裂项相消法求和(公开课)学案
教学案例裂项求和法
教学案例裂项求和法一、教学目标1.知识目标：通过学习，学生将掌握裂项求和法的基本概念和基本求解方法，掌握运用该方法解决实际问题的能力。
2.技能目标：学生能够灵活运用裂项求和法解决各类需要求和的问题。
3.情感目标：培养学生的问题解决能力，增强其对数学学习的兴趣和自信心。
二、教学过程1.导入（5分钟）向学生介绍裂项求和法的概念和作用，引发学生对该方法的兴趣。
可以通过给学生一个简单的求和问题，引导学生思考如何使用裂项求和法进行求解。
2.概念讲解（10分钟）通过简单的例子，向学生介绍裂项求和法的定义和基本思想。
明确求和问题时，裂项求和法的应用场景和作用。
3.案例分析（20分钟）提供一些具体的问题，由学生自主运用裂项求和法进行求解。
教师可以引导学生分析问题的特点，并指导学生选择合适的裂项形式，进行裂项求和的操作。
4.巩固练习（15分钟）布置一些练习题，要求学生独立完成。
教师可以提供不同难度的题目，让学生逐步掌握裂项求和法的运用技巧。
5.拓展应用（20分钟）提供一些实际问题，要求学生应用裂项求和法解决，增加学生对该方法的应用场景的认识。
6.深化讨论（10分钟）学生对所学知识进行总结和讨论，教师引导学生找出该方法的一些优点和不足之处。
引导学生思考在实际问题中如何灵活运用裂项求和法。
7.归纳总结（5分钟）教师对本节课所学内容进行总结，并和学生一起梳理裂项求和法的基本步骤和解题思路。
三、教学评价1.观察学生的学习情况，了解学生是否掌握了裂项求和法的基本概念和运用方法。
2.组织一些小测验，通过解答题目测试学生对所学知识的掌握情况。
3.听取学生的总结，评价学生对裂项求和法的理解和思维能力。
四、教学反思本次课堂教学中，通过引发学生的兴趣和思考，使学生更好地理解了裂项求和法的概念和思想。
通过案例分析和练习，学生逐步掌握了裂项求和法的基本运用方法。
通过拓展应用和深化讨论，学生对裂项求和法的应用场景和特点有了更深入的理解。
然而，在教学中也发现了一些问题，有些学生在解题过程中对裂项求和法的运用还不够灵活，对一些复杂问题的解决思路还不够清晰。
高中数列裂项相消法求和教学设计
高中数列裂项相消法求和教学设计
一、教学目标
2.掌握合理运用数列裂项相消法为解题工具
二、教学内容
2.数列裂项相消法求和基本技巧
三、教学重点和难点
四、教学方法
1.讲授法
2.实例演示法
3.问题解答法
五、教学步骤
1.引入数列裂项相消法求和的概念及其重要性
（1）寻找数列的结构性；
（2）将数列裂成若干部分，使得相邻两项之间只差包含极少成分；
（3）通过相邻项的差式得出公式，将数列合并起来。
3.通过实例演示，让学生感受数列裂项相消法求和的优越性，理解其应用场景。
4.学生自主练习和学生间相互讨论，解决问题。
5.问题答疑和复习巩固。
六、教学评价
2.学生是否能够将数列裂项相消法应用到具体问题中
七、教学资源
1.黑板
2.教材
3.案例练习
4.教学视频
八、课堂反思
本课的效果不错，学生们学得不亦乐乎，掌握了数列裂项相消法求和的基本技巧。
在教学过程中，通过实例演示，学生们对于数列裂项相消法的应用场景和步骤有了更清晰的认识。
同时在问题解答和案例练习中加强了学生的实战应用能力。
最后，需要提醒的是，在教学中，要适当地引导学生思考，注重理论知识和实践操作能力的结合。
高中数学_裂项相消求和法教学设计学情分析教材分析课后反思
复习课《裂项相消法求和》教学设计一．教学目标1.知识与技能让学生认识数列的裂项求和的使用条件以及方法，并能运用这种方法解决相关的数列求和问题。
培养学生分析问题解决问题的能力，归纳总结能力，联想、转化、化归能力和探究创新能力2.过程与方法通过总结、归纳适用于裂项求和问题的不同类型，让学生体会从特殊实例中归纳、分类的思维过程，培养学生分类讨论的数学思想方法；通过对问题的探究，使学生体会从特殊到一般的科学方法。
3.情感态度价值观通过本节学习，让学生体会克服困难的愉悦感，培养学生勇于发现问题解决问题的坚韧品质，在合作中培养学生的团队协作意识。
二．重点难点分析重点：裂项相消法的使用条件及“分裂”方法学生在做题中需要找准类型，根据不同形式选择不同的方法，所以必须知道“裂项相消”的使用条件；分裂的方法决定着“相消”能否进行，结果是否正确。
难点：裂项方式，相消的规律“等差型”属于常规题，但是当条件发生改变的时候，“分裂”的方式会发生改变，如何灵活转化是解决问题的难点，三.教学过程学情分析对很多学生来讲，高中数学都是比较枯燥的学科，并且对数学的计算能力，逻辑推理能力，灵活的转化划归能力都有比较高的要求，所以复习更注重知识的细节落实，本节课的设计，是在学生已经复习了等差数列、等比数列求和的基础上（即公式法求和），初步接触了数列通项公式满足分子是常数，分母是等差数列两项之积的类型的求和条件下，对已知进行适当变化，按照从简单，到复杂；从常规到特殊的逐步递进的方式，专项复习裂项相消的求和方法，从而使学生系统掌握裂项相消的使用条件，变化方式，及运算规律。
对于基础较好的同学，拓展提高部分是一种能力的培养，培养学生的分析问题解决问题的严密的逻辑思维方式，培养他们的转化划归和分类讨论的数学思想方法；对基础较差的学生来讲，能通过具体题目，分清类型（无理型、等差型），找准方法，解决常规题型，逐步渗透裂项的思维方式就达到目的了。
本节学案，上课前一天就已经下发，通过晚自习的学生的提前训练，学生都已有了一定的知识架构，做好了一定的铺垫，为本节授课的顺利实施打好的一定的基础。
高中数列裂项相消法求和教学设计
高中数列裂项相消法求和教学设计一、引言为了让学生学好数列求和的有关知识，获得一定的数学技能，提高自身的数学素养，基于此，结合课标要求，本文提出了具体可行的教学策略。
公式求和教学方面，采用讨论交流相结合的方式，促进学生对前项和公式的概念性理解，总结公式应用的类型，讲解具体例子，让学生吸取灵活解题的技巧，积累做题经验，让学生理解公式的应用渗透函数、方程思想；灵活运用裂项相消法等解决综合问题；及时复习数学思想、方法，形成知识体系。
二、裂项相消法教学设计（一）教学设计思想裂项相消求和法是数列求和的重点和难点之一，是高考常考的一种方法。
它作为解决数列求和问题的一种常用方法，蕴含了非常深刻的数学思想。
从字面理解，“裂项相消求和法”是把数列的通项公式分成几项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和。
教师在裂项相消求和法教学过程中首先应抓住“裂項”是手段、“相消”是关键、“求和”是目的这一本质特征，如果没有抓住这一本质特征，就谈不上应用和创新；其次必须阐明问题产生的背景、过程和结论的表述。
因此，在教学时要充分启发学生对裂项相消法来龙去脉的理解。
（二）学生情况与教材分析裂项相消法内涵丰富，课堂容量大，教师在授课时更多的是讲解核心概念、基本原理，注重数学思想、数学方法的培养。
这也使很多学习被动，自学能力差、依赖心理强的学生感到不适应，不知道怎么学习。
这需要教师去引导。
裂项相消法是人教版必修5数列求和部分的延伸内容，此方法在高中数列求和中占有极其重要的分量，因为它能与很多知识点产生联系，例如与函数、不等式、几何、三角函数等，同时也涉及到分类讨论、数形结合、函数思想、递推思想等数学思想。
（三）教学目标：知识与技能目标：学生能够熟练掌握应用裂项相消法给数列求和。
过程与方法目标：学生能够准确辨认出这类问题（应用裂项相消法求和）的形式，掌握如何拆项，如何提系数，消去之后余项是什么。
情感与态度目标：学生在自学与探究中体验数学方法的形成。
[学案]裂项相消法(终稿)
![[学案]裂项相消法(终稿)](https://img.taocdn.com/s3/m/c9f8ba0bbed5b9f3f90f1ce8.png)
专题学案:数列求和之裂项相消法佛山市南海区南海中学 钱耀周一、回归教材·追本溯源人教 A 版教材必修5 第 47 页习题 2.3B 组第 4 题数列 ( ) 1 1 n n ìü ïï íý + ïï îþ的前n 项和 ( ) 11111 122334451 nS n n =+++++ ´´´´´+ L 研究一下,能否找到求 n S 的一个公式.你能对这个问题作一些推广吗?二、问题探究·提炼方法问题 1 你会求数列 ( ) 1 1 n n ìü ïïíý + ïï îþ 的前n 项和 ( ) 1111 1223341 n S n n =++++ ´´´´+ L 吗? 问题 2 你会求数列 ( )( ) 1 2121 n n ìü ïïíý -+ ïï îþ的前n 项和 ( )( ) 1111 1335572121 nS n n =++++ ´´´-+ L 吗? 问题 3 若数列 } { n a 为等差数列, 0 ¹ n a ,公差 0 ¹ d ,你会求 14 3 3 2 2 1 11 1 1 + ++ + + =n n n a a a a a a a a S L 吗?问题 4 数列 ( ) 1 2 n n ìü ïïíý + ïï îþ的前n 项和 ( ) 11111 132435462 nS n n =+++++ ´´´´+ L =________. 问题 5 已知 n a n = ,其前n 项和为 n S ,你会求 2222 123 35721n nn T S S S S + =++++ L 吗? 问题 6 *若 ( ) 1212n n n a n n + + =+× ,你会求数列 } { n a 的前n 项和 1231 n n n S a a a a a - =+++++ L 吗?三、知识归纳·能力提升重点 1 “人教A 版教材必修 5第 47 页习题 2.3B 组第 4 题”,研究教材这道题的过程给你什么启发?重点 2 什么时候你会想想裂项? 重点 3 裂项相消法的特征是什么?四、反馈训练·巩固落实——模仿课堂的做法,落实课堂的思想[练习 1]已知数列{ } n a 是等差数列,其前n 项和 n S ,且 12 3 = S , 6 3 = a .（Ⅰ）求数列{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：1 11 1 1 32 1 < + + + + nS S S S L . [练习 2]设正数数列{ } n a 的前n 项和 n S 满足 ( ) 2 1 41+ = n n a S . （Ⅰ） 求数列{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）设 11+ × =n n n a a b ,记数列{ } n b 的前n 项和 n T .[练习 3]等差数列{ } n a 的各项均为正数, 3 1 = a ,前n 项和 n S ,且{ } n b 为等比数列, 1 1 = b ,且 64 2 2 = ×S b ,9603 3 = ×S b . （Ⅰ） 求 n a 与 n b ；（Ⅱ）求nS S S S 11 1 1 32 1 + + + + L 的值.[练习 4](2006 年湖北高考题)已知 ( ) x f y = 的图象经过坐标原点,其导数为 ( ) 62 f x x ¢ =- ,数列{ } n a 的 前n 项和 n S ,点( ) n S n , 均在 ( ) x f y = 的图象上. （Ⅰ）求数列{ } n a 的通项公式； （Ⅱ）设 13 + =n n n a a b ,记{ } n b 的前n 项和 n T ,求使得 20 m T n< 对所有 *n ÎN 都成立的最小正整数m 的值. [练习 5]数列{ } n a 的通项公式是 1 2 - = nn a ,如果数列{ } n b 是 12+ + = n n nn a a b ,试求{ } n b 的前n 项和 n S .[练习 6](2012广州一模) 等比数列{ } n a 的各项均为正数, 435 2,,4 a a a 成等差数列,且 232 2 a a = .（Ⅰ）求数列{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）设 ( )( )252123 n n n b a n n + = ++ ,求数列{ } n b 的前n 项和 n S ．。
高中数学_数列裂项相消法求和教学设计学情分析教材分析课后反思
高三理科数学：基于问题解决的微专题复习数列求和------之裂项相消法求和姓名___________班级________【学习目标】1、掌握数列求和中裂项相消的求和方法。
2、通过裂项相消求和方法的复习，培养学生转化、类比的思想，提高独立分析问题、解决问题的能力。
3、通过自主学习，体会数学学习的乐趣和成就感。
【学习重难点】 灵活运用裂项相消法求和。
一、山东高考近五年考点分析：二、通项公式特点分析： （一）等差型已知数列{}n a 中，,1,121+=-=n n n n a a b n a {}n n S n b 项和的前求数列变式1：已知数列{}n a 中()()12361+-=n n a n ，求数列{}n a 的前n 项和变式2：{}{}n n n n S n a n n a a 项和的前求数列中，已知数列,34412-+=变式3：{}()()(){}n n n n n S n a n n na a 项和的前求数列中，已知数列,121241+--=变式4：{}()(){}n n n n S n a n n n a a 项和的前求数列中，已知数列,211++=（二）等比型已知数列{}n a 中()()121221--=+n n n n a ，求数列{}n a 的前n 项和n S（三）无理式型 已知数列{}n a 中，nn a n ++=11求数列{}n a 的前n 项和n S（四）分段函数型已知数列{}n a 中()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-=为偶数为奇数n n n n n n a n 21111，求数列{}n a 的前n 2项n S 2课后思考：{}？项和的前数列上题条件不变，如何求n n S n a 三、学以致用，走进高考已知正项数列{}n a 的前n 项和 n S ,且*∈N n ,都有4，n n S a ,1+成等比数列。
（1）求{}n a 的通项公式； （2）若()223412+++=n nn a an b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明 161<n T 。
高中数学_数列求和-裂项相消求和教学设计学情分析教材分析课后反思
数列求和——裂项相消求和【课例解析】1 教材的地位和作用求和是数列问题中考查的一个重要方面，而且常与不等式、函数等其他知识综合考查，这样可以很好的考查逻辑推理能力，近几年新课标高考试题中时有出现，因此，这类综合问题有可能成为高考的命题方向；此类问题的考查虽然考查知识点较多，但是解答离不开通性通法，只要掌握了数列求和的基本方法，善于观察，合理变形，正确求解就不难.高考大纲要求及考点回顾：熟练掌握等差、等比数列的求和公式；掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的。
通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。
2 学情分析高考中的考查形式与方向(1)高考主要考查等差数列及等比数列的基本运算，两类数列求和方法(裂项相消法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．(2)若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多．在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。
在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。
本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。
【方法阐释】本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。
高中数学裂项相消教案
高中数学裂项相消教案
教案标题：裂项相消法
教学目标：
1. 了解裂项相消法的基本思想和应用条件；
2. 能够根据题目要求，运用裂项相消法解决数列求和问题；
3. 培养学生的逻辑思维和数学分析能力。
教学重点：
1. 掌握裂项相消法的基本原理；
2. 理解裂项相消法在数列求和中的应用；
3. 运用裂项相消法解决数列求和问题。
教学难点：
1. 正确理解裂项相消法的思想；
2. 熟练运用裂项相消法解决复杂数列求和问题。
教学准备：
1. 讲义、黑板、彩色粉笔；
2. 相关习题，包括简单和复杂的数列求和问题。
教学过程：
一、导入：通过一个简单的例子引入裂项相消法的概念，引导学生思考数列求和问题的解决方法。
二、讲解：介绍裂项相消法的基本原理和应用条件，帮助学生理解该方法的思想和优势。
三、示范：以一道典型的数列求和问题为例，详细展示裂项相消法的具体应用过程，引导学生逐步理解和掌握解题技巧。
四、练习：设计一些相关习题，让学生进行练习和实践，培养他们对裂项相消法的运用能力。
五、总结：对裂项相消法进行总结和回顾，强调其在解决数列求和问题中的重要性和实用性。
六、拓展：介绍裂项相消法在其他数学领域的应用，激发学生的学习兴趣和探索欲望。
七、作业：布置相关作业，要求学生继续巩固和深化裂项相消法的理解和运用。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应能够掌握裂项相消法的基本原理和具体应用方法，提高他们的
数学思维能力和解决问题的能力。
同时，教师需要及时对学生的学习情况进行评估和反馈，确保他们对裂项相消法的掌握程度和运用能力得到有效提升。
高一数学数列公开课之裂项相消法
教学说明 重难点 概要 考点突破 题型一 裂项 例1 相消 练习1 练习2
题型二
课堂小结
例2
教学说明
教学目标
知识 目标 技能 目标
数列求和的方法之裂项相消法
裂项相消法的常见题型及解题思路
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教学说明
教学重难点
教学 重点 教学 难点
裂项相消法的常见题型及解题思路
第6页
n 1
1 n. 3
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考点突破 题型一 分式型
2 2a1 3a2 1, a3 9 a 2 a6 【典例1】等比数列{an } 的各项均为正数，
（1）求数列 {an }的通项公式； 1 { （2）设bn log 3 a1 log 3 a2 log 3 an，求数列 } 的前n项和 bn
解： （2）bn log 3 a1 log 3 a2 log 3 an
1 2 1 1 2 ( ) . 故 bn n(n 1) n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 [( 1 ) ( ( )] 所以 . b1 b2 bn 2 2 3 n n 1 2n n 1
2 2 2 解： （1）设数列 {an }的公比为 q ，由 a3 9a2 a4 ，得 a3 9a4
1 1 q 所以 ，又由条件可知 q 0 ，故 q . 9 3 1 由 2a1 3a2 1，得 2a1 3a1q 1，得 a1 ， 3
2
故数列 {an }的通项公式为 an a1q
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考点突破 题型一 分式型
2 2a1 3a2 1, a3 9 a 2 a6 【典例1】等比数列{an } 的各项均为正数，
裂项相消求和教学设计
教学目标
1、理解裂项相消法的思想方法。
2、使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。
3、在自学与探究中体验数学方法的形成。
教材分析
数列求和是高三复习课在复习完等差等比数列有关性质及求和公式后,针对一般数列求和问题安排的一节复习课，它是对数列有关知识的拓展及深化理解、求和方法的归纳总结，使学生对这部分知识及方法有一个清晰的认识，建立起合理的知识体系及结构，数列的分析以及对求和方法的选择、运用，培养了学生分析解决问题的能力。
学情分析
1、学生对数列知识已有了比较全面的理解，但在理解深度上及自如运用程度上都有待加强。
2、高三复习的目的是完善学生的知识体系，构建知识框架，使学生对所学内容有一个整体的认识，并能自如运用有关知识及方法。数列这部分内容有两条主线，一个是an，另一个是Sn，他们之间的联系构成了这部分的知识体系。
3、数列求和这部分内容条理清晰，易入手，易理解，好判别，好掌握，效果明显，是一个增强学生自信心及成就感的好机会。所以要充分发动学生，从问题的提出，分析，总结，运用都由学生自主来完成。
板书设计
数列求和---裂项相消法
例：
课后反思
进一步体会裂项相消法解决特殊数列求和的关键和步骤
深入理解裂项相消求和的思想方法
巩固裂项相消求和法
理解裂项相消法的思想方法。
使用裂项相消法解决特殊数列求和问题
课堂小结
1、哪种形式的数列适合用裂项相消法求.
2、熟记常见的拆项公式
3、注意裂项后正负相消时，
消去了哪些项，保留了哪些项
布置作业
导学案上的课后巩固
教学用具
PPT,导学案
课时安排
一课时
教学过程
教学环节
2024届高三数学二轮专题复习数列求和—裂项相消法教学设计
高三二轮复习数列求和—裂项相消法教学设计内容教学目的掌握裂项相消求和的使用环境及一般过程和思路.教学重点难点识别裂项相消求和的使用环境.如何裂项？如何相消？教学过程过程一、强调本微课学习内容，学习目标，重难点，易错点。
学习目标：掌握裂项相消求和的使用环境及一般过程和思路.学习重点：识别裂项相消求和的使用环境.学习难点：如何裂项？如何相消？易错点：裂项时忘记配平，相消时留下哪些项？过程二、通过熟悉的典型例子入手，引导学生回顾裂项相消的具体类型。
裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和.看下面两个例子：)211(2121+-=+nnnn）（⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯211121121211......513141213112121......531421311nnnnnn）（()()))2)(1(1)1(1(21211++-+=++nnnnnnn()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+++⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯)2)(1(12121)2)(1(1)1(1......43132132121121211......543143213211nnnnnnnnn过程三、因为是二轮专题复习，学生经过一轮的复习，对于裂项的方法有一定的理解，在此基础上直接点出裂项的四种基本类型，并强调裂项的常用方法为通分的逆运算，分母有理化，对数的运算等。
本质是恒等变形，运用化归与转化思想、等式思想。
等差型：1a n a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)，其中a n≠0，d≠0. . （通分的逆运算）指数型：（a－1）a n（a n＋b）（a n＋1＋b）＝1a n＋b－1a n＋1＋b. （通分的逆运算）无理型：1a＋b＝1a－b(a－b)(a>0，b>0). （分母有理化）对数型：log n a n ＋1a n＝log n a n ＋1－log n a n (a n >0). （对数的运算法则）过程四、对照四种类型，分别用4道典型例题进行讲解与说明，并敲掉裂项时要配平，求和相消时要注意消去哪些项，剩下哪些项。
高中数学_数列裂项相消法求和教学课件设计
，并证
2bn
1 16
1
n
2
1
n 12
Tn
1 16
1
n
1
12
课堂小结：
请同学们说说你这节课有什么收获？
nn
1
1n
2 ,求数列an的前n项和Sn
1 1
1
an
2
nn
1
n
1n
2SnΒιβλιοθήκη 1 212
1
n 1n
2
通项公式特点分析
（二）等比型
已知数列{an}中，an
2n 2n 1 2n1 1
求数列{an} 的前项和 Sn
1
1
an
2n
1
2n1
1
通项公式特点分析
（三）无理式型
已知数列{an}中，an
1 n 1
高中理科数学：基于问题解决的微专题复习
数列求和
-----之裂项相消法求和
山东高考近五年考点分析
年份 2016年 2015年 2014年 2013年 2012年
题号 18 18 19 20 20
考查求和的方法 错位相减求和 错位相减求和 裂项相消求和 错位相减求和 公式法求和
通项公式特点分析
（一）等差型
已知数列
an 中，an
2n
1, bn
1 an an 1
,
求数列
bn
的前n项和Sn
an
2n
1
12n
1
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
通项公式特点分析
（一）等差型
变式1：已知数列{an }中，an
6n
1
32n
裂项相消求和学案
裂项相消求和教学目标:1.列项相消法应用的条件2.会用裂项法对数列进行求和一、复习回顾1.数列的求和,其关键是先求出数列的通项公式,然后根据通项公式的结构，选择适当的求和方法.数列求和的思路：1、首先判断数列是等差还是等比数列？ 若是，则代公式，这就是公式法.2、若不是，再考虑是否可以转化为等差或等比数列求和.方法2：分组转化法（通项分解法）：若通项能转化为等差数列与等比数列和 （或差），即 方法3：错位相减法：若通项能转化为等差数列与等比数列的积，一般适用于数列{}n b n a 的前n 项和，其中{}n a 成等差，{}b n 成等比2.疑难处理：知数列}{n a 中，n S 是它的前n 项和，并且*142()n n S a n N +=+∈，11a =（1）证明：数列+1n {-2a }n a 是等比数列（2）设2n n na c =，求证：数列{}n c 是等差数列； （3）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和公式。
二、裂项相消法求和1.思考以下问题：如何1111223(1)n n +++⨯⨯+ 计算？ （2）. 111111??1222323--⨯⨯与什么关系与呢 （3）. 12.?(1)n n ⋅+可以等价于哪个式子1111.1223(1)n n +++⨯⨯+ 例求和n n na b c =±2.思考：:11______;_____13(2)11______;_____25(1)(3)n n n n ==⨯+==⨯++把下列各式裂成两式之差 归纳：1111111,(0).n n n n n n a a d d a a d a a +++⎛⎫-=≠=- ⎪⋅⎝⎭一般地，若则3.变式练习：（1）1,n (31)(34)n n b S n n =++已知求其前项和（2）2,n 256n n b S n n =++已知求其前项和（3）()()1111++++=_________243546n+1n+3⨯⨯⨯例2、111112123123n++++=+++++++ .小结:裂项求和法适用的条件{}1111.(,)112.:n n n n n n n n k k a a a k k b a a d a a +++⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭⎛⎫==- ⎪⋅⎝⎭（）形如为常数为等差数列的数列的求和问题采用裂项求和法（）具体方法4.思考3：还有其他的列项方式吗？（1）.数列{an}的通项公式是n a =，求其前n 项和（2）.数列{an}的通项公式是1=lg +nn a （1），若其前n 项和n =2S ，则n=______小结：常见的裂项方法？5课后练习：非等比数列{}n a 中，前n 项和21(1)4n n S a =--， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(3)n n b n a =-(*)n N ∈，12n n T b b b =+++ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意的n 均有32n m T >总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由。
【市级公开课教案】《数列裂项求和》教案
数学研讨活动公开课《数列裂项求和》教案教学目标知识与技能目标：数列求和的方法之裂项相消法过程与能力目标：裂项相消法的常见题型及解题思路 教学重难点重点：裂项相消法的常见题型及解题思路难点：裂项相消法适用题型的特征及相消后所剩项数的判断 教学过程 一、新课导入()11111+-=+n n n n二、问题探究例1（2015年全国卷I ） n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+， （1）求{}n a 的通项公式：（2）设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和. 解：（1）由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+可得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+- 由于0n a >，可得12n n a a +-=又2111243a a a +=+，解得11a =-（舍去），13a =所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+ （2）由21n a n =+可知111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +===-++++ 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则 12...n n T b b b =+++1111111[()()...()]235572123n n =-+-++-++ 3(23)n n =+【点评】本题利用裂项法是解决本题的关键．巩固练习变式1：（湖北省武汉部分重点中学2020届高三起点考试）已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝log 2233n a +，且{b n }为递增数列，若c n ＝14n n b b +，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1．变式2：已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <.解：（Ⅰ）∵数列{}n a 为等差数列，且2822a a +=，()5281112a a a ∴=+=． ∵4712,,a a a 成等比数列，∴27412a a a =⋅，即()()()211211117d d d +=-⋅+， 又0,d ≠ ∴2d =，∴111423a =-⨯=，∴()()32121*n a n n n N =+-=+∈.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得()()122n n n a a S n n +==+，∴()11111222nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． ∴12111n n T S S S =+++ 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭． ∴34n T <．小结：要先观察通项类型，再裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。
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姓名：___________ 班级：_____________
数列求和（1）—— 裂项相消法
目标：
1 理解裂项相消法思想。
2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。
3 在自学与探究中体验数学方法的形成过程。
一、复习巩固 1 公式求和法： 2 倒序相加法：
二、自学讨论
学习以下例题，完成填空。
（限时8分钟） 思考与讨论：
什么数列可用裂项相消法求和？ 如何裂项？你有好的方法吗？
如何相消？你能发现其中的规律吗？ 利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？
例一：n n S n n a 求已知,)
1(1
+=
解：1
1
1)1(1+-=+=
n n n n a n
n n n a a a a a S +++++=∴-1321
)
1(1)1(1431321211++-++⨯+⨯+⨯=
n n n n )1
11()111(
)4131()3121()211(+-+--++-+-+-=n n n n 1111+=
+-=n n
n 1
+=
∴n n S n
裂项相消法求和的一般步骤：
_____________
____________ _____________ ____________
裂项： ○
1你能证明1
1
1)1(1+-=+n n n n 吗？
○
2猜想：()2
1
+n n =_____________________
验证：
=+-2
11n n ___________________ 结论：
=+)
2(1
n n ____________________
○
3一般地； ()
k n n +1
=________________
相消：怎么消？
哪些项是不能消去的？
变式训练：（1）()
n 12S n n a n ，求已知+=
（2）n n S n n a 求已知,)2(1
+=
三、增效练习（限时10分钟） 1、________,)
12)(12(1
=+-=
n n S n n a 已知
2、
()()________321217
51531=++++⨯+⨯n n
3、已知()
*
56N n n a n ∈-=，1
3
+=
n n n a a b ，求n n b b b T +++= 21
4、已知数列{}n a 的各项如下：1，
211+，3211++，…………，n
++++ 3211。
求它的前n 项和n S =________________。
四、能力提升
（1）若n a 是等差数列，则d a a n n +=+1，所以
________)
(1
11=+=+d a a a a n n n n
则有________11113221=++⨯+⨯=
-n
n n a a a a a a S ；类似的：1
a n a n ＋2＝_____________；
（2）1
4n 2－1=_________________=___________________；
（3）
n ＋1－n n ＋1n
=___________________;（4）a n ＝1n ＋n ＋1
=________________
五、课堂小结
1裂项相消法求和：
对于通项公式可拆成两项的数列，我们通常采用裂项相消法逐项消去前后项求数列的和。
2裂项相消法求和的一般步骤：求通项——裂项——相消——求和。
六、作业
1 数列{a n }的通项公式是a n ＝
1
n ＋n ＋1
，若前n 项和为10，则项数为( )
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121
2．已知数列{a n }＝{12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…}，那么数列{b n }＝{1
a n a n ＋1
}前n 项
的和为( )
A ．4(1－1n ＋1
) B ．4(12－1
n ＋1)
C ．1－1n ＋1
D.12－1
n ＋1
3．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N *)，则a 10等于( )
A ．34
B ．36
C ．38
D ．40
4．1＋11×2＋12×3＋…＋1
99×100
等于( )
A.99100
B.199100
C.9899
D.19799
5.等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1
S n
.
6．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.
(1)求a n 与b n ；(2)求和：1S 1＋1S 2＋…＋1
S n
.
7设正数数列的前n 项和n S 满足()214
1
+=
n n a S 。
○1求数列{}n a 的通项公式； ○2设1
1
+⋅=
n n n a a b ，记数列{}n b 的前n 项和n T 。
8 在等差数列{}n a 中，1a =3，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且2
2
22,12b S q S b =
=+ ○1求数列{}n a {}n b 的通项公式； ○2设n
n S c 1
=，求数列{}n c 的前n 项和n T 。
9(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n ＋1的前n 项和．。