第四章 CNC的插补原理(1)

➢ 逐点比较法：
✓ 直线逐点插补 ✓ 圆弧逐点插补
➢ 特点：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出 脉冲均匀，而且输出脉冲的速度变化小，调节方便。
一、逐点比较插补原理
Y
Y
A
3
12
E
23
B
O
X O1
X
图3-1 圆弧插补轨迹
图3-2 直线插补轨迹
逐点比较插补
一、逐点比较插补原理
逐点比较插补每进给一步都要经过如下四个节拍。
一、逐点比较插补原理
偏差判别：根据当前的偏差值，判别进给方向 四 个 进给加工：根据进给命令，进给一个脉冲当量 节 拍 偏差计算：计算新加工点与给定轨迹之间的偏差
终点判别：判别是否到达终点，决定是继续插补还是停止
一、逐点比较插补原理—直线插补
偏差计算（以第一象限为例） 设被加工直线OE位于XOY平面的第一象限内，起点 为坐标原点，终点为E(xe,ye)，直线方程为
在粗插补算出的每一微小直线段的基础上再作“ 数据点的密化”工作，这一步相当于对直线的脉冲增 量插补。
3.1 基本概念
插补周期与采样周期 ✓插补周期是插补程序每两次计算个坐标轴增量进给
指令间的时间； ✓采样周期是坐标轴位置闭环控制系统的采样时间 ✓插补周期大于等于采样周期，一般为采样周期的整
数倍。 ✓插补周期对系统稳定性没有影响，影响轨迹精度。 ✓采样周期对系统稳定性和轮廓轨迹精度均有影响。 ✓插补周期增大，插补计算误差越大
Fi = yi xe – xi ye
O
✓ 若沿+x方向走一步 (xi+1=xi+1; yi+1=yi)
Fi+1 = yi+1 xe - xi+1 ye=yi xe- (xi+1) ye=Fi - ye ✓ 若沿+y方向走一步 (xi+1=xi ; yi+1=yi+1)
Fi+1 =yi+1 xe- xi+1 ye=(yi+1) xe-xi ye=Fi + xe
用来判别刀具与直线的偏差
✓ F=0刀具在直线上 ✓ F>0刀具在直线上方 ✓ F<0刀具在直线下方
A(xa,ya)
B(xe,ye)
C(xc,yc)
B(xb,yb) X
一、逐点比较插补原理—直线插补
偏差计算（以第一象限插补为例）
偏差函数F的计算迭代公式
设在第一象限中的点（xi , yi）的F值为 Y
E(xe,ye) X
一、逐点比较插补原理—直线插补
偏差计算
思考： 偏差函数F的计算迭代公式（其余象限插补）
一、逐点比较插补原理—直线插补
偏差判别与进给（以第一象限为例）
✓ 若F ≥ 0，则沿+ x方向进给一步， 更新F：F - Ye → F ✓ 若F < 0，则沿+ y方向进给一步，更新F ：F + Xe → F
3.1 基本概念
插补的基本要求 ✓ 插补所需的原始数据少； ✓ 有较高的精度：插补的结果没有累积误差，局部偏 差不能超过允许的误差； ✓ 沿进给路线，进给速度波动小； ✓ 硬件系统线路简单，软件插补算法简捷。
3.1 基本概念
插补要解决的基本问题 ✓ 让单独的坐标分别运动合成理想的轨迹 ✓ 几个坐标同时进，还是每次进一个 ✓ 判断进给的下一个坐标使下一步误差更小；进多少 ✓ 如果同时进给，各个坐标进给的比例是多少 ✓ 选用什么样的实际轨迹合成后与理想轨迹误差最小
思考：偏差判别与进给（其余象限插补）
一、逐点比较插补原理—直线插补
终点判别 ➢ 每进给一步后，都要进行一次终点判别，以确定是否 到达直线终点。 ➢ 直线插补的终点判别，可采用两种方法： ✓把总步数求出来 n = |xe| + |ye|，每走一步 n-1，直到
n=0为止 ✓每走一步判断 |xi| - |xe| ≥0, 且 |yi| - |ye| ≥0 是否成立，
A
X
一、逐点比较插补原理—圆弧插补
终点判别 ➢ 每进给一步后，都要进行一次终点判别，以确定是否 到达圆弧终点。 ➢ 圆弧插补的终点判别，可采用： ✓把总步数求出来 n = |xe-xo| + |ye-yo|，每走一步 n-1，
A
✓ 若沿- x方向走一步 (xi+1= xi -1; yi+1= yi)
X
Fi+1 = (xi+12+yi+12 ) - (x2o+y2o) = Fi -2xi + 1
✓ 若沿+ y方向走一步 (xi+1= xi ; yi+1= yi+1)
Fi+1 = (xi+12+yi+12 ) - (x2o+y2o) = Fi+2yi +1
✓ 把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统 ，以驱动工作台运动，每发出一个脉冲，工作台 移动一个基本长度单位，即脉冲当量，脉冲当量 是脉冲分配的基本单位。
✓ 脉冲的数量表示刀具或工件移动的位移量 ✓ 脉冲序列的频率表示刀具或工件运动的速度
3.1 基本概念
脉冲增量插补适用范围 适用一些中等精度（0.01mm）和中等速度（ 1~3m/min）的CNC系统。
开始
偏差判别
坐标进给
y
偏差计算
3 2
终点判 1 别
O1
Y
给 结束
2N 3
E(4,3)
4
x
一、逐点比较插补原理
偏差判别：根据当前的偏差值，判别进给方向 四 个 进给加工：根据进给命令，进给一个脉冲当量 节 拍 偏差计算：计算新加工点与给定轨迹之间的偏差
终点判别：判别是否到达终点，决定是继续插补还是停止
Y
yxe-xye=0
E(xe,ye)
O
X
一、逐点比较插补原理—直线插补
偏差计算（以第一象限为例）
✓当前刀具位于直线上方如A点 则，yaxe-xaye>0 ✓当前刀具位于直线下方如B点 则，ybxe-xbye<0 ✓当前刀具位于直线上如C点 则，ycxe-xcye=0
Y
偏差函数F：F=yxe-xye
脉冲增量插补插补方法 ✓ 逐点比较法 ✓ 数字积分法（DDA） ✓ 比例积分法 ✓ 数字脉冲乘法器法 ✓ 矢量判别法 ✓ 目标点跟踪法
3.1 基本概念
数据采样插补又称时间标量插补、时间分割插补或 数字增量插补。
数据采样插补特点： ✓ 一次插补产生的不是单个脉冲，而是标准二进制字
✓ 插补运算分两步完成
3.1 基本概念
插补方法的分类
直线插补 圆弧插补
插补 方法
逐点比较法 脉冲增量插补
数字积分法(DDA)
数据采样插补
直线函数法
扩展数字积分法 (扩展DDA)
3.1 基本概念
脉冲增量插补又称基准脉冲插补或行程标量插补； 脉冲增量插补特点： ✓ 脉冲形式输出，每插补运算一次，最多给每一轴
一个进给脉冲。
ye=4, 用逐点比较法加工直线OE。 （要求：计算总步数，列表说明直线插补运算过程，并 绘制插补轨迹图）
一、逐点比较插补原理—圆弧插补
偏差计算（以第一象限逆圆为例）
设圆弧起点为A (xo,，yo), 终点为B (xe，ye)，以圆心为
坐标圆点，设圆上任意一点为（xi，yi），圆上任一
点满足
Y
(xi2+yi2 )-(x2o+y2o)=0
3.1 基本概念
插补 ✓ 插补是数控技术的核心。 ✓ 插补装置的功用是将期望的设备运动轨迹沿各坐
标轴微分成基本长度单位，并转换成可控制各坐 标轴运动的一系列数字指令脉冲
3.1 基本概念
脉冲当量 ✓ 对应于插补装置输出的每一个数字指令脉冲，伺服
驱动系统末端执行部件所实现的理论位移被称为脉 冲当量，它是系统所能控制的最小位移，又称系统 的控制分辨率，一般取为基本长度单位（BLU）。
一个脉冲所产生的进给轴移动量叫脉冲当量，用δ表 示，脉冲当量是脉冲分配计算的基本单位，根据加 工精度选择，普通机床取 δ =0.01mm，较为精密的 机床 δ =1μm or 0.5μm，插补误差不得大于一个脉冲 当量。
3.2 脉冲增量插补
运用范围：控制精度和进给速度较低，因此主要应 用于以步进电机为驱动装置的开环控制系统中。
➢第一步：粗插补 ➢第二步：精插补
3.1 基本概念
➢粗插补 在给定起点和终点的曲线之间，插入若干个点，
即用若干微小直线段来逼近给定曲线，每一微小直线 段的长度都相等，且与给定进给速度有关。粗插补在 每个插补运算周期中计算一次。每一微小直线段的长 度l与进给速度V、和插补周期T有关，
l=V*T
➢精插补
第 四 章 CNC的插补原理
2020/6/14
3.1 基本概念
• 数控技术的基本原理
将被控设备末端执行部件的运动（或多个末端执 行部件的合成运动）纳入到适当的坐标系中，将 所要求的复杂运动分解成各坐标轴的简单直线运 动或回转运动，并用一个满足精度要求的基本长 度单位（Basic Length Unit，BLU）对各坐标轴进 行离散化，由电子控制装置（即数控装置）按数 控程序规定的运动控制规律产生与基本长度单位 对应的数字指令脉冲对各坐标轴的运动进行控制 ，并通过伺服执行元件加以驱动，从而实现所要 求的复杂运动。
脉冲增量插补就是分配脉冲的计算，在插补过程中 不断向各坐标轴发出相互协调的进给脉冲，控制机 床坐标作相应的移动。
逐点比较法 脉冲增量插补
数字积分法(DDA)
一、逐点比较插补原理
逐点比较法又称代数运算法、醉步法。
➢ 基本原理：计算机在控制加工过程中，能逐点的计算 和判别加工误差，与规定的运动轨迹进行比较，由比 较结果决定下一步的移动方向。每插补运算一次，最 多给每一个运动坐标轴送出一个脉冲。亦称走一步算 一步
n=0
N
结束
一、逐点比较插补原理—直线插补
举例：
设欲加工第一象限直线OE，终点坐标为xe=3, ye=5,
用逐点比较法加工直线OE。
Y
E(xe , ye)
解： 总步数 n=3+5=8
O
X
开始时刀具在直线起点，即在直线上，故F0=0 下表列出了直线插补运算过程：
一、逐点比较插补原理—直线插补
序号 偏差判别 坐标进给 起点
1 F0=0 +X 2 F1<0 +Y 3 F2<0 +Y 4 F3>0 +X 5 F4<0 +Y 6 F5<0 +Y 7 F6>0 +X 8 F7<0 +Y
偏差计算
F0 0
F F Y 5
1
0
e
F F X -2
2
1
e
F F X 1
3
2
e
F F Y 4
4
3
e
F F X -1
5
4
e
F FX 2
6
5
e
F F Y 3
7
6
e
F F X 0
8
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e
直线插补运算过程
终点判别
n=8 n=7 n=6 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 n=0
一、逐点比较插补原理—直线插补
插补轨迹如图所示
Y
E (3,5)
X O
一、逐点比较插补原理—直线插补
课后作业： 设 欲 加 工 第 二 象 限 直 线 OE， 终 点 坐 标 为 xe=-6,
Y
偏差函数F = (xi2+yi2 ) - (x2o+y2o)
用来判别刀具与直线的偏差
✓ F=0刀具在圆弧上 ✓ F>0刀具在圆弧外侧 ✓ F<0刀具在圆弧内侧
B F>0
F<0
Pi（Xi，Yi）
A
X
一、逐点比较插补原理—圆弧插补
Y
偏差计算（以第一象限逆圆为例） B
F>0
偏差函数F的计算迭代公式
F < 0 Pi（Xi，Yi）
3.1 基本概念
数据采样插补插补方法
✓ 直线函数法 ✓ 扩展数字积分法（扩展DDA） ✓ 二阶递归扩展数字积分法 ✓ 双数字积分插补法 ✓ 角度逼近圆弧插补法 ✓ “改进吐斯丁”(Improve Tustin Method—ITM) 法
3.2 脉冲增量插补
脉冲增量插补算法主要为单个坐标轴进行脉冲分配 计算。其特点是每次插补的结果仅产生一个行程增 量，以一个个脉冲的形式输出各进给轴的伺服电机 。
如果成立插补结束
一、逐点比较插补原理—直线插补
初始化
置数 xe , ye, F=0 N = xe + ye
Y
F≥0? N
逐点比较直线插补 （第一象限）软件流程图
送一个+x 方向脉冲
偏差计算 F – ye → F
送一个+y 方向脉冲
偏差计算 F + xe → F
思考：
n → n-1
其余象限逐点比较直线插补软件流程图
B F>0
F<0
Pi（Xi，Yi）
A
X
一、逐点比较插补原理—圆弧插补
偏差计算（以第一象限逆圆为例）
✓当前刀具位于圆弧外侧 ，则 (xi2+yi2 )-(x2o+y2o) > 0 ✓当前刀具位于圆弧内侧，则 (xi2+yi2 )-(x2o+y2o) <0 ✓当前刀具位于圆弧上, 则， (xi2+yi2 )-(x2o+y2o) =0
一、逐点比较插补原理—圆弧插补
偏差判别与进给（以第一象限逆圆为例） ✓ 若F ≥ 0，则沿- x方向进给一步， 更新 F - 2x + 1→ F
✓ 若F < 0，则沿+ y方向进给一步，更新 F + 2y+1 → F
Y
思考：偏差迭代公式、偏差
B F>0
判别与进给（第一象限顺圆、 其余象限逆圆和顺圆弧插补） F < 0 Pi（Xi，Yi）