中国矿业大学高数模拟试卷
中国矿业大学2010级,10-11数学分析(1)试卷(A)与参考答案
《 数学分析(1) 》试卷(A)参考答案一、叙述题(每题5分共30分)1．叙述函数()f x 在区间I 上无界的定义和A x f Ix =∈)(sup 的定义.2．叙述极限)(lim 0x f x x -→存在的归结原则.3．叙述极限)(lim x f x +∞→存在的Cauchy 准则，据此再叙述)(lim x f x +∞→不存在的充要条件.4．分别叙述)(x f 在区间I 上连续和一致连续的定义.5．叙述函数()f x 在点0x 可微的定义，并说明函数在一点连续、可导、可微的关系.6．叙述)(x f 是区间I 上凸函数的定义，并给出可导凸函数的一个充要条件. 二、计算题（每题6分共30分） 1．求)]11ln([lim 2nn n I n +-=∞→.解 由归结原则得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=→∞→)1ln(11lim )]11ln([lim 202t t t x x x I t x (3)21)1(2lim 2111lim)1ln(lim002=+=+-=+-=→→→t t t tttt t t t t …………………………3 2. 求 422cos limxex I xx -→-=.解 由麦克劳林公式得)(2421cos 542x o xxx ++-=， (2))(82154222x o xxex++-=-， (2))(12cos 5422x o xex x+-=--.所以求得121)(121limcos lim4540422-=+-=-=→-→xx o x xex I x xx (2)3．设 (),1,()10,1g x x f x x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩，且(1)(1)0,(1)2g g g '''===，求(1)f '.解 因为2()(1)()1(1)f x fg x x x -=--， (2)所以由洛必达法则得 (2)211()()(1)limlim(1)2(1)x x g x g x f x x →→''==--11()(1)1lim(1)1212x g x g g x →''-''===-.■ (2)4. 设x ey xxarcsin 51cot2-+=，求d .y解 ='y 221cot1)1csc(1cot25ln 52xxx x-⋅-⋅⋅211arcsin xex exx-+--- (4)21cot22111d (5ln 52cot(csc)xy xxx-=⋅⋅-⋅arcsin d xxex ex ---+ (2)5．求155345++-=x x x y 在]2,1[-上的最大值与最小值. 解 )3)(1(5152052234--=+-='x x x x x x y令0='y 得驻点3,1,0=x . 计算 (3)10)1(-=-y ，1)0(=y ，2)1(=y ，7)2(-=y ，所以最大值 2)1(=y ，最小值 10)1(-=-y .■ (3)三、（10分）设a x g x =+∞→)(lim （a 为有限数），)(x f 在点a 连续，证明：)()]([lim a f x g f x =+∞→证 因)(x f 在点a 连续，故0>∀ε，0>∃δ，当δ<-a x 时，有ε<-)()(a f x f ……………3 又因a x g x =+∞→)(lim ，对上面δ，0>∃M ，当M x >时，有δ<-a x g )(，从而ε<-)()]([a f x g f ……………4 综上，0>∀ε，0>∃M ，当M x >时，有ε<-)()]([a f x g f ，这就证明了)()]([lim a f x g f x =+∞→ (3)四．（10分）设f 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x →+∞存在.证明f 在[,)a +∞上一致连续.证 因为lim ()x f x →+∞存在，由Cauchy 准则知：0ε∀>，X a ∃≥，只要,x x X '''≥，就有()()f x f x ε'''-<. ………………………………3 又因为f 在[,)a +∞上连续，所以f 在[,1]a X +上连续，进而在[,1]a X +上一致连续.即对上述ε，)1(<∃δ，对任何]1,[,+∈'''X a x x ，只要δ<'-''x x 就有ε<'-'')()(x f x f . (4)综上，可知0>∀ε，任何),[,+∞∈'''a x x ，只要δ<'-''x x 就有ε<'-'')()(x f x f .即f 在),[+∞a 上一致连续.■ (3)五、（10分）、设)(x f 在)(0x U 连续，在)(00x U 可导，证明：如果)0(0+'x f 存在，则)(0x f +'也存在，且)0()(00+'='+x f x f .并由此结论证明，如果)(x f 在区间I 上可导，则)(x f '不存在第一类间断点.【证】)(lim)()(lim)(00000ξ'--='+→+→+f x x x f x f x f x x x x Cauchy 中值定理（其中x x <ξ<0）.当+→0x x 时，有+→ξ0x ，由假设条件)0(0+'x f 存在，即)0()(lim00+'=ξ'+→x f f x x 存在.说明)(0x f +'存在且)0()(00+'='+x f x f .同理可证，如果)0(0-'x f 存在，则)(0x f -'也存在，且)0()(00-'='-x f x f .…………………6分下证导函数不存在第一类间断点. 对I x ∈∀0，如果)0(0-'x f 和)0(0+'x f 都存在，由上述结论和)(0x f '存在，知必有)()0()0(000x f x f x f '=+'=-'，这说明)(x f '在0x 点连续.…………………4分六．（10分）设)(x f 在],[b a 上二阶可导.若有0)()(,0)()(>'⋅'==b f a f b f a f ，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(=''ξf .证 不妨假设0)(),(>''b f a f ，则由导数定义和极限保号性可知，存在2121),,(,x x b a x x <∈，使得0)()(,0)()(21=<=>b f x f a f x f . (3)而)(x f 在],[b a 上连续，故由介值定理可知存在),(21x x c ∈，使得0)(=c f (2)在],[],,[b c c a 上对函数应用由罗尔定理，知存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ，使得0)()(21='='ξξf f . (3)那么对函数f '在],[21ξξ再应用罗尔定理，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(=''ξf . (2)。
中国矿业大学《高等数学》-第七章
伯努利(1654 – 1705)
瑞士数学家,
位数学家.
标和极坐标下的曲率半径公式,
1695年
版了他的巨著《猜度术》,
上的一件大事,
而伯努利定理则是大数定律的最早形式.
年提出了著名的伯努利方程,
他家祖孙三代出过十多
1694年他首次给出了直角坐
1713年出
二阶常系数齐次线性微分方程:
和它的导数只差常数因子,
代入①得
称②为微分方程①的特征方程,
1. 当
时, ②有两个相异实根
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为
( r 为待定常数 ),
①
所以令①的解为
中国矿业大学（北京）
高等数学
微分方程
第七章
— 积分问题
— 微分方程问题
推广
微分方程的基本概念
第一节
微分方程的基本概念
引例
几何问题
物理问题
第七章
引例1.
一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
①
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1,
练习:
解法 1 分离变量
即
( C < 0 )
解法 2
故有
积分
( C 为任意常数 )
所求通解:
积分
内容小结
1. 微分方程的概念
微分方程;
定解条件;
2. 可分离变量方程的求解方法:
说明: 通解不一定是方程的全部解 .
有解
后者是通解 , 但不包含前一个解 .
2011中国矿业大学高数接力赛试卷及其答案
姓名＿＿＿＿ 组号＿＿＿ 考场＿＿＿ 座位号＿＿＿ 学院＿＿＿ （文，理工）科第一阶段：（考试时间60分钟，四大题，共计70分，参赛选手依次单独答题） 试题一（15分）： 设2010lim(1)n nn n ααβ→∞=--（β为非零常数），求,αβ的值。
解：2010201020102011limlim1(1)1(1)1limlim 10,20111,2011,2011n n n n nnn n nnnnαααααααααααα-→∞→∞--→∞→∞=----==>⎧⎪⎪==⎨⎪+∞<⎪⎩由题设条件12011,2011αβ==姓名＿＿＿＿ 组号＿＿＿ 考场＿＿＿ 座位号＿＿＿ 学院＿＿＿ （文，理工）科第一阶段：（考试时间60分钟，四大题，共计70分，参赛选手依次单独答题） 试题二（15分）：设220()()sin xn f x t t tdt =-⎰，其中0,x n ≥为正整数，试证明：01m ax ()(22)(23)x f x n n ≤<+∞≤++解：若()00f =，显然满足不等式。
当0x >时，22()()sin ,0n f x x x x x '=-> 令()0f x '=，得01x =，(1,2,3,)k x k k π==因为当1()x x k π>≠时，22()0,sin 0n x x x ->>，所以在k x 的左右两侧()0f x '<，因此，k x 不是()f x 的极值点；又因为当01x <<时，()0f x '>，当1x π<<时，()0f x '<，所以1x =是极大值点，(1)f 是极大值，由极值的唯一性01122220m ax ()(1)()sin ()1122231(22)(23)x nnf x f t t tdt t t t dtn n n n ≤<+∞==-≤-=-++=++⎰⎰姓名＿＿＿＿ 组号＿＿＿ 考场＿＿＿ 座位号＿＿＿ 学院＿＿＿ （文，理工）科第一阶段：（考试时间60分钟，四大题，共计70分，参赛选手依次单独答题） 试题三：（本题20分，请文、理工科选手选择相应试题）1．（文科选做）设()f x 在(,)-∞+∞上连续且非负，且2()()sin xf x f x t dt x -=⎰求 ()f x 在[0,]π上的平均值。
中国矿业大学(北京)机电与信息工程学院2014级大一月考试卷--高等数学答案
f ( x) f (0) 3x 2 x 3 f ( x) f (0) 3x 2 x 3 lim 0 ， f (0) lim lim 0 x 0 x 0 x 0 x0 x x0 x
f ( x) 解析：若 f ( x) 是 x 的三阶无穷小，则 lim 3 C （ C 为非零常数且 C ） ；运用等价无穷小判断 x 0 x
4、答案： （B）
6 6 x, x 0 f (0) 6 ，于是 f ( x) 6 6 x, x 0 f (0) lim
x 2
6、答案：
解析：由于原极限不为 0 或 ，故分母中 x 的最高次幂应和分子中 x 的最高次幂相同，故 4 ，则此时， 原式 lim
1 4
【本题摘自课本 P75 9、 （6） 】 3、证明：显然 f ( x) 在 x1 , xn 上也连续，设 M 和 m 分别是 f ( x) 在 x1 , xn 上的最大值和最小值· · · · · · · · ·2 分 令 xi x1 , xn (1 i n) ，所以有 m f ( xi ) M ，从而有
命题：机电学院团委学生会学习部
中国矿业大学（北京）机电与信息工程学院 2014 级第一次月考试题 高 等 数 学 （ A 1） 参 考 答 案 与 详 解
一、选择题（共 12 分）
1、答案： （A）
f (0) lim
x 0
中国矿业大学《高等数学》2023-2024学年第一学期期末试卷
中国矿业大学《高等数学》
2023-2024学年第一学期期末试卷
一．填空题：（每题2分，共18分）
1．则------------------
2．,则c-------------
3．已知，则a=-------------,b=---------------
4．,则x=a是---------类间断点。
5．若函数在处的自变量为对应函数增量
的线形主部dy=-1，则自变量x的始值-------------
6．函数y=的单调增区间是--------------，单调减
区间是------------------
7．a=------------,b=----------时，使曲线有拐点()
8．的定义域为--------------
9．若在x=1处连续，则a=-----------------
二．计算题：(每题4分，共48分）
1．试给出函数f(x)=1+sinx+cosx在[0,2]内的单调情况及单调区
间。
2．求
3．求
4．设，求
5．已知，求
6．已知,求
7．求
8．求f(x)=xln(1-x)的n阶马克劳林展开式。
9．求函数的单调区间，极值点与极值。
10．设，求
11．已知，求
12．
三．证明题：双曲线上任意点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于一个常数。
（15分）
四．应用题：已知n个实测数据如何选取x使误差平方
和为最小。
（19分）。
中国矿业大学高数模拟试卷
中国矿业大学高数模拟试卷中国矿业大学2009—2010高等数学期末姓名： 班级： 学号：一、填空：（每小题4分，总16分） 1．极限2223lim32--+→x x x = . 2．()=+→xx x sin 3021lim .3．函数2x y =在3=x 处的微分为. ；4．cos sin cos sin x x dx x x-+⎰= .二、选择：（每小题4分，总16分）1．判断下列变量在给定的变化过程中哪些不是无穷小量？ ( )A ．13--x ()0→x ；B ．xx sin ()∞→x ；C ．12532+-x x x ()∞→x D.⎪⎭⎫⎝⎛++x x x 1sin 212 ()0→x ； 2．2sin112)(xx arctg x x f ππ-⋅=的间断点类型是（ ）（A ）可去； （B ）跳跃； （C ）无穷； （D ）A 、B 、C 都有.3．对于不定积分⎰dx x f )(，在下列等式中正确的是 . （A ）)(])([x f dx x f d =⎰； （B ）)()(x f x df =⎰；（C ）)()(x f dx x f ='⎰； （D ）)()(x f dx x f dxd =⎰.4．()xx x x xx 1sin lim 1lim 10∞→-→++等于 A.e B.1-e C.1+e D.11+-e三、 计算下列极限：（每小题5分，总20分）1. x x x 5sin 2sin lim 0→; 2．求x x x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→. 3．25435lim 23231-+-+-+→x x x x x x x 4．求x x xx x sin tan lim 20-→. 四、求函数)]ln[ln(ln x y =的导数.（4分） 五、计算下列积分：（每小题5分，总20分）1．⎰-dx xx 2)2sin 2(cos 2．⎰dx e x x 33． 求dxx x⎰ln 2. 4.⎰dx ex六、已知)(x f 的一个原函数为x x ln )sin 1(+,求⎰dx x xf )(' （本题8分）七、求曲线x y ln =在[2，6]内的一条切线，使得该切线与直线6,2==x x 和曲线x y ln =所围成的面积最小。
《高等数学》A卷参考答案及评分标准
四、应用题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）
的收敛域为 （ 1,1 ..........................4 分 ） 21、解：设水箱长、宽、高分别为 x, y , z ..............................1 分 因为 xyz =8 ,从而高 z 于是水箱表面的面积为
因此，所给曲线积分与积分路径无关..............................4 分 为方便计算取有向线段 OA 与 AB 为积分路径。 在 OA 上， y 0 ， x 自 0 到
；在 AB 上， x = ， y 自 0 到 1 ； 2 2
(2 xy
L
3
y 2 cos x) d x (1 2 y sin x 3 x 2 y 2 ) d y
=
OA AB
(2 xy 3 y 2 cos x) dx (1 2 y sin x 3 x 2 y 2 ) dy
1
2 0
2 (2 x 0 0 cos x)dx (1 2 y 3 y 2) dy 0 4
............6 分
( y y2
中国矿业大学银川学院
期末考试试卷评分标准及参考答案 《高等数学》 （A 卷）
（本卷适用专业：2015 级所有工科专业） 题号 分值 一 30 分 二 20 分 三 34 分 四 16 分 总分 100 分
而点 ( ， 2， 1) 所对应的参数为 t 1 所以曲线在 t 1 处切线的切向量为 ( , 1,2) ..........................4 分
2 3 1 y ) | 0 ............................................7 分 4
中国矿业大学附中高一数学阶段性测试
中国矿业大学附中高一数学阶段性测试（第二章函数）班级________姓名____________学号__________一、选择题（5分*12=60分）1、已知映射f ：A B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是（ ） A 、4 B 、5 C 、6D 、7 2、设函数x xx f =+-)11(，则)(x f 的表达式为 （ ） A 、x x -+11 B 、 11-+x x C 、x x +-11 D 、12+x x 3、“等式log 3x 2=2成立”是“等式log 3x=1成立”的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、Log a132<，则a 的取值范围 （ ） A 、（0，32）⋃（1，+∞） B 、（32，+∞） C 、（1,32） D 、（0，32）⋃（32，+∞） 5、函数f(x)=x 2+(3a+1)x+2a 在区间(－∞,4)上为减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A 、a ≤－3B 、a ≤3C 、a ≤5D 、a=－3 6、若1)2()10(log )(1<≠>=-fa a x x f a ，且且，则)(x f 的图像是 （ ） A 、 B 、 C 、D 、7、已知f(x 5)=log 2x ，则f(2)的值为 （ ）A 、1B 、5C 、－5D 、51 8、函数()f x 在定义域[]1,3上是减函数,值域为[]4,7,若它存在反函数，则反函数1()f x -在其定义域上是 ( )A 、增函数且最大值为7B 、减函数且最大值为7C 、增函数且最大值为3D 、减函数且最大值为39、函数y=log 21(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ）A 、（1，+∞）B 、（-∞，43） C 、（21，+∞） D 、（-∞，21） 10、已知二次函数)0()(2>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为 （ ）A 、正数B 、负数C 、0D 、符号与a 有关11、若0<a<1，b>1，则M=a b ，N=log b a ，p=b a 的大小是 （ ）A 、M<N<PB 、N<M<PC 、P<M<ND 、P<N<M12、若点P(m, 1)在函数y=f(x)的图象上，则下列各点必在其反函数y=f －1(x)的图象上的是（ ）A 、（m, f －1(m)）B 、（m, f －1(1)）C 、（1, f －1(1)）D 、（f －1(m),1）二、填空题（4分*4=16分）13、已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = 。
中国矿业大学11-12(上)《工程数学A》试题(A)卷
11-12学年第一学期《工程数学A 》试题（A ）卷一、填空题（每空4分，共40分）1) ()()f t u t =的傅氏变换为 .2) 函数3232()(3)f z my nx y i x xy =++−为解析函数，则m = .3) 201lim(sin d )t t t t i t t j e k →++=∫ . 4) 矢量场k z j y i x A ++=从下向上通过有向曲面22z x y =+(02)z <<的通量为 .5) 函数()sin t f t e t =的拉氏变换为 .6) 矢量场222A xi x y j yzk =−+ 在点)1,2,1(−M 处散度为 . 7) 设()tan f z z =则Res[(),]2f z π= . 8) 函数20()sin 2d t t f t te t t −=∫的拉氏变换为 . 9) C 是直线OA ，O 为原点，A 为i +2, 则d C z z =∫ .10) 复数ln i i = .二、（10分）求矢量场22()A x i y j x y zk =+++ 通过点)1,1,2(−M 的矢量线方程. 三、（10分）求常系数二阶线性微分方程t e t y t y t y −=+′−′′2)()(2)(满足条件0)0(,0)0(=′=y y 的解.四、（10分）求函数222()(413)s F s s s +=++的拉氏逆变换.五、（10分）证明矢量场k yz x j y z x i xyz A 22222)cos (2+++=为保守场，并求积分∫⋅B Al A d ，其中(1,0,1),(2,1,3)A B . 六、（10分）将函数21()(1)f z z z =−在圆环域1|1|z <−<+∞展开成洛朗级数. 七、（10分）用留数计算积分201d 5cos t tπ+∫.。
矿大,矿藏描述与数值模拟真题及答案
中国矿业大学2009～2010学年第 2 学期 《 矿藏描述与数值模拟 》试卷（A ）卷考试时间：120 分钟 考试方式：开 卷学院 班级 姓名 学号题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分阅卷人1 什么是含油气盆地盆地模拟技术，如何理解盆地模拟中的正演和反演技术，学习完这部分课程有您有什么体会？（15分）2 利用GR 曲线SP 曲线进行沉积相研究的原理是什么？请根据下图中GR 的特征判别该段地层所属的沉积相并说明理由。
（15分）3 请用单层隐式格式离散化表述天然气从烃源岩通过盖层运移到储集层的二阶抛物型偏微分方程，具体要求：绘制空间剖分的示意图，给出差分格式，演算离散化过程。
（15分）0D 22=+tCz C ∂∂∂∂ 4 请说明如何选择关键井，对于关键井我们需要做什么研究工作，这些工作有什么意义？（15分）5 试述矿藏综合评价的工作流程，煤炭资源综合评价工作有什么特点？（20分）6 对于目标A ，有准则B 1、B 2、B 3、B 4，其判断矩阵如下，请计算各个准则的权值：（20分）参考答案：A 卷1、盆地模拟是从石油天然气地质的物理化学机理出发，首先建立地质模型，然后建立数学模型，最后编制相应的软件，从而在时空概念下，由计算机定量地模拟油气盆地的形成和演化、烃类的生成、运移和聚集。
正演是指从古到今恢复地史，如超压技术中所用的沉降速率法；反演是指由今溯古恢复地史，如回剥技术。
各种理论和技术的综合运用，如物质平衡原理、计算机技术、建模技术等。
2、测井曲线的岩性标定(3)，测井曲线的泥质指示，泥质垂向变化和沉积相的关系，GR 曲线为钟形，属曲流河沉积相。
3、差分格式：通式：令： 有：4 关键井的选择条件，“四性”关系的内涵“四性”，关系的研究方法。
5、工作流程：基础工作、建立评价体系、研制评价软件、评价计算、结果分析、提出资源开发建议。
含义：煤炭资源综合评价，是对影响开发开采效益及相关决策、与煤炭资源有关的内外部条件所做的全面评价。
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中国矿业大学2009—2010高等数学期末
姓名： 班级： 学号：
一、填空：（每小题4分，总16分） 1．极限2
2
23lim
3
2
--+→x x x = . 2．()=+→x
x x sin 30
21lim .
3．函数2
x y =在3=x 处的微分为. ；
4．cos sin cos sin x x dx x x
-+⎰= .
二、选择：（每小题4分，总16分）
1．判断下列变量在给定的变化过程中哪些不是无穷小量？ ( )
A ．13--x ()0→x ；
B ．x
x sin ()∞→x ；
C ．
1
253
2+-x x x ()∞→x D.
⎪⎭
⎫
⎝⎛++x x x 1sin 212 ()0→x ； 2．2
sin
1
1
2
)(x
x arctg x x f ππ
-⋅=
的间断点类型是（ ）
（A ）可去； （B ）跳跃； （C ）无穷； （D ）A 、B 、C 都有.
3．对于不定积分⎰dx x f )(，在下列等式中正确的是 . （A ）)(])([x f dx x f d =⎰； （B ）)()(x f x df =⎰；
（C ）)()(x f dx x f ='⎰； （D ）
)()(x f dx x f dx
d =⎰.
4．()x
x x x x
x 1
sin lim 1lim 10∞
→-→++等于 A.e B.1-e C.1+e D.11+-e
三、 计算下列极限：（每小题5分，总20分）
1. x x x 5sin 2sin lim 0→; 2．求x x x tan 01lim ⎪
⎭
⎫
⎝⎛+→. 3．2
5435lim 23231-+-+-+→x x x x x x x 4．求x x x
x x sin tan lim 20-→. 四、求函数)]ln[ln(ln x y =的导数.（4分） 五、计算下列积分：（每小题5分，总20分）
1．⎰-dx x
x 2
)2
sin 2
(cos 2．⎰
dx e x x 3
3． 求dx
x x
⎰ln 2
. 4.⎰dx e
x
六、已知)(x f 的一个原函数为x x ln )sin 1(+,求⎰dx x xf )(' （本题8分）
七、求曲线x y ln =在[2，6]内的一条切线，使得该切线与直线
6,2==x x 和曲线x y ln =所围成的面积最小。
（本题8分）。