立体几何求角

立体几何求角

一•解答题(共8小题)

1 如图，在正四棱锥P-ABCD中, PA=AB=a E是棱PC的中点.

(1)求证：PC X BD；

(2)求直线BE与PA所成角的余弦值.

2. 如图，已知△BCD所在平面互相垂直，且/ BAC玄BCD=90 , AB=AC CB=CD点E, F分别在线段BD, CD上，沿直线丘卩将厶EFD向上翻折使得D与A重合

(I)求证：AB丄CF;

(H)求直线AE与平面ABC所成角.

3. 如图，在直三棱柱ABC- A1B1O中，AB=AC=5 BB=BC=6 D, E分别是AA和B i C的中点.

(1)求证：DEI BC

(2)求三棱锥E- BCD的体积.

4. 如图：ABCD是平行四边形，AP丄平面ABCD BE// AP, AB=AP=2 BE=BC=1 / CBA=60

(1)求证：EC/平面PAD；

(2)求证：平面PACL平面EBC

(3)求直线PC与平面PABE所成角的正弦值.

5. 如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD M N分别是AB PC 的中点，PA=AD=1 AB=2

(1)求证：MIN/平面PAD

(2)求证：平面PMC_平面PCD

(3)求点D到平面PMC的距离.

6. 如图，在四棱锥P- ABCD中, AD丄平面PDC AD// BC, PD丄PB, AD=1, BC=3, CD=4, PD=2

(I)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

(n)求证：PD丄平面PBC

(川)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

7. 如图，已知三棱锥P- ABC PU平面ABC / ACB=90，/ BAC=60 , PA=AQ M 为PB 的中点.

(I)求证：PC X BC

(n)求二面角M- AC- B的大小.

&如图，四棱锥P-ABCD中, PD丄底面ABCD且底面ABCD为平行四边形，若/ DAB=60 , AB=2, AD=1.

(1)求证：PA X BD

(2)若/ PCD=45，求点D到平面PBC的距离h.

立体几何求角

一•解答题（共8小题）

1 如图，在正四棱锥P-ABCD中, PA=AB=a E是棱PC的中点.

（1）求证：PC X BD；

（2）求直线BE与PA所成角的余弦值.

【解答】证明：（1厂••四边形ABCD为正方形，且PA=AB=a

•••△PBC △PDC都是等边三角形，…（2分）

•E是棱PC的中点，

•BE X PC, DEI PC,又BE n DE=E

•PC丄平面BDE・・（5 分）

又BD?平面BDE

•PC X BD・・（6 分）

解：（2）连接AC,交BD于点O连OE

四边形ABCD为正方形，•O是AC的中点•••（8分）

又E是PC的中点•OEACP的中位线，•AP// OE

•/ BEO即为BE与PA所成的角•••（10分）

在Rt△BOE中, BE=「|, EO= . ,,-（12 分）

•cos / BEO丄-.

BE - 3

•直线BE与PA所成角的余弦值为「（14分）

3

2. 如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且/ BAC玄BCD=90 , AB=AC CB=CD 点E, F分别在线段BD CD上，沿直线丘卩将厶EFD向上翻折使得D与A重合

（I）求证：AB丄CF;

（H）求直线AE与平面ABC所成角.

R

【解答】解：（1）面ABCL 面BCD 面AB6面BCD=BC / BCD=90

> CF 丄 BC,

> FC 丄面ABC

> AB 丄CF ・・（5 分）

（2 ） 设 21' ' 1 ■ 1 I-'

- - 'I 1

，设 BE=t ,贝U ED=EA=2 — t , 又二「-J 匚一

面ABC 丄面BCD

面ABCri 面BCD 二BC =AH 丄面7分） AH1BC 丿

又 AH!面 BCD AE^AH+EH ,.— 2 - t ）二+t 2

- t+丄, 2 2

••• _〕.，•••点 E 是 BD 的中点，•••（ 10 分）

HE// BC, • HE!面ABC / BEA 为所求角的线面角…（12分）

宀./■ . 口 •••（ 14 分）

所以直线AE 与平面ABC 所成角为」••（ 15分）.

3. 如图，在直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，AB=AC=5 BB=BC=6 D, E 分别是 AA 和BQ 的中点.

（1） 求证：DEI BC ；

（2） 求三棱锥 E - BCD 的体积.

a

取BC 的中点H,连接HE AH

【解答】证明：(1 )取BC中点F,连结EF, AF,则EF A BCB的中位线，/•EF// BB, EF= BB,

2

•/AD// BB, AD」-BB,「. EF/ AD, EF=AD 二四边形ADEF是平行四边形，二DE// AF,

2

•/ AB=AC F 是BC的中点，•••AF丄BC, /• DEI BC.

(2)T BB 丄平面ABC AF?平面ABC •- BB 丄AF,

又•••AF丄BC BC?平面BCCB i , BB?平面BCCB i , BC A BB=B,

•AF丄平面BCCB i , •DEL平面BCCB i ,

•/ AC=5, BC=6 •CF丄：「=3 , •AF= ‘_「r「=4 , /. DE=AF=4 ■/ BC=BB=6 , •• S A BCE=^厂=9.

•三棱锥E- BCD的体积 V=」S A BC E?DE==12.

3 3

4. 如图：ABCD是平行四边形，AP丄平面ABCD BE/ AP, AB=AP=2 BE=BC=1 / CBA=60

(1)求证：EC//平面PAD

(2)求证：平面PACL平面EBC

(3)求直线PC与平面PABE所成角的正弦值.

Bi