苏教版数学高二- 选修2-3试题 1.4《计数应用题》

1.4 计数应用题同步检测

一、基础过关

1．凸十边形的对角线的条数为________．

2．在直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝m(m＝0,1,2,3,4)，与平行直线y＝n(n＝0,1,2,3,4)组成的图形中，矩形共有________个．

3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．

4．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有________种．

5．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有___种．

6．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．

二、能力提升

7．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．8．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有________个．

9．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．

10．空间有10个点，其中有5个点共面(除此之外再无4点共面)，以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作________个四面体．

11．在某次数字测验中，记座号为n(n＝1,2,3,4)的同学的考试成绩为f(n)．若

f(n)∈{70,85,88,90,98,100}，且满足f(1)

12．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？

(1)任意选5人；

(2)甲、乙、丙三人必须参加；

(3)甲、乙、丙三人不能参加；

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；

(5)甲、乙、丙三人至少1人参加．

13．某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行：

(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；

(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队客场各赛一场)决出胜者；

(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．

问全部赛程共需比赛多少场？

三、探究与拓展

14．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大．当3,4固定在图中位置时，所填写空格的方法共有多少种？

答案

1．35 2.100 3.14 4.10 5.4 186 6.80 7．472 8．126 9．112 10．205 11．35

12．解 (1)C 512＝792(种)不同的选法．

(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36(种)不同的选法．

(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126(种)不同的 选法．

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3(种)

选法，再从另外的9人中选4人有C 49种选法，共有C 13C 49＝378(种)不同的选法．

(5)(直接法)可分为三类：

第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有C 13C 49种；

第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有C 23C 39种；

第三类：甲、乙、丙3人均参加，共有C 33C 29种．

共有C 13C 49＋C 23C 39＋C 33C 29＝666(种)不同的选法．

13．解 (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C 26

＝2×6×51×2

＝30(场)． (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A 22＝2×1×2＝4(场)．

(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．

所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．

14. 解 由题意可得数字1,2,9的位置也是固定的，如图所示，5、6、7、8四个数字在

A 、

B 、

C 、

D 四个位置上，A 、B 两个位置的填法有C 24种，C 、D 两个位置则只有C 22种填法．

由分步计数原理知，不同的填法及总数共有C 24·

C 22＝6(种)．