两条异面直线所成的角
2020年新高考数学核心知识点25.1 空间向量方法--空间的角(精讲精析篇)(学生版)
专题25.1 空间向量方法--空间的角（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,2π．③向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cos|cos|||||||a ba bθϕ⋅==⋅r rr r.【典例1】（2018·全国高考真题（理））在长方体1111ABCD A B C D-中,1AB BC==,13AA则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为( )A．15B5C5D2【典例2】（2019·广西高考模拟（理））在直三棱柱111ABC A B C-中,3,3,32AC BC AB===14AA=,则异面直线1A C与1BC所成角的余弦值为__________．【总结提升】向量法求两异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1,v2；(3)代入公式|cos 〈v 1,v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解．提醒：两异面直线所成角θ的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2,两向量的夹角α的范围是[0,π],当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是两异面直线所成的角．热门考点02 直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示,设直线l 的方向向量为e ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为φ,两向量e 与n 的夹角为θ,则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.【典例3】（2018·江苏高考真题）如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1=2,点P ,Q 分别为A 1B 1,BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．【典例4】（2020·天水市第一中学高三月考（理））如图,在三棱柱ABC A B C '''-中,已知CC '⊥平面ABC ,90ACB ∠=o ,3BC =,4AC CC ='=.(1) 求证：AC A B '⊥'；(2) 求直线CC '与平面ABC '所成角的正弦值. 【规律方法】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角．热门考点03 二面角1．求二面角的大小(1)如图1,AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ＝〈AB u u u r ,CD u u ur 〉．(2)如图2、3,12,n n u r u u r分别是二面角α－l －β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．【典例5】（2019年高考全国Ⅲ卷理）图1是由矩形ADEB ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°,将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2.（1）证明：图2中的A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【典例6】（2017·北京高考真题（理））如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,平面PAD ⊥平面ABCD ,点M 在线段PB 上,PD P 平面MAC ,6PA PD ==4AB =．（1）求证：M 为PB 的中点； （2）求二面角B PD A --的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． 【规律方法】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．热门考点04 空间角有关的探索性问题【典例7】（2019·浙江高二期中）如图所示的几何体中,PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面,,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点,12,12PD AB AD CD ====,四边形PDCE 为矩形,线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ,使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在,求出FQ 的长；若不存在,请说明理由.【典例8】(2019·河北名校联盟模拟)如图所示,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,AD ＝DC ＝CB ＝1,∠BCD ＝120°,四边形BFED 是以BD 为直角腰的直角梯形,DE ＝2BF ＝2,平面BFED ⊥平面ABCD.(1)求证：AD⊥平面BFED.(2)在线段EF上是否存在一点P,使得平面P AB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为5728？若存在,求出点P的位置；若不存在,说明理由．【总结提升】与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题,常利用空间向量法求解．求解时,一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,并注意准确理解和熟练应用夹角公式．其步骤是：(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系,设(求)出相关空间点的坐标；(3)构建有关向量；(4)结合空间向量,利用线面角或二面角的公式求解；(5)作出判断．热门考点05 利用向量求空间距离1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则①a±b＝(a1±b1,a2±b2,a3±b3)；②λa＝(λa1,λa2,λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3(λ∈R),a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a,b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23,cos 〈a ,b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1,b 1,c 1),B (a 2,b 2,c 2), 则222212121||()()()ABd AB a a b b c c ==-+-+-u u u r.2. 点面距的求法如图,设AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.【典例9】（2019·安徽高考模拟（理））在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱1AA 、1BB 的中点,M 为棱11A B 上的一点,且1(02)A M λλ=<<,设点N 为ME 的中点,则点N 到平面1D EF的距离为（ ）A.3λB.2C.2λ D.5 【典例10】设正方体的棱长为2,则点到平面的距离是（ ）A. B. C. D.【典例11】（2018·四川省广安石笋中学校高考模拟（理））如图,在棱长为2的正方体中,M是线段AB 上的动点．证明：平面；若点M 是AB 中点,求二面角的余弦值；判断点M 到平面的距离是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由．【总结提升】1.点到平面的距离,利用向量法求解比较简单,它的理论基础仍出于几何法,如本题,事实上,作BH ⊥平面CMN 于H .由BH →＝BM →＋MH →及BH →·n ＝n ·BM →,得|BH →·n |＝|n ·BM →|＝|BH →|·|n |,所以|BH →|＝|n ·BM →||n |,即d ＝|n ·BM →||n |.2.利用法向量求解空间线面角、面面角、距离等问题,关键在于“四破”：①破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”,求出平面的法向量；④破“应用公式关”．巩固提升1．（2019·四川高二期中（文））已知正方体1111ABCD A B C D 中,E ,F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE ,1D F 所成角的余弦值为（ ） A ．45B ．35C ．23D ．572.（2019·福建高二月考）设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上,记11D PD B＝λ.当∠APC 为钝角时,λ的取值范围是________．3.（2019·浙江高三期中）如图,已知三棱台111ABC A B C -,平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=o ,30BAC ∠=o ,11114AA CC BC AC ====,,E F 分别是11,ACBC 的中点.(1)证明：BC EF ⊥(2)求直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.4.（2018·全国高考真题（理））如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点P 的位置,且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.5．（2019·首都师范大学附属中学高二期中）如图,在四棱锥P ABCD -中,PB ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AD BC ∥,AD AB ⊥,且3PB AB AD ===,1BC =.(1)若点F 为PD 上一点且13PF PD =,证明：CF P 平面PAB .(2)求二面角B PD A --的大小.6．（2018·北京高考真题（理））如图,在三棱柱ABC −111A B C 中,1CC ⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为1AA ,AC ,11A C ,1BB 的中点,AB=BC =5,AC =1AA =2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ； （2）求二面角B −CD −C 1的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．7.（2020·江苏淮阴中学高三期中）直三棱柱111ABC A B C -中, AB AC ⊥, 2AB =, 4AC =,12AA =, BD DC λ=u u u r u u u r .（1）若1λ=,求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值；（2）若二面角111B AC D --的大小为60︒,求实数λ的值.8．（2017·江苏高考真题） 如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,且AB ＝AD ＝2,AA 1＝3,∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B －A 1D －A 的正弦值．9. （2019·江苏高三期中）如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,点E 、F 分别在棱1AA 、1BB 上移动,且1AE AA λ=u u u r u u u r ,1(1)BF BB λ=-u u u r u u u r .（1）若12λ=,求异面直线CE 与1C F 所成角的余弦值； （2）若二面角A EF C --的大小为θ,且25sin θ=,求λ的值. 10.（2019·福建高二月考）如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,棱长为2,M ,N 分别为A 1B ,AC 的中点．（1）证明：MN //B 1C ；（2）求A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小．11.（2019·天津高考真题（理））如图,AE ⊥平面ABCD ,,CF AE AD BC ∥∥,,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13,求线段CF 的长. 12．（2018·上海交大附中高二月考）如图,在三棱柱111ABC A B C -中,11AAC C 边长为8的正方形,6AB =,110BC A B ==（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ,使得1AD A B ⊥,并求1BD BC 的值. 13．（2019·湖北高三期中（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,//AD BC ,AB AD ⊥,222AD AB BC ===,2PA =,点M 满足2MD PM =u u u u r u u u u r.（1）求证：//PB 平面MAC ；（2）求直线PC 与平面MAC 所成角的正弦值.14．（2019·河北唐山一中高三期中（理））如图,在三棱柱111ABC A B C -中,122AA AB ==,13BAA π∠=,D 为1AA 的中点,点C 在平面11ABB A 内的射影在线段BD 上.(1)求证：1B D ⊥平面CBD ；(2)若BCD ∆是正三角形,求二面角1C BD C --的余弦值.15.（2019·宁夏银川一中高三月考（理））如图,在四棱锥S ABCD -中,侧棱SA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,AB AD ⊥,且2SA AB BC ===,1AD =,M 是棱SB 的中点 ．（Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ；（Ⅱ）求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段CD 上的动点,MN 与平面SAB 所成的角为θ,求sin θ的最大值．16.（2019·安徽高三期末（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,AC BD ⊥交于点O ,ABC 90=o V ,AD CD =,PO ⊥底面ABCD ．()1求证：AC⊥底面PBD；()2若PBCV是边长为2的等边三角形,求O点到平面PBC的距离．。
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
异面直线所成角的定义
异面直线所成角的定义
异面直线是指空间中不在同一平面上的直线。
一般情况下，异面直线是无法相交的，
它们之间不具有任何交点，但它们的方向可以有交叉或相互平行的情况。
二、异面直线的性质
1.异面直线不在同一平面上，它们之间的距离是有限的，可以用它们最短距离来表示。
2.两条异面直线的方向可以有交叉或相互平行的情况。
3.异面直线不存在交点，但它们可以相互延长。
4.异面直线与同一平面上的直线的交点可以为零个或无限个。
异面直线所成角是指两条异面直线之间的夹角，它是两条异面直线在空间中的相对位
置关系的体现。
1.当两条异面直线相交时，它们所成的角度等于它们在交点处的夹角。
3.当两条异面直线相交且不在同一平面上时，它们所成的角度可以通过向量叉积计算。
异面直线所成角不仅是数学上的概念，还在实际问题中具有重要的应用价值。
例如，
在三维几何中，异面直线的夹角常常用于计算空间角的大小，如在机械加工和建筑设计中，需要计算两个不在同一平面上的部件之间的角度大小，这时就需要运用异面直线所成角的
概念进行计算。
在物理学和工程学中，异面直线所成角也经常被用来描述电场、电磁场、
热力学等物理量的性质。
因此，理解异面直线所成角的定义和计算方法，不仅有助于我们
加深对空间几何的认识，同时也有助于我们解决实际问题。
异面直线成角定义
异面直线成角定义异面直线成角是空间几何中的一个重要概念。
我们知道，在平面几何中，两条直线的相交可以形成一个角度，而在空间几何中，三维空间中的两条直线是有可能相交的，因此我们需要通过异面直线成角来描述这种情况下的角度关系。
首先，我们来了解异面直线的定义。
异面直线是指在三维空间中不存在公共点的两条直线。
换句话说，这两条直线无法在空间中重合或平行。
在了解了异面直线的概念后，我们可以进一步讨论异面直线成角的定义。
异面直线成角是两条异面直线相交所形成的角度。
这个角度的大小取决于两条直线的夹角以及这些直线在空间中的相对位置。
当我们观察异面直线成角时，我们可以发现以下几个方面。
首先，当两条异面直线相交时，它们所构成的角度是一个锐角、直角或钝角。
这是由两条直线的倾斜程度决定的。
如果两条异面直线倾斜的角度接近90度，那么它们所形成的角度就会接近直角。
而当两条直线倾斜的角度趋近于180度时，它们所形成的角度接近钝角。
相反，如果两条直线的倾斜角接近0度，那么它们所形成的角度就会接近锐角。
其次，异面直线成角的大小还与两条直线在空间中的位置有关。
如果两条直线彼此相交，那么它们所形成的角度是一个锐角或直角。
如果两条直线平行或平行于同一平面中的某条直线，那么它们所形成的角度将是180度，即一条直线。
此外，如果两条直线不在同一个平面上，它们所形成的角度将超出180度，从而形成一个带有扇形的角度。
最后，异面直线成角在实际应用中具有重要的指导意义。
在空间几何的分析和设计中，我们经常需要考虑直线的倾斜角度和相对位置，以确定物体的形状、大小和位置。
通过了解异面直线成角的概念和性质，我们可以更好地理解和解释空间中的几何关系，从而有效地进行空间建模和问题求解。
综上所述，异面直线成角是描述三维空间中两条异面直线相交所形成角度的概念。
它的大小取决于直线的倾斜角和位置关系。
异面直线成角的理解对于空间几何的应用至关重要，有助于我们更好地理解和分析空间中的几何问题。
异面直线所成角的求解方法
异面直线所成角的求解方法
向量相交所产生的两个平面夹角，可以用叉乘来求解，结果可以用两种方式计算：第一种求解方法：
假定两个向量u和v 是两个不同的平面所给定的向量，它们可以表示为：
u= (u1, u2, u3)
叉乘满足：u X v = (u2v3-u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
使用叉乘向量的结果，可以计算出 u 与 v 的夹角为：
β =arccos[(u X v) / (|u|*|V|)]
其中，|u| 与|v| 分别为u 向量与v 向量的模。
可以利用两个向量的内积来求夹角。
内积的运算公式为：
总的来说，利用叉乘或内积来计算两条直线所成的角度，可以将求解过程简化，并让求解结果更加准确。
最后要注意的是，当实际求解时，应先把两个向量方向向量化，然后用叉乘或内积公式计算夹角，以便得出精确的解决方案。
异面直线所成的角的余弦值
异面直线所成的角的余弦值让我们了解什么是异面直线。
异面直线是指不在同一个平面内的两条直线。
在三维空间中，我们可以想象两条异面直线相交，形成一个角。
这个角的大小可以通过余弦值来描述。
余弦值是三角函数中的一个重要概念，代表了两条直线之间的夹角大小。
余弦值的取值范围在-1到1之间，其中1表示两条直线重合，0表示两条直线垂直，-1表示两条直线平行但方向相反。
那么，如何计算异面直线所成角的余弦值呢？我们可以利用向量的内积来求解。
假设有两条异面直线分别由向量a和向量b来表示，那么这两条直线所成的角的余弦值可以通过以下公式计算：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，a·b表示向量a和向量b的内积，|a|和|b|分别表示向量a 和向量b的模。
通过这个公式，我们可以计算出两条异面直线所成角的余弦值。
接下来，让我们通过一个例子来进一步理解这个概念。
假设有两条异面直线L1和L2，我们可以用向量来表示它们。
假设L1由向量a = (1, 2, 3)表示，L2由向量b = (4, 5, 6)表示。
我们可以计算出向量a和向量b的内积和模，然后带入公式计算余弦值：a·b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32|a| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14|b| = √(4^2 + 5^2 + 6^2) = √(16 + 25 + 36) = √77将这些值带入公式，我们可以得到余弦值：cosθ = 32 / (√14 * √77) ≈ 0.816这个结果告诉我们，两条异面直线L1和L2所成角的余弦值约为0.816。
通过这个例子，我们可以看到，余弦值可以帮助我们描述异面直线所成角的大小。
不同的余弦值代表了不同的角度关系，从而帮助我们更好地理解空间中的几何关系。
在实际应用中，余弦值和异面直线的角度关系有着广泛的应用。
两条异面直线所成的角
向量法求空间角求空间角的大小，是立体几何的重点、难点，也是高考中的热点。
运用向量解决这类问题，可以把几何关系转化为向量问题，从而求出角的大小。
向量法的最大优点是思路清晰，过程简捷，可以不去直接做出角，从而降低了对空间想象能力和逻辑思维能力的要求。
下面对用向量求空间角分类例说。
一、两条异面直线所成的角 1、 求角的方法：设两条异面直线为L 1、L 2所成的角为θ。
向量a ρ，b ρ分别21l l 、的方向向量。
因为两条异面直线所成的角θ∈（0，2π]，所以cos θ>0。
又因为向量a ρ，b ρ的夹角，<a ρ，b ρ>∈[]π，0， cos<a ρ，b ρ>的值的符号不定，所以cos θ=><b a ρρ,cos =ba ba ρρρρ⋅2、例题例1、（09福建 17）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值解析：如图以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2D A M C B NE 。
10cos ,10||||NE AM NE AM NE AM <>==-⨯u u u v u u u u vu u u v u u u u v g u u u uv u u u u v Q ， 所以异面直线NE 与AM 所成角的余弦值为1010评析：此题中利用向量的坐标法求出两向量的夹角的余弦值为负值，但两条异面直线所成的角的余弦值却为正值。
二、直线和平面所成的角 1、求角的方法：直线与平面所成的角为θ，a ρ是直线l 的方向向量，b ρ是平面α的一个法向量，则sin θ=><b a ρρ，cos =ba ba ρρρρ⋅说明：两种情况都成立，所以在做题时无需考虑斜线的方向向量和平面的法向量的方向 2、例题例2、(09辽宁18) （本小题满分12分）BANM如图，己知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内， M ，N 分别为AB , DF 的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF 求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；解：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.设直线MN 与平面DCEF 所成角为θ。
高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线成角公式
异面直线成角公式异面直线成角公式是解决在三维空间中两条异面直线之间夹角的数学公式。
在几何学中，异面直线是指不在同一个平面内的两条直线，而成角则是指两条直线之间的夹角。
异面直线成角公式可以帮助我们计算出两条异面直线之间的夹角，从而在解决一些几何问题时提供便利。
要理解异面直线成角公式，首先需要了解什么是异面直线以及夹角的概念。
异面直线是指不在同一个平面内的两条直线，也就是说它们的方向不重合，无法通过平面旋转或平移相互重合。
而夹角则是指两条直线之间的夹角，可以用度数或弧度来表示。
在三维空间中，我们可以使用向量来表示直线。
对于两条异面直线，我们可以通过求取它们的方向向量来判断它们是否异面。
两条异面直线的方向向量不平行，即两条向量的点积不等于零。
如果两条直线的方向向量不平行，那么它们就是异面直线。
接下来，我们需要找到两条异面直线之间的夹角。
我们可以使用向量的夹角公式来计算。
向量的夹角可以通过点积和模长来计算。
设两条异面直线的方向向量分别为a和b，那么它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算得出：cosθ = (a·b) / (|a||b|)其中，·表示点积，|a|和|b|表示向量a和向量b的模长。
通过计算这个公式，我们可以得到两条异面直线之间的夹角的余弦值。
如果我们需要得到夹角的具体数值，可以使用反余弦函数来计算。
异面直线成角公式的应用非常广泛。
在几何学中，我们经常需要计算两条异面直线之间的夹角，以解决一些相关问题。
例如，在三维空间中，我们需要计算两条直线的夹角来确定它们之间的关系，或是计算两个平面的夹角来判断它们是否相交。
在物理学中，夹角的计算也经常用于求解力的合成和分解问题。
异面直线成角公式是解决三维空间中两条异面直线夹角的数学公式。
通过求取两条直线的方向向量，并通过点积和模长计算，我们可以得到两条异面直线之间的夹角。
这个公式在几何学和物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决一些与夹角相关的问题。
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角异面直线所成角的定义：直线a和B是具有不同平面的直线。
如果它们通过空间中的任意点O并分别引导直线a′和B′B，则直线a′和B′形成的锐角（或直角）称为直线a和B与不同平面形成的角，如下图所示。
两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
在不同平面上直线形成的角度定义中，空间中的点O是可选的，与点O的位置无关。
求异面直线所成角的步骤：a、通过定义构造角度，一个可以固定，另一个可以平移，或者两个可以同时平移到特定位置，并且可以在特定位置选择顶点。
b、证明作出的角即为所求角；c、使用三角形来寻找角度。
特别提醒:（1）两条直线在不同平面上形成的角度与点O（平移后两条直线的交点）的选择无关(2)两异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤90．（3）判断空间中两条直线是不同平面直线的方法① 判断定理：平面外a点与平面内B点之间的连线与平面内的直线，但B点是不同的平面直线；② 相反的证明：不可能证明两条直线是共面的线线角的求法：（1）定义方法：使用“平移变换”使其成为两条相交直线形成的角度。
当不同平面上的直线垂直时，使用直线平面垂直度的定义或三垂线定理和逆定理来确定角度为90．(2)向量法：设两条直线所成的角为θ（锐角），直线l一和l二的方向向量分别为高中数学相关知识点：直线与平面的夹角直线与平面所成的角的定义：① 直线和平面形成三个角：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b、垂直线与平面之间的角度：如果直线与平面垂直，则它们形成的角度为直角。
c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0零.② 取值范围：0≤ θ≤90．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
高中数学 考点18 异面直线所成的角庖丁解题 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
考点18 异面直线所成的角异面直线所成的角1．定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角或夹角)．2．异面直线所成的角的取值X围：3．当＝时，a与b互相垂直，记作．【例】设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（）A．有无数条B．有两条C．至多有两条D．有一条【答案】A【规律总结】异面直线所成的角的大小与O点的位置无关，即O点位置不同时，这一角的大小是不会改变的．1．如图所示，在长方体中，，，则异面直线所成角的大小为（）A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】C【解析】连接，由得，所以，所以异面直线所成的角为60°．2．如下左图所示，在正三角形中，分别为各边中点，分别为的中点．将沿折成三棱锥后，所成角的度数为（）A．90° B．60°C．45° D．0°【答案】B3．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角等于（）A．45° B．60°C．90° D．120°【答案】B【解析】连结，则，且、，所以异面直线所成的角等于60°．【易错易混】异面直线所成的角的X围是90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．4．过正方体的顶点作直线，使与棱所成的角都相等，这样的直线可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】D5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1所成的角的大小为________．【答案】45°．【解析】∵B1C1∥BC，∴∠ACB为异面直线AC与B1C1所成的角．∵∠ACB＝45°，∴AC与B1C1所成的角的大小为45°．【方法技巧】求两条异面直线所成角的步骤：（1）恰当选点，用平移法构造出一个相交角．（2）证明这个角就是异面直线所成的角（或补角）．（3）把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．（4）给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．6．已知三棱锥ABCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．【解析】如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°．综上可知：AB与MN所成角为60°或30°．1．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为（）A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】C2．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于（）A．15° B．30°C．75° D．15°或75°【答案】D【解析】如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG AB，FG CD，∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角．∵AB＝CD，∴EG＝GF．当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°．3．直三棱柱中，若°，，则异面直线所成的角等于（）A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】C【解析】延长到点，使得，连结．，四边形为平行四边形，即就是异面直线所成的角．易证得为等边三角形，．4．如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．（1）BC和A′C′所成的角是多少度？（2）AA′和BC′所成的角是多少度？【答案】（1）45°；（2）60°地铁中的异面直线地下铁道交通简称地铁．它是采用在地下挖隧道，运用有轨电力机车牵引．除为方便乘客，在地面每隔一段距离建一个出进站口外，一般不占用城市宝贵土地和空间．既不对地面构成任何环境污染，又可以为乘客躲避城市嘈杂烦躁的空间提供良好环境．乘坐过地铁的人，普遍都有这样的感觉，快捷、准时、方便、舒适、宁静、安全等．据悉，地铁的时速一般在100公里以上．除高速公路行驶的高级轿车外，它的运行速度几乎超过了路面的所有交通工具．地铁的运量，一般比公共汽车大7至10倍．此外，地铁还是发生战争等特大紧急情况最理想的防御工事和庇护所，每逢夏季，地铁还是人们避暑的好地方．。
两异面直线所成的角 题目解法大全
两异面直线所成的角题目解法大全（配有高考真题练习题）异面直线所成角的求法例一、已知正四棱锥P—ABCD侧棱长与底面边长相等，E、F分别为PC、PD的中点，求异面直线BE与CF所成的角的余弦值.绿色通道：法一、BE不动，在面PDC内过点E平移CF；法二、CF不动，过F平移EB，其中是以平行四边形BEFH为依托；法三、利用空间向量知识来求解.解法一：如下图1，设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，在面PDC内过E作EG平行于∠或其补角为BE与CF所成角. BD=22,又PB=PD=2, CF，交PD于G，连结BG. 则BEG所以BPD ∠为直角, BG 2=PB 2+PD 2=22+2)21(=417.又CF=3, EG=23.在BEG∆中,cos BEG ∠=EG BE BG EG BE .2222-+= —61，所以BE 与CF 所成角是BEG ∠的补角，大小CBAP为arccos61. 解法二：如上图2.设各棱长均为2，H 为AB 的中点，连结EF ，FH ，则EF=BH //21CD ，∴BEFH 为平行四边形，FH //BE ，∴∠CFH 为BE 与CF 所成的角,且FH=BE=3.连结HC ，则HC=5,CF=3.在∆CFH 中，cos ∠CFH = FH CF CH FH CF ⋅-+2222=61,所以BE 与CF 所成角大小为arccos61.解法三：如上图.建立空间直角坐标系 .设各棱长均为2, PO=2，则 B (2,0,0 ), C( 0,2,0), E(0,22，22)，F(—22，0，22) , 则= (—2，22，22)，=（—22，—2，22），与的夹角为θ， cos θ61，所以BE 与CF 所成的角为arccos 61. 例题1：如图：表示正方体1111D C B A ABCD -，求异面直线11CC BA 和所成的角。
例2．空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD的中点，EF =求异面直线,AD BC 所成的角。
异面直线所成的角
D
1 1 3 3 1 3 AB a. EG AF a. FG DF 2 2 2 4 2 4 3 1 7 2 2 2 2 CG FG FC ( AB) ( AB) a. 4 2 4 2 在EGC中用余弦定理得 cos GEC . 3 2
C
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
★求角的步骤：
1. 做（利用定义画平行线，移到同一 平面） 2. 证（简单论证） 3. 求（解平面图形，通常将角置于一 个三角形中，利用平面几何知识解决）
例2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分 别为AD、AA1的中点， （1）求异面直线A1B与B1D1所成的角； （2）求异面直线AB1与EF所成的角；
B1
D1 F1 C1
A1
B
G
A C
练习：在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成 的角为400 , E , F 分别是BC , A Ｄ的中点，则EF与AB 所成的角为（ ） Ｃ A.700 B.200 C.700或200 D.以上都不对
A Ｇ B Ｅ C Ｆ D
练习：在空间四边形ABCD中,AB＝６，CD=4,
D1 A1
C1
B1
所以B A1和 CC1所成的角为450
C
D A
B
例：在正方体AC1中，求异面直线 A1B和B1C所成的角
D1 C1
A1
B1
A1B和B1C所成 的角为60°
C
D
A
B
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中， (1)哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？ (2)求直线BA1和CC1的夹角的度数。 (3)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？ 略解： （ 1 ）与直线 BA 1 是异面直线 的有： B1C1、AD、CC1、DD 1、 DC、D1C1。 （2）45° （3）直线AB、BC、CD、DA、 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1都与直 线AA1垂直。
两异面直线所成的角
∴ EPF = 120
即异面直线AD和BC成600角
小结：
1、求异面直线所成的角要认识到：空间的角可以用 平面的 角来定义，体现了立体几何中的降维思想。
（1）平移法（常用方法） 定角一般方法有： （2）补形
2、求角的方法：解平面图形（一来自为三角形）用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
1
C
1
D1
1
C
1
C
1
A
A
1
B1
B1 D C B A D
B1
P
C B
D
A B
C A
例2、长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm，
AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。
解法二：
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 BC1的方体B1F，
连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 所成的角(或补角)， 在A1C1E中，
2.异面直线所成的角的求法:
例1：如图正方体AC1， ①求异面直线AB1和CC1所成角的大小 ②求异面直线AB1和A1D所成角的大小
〖分析〗 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解
D
A
D1
C
B D1
D1
C
1
A1
B1
解: ①∵ CC1//BB1 ∴ AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 ∵ 在△ABB1中，AB1和BB1所成的角是450 ∴ 异面直线AB1和CC1所成的角是450 。 ②∵在面A1B1CD中， ∵ A1B1//CD ∴ A1D//B1C ∴ AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角 ∵ 在△AB1C中，AB1和CC1所成的角是600 ∴异面直线AB1和A1D所成的角是600 。
异面直线所成角余弦值公式
异面直线所成角余弦值公式
向量的内积是物理学的一个功数概念，它泛指两个向量的乘积，特别是相应元素的乘积之和。
由于向量的乘积可以用来表示内积，因此可以用它表示异面直线所成角余弦值公式。
这个公式定义为：两条直线向量a和b的余弦值为a*b/||a||*||b||，其中，||a||和||b||是这两条直线各自的模，即向量a和向量b的“长度”，而a*b则表示它们的内积。
更具体地说，如果我们想要计算两条直线之间的角度，我们可以使用它们的向量表示，计算它的余弦值。
从余弦值可以推断出两条直线之间的角度，即两个向量a和b之间的夹角，用该公式可以很容易的求出两条直线所成角余弦值，进而算出两条直线之间的夹角。
应用这个异面直线所成角余弦值公式是相当常见的，它可以应用到物体运动学中，两个物体的螺旋运动轨迹的绘制等，因此，熟练应用这个公式，是帮助学生掌握物理知识的非常重要的一部分。
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异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
公理４：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么
这两个角相等或互补． 异面直线的求法: 一作(找)二证三求
b a′ ？ OP a
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成角θ的取值范围：（0，π ]
2
例2 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′. （1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ （2）直线BA′和CC′的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
与直线 AA垂 直.
1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ √ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ × ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
平行.（ √ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两
条.（× ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么
这两个角相等.（ × ）
A
B
C
D
F
E
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,
那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.示，a、b是两条异面直线， 在空间中 任选 一点O， 过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成 的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角.
∴BC与EG所成角为45°， (2) ∵BF∥AE
2 2 3D
∴∠FBG（或其补角）为所求, A
23
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
∴AE与BG所成角为60°.
G
F C
B
异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做 异面直线.
空间两直线的位置关系
相交直线
平行直线 异面直线
异面直线的画法 用平面来衬托
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个 角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”.在空间中, 结论是否仍然成立呢?
观察思考：如图,∠ADC与∠A′D′C′、∠ABC与∠A′B′C′ 的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
3. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补.
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么
这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ √ ）
2.填空： 1.空间两条不重合的直线的位置关系有 平行 、 相交 、
异面 三种. 2.没有公共点的两条直线可能是 平行 直线，也有可能 是 异面 直线. 3.和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置 关系有 相交、异面 . 4、过已知直线上一点可以作 无数 条直线与已知直线 垂直.
解:（1）由异面直线的定义可知， 与直线BA′成异面直线的有直线B′C′， AD,CC′,DD′,DC,D′C′
（2）由 BB / /可CC知， BBA 为异面直线 BA与 C的C夹 角, BB=A4 5° 所以异面直线 BA与 C的C夹 角为45° .
(3)直线 AB, BC,CD, DA, AB, BC,CD, DA 分别
3.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB= 2 3,AD= 2 3 , AE=2. (1)求BC和EG所成的角是多少度? (2)求AE和BG所成的角是多少度?
H
E
2 2 3D
A
23
G
F C
B
解答：
(1)∵GF∥BC
H
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45o E