2015届高三二轮复习立体几何专题训练

D C
B A F
E
A
B
C
A 1
O
B 1
C 1
1
2015届高三二轮复习立体几何专题训练
1．如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3
BAD π
∠=
．
（1）求证：平面//BCF 面AED ；
（2）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积．
2．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，
将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （1）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （2）求证：BD ⊥1A F ；
（3）若平面1A BD ⊥平面BCD
，试判断直线1A
B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.
3．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面M ABCD ,和N 分别是AD 和BC 的中点。

（1）求证：MN PM ⊥；
（2）求证：平面PMN ⊥平面PBC ；
（3）在PA 上是否存在点Q ，使得平面//QMN 平面PCD ？若在求出Q 点位置，并证明；若不存在，请说明理由。

4．如图，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN \是矩形，平面⊥MADN 平面ABCD ，F E ,分别为DC MA ,的中点，求证：
（1）//EF 平面MNCB ；
（2）平面MAC ⊥平面BND ．
5．如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,1
22
AD CD AB ==
=, 点E 为AC 中点.将ADC ∆沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.
（1）在CD 上找一点F ,使//AD 平面EFB ; （2）求点C 到平面ABD 的距离.
6．如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面0
90,=∠BCA ABC ，BC AC AA ==1.
（1）求证：1AC ⊥平面BC A 1;
（2）若21=AA ，求三棱锥AB A C 1-的高的大小．
7．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）//1O C 面11AB D ；
（2）1A C ⊥面11AB D ． （3）平面//11D AB 平面BD C 1
A
B
C
D
图2 E
B
A
C
D
图1
E
1
图
P
G
F
E D
C
B
A
8． 如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB 和DC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且SA = 2，AD = DC = 1，点E 在SD 上，且AE ⊥SD 。

（1）证明：AE ⊥平面SDC ； （2）求三棱锥B —ECD 的体积。

9． 如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）111C B A ABC -中，D 是BC 的中点，11==AB AA ．
（1）求证：C A 1∥平面D AB 1； （2）求点C 到平面D AB 1的距离．
10．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 面ABC , ∠BAC =120°，且,1===AP AC AB M 为PB 的中点，
N 在BC 上，且BN AN =.
（1）求证：MN AB ⊥； （2）求点P 到平面NMA 的距离.
11．四棱锥ABCD P -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,底面ABCD 为菱
形,∠BDA =60° （1）证明:∠PBC =90°;
（2）若3=PB ,求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值
12．三棱柱 111ABC A B C -中， 190,2ABC AA AC BC ∠====，
1A 在底面ABC 内的射影为AC 的中点D ．
（1）求证： 11BA AC ⊥； （2）求三棱锥 11B A DB -的体积．
13． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -
中，11BC AB AC AA ===，
D 是棱1CC 上 的一点，P 是AD 的延长线与11AC 的延长线的交点，且1PB ∥平面1BDA ． （1）求证：D C CD 1=；
（2）求点C 到平面1B DP 的距离．
14.如图，四棱锥BCDE A -中，ABC ∆是正三角形，四边形BCDE 是矩形，且平面⊥ABC 平面BCDE ，
2=AB ，4=AD ．
（1）若点G 是AE 的中点，求证：//AC 平面BDG （2）若F 是线段AB 的中点，求三棱锥EFC B -的体积.
15． 如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，
PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点， G 为AC 上一动点．
（1）求证：BD FG ⊥；
（2）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG //平面PBD ，并说明理由． （3）如果PA=AB=2，求三棱锥B-CDF 的体积
1
D
C
B A
F E
立体几何专题训练（1）答案详解
1．如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3
BAD π
∠=
．
(1)求证：平//CF AED 面B 面；
(2))若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积．
．(本题满分１4分)
证明：（1）由ABCD 是菱形 //BC AD ∴
,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面
//BC ADE ∴面………………………………3分
由BDEF 是矩形//BF DE ∴
,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面
//BF ADE ∴面
,,BC BCF BF BCF BC BF B ⊂⊂=面面
//BCF ADE ∴面面………………………………6分
（2）连接AC ，AC
BD O =
由ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥
由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ⊂面
ED AC ∴⊥
,,ED BD BDEF ED BD D ⊂=面
AO BDEF ∴⊥面，……………………………………………10分
则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3
BAD π
∠=，
则A BD ∆
为等边三角形，
由BF BD a ==；则,2
AD a AO =
=
2BDEF S a
=，23
1326
A BDEF V a a -=⋅⋅
=………………………………………14分 2. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ；
（Ⅲ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A
B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.
.解：
（Ⅰ）因为D ,M 分别为,AC BD 中点，所以DM //EF ---------------------2分 又1EF A EF ⊂平面，1DM A EF ⊄平面
所以1//DM A EF 平面. -----------------------4分
（Ⅱ）因为1A E BD ⊥，EF BD ⊥且1A E
EF E =
所以1BD A EF ⊥平面 -------------7分 又11A F A EF ⊂平面
所以1BD A F ⊥ ------------------------9分
（Ⅲ）直线1A B 与直线CD 不能垂直 ---------------------------------------10分
因为1A BD BCD ⊥平面平面,1A
BD BCD BD =平面平面,EF BD ⊥,
EF CBD ⊂平面，
所以 1EF A BD ⊥平面. ---------------------------------------12分
1图 图 2
因为11A B A BD ⊂平面，所以1A B EF ⊥， 又因为//EF DM ，所以1A B DM ⊥. 假设1A B CD ⊥， 因为1A B DM ⊥，CD
DM D =，
所以1A B BCD ⊥平面， ------------------------------------------13分 所以1A B BD ⊥，
这与1A BD ∠为锐角矛盾
所以直线1A B 与直线CD 不能垂直. ---------------------------------------14分
3（本小题共14分）
如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 和N 分别是AD 和BC 的中点。

（I ）求证：PM ⊥MN ； （II ）求证：平面PMN ⊥平面PBC ； （III ）在PA 上是否存在点Q ，使得平面QMN//平面PCD ？若在求出Q 点位置，并证明；若不存在，请
说明理由。

4.(本小题满分12分)
如图，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN 是矩形，平面MADN ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为MA ，DC 的中点，求证： (I)EF//平面MNCB ；
(Ⅱ)平面MAC ⊥平面BND ．
A
B
C
A 1
O
B 1
C 1
A
C D
E
F
5.如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,1
22
AD CD AB ==
=, 点E 为AC 中点.将ADC ∆沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. （I ）在CD 上找一点F ,使//AD 平面EFB ; （II ）求点C 到平面ABD 的距离.
解:(1) 取CD 的中点F ,连结EF ,BF ------2分
在ACD ∆中, E ,F 分别为AC ,DC 的中点
∴ EF 为ACD ∆的中位线 ∴ //AD EF
EF ⊆平面EFB AD ⊄平面EFB
∴ //AD 平面EFB -----6分
(2) 设点C 到平面ABD 的距离为h
AC BC ABC ADC ⊥⊥且平面平面,
∴BC ⊥平面ADC
∴ BC ⊥AD 而DC AD ⊥
∴ BCD AD 平面⊥ 即BD AD ⊥
∴
32=∆ADB S
∴
三棱锥B
ACD -的高BC =2ACD S ∆=
AD B C ACD B V V --= 即h ⨯⨯=⨯⨯323
1
22231
∴
11
233
⨯=⨯⨯ ∴
3
6
2=
h ------12分 6．（本小题满分12分） 如图，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，O 是AC 的中点，A 1O ⊥平面ABC ，∠BCA=90°，AA 1=AC=BC. （I ）求证： AC 1⊥平面A 1BC;
（II ）若AA 1=2，求三棱锥C-A 1AB 的高的大小．
解：
（Ⅰ）因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC ．
又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1，所以AC 1⊥BC ． …2分 因为AA 1＝AC ，所以四边形A 1ACC 1是菱形，所以AC 1⊥A 1C ． 所以AC 1⊥平面A 1BC ．
…6分
A
B
C
D
图2
E
B
A
C
D
图1
E
（Ⅱ）设三棱锥C -A 1AB 的高为h ．
由（Ⅰ）可知，三棱锥A -A 1BC 的高为 1
2
AC 1＝3．
因为V C -A 1AB ＝V A -A 1BC ，即 1 3S △A 1AB h ＝ 1
3
S △A 1BC ·3．
在△A 1AB 中，AB ＝A 1B ＝22，AA 1＝2，所以S △A 1AB ＝7． …10分
在△A 1BC 中，BC ＝A 1C ＝2，∠BCA 1＝90︒，所以S △A 1BC ＝ 1
2
BC ·A 1C ＝2．
所以h ＝221
7
．
7.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）1C O 面11AB D ；
（2）1A C ⊥面11AB D ． （3）11
1AB D C BD 平面平面
1
证明：（1）连结11AC ，设11111AC
B D O =
连结1AO ，
1111ABCD A BC D -是正方体
11A ACC ∴是平行四边形 11
AC AC ∴且 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，11O
C AO ∴且11O C AO =
11AOC O ∴是平行四边形
111,C O AO AO ∴⊂面11AB D ，1C O ⊄面11AB D
∴1C O 面11AB D
（2）
1CC ⊥面1111A B C D 11!C C B D ∴⊥ 又
1111AC B D ⊥， 1111B D A C C
∴⊥面 1
11AC B D ⊥即 同理可证11AC AB ⊥， 又11
11D B AB B =
∴1
AC ⊥面11AB D （3）
1111ABCD A BC D -是正方体
∴AB 1∥DC 1 , AD 1∥BC 1
∴11
1AB D C BD 平面平面
8．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB 和DC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且SA = 2，AD = DC = 1，点E 在SD 上，且AE ⊥SD 。

（1）证明：AE ⊥平面SDC ； （2）求三棱锥B —ECD 的体积。

(Ⅰ)证明： 侧棱⊥SA 底面ABCD ，⊂CD 底面ABCD CD SA ⊥∴. ……………………….1分 又 底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB 和DC CD AD ⊥∴,又A SA AD =
⊥∴CD 侧面SAD ,……………………….3分 ⊂AE 侧面SAD
∴D SD CD SD AE CD AE =⊥⊥ ,,
∴⊥AE 平面SDC ……………………….5分
(Ⅱ)
1
2
EDC
CD AD CD ASD CD SD S
ED DC AE CD ⊥⎫
⇒⊥⇒⊥⇒=
⋅⎬⊥⎭
平面
……7分 在Rt ASD 中2,1,SA AD AE SD ED AE ==⊥⇒=
=
112EDC
S
⇒=
，
……9分 A
B
C
A 1
O
B 1
C 1
又因为
////AB CD CD SCD AB SCD AB SCD ⎫⎪
⊂⇒⎬⎪⊄⎭
平面平面平面， 所以点B 到平面SCD 的距离等于点A 到平面SCD 的距离AE ……11分 所以1
1315
B CDE
CDE
V S AE -=⋅= 而60BAC ∠=︒,所以,MC//AB. （3分）
9.（本小题满分12分）
如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1． （1）求证：Al C ∥平面AB 1D ； （2）求点C 到平面AB 1D 的距离．
10．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，⊥PA 面ABC , ∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M 为PB 的中点，N 在BC 上，且AN=BN. （Ⅰ）求证：AB ⊥MN ；
（Ⅱ）求点P 到平面NMA 的距离.
10. 解：（1）取AB 中点Q ，连接MQ 、NQ ， ∵AN=BN ∴AB NQ ⊥， ……………2分 ∵⊥PA 面ABC ，∴AB PA ⊥，又PA MQ ∥ ∴AB MQ ⊥，………………4分
所以AB ⊥平面MNQ ，又MN ⊂平面MNQ ∴AB ⊥MN………………6分
（2）设点P 到平面NMA 的距离为h ， ∵M 为PB 的中点，∴PAM △S =
4
121PAB =△S 又AB NQ ⊥，PA NQ ⊥，∴B PA NQ 面⊥，
∵︒=∠30ABC ∴6
3
=
NQ ……………………………7分 又3322=
+=
MQ NQ MN ，3
3=AN ，22=AM ， ……………………………………………………………………………9分 可得△NMA 边AM 上的高为
12
30
， ∴24
15
12302221=⋅⋅=
NMA S △………………10分 由PAM N NMA P V V --= 得
=⋅⋅h S NMA △31NQ S PAM ⋅⋅△3
1
∴5
5
=
h ……………………12分 11.（本小题满分12分）四棱锥P-ABCD,侧面PAD 是边长为2的正三角形,底面ABCD 为菱形,∠BDA=60° (Ⅰ)证明:∠PBC=90°;
（Ⅱ）若PB=3,求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值
Q
11.解:(1)取AD 中点O ,连OP .OB ,由已知得:OP ⊥AD ,OB ⊥AD ,又OP ∩OB =O ,∴AD ⊥平面POB , ∵BC ∥AD ,∴BC ⊥平面POB ,∵PB ⊂平面POB ,
∴BC ⊥PB ,即∠PBC =90° ———————6分
(2)如图,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系O -xyz ,则A (1,0,0),B (0,3,0),C (-2,3,0),由PO =BO =3,PB =3,得∠POB =120°,∴∠POZ =30°,∴P (0,-32, 32),则=(-1,3,0),=(-2,0,0), = (0,332,-32
),设平面PBC 的法向量为n =(x ,y ,z ),
则⎩⎪⎨⎪
⎧
－x ＝0332y －32z ＝0,取z =3,则n =(0,1,3), 设直线 AB 与平面PBC 所成的角为θ,则 sin θ=|cos<,n >|=
3
4
——————12分 12．（本小题满分12分）
三棱柱 111ABC A B C -中， 190,2ABC AA AC BC ∠====
1A 在底面ABC 内的射影为AC 的中点D ．
(1)求证： 11BA AC ⊥
； (2)求三棱锥 11B A DB -的体积．
13．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111
A B C A B C -中，1
,1
B C A B A C A A ===
=，D 是棱1CC 上 的一点，P 是AD 的延长线与11AC 的延长线的交点，且1PB ∥平面1BDA ． （Ⅰ）求证：D C CD 1=；
（Ⅱ）求点C 到平面1B D P 的距离． 13. 解：（Ⅰ）连接1B A 交1BA 于O
∵1PB ∥平面
1BDA ，1B P ⊂面1AB P ，面1AB P
面
1BA D OD = …2分
∴1B P ∥OD 又O 为1B A 的中点，…4分 ∴D 为AP 中点∴1C 为1A P 中点 …5分 ∴1ACD PC D ∆≅∆∴D C CD 1=；…………6分 （Ⅱ）因为11C B PD B PCD V V --= 所以1111
1
3
3
B PD PCD h S A B S ∆∆⋅=
⋅，111A B = …………8分 111
24
PCD
S CD PC ∆=⋅=
…………9分 在1B
PD ∆中
,
11113,2B D B P PD DB P DB P ===∠=∠= …………11分
1
P
G
F
E D
C
B
A
P
G F
E D C
B A
∴11331,.22543
B PD S h ∆=⋅== …………12分
14. ( 本小题满分12分) 如图，四棱锥BCDE A -中，ABC
∆是
正三角形，四边形BCDE 是矩形，且平面⊥ABC 平面
BCDE ，
2=AB ，4=AD ．
（1）若点G 是AE 的中点，求证：//AC 平面BDG （2）若F 是线段AB 的中点，求三棱锥EFC B -的体积. 14.解：（1）证明：设CE BD O ⋂=，连接OG ，
由三角形的中位线定理可得：AC OG //, ------------3分
∵AC ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ，∴//AC 平面BDG ． ------------6分 （2）∵平面⊥ABC 平面BCDE ，BC DC ⊥ -------8分
又∵F 是AB 的中点，ABC ∆是正三角形， ∴AB CF ⊥， ------------10分 ------------12分 如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，
PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点， G 为AC 上一动点．
（1）求证：BD FG ⊥；
（2）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG //平面PBD ，并说明理由． （3）如果PA=AB=2，求三棱锥B-CDF 的体积
15．解析⑴证空间两直线垂直的常用方法是通过线面垂直来证明，本题中，由于直线FG 在平面PAC 内，所以考虑证明BD ⊥平面APC .⑵注意平面PAC 与平面PBD 相交于PE ，而直线FG 在平面PAC 内，故只需FG PE ∥即可，而这又只需G 为EC 中点即可.（3）求三棱锥B-CDF 的体积中转化为求三棱锥F －BCD 的体积，这样底面面积与高都很易求得.
试题解析：⑴∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，
其对角线BD 、AC 交于点E ，∴PA BD ⊥，AC BD ⊥．2分∴BD ⊥平面APC ，
∵FG ⊂平面PAC ，∴BD FG ⊥ 4分
⑵当G 为EC 中点，即3
4AG AC =时，FG ∥/平面PBD ， 5分
理由如下：
连结PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG PE ∥ 6分 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，
故FG //平面PBD ． 8分 （3）三棱锥B-CDF 的体积为112
221323
B CDF F BCD V V --==⨯⨯⨯⨯=.12分。