裂项相消法求和(公开课)学案

姓名：___________ 班级：_____________

数列求和（1）—— 裂项相消法

目标：

1 理解裂项相消法思想。

2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。

3 在自学与探究中体验数学方法的形成过程。

一、复习巩固 1 公式求和法： 2 倒序相加法：

二、自学讨论

学习以下例题，完成填空。（限时8分钟） 思考与讨论：

什么数列可用裂项相消法求和？ 如何裂项？你有好的方法吗？

如何相消？你能发现其中的规律吗？ 利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？

例一：n n S n n a 求已知,)

1(1

+=

解：1

1

1)1(1+-=+=

n n n n a n

n n n a a a a a S +++++=∴-1321

)

1(1)1(1431321211++-++⨯+⨯+⨯=

n n n n )1

11()111(

)4131()3121()211(+-+--++-+-+-=n n n n 1111+=

+-=n n

n 1

+=

∴n n S n

裂项相消法求和的一般步骤：

_____________

____________ _____________ ____________

裂项： ○

1你能证明1

1

1)1(1+-=+n n n n 吗？

○

2猜想：()2

1

+n n =_____________________

验证：

=+-2

11n n ___________________ 结论：

=+)

2(1

n n ____________________

○

3一般地； ()

k n n +1

=________________

相消：怎么消？

哪些项是不能消去的？

变式训练：（1）()

n 12S n n a n ，求已知+=

（2）n n S n n a 求已知,)2(1

+=

三、增效练习（限时10分钟） 1、________,)

12)(12(1

=+-=

n n S n n a 已知

2、

()()________321217

51531=++++⨯+⨯n n

3、已知()

*

56N n n a n ∈-=，1

3

+=

n n n a a b ，求n n b b b T +++= 21

4、已知数列{}n a 的各项如下：1，

211+，3211++，…………，n

++++ 3211。 求它的前n 项和n S =________________。 四、能力提升

（1）若n a 是等差数列，则d a a n n +=+1，所以

________)

(1

11=+=+d a a a a n n n n

则有________11113221=++⨯+⨯=

-n

n n a a a a a a S ；类似的：1

a n a n ＋2＝_____________；

（2）1

4n 2－1=_________________=___________________；

（3）

n ＋1－n n ＋1n

=___________________;（4）a n ＝1n ＋n ＋1

=________________

五、课堂小结

1裂项相消法求和：

对于通项公式可拆成两项的数列，我们通常采用裂项相消法逐项消去前后项求数列的和。 2裂项相消法求和的一般步骤：求通项——裂项——相消——求和。

六、作业

1 数列{a n }的通项公式是a n ＝

1

n ＋n ＋1

，若前n 项和为10，则项数为( )

A ．11

B ．99

C ．120

D ．121

2．已知数列{a n }＝{12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…}，那么数列{b n }＝{1

a n a n ＋1

}前n 项

的和为( )

A ．4(1－1n ＋1

) B ．4(12－1

n ＋1)

C ．1－1n ＋1

D.12－1

n ＋1

3．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N *)，则a 10等于( )

A ．34

B ．36

C ．38

D ．40

4．1＋11×2＋12×3＋…＋1

99×100

等于( )

A.99100

B.199100

C.9899

D.19799

5.等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1

S n

.

6．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.

(1)求a n 与b n ；(2)求和：1S 1＋1S 2＋…＋1

S n

.

7设正数数列的前n 项和n S 满足()214

1

+=

n n a S 。 ○1求数列{}n a 的通项公式； ○2设1

1

+⋅=

n n n a a b ，记数列{}n b 的前n 项和n T 。