附有限制条件间接平差的虚拟观测算法

此后即可采用间接平差的算法求解。
法方程为：
Ｎ，１８８ ｉ．一甲＝０
法方程系数Ⅳ么为满秩矩阵，解得
；．＝Ⅳ船。１矿
公式（１７）、（１８）中，胪船＝Ｂ胛册”，
（１６）ｘｌ
（１７） （１８）
万方数据
测绘科学
第３３卷
㈤黑㈦：活玎嬲∥朋。
将公式（１８）代入，公式（１６）可得ｖ，ｒ，即ｙ和ｙ，的
值，矿一定等于零。 观测量和参数的平差值：
￡＝Ｌ＋Ｖ
（１９）
譬＝ｒ＋；（２０、
附有限制条件间接平差的虚拟观测算法的关键是确定
虚拟观测值的权阵Ｐ’。Ｐ’内元素不相关，Ｐ’是一个对角阵。
因为每一个虚拟观测值的改正数等于零，方差等于零，所 以其权趋于无穷大，即．Ｐ７—００【４声Ｊ。在实际计算时，每一
个虚拟观测值的权取足够大的有限值即可求出所有未知参 数的正确解。Ｉ，’是否等于零（在一定精度内）可以作为判断
２
＋２．００９
１．７
３
＋０．３６３
２．３
４
＋１．０１２
２．７
５
＋０．６５７
６
＋０．２３８
２．４ １．４
７
—０．５９５
２．６
』
图１水准网
权阵为
Ｉ
１．７ ｌ
２．３ ｌ
２．７ ｌ
２．４ ｌ
１．４ ｌ
２．６
用虚拟观测法进行解算，限制条件方程作为虚拟观测 方程。
∥：『１ ｏ ｏ —ｌ
２ｘｌ
Ｌ０ １ ０ ０
日 （；）
法方程。
令Ⅳｃｃ＝ｃⅣ品ｃＴ，由（７）、（８）两式可求得
●Ｘ●｜ｘ“－Ｘｎ
＃ｘ｛
Ｋ＝磁（ｃｚｖ；＂ｗ＋吼）
（９）
ｉ＝（以一聪矿磁ｃⅣ二）Ｗ一蚝－１ＬＴｚｖ∞－１吼（１０）
将未代入公式（３）可得ｙ，最后可求出观测量和参数
的平差值
￡＝Ｌ ４－Ｖ
（１１）
譬＝Ｘｏ ４－；
（１２）
３附有限制条件间接平差的虚拟观测算法
Ｔｈｅ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ａｎｄ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｕｔｌｉｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｉｏｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ｐｒｏｂａｂｌｙ ｍａｋｅｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｐｏｓｔｅｒｉｏｒ ｅｏｖａｒｉａｎｃｅ ｕｎｒｅｌｉａｂｌｅ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｏｕｆｌｉｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｉｏｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａｆｔｅｒ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｕｔｌｉｅｒｓ ｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｉｏｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ａｎｄ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｉｒ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｃｏｎｄｕｃｔ ａｎ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｄｅｔａｉＬ Ｔｈｅ ｅｘｔｒａ－ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ａｄｄｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｎｅ－ ｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｉｆ ｏｕｔｌｉｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｉｏｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａ肥ｆｏｕｎｄ．Ａ ＧＰＳ ｅａｓｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ Ｃａｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕ·
［５］周江文，杨元喜，等．抗差估计论文集［ｃ］．北京： 测绘出版社，１９９２．
［６］周江文，黄幼才，杨元喜，等．抗差最小二乘法 ［Ｍ］．武汉：华中理工大学出版社，１９９７．
［７］何海波，杨元喜．序贯平差抗差估计［Ｊ］．测绘工 程，１９９８，７（１）：３６－４０．
［８］杨元喜，何海波，徐天河．论动态自适应滤波［Ｊ］． 测绘学报，２００１，３０（４）：２９３－２９８．
本题ｎ＝７，ｔ＝３，ｒ＝４，ｕ＝５，列误差方程和限制条 件方程：
一１ １ Ｏ —ｌ ０ ｌ
． ｒｏ、
甄驯，
Ｏ ０ 一ｌ
巴： Ｏ 一１ ０Ｏ
萝 （？３）＝ｏ
以每公里观测高差为单位权观测，Ａ＝百１，观测值的
注：为对一般算法和虚拟观测算法所求结果进行精确比较，各改 正数取至小数点后四位。
由表２可以看出：
１）当虚拟观测值的权取至１０００００，１０００００时，虚拟
参考文献
［１］黄维彬．近代平差理论及其应用［Ｍ］．北京：解放军 出版社，１９９２．
［２］隋立芬，宋力杰．误差理论与测量平差基础［Ｍ］． 北京：解放军出版社。２００４．
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［４］杨元喜．相关观测抗差最小二乘估计［Ｊ］．测绘通 报，１９９５，（３）：３６－３８．
ｓｃｉｅｎｃｅ，２００６ｂ，１６（８）：８３３－８３７． １ １ Ｙａｎｇ Ｙ ａｎｄ Ｇａｏ Ｗ．Ａｎ ｏｐｔｉｍａｌ ａｄａｐｔｉｖｅ Ｋａｌｍａｎ ｆｉｌｔｅｒ
［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃ，ｅｅｄｅｓｙ，２００６ａ，８０：１７７—１８３ ［１２］Ｙａｎｇ Ｙ ａｎｄ Ｇａｏ Ｗ．Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ａｄａｐｔｉｖｅ ｆａｃ—
第３３卷第２期 ２００８年３月
测绘科学
Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ ａｎｄ Ｍａｐｐｉｎｇ
ＶｏＬ ３３ Ｎｏ．２ Ｍａｒ．
附有限制条件间接平差的虚拟观测算法
赵海涛，郭广礼．查剑锋
（中国矿业大学环境与测绘学院，江苏徐州２２１００８）
【摘 要】提出了附有限制条件间接平差的虚拟观测算法，该算法计算简单，易于理解，讨论了虚拟观测值的权
限制条件方程为
Ｖ＝Ｂ；一ｚ
（１３）
Ｃ；＋彬＝０
Baidu Nhomakorabea
·ｘⅡａｘｌ
Ｊｘｉ
（１４）
将虚拟观测法引入附有限制条件的间接平差算法之中，
将公式（１４）看作虚拟观测值的误差方程，虚拟观测值的权 阵为ＪＰ’，公式（１４）转换为
Ｖ７＝Ｂ’ｉ—ｚ’
（１５）
显然，（１５）式中，舅＝ｏ，Ｂ’＝ｃ，￡＝一ｗ：。
令
。。黑。＝【：；；】，。。筹。。＝【参】，。。！：，。＝【’；！】
观测值改正数等于零（保留小数点后四位），使用虚拟观测
法与使用一般算法求得的观测值的改正数相同，说明使用
虚拟观测法进行附有限制条件的间接平差是合理的和正
确的。 ２）虚拟观测值的权取至１５，１５时，使用虚拟观测法
与使用一般算法求得观测值的改正数若保留小数点后一位， 其结果相同；虚拟观测值的权取至４００，４００时，使用虚拟
２ 附有限制条件间接平差的一般算法‘１’‘．７】
设在某平差问题中，观测值个数为厅，必要观测数为ｔ，
多余观测数为ｒ＝ｎ—ｔ，未知参数个数为ｉｇ，已知观测向量
的权阵和协因数阵分别为Ｐ和Ｑ，ＰＱ＝Ｉｏ
附有限制条件间接平差的函数模型为
￡＝Ｂ譬＋ｄ
ｎｘｌ
ｎｘⅡ＝ｘｌ
ｎｘｌ
（１）
Ｆ（宕）＝０
（２）
，×Ｉ
列误差方程和限制条件方程
两种算法求得的待定点的高程相同，巩＝６．３７４８ｍ，Ｈｏ ＝７．０２７９ｍ，％＝６．６１２１ｍ。
表２两种算法所求改正数对照表
改０正姗数Ｄ
一般 算法
设未知参数墨＝／／ｃ，丘＝‰，墨＝也，丘＝Ｊ｜ｌ，，墨 ＝丘，取各未知数的近似值为
霹＝６．３７５ｍ，雹＝７．０２５ｍ，霹＝６．６１３ｍ，冠＝１． ３５９ｍ，霹＝１．０１２ｍ。
选取的虚拟观测值的权是否合适的依据：Ｖ’≠Ｏ，说明选取
的虚拟观测值的权偏小，应增大虚拟观测值的权，再求解；
矿＝０，说明虚拟观测值的权取值合适，所求未知参数的解
是正确的。为减少计算次数，虚拟观测值的权尽量取的大
一些。
４算例分析
取参考文献［１］例５－７的数据来验证附有限制条件的 间接平差虚拟观测算法的合理性和正确性。
解。按条件极值法组成函数：
Ｆ＝矿ＰＶ＋２霹（反＋睨）
（５）
ｓｘｌ
式中墨是对应于限制条件方程的联系数向量。求Ｆ对
叠的偏导数，转置得
口’Ｐ ｙ＋∥眉。＝０
ＨｘＢ ｎｘｎ ｎｘｌ
－ｘＩ Ｊｘｉ
＂ｘｌ
（６）
令
Ⅳ舾＝口１朋，彬＝Ｂ１Ｐ／
％。ｉ＋∥墨一噬＝ｏ
（７）
Ｃ ｉ．＋巩＝０
●ｘⅡｏｘｌ
ｓｘｌ
（８）
公式（７）、（８）为附有限制条件间接平差一般算法的
的取值问题，最后用一算例验证了附有限制条件间接平差的虚拟观测算法的合理性和正确性。
【关键词】附有限制条件的问接平差；虚拟观测方程；虚拟观测值的权
【中图分类号】Ｐ２０７
【文献标识码】Ａ
【文章编号】１００９－２３０７（２００８）０２－００３３－０３
ＤＯＩ：１０．３７７１／ｊ．ｉｓｓｔｒ １００９－２３０７．２００８．０２．０１２
虚拟观测值的权分别取不同的数值，使用公式（１６）一 （１８）进行了大量计算。虚拟观测值的权分别取１５，１５； ４００，４００；１０００，１０００；１０００００，１００（）００时各观测值改正 数计算结果见表２。
使用附有限制条件间接平差的一般算法进行解算，以 验证虚拟观测法的合理性和正确性，各观测值改正数计算 结果见表２。
在水准网（图１）中，Ａ和Ｂ是已知高程的水准点，矾 ＝５．０１６ｍ，以＝６．０１６ｍ，并设这些已知点高程无误差。图 １中Ｃ，Ｄ和Ｅ点是待定点。Ａ和Ｂ点高程、观测高差和相 应的水准路线长度见表１。试按附有限制条件的间接平差法 求各待定点的平差高程。
表１观测值与起始数据
路线号高銎？量，蒌船
ｌ
＋１．３５９
１．１
［９］ Ｙａｎｇ Ｙ，Ｇａｏ Ｗ．Ｃｏｍｐａｒｉｓｉｏｎ ｏｆ ａｄａｐｔｉｖｅ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ｋａｌ— ｍａｎ ｆｉｌｔｅｒｓ ｏｎ ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ［Ｊ］．Ｔｈｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ
Ｎａｖｉｇａｔｉｎ，２００５．５８：４７１－４７８．
［１０］Ｙａｎｇ Ｙ，Ｇａｏ Ｗ．Ａ ｎｅｗ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｓｔａｔｉｓｔｉｃ ｆｏｒ ａｄａｐｔｉｖｅ ｆｉＩ－ ｔｅｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｐｒｅｄｉｃｔｅｄ ｒｅｓｉｄｕａｌｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｇｒｅｓｓ ｉｎ ｎａｔｕｒａｌ
Ｖ＝Ｂ；一，
ｎｘｌ
ｎＸＵ“ｘＩ
ａｘｌ
（３）
Ｃ ｉ＋岷＝０
（４）
｛ｘ“４ｘ１
Ｊｘｆ
其中口为列满秩矩阵，Ｃ为行满秩矩阵。
在（３）、（４）两式中，待求量是ｎ个改正数和“个参
数，而方程个数为ｎ＋ｓ，少于待求量的个数，ｌ＋ｕ，且系数
阵的秩等于其增广矩阵的秩，故是有无穷多组解的一组相
容方程组。应在无穷多组解中求出能使矿。Ｐｙ＝ｒａｉｎ的一组
在平差中，虚拟观测法口’３１实质上就是将未知参数组成 的ｓ个约束条件方程看作是改正数为零的误差方程，即假
设增加了ｓ个观测值，使得原来为奇异性法方程系数矩阵 转为非奇异矩阵，从而进行直接求解的方法。虚拟观测法 计算简单，易于理解，是秩亏自由网平差中一种常用的 方法。
附有限制条件间接平差的函数模型同上，误差方程和
求解结果就可以达到较高的精度。
（下转第３７页）
万方数据
第２期
曾安敏等参数先验信息异常的影响与平差补偿
３７
加参数的函数模型补偿方法，先对参数先验信息进行异常 判断。如某个参数先验信息有异常，则在误差方程中有针 对性地引入新的附加参数，从函数模型予以补偿，然后再 进行平差计算。采用附加参数的函数模型补偿法能很好地 控制异常信息对参数估值的影响，在控制异常先验信息的 同时，解出异常改正量，从而获得可靠的参数估值。
观测法与使用一般算法求得观测值的改正数若保留小数点
后两位，其结果相同；虚拟观测值的权取至１０００，１０００
时，使用虚拟观测法与使用一般算法求得观测值的改正数
若保留小数点后三位，其结果相同。由此可以看出，尽管
理论上虚拟观测值的权Ｐ’一∞，但是在使用虚拟观测法进
行计算时虚拟观测值的权取得足够大而且毋须取的非常大
ｌ 引言
在一个平差问题中，多余观测数ｒ＝，Ｉ—ｔ，如果在平差 中选择的参数Ⅱ＞ｔ个，其中包含了ｔ个独立参数，则参数 间存在ｓ＝扯一‘个限制条件。平差时列出，１个观测方程和ｓ 个限制参数间关系的条件方程，以此为函数模型的平差方 法。就是附有限制条件的间接平差…。附有限制条件的间 接平差的一般算法，推导较为繁琐，公式较为复杂，本文 简述了计算简单，易于理解的附有限制条件的间接平差的 虚拟观测算法，并进行了算例分析。
作者简介：赵海涛（１９８２．），男，山东 济宁人，硕士研究生，从事工程测量、 开采沉陷及其控制方面的研究。
Ｅ·ｍａｉｌ：ｚｈｔ２００２４１２＠１６３．ｏｏｍ
收稿日期：２００６．１２—１１
由公式（１３）、（１５）得总的误差方程
。。嚣。。。瓢。曼一。。量 （ｎ＋，）
（ｎ＋Ｊ）×Ⅱｎ ｘｌ
（ｎ＋１） ｘｌ
ｔｏｒｓ ｏｎ ｎａｖｉｇａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ［Ｊ］．Ｔｈｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｖｉｇａ· ｔｉｏｎ，２００５，５８（３）：４７１－４７８． ［１３］Ｙａｎｇ Ｙ，Ｈｅ Ｈ ａｎｄ Ｘｕ Ｇ Ａｄａｐｔｉｖｅｌｙ ｒｏｂｕｓｔ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｆｏｒ ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｇｅｏｄｅｔｉｃ ｐｏｓｉｔｏｎｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｅｏｄｅｓｙ， ２００１，７５（２／３）：１０９－１１６． ［１４］吴生武．自适应序贯抗差估计［Ｊ］．测绘通报，２００６， （１）：１４． ［１５］杨元喜．动态Ｋａｌｍａｎ滤波模型误差的影响［Ｊ］．测 绘科学，２００６，３１（１）． ［１６］王穗辉．顾及起算数据误差的附加基准平差［Ｊ］．大 地测量与地球动力学，２００５，２４（１）：７２—．７５． ［１７］陶本藻，许海威．大范围ＧＰＳ水准拟和模型误差的平 差补偿［Ｊ］．测绘通报，２００５，（７）：８－１０． ［１８］宋力杰．测量平差程序设计［Ｍ］．北京：解放军出版 社．１９９９．