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两数和的平方公式

两数和的平方公式
两数和的平方公式如下：
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍即完全平方公式。

(a+b)^=a^+2ab+b^与(a-b)^=a^-2ab+b^。

平方差公式：当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差，即a^-b^=(a+b)*(a-b)
自然数平方和:1^+2^+3^++n^=n(n+1)(2n+1)/6立方差公
式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)立方和公
式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
拓展资料如下：
数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。

数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

而在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

空间的研究源自于欧式几何．三角学则结合了空间及数，且包含有非常著名的勾股定理、三角函数等。

现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何及拓扑学。

数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。

在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。

常用平方立方和公式整理

常用平方立方和公式整理平方和公式：1. 平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²该公式用于计算两个数的和的平方。

2. 平方差公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²该公式用于计算两个数之差的平方。

3. 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²该公式是平方公式的逆运算，用于将一个平方解开。

4.平方根公式：√(a²+b²)=√a²+√b²该公式用于计算两个数平方和的平方根。

立方和公式：1. 立方公式：(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³该公式用于计算两个数的和的立方。

2. 立方差公式：(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³该公式用于计算两个数之差的立方。

3. 完全立方公式：a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³该公式是立方公式的逆运算，用于将一个立方解开。

4.立方根公式：∛(a³+b³)=∛a³+∛b³该公式用于计算两个数立方和的立方根。

总结：平方和公式和立方和公式是数学中常用的公式，能够简化计算和推导过程。

它们在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。

在平方和公式中，平方公式可以用于计算两个数的和的平方，而平方差公式可以用于计算两个数之差的平方。

完全平方公式是平方公式的逆运算，可以将一个平方解开。

平方根公式可以用于计算两个数平方和的平方根。

在立方和公式中，立方公式可以用于计算两个数的和的立方，而立方差公式可以用于计算两个数之差的立方。

完全立方公式是立方公式的逆运算，可以将一个立方解开。

两数和(差)的完全平方公式

两数和（差）的平方教案设计泌阳县春水镇中心学校刘老师教学内容教科书P.32——P.34的内容本节课是华师大八年级（上）义务教育课程标准实验教材第12章第3节第二课时的内容。

它是学生在已经掌握整式的加减法、幂的运算、单项式乘法、多项式乘法之后进行学习的。

一方面它是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面也是后续学习的基础，不仅对提高学生运算速度、准确率有较大作用，更是今后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、分式运算的知识基础，同时乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端。

通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。

一、教学目标1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。

2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。

3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。

二、教学重难点重点：掌握公式的特点，牢记公式。

难点：对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。

关键：引导学生对本节课公式结构特征进行理解，并注意同两数与这两数差的积的公式进行区分。

教学过程一、创设情景、问题导入很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主。

国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b 米的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。

国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？” 你认为他们的要求一样吗？以小组为单位，讨论交流a2+b2与(a+b)2的大小.思考怎样计算(a+b)2，结果是多少？二、探究新知，得出公式方法一、利用代数方法计算(a+b)2＝(a+b) (a+b)＝a2＋2ab＋b2方法二、利用几何图形的面积的两种表示方法验证。

12.3.2 两数和(差)的平方八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)

12.3.2两数和〔差〕的平方根底知识1.2222)(b ab a b a ++=+；即两数和的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍。

这个公式叫做两数和的平方公式。

2222)(b ab a b a +-=-；即两数差的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍。

这个公式叫做两数差的平方公式。

以上两个公式俗称完全平方公式2．完全平方公式的特点：〔1〕左边是一个二项式的完全平方；〔2〕右边是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项为哪一项左边二项式中两项积的两倍；〔3〕公式中的字母，可以代表一个数，还可以代表一个代数式。

3.完全平方公式的变化与推广：ab b a b a 2)(222-+=+；ab b a b a 2)(222+-=+)()(2222b a b a ab +-+=或)]()[(21222b a b a ab +-+= ab b a b a 4)()(22-+=-,ab b a b a 4)()(22+-=+例题例1．计算：2123x y ⎫⎛-+ ⎪⎝⎭．【答案】224439y x xy -+．【分析】利用完全平方差公式求解即可.【详解】解：原式2123x y ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭ 224439y x xy -+=．【点睛】此题主要考查有理数及整式的运算，属于根底题型.例2．阅读材料：假设2222210x xy y y ++-+=，求x ，y 的值．解：∵2222210x xy y y ++-+=，∴2222210x xy y y y +++-+=，即22()(1)0x y y ++-=．∴0,10x y y +=-=．∴1,1x y =-=．根据你的观察，探究以下问题：〔1〕224428160m mn n n -+++=，求3()m n --的值．〔2〕24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c ++的值．【答案】16．〔1〕18；〔2〕3 【分析】〔1〕将4m 2-4mn +2n 2+8n +16=0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出m ，n 的值，代入代数式即可得到结论；〔2〕由a -b =4，得到a =b +4，代入的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a +b +c 的值．【详解】解：〔1〕∵4m 2-4mn +2n 2+8n +16=(2m )2-4mn +n 2+n 2+8n +16=〔2m -n 〕2+〔n +4〕2=0， ∴2m -n =0，n +4=0，∴m =-2，n =-4，∴〔m -n 〕-3=18；〔2〕∵a -b =4，即a =b +4，代入得：〔b +4〕b +c 2-6c +13=0，整理得：〔b 2+4b +4〕+〔c 2-6c +9〕=〔b +2〕2+〔c -3〕2=0，∴b +2=0，且c -3=0，即b =-2，c =3，a =2，那么a +b +c =2-2+3=3．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，此题属于中档题．练习1．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解22()()4a b a b ab +--=，那么通过图2中阴影局部面积的计算验证的恒等式是()A ．222()2a b a ab b -=-+B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()(2)2a b a b a ab b -+=+-2．以下各式中，与2(1)x -相等的是()A ．221x x -+B ．221x x --C ．21x -D ．2x 3．9x 2﹣kx ＋4是一个完全平方式，那么常数k 的值为〔〕A ．6B ．±6C ．12D ．±12 4．以下各式中，是完全平方式的是〔〕A ．269x x -+B ．221x x +-C ．2525x x -+D ．216x + 5．m 2+n 2＝1，〔m +n 〕2＝2，那么mn 的值是〔〕A ．14B ．12C ．1D ．2 6．计算：()22x y +＝_____．7．如果2236x kxy y ++是完全平方式，那么k 的值是________ ．8．22,()1xy x y =-=，那么22x y +=_________．9．x ，y 244y y -=-，假设3axy x y -=，那么实数a 的值为_____________．10．假设()292116x k x --+是完全平方式，那么k 的值为______．11．计算：〔1〕()225a b -+；〔2〕(2)(2)(1)(5)x x x x +-+-+12．先化简，再求值：()()()2211x x x -+--，其中12x =-．13．()218x y +=，()26x y -=，求22x y +及xy 的值． 14．化简：22()()a b a b -+15．〔1〕先化简，再求值，2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-．〔2〕己知2226100x y x y +-++=，求x y +的值．16．[阅读理解]假设x 满足(80)(60)30x x --=，求22(80)(60)x x -+-的值．解：设80x a -=，60x b -=，那么(80)(60)30x x ab --==，(80)(60)20a b x x +=-+-=，∴222222(80)(60)()220230340x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=．[解决问题]假设x 满足22(30)(20)120x x -=+-，求(30)(20)x x --的值．参考答案1．A【详解】解：阴影局部的面积：2()a b -，还可以表示为：222a ab b -+，∴此等式是222()2a b a ab b -=-+．应选：A ．2．A【详解】解：22(1)21x x x -=-+，应选：A ．3．D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：∵9x 2-kx +4是一个完全平方式，∴-k =±12，解得：k =±12，应选：D ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．4．A【分析】根据完全平方公式：〔a ±b 〕2=a 2±2ab +b 2分析各个式子．【详解】解：()22693x x x -+=-，是完全平方式，221x x +-，2525x x -+，216x +不是完全平方式，应选A ．【点睛】此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求掌握完全平方公式，并能从复杂的关系中找到平方项和乘积项，利用公式写成平方的形式．5．B【分析】根据m 2+n 2的值，利用完全平方公式将〔m +n 〕2展开进行计算即可．【详解】解：∵m 2+n 2=1，∴〔m +n 〕2=2，∴m 2+2mn +n 2=2，∴1+2mn =2，∴2mn =1，∴mn =12，应选：B ．【点睛】此题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．2244.x xy y ++【分析】直接利用完全平方公式进行计算即可得到答案．【详解】解：()222244x y x xy y +=++，故答案为：2244.x xy y ++【点睛】此题考查的是完全平方公式的运用，掌握利用完全平方公式进行运算是解题的关键． 7．±12【分析】根据完全平方公式即可得到结论．【详解】解：∵2236x kxy y ++是完全平方公式，∴2236x kxy y ++=〔x+6y 〕2或者2236x kxy y ++=〔x-6y 〕2，∴k=+12或k=-12，故答案为：±12．【点睛】此题考查完全平方公式，注意完全平方公式中间项是±2ab ． 8．5【分析】根据222()2x y x y xy -=+-可得222()2x y x y xy +=-+，代入得出答案．【详解】解：∵22,()1xy x y =-=，∴222()2145x x y y y x =-=+++=，故答案为：5．【点睛】此题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式和它的变形式是解题关键．9．76【分析】2440y y -+=2(2)0y -=，可得x ，y 的值，将之代入3axy x y -=中可得结果．【详解】2440y y -+=，2(2)0y -=，390,20x y ∴+=-=，解得：3,2x y =-=，代入3axy x y -=，得(3)23(3)2a ⨯-⨯-⨯-=，解得：76a =，故答案为：76．【点睛】此题主要考查了完全平方公式及非负数的性质，属于根底题，关键是根据非负数的性质求出x ，y 的值再求解．10．11-或13【分析】利用完全平方式的定义可得()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，求解即可．【详解】解：∵()292116x k x --+是完全平方式，∴()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，解得11k =-或13，故答案为：11-或13．【点睛】此题考查利用完全平方式的定义求参数，掌握完全平方式的定义是解题的关键． 11．〔1〕2242025a ab b -+；〔2〕41x【分析】〔1〕根据完全平方公式直接计算即可；〔2〕根据多项式乘多项式的法那么进行计算即可．【详解】〔1〕解：()225a b -+〔2〕原式2242255x x x x x x =-+-++--41x ．【点睛】此题考查完全平方公式、多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式运算规那么．12．3x -，72- 【分析】根据多项式乘多项式的运算法那么、完全平方公式把原式化简，把x 的值代入计算即可．【详解】解：()()221(1)x x x -+-- 3x =-，当12x =-时，原式=17322--=-．【点睛】此题考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法那么是解题的关键．13．2212x y +=；3xy =．【分析】根据完全平方公式对式子进行变形，并将条件整体代入即可．【详解】解：()222222222222222222x y x y x y x y x y x y xy xy +++++++-++=== ()()2222222218612222x y x x y x xy y y y x ++=++-++==+-=； ()()()222222221863444x xy y x xy y x y x y ++--++---====．【点睛】此题考查了完全平方式，把式子灵活变形是解题关键．14．42242a a b b -+【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可；【详解】解：()()()2222224224()()2a b a b a b a b a b a a b b ==-=-+⎡⎤⎣⎦-+-+；【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式，灵活应用平方差公式及完全平方公式是解题的关键．15．〔1〕95x -，8-；〔2〕-2【分析】〔1〕根据平方差公式和单项式乘多项式、完全平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答此题．〔2〕将等式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得到x 和y 值，代入计算即可．【详解】解：〔1〕2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----=2229455414x x x x x --+--+=95x - 将13x =-代入，原式=1953⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=8-；〔2〕∵2226100x y x y +-++=，∴2221690x x y y -++++=，∴()()22130x y -++=，∴x -1=0，y +3=0，∴x =1，y =-3，∴132x y +=-=-．【点睛】此题考查整式的混合运算-化简求值，完全平方公式的应用，解答此类问题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．10【分析】根据题目所给的方法，设30,20x a x b -=-=，那么22120a b +=，再根据222()2a b a b ab +=+-，即可得出答案．【详解】解：设30,20x a x b -=-=，22(30)(20)120x x --=+，22120a b ∴+=，那么=3020120a b x x +-+-=，222()2a b a b ab +=+-，【点睛】此题主要考查了完全平方公式，解得的关键是：熟练掌握完全平方公式的变式应用是进行计算的关键．。

第9讲(学生)第1章整式的乘除两数和的平方

第9讲乘法公式两数和的平方学习目标：能根据完全平方公式的特点，正确运用完全平方公式进行简单计算学习重点：掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．学习难点：综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．学习流程1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a 2=a ·a ，那么（a+b ）2 应该写成什么样的形式呢？（a+b ）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=__ p 2+2p+1；（m+2）2=_ p 2-2p+1__；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______ 完全平方公式：（a+b ）2= a 2+2ab+b 2、（a-b ）2=a 2-2ab+b 2两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍．回答问题．（1）公式的左边是什么形式？（2）公式的右边是什么形式？（3）公式的右边有多少项？（4）公式的右边的符号有什么特点？公式特点：1、积为二次三项式2、积中两项为两数的平方和；3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。

首平方，尾平方，积的2倍在中央4、公式中的字母a ，b 可以表示数，单项式和多项式。

乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式()222b a ab = 混淆，而随意写成()222b a b a +=+ ．（2）切勿把“乘积项”ab 2中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+,记忆口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同号加异号减。

12.3乘法公式(两数和差平方公式)

12.3平方公式目标解读：1.推导两数和、差的平方公式，理解两数和、差的平方公式的意义。

2.掌握乘法公式，用乘法公式进行有关计算。

重点：两数和、差的平方公式应用难点：推导两数和、差的平方公式知识点1两数和、差的平方用多项式乘法运算验证归纳总结：两数和或差的平方，等于这两数的平方和加上或减去它们的积的倍。

拓展一、利用乘法公式进行运算例9992-1002×998拓展二、巧用平方和、平方差公式计算拓展三、变化整式的形式求值拓展四、整体代入法化简求值拓展五、求图形的面积拓展六、灵活运用两数和差的平方公式拓展七判断三角形的形状五、拓展延伸1.利用完全平方公式进行计算（1）1022(2）1992(3）（x＋2）2－（x－2）22.下列可以用两数和乘以这两数差公式计算的是（）（A）（x-y）（x+y）（B）（x-y）（y-x）（C）（x-y）（-y+x）（D）（x-y）（-x+y）3、计算（1）（4a＋5b）2 （2）（-6a＋9b）2（3）（7a－3b）2（4）（-2x－3y）24、已知x+y=3，xy=-12，求下列各式的值。

（1）x2+y2 (2)x2-xy+y2(3)(x-y)2 (4) |x-y|5、已知x-y=4,xy=21,则x2+y2的算术平方根等于多少6、已知x+y=3,x2+y2=5,则xy的值等于多少？14.3.2 两数和的平方(A卷)(教材针对性训练题60分 30分钟)一、判断:下列等式是否成立,对的打“∨”,错的打“×”号(每小题1分,共6分)1.(x-y)2=x2-y2( );2.a2-b2=(a-b)2+2ab-2b2( )3.a2+b2=(a-b)2+2ab( );4.a2-b2=(a+b)2-2ab( )5.(0.5x-y)2=0.25x2-xy+y2( );6.(a+1)(-a-1)=a2-1( )二、填空题:(每小题3分,共24分)7.23___5x⎛⎫+⎪⎝⎭=925x2+6xy+25y2;8.5022=(______+______)2=____________________=___________.9.若a2+2a=1则(a+1)2=________.10.(______+b2)=9a2+_______+_________.11.若(x-3)2=x2+kx+9,则k=_________.12.若x2+y2=12,xy=4,则(x-y)2=_________.13.x2+y2=(x-y)2+_______=(x+y)2-_______.14.(_____-2)2=_____-12x+________.三、选择题:(每小题3分,共18分)15.乘法公式中a、b可表示( )A.数B.多项式C.单项式D.以上都可以16.下列各式计算正确的是( )A.(a-b)2=a2-b2;B.(2x-y)2=4x2-2xy+y2C.(a2+2b)2=a4+4b2;D.(12x+3)2=14x2+3x+917.下列各式中,计算结果是2mn-m2-n2的是( )A.(m-n)2B.-(m-n)2;C.-(m+n)2D.(m+n)218.若x2+ax=(x+12)2+b,则a、b的值是( )A.a=1,b=14B.a=1,b=-14; C.a=0,b=-12D.a=2,b=1219.(a+3b)2-(3a+b)2的计算结果是( )A.8(a-b)2B.8(a+b)2;C.8b2-8a2D.8a2-8b220.下列各式中,形如a2±2ab+b2的形式的多项式有( )①a2-a+14,②x2+xy+y2,③116m2+m+1,④x2-xy+14y2,⑤m2+4n2+2mn,⑥14a4b2-a2b+1.A.2个B.3个C.4个D.5个四、(每小题4分,共12分)21.化简:(9-a2)2-(3-a)(3+a)(9+a2);22.化简并求值:(x3+2)2-2(x+2)(x-2)(x2+4)-(x3-2)2,其中x=1 2 .23.已知A=1234567×1234569,B=12345682,试比较A 、B 的大小.答案:一、1.× 2.∨ 3.∨ 4.× 5.∨ 6.× 二、7.5y 8.500;2;250000+2000+4;252004.9.2 10.3a;6ab;b 211.- 6 12.4 13.2xy;2xy 14.211,,4864x x . 三、15.D 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 四、21.解:原式=81-18a 2+a 4-(9-a 2)(9+a 2) =81-18a 2+a4-(81-a 4) =81-18a 2+a 4-81+a 4 =2a 4-18a 222.解:原式=x 6+4x 3+4-2(x 2-4)(x 2+4)-(x 6-4x 3+4) =x 6+4x 3+4-2(x 4-16)-x 6+4x 3-4 =8x 3-2x 4+32当x=-12时,原式=3411111782328232132302281688⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--⨯+=⨯--⨯+=--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23.解:设m=1234568,则1234567=m-1,1234569=m+1,则A=(m-1)(m+1)=m 2-1,B=m 2. 显然m 2-1<m 2,所以A<B.14.3.2 两数和的平方(B卷)(综合应用创新训练题 60分 40分钟)一、学科内综合题:(28分)1.(6分)解不等式:(x2-2)(-x2+2)>(2x-x2)(2x+x2)+4x.2.(6分)解方程组:222(x+3)(2)(7)(4)(4)12 1y y x xx y⎧+-=-++--⎨+=-⎩3.(6分)△ABC三边长a、b、c满足b+c=8,bc=a2-12a+52,试问△ABC 是什么三角形?4.(10分)(1)图是一个长为2a,宽为2b的矩形, 若把此图沿图中虚线用剪刀均分为四块小长方形,然后按图的形状拼成一个正方形,请问:这两个图形的什么量不变?所得的正方形的面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用a、b 的代数式表示为_________.(2)由(1)的探索中,可得出的结论是:在周长一定的矩形中,_____________时,面积最大;(3)若一矩形的周长为36cm,则当边长为多少时,该图形的面积最大?最大面积是多少?二、应用题:(5分)5.已知一个正方形木板,它的边长是(a+3)cm,从中锯去一个边长是(a-1)cm 的正方形,求剩余木板的面积是多少?三、创新题:(共22分) (一)多解题(9分)6.已知:a+b=7,ab=-12,求下列各式的值. (1)a 2+b 2;(2)a 2-ab+b 2;(3)(a-b)2(二)多变题(8分) 7.已知:x 2-3x+1=0,求x 4+41x的值.bb aa一变:已知:(x2+1)(y2+1)=4xy,求代数式x2-5y+1的值.(三)新解法题(5分)8.设a、b、c、d都是整数且m=a2+b2,n=c2+d2,试说明：m、n可表示成两个整数的平方和的形式.四、新中考题:(共5分)9.(2003,海南省,2分)下列各式中,不一定成立的是( )A.(a+b)2=a2+2ab+b2;B.(b-a)2=a2-2ab+b2C.(a+b)(a-b)=a2-b2;D.(a-b)2=a2-b210.(2003,福州市,3分)观察下列各式:1×3=12+2×1,2×4=22+2×2,3×5= 32+2×3,……请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来:_____________.答案:一、1.解:-(x2-2)2>(2x)2-(x2)2+4x,-(x4-4x2+4)>4x2-x4+4x,-x4+4x2-4<4x2-x4+4x,-4<4x,∴x<-1.2.解:由①得:x2+6x+9+y2-4y+4=49-14y+y2+x2-16-12,6x-4y+14y=49-28-9-4,6x+10y=8,即3x+5y=4,③由③-②×③得:2y=7,∴y=3.5,把y=3.5代入②得:x=-3.5-1=-4.5,∴4.53.5 xy=-⎧⎨=⎩3.解:由b+c=8得c=8-b,代入bc=a 2-12a+52得 b(8-b)=a 2-12a+52,8b-b 2=a 2-12a+52,a 2-12a+36+b 2-8b+16=0,逆用完全平方公式得 (a-b)2+(b-4)2=0,所以a-6=0且b-4=0,即a=6,b=4, 把b=4代入c=8-b 得c=8-4=4. ∴c=b=4,因此△ABC 是等腰三角形.4.(1)这两个图形的周长不变 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (2)在周长一定的矩形中,长等于宽时面积最大. (3)9cm,81cm 2 二、5.解:剩余木板的面积是:(a+3)2-(a-1)2=(a+3+a-1)(a+3-a+1)=(2a+2)×4=8a+8(cm 2) 三、(一) 6.解法一:(1)a 2+b 2=(a+b)2-2ab=72-2×(-12)=49+24=73.(2)a 2-ab+b 2=(a 2+b 2)-ab=73-(-12)=73+12=85,(3)(a-b)2=a 2-2ab+b 2=(a 2+b 2)-2ab=73-2×(-12)=73+24=97. 解法二:(1)∵a+b=7,∴(a+b)2=49,又ab=-12,即a 2+2ab+b 2=49,∴a 2+b 2=49-2×(-12)= 49+24=73.(2)∵(a+b)2=49,又ab=-12,∴a 2+b 2+2ab=49,∴a 2+b 2-ab=49-3ab=49-3×(- 12)=49+36=85. (3)∵a+b=7,ab=-12,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=49-4×(-12)=49+48=97. (二) 7.解:由x 2-3x+1=0,知x ≠0,∴x-3+ =0,∴x+1x=3,∴x 2+21x=(x+1x )2-2x ×1x =32-2=7 ∴x 4+41x =(x 2+21x)2-2=72-2=47一变:∵(x 2+1)(y 2+1)=4xy,∴x 2y 2+x 2+y 2+1=4xy. ∴(x 2y 2-2xy+1)+(x 2-2xy+y 2)=0,(xy-1)2+(x-y)2=0,∴100xy x y -=⎧⎨-=⎩∴x=y,x 2=1,∴x=±1.当x=1时,y=1;当x=-1时.y=-1∴当x=1,y=1时,x 2-5y+1=12-5×1+1=1-5+1=-3.当x=-1,y=-1时,x 2-5y+1=(-1)2-5×(-1)+1=1+5+1=7.(三)8.解:∵m=a2+b2,n=c2+d2∴mn=(a2+b)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2abcd+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2或=(ac-bd)2+(bc+ad)2四、9.D 10.n(n+2)=n2+2n14.3.2 两数和的平方 (C卷)(能力拔高训练题 20分 20分钟)探究题:(每小题10分,共20分)1.给出下列算式:32-12=8=8×1,52-32=16=8×2,72-52=24=8×3,92-72=32=8×4=32,…(1)观察上面一系列式子,你能发现什么规律?用含n的式子表示出来:_____________________( n为正整数)(2)根据你发现的规律:计算:20052-20032=________________,这时,n=______.2.观察下面各式规律:12+(1×2)2+22=(1×2+1)2,22+(2×3)2+32=(2×3+1)2,32+ (3×4)2+42=(3×4+1)2,…(1)写出第2001行式子:_____________________________________;(2)写出第n行式子:____________________________________________,并说明你的结论为什么是正确的.答案:1.(1)(2n+1)2-(2n-1)2=8n(2)8016,10022.(1)20012+(2001×2002)2+20022=(2001×2002+1)2(2)n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2∵左边=n2+n2(n+1)2+(n+1)2=n2+n2(n2+2n+1)+n2+2n+1=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1又∵右边=[n(n+1)+1]2=n2(n+1)2+2n(n+1)+1=n2(n2+2n+1)+2n2+2n+1=n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1因为左边=右边,所以n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2是正确的.。

两数和(差)的平方

两数和（差）的平方课前知识管理1、完全平方公式有两个：〔a+b 〕2=a2+2ab+b2,〔a-b 〕2=a2-2ab+b2.即，两数和〔或差〕的平方，等于这两个数的平方和，加上〔或者减去〕这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为〔a ±b 〕2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可形象的表达为：〝首平方、尾平方，2倍乘积在中央〞.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为〔a+b 〕2，也可以表示为S ＝S Ⅰ+ S Ⅱ+ S Ⅲ+S Ⅳ，同时S ＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式〔a+b 〕2＝a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上〔这两项相加时〕或减去〔这两项相减时〕这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数〔正数或负数〕，也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.3、在使用完全平方公式时应注意问题：〔1〕千万不要发生类似〔a ±b 〕2=a2±b2的错误；〔2〕不要与公式〔ab 〕2=a2b2混淆；〔3〕切勿把〝乘积项〞2ab 中的2漏掉；〔4〕计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，那么可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，那么运用乘法法那么进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +-【解题思路】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+-()252y x -=再用公式计算〔反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-〕；方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定〝两数〞即〝a 〞和〝b 〞.对应练习：()2b a --知识点2：改变公式中的项数例2、计算：()2c b a ++【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷.对应练习：〔2a －b ＋4〕2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算：〔1〕()()y x y x 22++；〔2〕()()b a b a --+.【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】〔1〕()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；〔2〕()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件.对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算例4：计算：9992【解题思路】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数〔式〕的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思路】此题假设直接运用乘法公式和法那么较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右边，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•假设把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a知识点6：公式的变形例6、实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求以下各式的值：〔1〕22b a +；〔2〕()2b a -【解题思路】此例是典型的整式求值问题，假设按常规思维把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径.【解】〔1〕22b a +=()822=-+ab b a ；〔2〕()()ab b a b a 422-+=-=6.【方法归纳】 ()()ab b a b a 422-+=-；()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键.对应练习：：x ＋y ＝－1，x2＋y2＝5，求xy 的值.知识点7：乘法公式的综合应用例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。

〖2021年整理〗《两数和差的平方》参考优秀教案

两数和（差）的平方【教学目标】：1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。

2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。

3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。

重点：掌握公式的特点，牢记公式。

难点：具体问题具体分析，会用公式进行计算。

【教学建议】：1在教学中应在讨论的基础上，从代数运算的角度运用多项式乘法法则，推导出公式()2222b ab a b a ++=+。

2关于公式 ()2222b ab a b a ++=+的获得，要鼓励学生自己探索，鼓励学生算法的多样化，学生既要按多项式的乘法的法则计算；也可以利用公式()2222b ab a b a ++=+来获得结果。

【评价建议】：过程性：（1）公式推导过程中关注学生对多项式乘法法则的掌握程序；（2）公式得出后关注学生对公式的理解；（3）关注学生算法的合理性及其与同学们进行交流的积极性。

知识性：关注学生对符合完全平方式计算的多项式乘法观察的敏锐性，熟练运用完全平方公式进行简单的计算。

【教学过程】：1知识与回顾：（1）两数和的公式是什么？（2）口述多项式乘以多项式法则。

（3）计算（2－1）（3－4）、（5＋3）（5－3）2设计活动，导入新课。

师：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来招待他们。

来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块……(1) 第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？〖设计说明〗从具有现实生活实际的情境设计问题，可以激发生学生学习兴趣，让学生乐于利用所学知识解决实际问题，也可以体现数学的实用性。

（2）第二天有b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a ＋b ）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？〖设计说明〗通过一系列的问题，不仅可以体现循序渐进的原则，也利于学生更有效地运用所学知识解决实际问题。

八年级数学上册 12.3 乘法公式 2 两数和(差)的平方教案 (新版)华东师大版

2.两数和（差）的平方【基本目标】1.能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示.2.能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法.3.通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想.【教学重点】掌握公式的特点，牢记公式.【教学难点】具体问题，具体分析，灵活运用完全平方公式.一、创设情景，导入新课王老汉开辟了一个正方形的菜园，它的边长是（a+b），则它的面积是多少？【学生活动】（a+b）2=a2+2ab+b2（用多项式乘以多项式算得）【教师活动】有没有更简洁的方法?回答是有的，今天将给大家一个满意的回答.二、师生互动，探究新知【教师活动】请同学们自学教材P32~P33内容.回答下列问题：1.计算（a+b）2= .2.这个公式的左边和右边各有什么特点？用文字叙述.3.你会用（a+b）2=a2+2ab+b2计算（a-b）2吗？4.你会结合教材P33图形验证吗？【学生活动】学生小组内合作、交流、并汇报探究结果，回答上述问题.【教学说明】在学生发言的基础上归纳：两个乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2文字叙述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方，加上（减去）这两数的积的2倍.口诀“首平方，尾平方，二倍乘积中间放”.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，并及时点评与指导，特别是公式运用中错误及时纠正.四、典例精析，拓展新知例已知x+y=4,xy=2，求（1）x2+y2;（2）3x2-xy+3y2;（3）x-y【分析】（1）x2+y2=（x+y）2-2xy;(2)3x2-xy+3y2=3（x+y）2-7xy；(3)（x-y）2＝（x+y）2-4xy.【答案】（1）12；（2）34；（3）x-y=【教学说明】x+y、xy、x2+y2是一组典型对称式，注意指导学生灵活进行公式变形.（x+y）2=（x-y）2+4xy.五、运用新知，深化理解1.已知：x2+y2=6,xy=5.求x+y;2.已知a、b满足，（a+b）2=1,（a-b）2=25,试求a2+b2+ab的值.【答案】1.x+y=±4；2.a2+b2+ab=7.【教学说明】本题是结合典例精析中公式变形后的变式训练，对公式变形不熟练学生给予有效指导.六、师生互动、课堂小结这节课你学到了什么？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课在初中数学中占有重要地位，特别是公式应完全掌握，教学时为防止类比平方差公式，出现（a+b）2=a2+b2的错误，教师给出了口诀，相信同学们都能掌握该公式的结构特征.教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导，本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导，进一步体现转化思想，也加深了对两数和的平方公式的理解.本节课中的公式恒等变形较灵活，逻辑性较强，对学习困难的学生以更多指导与关心.。

两数和(差)的平方说课稿

尊敬的各位评委、老师大家好！我是来自六台中心学校的数学老师刘超。

今天我说课题目是华师大版八年级（上）册第12章第3节第二课时：两数和（差）的平方，主要内容是公式的推导及应用，下面我就从几个方面来介绍这堂课的说课内容：一、说教材1 教材分析：本节课是学生已经掌握乘法公式中的两数和乘以这两数的差之后进行学习的。

不仅是学习幂的运算、单项式乘法、多项式乘法知识的应用，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的又一种归纳、总结，渗透从一般到特殊的思想；也是今后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、分式运算知识的基础，不但可以提高学生运算速度和准确率，更起到了承上启下的作用，它也是用推理的形式进行恒等变形的又一次训练，因而它是本章的一个重点内容，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识及简便方法巧算的意识。

2 教材处理：（1）教材中的多项式乘法导入枯燥乏味，降低学生学习兴趣，故换成从现实生活的数学情境出发，更体现数学源于生活，又服务于生活。

（2）补充了两数和（差）的平方公式又称作完全平方公式，使学生对此有个简单了解，为今后学习打下基础。

（3）例题稍作改动，从其心里上促使认真听课的态度。

3 重点难点：义务教育阶段的数学课程应以培养学生的能力，尤其是创新、创造能力为重，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。

参照义务教育阶段《数学课程标准》的要求，确定本节课的教学重难点如下：重点：经历公式的推导和发现，掌握公式的结构特征，学会运用公式进行简单的计算，体会公式的便捷性。

难点：公式的应用以及广泛意义上理解公式中字母a、b的含义，并会判断要计算的代数式是哪两个数的和（或差）的平方。

4教学目标：义务教育阶段的数学课程标准的基本精神和理念，努力落实基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验，培养学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。

根据以上指导思想，同时参照义务教育阶段《数学课程标准》严格控制要求与难度，确定本节课的教学目标如下：知识技能目标：（1）了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征。

(完整版)完全平方公式和平方差公式

新瑞英无忧晚托七年级数学考试必备讲义
一、课程回顾
完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。

222()2a b a ab b +=++
222()2a b a ab b -=-+
例：计算22()(2)a b a b +--
完全平方公式逆运算: 2222()a ab b a b ±+=±
例:计算2816x
x -+
平方差公式:两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。

22()()a b a b a b +-=-
平方差公式逆运算：
22()()a b a b a b -=+- 例：1、计算2249x y -
= + + +
练习：
1、若241x kx ++是一个完全平方式，则k= ；若2412x x k -+是一个完全平方式,则
k= .
2、计算
（1）281x - (2)4416x y - （3）2412x x --
（4）21(99)2- （5）（2-b ）（-2-b ）（6)
248(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)+1
3、从前有一个很狡猾的地主把一块边长是a 米的正方形地租给一个农民，到了第二年他告诉这个农民说：“我把这块地的一边去掉4米，另一边加上4米，这样你租的地面积并没有变，所以你没有吃亏。

"这个农民想了想，觉得并没有吃亏就答应了。

你同意地主的说法吗?。

完全平方公式和平方差公式

乘法公式1．平方差公式(1)平方差公式的推导：因为(a ＋b )(a －b )＝a 2－ab ＋ab －b 2＝a 2－b 2，所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.【例1】利用平方差公式计算．(1)(2a ＋3b )(－2a ＋3b )； (2)503×497.2．完全平方公式(1)两数和的完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；两数差的完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.析规律完全平方公式的特征完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．【例2】计算：(1)(4m ＋n )2； (2)(y －12)2； (3)(－a －b )2； (4)(－2a ＋12b )2.3．添括号法则法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．警误区添括号法则的易错点添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a －b ＋c ＝a －(b ＋c )，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．【例3】填空：(1)(x －y ＋z )(x ＋y －z )＝[x －( )][x ＋( )]；(2)(x ＋y ＋z )(x －y －z )＝[x＋()][x－()]．【例4】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________．【例6】观察下列各式的规律：12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；…写出第n行的式子，并证明你的结论．类型一：巧用乘法公式类型二：平方差与完全平方公式混用22114422x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭计算： ()()a b c a b c ++--计算：类型三：完全平方公式在三角形中的运用例3、已知△ABC 的三边长a,b,c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状类型四：利用乘法公式解方程(组)例4：()()()()222432x y x y x y x y ⎧+-+=+-⎪⎨-=-⎪⎩解方程组类型五：多项式的证明例5：证明无论a,b 为何值，多项式222612a b a b +--+的值恒为正类型六：灵活运用乘法公式解题例6、计算22222111111-1-1-11234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K拓展：三项完全平方公式：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++二次三项式：()()()2+x a x b x a b x ab +=+++立方和公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+立方差公式：()()3322-+a b a b a ab b =++1、若()()234+,,x x x px q p q --=+那么的值分别是2、()()()224,bax b x x ab ++=-+=若则 3、()()3x m x ++如与的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为4、已知()()250,3+2a a a a -+=-则的值是 5、已知实数()()2222,1,25,a b a b a b b ab +=-=++=满足则a 6、将代数式()2262x x x p q ++++化成的形式为 7、若2+216x ax +是一个完全平方展开式，则a 的值是________-8、已知216x x k ++是个完全平方式，则常数k 的值为_______9、若()222560,x =x y xy y +-+-=+则___________- 10、已知2221114,x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭求x 和的值11、知实数()()2222,1,25,a b a b a b b ab +=-=++=满足则a课后练习1.下列各式中，相等关系一定成立的是（）A.(x －y)2＝(y －x)2B.(x+6)(x －6)＝x 2－6C.(x+y)2＝x 2+y 2 +2xy 2－y 2＝(x+y)22.下列运算正确的是（）A.(a+3)2＝a 2+9B.(13x －y)2＝16x 2－23xy+y 2 C.(1－m)2＝1－2m+m 2 D.(x 2－y 2)(x+y)(x －y)＝x 4－y 43.将面积为a 2的正方形边长增加2，则正方形的面积增加了（）+4 +44.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（）A.(a+1)(2a －2)B.(2x －3)(－2x+3)C.(2y －13)(13+2y) D.(3m －2n)(－3m －2n) 5.不等式(2x －1)2－(1－3x)2＜5(1－x)(x+1)的解集是（）＞－＜－＞＜6.计算：(1)－57y)(－57y －； (2)1523×(－1413)；(3)［2x 2－(x+y)(x －y)］［(z －x)(x+z)+(y －z)(y+z)］； (4)(a －2b+3c)(a+2b －3c).7.(1)已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x－y)2，③x2+xy+y2的值.(2)已知a(a－3)－(a2－3b)＝9，求222a b－ab的值.1.计算：(1)(a2+1)(a2－1)－(－a2)·a2；(2)(2a－b)(2a+b)－(－3a－b)(－3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－2y)2－4(2x－y)(x－y).2.已知(a+b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2+b2和ab的值.3.已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状.4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2+3y－2)＝y2(y+3)(y－3).。

两数和的平方(2)

课题：两数和的平方（2）课型：预 + 展班级：学习小组：小主人姓名：编号：SX1381021【抽测】1、填空：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a 212=(2) ()=+-y x 22(3) =+⎪⎭⎫⎝⎛x x 12(4) ()=+b a 3222、计算（1）()b a 322-- (2) ⎪⎭⎫⎝⎛-2212x(3) ())(x y y x --+- (4) ⎪⎭⎫⎝⎛-x x 12【学习目标】：1、灵活运用完全平方公式进行计算；2、了解两数和（差）的平方公式的变形。

【自主学习】完成下列题目： 1、k x x++62是两数和的平方公式，则k =2、==+=+xy y x y x则,3,5223、22,12,7y xy x xy y x ++==+那么=4、==-=+ab b a b a 那么２,6)(,13)(225、已知=+=-21,51aa a a ２求规律总结：常见两数和（差）的平方公式的“五”种变形 1．ab b a b a2)(222-+=+ 2. ab b a b a 2)(222+-=+3. ab b a b a 4)()(22-+=+4. ab b a b a 4)()(22+-=-5. 2)1(1222-+=+xx x x【小试牛刀】1、（1）已知()72=+b a ，()42=-b a ，求b a 22+和a b 的值。

（2）已知41=-a a ,求aa 221+的值。

2、计算(1) ()c b a ++2(2) ())9)(3(32--+a a a=〔（a ＋b ）＋c 〕2 =3、如图，矩形ABCD 的周长为18cm,以AB 、CD 为边向外作正方形ABFE 和正方形ADGH ，若正方形ABFE 和正方形ADGH 的面积之和为35cm 2,那么矩形ABCD 的面积是多少？【专题提升】1、若的值。

求y x xy y x -=-+-+,0)6(522、已知的值。

数学八年级上册《两数和(差)的平方》教案

2．两数和(差)的平方【教学目标】知识与技能理解两数和(差)的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟悉地应用公式进行计算．过程与方法经历探索两数和(差)的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力．情感、态度与价值观培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想．【重点难点】重点对两数和(差)的平方公式的理解，熟练运用完全平方公式进行简单的计算．难点对公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2的理解，包括它的推导过程，结构特点，语言表述，几何解释．【教学过程】一、创设情景，导入新课王老汉开辟了一个正方形的菜园，它的边长是(a＋b)，则它的面积是多少？【学生活动】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(用多项式乘以多项式算得)【教师活动】有没有更简洁的方法？回答是有的，今天将给大家一个满意的回答．二、师生互动，探究新知【教师活动】请同学们自学教材P32～P33内容．回答下列问题：1．计算(a＋b)2＝________2．这个公式的左边和右边各有什么特点？用文字叙述．3．你会用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2计算(a－b)2吗？4．你会结合P33图形验证吗？【学生活动】学生小组内合作、交流、并汇报探究结果，回答上述问题．【教师活动】在学生发言的基础上归纳：两个乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2文字叙述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方，加上(减去)这两数的积的2倍．口诀“首平方，尾平方，二倍乘积中间放．”三、随堂练习，巩固新知计算：(1)(x－3y)2；(2)(－a＋2b)2.【答案】(1)(x－3y)2＝x2－2x·3y＋9y2＝x2－6xy＋9y2.(2)(－a＋2b)2＝(2b－a)2＝(2b)2－2(2b)·a＋a2＝4b2－4ab＋a2.四、典例精析，拓展新知【例】已知x＋y＝4，xy＝2，求(1)x2＋y2；(2)3x2－xy＋3y2；(3)x－y.【分析】(1)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy；(2)3x2－xy＋3y2＝3(x＋y)2－7xy；(3)(x－y)2＝(x＋y)2－4xy.【答案】(1)12；(2)34；(3)x－y＝±8.【教学说明】x＋y、xy、x2＋y2是一组典型对称式，注意指导学生灵活进行公式变形．(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy五、运用新知，深化理解1．已知：x2＋y2＝6，xy＝5.求x＋y；2．已知a、b满足，(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，试求a2＋b2＋ab 的值．【答案】1．x＋y＝±4；2.a2＋b2＋ab＝7【教学说明】本题是结合典例精析中公式变形后的变式训练，对公式变形不熟练学生给予有效指导．六、师生互动、课堂小结这节课你学到了什么？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结．1．这两个公式是多项式乘法的特殊情况，熟记它们的特点．2．公式中字母可以是数也可以是单项式或多项式．3．在解决具体问题时，要先考查题目是否符合公式条件，若不符合，需要先进行变形，使变形后的式子符合公式的条件，然后再应用公式计算．4．要特别注意一些易出现的错误，如：(a±b)2＝a2±b2.【教学反思】本节课在初中数学中占有重要地位，特别是公式应完全掌握，教学时为防止类比平方差公式，出现(a＋b)2＝a2＋b2的错误，教师给出了口诀，相信同学们都能掌握该公式的结构特征．教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导，本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导，进一步体现转化思想，也加深了对两数和的平方公式的理解．本节课中的公式恒等变形较灵活，逻辑性较强，对学困生以更多指导与关心．。

两数和(差)的平方公式显身手

两数和（差）的平方公式显身手赵晓刚一、平方求值例1 已知12x x +=，则代数式221x x +的值是 . 分析：根据已知条件，知12x x+=，两边平方，得22124x x ++=，即可得出答案. 解：将12x x +=两边平方，得22124x x ++=，所以221422x x +=-=. 二、拆项求值例2 用乘法公式计算10052．分析：把1005拆成1000+5的形式，再根据两数和（差）的平方公式计算.解：10052=（1000+5）2=1 000 000+2×1000×5+25=1 010 025.三、逆用求值例3 已知x=y+4，则代数式x 2-2xy+y 2-25的值为_____.分析：由已知x=y+4可得x-y=4，而x 2-2xy+y 2=（x-y ）2，将x-y=4代入即可求出解：因为x=y+4，所以x-y=4，所以x 2-2xy+y 2-25=（x-y ）2-25=42-25=-9.四、变形求值例4 已知x+y=-5，xy=6，则x 2+y 2=_____.分析：两数和（差）的平方公式的常见变形有：①a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=（a-b ）2+2ab ；②ab=2221()()2a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦=221()()4a b a b ⎡⎤+--⎣⎦；③（a+b ）2+（a-b ）2=2a 2+2b 2. 解：由两数和（差）的平方公式的变形①，得x 2+y 2=（x+y ）2-2xy=（-5）2-2×6=25-12=13.五、数形结合例5 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a 、b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为____分析：先求出16张卡片拼成一个正方形的总面积，然后再用两数和（差）的平方公式确定正方形的边长. 解：由题可知16张卡片总面积为a 2+6ab+9b 2，因为a 2+6ab+9b 2=（a+3b ）2，所以新正方形边长为a+3b ．。

两数和与差的平方

课题： 12.3.1两数和（差）的平方（1）课型：新授【学习目标】(知道学什么！）1、会推导两数和（差）的平方公式、会用字母表示公式及会用文字语言叙述公式；2了解公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行简单的计算。

3、培养探索能力和概括能力，体会数形结合的思想。

二、【学习重难点】重点：掌握公式的结构特征，学会运用公式进行简单的计算，体会公式的便捷性。

难点：公式的推导过程，结构特点，及其几何解释。

三、【学习过程】1、创设情境、导入新课我校为了美化环境计划修建一个边长为a米的正方形花坛，但实地考察之后发现花坛还是小了一些于是决定将边长扩大b米，现在请同学们帮忙算算扩大之后的面积的多少？你又几种算法？要求：1、自己先阅读教材p32 ---p33并独立思考以上两个问题。

2、在独立思考完成的基础上进行小组交流然后派代表来展示讲解。

一共有两种算法；第一种：整体看，每边扩大b米后仍是一个正方形，边长成了(a+b)米，所以面积为=？你能用多项式乘法法则说明理由吗？（引导学生说理）第二种：部分看，四块面积的和，可以表示为a2＋2ab＋b2 。

2．小结概括，体会方法用不同的形式表示图形的总面积并进行比较，你发现了什么？（意图：让学生理解两数和公式的几何意义）我们得到了一个形式漂亮而且非常重要的结果：两数和的平方公式：（a+b）2 ＝a2＋2ab＋b23．探索特征、感悟规律：你发现公式有何特征吗？（1）公式左边是两数的和的平方，即两个相同的二项式相乘，括号内是两项的和，即a+b。

（2）右边是一个三项式，且首尾两项是左边二项式中的两项的平方和，即a2＋b2，中间是这两项积的2倍，即2ab。

4．语言叙述：你能否用自己所理解的语言叙述公式？两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们乘积的2倍。

5、小试牛刀(仿照例4完成）计算：（1）（2）（2a＋3b）2(4)(5) (102)(6)6、挑战自我你能利用面积知识，仿照课本自己给出的示意图吗？语言叙述：两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们乘积的2倍。