解直角三角形(方位角、坡度角).ppt
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利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题课件(共18张PPT)
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You made my day!
我们，还在路上……
AE 3 ∴AE=3BE=3CF=66.84(m),
AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
=66.84+6+55.71 = 128.55≈128.6 (m).
知2－讲
(2)横截面的面积 S1BCADCF
2
16128.5522.28
2 1498.9(m2)，
需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.
（来自《点拨》）
知1－练
1 (中考·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北 方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P的距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西 方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直 线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏 西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该 船的速度应该是( )海里/小时． A．10 B．5
∵cos ∠BCD＝ C D , BC
∴BC＝ cos CD BCDco4 s0 55。 70.2(米 ).
∴t甲≈
57.21038.6(秒), 2
t乙≈
70.2 2
35.1(秒).
∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化 为求线段长度的问题．
知2－讲
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建 造这个大坝需用土石方约为224835m³.
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我们，还在路上……
AE 3 ∴AE=3BE=3CF=66.84(m),
AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
=66.84+6+55.71 = 128.55≈128.6 (m).
知2－讲
(2)横截面的面积 S1BCADCF
2
16128.5522.28
2 1498.9(m2)，
需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.
（来自《点拨》）
知1－练
1 (中考·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北 方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P的距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西 方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直 线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏 西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该 船的速度应该是( )海里/小时． A．10 B．5
∵cos ∠BCD＝ C D , BC
∴BC＝ cos CD BCDco4 s0 55。 70.2(米 ).
∴t甲≈
57.21038.6(秒), 2
t乙≈
70.2 2
35.1(秒).
∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化 为求线段长度的问题．
知2－讲
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建 造这个大坝需用土石方约为224835m³.
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
《用解直角三角形解方位角、坡角的应用》PPT课件
第四章 解直角三角形
4.4 解直角三角形的应用
第2课时 用解直角三角形解方 位角、坡角的应用
1 课堂讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
观察下图中图形的方位，试着描述它们的位置.
知识点 1 用解直角三角形解方位角问题
知1－讲
1. 方向角的定义： 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的 角叫作方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点 的指北方向线起， 按顺时针方向到目标方向线之间 的水平夹角，变化范围为0 ~ 360°，而方向角的变 化范围是0 ~ 90° .
如图1，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD，问哪条
路比较陡?
B
A
D
图1
知2－讲
如何用数量来刻画哪条路陡呢? 如图2，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的
高度 h ( 即线段 BC 的长度 ) 与水平前进的距离 l ( 即线 段 AC 的长度 ) 的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
i h (坡度通常写成 1：m 的形式) . l
则在Rt △ ACE 中，CE= 3x ，AC=2x，
在Rt △BCE 中，BE=CE= 3x,
∴ BC= 6x.
∵ AB=AE+BE，∴ x + 3x＝60( 6 + 2) ,
解得x = 60 2 海里.
∴ AC =120 2海里，BC = 120 3 海里.
知1－讲
解：(2) 如图，过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F，
俯角为 60°. 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ 3 ，点P，H，
B，C，A 在同一个平面上，点H，B，C 在同一条直 线上，且PH ⊥ HC. (1) 山坡坡角的度数等于
4.4 解直角三角形的应用
第2课时 用解直角三角形解方 位角、坡角的应用
1 课堂讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
观察下图中图形的方位，试着描述它们的位置.
知识点 1 用解直角三角形解方位角问题
知1－讲
1. 方向角的定义： 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的 角叫作方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点 的指北方向线起， 按顺时针方向到目标方向线之间 的水平夹角，变化范围为0 ~ 360°，而方向角的变 化范围是0 ~ 90° .
如图1，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD，问哪条
路比较陡?
B
A
D
图1
知2－讲
如何用数量来刻画哪条路陡呢? 如图2，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的
高度 h ( 即线段 BC 的长度 ) 与水平前进的距离 l ( 即线 段 AC 的长度 ) 的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
i h (坡度通常写成 1：m 的形式) . l
则在Rt △ ACE 中，CE= 3x ，AC=2x，
在Rt △BCE 中，BE=CE= 3x,
∴ BC= 6x.
∵ AB=AE+BE，∴ x + 3x＝60( 6 + 2) ,
解得x = 60 2 海里.
∴ AC =120 2海里，BC = 120 3 海里.
知1－讲
解：(2) 如图，过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F，
俯角为 60°. 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ 3 ，点P，H，
B，C，A 在同一个平面上，点H，B，C 在同一条直 线上，且PH ⊥ HC. (1) 山坡坡角的度数等于
数学解直角三角形(仰角俯角方位角坡度坡角)课件(人教新课标九级下)资料
速度向南偏东60°方向航行，那么渔轮到达小岛O的正东方 向是什么时间？（精确到1分）
B
2、（2012广安）如图2012年4月10日，中国渔民在中国南 海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南 偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的 速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国 渔民。此时，C地位于中国海监船的南偏东45 °方向的10 海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我 国渔民，能不能及时赶到？
塔楼AB的高. （参考数据：tan 40 21 , tan 55 7 ）
25
5
答案：空中塔楼AB高
A 约为105米
濠
河 55° 40°
B
C 50m D
1.如图，某飞机于空中 A处探测到目标C，此时 飞行高度AC=1200米， 从飞机上看地平面控制 点B的俯角α=16031`，求 飞机A到控制点B的距 离.(精确到1米）
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般 过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图 形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
爬坡图1
爬 坡 图
2
爬坡图1
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
PAO 30, PBO 45
PO tan 30, PO tan 45 P
OA
OB
α β
OA 450 450 3, tan 30
450米
OB 450 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m)O
B
2、（2012广安）如图2012年4月10日，中国渔民在中国南 海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南 偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的 速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国 渔民。此时，C地位于中国海监船的南偏东45 °方向的10 海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我 国渔民，能不能及时赶到？
塔楼AB的高. （参考数据：tan 40 21 , tan 55 7 ）
25
5
答案：空中塔楼AB高
A 约为105米
濠
河 55° 40°
B
C 50m D
1.如图，某飞机于空中 A处探测到目标C，此时 飞行高度AC=1200米， 从飞机上看地平面控制 点B的俯角α=16031`，求 飞机A到控制点B的距 离.(精确到1米）
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般 过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图 形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
爬坡图1
爬 坡 图
2
爬坡图1
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
PAO 30, PBO 45
PO tan 30, PO tan 45 P
OA
OB
α β
OA 450 450 3, tan 30
450米
OB 450 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m)O
用解直角三角形解方位角、坡角的应用-ppt下载
∴∠EAB＝30°.
在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB+∠BAC
＝30°+30°＝60°，
∴EF＝AE×sin ∠EAF＝ 2
3
3 3. 2
答：木箱端点E距地面AC的高度EF为3 m.
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2．解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割 为直角三角形和矩形来解决问题．
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知2－讲
导引：连接AE，在Rt△ABE中求出AE，且根据 ∠EAB的正切值求出∠EAB的度数，进而 得到∠EAF的度数，最后在Rt△EAF中解 出EF即可．
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1．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位 置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知 角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角 函数解决问题．
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知识点 2 用解直角三角形解坡角问题
在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB+∠BAC
＝30°+30°＝60°，
∴EF＝AE×sin ∠EAF＝ 2
3
3 3. 2
答：木箱端点E距地面AC的高度EF为3 m.
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2．解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割 为直角三角形和矩形来解决问题．
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知2－讲
导引：连接AE，在Rt△ABE中求出AE，且根据 ∠EAB的正切值求出∠EAB的度数，进而 得到∠EAF的度数，最后在Rt△EAF中解 出EF即可．
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1．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位 置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知 角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角 函数解决问题．
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知识点 2 用解直角三角形解坡角问题
《用解直角三角形解方向角、坡角问题》PPT课件
∴CD＝ CE2＋DE2＝ 802＋3202＝80 17(米)．
答：斜坡 CD 的长是 80 17米．
11．【中考·威海】如图是把一个装有货物的长方体形状的木 箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图，已知汽车货厢高度 BG＝2 米，货厢底面距地面的高度 BH＝0.6 米，坡面与 地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长(FC)为 2 米，高(EF) 和宽都是 1.6 米，通过计算判断：当 sin α＝35，木箱底部 顶点 C 与坡面底部点 A 重合时，木箱上部顶点 E 会不会 触碰到汽车货厢顶部．
2≈1.41， 3≈1.73)?
解：依题意可知，∠DCB＝45°，∠DCA＝60°. ∴BD＝CD＝200 m. 在 Rt△ACD 中，AD＝CD·tan∠DCA＝200 3 m. ∴AB＝200 3－200＝200×( 3－1)≈146(m)． ∴实际车速约为 146÷10＝14.6(m/s)． ∵14.6＜16， ∴此车没有超过该路段 16 m/s 的限制速度．
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
解：∵BP⊥AC，∴∠BPA＝∠BPC＝90°. 易知△BPC 为等腰直角三角形，∴BP＝CP. ∵∠BAC＝30°，∴AP＝taBn3P0°＝ 3BP. ∵CP＋AP＝AC，∴BP＋ 3BP＝10，
解得 BP＝(5 3－5)海里．
答：观测站 B 到 AC 的距离 BP 为(5 3－5)海里．
10．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的 人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定 对一段坡路进行改造．如图，改造前的斜坡 AB＝200 米，坡度为 1： 3；将斜坡 AB 的高度 AE 降低 AC ＝20 米后，斜坡 AB 改造为斜坡 CD，其坡度为 1： 4.求斜坡 CD 的长(结果保留根号)．
用解直角三角形解方位角、坡角的应用PPT课件
感悟新知
知2－练
解题秘方：将分散的条件集中到 △ABP 中求解.
解： (1) 30°. (2) 由题意，得∠ PBH = 60°， ∠ APB=60°➖ 15°= 45° . ∵∠ ABC = 30°，∴∠ ABP = 90° . ∴∠ BAP=45°，∴ PB = AB.
感悟新知
知2－练
在Rt △PHB 中，
在Rt △ ∴ DF=
AFD 中，∵ 3 120( 6 2
DF=AD·sin60° = 2)=60(3 2 6)
3 AD 2
106.8
,
(海里)
＞100海里.
∴途中无触礁的危险.
感悟新知
归纳
知1－讲
求解是否触礁或是否受台风或噪声影响等问题的方法： 一般都是求出暗礁中心到航线的距离，或城市中心
习题链接
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1A 2 凝固 3 熔化；凝固
4C
5B
答案呈现
6 非晶体 7D 8C 9 10
夯实基础·逐点练
9 【中考•连云港】质量相同的0 ℃的冰比0 ℃的水冷却 效果好，这是因为冰___熔__化___(填物态变化名称)时吸 收热量，此过程中冰的温度保__持__不__变__(填“升高”“降 低”或“保持不变”)．
8 【淮安淮安区期中】自然界水循环的过程中，需要放 出热量的是( C ) A．雨水汇入江河流向大海 B．积雪熔化成水汇入江河 C．云中小水滴变成小冰晶 D．海洋中水蒸发升上天空
夯实基础·逐点练
3 和平是每一个人的梦想．“铸剑为犁”的过程中，先 后发生的物态变化是___熔__化___和___凝__固___．
夯实基础·逐点练
10 冬天穿棉衣可以有效阻止人体热量向外散发，使人感 到暖和，而棉衣自身并不发热．据说法国准备生产一 种夹克，其衣料纤维中添加一种微胶囊，这种胶囊所 含物质在常温下呈液态，温度降低时会结晶．人们穿 上它，气温较高时，胶囊中物质_熔__化__吸__热_，使人感到 凉爽；气温降低时，胶囊中物质_凝__固__放__热_，使人感到 温暖．
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面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝
h l
= tan a.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
铅垂 高度
h
i ? h :l
i 坡度或坡比
? 坡角
l
l水平长度
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题 的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根 据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测 量如图所示大坝的高度 h时，只要测出仰角 a和大坝 的坡面长度 l，就能算出 h=lsina，但是，当我们要测 量如图所示的山高 h时，问题就不那么简单了，这 是由于不能很方便地得到仰角 a和山坡长度 l
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面 的方法分别算出各段山坡的高度 h1,h2,…,hn,然后我们再 “积零为整”，把 h1,h2,…,hn相加，于是得到山高 h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化 曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的 基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中， 你会更多地了解这方面的内容．
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直” 的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把 山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一 部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近 似是“直”的，可以量出这段坡长 l1，测出相应的仰 角a1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1=l1sina1l. h
交BD的延长线于点 F，垂足为 F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠ DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
AF ? AD2 ? DF 2 ? ?2x?2 ? x2 ? 3x
60° B
在Rt△ABF中，
tan ? ABF ? AF BF
解得x=6
3x tan 30 ?
12 ? x
A
DF 30°
AF ? 6x ? 6 3 ? 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注 明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（ h）和水平长度（ l）的比叫做 坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = h .
l
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度 DE与水平宽度 CE的 比），根据图中数据求：（ 1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到 0.1m）
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tan ? ? AF ? i ? 1：1.5
BF
i=1:1. 5
解直角三角形（3）
方位角
? 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角.
? 如图：点A在O的北偏东30° ? 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔 P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔 P的南偏东34°方向上的 B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔 P有多远？ （精确到0.01海里）
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
65° A P
C
34°
B
例4.海中有一个小岛 A，它的周围 8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B点测得小岛 A在北偏 东60°方向上，航行 12海里到达D点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
A
60°
B 12
30°
DF
解：由点 A作BD的垂线
α B
? ? 33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
tan ? ? DE ? i ? 1: 3
CE
? ? 18.4
AD 6m FE
i=1ห้องสมุดไป่ตู้3 β C
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：