一元二次方程竞赛题
初中数学竞赛一元二次方程卷(一)及解答
一元二次方程卷(一)一、填空:1.方程x 2－丨2x －1丨－4=0的根是________________________.[提示:分2x －1≥0和2x －1<0两种情况讨论.注意:当2x －1≥0时,求出的根必须满足2x －1 ≥0,否则应舍去;同样,当2x －1<0时,求出的根必须满足2x －1<0,否则应舍去]2.当b=______时,方程x 2+bx+1=0和方程x 2－x －b=0有一个公共根.[提示:设公共根为α,代入两个方程得到方程组,解方程组(两方程相减)得b 的值,再验算b 值能否使Δ≥0.]3.已知实数x 、y 满足x 2－2x －4y=5,则x －2y 的最大值是________.[提示:设x －2y= m,消去x,得到关于y 的一元二次方程,再由Δ≥0解得m 的取值范围]4.设x 1、x 2是方程x 2－x －4=0的两根,则x 13+5x 22+10的值为______.[提示:用根的定义和韦达定理.先将x 1和x 2分别代入原方程,并用一次式表示出x 12及x 22,再代入原式.]5.设ΔABC 的一边为1,另两边的长是方程x 2－2x+m=0的两个根x 1和x 2,则m 的取值范围是_________.[提示:由Δ≥0、两边之和大于笫三边、两边之差小于笫三边以及韦达定理列出不等式组]6.已知实数a 、b 、c 满足a 2－a －bc+1=0,2a 2－2bc －b －c+2=0,则a 的取值范围是_______.[提示:先用a 表示出b+c 及bc,则以b 和c 为根的一元二次方程是?,再由Δ≥0解得a 的取值范围]7.要使关于x 的两个方程x 2－5x=a 和x 2－5x=－a 有且只有一个方程有两个不同的实数根,则a 的取值范围是________.8.已知方程组223320x y x y +=⎧⎨+=⎩的两组解是(x 1,y 1)和(x 2,y 2),则x 1y 2+x 2y 1的值是_____. 9.已知关于x 的方程(a －1)x 2+2x －a －1=0的根都是整数,则整数a 的值为__________.10.已知xy+x+y=11,x 2y+xy 2=30,则x 2+y 2的值为_____.[提示:构造以x+y 和xy 为根的方程]二、解下列各题:1.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根,甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和3,乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为－1和3,求(2b+3c)∶a 的值.[提示:设甲把a 看成a ’,乙是否看错b 的符号?由韦达定理列出方程,再设法求b a 和c a的值]2.设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0, x2+(2m+1)x+m2=0, (m－1)x2+2mx+m－1=0中至少有一个方程有实数根,求m的取值范围. [提示:先求三个方程都无实根时m的取值范围]3.实数a取何值时,分式方程222(2)x x x ax x x x--++=--只有一个实数根?4.已知方程ax2+2(2a－1)x+4(a－3)=0 (a为正整数)至少有一个整数根,求a的值.参考答案:一.1. 2. 2;3. 92; 4. 39; 5. 314m <≤; 6. 1a ≥; 7. 2525或44a a ≥≤-; 8. 10;9. 1,2,3,0,-1;10. 26或13.二.1.4.2.31或24m m ≤-≥-; 3.a=72,4,8. 4.(求参法)由原方程得(x+2)2a=2x+12,求得a=2212(2)x x ++, (x ≠-2) (*) 由a 为正整数,有a ≥1, 即2212(2)x x ++≥1, 解得-4≤x ≤2,∴整数x 的一切可能值为-4,-3,-3,-2,-1,0,1, 分别代入(*),得正整数a=1,3,6,10.。
(仅供参考)(奥数班)一元二次方程奥数题
的三条边的长，则 m 的值是____4____，此时这个三角形是 等边 三角形。
38. 边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程 x2 (k 2)x 4k 0 的两根，求 k 的值
并确定直角三角形三边之长．
解：设直角边为 a, b ，（ a b ）则 a b k 2, ab 4k ，因方程的根为整数，故其判别式为完全平方
思路1：降次；
x 1 1
x3 1
16. 若 x ，则
x3 的值为 4
。
17. 已知x2 5x 1 0，那么 x
1
x2 x 1
4
18. 若 m n 2 ，则 2m2 4mn 2n2 1 的值为
7
．（降次） ．
19. 已知 m2 m 1 0 ，则 m 3 2m 2 2006 2005 （降次）
49. 设 x1，x2 关于 x 的一元二次方程 x2 ax a 2 的两个实数根，则 x1 2x2 x2 2x1 的最大值
为
。 63
8
8
25.
已知实数x、y满足 4 x4
2 x2
3, y 4 y2
3
,则
4 x4
y 4的值为（ A
）
A. 7 B 1 13 C 7 13
2
2
D.5 (全国初中数学竞赛题)
26. 已知实数 、 满足 2 3 1 0 ， 2 3 1 0 ，且 1 ，则 2 3 的值为 10
27.
20.
已知 a2 2004a 1 0 ，则 2a 2
4007a
2004 a2 1
_____
2002
____ （降次）
21.
x2 已知 是方程
x1 4
一元二次方程测试题(含答案)
一元二次方程测试题(含答案)一元二次方程测试题一、填空题:（每题2分共5分）1.将一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2化为一般形式为：2x^2-9x-9=0，二次项系数为2，一次项系数为-9，常数项为-9.2.若m是方程x^2+x－1＝0的一个根，代入m+2m+2013得到(m+1)^2+2012的值为。
3.方程2+x－1＝0是关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-1.所以m的值为1.4.关于x的一元二次方程a-2x+x^2+a-4=0的一个根为x=2，则代入得到a=5.5.代数式4x-2x-5与2x+1的值互为相反数，即4x-2x-5=-(2x+1)，解得x=-3/2.代入4y^2+2y+1得到9/2.6.已知2y+y-3的值为2，则代入4y^2+2y+1得到21.7.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则根据一元二次方程的定义，二次项系数为m-1+m=2m-1，一次项系数为m，常数项为1.所以m的取值范围为m≠1/2.8.已知关于x的一元二次方程x^2-x-1=0的一个根为x=2，则代入得到另一个根为x=-1.9.已知关于x的一元二次方程x^2+mx-6=0的一个根为2，代入得到另一个根为-3，且m的取值范围为m≠0.10.设x1，x2是方程x^2+bx+b-1=0有两个相等的实数根，则根据一元二次方程的定义，判别式D=b^2-4(b-1)=0，解得b=2或b=-1.但由于有两个相等的实数根，所以b=2.11.已知x=-2是方程x^2-3x+k=0的一个根，代入得到k=-2.12.若2是方程x^2+mx-6=0的一个根，代入得到另一个根为-3，且一元二次方程kx+ax+b=0有两个实数根，则根据一元二次方程的定义，判别式D=a^2-4kb≥0，又因为有两个实数根，所以D>0，即a^2-4kb>0.代入得到k9/4.13.设m、n是一元二次方程x^2+2x-3=0的两个根，则根据一元二次方程的定义，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-3，根据求根公式得到m+n=-2，mn=-3.代入得到m^2+n^2+4m+4n+4=10.14.一元二次方程(a+1)x^2-ax+a-1=0的一个根为x=1，则代入得到a=1/2.15.若关于x的方程x^2-2x+2=0的两个根互为倒数，则根据一元二次方程的定义，判别式D=8-8a≥0，解得0≤a≤1.代入得到a=1/2.16.关于x的两个方程x^2-2x+3=0和x^2-3x+2=0的公共根为x=1，则代入得到另一个根分别为2和1，正确结论的序号为①和②。
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题(三种方法)
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p 的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。
首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；。
一元二次方程竞赛训练题
一元二次方程培优训练命题人：周金林 9.18一:选择题（25分）1．方程k k k x k x (02)13(722=--++-是实数)有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是（ C ）（A ）3＜k ＜4；（B ）－2＜k ＜－1；（C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。
2．方程012=--x x 的解是（ D ）（A ）251±； （B ）251±- （C ）251±或251±-； （D ）3．若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是( B )(A)∆>M (B)∆=M (C)∆<M ; (D)不确定. 4．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ C ）（A ）10≤≤m ； （B ）43≥m ； （C ）143≤<m ； （D ）143≤≤m5．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ B ）(A) 18ab ≥ (B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 14ab ≤二;填空题（25分）1．在Rt ABC 中，斜边AB=5，而直角边BC ，AC 之长是一元二次方程2(21)4(1)0x m x m --+-=的两根，则m 的值是 42．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a 8 3．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a cb 32 6 ． 4．设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，求1942231+-x x 的值 0 5．已知m ，n 是有理数，并且方程02=++n mx x 有一个根是25-，那么m+n 的值是___3___。
一元二次方程测试题含答案
一元二次方程测试题（时间120分钟满分150分）一、填空题:（每题2分共50分）1.一元二次方程(1－3x )(x +3)=2x2+1 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
2.若m 是方程x 2+x －1＝0的一个根，试求代数式m 3+2m 2+2013的值为 。
3.方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
4.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
5.若代数式5242--x x 与122+x 的值互为相反数，则x 的值是 。
6.已知322-+y y 的值为2，则1242++y y的值为 。
7.若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
8.已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
9.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是。
10.设x 1，x 2是方程x2﹣x ﹣2013=0的两实数根，则= 。
11.已知x=﹣2是方程x 2+mx ﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是。
12.若，且一元二次方程kx 2+ax+b=0有两个实数根，则k 的取值范围是 。
13.设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则m 2＋4m ＋n ＝ 。
14.一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= 。
15.若关于x 的方程x2+（a ﹣1）x+a 2=0的两根互为倒数，则a =。
16.关于x 的两个方程x 2﹣x ﹣2=0与有一个解相同，则a = 。
17.已知关于x 的方程x2﹣（a+b ）x+ab ﹣1=0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③．则正确结论的序号是 ．（填上你认为正确结论的所有序号）18.a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2+|a+b+c|=0，满足条件的一元二次方程是 。
一元二次方程100道计算题练习(附答案)
一元二次方程100 道计算题练习1、(x 4)2 5(x 4)2、(x 1)2 4x3、(x 3)2 (1 2x)24、2x2 10x 35、（x+5）2=166、2（2x－1）－x（1－2x）=07、x2 =64 8、5x2 - 25=0 9、8（3 -x）2 –72=010、3x(x+2)=5(x+2) 11、（1－3y）2+2（3y－1）=0 12、x 2 + 2x + 3=0 13、x 2 + 6x－5=0 14、x 2 －4x+ 3=0 15、x 2 －2x－1 =0 16、2x 2 +3x+1=0 17、3x 2 +2x－1 =0 18、5x 2 －3x+2 =0 19、7x 2 －4x－3 =0 20、-x 2 -x+12 =0 21、x 2 －6x+9 =0122、(3x2)2( 2x3) 223、x 2-3=4x2-2x-4=0 24、x25、3x 2＋8 x－3＝0（配方法）26、(3x＋2)(x＋3)＝x＋14 27、(x+1)(x+8)=-1228、2(x－3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x－24＝0 30、（2x-1）2 +3（2x-1）+2=0 31、2x 2－9x＋8＝0 32、3（x-5）2=x(5-x) 33、(x＋2) 2＝8x34、(x－2) 2＝(2x＋3)2 35、7x 2 2x 0 36、4t 2 4t 1 04 x 3 x x 3 0 38、6x 2 31x 35 0 39、2x3121 0 37、 2240、2x 2 23x 65 02补充练习：一、利用因式分解法解下列方程(x－2) 2＝(2x-3)2 x 2 4x 0 3x(x 1) 3x 3x2-2 3 x+3=0 58516 0x2 x二、利用开平方法解下列方程1 y 2(2 1) 2 154（x-3）2=25 (3x 2)224三、利用配方法解下列方程x x 3 2 6x 12 02 5 2 2 0 x x 2 7x 10 0四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x－24＝0 2x（x－3）=x－3．3x2+5(2x+1)=0五、选用适当的方法解下列方程3(x＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 (2x 1)2 9(x 3)2 x 2 2x 302 3 1 0 x x2 x1) ( 1)((x xx13 42)(3x 11)(x 2) 2 x（x＋1）－5x＝0. 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).应用题：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售 2 件，若商场平均每天盈利 1250 元，每件衬衫应降价多少元？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的 2 倍少 32 平方厘米，求大小两个正方形的边长.43、如图，有一块梯形铁板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6 m，CD=4 m，AD=2 m，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG，使E 在AB 上，F 在BC 上，G 在AD 上，若矩形铁板的面积为 5 m2，则矩形的一边EF 长为多少？4、如右图，某小在长 32 米，区规划宽 20 米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的 3 条小路，使其中两条与AD 平行，一条与AB 平行，其余部分种草，若使草坪的面积为 566 米2，问小路应为多宽？5、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售一个月能售出 500 千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，商店想在月销售成本不超过 1 万元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？6.某工厂1998 年初投资100 万元生产某种新产品，1998 年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999 年初的投资，到 1999 年底，两年共获利润 56 万元，已知 1999 年的年获利率比 1998 年的年获利率多 10 个百分点，求 1998 年和 1999 年的年获利率各是多少？5思考：1、关于x的一元二次方程2 4 0a 的一个根为0，则a的值为。
《一元二次方程》培优竞赛
《一元二次方程》培优【知识要点】：1、一元二次方程的解法 （1） 法；（2） 法；（3） 法；（4） 法2、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的判别式为△= ，当△>0时方程有两个不相等的实根x 1= 和x 2= ；当△=0时有两个相等的实根x 1=x 2= ； 当△<0时根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0没有实数解．3、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为 即x 1=，x 2那么：12x x += ，12x x = ，此结论称为”韦达定理”，其成立的前提是0∆≥．3．特别地， 以两个数根x 1和x 2为根的一元二次方程是x 2＋( x 1+x 2 )x ＋x 1.x 2 = 0．【精选题型】：1、已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．2 、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．3、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=．（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 2＝x 1＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．4、已知关于x 的方程mx 2—(2m+1)x+2=0．（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有实数根；（2）若原方程有两个实数根x 1和x 2，当52221=+x x 时求m 的值（3）若原方程有两个实数根，能否存在一个根大于2，另一个根小于2 ？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【拓展练习】:1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2 B ．2-C ．12 D ．922．若t 是一元二次方程20 ax bx c ++=的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ． m ＜14 B 。
初中数学竞赛专题选讲-一元二次方程的根(含答案)
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k ab cdb a dc ==++.∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1). 例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k .由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。
与一元二次方程有关的竞赛题
与一元二次方程有关的竞赛题Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT与一元二次方程有关的竞赛题一、降次（一）直接用方程降次1．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为 。
分析与解：2．若,132=-x x 则200572129234+--+x x x x 的值等于 。
分析与解：3．设0772=+-x x ，则42749x x ++= 。
分析与解：（二）用根的关系式降次4．已知βα,是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 。
分析与解：5．设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，求1942231+-x x 的值。
分析与解：二、用根的判别式解题6．已知c b a ,,是整数，且,01,422=-+=-c ab b a 求c b a ++的值。
分析与解：7．已知c b a ,,均为实数，且4=+b a ，,103422-=-c ab c 求ab 的值。
分析与解：8．已知b a ,为整数，且032=-+-b ax x 有两个不相等的实数根；07)6(2=-+-+b x a x 有两个相等的实数根；0)5()4(2=-+-+b x a x 没有实数根，则b a += 。
分析与解：9．m 为整数时，关于x 的方程0)223()1(422=+-+--k m m x m x 的根是有理数，求k 的值。
分析与解：10．证明：已知关于x 的一元二次方程022=++c Bx Ax ①022=++A Cx Bx ② 022=++B Ax cx ③中，至少有一个方程有实数根。
分析与解：11．设p 1、p 2、q 1、q 2为实数，且),(22121q q p p +=⋅证明方程0112=++q x p x 和0222=++q x p x 中至少有一个实数根。
分析与解：12．求方程012222=++-++y x y xy x 的整数解。
一元二次方程竞赛题目
一元二次方程竞赛题目1、有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．2、解关于x的方程：x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．3、已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．4、解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．5、解方程：x2-3｜x｜-4=0．6、已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．7、解关于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．8、解关于x的方程：(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．9、解关于x的方程：a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．10、求k的值，使得两个一元二次方程11、若k为正整数，且关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根，求k的值．12、关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m的取值范围．13、设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．14、解方程：(2)20x2+253x+800=0；(3)x2+｜2x-1｜-4=0．15、解下列关于x的方程：(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0；(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)．16、若对任何实数a，关于x的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b的取值范围．17、若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，求(a+b)2000的值．18、若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．。
竞赛辅导 一元二次方程
一． 一元二次方程的判别式若 x o 是一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的根,则判别式△=b 2-4ac 与平方式 M=(2ax o +b)2 的关系是 (A)△＜M (B)△=M (C)△＞M (D)不确定.若a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程4x 2+4(a 2+b 2+c 2)x+3(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC 是等边三角形．若对任何实数a ，关于x 的方程x 2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b 的取值范围．已知 b 2 - 4ac 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)的一个实数根，则 ab 的取值范围为（ ） (A)ab≥1/8 (B)ab≤1/8 (C)ab≥1/4 (D)ab≤1/4若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.1、a 、b 、c 都是实数，且a ≠0，a +b +2c =0，则方程a x 2+b x +c =0（ ）。
（A ）有两个正根 （B ）至少有一个正根 （C ）有且只有一个正根 （D ）无正根6、对a >b >c>0，作二次方程：()02=+++++-ca bc ab x c b a x .（1）若方程有实根，求证：a 、b 、c 不能成为一个三角形的三条边长。
（2）若方程有实根x 0，求证：c b x a +>>0. （3）当方程有实根6、9，求正整数a 、b 、c 。
已知a i 、b i (i=1，2，3)为实数，且a 21-a 22-a 23与b 21-b 22-b 23中至少有一个是正数.证明:关于x 的一元二次方程x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(a 21-a 22-a 23)(b 21-b 22-b 23)=0①必有实根. 不妨设a 21-a 22-a 23>0，则a 1≠0.作一元二次方程(a 21-a 22-a 23)x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(b 21-b 22-b 23)=0.②记f(x)=(a 21-a 22-a 23)x 2+2(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3)x+(b 21-b 22-b 23).则二次函数f(x)的图像开口向上.注意到f(x)=(a 1x+b 1)2-(a 2x+b 2)2-(a 3x+b 3)2(a 1≠0). 取x 0=-b 1/a 1，有f(x 0)≤0.所以，二次函数f(x)的图像与x 轴有交点，即方程②有实根.故方程②的判别式Δ≥0.因为方程①、②有相同的判别式Δ，所以，方程①有实根.已知关于x 的方程029|3|)2(62=-+--+-a x a x x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ D ）（A ）a ＝0 （B ）a ≥0 （C ）a ＝－2 （D ）a ＞0或a ＝－2二． 根与系数的关系△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于 ．1411、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x ＋1)·y=z 2＋9，所以x ＋1，y 是t 2－6t ＋z 2＋9=0的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z 2＋9）＝－4z 2≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。
一元二次方程竞赛解题方法
与一元二次方程有关的竞赛题求解方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。
一、换元例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )A、-2B、0C、2D、4( “希望杯”竞赛题)二、降次例2 已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3β的值。
(江苏省竞赛题) 三、整体代入例3 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x 12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991= 。
(希望杯竞赛试题)例4 已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根且α＞β，不解方程，利用韦达定理求+3β2的值。
(第八届“祖冲之”杯竞赛试题)五、反客为主例5 求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。
(香港初中数学竞赛试题)六、构造新方程例6 已知两数a、b，ab≠1，且2a2+1234567890a+3=0(1)3b2+1234567890b+2=0(2)则= 。
( “希望杯”竞赛试题)例7 设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程ax2+2bx+c=0bx2+2cx+a=0cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。
(山东省数学竞赛试题)八、巧用αβ+α+β+1，αβ-α-β+1因式分解例8 求满足如下条件的所有k值：使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。
(江苏省竞赛试题)九、整体变形例9 设a、b、c、d＞0，证明在方程x2+x2+x2+x2+中，至少有两个方程有不相等的实数根。
( “希望杯”竞赛试题)十、分类讨论例10 已知三个关于x的方程：x2-x+m=0(1)(m-1)x2+2x+1=0(2)(m-2)x2+2x-1=0(3)其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是( )A、m≤2B、m≤或1≤m≤2C、m≥1D、≤m≤1(山东省竞赛试题)例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )A、-2B、0C、2D、4解：原方程为(x-1)2-5|x-1|+6=0 即|x-1|2-5|x-1|+6=0 令|x-1|=A，则方程变为A2-5A+6=0 ∴A1=2，A2=3 由|x-1|=2，得x1=3，x2=-1；由|x-1|=3，得x3=4，x4=-2。
一元二次方程200题(含答案详解)
一元二次方程：
填空：
1．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ元二次方程 x2﹣3x=4 中，b2﹣4ac=
．
2．一元二次方程 x（x﹣1）=0 的解是
．
3．若 x=2 是关亍 x 的方程 x2﹣x﹣a2+5=0 的一个根，则 a 的值为
．
4．如果二次三项式 x2﹣6x+m2是一个完全平方式，那么 m 的值为
．
32．方程（x﹣1）2=4 的解为
．
33．一元二次方程 x2=16 的解是
．
34．在实数范围内定义运算“☆”，其觃则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）
☆x=13 的解为 x=
．
35．将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 ，定
义 =ad﹣bc，上述记号就叫做 2 阶行列式．若
．
16．若 x=1 是一元二次方程 x2+x+c=0 的一个解，则 c2=
．
17．已知 x=1 是关亍 x 的一元二次方程 2x2+kx﹣1=0 的一个根，则实数 k 的
值是
．
18．已知关亍 x 的方程 x2﹣5x+m=0 的一个根是 1，则 m 的值是
．
19．已知 x=1 是方程 ax2+x﹣2=0 的一个根，则 a=
5．一个广告公司制作广告的收费标准是：以面积为单位，在丌超过觃定面积 A
（m2）的范围内，每张广告收费 1 000 元，若超过 Am2，则除了要交返 1 000
元的基本广告费以外，超过部分迓要按每平方米 50A 元缴费．下表是该公司对
两家用户广告的面积及相应收费情况的记载：
一元二次方程综合测试题+答案
1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（D ）；A ．02=++c bx axB ．2112=+x xC ．1222-=+x x xD ．)1(2)1(32+=+x x 2．方程()()24330x x x -+-=的根为（ D ）；A ．3x =B ．125x = C ．12123,5x x =-= D ．12123,5x x == 3．解下面方程：（1）()225x -=（2）2320x x --=（3）260x x +-=，较适当的方法分别为（ D ）A ．（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法B ．（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法C ．（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法D ．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法4．方程5)3)(1(=-+x x 的解是 （ B ）；A ．3,121-==x xB ．2,421-==x xC ．3,121=-=x xD ．2,421=-=x x5．方程x 2+4x =2的正根为( D )A ．2-6B ．2+6C ．-2-6D ．-2+6 6．方程x 2＋2x －3＝0的解是( B )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝－37．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨。
若平均每月增率是x ，则可以列方程（ B ）；A ．720)21(500=+xB ．720)1(5002=+xC ．720)1(5002=+xD ．500)1(7202=+x8．某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ B ）A ．200(1+a%)2=148B ．200(1－a%)2=148C ．200(1－2a%)=148D ．200(1－a 2%)=148 9．关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根，则（ D ）A ．k ＜0B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ≤010．方程02=x 的解的个数为（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．1或211．已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( A )A ．m ＞－1B ．m ＜－2C ．m ≥0D ．m ＜012．已知x =1是一元二次方程x 2-2mx +1=0的一个解，则m 的值是( A)A ．1B ．0C ．0或1D ．0或-1 13．一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于（ C ）A ．6-B ．1C ．6-或1D ．2二．填空题（每小题3分，共45分）1．把一元二次方程12)3)(31(2+=+-x x x 化成一般形式是: 5x 2 +8x-2=0 _____________ ；它的二次项系数是 5 ；一次项系数是 8 ；常数项是 -2 。
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一元二次方程竞赛题解题
一. 升次
例1.(2006年海南初赛)已知a,b 是一元二次方程 的两个根,则代数式 的值等于_________.
二.降次
例2.（江苏第8届数学竞赛）已知α，β是方程 的两根，求 的值。
三.配偶 例3.(2001年黄冈中考)已知α,β是方程 的两个实数根,求 的值.
四.减元
例4.（2005年湖州市“期望杯”数学竞赛题）设 是一元二次方程 的两根，则 等于（ ） B.8
五.正难则反
例5.若下列三个关于的方程： 至少有一个方程有实数根，求实数m 的取值范围.
六.巧用ab+a+b+1和ab-a-b+1的因式分解
例6.（第17届江苏初中数学竞赛题）求满足如下条件的所有k 值：使关于x 的方程 的根都是整数。
七.巧用结论“当a+b+c=0时，一元二次方程 必有一根是1” 例7.(第18届江苏初中数学竞赛题) 若关于x 的方程 的根是正整数，则整数r 的值可以是____________.
八.反客为主
例8.(1998年香港数学竞赛题)求所有正整数a,使得方程 仅有整数根.
x 2-x-1=0
3a 2+2b 2-3a-2b x 1,x 2x 2+x-3=0
x 13-4x 22+19(1) x 2-2(m-1)x+m 2=0(2) x 2-2(m+1)x+m(m+3)=0
(3) x 2+2mx+m 2-2m+4=0
kx 2+(k+1)x+(k-1)=0ax 2+bx+c=0rx 2-(2r+7)x+(r+7)=0x 2-ax+4a=0
α2+3β2+4β x 2+2x-7=0 x 2-x-1=0 α4+3β
其他：
例题1：已知βα,是方程0122=-+x x 的两根，则1053++βα的值为______（12年河南）
例题3：设b a b b a a ≠=+=+且31,3122则代数式2211b a +
的值为（ ）（08年全国联赛） Ｄ．１１
变式：已知实数y x ,满足4424244,3,324y x
y y x x +=+=-则的值为（ ）（０８联赛） 例题４：如果关于x 的方程02934322=+-++k k kx x 的两实根为21,x x 则20152
2014
1
x x 的值为________。
（12年全国联赛改编题）
例题5：（2010年数学联赛）已知实数y x ,满足方程组=+⎩⎨⎧=+=+22331
19y x y x y x 则__________。
1、（上海市竞赛）已知整数p 、q 满足2010=+q p ，且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的根均为正整数，则p=__________。
3.设方程02=++q px x 的两根为b a ,且有,,...,2221n n n b a l b a l b a l +=+=+=则当3
≥n 时，21--++n n n ql pl l 的值为（ ）。
4.方程)0(022≠=-+a a x a x 有（ ）个实数根。
5、若实数y x ,满足16
545,1634333333333=+++=+++y x y x 则x+y=___________。
6、已知关于x 的一元二次方程04)462()86(2222=-+--++-k x k k x k k 的两个根
都是整数.求实数k 的值.
7. 求方程组33333x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有整数解.（全国联赛）。