一元二次方程竞赛题

一元二次方程竞赛题解题

一. 升次

例1.(2006年海南初赛)已知a,b 是一元二次方程 的两个根,则代数式 的值等于_________.

二.降次

例2.（江苏第8届数学竞赛）已知α，β是方程 的两根，求 的值。

三.配偶 例3.(2001年黄冈中考)已知α,β是方程 的两个实数根,求 的值.

四.减元

例4.（2005年湖州市“期望杯”数学竞赛题）设 是一元二次方程 的两根，则 等于（ ） B.8

五.正难则反

例5.若下列三个关于的方程： 至少有一个方程有实数根，求实数m 的取值范围.

六.巧用ab+a+b+1和ab-a-b+1的因式分解

例6.（第17届江苏初中数学竞赛题）求满足如下条件的所有k 值：使关于x 的方程 的根都是整数。

七.巧用结论“当a+b+c=0时，一元二次方程 必有一根是1” 例7.(第18届江苏初中数学竞赛题) 若关于x 的方程 的根是正整数，则整数r 的值可以是____________.

八.反客为主

例8.(1998年香港数学竞赛题)求所有正整数a,使得方程 仅有整数根.

x 2-x-1=0

3a 2+2b 2-3a-2b x 1,x 2x 2+x-3=0

x 13-4x 22+19(1) x 2-2(m-1)x+m 2=0(2) x 2-2(m+1)x+m(m+3)=0

(3) x 2+2mx+m 2-2m+4=0

kx 2+(k+1)x+(k-1)=0ax 2+bx+c=0rx 2-(2r+7)x+(r+7)=0x 2-ax+4a=0

α2+3β2+4β x 2+2x-7=0 x 2-x-1=0 α4+3β

其他：

例题1：已知βα,是方程0122=-+x x 的两根，则1053++βα的值为______（12年河南）

例题3：设b a b b a a ≠=+=+且31,3122则代数式2211b a +

的值为（ ）（08年全国联赛） Ｄ．１１

变式：已知实数y x ,满足4424244,3,324y x

y y x x +=+=-则的值为（ ）（０８联赛） 例题４：如果关于x 的方程02934322=+-++k k kx x 的两实根为21,x x 则20152

2014

1

x x 的值为________。（12年全国联赛改编题）

例题5：（2010年数学联赛）已知实数y x ,满足方程组=+⎩⎨⎧=+=+22331

19y x y x y x 则__________。

1、（上海市竞赛）已知整数p 、q 满足2010=+q p ，且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的根均为正整数，则p=__________。

3.设方程02=++q px x 的两根为b a ,且有,,...,2221n n n b a l b a l b a l +=+=+=则当3

≥n 时，21--++n n n ql pl l 的值为（ ）。

4.方程)0(022≠=-+a a x a x 有（ ）个实数根。

5、若实数y x ,满足16

545,1634333333333=+++=+++y x y x 则x+y=___________。 6、已知关于x 的一元二次方程04)462()86(2222=-+--++-k x k k x k k 的两个根

都是整数.求实数k 的值.

7. 求方程组33333x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有整数解.（全国联赛）