浙江省绍兴市新昌县2020-2021学年高三上学期1月教学质量调测数学试题

浙江省绍兴市新昌县2020-2021学年高三上学期1月教学质量调测数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{1,U =2，3，4，5}，{1,UA =3，5}，则(A = )A. {1,2，3，4，5}B. {1,3，5}C. {}2,4D.C利用补集定义直接求解． 全集{1,U =2，3，4，5}，{1,UA =3，5}，{}2,4A ∴=．故选C ．本题考查集合的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2. 复数z 满足(1i)2i z +=-，则||z =（ ）．B.2C.B先求得z ，然后求得z .()()()()2121313111222i i i i z i i i i ----====-++-，所以z ==故选：B 3. 若实数x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）．A. 33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. [3,3]-C. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦A画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的取值范围.画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取得最大值为1132222+⨯=，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()1,1B --时，z 取得最小值为()1213-+⨯-=-，所以z 的取值范围是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A4. 函数()||2cos x f x x =在区间[,]-ππ上的图象可能是（ ）．A. B. C.D.D先判断函数的奇偶性排除A,B 选项，再结合函数特殊值即可得答案. 解：判断函数奇偶性：()()()2cos 2cos xxf x x x f x --=-==，故函数为偶函数，排除A,B 选项；又因为x π=时，()2cos 20f ππππ==-<，故C 选项不正确.故选：D.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5. 已知点F 为双曲线221:13x C y -=的左焦点，点P 为双曲线1C 与圆222:(2)3C x y -+=的一个交点，则||PF =（ ）． 3 B. 23+ C. 33 D. 63C根据双曲线的定义可得22PF PF a -=，计算可得；解：设2F 为双曲线221:13x C y -=的右焦点，又圆222:(2)3C x y -+=的半径为3如图连接2PF ，则23PF =22PF PF a -=，即223PF PF -=所以33PF =故选：C6. 已知数列{}n a 满足150a =，121n n a a +=-，则满足不等式10k k a a +⋅<的k （k 为正整数）的值为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6D先求得{}n a 的通项公式，然后解不等式10k k a a +⋅<求得k 的值. 依题意11122n n a a +=-， ()11112n n a a ++=+， 所以数列{}1n a +是首项为50151+=，公比为12的等比数列， 所以111512n n a -⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，所以115112n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，由10k k a a +⋅<得111511511022k k -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅-<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即111021511022kk ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅-<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即111102251k⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 345671111111111,,,,282162322642128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，所以由111102251k⎛⎫<< ⎪⎝⎭可知6k =.故选：D7. 已知sin cos sin cos θθθθ-=，则角θ所在的区间可能是（ ）．A. 0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭B先化简已知得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案.由sin cos sin cos θθθθ-=得，sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对于A ， 当0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,044ππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，sin 04πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，而0,22θπ⎛⎫⎪⎝⎭∈，sin20θ>，两个式子不可能相等，故错误；对于B ，当,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,44ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()0,24πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ，22,ππθ∈⎛⎫⎪⎝⎭，()sin20,1θ∈，存在θ使得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故正确；对于C ， 3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，42,4πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,22πθπ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误；对于D ， 当3,4πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3,424πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,222ππθ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误故选：B .本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力.8. 在ABC 中，AD BC ⊥，将ABC 沿AD 翻折，若存在某个位置使1AB AB ⊥，则下列说法一定正确的是（ ）．A. AB AC ≥B. AD CD ≥C. BD AD ≥D. BD CD ≥C根据最小角定理可知，145ABD ABB ∠≤∠=，所以可得BD AD ≥，其它可验证不一定正确． 因为1AB AB ⊥且1AB AB =，所以145ABB ∠=．根据最小角定理可知，145ABD ABB ∠≤∠=，当且仅当1B 在BC 上时取等号，所以BD AD ≥，C 正确．其它不能确定，不一定正确．如：若1B 在线段DC 上（不与端点C 重合）时，则AB AC <，BD CD <，AD CD <．故选：C ． 本题主要考查最小角定理的理解和应用，属于基础题．9. 已知,a b ∈R ，若函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>，则下列结论可能成立的是（ ）． A. 0ae b >> B. 0ae b >> C. 0b ae >> D. 0ae b >>D根据题意将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个实数根，进而令()(),0,xe g x x x=∈+∞，再研究函数()g x 的单调性得0be a>>，进而分0a >和0a <讨论即可得答案. 解:当0a =时，函数()f x 只有一个零点，故0a ≠， 因为函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>所以方程xb e a x=在0,上有两个不相等的实数根.令()(),0,x e g x x x =∈+∞，()()21'x x e g x x -=，所以当()1,∈+∞x 时()'0g x >，()0,1∈x 时()'0g x <，故函数()(),0,xe g x x x=∈+∞在1,上单调递增，在0,1上单调递减；所以()()min 1g x g e ==，所以0be a>>， 当0a >时，0b ae >>，当0a <时，0b ae <<.故选：D.本题考查利用导数研究函数零点问题，解题的关键在于将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个不相等实数根，进而令()g x 研究函数的单调性即可.考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.10. 已知集合{}*N 0A x x y =∈=≥∣，若B A ⊆且集合B 中恰有2个元素，则满足条件的集合B 的个数为（ ）． A. 1 B. 3 C. 6 D. 10B将方程平方整理得()2224820y xy x x -+-=，再根据判别式得04x ≤≤，故1,2,3,4x =，再依次检验得{}2,3,4A =，最后根据集合关系即可得答案.解:根据题意将x =22x x =+ 继续平方整理得：()2224820y xy x x -+-=，故该方程有解. 所以()222641620x x x ∆=--≥，即240x x -+≥，解得04x ≤≤， 因为*N x ∈，故1,2,3,4x =，当1x =时，易得方程无解，当2x =时，240y y -=，有解，满足条件； 当3x =时，242490y y -+=，方程有解，满足条件； 当4x =时，28160y y -+=，方程有解，满足条件； 故{}2,3,4A =，因为B A ⊆且集合B 中恰有2个元素， 所以B 集合可以是{}2,3，{}2,4，{}3,4.故选：B.本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为()2224820y xy x x -+-=，再结合判别式得1,2,3,4x =，进而求出集合{}2,3,4A =.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.非选择题部分（共110分）二､填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11. 已知2log 3a =，则4a =________． 9把2log 3a =代入4a 可得答案.因为2log 3a =，所以222log 3log 34429a ===.故答案为：9.12. 已知1cos()3πθ+=，[0,]θπ∈，则sin θ=________，tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．(1).3 (2). 97- 根据三角诱导公式、同角公式以及和差公式即可求解. 由1cos()cos 3πθθ+=-=，则1cos 3θ=-，因为[0,]θπ∈，则sin 3θ==，sin tan cos θθθ==-所以tan 19tan41tan 7πθθθ+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭故答案为：3；97- 13. 在()2289*012389(1)(12),m n x x a a x a x a x a x a x m n ++=++++⋅⋅⋅++∈N 的展开式中，若932a =，则m =________，8a =________．(1). 4 (2). 208分别计算出(1)m x +和(12)n x +的展开式中含x 的最高次项的系数相乘可得n ，结合已知展开式中x 的最高次为9，可得m ；先计算4(1)x +的展开式中含3x 的项和5(12)x +的展开式中含5x 的系数，再计算4(1)x +的展开式中含4x 的项和5(12)x +的展开式中含4x 的项的系数可得8a .(1)m x +的展开式中含x 的最高次项为m mmC x ，(12)n x +的展开式中含x 的最高次项为C (2)n nn x ，所以(1)(12)m n x x ++展开式中含x 的最高次项为C (2)2n n m m n m nn m x C x x +=，所以9322na ==，解得5n =，由已知得展开式中x 的最高次为9，所以9m n +=，4m =；4(1)x +的展开式中含3x 的项为334C x ，5(12)x +的展开式中含5x 的项为555C (2)x ，所以45553128C 2C ⨯=，4(1)x +的展开式中含4x 的项为444C x ，5(12)x +的展开式中含4x 的项为445C (2)x ， 所以44544280C C ⨯=， 所以8208a =.故答案为：①4；②208.本题考查了二项式定理展开式的性质，解题关键点是熟练掌握并应用二项展开式中的通项公式进行计算，考查了学生的计算能力.14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．(1). 8 (2). 2462+根据三视图还原该几何体的直观图，然后可计算出答案.根据三视图可得该几何体的直观图如下，其中满足PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，3,4,42PA AC BC AB ====所以其体积为11443832⨯⨯⨯⨯=，表面积为111144434234524622222⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=+故答案为：8；2462+15. 已知直线:2()l y kx k =+⋅∈R 过定点P ，且与圆22:(1)4C x y -+=交于A ，B 两点，若A 点在B 点上方，则||||PA PB 的最小值是________． 945-先求得P 的坐标，利用圆的知识化简||||PA PB ，并求得||||PA PB 的最小值.直线2y kx =+过定点()0,2P ，圆22:(1)4C x y -+=的圆心为()1,0C ，半径为2r，所以直线2y =与圆C 相切，设切点为Q ，则1PQ =，根据切割线定理得21PA PB PQ ⋅==，则1PA PB=， 所以2||||PA PB PA =， PA最小值为2212252PC r -=+=，所以2PA 也即||||PA PB 的最小值为)252945=-故答案为：945-16. 小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是x ，第二个球的号码是y ，记2x y ξ=+，则(7)P ξ==________；若公司规定9,8,7ξ=时，分别为一二三等奖，奖金分别为1000元，500元，200元，其余无奖．则小张玩游戏一次获得奖金的期望为________元． (1).536(2). 2503根据27x y=ξ=+可知，可能出现的情况有13x y =⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩，再分别求出对应事件的概率相加即可得到(7)P ξ=；分别求出9,8,7ξ=对应的概率，再根据期望公式即可求出． 由题可知，取一次球，取得号码是1的概率是12，取一次球，取得号码是2的概率是13，取一次球，取得号码是3的概率是16，当27x y=ξ=+，所以13x y =⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩， 故11115(7)266336P +=ξ==⨯⨯．因为2x y ξ=+，若9,8,7ξ=，由上可知5(7)36P =ξ=，当28x y=ξ=+，则23x y =⎧⎨=⎩，所以111(8)3618P ==ξ=⨯，当29x y=ξ=+，则33x y =⎧⎨=⎩，所以111(9)6636P ==ξ=⨯，设奖金为X ，则()1157013618369P X ==---=. 则它的分布列为所以()11572501000500200036183693E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 故答案为：536；2503．本题主要考查相互独立事件同时发生的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式的应用，以及离散型随机变量的期望的求解，属于中档题．17. 已知向量a ，b 及实数t 满足|(1)(1)|1t a t b ++-=，若22||||1a b -=，则t 的最大值是________．14根据|(1)(1)|1t a t b ++-=，整理为()()||1t a b a b ++-=，再两边平方结合22||||1a b -=，得到()()22212ta b a b t ++-=-，然后利用基本不等式求解.因为|(1)(1)|1t a t b ++-=， 所以()()||1t a b a b ++-=， 两边平方得()()()()22221t a bt a b a b a b+++-+-=，因为22||||1a b -=，即()()1a b a b +-=， 所以()()22212t a b a bt ++-=-，而()()()()22222t a ba b t a b a b t ++-≥+⋅-=，所以122t t -≥，解得14t ≤，当且仅当()()t a b a b +=-时等号成立， 所以t 的最大值是14故答案为：14关键点点睛：本题关键是由22||||1a b -=这一信息，将|(1)(1)|1t a t b ++-=，转化为()()||1t a b a b ++-=，再遇模平方，利用基本不等式从而得解.三､解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．18. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos ccos a A b C B -=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a =，求b c +的取值范围． （Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）4]b c +∈.（Ⅰ）将2cos cos ccos a A b C B -=化为2sin cos sin cos sin cos A A B C C B -=，然后变形可得答案；（Ⅱ）2(sin sin )sin sin sin 32a b c B C B B A π⎫⎛⎫+=+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎭，然后将其化成正弦型函数，可得答案.（Ⅰ）由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B -= 即2sin cos sin cos sin cos sin()sin =+=+=A A B C C B B C A 又因为sin 0A ≠，所以1cos 2A =， ∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=（Ⅱ）2(sin sin )sin sin sin 3a b c B C B B A π⎫⎛⎫+=+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎭13sin sin sin 22B B B B B ⎫⎫=++=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭4sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 62B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦即4]b c +∈19. 已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，11AA AC CA BC ===，1AB =．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）求直线1AB 与平面1A BC 所成角的大小． （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60︒.（Ⅰ）作1A H AC ⊥于H ，可证1A H ⊥面ABC ，则1A H BC ⊥，结合勾股定理可证1AC BC ⊥，即可证得BC ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）几何法： 取1A C 的中点G ，易证AG ⊥面1A BC ，则ADG ∠为所求线面角；坐标法：以AC 中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量坐标夹角公式求解即可. （Ⅰ）如图所示：证：作1A H AC ⊥于H ．因为1A H AC ⊥，1A H ⊂面1A AC ，面1A AC ⊥面ABC 且交于AC ． ∴1A H ⊥面ABC ，因为BC ⊂面ABC ，∴1A H BC ⊥（1）在1A BC 中，由1BC A C =，12AB BC =，得到22211BC AC A B += ∴190ACB ∠=︒，即1AC BC ⊥（2）， 由（1）（2）得BC ⊥面1A AC ． （Ⅱ）方法1（几何法）如图所示：取1A C 的中点G ，取1A B 的中点D ，连AG ，DG ，则1AG AC ⊥， 由（Ⅰ）可知面1A BC ⊥面1A AC ，且面1A BC面11A AC AC =所以AG ⊥面1A BC ，则ADG ∠为所求线面角． 在1A AC ，设112AC CA AA a ===，则3AG a =， 由D 、G 分别为1A B ，1A C 中点，得12DG BC a ==， 在Rt ADG 中，3tan 3AG aADG DG ∠===， 即直线1AB 与平面1A BC 所成角60︒ 方法2（坐标法）以AC 中点O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：设2AC =，(1,0,0)A ，(1,2,0)B -，(1,0,0)C -，13)A ，1(13)CA =，(0,2,0)CB =． 设平面1A BC 的法向量(,,)n x y z =，则由100n CA n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得03y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩．取(3,0,1)n =-．11(2,2,0)(1(AB AB AA =+=-+-=-， 记所求线面角为θ，则143sin cos ,AB n θ=<>==． 即直线1AB 与平面1A BC 所成角60︒． 求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． （2）、用空间向量坐标公式求解.20. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，141n n n S a a +=⋅+，11a =． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若2na nb =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．记23411223341n n n n b b b bA TT T T T T T T ++=+++⋅⋅⋅+，1231111n n B S S S S =+++⋅⋅⋅+，求证：52n n A B +<，*n ∈N ．（Ⅰ）21n a n =-，*n ∈Z ，2n S n =；（Ⅱ）证明见解析.（Ⅰ）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n n b -=，即可求出{}n b 的前n 项和为n T ，则11131124141n n n n n b T T +++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再利用裂项相消法求和得出12n A <，再利用放缩法21111n n n <--得到122n B n <-<，即可得证；解：（Ⅰ）∵141n n n S a a +=⋅+，11a =， ∴11241S a a =⋅+，∴23a =， 当2n ≥时，有1141n n n S a a --=+，∴11144n n n n n n S S a a a a ++--=-，∴()114n n n n a a a a +-=-， ∵0n a ≠，∴114n n a a +--=∴数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，2114(1)2(21)1n a n n -=+-=--，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，234(1)221n a n n =+-=⋅-，∴21n a n =-，*n ∈Z ， ∴()21212nn n S n +-==．（Ⅱ）因为2n a n b =，所以212n n b -=，()1352122222413n nn T -=+++⋅⋅⋅+=-， ()()()()2111111294311222241414141414133n n n n n n n n n n n b T T ++++++⎛⎫===- ⎪----⎝⎭--，1n =时，125A =，11B =，1152A B +<． 2n ≥时，2231311311311241412414124141n n n A +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭113111311234122412n n ++⎛⎫=+=-⋅< ⎪--⎝⎭． 22111111111112222231n B n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴52n n A B +<∴52n n A B +<，n *∈N ．数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列和或差数列的求和．21. 已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>，点(0,1)是椭圆1C 的一个顶点．过抛物线22:1C y x =+上一点P ，作抛物线2C 的切线l 与椭圆1C 交于两个不同点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）若||||PA AB =，求切线l 的方程．（Ⅰ）22115x y +=；（Ⅱ）2y x =或2y x =-． （Ⅰ）利用待定系数法求椭圆的方程；（Ⅱ）方法一：利用导数的几何意义，求切线方程，与椭圆方程联立，利用点A 是线段PB 的中点，利用根与系数的关系，建立关于0x 的方程，求解点P 的坐标，求切线方程；方法二：设切线l 的方程为：y kx m =+，与抛物线和椭圆方程联立，利用弦长公式求解0112x x x x -=-，去绝对值后利用根与系数的关系求k 与m . （Ⅰ）由题可知，1a =，又25e =，可得215b =，所以椭圆1C 的方程是22115x y +=． （Ⅱ）方法一：设()00,P x y ，因为2y x '=， 所以抛物线的切线l 的方程为()0002y y x x x -=-，整理可得20021y x x x =-+由200222151y x x x y x ⎧=-+⎨+=⎩，得：()222002151x x x x -++= 整理可得()()()2222200000454120x x x x x x x ++-+-=()()()()22222224220000000001614452562041450x xx x x x x x x ∆=-+-=-=->-即20145x <．设()11,A x y ，()22,B x y ，则由韦达定理可知()2001224145x x x x x -+=+．不妨设00x >，12x x >，由||||PA AB =可得A 为PB 的中点． 所以1022x x x =+，那么有()10123x x x x =++ 所以()()220000022000418134545245x x x x x x x x -+=+=+++所以()(()()220000220022181345245x x x x x x -++⨯=++所以2027x =+，即4200473770x x +-=所以()()220047710x x +-=，解得201x =所以切线l 的方程为：2y x =或2y x =-． 方法二：设切线l 的方程为：y kx m =+．由21y kx my x =+⎧⎨=+⎩，得：210x kx m --+=． 因为l 与抛物线2C 相切，所以2440k m ∆=+-=，可得24(1)k m =--①．设()00,P x y ，可知02k x =．由22115y kx m x y =+⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩，得：()2225210k x kmx m +++-=，因l 与椭圆1C 相交于不同两点，所以()224550k m ∆=-+>②．由①②可得，9,15m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．设()11,A x y ，()22,B x y ，由市达定理可知12225km x x k +=-+，212215m x x k -=+．由||||PA AB =0112x x -=-，即0112x x x x -=-． 不妨考虑012x x x >>的情形，此时由0112x x x x -=-可得：12022kx x x -==．由122122522km x x k k x x ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪-=⎪⎩ 可得12222135641356km x k k km x kk ⎧=⋅+⋅⎪⎪+⎨⎪=-⋅-⋅⎪+⎩．所以212222214113563565kmkm m x x k k k k k -⎛⎫⎛⎫=-⋅+⋅⋅-⋅-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭成立整理可得()2222222228119953655k m k m k m k k k -⋅-⋅-=+++， 代①代入上式可得：22232(1)4(1)11(1)9(49)949949m m m m m m m m m ----⋅+⋅+⋅-=-+-++． 上式整理可得2(1)(481)0(49)m m m m --=-+， 所以0m =或1m =（舍去）或814m =（舍去）， 所以0m =，2k =，由对称性可得2k =-， 所以切线l 的方程为：2y x =或2y x =-．关键点点睛：解法一的关键是这个式子()10123x x x x =++中，12x x +用到根与系数的关系，13x 是利用求根公式，计算比较繁琐；解法二的关键是利用这个式子122122522km x x k k x x ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪-=⎪⎩，解出12,x x ，再利用212215m x x k -=+，以及直线与抛物线相切得到24(1)k m =--，计算求得m 和k ，对计算的要求比较高.22. 已知2()ln f x x ax x =-，a ∈R ．（Ⅰ）设曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线为l ，若1a =，求直线l 斜率的取值范围； （Ⅱ）若不等式()21862f x x x≥-+对x ≥a 的取值范围．（Ⅰ）[ln 2,)+∞；（Ⅱ）0a ≤．（1）1a =代入，求得()2ln 1k f x x x '==--，利用二阶导判断导函数的极值，进而求得斜率的取值范围；（2）根据已知条件问题可转化为21862ln x x a x x +-≤，令21862()ln x x h x x x+-=，求导化简可得2222116186ln 622()ln x x x x x h x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=，再令2211618()6ln 622x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过求导判断()h x '的单调性，进而求得()h x 的最小值，即可求得a 的取值范围.解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-．()2ln 1k f x x x '==--，121()2x f x =x x -''-=．又0x >，∴12x >时()0f x ''>，102x <<时()0f x ''<．即()'f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增． 所以111ln 1ln 222f k ⎛⎫≥=--= ⎪⎝⎭'，即斜率的取值范围是[ln 2,)+∞； （Ⅱ）由2218ln 62x ax x x x -≥-+，得218ln 62ax x x x ≤+-．∵x ≥ln 0x >，∴21862ln x x a x x+-≤． 记21862()ln x x h x x x +-=．则2222818ln 6(1ln )2()ln x x x x x x x h x x x⎛⎫⎛⎫--+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=2222116186ln 622ln x x x x x x x⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=记2211618()6ln 622x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 222221616681686()ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫'=++-+--=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21616ln 2x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵x ≥1ln 02x -≥，∴()0x ϕ'>即()ϕx 在)+∞递增．又(2)0ϕ=．由()0x ϕ<2x ≤<，由()0x ϕ>得2x >．∴当x ∈时，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 递减； 当(2,)x ∈+∞时，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 递增． ∴min ()(2)0h x h ==∴0a ≤．。