函数单调性和奇偶性的综合应用题

函数单调性和奇偶性应用

【巩固练习】

⑴函数y=(2k+1)x+b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围是 ______

⑵函数f(x)=2x 2-mx+3当x ∈[2，+∞）时是增函数，则实数m 的取值范围 _____

⑶设f(x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值.

⑷已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝ ，

求f(x)、g(x). 【学习探究】 一、函数单调性的判断及应用 例1、试讨论函数 上的单调性

【变式训练】试讨论函数f(x) 上的单调性，其中a 为非零常数。

例2、函数f(x)＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则( )

A ．a ∈(－∞，1]

B ．a ∈[2，＋∞)

C ．a ∈[1,2]

D ．a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)

【变式训练】 已知函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，

求实数a 的取值范围．

例3、已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x －2)

值范围

二、函数奇偶性的判断和应用

例4.判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)=5x+3 （2）f(x)=x －2+x 4

（3） （4）

【例5】已知)(x f 是定义域R 为的奇函数，当0

的解析式.

11+x ),0()0(,)(+∞≠+=在a x

a x x f ）在（1,1-12-=x ax 2

211)(x x x f -++=⎪⎩⎪⎨⎧>++-=<-+=)0(32)0(0)0(32)(22x x x x x x x x f

三、单调性和奇偶性的的综合应用

例1： 设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为减函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小顺序

练习：

1：()y f x =在(0,2)上是增函数，(2)y f x =+是偶函数，则157(),(),()222

f f f 的大小关系

2：若函数2()f x x mx n =++，对任意实数x ，都有(1)(3)f x f x -=+成立，试比较(1),(2),(4)f f f - 的大小关系

3、已知函数21()4f x ax bx a b

=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b

4、若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。 例2：已知()y f x =在定义域(1,1)-上是增函数且为奇函数，(1)(21)0f t f t -+-<，求实数t 的取值范围.

例3：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-, 求()f x 的解析式.

例4：函数()y f x =是[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，解不等式(1)()f x f x -<。

练习：已知()f x 是定义在(1,1)-的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若

(2)(3)f a f a -<-，求a 的取值范围。

例5：已知函数()f x 是R 上的奇函数且是增函数，解不等式(45)0f x -+>。

练习：1.()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()x f f x f y y

=-。(1)求(1)f 的值；(2)若(6)1f =，解不等式1(3)()23

f x f +-<。 2.R +上的增函数满足()()()f xy f x f y =+，且(8)3f =，解不等式(2)(2)f f x +-≥6

【课后作业】

1．若2(3)21f x x =-，则()f x 的解析式为 。 2．求函数定义域(1)5()x f x -= (2)11y x x =-- 3.已知2211()1f x x x x

-=++，则函数()f x 的解析式 4.函数822+--=x x y 的单调增区间为

5.已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，则实数m 的值

6．已知函数53()8f x x ax bx =++-若(2)10f -=，则(2)f 的值

7．定义在实数集上的函数()f x ，对任意x y R ，∈，有

f x y f x y f x f y ()()()()++-=2且f ()00≠.

（1）求证f ()01=；（2）求证：y f x =()是偶函数。

8.已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调增函数，若

(1)(lg )f f x <，求x 的取值范围.

9. 函数2

()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12()25f =. (1)确定函数()f x 的解析式；

(2)用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；

(3)解不等式(1)()0f t f t -+<.

例6：定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若

f(1-a)+f(1-3a)<0，求实数a 的取值范围．

【变式练习】

已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是 ____ 函数，且最_____值是_________ .

【课后作业】

1.已知函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f (2)＝1，且f (x ＋5)＜1，求x 的取值范围

2.已知函数f (x)是R 上的偶函数，在[0， ＋∞）上是减函数，且f (2)＝0，求不等式x f (x)＜0的解.

3.已知函数f (x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f (3x)＜f (x ＋1)，求x 的取值范围.