质点运动微分方程 共16页
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第7章 质点运动微分方程
7.1 概述：动力学、质点、质点系
动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
空气动力学
动力学
结构动力学
超高速碰撞动力学
动力学的抽象模型
质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可 忽略不计的物体。
质点动力学
质点系：由几个或无限个相互有联系的质点组 成的系统。
质点系动力学
刚体：特殊质点系，其中任意两点之间的距离 保持不变。
有 mat Ft, mv2Fn, 0Fb
3 、质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力.
第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
7.4 质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力. 第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
例7-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度
7.2 动力学基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律（力与加速度之间关系定律）
ma F
力的单位:牛[顿], 1N1kg1ms2
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反, 沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
求: 0, 时A 杆 受 BF 力 ?
2
解:研究滑块
mxaFcos
其中 a x x r2 co t s c2 o ts
当 0 时 ,a x r2 1 ,且 0
得 Fmr 21
当 2 时 , a x r2 且 co l s 2 r 2l
已知: m ,v 0,E A c o sk t,v 0 E ,F eE ,不 计 重 力
求:质点的运动轨迹。
解:
m d d t2 2 x m d d v tx 0 , m d d 2 t2 y m d d v ty ec A k ots
由 t0 时 vxv0, vy0 ,
有 mr2Fl2r2 l
得 Fm2 r2 l2r2
这属于动力学第一类问题。
例7ຫໍສະໝຸດ Baidu2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强 度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强
度垂直,如图所示。质点在电场中受力 FeE 作用。
已知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。
转动, OA=r,AB=l,当 r/l 比较小时,以O 为坐标
原点,滑块B 的运动方程可近似写为
xl142rcots4co2st
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和时 ,
连杆AB所受的力. 2
则已x知:l 1 常 4 2 ,rO c量 o r ,tA s A 4c l, o B 2 m st。 设 r l 1
积分
dv vx
v0
x
0
0vydvy
eAtcoksd tt m0
得
vx
dx dt
v0
vy
dyeAsink dt mk
t
已知: m ,v 0,E A c o sk t,v 0 E ,F eE ,不 计 重 力
求:质点的运动轨迹。
由t0时xy0,积分
x
并与铅直线成 60 角。如小球在水平面内作
匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
已知: m 0 .1 k,gl0 .3 m , 600匀速
求: v, F
解 : 研究小球， m v2 F sin
Fcosmg0
其中 lsin
解得
F mg1.96N
cos
v
Flsin2
m
2.1ms
这是混合问题。
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docin/sanshengshiyuan doc88/sanshenglu
7.3 质点运动微分方程
质点动力学第二定律
m a Fi
或
m
d2r dt2
Fi
1）质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
d 2x
d 2y
d 2z
m d t2 F x,m d t2 F y,m d t2 F z
2）质点运动微分方程在自然轴上的投影
由 a a t a n n ,a b 0 ,
t
0 dx 0v0dt ,
ydyeAtsin kdtt
0
mk0
得运动方程
xv0t,
yeA coks t1
m2k
消去t, 得轨迹方程
ymeAk2 cosvk0 x1
这是第二类基本问题。
例7-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小 球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,
7.1 概述：动力学、质点、质点系
动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
空气动力学
动力学
结构动力学
超高速碰撞动力学
动力学的抽象模型
质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可 忽略不计的物体。
质点动力学
质点系：由几个或无限个相互有联系的质点组 成的系统。
质点系动力学
刚体：特殊质点系，其中任意两点之间的距离 保持不变。
有 mat Ft, mv2Fn, 0Fb
3 、质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力.
第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
7.4 质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力. 第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
例7-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度
7.2 动力学基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律（力与加速度之间关系定律）
ma F
力的单位:牛[顿], 1N1kg1ms2
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反, 沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
求: 0, 时A 杆 受 BF 力 ?
2
解:研究滑块
mxaFcos
其中 a x x r2 co t s c2 o ts
当 0 时 ,a x r2 1 ,且 0
得 Fmr 21
当 2 时 , a x r2 且 co l s 2 r 2l
已知: m ,v 0,E A c o sk t,v 0 E ,F eE ,不 计 重 力
求:质点的运动轨迹。
解:
m d d t2 2 x m d d v tx 0 , m d d 2 t2 y m d d v ty ec A k ots
由 t0 时 vxv0, vy0 ,
有 mr2Fl2r2 l
得 Fm2 r2 l2r2
这属于动力学第一类问题。
例7ຫໍສະໝຸດ Baidu2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强 度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强
度垂直,如图所示。质点在电场中受力 FeE 作用。
已知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。
转动, OA=r,AB=l,当 r/l 比较小时,以O 为坐标
原点,滑块B 的运动方程可近似写为
xl142rcots4co2st
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和时 ,
连杆AB所受的力. 2
则已x知:l 1 常 4 2 ,rO c量 o r ,tA s A 4c l, o B 2 m st。 设 r l 1
积分
dv vx
v0
x
0
0vydvy
eAtcoksd tt m0
得
vx
dx dt
v0
vy
dyeAsink dt mk
t
已知: m ,v 0,E A c o sk t,v 0 E ,F eE ,不 计 重 力
求:质点的运动轨迹。
由t0时xy0,积分
x
并与铅直线成 60 角。如小球在水平面内作
匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
已知: m 0 .1 k,gl0 .3 m , 600匀速
求: v, F
解 : 研究小球， m v2 F sin
Fcosmg0
其中 lsin
解得
F mg1.96N
cos
v
Flsin2
m
2.1ms
这是混合问题。
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7.3 质点运动微分方程
质点动力学第二定律
m a Fi
或
m
d2r dt2
Fi
1）质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
d 2x
d 2y
d 2z
m d t2 F x,m d t2 F y,m d t2 F z
2）质点运动微分方程在自然轴上的投影
由 a a t a n n ,a b 0 ,
t
0 dx 0v0dt ,
ydyeAtsin kdtt
0
mk0
得运动方程
xv0t,
yeA coks t1
m2k
消去t, 得轨迹方程
ymeAk2 cosvk0 x1
这是第二类基本问题。
例7-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小 球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,