高中数学北师大版选修11第一章教材点拨充分条件与必要条件word素材

充分条件与必要条件教材点拨一、充分条件命题的条件和结论是构成命题的两个部分，并且条件和结论可以互相转化。

当一个命题为假命题时，可以说条件不能推出结论；而当命题为真命题时，可以说由此条件能推出结论。

所以一个命题从条件和结论的角度看，条件与结论有着一定的关系，即：由条件能否推出结论？如果由命题的条件能推出结论，那么命题就是真命题，此时条件就叫结论的充分条件。

物理模型的直观解释：如图1-2-1 电路图，当开关A 闭合时，灯泡B 亮，而当灯泡B 亮时，开关A 却不一定是闭合的；即要使灯泡B 亮，只要开关A 闭合着一个条件就够了，我们就称“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分条件。

一般地，“若p ，则q ”是一个真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，即由p 可推出q ，记作p q ⇒，那么，就称条件p 是结论q 的充分条件（sufficient condition ）。

“若q ，则p ”是一个真命题，是指由q 通过推理可以得出p ，即由q 可推出p ，记作q p ⇒，那么，就称q 是p 的充分条件（sufficient condition ）。

例如：①211x x =-⇒=，那么，“1x =-”是“21x =”成立的充分条件；②224a a >⇒>，那么，“2a >”是“24a >”成立的充分条件；③三边对应相等的两个三角形全等：“三边对应相等”是“两个三角形全等”的充分条件；④“1m =”是函数22(33)m y m m x =-+为幂函数的充分条件；警示：充分条件就是某一个结论成立应该具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论，或者要是此结论成立，只要具备此条件就够了，而当命题不具备此条件时，结论也有可能成立。

例如，当4x =时，216x =成立，但是，当4x ≠时，216x =也可以成立，即4x =-时，216x =也成立，所以，4x =是216x =成立的充分条件，4x =-也是216x =成立的充分条件。

【例】仿照示例改写下列命题，并判断条件是否为充分条件：示例：若1x >，则21x >，可以改写成：211x x >⇒>；是充分条件；（1）个位数字是0的自然数能被5整除；（2）对角线相等的四边形是矩形； 图1-1（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）若定义域为R 的函数()f x 为奇函数，则(0)0f =解：（1）个位数字是0的自然数⇒这个自然数能被5整除；是充分条件；（2）四边形的对角线相等⇒这个四边形是矩形；不是充分条件；（3）两条直线与同一平面所成的角相等⇒这两条直线平行；不是充分条件；（4）定义域为R 的函数()f x 为奇函数⇒(0)0f =；是充分条件。

点拨:本例还是练习命题的条件和结论，同时判断此命题的真假，由命题的真假可以判断条件是否为充分条件，当命题为真时，条件是充分条件；当命题为假时，条件不是充分条件。

针对性练习：下列各题中，哪些p 是q 的充分条件：（1）p ：0,n >且11n<，q ：1n >； （2）p ：5x y +=，q ：223710x y x y --+=；（3）p ：0a b +<，q ：220a b -<；（4）p ：直线1l ∥平面α，2l α⊂平面，q ：1l ∥2l 。

解：（1）p 是q 的充分条件；（2）p 是q 的充分条件；（3）p 不是q 的充分条件；（4）p 不是q 的充分条件；点拨：可以用两种方法判断：（一）判断命题的真假，如（4）是命题如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都平行，是假命题；（二）由p q ⇒：（1）因为11n<且0,n >所以1n <，即1n >； （2）由5x y +=得：5y x =-代入2237x y x y --+得：22(5)37(5)10x x x x ---+-==右边；（3）观察22()()a b a b a b -=+-，式子的正负是由a b +和a b -两个式子的符号确定的，不能由一个式子a b +的符号确定。

二、必要条件图1-2如图1-2 电路图，当开关A 闭合时，灯泡B 不一定亮，但是当开关A 不闭合时，灯泡B 一定不亮；当灯泡B 亮时，可以知道开关A 一定是闭合的；所以要使灯泡B 亮，开关A 必须是闭合的，我们称开关A 闭合是灯泡B 亮的必要条件。

一般地，“若p ，则q ”是一个真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，即由p 可推出q ，记作“p q ⇒”那么，结论q 是条件p 的必要条件（necessary condition ）。

“若q ，则p ”是一个真命题，是指由q 通过推理可以得出p ，即由q 可推出p ，记作“q p ⇒”，那么，就称p 是q 的必要条件（necessary condition ）。

警示：由必要条件的定义可以看出，必要条件与充分条件是一个真命题的两种说法：①真命题的条件是充分条件，②真命题的结论是条件的必要条件，即如果此结论不成立，那么条件也就不成立。

假命题的条件不是命题结论成立的充分条件，但是有可能是必要条件，例如，命题：“若p ：23x =，则q ：x =p 不是q 的充分条件；由q p ⇒，所以p 是q 的必要条件。

【例】已知命题“若p ：1m <-，则q ：20x x m --=无实数根”，试判断p 是q 的什么条件？q 是p 的什么条件？解： p 是q 的充分条件，不是必要条件，q 是p 的必要条件，不是充分条件。

点拨：方法（一）方程20x x m --=无实数根，所以14m <-，所以当1m <-时，方程20x x m --=无实数根，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，又因为由14m <-不能推出1m <-，所以由q 不能推出p ，q 不是p 的充分条件，p 不是q 的必要条件。

方法（二）命题“p ：1m <-，q ：20x x m --=无实数根”等价于“p ：1m <-，q ：14m <-”，因为1(,1)(,)4-∞--∞-，所以命题“若p ：1m <-，则q ：14m <-”为真命题，命题“若q ：14m <-，则p ：1m <-”是假命题，由命题的真假来判断充分条件和必要条件。

针对性练习：判断下列各命题中，p 是q 的什么条件？q 是p 的什么条件？（1）p ：0,0x y >>，q ：0x y +>；（2）p ：4x >，q ：4x >；（3）p ：2m =-，q ：直线(2)30m x my -++=与直线30x my --=互相垂直；（4）p ：23x x ==或，q：3x -=解：（1）p 是q 的充分条件，不是必要条件，q 是p 必要条件，不是充分条件；（2）p 是q 的必要条件，不是充分条件，q 是p 充分条件，不是必要条件；（3）p 是q 的充分条件，不是必要条件，q 是p 必要条件，不是充分条件；（4）p 是q 的必要条件，不是充分条件，q 是p 充分条件，不是必要条件；点拨：（1）（2）根据不等式的性质可以判断；（3）（4）验证法和直接推导相结合。

三、充要条件利用下列电路图，我么可以形象的理解充分条件、必要条件、充要条件：如图1-3的四个电路图甲、乙、丙、丁，开关为A ，C ，灯泡为B ，将“开关的闭合”作为条件，“灯泡亮”作为结论图乙中，开关A 闭合时，灯泡B 不一定亮，即由开关A 闭合，不能推出灯泡B 亮，但是当灯泡B 亮时，开关A 一定是闭合的，即由灯泡B亮，一定能推知开关A 闭合，我们称“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；图丁中，“开关A 闭合”不能推知“灯泡B 亮”，即由开关A 闭合，不能推出灯泡B 亮，而当灯泡B 亮时，也不能确定开关A 是否闭合，即由灯泡B 亮，也不能推知开关A 闭合，所以，我们称“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件。

图甲，请同学们画出开关A ，C ，，使得当开关A 闭合时，灯泡B 亮，而当灯泡B 亮时，开关A 不一定闭合，即由开关A 闭合，能推知灯泡B 亮，由灯泡B 亮，推知开关A 不一定是闭合，此时称“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分也不必要条件；图丙，请同学们画出开关A ，使得开关A 闭合，则灯泡B 亮；灯泡B 亮时，开关A 闭合，甲 丙 图1-3即“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分必要条件，简称为充要条件。

再如，已知p ：数列{}n a 是等差数列，q ：对任意的*n N ∈，有1n n a a d +-=（常数）。

我们知道，由p q ⇒，且q p ⇒，所以p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件；我们就称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。

我们还可以发现，q 既是p 的充分条件，又是p 必要条件，所以q 也是p 的充要条件。

一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作：p q ⇔此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition ）,显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件。

概括地说，如果p q ⇔，那么p 与q 互为充要条件。

引申与思考：（1）命题成立的条件一共可以分为四种条件：①充分不必要条件，即p q ⇒但是q p ≠>；②必要不充分条件：q p ⇒但是p q ≠>；③充要条件：p q ⇒且q p ⇒；④既不充分也不必要的条件：即p q ≠>且q p ≠>。

（2）充要条件的意义是：p 是q 的充要条件就是“有p ，则q 必成立；无p ，则q 必不成立”，简记为“有之必有果，无之则无果”。

（3）判断四种条件的步骤是：第一步，分清条件是什么，结论是什么；第二步，尝试用条件推结论（证明充分性），再尝试用结论（作为条件）去推条件（证明必要性）。

其中列举反例法是得出不具有充分性和必要性的重要方法。

第三步，得出条件是结论的什么条件。

（4）图甲，将两个开关A ，C 并联后与灯泡B 串联；图丙，【例】判断下列条件，p 是q 的什么条件？（1）△ABC 中，Ｍ是AB 的中点，p ：90C ∠=，q ：AM BM CM ==（2）p ：若函数2y ax bx =+过原点，q ：,a R b R ∈∈（3）p ：a b =，q ：直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切（4）已知,,a b c 为在同一平面内的非零向量。

p ：a b a c =，q ：b c =解：（1）（2）的p 是q 的充要条件；（3）p 是q 的充分不必要条件；（4）p 是q 的必要不充分条件，点拨：（1）（2）需要判断充分性和必要性，分两步来证明。