钢琴的销售存储策略

钢琴的销售存储策略

背景与问题

像钢琴这样的奢饰品销售量很小，商店里一般不会有很多的库存，让他的积压资金。一家商店根据以往的经验，平均每周销售出1架钢琴，现在经理制定的策略是，每周周末检查库存量，当库存量为0或1时，使下周的库存量达到3架；否则不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量订购。

问题分析

对于钢琴这种商品的销售，顾客的到来时相互独立的，在服务体系中通常认为需求量近似的服从泊松分布，其参数值可以由均值为每周销售1架钢琴得到，由此可以推算出不同需求量的概率，周末的库存量可能是0,1,2,3（架），而周初的库存量只能是2和3这两种状态，每周不同的需求量将导致周初库存的变化，于是可以用马氏链模型来描述这个过程，当需求量超过库存量的时候就会失去销售机会，可以计算这种情况下发生的概率。在动态过程中，这个概率每周是不同的，每周的销售量也是不同的，通常采用的办法是在时间充分长以后，按稳定态情况进行分析和计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。

模型假设

1.钢琴每周的需求量服从泊松分布，均值为1架。

2.存储策略：当周末库存量为0或1时，订购，是下周库存达到3架，周初到货；否则，

不订购。

3.以每个周期的不存量作为状态变量，状态转移具有无后性。

4.在稳态情况下计算该存储策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。

符号说明

D：第n周的需求量

n

S：第n周初的库存量

n

P：状态转移矩阵

)

a

(n

:状态概率

i

：稳态概率分布

R：第n周的平均销售量

n

模型建立

根据钢琴每周的需求量服从泊松分布，均值为1架即，n D 服从均值为1的泊松分布，即

!

!)(1

k e k e k D P k n --===λλ ),2,1,0(⋅⋅⋅=k 分别令3,2,1,0====k k k k ，求出相应的概率)(n D P

3679.0!001===-e D P n ）（ 3679.0!

111

===-e D P n ）（ 1839.0!221===-e D P n ）（ 0613.0!

331

===-e D P n ）（ 0190.03=>）（n D P

第n 周初的库存量n S ，{}3,2∈n S 是这个系统的状态变量。由于存储策略：当周末库存量为0或1时，订购，是下周库存达到3架，周初到货；否则，不订购，则状态转移规律为：

⎩⎨⎧-=+,

3,1n n n D S S n n n n S D S D ≥+<+11 由此计算状态转移矩阵

3679.0)0()2|2(111======+n n n D P S S P p

6321.0)1()2|3(112=≥====+n n n D P S S P p

3679.0)1()3|2(121======+n n n D P S S P p

6321.0)0()2()3|3(122==+≥====+n n n n D P D P S S P p

状态转移矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6321.03679.06321.03679.022211211

p p p p P 根据定理，若马氏链的转移矩阵为P ，则它是正则链的充要条件是，存在正整数N ，使得0>N P (即N P 中的每一个元素都大于0)

对于矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=6321.03679.06321.03679.0P 可知这是一个正则链，具有稳态概率分布 则稳态概率分布ω满足P ωω=

带入得到⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=16321.06321.03679.03679.021

212211ωωωωωωωω

解得方程组得到⎩⎨⎧==6321.03679.02

1ωω 进而）（）（6321.03679.021==ωωω

∞→n ，状态概率)6321.03679

.0()()(===i S P n a n 该存储策略（第n 周）失去机会的概率为)(n n S D P >按照全概率公式有

)()|()(3

2i S P i S i D P S D P n i n n n n ==>=>∑=

其中，2=i 时，0803.0)2|2(==>n n S D P

3=i 时，0190.0)3|3(==>n n S D P

0416.06321.00190.03679.00803.0(=⨯+⨯=>）n n S D P

即从长期来看，失去销售机会的可能性大约为%10。

在计算该存储策略（第n 周）的平均销售量n R 时，应该注意到当需求超过存储量时只能销售掉存量，于是

)(|()|(3

211i S P i S i D iP i S j D jP R n i n i j n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≥+===∑∑=-=）

当2=i 时，

8963.02|2(2)2|1(1==≥⨯+==⨯）n n n n S D P S D P

当3=i 时，

9766.03|3(3)3|2(2)3|1(1==≥⨯+==⨯+==⨯）n n n n n n S D P S D P S D P 9471.06321.09766.03679.08639.0=⨯+⨯=n R

即从长期来看，每周的平均销售量为9741.0架。

敏感性分析

这个模型用到的唯一一个原始数据是平均每天售出1架钢琴，根据上面求出的结果，发现这个数值会有波动，为了计算当平均需求字在1附近波动时，最终结果有多大变化，