如何通过解题反思来培养学生思维能力

如何通过解题反思来培养学生思维能力

摘要：数学是思维的体操. 在数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心. 但学生思维能力的提高，优良思维品质的养成，并非朝夕之功，需要持之以恒地进行培养和训练

反思是对思维结果进行检验和再认识的过程，是自觉地对数学知识进行考察、分析、总结、评价、调控的过程，是学生调控学习的基础，是认知过程中强化自我意识，进行自我监控、自我调节的主要形式. 荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力.”引导学生反思能促使他们从新的角度，多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的思考；通过反思可以提高数学意识，优化思维品质. 下面探讨如何通过解题反思来培养学生思维的批判性、深刻性与广阔性.

一、通过解题反思，培养学生思维的批判性

思维的批判性，就是善于发现问题，提出问题，辨别是非，评价优劣的一种思维品质. 通过解题反思，可以帮助学生找出错误. 但找出错误还不是目的，重要在于纠正错误. 解题反思，不仅有利于学生加深对问题的认识，也有利于培养学生思维的批判性. 值得注意的是，当学生独立思考过程中出现了片面性和表面性时，教师不应批评和斥责，相反地，应注意及时鼓励、引导、启发，让学生感受成功的喜悦.

例1 若sin α = ■，sin β = ■，且α，β为锐角，求α + β的值.

学生通常有两种解法：

解法一∵α，β为锐角，sin α = ■，sin β = ■.

∴cos α = ■，cos β = ■，∴cos（α + β）= cos α cos β - sinα sin β = ■ .

又0° < α + β < 180°，∴α + β = 45°.

解法二∵α，β为锐角，

sin α = ■，sin β = ■，∴cos α = ■，cos β = ■. ∴sin（α + β）= sin α cos β - cos α cos β = ■.

又0° < α + β < 180°，∴α + β = 45°或135°.

这两种解法中解法二的同学占多，因为学生习惯先考虑正弦. 教师可有意让两种解法的代表上台板演，然后让学生反思一下，究竟是什么原因导致不同的答案呢？

学生反思后，分组讨论，畅他们之所想，然后学生代表发言. 最后教师归纳总结：解法一是正确的，因为y = cos x在[0，π]上是单调函数. 解法二是错误的，它忽视了题目中隐含的条件，忽视了对角的范围的限制.

这样通过设问、讨论、发言，使学生发现错误，找出错误原因，引导学生对问题深入思考，在纠正过程中充分发挥学生的主体作用，同时暴露了学生思考问题的不严密性，从而优化思维品质，培养学生思维的正确性和批判性.

二、通过解题反思，培养学生思维的深刻性

思维的深刻性就是善于透过纷繁的现象发现问题的思维品质. 它是一切思维品质的基础，它集中表现在具体进行思维活动时善于深入地思考问题，抓住其本质和规律，从而圆满地解决问题. 这就要求学生不迷恋于问题的表面现象，能思考问题的本质和规律. 通过解后反思，能帮助学生抓住问题的本质，深入细致地加以分析和研究，而不被表象所迷惑.

1. 深化知识

反思解题过程中所涉及的数学知识，数学知识在解题中的作用，剖析每个知识的内涵及外延，不仅有利于深化知识、巩固知识，也有利于思维深刻性的培养.

例2 已知a，b是互不相等的实数，且使等式a2 + a - 1 = 0，b2 + b - 1 = 0成立，求a2b + ab2的值.

问题一给出，学生就忙开了，先求出a，b，再代入.

学生解完之后，教师引导学生反思解题的思维过程，发现a，b其实是同一个方程的两个不同的解，应用一元二次方程韦达定理可得. 通过反思，既深化了方程的概念，又培养了学生思维的深刻性.

2. 总结基本规律

一类数学问题，其解法往往有规律可循，为了发现其规律，必须要求对问题、解题过程深入研究. 因而教师应教会学生从解题中及时归纳总结其基本规律，把特例纳入一个已知的更一般的范围，加深对已有的有关规律的认识，或把孤立、特殊的解法看作更一般的尚未为他人所知的规律，从特殊扩大到一般，以达到举一反三的目的，让学生从茫茫的题海中解脱出来. 这不仅有利于学生对基本技能的掌握和运用，也有利于学生思维概括性、深刻性的培养.

例3 等差数列求和公式的推导.

问题1.求Sn = 1 + 2 + 3 + … + 50.（用高斯小时候的故事引入）

问题2.求Sn = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

问题3.求Sn = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17.

问题4.求等差数列{an}的前n项的和Sn = a1 + a2 + a3 +… + an.

用高斯小时候的故事激发学生的探知欲望，学生很兴奋地完成了问题1的求解，脸上还洋溢着自信. 然后让学生来求解问题2，3，自然水到渠成.

学生解完之后，教师并不作讲评、总结，而是启发、引导学生对前面所解决的三个问题进行反思，找出规律，从而解决了等差数列前n项和的求解问题.

三、通过解题反思，培养学生思维的广阔性

思维的广阔性，又称思维的发散性，是一种不依常规寻求变异，从多角度、多方面去思考问题，寻求解答的思维品质. 数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题途径繁多，但最终却能殊途同归. 即使是一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，是最优最简捷的解法. 不能解完题就此罢休，如释重负.

数学是思维的体操. 在数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心. 但学生思维能力的提高，优良思维品质的养成，并非朝夕之功，需要持之以恒地进行培养和训练.