数的加减运算得，由模长公式即可求解.【详解】因为，所以，所以故选：D3. 已知命题：，：，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件{}24A x x =∈≤R {}11B x x =∈+>RA B = [)0,2(]2,0-(]0,2[)2,0-,A B 24x ≤22x -≤≤11x +>11x +>11x +<-0x ><2x -{|22},{|2A x x B x x =-≤≤=<-0}x >(0,2]A B ⋂=2i z =-2z z -=2i z =+223i z z -=-2i z =+2(42i)(2i)23i z z -=--+=-2z z -==p ()()21220x x+-<q lg 0x <p qC. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，分别求得的范围，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】因为：，可得，解得，又由，可得，所以是的必要不充分条件.故选：B.4. 已知一个圆柱形容器轴截面是边长为3的正方形，往容器内注水后水面高度为2，若再往容器中放入一个半径为1的实心铁球，则此时水面的高度为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，容器中放入铁球后，总体积为，由此列方程求解即可.【详解】由已知可得圆柱的底面半径为，往容器内注水后水面高度为2，此时放入一个半径为1的实心铁球，铁球的直径为，所以铁球完全没入水中，设此时水面的高度为，则，解得.故选：C5. 已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据函数的图象关于点中心对称得，求得，再利用对称性得.【详解】因为对任意的都有，且，的x p :(21)(22)0x x p +-<220x -<1x <:lg 0q x <01x <<p q 52737027209V V +水球322h 232343π(2π1π()232h ⨯⨯+⨯=⨯⨯7027h =R ()f x ()1,01x ≥()2f x x a =+()0f =2-()f x ()1,0(1)0f =2a =-(0)(2)f f =-x (1)(1)f x f x +=--(1)0f =所以，所以.故选：A6. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ）A.B. 1C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得.【详解】易知，，且，所以直线，它与两坐标轴的交点坐标分别为和，可得，又，解得.故选：C7. 十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（ ）A. 1 B. 2 C. 5 D. 6【答案】D 【解析】【分析】由题意将题目转化成除以7的余数问题，用二项式知识求解即可.【详解】由题意知个位数应为除以的余数，因为，除以的余数为.故选：D.20a +=⇒2a =-(0)(2)(42)2f f =-=--=-()e xf x a x =+0a >()()0,0f l l 23=a 1223()f x ()()0,0f 2a =()e 1x f x a '=+(0)1f a '=+(0)f a =:(1)l y a x a =++(,0)1aa -+(0,)a 12213a a a ⨯⨯=+0a >2a =26817275=⨯+⨯+1161161167()()()()111101111111101011116717C 71C 711=-=+⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅-+-768. 如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（ ）A.B. 2C.D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到，求得且，进而得到，进而求得点，代入双曲线方程，化简求得，结合，即可求解.【详解】因为四边形是一个平行四边形，且，可得，即，由双曲线，可得，渐近线方程为，即，可得，且，因为直线，可得，又因为，所以即，代入双曲线方程，可得，整理得，所以，可得，即，C 22221x y a b-=0a >0b >F P C M C OFPM OM OP ⊥C FP OP ⊥PF b =OP a =2(,a abP c c2(,)b ab M c c -C 222b a =e =OFPM OM OP ⊥o 90OPF ∠=FP OP ⊥2222:1x y C a b-=(c,0)F b y x a =0bx ay -=PF b =OP a ==:b OP y x a =2(,)a abP c cMP OF c ==2,a ab M c cc ⎛⎫-⎪⎝⎭2,b ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭C 42222221b a b a c b c -=4422b a a c -=()44222b a a a b -=+222b a a -=222b a=所以离心率故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若实数，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C.D.【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数函数的性质判断A ，根据对数函数的性质判断B ，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D.【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A 正确；因为在定义域上单调递增且，所以，故B 正确；当时，，故C 不正确；因为上单调递增且，故D 正确.故选：ABD10. 在正三棱柱中，已知，点，分别为和的中点，点是棱上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ）A. 存在点，使得平面 B. 直线与为异面直线C. 存在点，使得D. 存在点，使得直线与平面的夹角为45°【答案】BCDe ==0a b >>0.30.3a b <lg lg a b>1111a b <-->0.3x y =R 0a b >>0.30.3a b <lg y x =()0,∞+0a b >>lg lg a b >10>>>a b 11011a b >>--y =[)0,∞+0a b >>>111ABC A B C -1AA AB =M N 1CC BC P 1AA P 1//B M PBC PN 1CC P 1B M PN ⊥P PN ABC【解析】【分析】作图可知A 错误；B 正确；当点P 与点A 重合时，证明面可得C 正确；当时，由线面角的定义和等腰直角三角形可得D 正确.【详解】A ：如图（1），因为与相交，所以与平面相交，故选项A 错误；B ：如图（1），因为平面，平面，平面，所以直线与为异面直线，故选项B 正确；C ：如图（2），当点P 与点A 重合时，因为，面，面，所以，又，且都在面内，所以面，又面，所以，故选项C 正确；D ：当时，此时为等腰直角三角形，因为面，所以为在面内的投影，所以为所求线面角，所以直线与平面所成的角为，故选项D 正确.PN ^11BB C C AP AN =1B M BC 1B M PBC P ∉11BB C C N ∈11BB C C 1CC ⊂11BB C C PN 1CC PN BC ⊥1BB ⊥ABC PN ⊂ABC 1BB PN ⊥1BB BC B = 11BB C C PN ^11BB C C 1B M ⊂11BB C C 1B M PN ⊥AP AN =PAN △PA ⊥ABC AN PN ABC 45PNA ∠=︒PN ABC o 45故选：BCD.11. 已知函数，其中，，若直线是函数图象的一条对称轴，函数在区间上的值域为，则（ ）A.B.C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】AD 【解析】【分析】利用正弦函数的对称轴求出，即可判断A 选项；结合正弦函数的图象进行分类讨论即可判断B 选项；利用整体代入法结合正弦函数的单调区间即可判断CD选项.【详解】对于A ，由直线是函数图象的一条对称轴，得到.又因为，得到，故A 正确；对于B ，因为，在区间上的值域为，所以或，且，因此.若，则，或.因为，得，此时，当时，，，不符合条件.()()sin f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<π6x ω=()y f x =()f x []π,2π⎡-⎢⎣π3ϕ=76ω=()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭ϕπ6x ω=()y f x =πππ,Z 62n n ϕ+=+∈0πϕ<<π3ϕ=()()sin f x x ωϕ=+[π,2π][-(π)f =(2π)f =πT >2ππ02ωω>⇒<<(π)f =πππ2π33k ω+=+π2ππ2π,Z 33k k ω+=+∈02ω<<13ω=1π()sin()33f x x =+[π,2π]x ∈1π2π[,π]333x +∈()f x ∈若，则，或.因为，得或或.当时，，当时，，，符合条件.当时，，当时，，，不符合条件当时，，当时，，，不符合条件.综上，当时，，符合条件，故B 错误;对于C ，当时，，所以在区间上不是单调递增，故C 错误；对于D ，当时，，所以在区间上单调递减，故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若直线：与圆：交于，两点，则______.【解析】【分析】首先确定圆心和半径，应用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，再由几何法求弦长即可．【详解】由圆，故圆心，半径为，直线，故圆心到直线的距离为，.,(2π)f =π2π3ω+=π2π3k +π2π2π2π,Z 33k k ω+=+∈02ω<<1ω=16ω=76ω=1ω=π()sin(3f x x =+[π,2π]x ∈π4π7π[,333x +∈()[f x ∈-16ω=1π()sin()63f x x =+[π,2π]x ∈1ππ2π[,6323x +∈()f x ∈76ω=7π()sin()63f x x =+[π,2π]x ∈7π3π8π[,6323x +∈()[1,1]f x ∈-1ω=π()sin(3f x x =+π()sin()3f x x =+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π[,]336x +∈()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π5π4π[,363x +∈()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭l 2y x =C 22230x y x +--=A B AB =l 22:(1)4C x y -+=(1,0)C 2r =:20l x y -=l d ==||AB ∴===．13. 如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是______.【答案】【解析】【分析】设出弓形所在圆的半径为，用扇形面积减去三角形面积即可.【详解】如图：设展台所在的圆的圆心为，半径为，，则，即，，所以展台的面积为故答案为：14. 已知数列是有无穷项的等差数列，，公差，若满足条件：①是数列的项；②对任意的正整数，都存在正整数，使得.则满足这样的数列的个数是______种.【答案】【解析】【分析】设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，由已知，设，则.因为，所以，即数BC BCA BC BC =15ABC ∠=︒45ACB ∠=︒2m 100π3-R O R 1801545120BAC ︒︒︒∠=--=︒220sin BC R BAC ===∠10R =120BOC ∠=︒2211100ππ101010.323⋅-⨯⨯=-100π3-{}n a 10a ≥0d >38{}n a ,m n ()m n ≠k m n k a a a =69x {}n a x d +2x d +{}n a m n k a a a =12(),(2)k k a x x d a x x d =+=+()2121k k a a xd k k d -==-⋅0d ≠21x k k Z =-∈列的每一项均是整数，所以数列的每一项均是自然数，且是正整数. 由题意，设，则是数列中的项，所以是数列中的项.设，则，即.因为，故是的约数，进而分类讨论求解即可.【详解】设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，由已知，设，则由等差数列定义得.因为，所以，即数列的每一项均是整数，所以数列的每一项均是自然数，且是正整数.由题意，设，则是数列中的项，所以是数列中的项.设，则，即.因为，故是的约数.所以.当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共2种可能；当时，，得，故，共2种可能；当时，，得，故，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能.综上，满足题意数列共有（种）.经检验，这些数列均符合题意.故答案为：.的{}n a {}n a d 38k a =138k a d +=+{}n a 38(38)d ⋅+{}n a 38(38)m a d =⋅+38(38)38383738()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅(38)3837m k d --⋅=⨯*38,N m k Z d --∈∈d 3837⨯x {}n a x d +2x d +{}n a m n k a a a =12(),(2)k k a x x d a x x d =+=+()2121k k a a xd k k d -==-⋅0d ≠21x k k Z =-∈{}n a {}n a d 38k a =138k a d +=+{}n a 38(38)d ⋅+{}n a 38(38)m a d =⋅+38(38)38383738()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅(38)3837m k d --⋅=⨯*38,N m k Z d --∈∈d 3837⨯1,2,19,37,219,237,1937,3837d =⨯⨯⨯⨯，1d =138(1)0a k =--≥1,2,,38,39k =⋯138,37,,2,1,0a =⋯392d =1382(1)0a k =--≥1,2,,18,19,20k =⋯138,36,34,,4,2,0a =⋯2019d =13819(1)0a k =-⨯-≥1,2,3k =138,19,0a =337d =13837(1)0a k =--≥1,2k =138,1a =38d =13838(1)0a k =-⨯-≥1,2k =138,0a =237d =⨯138237(1)0a k =-⨯⨯-≥1k =138a =1937d =⨯1381937(1)0a k =-⨯⨯-≥1k =138a =3837d =⨯1383837(1)0a k =-⨯⨯-≥1k =138a ={}n a 392032211169+++++++=69【点睛】首先根据等差数列概念和已知条件列得出的每一项均是自然数，且是正整数，再利用同样思路，由是数列的项得出是的约数，进而分类讨论得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数（，，），函数和它的导函数的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）已知，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由函数与的图象可得，，再通过图象过点，得到（2）根据倍角公式对进行化简即可求解.【小问1详解】，由图象可以得到：，因为图象过点，，所以，所以，所以.【小问2详解】{}n a d 38{}n a d 3837⨯()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>ππ22ϕ-<<()f x ()f x '()f x ()65fα=π212f α⎛⎫- ⎪⎝⎭'π()2sin(2)6f x x =-2825()f x ()f x '2,2A ω==()f x π(,0)12()65f α=()cos()f x A x ωωϕ=+'2,2A ω==()f x π(,0)12ππ22ϕ-<<π2π12k ϕ⨯+=π6ϕ=-π()2sin(2)6f x x =-由，得，，.16. 已知四棱锥的底面是一个梯形，，，，，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）由题意可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，作出轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】设的中点分别为，连接.因为，所以.因为，所以.在梯形中，，所以，，，因此，所以，又，平面，6()5fα=π3sin(265α-=π()4cos(26f x x '=-ππ(2)4cos(4)123f αα'-=-2ππ4cos 2(24[12sin (266αα=-=--2825=P ABCD -//AB DC 90ABC ∠=︒4AB BC ==2CD =3PA PD ==PB PC ==PAD ⊥ABCD C PA D --OP OE ⊥OP AD ⊥OP ⊥ABCD O ,OE OP y z x PAD PAC ,AD BC ,O E ,,OP OE PE PA PD =OP AD ⊥PB PC =BC PE ⊥ABCD AD ==2OP ==1()32OE AB DC =+=PE ==222OP OE PE +=OP OE ⊥OP AD ⊥,OE AD ⊂ABCD，所以平面.又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，作出轴，建立空间直角坐标系，则.则，，设平面的法向量，，即，令，得到，，即.设平面的法向量，则，则，令，得到，，即..因为二面角是锐二面角，所以二面角.17. 已知函数（）.（1）当时，求函数的单调递增区间；OE AD O ⋂=OP ⊥ABCD OP ⊂PAD PAD ⊥ABCD O ,OE OP y z x O xyz -(2,1,0),(2,3,0),(2,1,0),(0,0,2)A C D P ---(2,1,2),(4,2,0)AP AD =-=-()4,4,0AC =- PAD 111(,,)m x y z =m AP m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11111220420x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩11x =12y =10z =(1,2,0)m =PAC 222(,,)n x y z =n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222222200x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩21x =21y =212z =1(1,1,2n = cos ,m n ==C PAD --C PA D --()()()()()2ln 22ln 11f x x x a x a x =--+--+a ∈R 0a =()f x（2）若当时，函数取得极大值，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）当时，，对求导，解不等式即可得出答案；（2）对求导，令，求出，分类讨论，和，求出的单调性和最值即可得出的单调性，即可得出答案.【小问1详解】当时，，，由得，所以函数的单调递增区间是；【小问2详解】，，依题意，存在实数且，使得当时，，当时，.记，则（）.记.①当时，，，在区间上单调递减，存在实数且，使得时，，即，单调递减，因此当时，，当时，，函数在时取得极大值.②当时，，因此，3x =()f x a (3,)+∞(2,)+∞0a =()(2)ln(2)f x x x x =---()f x ()0f x '>()f x ()()g x f x '=()g x '2a >2a =2a <()g x ()f x 0a =()(2)ln(2)f x x x x =---()ln(2)(2)f x x x ->'=()0f x '>3x >()f x (3,)+∞2()ln(2)1af x x a x =-+--'(3)0f '=,m n 23m n ≤<<3m x <<()0f x '>3x n <<()0f x '<()()g x f x '=222122(1)14()2(1)(2)(1)a x a x a g x x x x x -+++=-='----2x >2()2(1)14,(3)42h x x a x a h a =-+++=-2a >(3)0h <13a +>()h x (2,1)a +,m n 23m n ≤<<(,)x m n ∈()0h x <()0g x '<()f x '3m x <<()(3)0f x f ''>=3x n <<()(3)0f x f ''<=()f x 3x =2a =(3)0,13h a =+=()(3)0h x h ≥=即，在区间上单调递增，当时，，不是函数的极大值点.③当时，，，函数在区间上单调递增，当时，，即，函数单调递增，即当时，，因此，不是函数的极大值点.综上，实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键点在于能够根据极值点的定义，确定函数在左右的单调性，所以对求导，令，求出，分类讨论，和，求出的单调性和最值即可得出在左右的单调性，即可得出答案.18. 某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈.（1）若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望；（2）一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，）【答案】（1）分布列见解析，数学期望为. （2）【解析】【分析】（1）因为，由二项分布的概率公式求出随机变量的分布列，再由二项分布的均值公式求出；()0g x '≥()f x '(2,)+∞3x >()0f x '>3x =()f x 2a <(3)0h >13a +<()h x (3,)+∞(3,)x ∈+∞()(3)0h x h >>()0g x '>()f x '3x >()(3)0f x f ''>=3x =()f x a (2,)+∞3x =()f x ()()g x f x '=()g x '2a >2a =2a <()g x ()f x 3x =X X n (),X B n p X Y ()2,Y N μσnp μ=()21np p σ=-1k 2k 12k k <()()12120.50.5P k X k P k Y k ≤≤≈-<≤+k 80%k ()2,X Nμσ ()0.6826P X μσμσ-<≤+≈()220.9544P X μσμσ-<≤+≈()330.9974P X μσμσ-<≤+≈ 2.472~(3,0.8)X B X EX（2）康复的人数为随机变量，则，可得出，由正态分布的对称性结合原则求解即可.【小问1详解】记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件，则，因此，，，，则的分布列为：的数学期望.【小问2详解】若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为，记康复的人数为随机变量，则，设，设，所以整数的最大值为19. 已知椭圆：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积1X 1~(100,0.8)X B 2~(80,4)Y N3σA ()0.80.90.20.40.8P A =⨯+⨯=~(3,0.8)X B 0,1,2,3,X =()()()0330C 0.80.20.008P X ===()()()12131C 0.80.20.096P X ===()()()21232C 0.80.20.384P X ===()()()3333C 0.80.20.512P X ===X X123P0.0080.0960.3840.512X ()30.8 2.4E X =⨯=80%80%1X 1~(100,0.8)X B 21000.880,1000.80.216μσ=⨯==⨯⨯=2~(80,4)Y N ()(0.5)0.9772.P X k P Y k ≥≈>-≥所以10.9544(2)10.97722P Y μσ-≥-≈-=因为，0.52802472,72.5,k k μσ-≤-=-⨯=≤所以即k 72C 22221x y a b+=0a b >>F A APQ △P Q C P C Q C tan PAQ ∠=APQ △.（1）求椭圆的方程；（2）若的平分线经过点，求面积的最大值.【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）由已知条件和椭圆的性质解方程组可得；（2）设直线方程，由点在角平分线上结合到角公式（或斜率公式）可得；然后设设的方程为，直曲联立，用韦达定理表示化简得到和直线经过定点，再代入方程①得到；最后利用弦长公式表示出三角形的面积再结合基本不等式求出最值.【小问1详解】由条件得，解得，所以椭圆的方程为；【小问2详解】由的平分线经过点，得到的斜率都存在，点的坐标为，可设C PAQ ∠F APQ △2212x y +=12:1,:1AP y k x AQ y k x =+=+F 121k k =PQ y kx m =+121k k =m PQ (0,3)N -24k >,122a a b ⎧=⎪⎨⋅=⎪⎩1a b ==C 2212x y +=PAQ ∠F ,AP AQ A (0,1)，点的坐标为.由已知得到直线斜率存在，设的方程为，，联立方程组，得，①，，由，得到，所以，得，根据韦达定理得，化简得，即或.又当时，直线经过点，不符合题意，因此，，直线经过定点，将代入方程①得，由，解得.面积.，，则，当且仅当时取等号，因此.的12:1,:1AP y k x AQ y k x =+=+F (1,0)-121k k =PQ PQ y kx m =+1122(,),(,)P x y Q x y 22,12y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(12)4220k x kmx m +++-=()()()222Δ4412220km k m =-+->2121222422,1212km m x x x x k k--+==++121k k =1212(1)(1)y y x x --=1212(1)(1)kx m kx m x x +-+-=22121212(1)()(1)k x x k m x x m x x +-++-=222222222(1)(4)22(1)121212m k m km m k m k k k----⋅++-=+++2230m m +-=1m =3-1m =PQ A 3m =-PQ (0,3)N -3m =-22(12)12160k x kx +-+=()22Δ14464210k k =-+>24k >APQ △1212S AN x x =⋅-==t =0t >2889922t S t t t==≤=++t =APQ △【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是能利用“的平分线经过点”这个条件得到到角公式或斜率间的关系.PAQ F。
高三数学下册期中考试题：含参考答案-精选教学文档
高三数学下册期中考试题：含参考答案【】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学下册期中考试题：含参考答案希望此文能给您带来帮助。
本文题目：高三数学下册期中考试题：含参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。
满分40分.在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的.1.若等差数列前项和为，则复数在复平面上对应的点位于A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2.下列命题错误的是A. 的充分不必要条件;B. 命题的逆否命题为C.对命题：对方程有实根的否定是: ，方程无实根D. 若命题是 ;3.某校高三(1)班共有60人，现需从中抽取所有座位号能被3整除的同学参加某项测试，下面是四位同学设计的输出参加测试同学座位号的程序框图，则其中设计正确的是4.已知平面，直线，点A，下面四个命题，其中正确的命题是A . 若，则与必为异面直线;B. 若则 ;C. 若则 ;D. 若，则 .5.某项测试成绩满分为10分，先随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为me ,平均值为，众数为mo ,则A.me=mo=B.me=moC.me6.已知，则的值A.随的增大而减小B.有时随的增大而增大，有时随的增大而减小C.随的增大而增大D.是一个与无关的常数7.已知三个正态分布密度函数( ， )的图象如图所示，则A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知实数满足 ,给出下列关系式：① ② ③ 其中可能成立的有A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分.满分30分.(一)必做题(913题)9.设n= ,则二项式(x-2x)n的展开式中，x2项的系数为10.若x2-2x-8是x11.已知双曲线 ( 0)的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 .12.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2 的圆,则此几何体的外接球的表面积为13.设的三个内角分别为、、，则下列条件中能够确定为钝角三角形的条件共有________个.(二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为 (参数 )，以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系.在此极坐标系中，若圆的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为 ..15.(几何证明选讲选做题)如图4，已知是⊙ 的切线，是切点，直线交⊙于、两点，是的中点，连结并延长交⊙ 于点 .若，，则 = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)17.(本小题满分12分)如图是两个独立的转盘，在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为。
【典型题】高三数学下期中试卷带答案
【典型题】高三数学下期中试卷带答案一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 4．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．245．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712 B ．714 C ．74D ．786．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．327．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．38．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-9．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．403710．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-311．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣12．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．23二、填空题13．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.14．如图，在ABC 中，,43C BC π==时，点D 在边AC 上， AD DB =，DE AB ⊥，E 为垂足若22DE =，则cos A =__________15．已知()()0f x kx k =>，若正数a 、b 满足()()()()f a f b f a f b +=，且4a b f f k k ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为1，则实数k 的值为______． 16．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____． 17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.18．已知数列111112123123n+++++++，，，，，，则其前n 项的和等于______．19．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.20．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题21．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n n a b +的首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ． 22．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为12，且()3122123a a a -=+。
上海市静安区2024届高三下学期期中教学质量调研数学试卷(含答案与解析)_6709
静安区2023学年第二学期期中教学质量调研高三数学本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1. 中国国旗上所有颜色组成的集合为________．2. 已知i 是虚数单位，复数i2i m z +=+是纯虚数，则实数m 的值为________．3. 函数1ln2xy x -=+的定义域为________．4. 若单位向量a 、b 满足a b ⊥，则a ________．5. 某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X 服从正态分布2(100,)N σ（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间[80,120]的学生人数约为_______．6. 已知物体的位移d （单位：m ）与时间t （单位：s ）满足函数关系2sin d t =，则在时间段()2,6t ∈内，物体的瞬时速度为1m /s 的时刻t =_______（单位：s ）．7. 已知等比数列前n 项和为12nn S a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则a 的值为________．的8. 在下列关于实数a b 、的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号）①a b +≥；②22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；③||||||a b a b -≤-；④2221a b b +≥-．9. 正四棱锥P ABCD -底面边长为2，高为3，则点A 到不经过点A 的侧面的距离为_______．10. 某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有i （i =0，1，2）个次品的概率如下： 一批产品中有次品的个数i 012概率0.3 0.50.2则各批产品通过检查的概率为________．（精确到0.01） 11. 已知实数(0,6)a ∈，记())f x x a =-．若函数()y f x =在区间[]0,2上最小值为2-，则a 的值为________．12. 我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点(,)P x y 都满足方程2220x x yy -+-=，现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点M “爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为_______．二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13. 函数2sin cos (R)y x x x =-∈的最小正周期为（ ）的A. 2πB. πC.3π2D.π214. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ） A. 若//m α,//n α,则//m n ； B. 若m α⊂,n β⊂,//m n ,则//αβ ；C. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ ；D. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β,则//αβ．15. 设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A. 2)B.C. (25)，D. (216. 如果一个非空集合G 上定义了一个运算*，满足如下性质，则称G 关于运算*构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的,a b G ∈，有a b G *∈；（2） 结合律，即对于任意的,,a b c G ∈，有())a b c a b c **=**（； （3） 对于任意的,a b G ∈，方程x a b *=与a y b *=在G 中都有解．例如，整数集Z 关于整数的加法（+）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的,a b ÎZ ，方程x a b +=与a y b +=都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法（⨯）不构成群，因为方程01y ⨯=没有实数解. 以下关于“群”真命题有（ ）①自然数集N 关于自然数加法（+）构成群； ②有理数集Q 关于有理数的乘法（⨯）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（⋅）构成群； ④复数集C 关于复数的加法（+）构成群. A. 0个；B. 1个；C. 2个；D. 3个.三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，5b =，7c =． （1）求角C 的大小； （2）求sin()A C +的值．的的18. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间[)160,165，[)165,170，[)170,175，[)175,180，[]180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.（1）求身高不低于170cm 的学生人数；（2）将身高在[)170,175，[)175,180，[]180,185区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ① 求从这三个组分别抽取的学生人数；② 若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．19. 如图1所示，ABCD 是水平放置的矩形，AB =2BC =．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．（1）求四面体ABCD 的体积V ； （2）试判断与证明以下两个问题：① 在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得l AD ⊥？ ② 在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得//l AD ？20. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ． 现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①BD AC =；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为1: （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； （2）并按你方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．21. 已知R k ∈，记()x x f x a k a -=+⋅（0a >且1a ≠）．（1）当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值； （2）试讨论函数()y f x =的奇偶性； （3）拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）参考答案一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1. 中国国旗上所有颜色组成的集合为________． 【答案】{红,黄}； 【解析】【分析】根据集合的定义即可求解.【详解】中国国旗上所有颜色组成的集合为{红,黄}． 故答案为：{红，黄}． 2. 已知i 是虚数单位，复数i2im z +=+是纯虚数，则实数m 的值为________． 【答案】12-##0.5- 【解析】【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果.的【详解】因为()()()()i 2i i 212i 2i 2i 2i 55m m m mz +-++-===+++-， 所以复数i 2i m z +=+是纯虚数，则满足2105205m m +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，则12m =-，故答案为：12-. 3. 函数1ln2xy x-=+定义域为________． 【答案】()2,1- 【解析】【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数1ln 2x y x -=+有意义，则满足102x x ->+，即102x x -<+，解得2<<1x -， 所以函数1ln2xy x-=+的定义域为()2,1-. 故答案为：()2,1-.4. 若单位向量a 、b 满足a b ⊥，则a________．【答案】2 【解析】【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据a -及数量积的运算律计算可得.【详解】因为单位向量a 、b 满足a b ⊥， 所以0a b ⋅=，所以a -=2==.故答案为：25. 某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X 服从正态分布2(100,)N σ（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭的区间[80,120]的学生人数约为_______． 【答案】1360 【解析】【分析】根据正态分布的性质，求出()80120P X ≤≤，即可求得结果. 【详解】根据已知条件有数学成绩低于80分的概率为3204200025=， 又2(100,)X N σ ，所以数学分数属于闭区间[80,120]的概率为417122525-⨯=， 所以数学分数属于闭区间[80,120]的学生人数约为172000136025⨯=人. 故答案为：13606. 已知物体的位移d （单位：m ）与时间t （单位：s ）满足函数关系2sin d t =，则在时间段()2,6t ∈内，物体的瞬时速度为1m /s 的时刻t =_______（单位：s ）． 【答案】5π3【解析】【分析】可求出导函数2cos d t '=，根据1d =即可求解． 【详解】由题可得：2cos 1d t '==， 可得1cos 2t =，又(2,6)t ∈， 可得5π3t =． 故答案为：5π3． 7. 已知等比数列的前n 项和为12nn S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则a 的值为________． 【答案】1- 【解析】【分析】根据题意，分别求得112a a =+，214a =-，318a =-，结合2213a a a =，列出方程，即可求解. 【详解】由等比数列的前n 项和为12nn S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得1112a S a ==+，22111()2414a S a S a ==+-=--+，33211()4818a S a S a ==+-=--+，所以2111(()(428a -=+⨯-，解得1a =-，经检验符合题意. 故答案：1-.8. 在下列关于实数a b 、的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号）①a b +≥；②22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；③||||||a b a b -≤-；④2221a b b +≥-．【答案】②③④ 【解析】【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证||||||a b a b -≤-即证22a b ab ≥可判断③. 【详解】对于①，取1,1a b =-=，故①错误；对于②，22222224202442a b a b ab ab a b ab a b ab +++-+--⎛⎫⎛⎫-===≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确；对于③，当a b ≥，要证||||||a b a b -≤-，即证()()22a ba b -≤-，即2222||22a b a b a b ab +-≤+-，即证22a b ab ≥， 而22a b ab ≥恒成立，当a b <时，0,0a b a b --，所以||||||a b a b -≤-，故③正确. 对于④，()22222110a b b a b +-+=+-≥，所以2221a b b +≥-，故④正确. 故答案为：②③④.9. 正四棱锥P ABCD -底面边长为2，高为3，则点A 到不经过点A 的侧面的距离为_______．【解析】【分析】求出正四棱锥P ABCD -.【详解】设底面正方形ABCD 的中心为O ，BC 的中点为E ，如下图所示：为易知1EO =，高3PO =，所以其斜高PE ==，由对称性可知点A 到侧面PCD 与侧面PBC 的距离相等， 易知侧面PBC 和侧面PCD与的面积122PDC PBC S S ==⨯= ， 正四棱锥P ABCD -的体积为11223433ABCD V S PO =⋅=⨯⨯⨯=， 设点A 到侧面PBC 的距离为d ，由等体积法可得1114333A PBC A PDC PDC PBC V V V S d S d d --=+=+=⨯= ，解得d =10. 某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有i （i =0，1，2）个次品的概率如下： 一批产品中有次品的个数i 012概率0.3 0.5 0.2则各批产品通过检查的概率为________．（精确到0.01） 【答案】91100##0.91； 【解析】【分析】根据条件概率公式求解0(|)1P A B =，1099110100C 9(|)C 10P A B ==，1098210100C 89(|)C 110P A B ==，即可利用全概率公式求解．【详解】设事件i B 表示一批产品中有i 个次品(0i =，1，2)， 则0()0.3P B =，1()0.5P B =，2()0.2P B =，设事件A 表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则0(|)1P A B =，1099110100C 9(|)C 10P A B ==，1098210100C 89(|)C 110P A B ==，所以()001122989()()()()(|)()10.30.50.20.9110110P A P A B P B P A B P B P A B P B =++=⨯+⨯+⨯≈． 故答案为：0.91．11. 已知实数(0,6)a ∈，记())f x x a =-．若函数()y f x =在区间[]0,2上的最小值为2-，则a 的值为________． 【答案】3 【解析】【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解． 【详解】当06a <<时，())f x x a =-，()f x '=当103x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当123a x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，故13x a =时，()f x取得最小值2()233a a f =-=-， 解得，3a =． 故答案为：3．12. 我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点(,)P x y都满足方程2220x x y y -+-=，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点M “爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为_______．【答案】252d -【解析】【分析】根据题意，得到222x y xy +-+=，曲线上任意一点P 求得2PM 的最小值为2d ，进而求得心吧面积的最大值.【详解】解：由曲线方程2220x x y y -+-=，由点M “爱心线”上任意一点且点M 在y 轴的右侧， 所以点M “爱心线”上任意一点的最小距离d ，一定出现在爱心线位于y 轴的右侧的点， 当0x ≥时，可得222x y xy ++=， 设曲线上任意一点(,),(0)P x y x ≥，且M ，有2222255((222PMx y x y xy =+=+++=+， 因为2PM 的最小值为2d ，所以2xy 的最小值为252d -， 当0y >时，心吧面积为22S x y xy ==最小值为252d -；当0y <时，心吧面积为22S x y xy ==-的最大值为252d -.故答案为：252d -.二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13. 函数2sin cos (R)y x x x =-∈的最小正周期为（ ） A. 2π B. πC.3π2D.π2【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化成()sin y A ωx φ=+的形式，代入周期公式可得结论.【详解】易知()2sin cos y x x x ϕ=-=+，其中1tan 2ϕ=-，的由周期公式可得其最小正周期为2π2πT ω==.故选：A14. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ） A. 若//m α,//n α,则//m n ； B. 若m α⊂,n β⊂,//m n ,则//αβ ；C. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ ；D. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β,则//αβ．【答案】C 【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【详解】若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故A 错误； 若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ或α与β相交，故B 错误； 若m α⊥，//n α，由直线与平面垂直的性质可得m n ⊥，故C 正确；若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，当m 与n 相交时，有//αβ，否则，α与β不一定平行，故D 错误． 故选：C ．15. 设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A. 2)B.C. (25)，D. (2【答案】B 【解析】【详解】由题意得，双曲线的离心率222222(1)1()1(1c a a e a a a++===++，因为1a是减函数，所以当1a >时，101a<<，所以225e <<e << B. 考点：双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为1a的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题.16. 如果一个非空集合G 上定义了一个运算*，满足如下性质，则称G 关于运算*构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的,a b G ∈，有a b G *∈；（2） 结合律，即对于任意的,,a b c G ∈，有())a b c a b c **=**（； （3） 对于任意的,a b G ∈，方程x a b *=与a y b *=在G 中都有解．例如，整数集Z 关于整数的加法（+）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的,a b ÎZ ，方程x a b +=与a y b +=都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法（⨯）不构成群，因为方程01y ⨯=没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（ ）①自然数集N 关于自然数的加法（+）构成群； ②有理数集Q 关于有理数的乘法（⨯）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（⋅）构成群； ④复数集C 关于复数的加法（+）构成群. A. 0个； B. 1个；C. 2个；D. 3个.【答案】B 【解析】【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可. 【详解】对于①，32x +=，在自然数集中无解，错误； 对于②，01y ⨯=，在有理数集中无解，错误； 对于③，a b ⋅是一个数量，不属于平面向量集，错误； 对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律， 且对任意的,a b C ∈，方程x a b +=与a y b +=有复数解，正确. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论.三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，5b =，7c =． （1）求角C 的大小； （2）求sin()A C +的值． 【答案】（1）2π3C =（2 【解析】【分析】（1） 根据已知条件，结合余弦定理即可求解.（2）解1，利用正弦定理先求sin B ，再由sin()sin A C B +=即可求解；解2，先利用正弦定理求出sin A ，再利用两角和的正弦公式即可求解sin()A C +；解3，先利用余弦定理求出cos A ，再利用两角和的正弦公式即可求解sin()A C +. 【小问1详解】由余弦定理，有2221cos 22a b c C ab +-==-，所以2π3C = 【小问2详解】解1：由正弦定理，有sin sin b c B C =，即sin sin b C B c ==所以sin()sin(π)sin A C B B +=-==解2：由正弦定理，有sin sin a c A C =，即sin sin a C A c ==所以13cos .14A ==故，()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+=解3：由余弦定理，有22213cos 214b c a A bc +-==，所以sin A =故，()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+=18. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间[)160,165，[)165,170，[)170,175，[)175,180，[]180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.（1）求身高不低于170cm 学生人数；（2）将身高在[)170,175，[)175,180，[]180,185区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ① 求从这三个组分别抽取的学生人数；② 若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率． 【答案】（1）60人；（2）①30人，20人，10人；②35【解析】【分析】（1）先求出[170,175)的频率可得结果．（2）①由分层抽样可得各组的人数; ②分别列举各种情况可得概率． 【小问1详解】由频率分布直方图可知[170,175)的频率为15(0.070.040.020.01)0.3-⨯+++=，故身高在170cm 以上的学生人数为100(0.30.0450.025)60⨯+⨯+⨯=（人)． 【小问2详解】①A ，B ，C 三组的人数分别为1000.330⨯=，1000.04520⨯⨯=，1000.02510⨯⨯=人． 因此应该从A ，B ，C 三组中每组各抽取630360⨯=（人)，620260⨯=（人)，610160⨯=（人)． ②设A 组的3位同学为1A ，2A ，3A ，B 组的2位同学为1B ，2B ，C 组的1位同学为1C ， 则从6名学生中抽取2人有15种可能：1(B ,2)B ，1(B ,1)C ，2(B ,1)C ．1(A ,2)A ，1(A ,3)A ，1(A ,1)B ，1(A ,2)B ，1(A ,1)C ，的2(A ,3)A ，2(A ,1)B ，2(A ,2)B ，2(A ,1)C ，3(A ,1)B ，3(A ,2)B ，3(A ,1)C ．其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：1(B ,2)B ，1(B ,1)C ，2(B ,1)C ，1(A ,1)B ，1(A ,2)B ，2(A ,1)B ，2(A ,2)B ，3(A ,1)B ，3(A ,2)B ．所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93155P ==．19. 如图1所示，ABCD 是水平放置的矩形，AB =2BC =．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．（1）求四面体ABCD 的体积V ； （2）试判断与证明以下两个问题：① 在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得l AD ⊥？ ② 在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得//l AD ？ 【答案】（1）2； （2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】【分析】（1）过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ．可知AE 为三棱锥的高，利用等面积法求得AE ，再由棱锥体积公式求解；（2）①过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ，由直线与平面垂直的判定与性质证明； ②利用反证法证明在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得//l AD ． 【小问1详解】过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ．平面ABD ⊥平面BCD ，两平面交线为BD ， AE ⊂平面ABD ，AE ∴⊥平面BCD ，由4BD ==以及AB AD BD AE ⋅=⋅可得AE =∴11122332BCD V S AE ∆=⋅=⨯⨯⨯=；【小问2详解】①在平面BCD 上存在经过点C 的直线l ，使得l AD ⊥． 证明：过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ．AE ^Q 平面BCD ，CF ⊂平面BCD ，AE CF ∴⊥，又AE BD E = ，,AE BD ⊂平面ABD ，CF ∴⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，故可得CF AD ⊥，即存在l AD ⊥；②在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得//l AD ， 证明：假设存在//l AD ，AD 不在平面BCD 内，l 在平面BCD 内，则//AD 平面BCD ，与AD ⋂平面BCD D =矛盾．∴不存在//l AD ．20. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ． 现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①BD AC =；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为1: （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来； （2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 （3）答案见解析【解析】【分析】（1）解法1；以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，求得圆O 的方程，得到30)y x =+，联立方程组，求得E 103⎛- ⎝，设圆M 的半径为r ，求得圆M 的方程为222(40)50x y ++=，进而得到函数的解析式；解法2：以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆M 的半径为r ，求得圆N 的方程为222(30)(40)40x y -+-=，得到G ()6,8，，进而得到函数的解析式；（2）解法1：求得圆弧EF 的长为π10arctan 2⎛-⎝，得到圆弧FD 的长为350arctan 4，进而求得过桥道路的总长度；解法2：根据题意，求得,OE OG 〈〉=，得到圆弧EG 的长，求得圆弧GD 的长为π440arctan 23⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而得到过桥道路的总长度；（3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，提出问题，结合面积公式，分别求得铺设过桥路需要混凝土的值.【小问1详解】解法1、如图所示，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，圆O 的方程为22100x y +=，由tan C =10OE =得CE =，30CO =，过点C 作圆O 的切线DE ，切点为E ，直线CE ，其方程为30)y x =+，所以直线OE 的斜率为-，其方程为y =-，将其代入22100x y +=，得点E 的坐标为103⎛- ⎝，经过点D 作圆M 与圆O 切于点F （圆O 与y 轴的交点），设圆M 的半径为r ， 则222OD OM DM +=，即22230(10)r r +-=，解得50r =，所以，圆M 的方程为222(40)50x y ++=，故用函数表示过桥道路为)1030,303100340,030x x y x x +-≤<-=-≤<≤≤⎩.解法2、如图所示，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系， 作圆N 与x 轴相切于点D ，并和圆O 切于点G ，设圆M 的半径为r ，则222OD DN ON +=，即22230(10)r r +=+，解得40r =， 所以圆N 的方程为222(30)(40)40x y -+-=，将直线OG 的方程代入22100x y +=得，点G 的坐标为()6,8，所以用函数表示过桥道路为)1030,303100340,030x x y x x +-≤<-=-≤<-≤≤⎩. 【小问2详解】解法1：由点E的坐标为103⎛-⎝，得πarctan 2EOF ∠=- 所以圆弧EF的长为π10arctan 2⎛-⎝≈3.398， 由点D 的坐标为()30,0，点M 的坐标为()0,40-，得3arctan4DMF ∠=，所以圆弧FD 的长为350arctan4≈32.175，所以过桥道路的总长度为+π10arctan 2⎛-⎝350arctan 4+63.9≈m ，解法2：因为103OE ⎛=- ⎝ ，(6,8)OG =，则cos ,OE OG OE OG OE OG ⋅〈〉==,OE OG 〈〉= ，所以圆弧EG的长为9.833≈，又由点G 的坐标为(6,8)，得π4arctan 23OND ∠=-， 所以圆弧GD 的长为π440arctan 25.74023⎛⎫-≈⎪⎝⎭，所以过桥道路的总长度为+π440arctan 23⎛⎫+- ⎪⎝⎭≈63.9m ．【小问3详解】解：设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE 为底面， 高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF （BDG ）为底面，高为10米的柱体， 提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？方案1：COE DOM ACE AOE BDF DMF BOF S S S S S S S =-==-- 曲边形扇形曲边形扇形扇形， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（COD DOM AOC DMF BOF S S S S S -+-- 扇形扇形扇形）3m ． 方案2：COE ODN ACE AOE BDG DNG BOG S S S S S S S =-==-- 曲边形扇形曲边形扇形扇形， 所以，铺设过桥路需要混凝土10（COD ODN AOC DNG BOF S S S S S -+-- 扇形扇形扇形）3m ． 21. 已知R k ∈，记()x x f x a k a -=+⋅（0a >且1a ≠）．（1）当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值； （2）试讨论函数()y f x =的奇偶性； （3）拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； （3）①当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫-⎪⎝⎭，理由见解析；②答案见解析.【解析】 【分析】（1）当e a =时，求得()e e x x f x k -'=-⋅，分0k ≤和0k >，两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的最值；（2）根据题意，分别结合()()f x f x -=和()()f x f x -=-，列出方程求得k 的值，即可得到结论； （3）根据题意，得到当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且0k <时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log ())a f k x --=()f x -．【小问1详解】解：当e a =时，函数 ()e e x x f x k -=+⋅，可得()e e x x f x k -'=-⋅，若0k ≤时，()0f x '>，故函数()y f x =在R 上单调递增，函数()y f x =在R 上无最值；若0k >时，令()0f x '=，可得1ln 2x k =， 当1,ln 2x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()y f x =在1,ln 2k ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦上为严格减函数； 当1ln ,2x k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()y f x =在1ln ,2k ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上为严格增函数，所以，当1ln 2x k =时，函数取得最小值，最小值为1ln 2f k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，无最大值．综上：当0k ≤时，函数()f x 在R 上无最值；当0k >时，最小值为，无最大值．【小问2详解】解：因为“()y f x =为偶函数”⇔“对于任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=”即对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且x x x x a k a a k a --+⋅=+⋅；即对于任意的x ∈R ，(1)()0x x k a a ---=，可得1k =，所以1k =是()y f x =为偶函数的充要条件．因为“()y f x =为奇函数”⇔“对于任意x ∈R ，都有()()f x f x -=-”， 即对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且x x x x a k a a k a ----⋅=+⋅，即对于任意的x ∈R ，(01)()x x k a a -++=，可得1k =-，所以1k =-是()y f x =为奇函数的充要条件，当1k ≠±时，()y f x =是非奇非偶函数.【小问3详解】解：①当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当0k <时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log ())a f k x --=()f x -． 证明：当0k <时，令()0f x =，解得1log ()2a x k =-为函数()y f x =的零点， 由()x x f x a k a -=+⋅，可得(log ())a f k x --=log ()(log ())a a k x k x a k a -----+⋅x x k a a -=-⋅-()f x =-； ② 答案1：当0k >时，函数()y f x =有对称轴1log 2a x k =． 即当0k >时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log )a f k x -=()f x ， 参考证明：当0k >时，由()x x f x a k a -=+⋅，可得(log )a f k x -=log (log )a a k x k x a k a ---+⋅x x k a a -=⋅+()f x =，答案2：当1k =时，()y f x =的图象关于y 轴对称，即对于任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=，答案3：当0k <时，函数()y f x =的零点为1log ()2a x k =-，即1log ()0.2a f k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.的。
2020-2021高三数学下期中试卷(附答案)(6)
2020-2021高三数学下期中试卷(附答案)(6)一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．92．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,3．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．234．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A．38- B．34- C．38+ D5．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)6．已知01x <<，01y <<，则）AB ．CD ．7．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）8．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +9．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ）A ．7B ．5C ．5-D ．7-10．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )AB ．34 C ．32或2D ．34或211．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1 B ．3C ．6D ．912．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<二、填空题13．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是____________．14．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当b =2ac =，ABC ∆的面积为______.15．若x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．16．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.17．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．18．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．19．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 20．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .三、解答题21．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x 万元，满足31km x =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2020年该产品的利润y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 22．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足2sin 1cos A C B =-．（1）若2a =，c =b ； （2）若sin 4B =，a =b ． 23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R，且sin sin cos 0A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.24．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求12111nS S S ++⋯+． 25．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 2．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，作出可行域，分析yx的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，yx 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-，所以yx 的取值范围是()[),22,-∞-+∞U . 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.3．C解析：C 【解析】试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．4．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ， 【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴sin 10A =， 由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin 2a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos15012b b b =+-︒=+，2302b +-=，b =（b =∴1133sin 12238ABC S ab C ∆--==⨯⨯︒=． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．5．B解析：B 【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B.【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.6．B解析：B 【解析】 【分析】2+≥x y ，边分别相加求解。
【必考题】高三数学下期中试卷附答案
【必考题】高三数学下期中试卷附答案一、选择题1．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．42．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．113．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．524．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．235．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞6．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．317．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--8．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．10．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．1611．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．12．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．5二、填空题13．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．14．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 15．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.16．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积6S =+形的外接圆半径是______17．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．18．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．19．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 20．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．三、解答题21．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；(2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-． （1）求证：A B =；（2）若c =3cos 4C =，求ABC ∆的周长．23．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r，(cos ,cos )n C B =r，且//m n r r，BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．24．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值． 25．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .26．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121288444282222b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.2．C解析：C 【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 3．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．4．C解析：C 【解析】试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．5．A解析：A 【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出.详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭， 化为()()2540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.8．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．9．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.10．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.11．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 12．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．二、填空题13．【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小转化为即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小根据二次函数的图象与性质则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛 解析：21a -<<【解析】 【分析】设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为()10f <，即可求解. 【详解】由题意，设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足()10f <，即220a a +-<， 即(1)(2)0a a -+<，解得21a -<<，即实数a 的取值范围是21a -<<. 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为(1)0f <是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力.14．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2=解析：152【解析】由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2， 得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 15．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题16．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应 解析：2【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：232162sin sin 75sin(4530)22224B =︒=︒+︒=+=设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅= 即2236232226R +⨯+=，解得：R =故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.17．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析：18 【解析】471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，7173a ∴=同理94561213141177a a a a a a a =++++++=L ，97a ∴=423d ∴=，23d =91376k a a -=-=2693÷=9918k ∴=+=18．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A （53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画解析：7 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x ﹣y 有最大值，并且可以得到这个最大值． 详解：根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩画出可行域如图，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0） 平移直线l ：z=2x ﹣y ，得当l 经过点A （5，3）时， ∴Z 最大为2×5﹣3=7． 故答案为7．点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．19．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)解析：9 【解析】解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 故：111871222n n n c a b n =+=+ ， 满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，由等差数列前n 项和公式可得：11111871218712222222502n n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ， 解得：9n = . 即二马相逢，需9日相逢 点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．20．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列， ∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =-三、解答题21．（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得． 【详解】（1）()111f x x x =-+++， ∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 22．（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求in 0()s A B -=，可得()A B k k Z π-=∈，结合范围A ，(0,)B π∈，即可得证A B =．（2）由（1）可得a b =，进而根据余弦定理可求a b ==ABC ∆的周长．【详解】（1）sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-Q ，∴sin sin sin sin cos cos cos cos b B C a A Cb B a A C C-=-，sin sin cos cos sin sin cos cos b B C b B C a A C a A C ∴-=-， cos()cos()a A C b B C ∴+=+，又A B C π++=Q ，cos cos a B b A ∴-=-，sin cos sin cos A B B A ∴-=-， sin()0A B ∴-=，()A B k k Z π∴-=∈，又A Q ，(0,)B π∈，A B ∴=． （2）Q 由（1）可知A B =，可得a b =，又c =Q 3cos 4C =，∴2232342a a-==，226a b ∴==，可得a b ==ABC ∆∴的周长a b c ++=【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围．23．（1）3B π=（2 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的条件，结合诱导公式，求得角B 的余弦值，即可得答案； （2）求出CD ，23ADC ∠=π，由正弦定理可得sin DAC ∠，即可求出四边形ABCD 的面积． 【详解】（1）Q 向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r ，(cos ,cos )n C B =r，且//m n r r，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，2sin cos sin A B A ∴=，1cos 2B ∴=， 0B Q π<<，3B π∴=；（2）根据题意及（1）可得ABC ∆是等边三角形，23ADC ∠=π， ADC ∆中，由余弦定理可得22222cos3AC AD CD AD CD π=+-⋅⋅， 260CD CD ∴+-=，2CD ∴=，由正弦定理可得sin 21sin 7CD ADC DAC AC ∠∠==， ∴四边形ABCD 的面积．119317sin 77sin 22S DAC ABC =⨯⨯∠+⨯⨯∠=． 【点睛】本题考查向量共线条件的运用、诱导公式、余弦定理、正弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将四边形的面积分割成两个三角形的面积和. 24．（Ⅰ）5950（Ⅱ）a =13 【解析】 【分析】 【详解】222221131sin cos 2cos 12sin cos 12sin cos 2sin 222222 B C A A A A A A A ++=+-=++-=+-⋅3sin 5A =,4cos 5A ∴= 2231314959sin cos 2cos 2sin 2222225 5 250B C A A A ++=+-=+⨯-⨯= （2）133sin ,2,sin 25bc A b A ===25．⑴见证明；⑵()11222n n n ++-+【解析】 【分析】（1）由递推公式计算可得12n nb b +=，且1112b a =-=，据此可得数列{}n b 是等比数列. （2）由（1）可得2n n b =，则2nn a n =+，分组求和可得()11222n n n n S ++=-+.【详解】 （1）()()()11121122n n n n n n n n a n a n n a n b b a n a n a n++-+-+-+-====---， 又111312b a =-=-={}n b ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）得2n n b =，2nn a n ∴=+，()()()()()12122122...222...2123...n n n S n n ∴=++++++=++++++++()()()121211221222nn n n n n +-++=+=-+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 26．（1）=BC 2）20【解析】 【分析】（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得6AE AC BE BC ==．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．即：212cos 4m m ADB +-∠=，①212cos 1m m ADB ++∠=．②由①+②，得：232m =，所以m =BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：,sin sin sin sin AE EC BE ECACE EAC BCE CBE==∠∠∠∠，由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，所以AE AC BE BC ==所以BE =，所以215AE =（）．又222222121cos 22214AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以sin BAC ∠=，所以11211225ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=V （）． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。
高三数学下期中试卷(附答案)
高三数学下期中试卷(附答案)一、选择题1．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．42．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．3．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．524．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2015．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，6．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--8．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( )A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S9．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．14010．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣11．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a=，4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒ D ．60B =︒二、填空题13．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.14．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .15．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．16．设，，若，则的最小值为_____________.17．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）18．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.19．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．20．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．三、解答题21．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .22．在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R，且sin sin cos 0A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S25．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC Va ，c . 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.解析：D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .【详解】 由内角和定理知，所以，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b+的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．解析：A 【解析】 【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．5．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示： 由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.6．C解析：C【解析】先考虑充分性,当x>0时，1122x xx x+≥⋅=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.再考虑必要性，当12xx+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x-+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0.故选C.7．B解析：B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值.【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.8．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.10．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.12．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q ，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.二、填空题13．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立12 {20x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为解析：33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】 【详解】根据题意，由于函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，22222()4(1)(1)11xm x x m m--≤--+-，分离参数的思想可知，, 递增，最小值为53，即可知满足33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭即可成立故答案为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 15．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线 解析：22【解析】 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r共线∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+∴22222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即2x =时取等号∴yx的最小值为22. 【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.16．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a- 解析：【解析】 【分析】 由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解. 【详解】 由题意，因为满足，所以，且，则，当且仅当且，即时取得最小值.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题解析：128【解析】 【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求 【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题18．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档解析：14 【解析】 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14． 【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区 解析：25【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22215521d -==+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为25，即25CD = .点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.20．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题解析：()4031,404. 【解析】 【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 解得155k k x k T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=；115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=.故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404. 【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析 （2）()11222n n n n S ++=--【解析】【分析】(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可. 【详解】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2nn a n =-,所以()()()()232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()()121211221222nn n n n n +-++=-=---【点睛】本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型. 22．（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114- 【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求a，代入条件求得sin B =，解得cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果.【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +=，得1sin sin sin sin 2A C CB +=，又由()sin sin B AC =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+.由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π3A =.（Ⅱ）解：在ABC V 中，由余弦定理及π4,6,3b c A ===，有2222cos a b c bc A =+-，故a =由sin sin b A a B =得sinB =，因为b a <，故cos B =.因此sin22sin cos 7B B B ==，21cos22cos 17B B =-=.所以()11cos 2cos cos2sin sin214A B A B A B +=-=-. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.23．（1）6π；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan A =，即可求出角A ；（2）由（1）可得tan 6B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1tan 2A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，即)sin cos 0BA A -=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，cos A A =，tan 3A =， ∵()0,A π∈，∴6A π∠=.（2）由（1）知：tan A =，tan B =，1sin 2A =，∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab Ca b B c C Aa b B c C =+-+-222sin ab Ca b c =+-由余弦定理得：()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22b C C C A B a b Bc C C ===-++-1tan tan 21tan tan 10A B A B +=-⨯=--. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题. 24．(1)12n n b -=, (2)36s =-【解析】 【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与q 的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果. 【详解】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由22 2.a b +=得d+q=3，由335a b +=得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2.所以{}n b 的通项公式为12n n b -=；（2）由131,21b T ==得q 2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4， 当q=4时，d=-1，则S 3=-6。
高三数学下册期中试题：含答案
高三数学下册期中试题：含答案【】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学下册期中试题：含答案希望此文能给您带来帮助。
本文题目：高三数学下册期中试题：含答案一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 计算得( ▲ )A. B. C. D.(2) 从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为( ▲ )A. B. C. D.(3) 某程序的框图所示，则运行该程序后输出的的值是( ▲ )A. B. C. D.(4) 在圆内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( ▲ )A. B. C. D.(5) 已知函数有两个零点、，则有( ▲ )(6) 若均为锐角，且，则的大小关系为( ▲ )A. B. C. D.不确定(7)在长方体ABCDA1B1C1D1中，过长方体的顶点A与长方体12条棱所成的角都相等的平面有( ▲ )A.1个B.2个C.3个D.4个(8)已知函数则是在上单调递减的( ▲ )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(9) 设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、.若△为正三角形，则该双曲线的离心率为(▲)A. B. C. D.(10) 设是定义在上的奇函数，且当时，. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ▲ )A. B. C. D.二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分.(11) 二项式的展开式中的系数为，则实数等于___▲ .(12) 一空间几何体三视图所示，则该几何体的体积为___▲ .(13) 已知实数满足约束条件则的最大值等于___▲ .你能H OL D 住吗(14)在中，角所对的边分别是，若，，则的面积等于___▲ .(15) 将你能HOLD住吗8个汉字及英文字母填入54的方格内，其中你字填入左上角，吗字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原话，所示为一种填法，则共有___▲ 种不同的填法。
2024年高三数学期中试卷及答案
2024年高三数学期中试卷及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x + 1，若f(a) = 3，求a的值。
A. -1B. 1C. 2D. -2{答案：B}2. 已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 21B. 19C. 23D. 17{答案：A}3. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为Q，求点Q的坐标。
A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-2, -3)D. (-3, -2){答案：A}4. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(f(-1))的值。
A. 4B. 2C. 0D. -2{答案：A}5. 设函数g(x) = |x - 1| - |x + 1|，求g(2)的值。
A. 1B. -1C. 2D. -2{答案：B}6. 若直线y = 2x + 3与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5相切，求圆心到直线的距离。
A. 1B. √5C. 2D. 3{答案：B}7. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。
A. 4B. -4C. 5D. -5{答案：B}8. 已知复数z = 3 + 4i，求复数z的模。
A. 5B. 7C. 9D. 25{答案：A}9. 设矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵A的特征值。
A. 2B. 3C. 4D. 5{答案：A}10. 若f(x) = x^3 - 3x + 1，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3x + 1C. 3x^2 + 3D. x^2 + 3x - 1{答案：A}二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知等比数列{bn}的首项为2，公比为3，求第5项的值。
{答案：2 * 3^4}2. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点的对称点为Q，求点Q的坐标。
高三数学下册期中考试试题：带答案
高三数学下册期中考试试题：带答案【】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学下册期中考试试题：带答案希望此文能给您带来帮助。
本文题目：高三数学下册期中考试试题：带答案考试时间：: : 满分150 分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
最后要将所有答案填写在答题卷上，否则不给分。
1.命题：，则( )A. 是假命题; ：B. 是假命题; ：C. 是真命题; ：D. 是真命题; ：2.函数的定义域为( )A. B. C. D.3. 设，则是的( )A.充分而不必要条件B.充分必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件4.直线与垂直，则等于( )A. B. C.-1 D.2或-15. ，为正方体，下面结论错误的是()A. 平面B.C. 平面D.异面直线与所成的角为606.函数对一切实数都满足，有3个实根，则这3个实根之和为( )A. 6B. 9C. 4D. 37. 椭圆的离心率为，则过点且被圆截得的最长弦所在的直线的方程是( )A. B. C. D.8.一个三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1、、3.已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为( )A.16B.32C.36D.649.已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.10. ，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的弧的长为，弦的长为，则函数的图像大致是( )二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分。
)11. 若，则.12. 已知函数，其中，则= .13.在等比数列中，，前3项和，则公比=14.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为.15.有一个数阵如右：记第行的第个数字为(如)，则等于。
2020-2021高三数学下期中试题及答案(6)
2020-2021高三数学下期中试题及答案(6)一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．92．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．3．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．845．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．66．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A ．322B 5C ．5D ．927．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9008．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）9．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A 37B ．34C ．32或D ．3410．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<11．若01a <<，1b c >>，则( )A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a < 12．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒二、填空题13．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.14．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，，则222x y y ++的取值范围是__________.15．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.16．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .17．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.18．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．19．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．设{}n a 是等比数列，公比不为1．已知113a =，且1a ，22a ，33a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ． 22．如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 23．在公差不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，又数列{}n b 满足*2,21,()2,2,n a n n k b k N n n k ⎧=-=∈⎨=⎩． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}nb 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S 25．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．26．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3asinB bcosA =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为235a =，，求ABC ∆的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 2．C解析：C 【解析】 【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.3．A解析：A 【解析】【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】22cos 2a b aC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA ++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．4．C解析：C 【解析】试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.5．A解析：A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.6．C解析：C【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.7．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 8．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
高三数学下期中试卷(带答案)(6)
高三数学下期中试卷(带答案)(6)一、选择题1．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆则a 的值为（ ） A ．2BC．2D ．12．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．13．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20585．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．856．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．327．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102008．在ABC V 中，4ABC π∠=，2AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．10 B ．10 C ．310D ．5 9．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．310．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-311．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．832312．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．6二、填空题13．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____；14．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，记数列{}n a 的前n项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=______.15．设，，若，则的最小值为_____________.16．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．17．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.18．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．19．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．20．已知数列的前项和，则_______．三、解答题21．已知数列{}n a 的首项1122,,1,2,3, (31)n n n a a a n a +===+. （1）证明: 数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .22．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且5352T T b =+．（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ，求证：1154nM ≤<． 23．在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足(1)1(1)n n n n a b n n ++=+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .24．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．25．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．26．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,232c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．2．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴，∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ，∴，即，又数列{}n a 前三项的和，∴，即，即d ＝2或d ＝−2（舍去）， 则公差d ＝2． 故选：C ．3．C解析：C 【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由4221m m ≤-1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.4．A解析：A【解析】【分析】【详解】首先根据数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和．解：∵数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n=2+（n-1）×1=n+1，∵{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b n=1×2n-1，依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033，故选A．5．A解析：A【解析】试题分析：由3cos5A=得，又2a b=，由正弦定理可得sin B=.考点：同角关系式、正弦定理．6．D解析：D【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由1yx+的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，），1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率， 由图可知，113212PAk +==最大．故答案为32． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．7．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.8．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC π=∠，解得sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.10．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．11．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，103534623v ==（米/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.二、填空题13．【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得：即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式解析：21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩ 【解析】 【分析】根据递推关系式()*22,n n S a n n N=≥∈可得()*1123,n n Sa n n N --=≥∈，两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈，即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式. 【详解】因为()*22,n n S a n n N=≥∈所以()*1123,n n S a n n N--=≥∈两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈ 所以{}n a 从第二项起是等比数列， 又22221+S a a ==，所以21a =故22(2,n n a n -=≥ *)n N ∈，又11a =所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.14．1078【解析】【分析】根据数列的递推关系求出数列的前四项的最大最小值得出何时和最大何时和最小进而求得结论【详解】解：因为数列{an}满足：即解得；或或；或所以最小为4最大为8；所以数列的最大值为时解析：1078 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论． 【详解】解：因为数列{a n }满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，{}211a a a ∴-∈即211a a a -=解得22a =； {}3212,a a a a ∴-∈321a a ∴-=或322a a -= 33a ∴=或34a =；{}43123,,a a a a a ∴-∈431a a ∴-=或432a a -=，433a a -=，434a a -=所以4a 最小为4，4a 最大为8；所以，数列10S 的最大值为M 时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项和：()10112102312M ⨯-==-；10S 取最小值m 时，是首项为1，公差为1的等差数列的前10项和：()101011011552m ⨯-=⨯+⨯=；∴1078M m +=． 故答案为：1078． 【点睛】本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．15．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a- 解析：【解析】 【分析】 由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解. 【详解】 由题意，因为满足， 所以，且，则，当且仅当且，即时取得最小值.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考解析：8 【解析】 【分析】根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式112020|1|13n nT a -->，解不等式即可.【详解】因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩.则3q =，13-=n n a .1(1)1323(1)1313n n n T -=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.使不等式成立的最大整数n 为8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.17．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的解析：300 【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.18．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10 【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x zy =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x zy =-的截距最大，此时z 最小由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-故答案为10-19．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=ny=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：【解析】试题分析：由题意，对任意实数，都有，则令可得 ，即，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，故考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质20．2【解析】【分析】【详解】由Sn ＝n2+n （n ∈n*）当n ＝1a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1＝n2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n 当n ＝1时a1＝2×1＝2成立∵an ＝2n解析：2 【解析】 【分析】 【详解】由S n ＝n 2+n （n ∈n *）， 当n ＝1，a 1＝S 1＝1+1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n ， 当n ＝1时，a 1＝2×1＝2，成立， ∵a n ＝2n （n ∈n *）， ∴22，∴2，故答案为2．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）24222n n n n n S +++=-.【解析】试题分析：（1）对121n n n a a a +=+两边取倒数得111111222n n n na a a a ++==+⋅，化简得1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.，求得1112nn a =+，利用错位相减法和分组求和法求得前n 项和24222n n n n n S +++=-.试题解析：（1）111211111111,?,1112222n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++⎛⎫+=∴==+∴-=- ⎪+⎝⎭Q ，又 11211,132a a =∴-=，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为12首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）知，1111111?222n n n a -+-==，即1112nn a =+，设23123...2222n n nT =++++， ① 则2311121...22222n n n n nT +-=++++， ② 由①-②得 21111111111122 (112222222212)nn n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---，11222nn n n T -∴=--.又()1123 (2)n n n +++++=.∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()2124222222n n n n n n n n n S +++++=-+=-.考点：配凑法求通项，错位相减法.22．(1) 43n a n =-;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】（1）∵2(1)n n S na n n =--①， ∴11(1)2(1)n n S n a n n ++=+-+②， ②-①，11(1)4n n n a n a na n ++=+--，∴14n n a a +-=，又∵等比数列{}n b ，5352T T b =+， ∴535452T T b b b -=⇐=，1q =，∴11a =，∴数列{}n a 是1为首项，4为公差的等差数列， ∴14(1)43n a n n =+-=-；（2）由（1）可得111111()(43)(41)44341n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)(1)45594341441n M n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=--++，∴111(1)454n M -≤<， 即1154n M ≤<． 考点：1．等差等比数列的运算；2．列项相消法求数列的和．23．(1)12n n a -=.(2)121nn S n =-+. 【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式； （2）化简，运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．试题解析：（1）设等比数列的公比为，是与的等差中项，即有，即为，解得，即有；（2）），数列的前项和.考点：（1）数列的求和；（2）等比数列的通项公式.【方法点晴】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题.由等差中项的意义可得可求出公比，可求出数列通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消发类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.24．（1）72（2）3a >- 【解析】 【分析】（1）由题得()122f x x x=++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】 （1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-. 【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．（1）（2）57【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A ＝. （2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝. 从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2A ＝×＝.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.26．（1）31nn a =-；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=，然后两式相减得到132n n a a +=+，构造{}1n a +是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----，再利用裂项相消法求和，证明14n T <. 【详解】（1）223n n S n a +=Q ，1122(1)3n n S n a ++∴++=，两式相减得132n n a a +=+ ，113(1)n n a a ++=+∴ ，又111223,2S a a +==∴，∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，13,31n n n n a a +==-∴∴（2）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭∴1111142314n +=-⋅<- 【点睛】 本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。
高三数学下期中试卷(附答案)(6)
高三数学下期中试卷(附答案)(6)一、选择题1．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1762．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2B ．73C ．83D ．33．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712B ．714C ．74D ．784．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．315．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．846．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．327．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④8．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1229．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．310．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．511．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．603km12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．66二、填空题13．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________14．如图，在ABC V 中，,43C BC π==时，点D 在边AC 上， AD DB =，DE AB ⊥，E 为垂足若22DE =cos A =__________15．已知()()0f x kx k =>，若正数a 、b 满足()()()()f a f b f a f b +=，且4a b f f k k ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为1，则实数k 的值为______． 16．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.17．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．18．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos2C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．19．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 20．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 三、解答题21．在数列{}n a 中, 已知11a =，且数列{}n a 的前n 项和n S 满足1434n n S S +-=, n *∈N . （1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n na 的前n 项和为n T ，若不等式3()1604nn aT n+⋅-<对任意的n *∈N 恒成立, 求实数a 的取值范围.22．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.23．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26f x x f C π=+=-，，c =sin B =2sin A ，（1）求C （2）求a 的值．24．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求12111nS S S ++⋯+． 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若c =ABC ∆的面积为4，求+a b 的值； 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=，解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，则求得答案． 【详解】设公比为q ，则616363313(1)1113(1)11a q S q q q a q S qq---===+=---， ∴32q =，∴93962611271123S q S q --===--． 故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.3．D解析：D 【解析】因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D.4．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.5．C解析：C 【解析】试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.6．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．7．C解析：C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.10．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
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【好题】高三数学下期中试卷及答案(6)一、选择题1．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．2．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．853．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．844．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =5．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ） A ．9-B ．12C ．12-D ．96．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A 25B 5C 310D ．10107．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B ．222y x =+C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 9．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8011．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-12．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n a n N ++=∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____； 14．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 15．在数列{}n a 中，“()n 12n a n N*n 1n 1n 1=++⋯+∈+++，又n n n 11b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S 为______．16．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.17．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．19．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C ____． 20．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．三、解答题21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a+的值； （2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.22．已知等差数列{}n a 的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为50.（1）求数列{}n a 的项数； （2）求212230a a a ++⋅⋅⋅+的值.23．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=，ABC ∆的面积为22，求边b ．24．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？25．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和26．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若25a =，2b =．求ABC 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.2．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．3．C解析：C 【解析】试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=（），选C .考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.4．B解析：B 【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+=又286,6a a =-=，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.5．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+， 联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k -=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+=，同理可得225AC AB BC =+=，在ACD ∆中，由余弦定理得2222310cos 2252AC AD CD DAC AC AD +-∠===⋅⨯⨯， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．7．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．8．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x 可能为负数，没有最小值；选项B 错误，化简可得22222y x x ⎫=++， 2222x x +=+，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.9．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。