高考艺术类考生数学考前突围专题 指数函数与对数函数基础篇原卷

《2016艺体生文化课-百日突围系列》

专题四 指数函数与对数函数

幂的运算、对数运算

【背一背基础知识】

1.根式：一般地，如果n x a =，那么x 就叫做a 的n 次方根，其中1n >，且n N *

∈.式子n a 叫做根式，其

中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.其中,,n

n

a n a a n ⎧=⎨⎩

为正奇数

为正偶数；

2.分数指数幂：我们规定正数的正分数指数幂的意义是：()0,,,1m

n m n

a

a a m n N n *=>∈>且；我们规定

正数的负分数指数幂的意义是：

()10,,,1m

n

m n

m

n

a a m n N n a

a

-

*

=

=

>∈>且；其中0的正分数指数幂为0，

0的负分数指数幂没有意义；

3.正数的有理数幂的运算法则如下：（1）()0,,r s r s

a a a a r s Q +=>∈；

（2）()()0,,s

r rs a a a r s Q =>∈；

（3）()()0,0,r

r

r

ab a b

a b r Q =>>∈；

4.对数：一般地，如果()01x

a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a

叫做对数的底数，N 叫做真数；其中把以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记作lg N ，把以e （无理数 2.71828

e =为底的底数叫做自然对数，并把log e N 记作ln N ；其中指数与对数的互化为：x

a N =

()log 01a x N a a ⇔=>≠且.

5.对数恒等式：（1）()log 1001a a a =>≠且；（2）()log 101a a a a =>≠且；（3）()log 01a N

a N a a =>≠且.

5.对数的运算性质：如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，那么：

（1）()log log log a a a M N M N ⋅=+；

（2）log log log a a a M

M N N

=-；（3）()log log n a a M n M n R =∈. 6.对数的换底公式：()log log 01;01;0log c a c b

b a a

c c b a

=

>≠>≠>且且.

推论：（1）log log 1a b b a ⋅=；（2）log log n m

a a m

b b n

=

. 【讲一讲基本技能】

必备技能：

1.指数幂的化简与求值

(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．

提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．

(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂． 2.对数的化简与求值

(1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须保证恒等变形．

(2)b

a N ⇔＝a

b log N ＝ (a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵活运用．

(3)利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化． (4)有限制条件的对数化简、求值问题，往往要化简已知和所求，利用“代入法”. 3.形如2x

x a p

b p

c ⋅+⋅+型的方程、不等式或函数问题，利用换元法x t p =，将其转化为2a t b t c ⋅+⋅+型

的一元二次方程、不等式或二次函数问题，利用相关知识或方法求解；求解对数方程时，直接利用对数式与指数式的互化，利用指数相关知识求解；对于同底数的对数的运算时，一般利用底数的运算性质即可；对于不同底数的运算时，一般利用换底公式及其推论来解决. 1. 典型例题 例1 1

3

2

103

410.027

() 2.563(21)7

-----+-+=.

分析：本题考查指数数的运算性质，在处理指数的加减法运算时，首先利用指数的相关性质将各指数的系数化为一致的，然后根据指数的运算性质进行求解. 例2．计算：3

27log 2lg 225lg 4

3

2

ln +++e

=. 分析：本题考查对数数的运算性质，在处理同底数对数的加减法运算时，首先利用对数的相关性质将各对数的系数化为一致的，然后根据对数的运算性质进行求解.

例3

计算：2

log =，24log 3log 32+=． 例4设25a

b

m ==，且

11

2a b

+=，则m =（）

B.10

C.20

D.100 分析：本题是考查对数换底公式推论的应用，对于此种问题的考查，首先应该从指数式25a

b

m ==中求出

a 和

b 的表达式，借助换底公式的推论，将代数式

11

a b

+化为同底数的对数式的加减运算，最后利用对数式与指数式的互化求出相应参数的值.

【练一练趁热打铁】

1.23log 9log 4⨯=（ ） A.

14 B.1

2

C.2

D.4

21

1

1

3

3

21•••a b a b =－

－（）－. 3. lg 0.01＋log 216＝_____________.

4.4

133

2

233814a a b

b a ⎛÷= ⎝

－－＋.

指数函数与对数函数

【背一背基础知识】

1.指数函数：函数x

y a =（0a >且1a ≠）称为指数函数，其中底数是不等于1的常数，指数为自变量； 2.指数函数的基本性质：