近代模态综合法概念111
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Φ R = ΨC χ
矩阵Ж由下面方程确定
FCC x = 0
3.各种模态集的含义及其生成方法
带对接加载的部件主模态： 带对接加载的部件主模态： 将部件B的质量和刚度缩聚到对接集J上，利用对接协调性把B的减缩刚度 和质量特性加到A上。
部件B的内坐标对于其对接坐标的静力依赖关系：
(B)
uI = CIJ u J
kWW k AW kWA ΨWA OWA = k AA Ψ AA I AA
其中
kWW k AW
kWA k AA
为部件支承在R集上的非异刚度阵，其逆阵是支承在R集上的柔度阵
kWW k AW kWA g = WW k AA g AW
1
gWA g AA
称为部件的b维模态基，若空间Xr中的每个模态皆能以Xs中的模态线性 表出（r≤s），则称Xr是Xs的特款，并记为：
Xr Xs
由Xr张成的子空间必落入Xs张成的子空间中，当r=s时，称Xr与Xs等价 并记为：
Xr Xs
两个模态等价的充要条件是：（1）他们维数相等（2）一基是另一基的特 款。当两个模态基的维数等于位形空间的维数时，则此两基必定等价。
1.坐标与坐标变换
缩聚变换的后果是引入截断误差，使复原系统的频率高于原来系统 的相应阶频率，而且，一般截断误差常随频阶的升高而不断增大。模态 综合法保留“活跃的”模态，尽可能丢弃对于主要结构固有模态贡献甚 微的部件模态。 由部件的b个独立模态列阵所组成的模态（集）矩阵
X b = [ X (1) , X ( 2 ) , L X (b ) ] b≤n
于是
% % % % Ψ d = [Φ E (ΦT k Φ E ) 1 ΦT Φ k k 1ΦT ]FA E E k
3.各种模态集的含义及其生成方法
将位形空间完备分割为三个子集R，A和W。附着模态方程为
KWW K AW K RW KWA K AA K RA KWR ΨWA OWA K AR Ψ AA = I AA ORA FRA K RR
由头两个分块矩阵可得
n R E n R E
(n = I + J , n = R + E )
ΦE仅保留其中部件低频端上主模态Φk参与综合，对于赘余或静定对接，部件的 T T 固定对接主模态可写为： Φ n = Φ E = [ Φ nI | O ] , n = E , ( n = E = I )
Φ k = [ Φ kI | O T ]T
位移协调条件可写为
( B)
u J = Z ( A)u
Z = [0 | I ], ( A) u = [uIT , u T ]T J
由于 可得
(B)
u=
( B)
ψ c ( A) u J =
(B)
ψ c Z ( A)u
( A) T
( A)
% 1 V= 2 1 = 2
u [ ( A) k + Z T ( B ) ( Ψ T k Ψ c ) Z ] ( A )u C
kVV k CV kVC CVC OVC = kCC I CC FCC
其中，FCC是C集中坐标上的反力，有上式第一分块得：
1 CVC = kVV kVC
约束模态矩阵为
T 1 Ψ C = [CVC | I CC ]T = [kVV kCV | I CC ]T
任何的刚体模态必然能以约束模态线性表出
( A) T
u ( ( A) k + Z T ( B ) kZ ) ( A) u
3.各种模态集的含义及其生成方法
显然
0 Z T ( B ) kZ = 0 0 (B) K
( A)
因此
( A)
% 1 V= 2
( A)
% (u T ku )
类似可得
% 1& %& E = u T mu 2
部件A带部件B对接加载主模态由下式特征值问题确定
3.各种模态集的含义及其生成方法
剩余惯性释放附着模态（简称剩余模态）： 剩余惯性释放附着模态（简称剩余模态）： 在模态综合中应用附着模态时，会产生模态的线性独立性问题 弹性柔度矩阵可分解为
GE = Φ E 1ΦT = (Gk + Gd ) E E
保留柔度阵和剩余柔度阵分别为
Gk = Φ k k 1ΦT k Gd = Φ d d1ΦT d
于是悬浮件在A集上确定的附着模态为：
3.各种模态集的含义及其生成方法
ΨWA gWA Ψ = Ψ = g AA A AA ORA ORA
对于无刚体自由度的外拘束部件，附着模态为
ΨWA gWA Ψ = = Ψ AA g AA A
附着模态等于拘束模态时
部件的物理坐标可通过坐标变换，用它的模态坐标表示：
u ( x) = H ( x) p
3.各种模态集的含义及其生成方法
主模态： 主模态：可分为固定对接主模态，自由对接主模态和混合对接主模态。 固定和自由对接主模态分别由下列特征值确定
(k
II
ω
2
m
2
II
)φ = 0
(k ω
m )φ = 0
式中，m和k分别是部件的质量矩阵、刚度矩阵，当主模态关于质量 阵归一时，则 mn = I n kn = n 自由悬浮部件的自由对接主模态中含有R个刚体模态，Φn又可按刚体模态ΦR 和弹性模态ΦE分块： Φ = [ Φ | Φ ], = diag (O , )
kVV kCV kVC ΨWA OWA = kCC Ψ AA I AA
所以
1 ΨWA = kVV kVC Ψ AA
因此，方程变为
1 ΨWA kVV kVC Ψ = = Ψ AA = Ψ c g AA Ψ AA I CC A
对于外拘束部件附着模态和拘束模态等价
2.部件分划和对接界面
模态综合法将结构划分成若干个子结构，两个或几个部件的交界面（线或 点）统称为对接界面。有限元模型中，对接界面离散为节点用j表示部件对 接界面上节点坐标的总集，因此，j中的元素J就是它的对接自由度数，对 接自由度是原始系统对接界面的一致有限元描述。如下图所示：
2.部件分划和对接界面
(a)
近代模态综合法产生背景：
古典模态综合法，在应用上有很大的局限性， 基本只适用于梁-杆-轴式单连系统。 实际工程结构具有大量内连自由度的赘余对接 系统，用古典模态综合法难以实施且收敛性差。 许多学者对古典模态综合法进行了改进，从而 产生了近代模态综合法
1.坐标与坐标变换
为了确定结构或部件的位形，常用两类广义坐标： 物理（几何）坐标：指示结构上的几何位移 模态坐标：结构假设模态对位移的贡献量 模态综合法中坐标转化： 模态综合法把有限元的运动方程交换到模态坐标空间，并基于频率 准则截尾部件的高阶模态。 各种改进方法都在于尽可能的减弱有截尾引入的拘束度，借以加速 综合收敛率。 模态包括通过结构动力分析获得的主模态，也包括某种静态方式 生成的结构挠曲形状，甚至是任意设定满足几何边界条件的“容许”形 态。
近代模态综合法的一些基本概念
2010年6月21日
近代模态综合法的一些基本概念
一、坐标与坐标变换 二、部件划分和对接边界 三、各种模态集的含义及其生成方法 四、子结构耦合
一般的模态综合发步骤：
步骤1：选择并形成部件的模态基 H = [Ψ | Φ] 。 步骤2：形成各部件的模态质量矩阵和模态刚度矩阵。 步骤3：从装配方程确定耦合系统的独立广义坐标q。 步骤4：形成从无耦合模态坐标p到独立坐标q的变换阵T。 步骤5：确定M和K。 步骤6：从方程 Mq + Kq = 0 确定系统的固有模态。 &&
( A)
有
( A)
( A) mII % m = ( A) mJI
mIJ ( A) mJJ + ( B ) m
( A)
( A) % = k II k ( A) k JI
( A) k JJ + ( B ) k
( A)
k IJ
上式也可由系统能量分析导出
V= 1 ∑ (α ) (uT ku) 2 α
3.各种模态集的含义及其生成方法
物理坐标集的分划形式如下表所示：
赘余对接部件的自由悬浮件的（无阻尼）运动方程可写成分块形式：
mII m JI && mIJ u I k II + mJJ u J k JI && k IJ u I f I = k JJ u J f J
1.坐标与坐标变换
模态综合法中，一般，位移表达式为：
u ( x) = H ( x) p
式中 H ( X ) = [h1 ( x), h2 ( x),L hN ( x)] 有限元模型下，离散形式为：
u ( x) = [h (1) , h (2) ,L h ( N ) ] p
其中，u-结点位移阵列，h（j）-第j个假设模态，p（N，1）-模态坐标列阵 这种由已知模态矩阵H，把部件的物理坐标转换为模态坐标的过程称为模 态代入变换。一般这种变换的作用，总是将无限自由度（或n自由度）系 统化为有限自由度（或N自由度，N<n）系统，这意味着坐标数的减缩， 是缩聚变换，如果坐标数不变称为等价变换。 缩聚变换将其余的n-N个模 态丢弃，仅留下N个组成变换矩阵H，这一过程称为模态截断，相当于在 模型上加n-N个拘束。
可写为：
( B)
u C u = I = IJ u J = Ψ c u J u J I JJ
( 式中，B )CIJ
= K II1 K IJ
3.各种模态集的含义及其生成方法
可得B的缩聚质量矩阵和刚度矩阵：
(B) (B)
m = Ψ T mψ c = (C T mJI C + mJJ C + C T mII ) + mIJ c k = k JJ C + K IJ
不完全对接情况，部件固定对接主模态阵Φn包含（R-J）个刚体模态。
3.各种模态集的含义及其生成方法
约束模态： 约束模态： 将部件的位形空间N分割为C集和余集V。依次静态的给予C集中每一位 移坐标以单位位移，而强制C集其余坐标位移为零，如此在空间N中的 坐标的静态位移响应，称为在部件C集上确定的约束模态。 约束模态又下列方程确定：
剩余模态为
Ψ d = Gd FA = Φ d 1ΦT d A
有 有
ΦT mΨ d = (Ψ T mΦ k )T = O k d ΦT k Ψ d = (Ψ T k Φ k )T = O k d
% % % % Gd = Φ E (ΦT k Φ E ) 1 ΦT Φ k 1ΦT E E k k
3.各种模态集的含义及其生成方法
部件之间的对接状况分为如下三种类型：
（1）不完全（非静定）对接——部件对接自由度小于刚体自由度 （2）静定对接——部件对接自由度等于刚体自由度 （3）赘余（超静定）对接——部件对接自由度大于刚体自由度
Hale Waihona Puke Baidu
部件分划要求：
（1）尽量割断（施加）较少的联系（拘束和钢化）而获得较多的子 结构，既尽量用较少的修改能取得化整为零的最大效果 （2）各个部件（或分支）的本佂值应能在预定的计算机上进行计算， 或已有现成的计算资料，或在备用试验室中进行测试，以便有效的提取事 后参与综合的子结构模态 （3）尽量使各个子结构的频率大一些，这样可以提高部件模态级数 的收敛率。
( A)
% % (k ω 2 m)φ = 0
可推广到与多个部件对接。 附着模态和惯性释放（附着）模态： 附着模态和惯性释放（附着）模态： 令A是U的子集，对A集的一个坐标施以单位力，而让其他坐标不受力 的情况下，所产生的在部件位形空间N中的坐标的静态响应组成附着模 态。当悬浮部件用惯性力来平衡部件的单位力时，其N集坐标的静态响 应组成了附着模态，并称之为惯性释放模态。
3.各种模态集的含义及其生成方法
模态综合使用部件的模态坐标作为运算对象，如果把部件关于对接力 的静态响应计入对接模态集中，因此，近代模态综合法的模态基具有 如下形式：
H = [Ψ | Φ ]
式中，Ψ是部件的静力（对接）模态基，主要类别有：约束模态，附着 模态，惯性释放模态，惯性释放附着模态，和剩余惯性释放附着模态。 Φ是部件的动力模态基，一般由部件的固定对接或自由对接的低阶主模 态组成。 模态综合中必须保持部件模态集H中各列模态的独立性，高度赘余 对接部件H的模态数小于自由度，自由悬浮部件有零频刚体模态，H模 态集中必须包含它，任一刚体模态必须能以H中模态线性表出。
矩阵Ж由下面方程确定
FCC x = 0
3.各种模态集的含义及其生成方法
带对接加载的部件主模态： 带对接加载的部件主模态： 将部件B的质量和刚度缩聚到对接集J上，利用对接协调性把B的减缩刚度 和质量特性加到A上。
部件B的内坐标对于其对接坐标的静力依赖关系：
(B)
uI = CIJ u J
kWW k AW kWA ΨWA OWA = k AA Ψ AA I AA
其中
kWW k AW
kWA k AA
为部件支承在R集上的非异刚度阵，其逆阵是支承在R集上的柔度阵
kWW k AW kWA g = WW k AA g AW
1
gWA g AA
称为部件的b维模态基，若空间Xr中的每个模态皆能以Xs中的模态线性 表出（r≤s），则称Xr是Xs的特款，并记为：
Xr Xs
由Xr张成的子空间必落入Xs张成的子空间中，当r=s时，称Xr与Xs等价 并记为：
Xr Xs
两个模态等价的充要条件是：（1）他们维数相等（2）一基是另一基的特 款。当两个模态基的维数等于位形空间的维数时，则此两基必定等价。
1.坐标与坐标变换
缩聚变换的后果是引入截断误差，使复原系统的频率高于原来系统 的相应阶频率，而且，一般截断误差常随频阶的升高而不断增大。模态 综合法保留“活跃的”模态，尽可能丢弃对于主要结构固有模态贡献甚 微的部件模态。 由部件的b个独立模态列阵所组成的模态（集）矩阵
X b = [ X (1) , X ( 2 ) , L X (b ) ] b≤n
于是
% % % % Ψ d = [Φ E (ΦT k Φ E ) 1 ΦT Φ k k 1ΦT ]FA E E k
3.各种模态集的含义及其生成方法
将位形空间完备分割为三个子集R，A和W。附着模态方程为
KWW K AW K RW KWA K AA K RA KWR ΨWA OWA K AR Ψ AA = I AA ORA FRA K RR
由头两个分块矩阵可得
n R E n R E
(n = I + J , n = R + E )
ΦE仅保留其中部件低频端上主模态Φk参与综合，对于赘余或静定对接，部件的 T T 固定对接主模态可写为： Φ n = Φ E = [ Φ nI | O ] , n = E , ( n = E = I )
Φ k = [ Φ kI | O T ]T
位移协调条件可写为
( B)
u J = Z ( A)u
Z = [0 | I ], ( A) u = [uIT , u T ]T J
由于 可得
(B)
u=
( B)
ψ c ( A) u J =
(B)
ψ c Z ( A)u
( A) T
( A)
% 1 V= 2 1 = 2
u [ ( A) k + Z T ( B ) ( Ψ T k Ψ c ) Z ] ( A )u C
kVV k CV kVC CVC OVC = kCC I CC FCC
其中，FCC是C集中坐标上的反力，有上式第一分块得：
1 CVC = kVV kVC
约束模态矩阵为
T 1 Ψ C = [CVC | I CC ]T = [kVV kCV | I CC ]T
任何的刚体模态必然能以约束模态线性表出
( A) T
u ( ( A) k + Z T ( B ) kZ ) ( A) u
3.各种模态集的含义及其生成方法
显然
0 Z T ( B ) kZ = 0 0 (B) K
( A)
因此
( A)
% 1 V= 2
( A)
% (u T ku )
类似可得
% 1& %& E = u T mu 2
部件A带部件B对接加载主模态由下式特征值问题确定
3.各种模态集的含义及其生成方法
剩余惯性释放附着模态（简称剩余模态）： 剩余惯性释放附着模态（简称剩余模态）： 在模态综合中应用附着模态时，会产生模态的线性独立性问题 弹性柔度矩阵可分解为
GE = Φ E 1ΦT = (Gk + Gd ) E E
保留柔度阵和剩余柔度阵分别为
Gk = Φ k k 1ΦT k Gd = Φ d d1ΦT d
于是悬浮件在A集上确定的附着模态为：
3.各种模态集的含义及其生成方法
ΨWA gWA Ψ = Ψ = g AA A AA ORA ORA
对于无刚体自由度的外拘束部件，附着模态为
ΨWA gWA Ψ = = Ψ AA g AA A
附着模态等于拘束模态时
部件的物理坐标可通过坐标变换，用它的模态坐标表示：
u ( x) = H ( x) p
3.各种模态集的含义及其生成方法
主模态： 主模态：可分为固定对接主模态，自由对接主模态和混合对接主模态。 固定和自由对接主模态分别由下列特征值确定
(k
II
ω
2
m
2
II
)φ = 0
(k ω
m )φ = 0
式中，m和k分别是部件的质量矩阵、刚度矩阵，当主模态关于质量 阵归一时，则 mn = I n kn = n 自由悬浮部件的自由对接主模态中含有R个刚体模态，Φn又可按刚体模态ΦR 和弹性模态ΦE分块： Φ = [ Φ | Φ ], = diag (O , )
kVV kCV kVC ΨWA OWA = kCC Ψ AA I AA
所以
1 ΨWA = kVV kVC Ψ AA
因此，方程变为
1 ΨWA kVV kVC Ψ = = Ψ AA = Ψ c g AA Ψ AA I CC A
对于外拘束部件附着模态和拘束模态等价
2.部件分划和对接界面
模态综合法将结构划分成若干个子结构，两个或几个部件的交界面（线或 点）统称为对接界面。有限元模型中，对接界面离散为节点用j表示部件对 接界面上节点坐标的总集，因此，j中的元素J就是它的对接自由度数，对 接自由度是原始系统对接界面的一致有限元描述。如下图所示：
2.部件分划和对接界面
(a)
近代模态综合法产生背景：
古典模态综合法，在应用上有很大的局限性， 基本只适用于梁-杆-轴式单连系统。 实际工程结构具有大量内连自由度的赘余对接 系统，用古典模态综合法难以实施且收敛性差。 许多学者对古典模态综合法进行了改进，从而 产生了近代模态综合法
1.坐标与坐标变换
为了确定结构或部件的位形，常用两类广义坐标： 物理（几何）坐标：指示结构上的几何位移 模态坐标：结构假设模态对位移的贡献量 模态综合法中坐标转化： 模态综合法把有限元的运动方程交换到模态坐标空间，并基于频率 准则截尾部件的高阶模态。 各种改进方法都在于尽可能的减弱有截尾引入的拘束度，借以加速 综合收敛率。 模态包括通过结构动力分析获得的主模态，也包括某种静态方式 生成的结构挠曲形状，甚至是任意设定满足几何边界条件的“容许”形 态。
近代模态综合法的一些基本概念
2010年6月21日
近代模态综合法的一些基本概念
一、坐标与坐标变换 二、部件划分和对接边界 三、各种模态集的含义及其生成方法 四、子结构耦合
一般的模态综合发步骤：
步骤1：选择并形成部件的模态基 H = [Ψ | Φ] 。 步骤2：形成各部件的模态质量矩阵和模态刚度矩阵。 步骤3：从装配方程确定耦合系统的独立广义坐标q。 步骤4：形成从无耦合模态坐标p到独立坐标q的变换阵T。 步骤5：确定M和K。 步骤6：从方程 Mq + Kq = 0 确定系统的固有模态。 &&
( A)
有
( A)
( A) mII % m = ( A) mJI
mIJ ( A) mJJ + ( B ) m
( A)
( A) % = k II k ( A) k JI
( A) k JJ + ( B ) k
( A)
k IJ
上式也可由系统能量分析导出
V= 1 ∑ (α ) (uT ku) 2 α
3.各种模态集的含义及其生成方法
物理坐标集的分划形式如下表所示：
赘余对接部件的自由悬浮件的（无阻尼）运动方程可写成分块形式：
mII m JI && mIJ u I k II + mJJ u J k JI && k IJ u I f I = k JJ u J f J
1.坐标与坐标变换
模态综合法中，一般，位移表达式为：
u ( x) = H ( x) p
式中 H ( X ) = [h1 ( x), h2 ( x),L hN ( x)] 有限元模型下，离散形式为：
u ( x) = [h (1) , h (2) ,L h ( N ) ] p
其中，u-结点位移阵列，h（j）-第j个假设模态，p（N，1）-模态坐标列阵 这种由已知模态矩阵H，把部件的物理坐标转换为模态坐标的过程称为模 态代入变换。一般这种变换的作用，总是将无限自由度（或n自由度）系 统化为有限自由度（或N自由度，N<n）系统，这意味着坐标数的减缩， 是缩聚变换，如果坐标数不变称为等价变换。 缩聚变换将其余的n-N个模 态丢弃，仅留下N个组成变换矩阵H，这一过程称为模态截断，相当于在 模型上加n-N个拘束。
可写为：
( B)
u C u = I = IJ u J = Ψ c u J u J I JJ
( 式中，B )CIJ
= K II1 K IJ
3.各种模态集的含义及其生成方法
可得B的缩聚质量矩阵和刚度矩阵：
(B) (B)
m = Ψ T mψ c = (C T mJI C + mJJ C + C T mII ) + mIJ c k = k JJ C + K IJ
不完全对接情况，部件固定对接主模态阵Φn包含（R-J）个刚体模态。
3.各种模态集的含义及其生成方法
约束模态： 约束模态： 将部件的位形空间N分割为C集和余集V。依次静态的给予C集中每一位 移坐标以单位位移，而强制C集其余坐标位移为零，如此在空间N中的 坐标的静态位移响应，称为在部件C集上确定的约束模态。 约束模态又下列方程确定：
剩余模态为
Ψ d = Gd FA = Φ d 1ΦT d A
有 有
ΦT mΨ d = (Ψ T mΦ k )T = O k d ΦT k Ψ d = (Ψ T k Φ k )T = O k d
% % % % Gd = Φ E (ΦT k Φ E ) 1 ΦT Φ k 1ΦT E E k k
3.各种模态集的含义及其生成方法
部件之间的对接状况分为如下三种类型：
（1）不完全（非静定）对接——部件对接自由度小于刚体自由度 （2）静定对接——部件对接自由度等于刚体自由度 （3）赘余（超静定）对接——部件对接自由度大于刚体自由度
Hale Waihona Puke Baidu
部件分划要求：
（1）尽量割断（施加）较少的联系（拘束和钢化）而获得较多的子 结构，既尽量用较少的修改能取得化整为零的最大效果 （2）各个部件（或分支）的本佂值应能在预定的计算机上进行计算， 或已有现成的计算资料，或在备用试验室中进行测试，以便有效的提取事 后参与综合的子结构模态 （3）尽量使各个子结构的频率大一些，这样可以提高部件模态级数 的收敛率。
( A)
% % (k ω 2 m)φ = 0
可推广到与多个部件对接。 附着模态和惯性释放（附着）模态： 附着模态和惯性释放（附着）模态： 令A是U的子集，对A集的一个坐标施以单位力，而让其他坐标不受力 的情况下，所产生的在部件位形空间N中的坐标的静态响应组成附着模 态。当悬浮部件用惯性力来平衡部件的单位力时，其N集坐标的静态响 应组成了附着模态，并称之为惯性释放模态。
3.各种模态集的含义及其生成方法
模态综合使用部件的模态坐标作为运算对象，如果把部件关于对接力 的静态响应计入对接模态集中，因此，近代模态综合法的模态基具有 如下形式：
H = [Ψ | Φ ]
式中，Ψ是部件的静力（对接）模态基，主要类别有：约束模态，附着 模态，惯性释放模态，惯性释放附着模态，和剩余惯性释放附着模态。 Φ是部件的动力模态基，一般由部件的固定对接或自由对接的低阶主模 态组成。 模态综合中必须保持部件模态集H中各列模态的独立性，高度赘余 对接部件H的模态数小于自由度，自由悬浮部件有零频刚体模态，H模 态集中必须包含它，任一刚体模态必须能以H中模态线性表出。