第四章 CNC的插补原理(1)
插补原理
插补开放分类：技术数控技术高新技术数控装置根据输入的零件程序的信息，将程序段所描述的曲线的起点、终点之间的空间进行数据密化，从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据密化”机能就称为“插补”。
编辑摘要插补- 概述机构按预定的轨迹运动。
一般情况是一致运动轨迹的起点坐标、终点坐标和轨迹的曲线方程，由数控系统实施地算出各个中间点的坐标。
在数控机床中，刀具不能严格地按照要求加工的曲线运动，只能用折线轨迹逼近所要加工的曲线。
机床数控系统依照一定方法确定刀具运动轨迹的过程。
也可以说，已知曲线上的某些数据，按照某种算法计算已知点之间的中间点的方法，也称为“数据点的密化”。
数控装置根据输入的零件程序的信息，将程序段所描述的曲线的起点、终点之间的空间进行数据密化，从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据密化”机能就称为“插补”。
插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲，对应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离，从而将工件加工出所需要轮廓的形状。
插补- 分类1、直线插补直线插补（Llne Interpolation）这是车床上常用的一种插补方式，在此方式中，两点间的插补沿着直线的点群来逼近，沿此直线控制刀具的运动。
一个零件的轮廓往往是多种多样的,有直线,有圆弧,也有可能是任意曲线,样条线等. 数控机床的刀具往往是不能以曲线的实际轮廓去走刀的,而是近似地以若干条很小的直线去走刀,走刀的方向一般是x和y方向. 插补方式有:直线插补,圆弧插补,抛物线插补,样条线插补等所谓直线插补就是只能用于实际轮廓是直线的插补方式(如果不是直线,也可以用逼近的方式把曲线用一段段线段去逼近,从而每一段线段就可以用直线插补了).首先假设在实际轮廓起始点处沿x方向走一小段(一个脉冲当量),发现终点在实际轮廓的下方,则下一条线段沿y方向走一小段,此时如果线段终点还在实际轮廓下方,则继续沿y方向走一小段,直到在实际轮廓上方以后,再向x方向走一小段,依次循环类推.直到到达轮廓终点为止.这样,实际轮廓就由一段段的折线拼接而成,虽然是折线,但是如果我们每一段走刀线段都非常小(在精度允许范围内),那么此段折线和实际轮廓还是可以近似地看成相同的曲线的--------这就是直线插补.2、圆弧插补圆弧插补（Circula : Interpolation）这是一种插补方式，在此方式中，根据两端点间的插补数字信息，计算出逼近实际圆弧的点群，控制刀具沿这些点运动，加工出圆弧曲线。
插补原理
插补原理：在实际加工中，被加工工件轮廓形状千差万别，严格说来，为了满足几何尺寸精度要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件轮廓形状来生成，对于简单曲线数控系统可以比较容易实现，但对于较复杂形状，若直接生成会使算法变得很复杂，计算机工作量也相应地大大增加，因此，实际应用中，常采用一小段直线或圆弧去进行拟合就可满足精度要求(也有需要抛物线和高次曲线拟合情况)，这种拟合方法就是“插补”，实质上插补就是数据密化过程。
插补任务是根据进给速度要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干个中间点坐标值，每个中间点计算所需时间直接影响系统控制速度，而插补中间点坐标值计算精度又影响到数控系统控制精度，因此，插补算法是整个数控系统控制核心。
插补算法经过几十年发展，不断成熟，种类很多。
一般说来，从产生数学模型来分，主要有直线插补、二次曲线插补等；从插补计算输出数值形式来分，主要有脉冲增量插补(也称为基准脉冲插补)和数据采样插补[26]。
脉冲增量插补和数据采样插补都有个自特点，本文根据应用场合不同分别开发出了脉冲增量插补和数据采样插补。
1数字积分插补是脉冲增量插补一种。
下面将首先阐述一下脉冲增量插补工作原理。
2.脉冲增量插补是行程标量插补，每次插补结束产生一个行程增量，以脉冲方式输出。
这种插补算法主要应用在开环数控系统中，在插补计算过程中不断向各坐标轴发出互相协调进给脉冲，驱动电机运动。
一个脉冲所产生坐标轴移动量叫做脉冲当量。
脉冲当量是脉冲分配基本单位，按机床设计加工精度选定，普通精度机床一般取脉冲当量为：0.01mm，较精密机床取1或0.5 。
采用脉冲增量插补算法数控系统，其坐标轴进给速度主要受插补程序运行时间限制，一般为1~3m/min。
脉冲增量插补主要有逐点比较法、数据积分插补法等。
逐点比较法最初称为区域判别法，或代数运算法，或醉步式近似法。
这种方法原理是：计算机在控制加工过程中，能逐点地计算和判别加工偏差，以控制坐标进给，按规定图形加工出所需要工件，用步进电机或电液脉冲马达拖动机床，其进给方式是步进式，插补器控制机床。
数控机床插补原理
对圆弧，提供起点、终点、顺圆或逆圆、以及圆心相对于起点的位置。为满
足零件几何尺寸精度要求，必须在刀具(或工件)运动过程中实时计算出满足 线形和进给速度要求的若干中间点(在起点和终点之间)，这就是数控技术中
插补(Interpolation)的概念。据此可知，插补就是根据给定进给速度和给定
轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称 为插补方法或插补原理。
Xm+1＝Xm+1, Ym+1＝Ym
新的偏差为
Fm+1＝Ym+1Xe－Xm+1Ye＝Fm－Ye
若Fm＜0时，为了逼近给定轨迹，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为
Xm+1＝Xm, Ym+1＝Ym ＋1
新的偏差为
Fm+1＝Fm＋Xe
4. 终点判别法
逐点比较法的终点判断有多种方法，下面主要介绍两种：
直到∑为零时，就到了终点。
2.2
不同象限的直线插补计算
上面讨论的为第一象限的直线插补计算方法，其它三个象
限的直线插补计算法，可以用相同的原理获得，表5-1列出了
四个象限的直线插补时的偏差计算公式和进给脉冲方向，计 算时，公式中Xe，Ye均用绝对值。
表1-1 四个象限的直线插补计算
数控机床插补原理
3.4.3.偏差计算 3.4.3.
进给一步后,计算新加工点与规定的 轮 廓的新偏差,为下一次偏差判别做准备, 根据偏差判别的结果给出计算方法. 当F≥0时,为F-Y,即沿+X方向走一步; 当F＜0时,为F+X,即沿方+Y向走一步;
宋成伟
3.4.4.终点判别 3.4.4.
判断加工点是否到达终点,若已到 终点,则停止插补,否则再继续按此四 个节拍继续进行插补. 1.讨论累计步数∑的问题. 2.讨论终点坐标时所要完成的插补步数 的问题.
宋成伟
逐点比较法既可以实现直线 插补也可以实现圆弧等插补,它 的特点是运算直观,插补误差小 于一个脉冲当量,输出脉冲均匀 ,速度变化小,调节方便,因此 在两个坐标开环的CNC系统中应 用比较普遍.
宋成伟
该方法一般不用于多轴联动,应用范围 有一定限制.它的算法特点是: 3.2.1.1.每次插补的结果仅产生一个单 位的位移增量(一个脉冲当量),以一个 脉冲的方式输出给步进电机,采用以用折 线逼近曲线的思维方式.
宋成伟
3.2.3.3.该算法比脉冲增量插补算 法较为复杂,对计算机运算速度有 一定要求. 它主要用于交,直流伺服电机驱 动的闭环,半闭环CNC系统.也可 用于步进电动机开环系统.
宋成伟
3.4.直线插补计算 Y .
这种插补方法是以 阶梯折线来逼近直线和Ye 圆弧等曲线的,而阶梯 折线与规定的加工直线 或圆弧之间的最大误差 不超过一个脉冲当量,Ym 因此如果数控机床的脉 冲当量足够小,就能够 满足一定的加工精度的 0.0 要求.
宋成伟
使用数据采样插补的数控系统, 其位置伺服通过计算机及测量装置 构成闭环.计算机定时地对反馈回 路采样,采样的数据与插补程序所 产生的指令数据相比较,用其误差 信号输出去驱动伺服电动机.采样 周期一般为10ms左右.
插补原理及控制方法
CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 CNC系统对于直线和圆弧的控制并不是严格按照直线 和圆弧轨迹进行控制。 和圆弧轨迹进行控制 。 上图为加工某一轮廓时的刀具轨 迹曲线， 运动进行切削加工。 迹曲线，加工时要求刀具沿曲线L运动进行切削加工。 我们可以进行这样的分析， 我们可以进行这样的分析 ， 首先将曲线 L 分割为 l0、 若干段， l1、…li、…lN若干段，再用直线和圆弧代替这些小的曲 线段， 足够小时， 就接近了原曲线； 线段 ， 当逼近误差 δ 足够小时 ， 就接近了原曲线 ； 然后 运动的合成， 数控系统通过各坐标方向 最小位移量 运动的合成 ， 不断 地控制刀具相对工件运动， 走出直线和圆弧， 地控制刀具相对工件运动 ， 走出直线和圆弧 ， 从而非常 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线。 数字化 ” 逼近的走出所需的刀具轨迹曲线 。 这体现出了 “ 数字化” 的概念。 的概念。 这种在允许误差范围内， 用沿直线或圆弧（ 这种在允许误差范围内 ， 用沿直线或圆弧 （ 逼近函 合成的分段运动代替任意曲线运动， 数 ） 的 最小位移量 合成的分段运动代替任意曲线运动 ， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法， 以得到所需的刀具运动轨迹的方法 ， 是数字控制的基本 构思之一，这个过程就是插补。 构思之一，这个过程就是插补。
插补开始
偏差判别
坐标进给
偏差计算 N 终点判别 Y 插补结束
二、逐点比较法直线插补 如图所示， 如图所示 ， 对 XY平面第 平面第 一象限直线段进行插补。 一象限直线段进行插补 。 直 线段起点位于坐标原点O， 线段起点位于坐标原点 ，终 点 位 于 A （ Xe,Ye ） 。 设 点 P （ Xi， Yi） 为任一动点 （ 加 ， ） 为任一动点（ 工点、插补点） 工点、插补点）。 点在直线OA上时 上时， 当P点在直线 上时， 点在直线 XeYi – XiYe = 0 当P点在直线 上方时， 点在直线OA上方时， 点在直线 上方时 XeYi – XiYe > 0 点在直线OA下方时 下方时， 当P点在直线 下方时， 点在直线 XeYi – XiYe < 0
第四章 插补、刀具补偿与速度控制
被积函数寄存器
根据上面几个公式，可以建立一 个数学模型——数字积分器。
Δt
＋ 累加器 Δx
数字积分器模型
例子：求在区间设被积函数为5(二进制101B)，取累加器 为3位二进制，容量为23=8。
101
101
101
101
101
101
101
101
) 000 )101 ) 010 )111 )100 ) 001 )110 ) 011 101
1 010
111
1 100
1 001
110
1 011
1 000
（2） 线段插补
如右图所示，线段位于第一象限，起点与 坐标原点重合，终点坐标A(Xe,Ye)。设有 一动点，以速度V在线段上匀速运动，其 在X、Y方向的分速度分别为Vx、Vy。则 动点在Δt时间内沿X、Y轴移动的微小位移 量为： ΔX=VxΔt
Δx
Δy
KX
i
m
e
KmX
e
Xe
Y
KY
i
m
K 1
e
Δt
m
n
＋
KmY
e
Ye
m 2
Y被积函数寄存器(KYe)
2
n
K 1
线段插补数字积分器
例3. 用数字积分法插补下图所示线段，起点坐标 O(0,0)，终点坐标为A(5,7)，写出插补该线段的过程。
数字积分插补实例
脉 冲 当 量
插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，根 据给定的进给速度要求，计算出若干个中间点的坐标值。
加工直线的程序
N3G01X-45000Y-75000F150
数控插补原理
2.4数控插补原理一、插补的概念和分类在数控加工中，若已知运动轨迹的起点坐标、终点坐标和曲线方程，则数控系统会根据这些信息实时地计算出各个中间点的坐标，使切削加工运动沿着预定轨迹移动，通常把这个过程称为“插补”。
所谓插补亦可以看做是数据密化的过程。
在对数控系统输入有限坐标点（如起点、终点）的情况下，计算机根据线段的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，即数据密化，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，以满足加工精度的要求。
在机床的实际加工中，被加工工件的轮廓形状千差万别，严格说来，为了满足几何尺寸精度的要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件的轮廓形状来生成。
然而，对于简单的曲线，如直线和圆弧，数控装置易于实现，但对于较复杂的形状，若直接生成，势必会使算法变得很复杂，计算机的工作量也相应地大大增加。
因此，在实际应用中，常常采用一小段直线或圆弧去进行逼近，有些场合也可以用抛物线、椭圆、双曲线和其他高次曲线去逼近（或称为拟合）。
因此，数控机床在加工时，刀具的运动轨迹不是严格的直线或圆弧曲线，而是以折线轨迹逼近所要加工的曲线运动。
机床数控系统轮廓控制的主要问题就是怎样控制刀具或工件的运动轨迹。
无论是硬件数控（NC）系统，还是CNC系统，都必须有完成插补功能的部分，只是采取的方式不同而已。
在CNC中以软件（程序）或软、硬件结合实现插补，而在NC中有一个专门完成脉冲分配计算（即插补计算）的计算装置-----插补器。
无论是软件数控还是硬件数控，其插补的运算原理基本相同，其作用都是根据给定的信息进行数字计算，在计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，使被控机械部件按指定的路线移动。
关于插补算法问题，除了要保证插补计算的精度之外，还要求算法简单。
这对于硬件数控来说，可以简化控制电路，采用较简单的运算器。
而对于计算机数控系统来说，则能提高运算速度，使控制系统较快且均匀地输出进给脉冲。
第四部分插补原理与速度控制
（3）迭代法偏差函数F的推导
①设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0， 刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点
P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为： Fi+1，i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（X02 + Y02）
=Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02 =F-2Xi+1 ②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
③偏差计算 计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步 偏差判别的依据。
④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一 步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。终 点判别可采用两种方法：一是每走一步判断Xi-Xe≥0及 Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续。二 是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe | + | Ye | ， 每走一步n-1，直到n=0为止。
线 型 偏差判别
象
1
2
限
3
4
F≥0
-Y
+X
+Y
-X
G02
F<0
+X
+Y
-X
-Y
F≥0
-X
-Y
+X
+Y
G03
F<0
+Y
-X
-Y
+X
（3）圆弧插补自动过象限处理
为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插 补程序必须具有自动过象限功能。自动过象限程序包 括象限边界处理、过象限判断及数据处理等模块。
数控课件 第4章 轨迹插补与半径补偿原理 64页
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第三节 插补方法的分类与原理
一、插补方法的分类
目前插补器中应用的插补方法分为两大类。 （一）基准脉冲插补 （二）数据采样插补
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第三节 插补方法的分类与原理
（一）基准脉冲插补
基准脉冲插补又称为行程标量插补或脉冲 增量插补。这种插补算法的特点是每次插 补结束时数控装置向每个运动坐标输出基 准脉冲序列，每个脉冲代表了最小位移， 脉冲序列的频率代表了坐标运动速度，而 脉冲的数量表示移动量。
采用逼近误差和计算误差较小的插补算法；采用 优化的小数圆整法，如：逢奇（偶）四舍五入法、 小数累进法等。
一般要求上述三误差的综合效应小于系统的最小 运动指令或脉冲当量。
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第二节 评价插补算法的指标
合成速度的均匀性指标
合成速度的均匀性：插补运算输出的各轴进给率，
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第三节 插补方法的分类与原理
（一）基准脉冲插补
基准脉冲插补又称为行程标量插补或脉冲增 量插补。这种插补算法的特点是每次插补结束 时数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列， 每个脉冲代表了最小位移，脉冲序列的频率代 表了坐标运动速度，而脉冲的数量表示移动量。
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脉冲增量插补的实现方法较简单。通常仅用加法和移 位运算方法就可完成插补。因此容易用硬件来实现， 运算的速度很快。也可用软件来完成这类算法。
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第三节 插补方法的分类与原理
（一）基准脉冲插补
这类插补算法有：逐点比较法；最小偏差法；数字 积分法；目标点跟踪法；单步追综法等
第4章 插补原理
Fi+1 , j = Fi , j - 2Xi ＋ 1 ------(2)
②设加工点P（ Xi，Yj ）位于圆弧内时 有： Fi , j = Xi 2＋ Yj 2－R2<0 为逼近该圆需向+y方向进给一步，移到 新加工点P（ Xi，Yj+1 ），此时新加工 点的坐标值为： Xi = Xi ， Yj+1 = Yj+1。 将新坐标代入上式，得： Fi, j+1 = Fi , j + 2yi ＋ 1 ------(3)
作业2.
提示：第一象限顺圆弧，F0=0，进给方向-y，偏 差公式：F←F0-2y+1,x ← x，y ← y+1； F<0,进给方向+x，偏差公式： F←F+2x+1, x ← x+1，y ← y.
解答作业2. 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如下图所示， 起点A（0，4），终点B（4，0），试用逐点比较法进行 插补。
下面讨论用递推方法进行圆弧插补的偏差计算
圆弧插补的偏差计算
①设加工点P（ Xi，Yj ）位于圆弧上或 圆弧外时有： Fi , j = Xi 2＋ Yj 2－R2≥0 为逼近该圆需向-x方向进给一步，移到 新加工点P（ Xi+1，Yj ），此时新加工 点的坐标值为： Xi+1 = Xi -1， Yj = Yj。 将新坐标代入上式，得：
令：Fi , j=
xe yi－xi ye --------（1）
偏差判别：根据刀具当前位置， 确定进给方向。 坐标进给：使加工点向给定轨迹 趋进，即向减少误差方向移动。 偏差计算：计算新加工点与给定 轨迹之间的偏差，作为下一步判 别依据。 终点判别：判断是否到达终点， 若到达，结束插补；否则，继续 以上四个步骤（如图3所示）。
逐点比较法直线插补原理
偏差判别
F0,0=0 F1,0=-2<0 F1,1=1>0 F2,1=-1<0 F2,2=2>0
坐标进给
＋△X ＋△Y ＋△X ＋△Y ＋△X
偏差计算 F0,0=0 F1,0= F0,0-Ye =-2 F1,1= F1,0+X e =1 F2,1= F1,1-Ye =-1 F2,2= F2,1+X e =2 F3,2= F2,2-Ye =0
4 F3<0 +Y 5 F3>0 +X 6 F5<0 +Y
F4 F3 Xe 2
F5 F6
F4 F5
Ye Xe
1
Y3
7 F6>0 +X
F7 F6 Ye 0 3
2
《数控技术及装
终 点判别
∑=7 ∑=6 ∑=5 ∑=4 ∑=3 ∑=2 ∑=1 ∑=0
E(4,3)
1
O 1 234
X 13
§ 4-1 插 补 原 理 与 程 序 设 计
F≥0
L1 F<0
标值的符号来确定。
➢ 按照以上的插补规律，
可编制出逐点比较法直
F<0
线插补的程序。下面是
编制的演示程序。
L3
O
F≥0 F≥0
x F<0
L4
18
结语
谢谢大家！
一个脉冲当量，输出脉冲均匀，
速度变化小，调节方便。
(2,2) (3,2)
(1,1)
(2,1)
X
(0,0)
(1,0)
7
§ 4-1 插 补 原 理 与 程 序 设 计
1. 逐点比较法直线插补算法
《数控技术及装
数控技术数控机床的插补原理直线插补与圆弧插补计算原理
（三）、插补方法的种类与特点
插补器： 插补是数控系统必备功能， NC中由硬件完成，
CNC中由软件实现，两者原理相同。
硬件 通过硬件逻辑电路 插补速度快 插补器 来实现插补
软件 利用CNC系统的微 插补器 处理器执行相应的
插补程序来实现
结构简单、灵活易变、可
靠性好，大部分CNC系统 采用了软件插补方式
偏差判别函数：Fm = ymxe-xmye
（五）逐点比较法直线插补
2. 算法分析（第Ⅰ象限）
终点比较：
判别是否到达终点，若到达终点就结束该插 补运算；如未到达再重复上述的循环步骤。
方法一 方法二
用Xe+Ye作为计数器，每走一步对计 数器进行减 1计算，直到计数器为零 时，便到达终点。
用通常根据刀具沿X、Y两轴所走的 总步数m来判断直线是否加工完毕， 总步数为：N=|xA|+|yA|
部分高档CNC：软件插补实现粗插补，硬件插补实现精插补
（三）、插补方法的种类与特点
插补分类：（插补采用的原理和计算方法）
基准脉冲插补：(又称为行程标量插补或脉冲增量插补) 每次插补结束，向每个运动坐标输出基准脉冲序列。 脉冲序列的频率代表了运动速度，而脉冲的数量表示 移动量。
①逐点比较法；②数字积分法；③数字脉冲乘法器插补法；④矢 量判别法；⑤比较积分法；⑥最小偏差法；⑦目标点跟踪法；⑧ 单步追踪法；⑨直接函数法。
Fm Fm
（五）逐点比较法直线插补
2. 算法分析（第Ⅰ象限）
新偏差计算：
每走一步到达新的坐标点，按偏差公 式计算新的偏差
+△x进给 +△y进给
xm+1 = xm+1, ym+1 =ym Fm+1=ym+1xe-xm+1ye=ymxe-(xm+1)ye=Fm-ye
CNC装置的插补原理
CNC装置的插补原理CNC装置的插补原理一、插补的概念为了加工零件的轮廓，在加工过程中，需要保证刀具相对工件时刻运动的位置是在零件轮廓的轨迹上，这就需要知道不同时刻刀具相对工件运动的位置坐标，以便实现位置控制。
而在零件加工程序中仅提供了描述轮廓线形所必须的参数：直线—出发点和终点坐标；圆弧—出发点、终点坐标以及顺圆或逆圆。
这就需要在加工（运动）过程中，实时地根据给定轮廓线形和给定进给速度要求计算出不同时刻刀具相对工件的位置，即出发点和终点之间的若干个中间点。
这就是插补的概念。
插补定义：插补就是根据给定进给速度给定轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，称为插补方法或插补原理。
每种线形的插补方法，有可以有不同的计算方法来实现，那么，具体实现插补原理的计算方法称为插补算法。
插补算法的优劣直接影响CNC系统的性能指标。
二、评价插补算法的指标1、稳定性指标插补运算是一种迭代运算，即由上一次计算结果求得本次的计算结果：Xi=Xi-1+Δi。
作为数值计算，每次计算会存在计算误差和舍进误差。
计算误差：指由于采用近似计算而产生的误差；舍进误差：指计算结果圆整时所产生的误差。
对于某一算法，误差可能不随迭代次数的增加而积累，而另一算法误差可能随迭代的次数增加而积累，那么，一种算法对计算误差和舍进误差有没有积累效应，就是算法的稳定性。
为了确保轮廓加工精度，插补算法必须是稳定的。
插补算法稳定的充分必要条件是，在插补计算过程中，其舍进误差和计算误差不随迭代次数的增加而积累。
2、插补精度指标插补精度指插补轮廓与给定轮廓的符合程度，可用插补误差来评价。
插补误差包括：逼近误差δa、计算误差δc、圆整误差δr。
逼近误差和计算误差与插补算法密切相关。
要求：插补误差（轨迹误差）不大于系统的最小运动指令或脉冲当量。
3、合成速度的均匀性指标合成速度的均匀性是指插补运算输出的各轴进给量，经运动合成的实际速度与给定的进给速度的符合程度，由速度不均匀系数描述：式中，F—给定的进给速度；Fc—实际合成进给速度。
第四章 插补原理与速度控制
n=6=N完
四象限直线插补
A2(-Xe,Ye)
A1(Xe,Ye)
A3(-Xe,-Ye) 直线插补各象限偏差符号和相应的进给方向
A4(Xe,-Ye)
（二）圆弧插补(第一象限顺圆插补)
1、偏差判别函数 2、偏差计算与进给方向 3、终点判别 4、举例
1、偏差判别函数
用P(x,y)表示某 一时刻刀具的位 置，则偏差函数 为： F=x2+y2-R2 F＞0 在圆外 F＜0 在圆内 F＝0 在圆上
X11= X10=7 Y11= Y10+1=8
n=11＜N
X12 =X11 -1=6 n=12=N Y12 = Y11=8 到达终 点
Y 8 6
B(6,8)
4
2
2
4
6
8
10
四个象限圆弧插补
F>0
F>0 F>0 F<0 F<0 F<0 F<0
F>0
F<0
F>0 F<0 F>0
F<0
F<0
F>0 F>0
+X +X,+Y +X
20-16=4 24-16=8 18-16=2 20-16=4
+X,+Y +X
+X,+Y +X +X,+Y +X +X,+Y
22-16=6 16-16=0
20-16=4 24-16=8 18-16=2 22-16=6 16-16=0
19-16=3
18-16=2
17-16=1
数控机床插补原理
y
Fi>0 P1
P2
E Fi=0
P3 Fi<0
o
图9
x
2.2.3偏差计算
对于偏差计算式Fi =Yi Xc –XiYc，包含乘法，不利硬件或汇编语言实 现，所以采用递推算式来求取F值: 若Fi>=0，规定向 +X 方向 走一步 Xi+1 = Xi +1 Fi+1 = YiXc –(Xi +1)Yc =Fi -Yc 若Fi<0，规定向 +Y 方向 走一步 Yi+1 = Yi +1 Fi+1 = (Yi +1)Xc -XiYc =Fi +Xc
P 2 （ X 2 ， Y 2） F<0
2.3.2坐标进给
O
R
A 图12 X
若为逆圆，即A-B，则 若Fi>=0，向-X方向进一步； 若Fi<0，向+Y方向进一步。
若为顺圆，即B-A，则 若Fi>=0，向-Y方向进一步； 若Fi<0，向+X方向进一步。
2.3逐点比较法第一象限圆弧插补
2.3.3偏差计算
2.逐点比较法
2.1逐点比较法的基本原理
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零 件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具
沿着坐标轴向减少偏差的方向进给，且只有一个方向的进给。
开始 偏差判断 坐标进给 偏差计算 终点？ Y 结束 N
Y D A A’ O
图7
B
B’
2程图
2.2逐点比较法第一象限直线插补
2.2.1偏差判断
OP1斜率-OE斜率=Y1/X1-Yc/Xc=0 设有一动点P(Xi,Yi); 终点坐标C(Xc,Yc)。
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3.2 脉冲增量插补
运用范围：控制精度和进给速度较低，因此主要应 用于以步进电机为驱动装置的开环控制系统中。
ye=4, 用逐点比较法加工直线OE。 （要求：计算总步数，列表说明直线插补运算过程，并 绘制插补轨迹图）
一、逐点比较插补原理—圆弧插补
偏差计算（以第一象限逆圆为例）
设圆弧起点为A (xo,，yo), 终点为B (xe，ye)，以圆心为
坐标圆点，设圆上任意一点为（xi，yi），圆上任一
点满足
Y
(xi2+yi2 )-(x2o+y2o)=0
如果成立插补结束
一、逐点比较插补原理—直线插补
初始化
置数 xe , ye, F=0 N = xe + ye
Y
F≥0? N
逐点比较直线插补 （第一象限）软件流程图
送一个+x 方向脉冲
偏差计算 F – ye → F
送一个+y 方向脉冲
偏差计算 F + xe → F
思考：
n → n-1
其余象限逐点比较直线插补软件流程图
A
✓ 若沿- x方向走一步 (xi+1= xi -1; yi+1= yi)
X
Fi+1 = (xi+12+yi+12 ) - (x2o+y2o) = Fi -2xi + 1
✓ 若沿+ y方向走一步 (xi+1= xi ; yi+1= yi+1)
Fi+1 = (xi+12+yi+12 ) - (x2o+y2o) = Fi+2yi +1
➢ 逐点比较法：
✓ 直线逐点插补 ✓ 圆弧逐点插补
➢ 特点：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出 脉冲均匀，而且输出脉冲的速度变化小，调节方便。
一、逐点比较插补原理
Y
Y
A
3
12
E
23
B
O
X O1
X
图3-1 圆弧插补轨迹
图3-2 直线插补轨迹
逐点比较插补
一、逐点比较插补原理
逐点比较插补每进给一步都要经过如下四个节拍。
3.1 基本概念
插补方法的分类
直线插补 圆弧插补
插补 方法
逐点比较法 脉冲增量插补
数字积分法(DDA)
数据采样插补
直线函数法
扩展数字积分法 (扩展DDA)
3.1 基本概念
脉冲增量插补又称基准脉冲插补或行程标量插补； 脉冲增量插补特点： ✓ 脉冲形式输出，每插补运算一次，最多给每一轴
一个进给脉冲。
3.1 基本概念
插补 ✓ 插补是数控技术的核心。 ✓ 插补装置的功用是将期望的设备运动轨迹沿各坐
标轴微分成基本长度单位，并转换成可控制各坐 标轴运动的一系列数字指令脉冲
3.1 基本概念
脉冲当量 ✓ 对应于插补装置输出的每一个数字指令脉冲，伺服
驱动系统末端执行部件所实现的理论位移被称为脉 冲当量，它是系统所能控制的最小位移，又称系统 的控制分辨率，一般取为基本长度单位（BLU）。
Fi = yi xe – xi ye
O
✓ 若沿+x方向走一步 (xi+1=xi+#43;1 xe - xi+1 ye=yi xe- (xi+1) ye=Fi - ye ✓ 若沿+y方向走一步 (xi+1=xi ; yi+1=yi+1)
Fi+1 =yi+1 xe- xi+1 ye=(yi+1) xe-xi ye=Fi + xe
脉冲增量插补就是分配脉冲的计算，在插补过程中 不断向各坐标轴发出相互协调的进给脉冲，控制机 床坐标作相应的移动。
逐点比较法 脉冲增量插补
数字积分法(DDA)
一、逐点比较插补原理
逐点比较法又称代数运算法、醉步法。
➢ 基本原理：计算机在控制加工过程中，能逐点的计算 和判别加工误差，与规定的运动轨迹进行比较，由比 较结果决定下一步的移动方向。每插补运算一次，最 多给每一个运动坐标轴送出一个脉冲。亦称走一步算 一步
3.1 基本概念
数据采样插补插补方法
✓ 直线函数法 ✓ 扩展数字积分法（扩展DDA） ✓ 二阶递归扩展数字积分法 ✓ 双数字积分插补法 ✓ 角度逼近圆弧插补法 ✓ “改进吐斯丁”(Improve Tustin Method—ITM) 法
3.2 脉冲增量插补
脉冲增量插补算法主要为单个坐标轴进行脉冲分配 计算。其特点是每次插补的结果仅产生一个行程增 量，以一个个脉冲的形式输出各进给轴的伺服电机 。
思考：偏差判别与进给（其余象限插补）
一、逐点比较插补原理—直线插补
终点判别 ➢ 每进给一步后，都要进行一次终点判别，以确定是否 到达直线终点。 ➢ 直线插补的终点判别，可采用两种方法： ✓把总步数求出来 n = |xe| + |ye|，每走一步 n-1，直到
n=0为止 ✓每走一步判断 |xi| - |xe| ≥0, 且 |yi| - |ye| ≥0 是否成立，
3.1 基本概念
插补的基本要求 ✓ 插补所需的原始数据少； ✓ 有较高的精度：插补的结果没有累积误差，局部偏 差不能超过允许的误差； ✓ 沿进给路线，进给速度波动小； ✓ 硬件系统线路简单，软件插补算法简捷。
3.1 基本概念
插补要解决的基本问题 ✓ 让单独的坐标分别运动合成理想的轨迹 ✓ 几个坐标同时进，还是每次进一个 ✓ 判断进给的下一个坐标使下一步误差更小；进多少 ✓ 如果同时进给，各个坐标进给的比例是多少 ✓ 选用什么样的实际轨迹合成后与理想轨迹误差最小
一、逐点比较插补原理
偏差判别：根据当前的偏差值，判别进给方向 四 个 进给加工：根据进给命令，进给一个脉冲当量 节 拍 偏差计算：计算新加工点与给定轨迹之间的偏差
终点判别：判别是否到达终点，决定是继续插补还是停止
一、逐点比较插补原理—直线插补
偏差计算（以第一象限为例） 设被加工直线OE位于XOY平面的第一象限内，起点 为坐标原点，终点为E(xe,ye)，直线方程为
在粗插补算出的每一微小直线段的基础上再作“ 数据点的密化”工作，这一步相当于对直线的脉冲增 量插补。
3.1 基本概念
插补周期与采样周期 ✓插补周期是插补程序每两次计算个坐标轴增量进给
指令间的时间； ✓采样周期是坐标轴位置闭环控制系统的采样时间 ✓插补周期大于等于采样周期，一般为采样周期的整
数倍。 ✓插补周期对系统稳定性没有影响，影响轨迹精度。 ✓采样周期对系统稳定性和轮廓轨迹精度均有影响。 ✓插补周期增大，插补计算误差越大
第 四 章 CNC的插补原理
2020/6/14
3.1 基本概念
• 数控技术的基本原理
将被控设备末端执行部件的运动（或多个末端执 行部件的合成运动）纳入到适当的坐标系中，将 所要求的复杂运动分解成各坐标轴的简单直线运 动或回转运动，并用一个满足精度要求的基本长 度单位（Basic Length Unit，BLU）对各坐标轴进 行离散化，由电子控制装置（即数控装置）按数 控程序规定的运动控制规律产生与基本长度单位 对应的数字指令脉冲对各坐标轴的运动进行控制 ，并通过伺服执行元件加以驱动，从而实现所要 求的复杂运动。
A
X
一、逐点比较插补原理—圆弧插补
终点判别 ➢ 每进给一步后，都要进行一次终点判别，以确定是否 到达圆弧终点。 ➢ 圆弧插补的终点判别，可采用： ✓把总步数求出来 n = |xe-xo| + |ye-yo|，每走一步 n-1，
脉冲增量插补插补方法 ✓ 逐点比较法 ✓ 数字积分法（DDA） ✓ 比例积分法 ✓ 数字脉冲乘法器法 ✓ 矢量判别法 ✓ 目标点跟踪法
3.1 基本概念
数据采样插补又称时间标量插补、时间分割插补或 数字增量插补。
数据采样插补特点： ✓ 一次插补产生的不是单个脉冲，而是标准二进制字
✓ 插补运算分两步完成
用来判别刀具与直线的偏差
✓ F=0刀具在直线上 ✓ F>0刀具在直线上方 ✓ F<0刀具在直线下方
A(xa,ya)
B(xe,ye)
C(xc,yc)
B(xb,yb) X
一、逐点比较插补原理—直线插补
偏差计算（以第一象限插补为例）
偏差函数F的计算迭代公式
设在第一象限中的点（xi , yi）的F值为 Y
E(xe,ye) X
一、逐点比较插补原理—直线插补
偏差计算
思考： 偏差函数F的计算迭代公式（其余象限插补）
一、逐点比较插补原理—直线插补
偏差判别与进给（以第一象限为例）
✓ 若F ≥ 0，则沿+ x方向进给一步， 更新F：F - Ye → F ✓ 若F < 0，则沿+ y方向进给一步，更新F ：F + Xe → F
一、逐点比较插补原理—圆弧插补
偏差判别与进给（以第一象限逆圆为例） ✓ 若F ≥ 0，则沿- x方向进给一步， 更新 F - 2x + 1→ F
✓ 若F < 0，则沿+ y方向进给一步，更新 F + 2y+1 → F
Y
思考：偏差迭代公式、偏差
B F>0
判别与进给（第一象限顺圆、 其余象限逆圆和顺圆弧插补） F < 0 Pi（Xi，Yi）
B F>0
F<0
Pi（Xi，Yi）
A
X
一、逐点比较插补原理—圆弧插补
偏差计算（以第一象限逆圆为例）