质点运动微分方程 共16页
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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
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§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
基础物理学 第四章(2)
一、质点的动量定理 dv 牛顿第二定律表述为： ma m F
dt
式中F为质点所受合力，由于质量m为常量，所以有
d (mv ) F dt
d义质点的动量：
p mv
动量是矢量，方向与质点的速度同向。 定义Fdt为dt时间内力F对质点的元冲量，用dI表示，即
14
普 通 物理学
三、质点动量定理的积分形式
对动量定理表达式两边同乘 dt，积分： p2 t2 t2 p1 dp t1 Fdt t1 dI t2 p2 p1 Fdt I t1 t2 右边称合力的冲量，表示为： I Fdt t1 t 于是有： Fdt mv mv0
dI 1 dI 2 dI n
即合力对质点的元冲量等于各分力对质点元冲量的矢 量和。
13
普 通 物理学
二、质点的动量守恒定律
若在某一过程中，质点所受合力恒为零，即F=0,则在 该过程中质点的动量守恒，即P=C（常矢量）。
d pl Fl dt
ˆ 质点动量沿 el 方向的分量守恒
t0
质点动量定理：质点所受的外力冲量，等于 质点动量的增量。
15
普 通 物理学
动量定理的分量式：
I x Fx dt mvx mv0 x
t t0
I y Fy dt mvy mv0 y
t t0
t
I Z FZ dt mv Z mv 0 Z
t0
16
普 通 物理学
1
ˆ (5 N s ) ˆ (7 N s)i j
19
普 通 物理学
由动量定理
mv2 mv1 I
理论力学 第11章 质点运动微分方程
必须指出，牛顿定律中涉及到物体的运动与作用在 物体上的力。显然，物体及其所受的力不因参考系的选 择而改变，但同一物体的运动在不同的参考系中的描述 可能是完全不同的，这就存在着根本性的矛盾。这决定 了牛顿定律不可能适用于一切参考系，而只能适用于某 些参考系。凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系。 凡牛顿定律成立的参考系，称为惯性参考系 凡牛顿定律成立的参考系
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
2 d 2ρ dϕ m 2 −ρ = Fρ dt dt 2 d ρ dϕ d ϕ m 2 + ρ 2 = Fϕ dt dt dt
（11.6）
这就是极坐标形式的质点运动微分方程。
11.3 质点动力学的两类基本问题
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两 类基本问题。 第一类基本问题 已知质点的运动规律，即已知质点 的运动方程或质点在任意瞬时的速度或加速度，求作用 在质点上的未知力。这一类问题可归结为数学中的微分 问题。 求解该问题比较简单。若已知质点的运动方程，则 只须将它对时间求两次导数即可得到质点的加速度，代 入适当形式的质点运动微分方程，得到一个代数方程组， 求解这个方程组即可得到所求的未知力。
11.1 动力学基本定律
质点动力学的基本定律是牛顿在总结前人特别是伽 利略的研究成果的基础上，1687年在其著作《自然哲学 的数学原理》中提出来的，通常称为牛顿三定律 牛顿三定律。这些 牛顿三定律 定律是动力学的基础。
11.1 动力学基本定律
第一定律 任何质点都保持其静止的或作匀速直线运 动的状态， 动的状态，直到它受到其他物体的作用而被迫改变这 种状态为止。 种状态为止 质点保持静止或匀速直线运动状态的属性称为惯性 惯性， 惯性 质点作匀速直线运动称为惯性运动，因此第一定律又称 惯性运动， 惯性运动 惯性定律。此定律表明：质点必须受到其他物体的作用 惯性定律 时，也就是受到外力的作用时，才会改变其运动状态， 即外力是改变质点运动状态的原因 外力是改变质点运动状态的原因。 外力是改变质点运动状态的原因
第二章非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力 科氏惯性力
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
《工程力学 》课件第14章
14.2.3 点的加速度
同直角坐标法求速度的方法一样， 动点的加速度在直角 坐标轴上的投影为
ax
lim vx Δt0 t
dv x dt
d2x dt 2
ay
lim v y Δt0 t
dv y dt
d2 y dt 2
（14-19）
即动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应的速度
投影对时间的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导
当点M沿已知轨迹运动时， 弧坐标s是时间t的单值连续函
数， 即
s f (t)
（14-1）
上式称为动点沿已知轨迹的运动方程。当函数已知时，任一瞬 时点在轨迹上的位置即可确定。
图14-1
例14-1 点M沿已知曲线轨迹运动，如图14-2所示。其运 动方程为s=t2-2t-1(s的单位为cm，t的单位为s)。试求当t=0、1、 2、3s时，点的弧坐标s以及0～3s内动点所走过的路程。
如图14-4所示，动点M沿已知轨迹运动。以动点M为坐标 原点， 以轨迹上M点的切线和法线为坐标轴，并规定切线坐标 轴（切向轴）τ以指向弧坐标正的方向为正向，法线坐标轴 （法向轴）n以指向轨迹曲率中心为正向。 此正交坐标系称为 自然坐标系，简称自然轴系。可见, 自然轴系随动点M沿已知 轨迹运动。
图14-4图
a an 4R 2
其方向沿MO且指向O，可知套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。
14.2 直角坐标法求点的速度和加速度
14.2.1 点的运动方程
设一动点M相对于直角坐标系Oxy作平面曲线运动，如图 14-8所示，某瞬时它的位置可用直角坐标系的两个坐标x、y确 定。点运动时，两个坐标x、y都是时间t的单值连续函数，即
数。 有了加速度的两个投影，即可求得加速度a的大小和方向
§1.5 质点运动微分方程
§1.5质点运动微分方程a m F = ),,(t rr F F = ⇒质点动力学内容⎩⎨⎧）已知力求运动规律（）已知运动规律求力（21 或二者兼而有之1、自由质点运动微分方程自由质点 不受任何约束 三个自由度 三个独立变量 由r m F= 得⎪⎩⎪⎨⎧===),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(t z y xz y x F z m t z y x z y x F y m t z y x z y x F x m z y x（※） （※）是二阶微分方程组，给出所有可能的运动，经两次积分，存在六个积分常数，满足（※）式的解有若干个；任何质点的实际运动，在任意时刻都有确定的位置和速度，通过0=t 时的000000,,;,,z y x z y x 确定积分常数，定出唯一解（满足初始条件），给出特定条件下的运动规律。
直线运动 ),,(t x x F xm = 平面运动 ⎩⎨⎧==),,;,(),,;,(t y x y x F y m t y x y x F x m y x ⎩⎨⎧=+=-),,;,()2(),,;,()(2t r r F rr m t rr F r r m r θθθθθθθθ2、非自由质点的运动微分方程（1）约束 质点运动所受的限制 受约束质点为非自由质点约束的数学表达式⇒约束方程 ，如0),,,(=t z y x f ；质点受到约束后自由度减少一般一个约束减少一个自由度；约束的数学意义是几何曲线或曲面，物理意义为约束反作用力；约束⇒约束反作用力 非自由质点⇒自由质点约束反作用力为未知量，不完全由约束而定，与质点所受的其它力和运动状态有关 例如 曲面约束⎩⎪⎨⎧+=+=+=z z y y x x R t z y x z y x F z m R t z y x z y x F y m R t z y x z y x F x m ),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(0),,,(=t z y x f （约束方程） 两个自由度 四个方程（2）内禀方程约束力处于法向平面内（,29p 图1.5.1），这时0=b a ，（)n b⨯=τa 在密切平面内 选用自然坐标系 对理性约束 0=τR ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+==)3(0)2()1(2b b n n R F R F vm F dt dv m ρτ注意：在理想约束情况下，运动规律和约束反作用力可以分开求！由（1）式求出运动规律 （),,,z y x v ⇒将v 代入（2）式，利用232)1(1y y '+''=ρnR ⇒；由（3）b R ⇒ 运动规律和约束反作用力全部求出！ 〖以平面约束为例证明232)1(1y y '+''=ρ)(x f y = dxy dydxds 2221'+=+=αtg y =' dxy y d '''+=232)1(1α ∴232)1(1y y '+''=ρ〗对非理想约束，即有摩擦存在时，切向方程中增加R f μ=一项，这时运动规律和约束反作用力不能分开求了！ 3、运动微分方程的解理论力学中，常见变力，)t ,r,r (F形式复杂；求解二阶微分方程组，则 （1）隔离物体，具体分析（受力，已知，未知）；（2）选取坐标系，建立微分方程组（力学问题⇒数学问题）； （3）根据初始条件求解方程组； （4）分析结果，阐明物理意义。
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
解 分别取圆轮和物块A为研究对象 设滑块A有向下加速度a，圆轮有角加速度ε。由运动学知 a=rε 即a =0.4ε 取物块A为研究对象，受力图如图所示，物块有向下的加速 度a做平移运动。列出动力学基本方程
再取圆轮为研究对象,受力图如 图所示, 列出动力学基本方程
F=ma
质点动力学 基本方程
F表示作用于质点上力系的合力，加速 度a的方向与质点合力F的方向相同。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－1 动力学基本定律
质点动力学基本方程具有下列几个方面的含义：
(1)作用在质点上的力与质点的加速度是 瞬时关系。两者同瞬时产生，同瞬时 消失；力变化时，加速度随着变化； 若合力为零，质点作惯性运动。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
转动惯量 I. 转动惯量的概念
mi代表各质点的质量，ri为各质点 到转动轴线的距离
飞轮
刚体的质量愈大，或质量分布离转轴愈 远，则转动惯量就愈大；反之，则愈小。
第3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
式中,Fx表示作用于质点上的合力沿x轴方向的投影，Fy 表示合力沿y轴方向的投影, ax为加速度在x轴方向的投 影, ay为加速度在y轴方向的投影。 第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－2 质点运动微分方程及其应用
求解质点动力学的两类问题
1.质点动力学的第一类问题---已知运动 求作用力
已知质点的运动(运动方程、速度方程和 加速度),将运动方程或速度方程对时间求 导得到加速度,将加速度代入基本方程,可 求解出质点上的作用力。求解较容易。
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
解 分别取圆轮和物块A为研究对象 设滑块A有向下加速度a，圆轮有角加速度ε。由运动学知 a=rε 即a =0.4ε 取物块A为研究对象，受力图如图所示，物块有向下的加速 度a做平移运动。列出动力学基本方程
再取圆轮为研究对象,受力图如 图所示, 列出动力学基本方程
F=ma
质点动力学 基本方程
F表示作用于质点上力系的合力，加速 度a的方向与质点合力F的方向相同。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－1 动力学基本定律
质点动力学基本方程具有下列几个方面的含义：
(1)作用在质点上的力与质点的加速度是 瞬时关系。两者同瞬时产生，同瞬时 消失；力变化时，加速度随着变化； 若合力为零，质点作惯性运动。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
转动惯量 I. 转动惯量的概念
mi代表各质点的质量，ri为各质点 到转动轴线的距离
飞轮
刚体的质量愈大，或质量分布离转轴愈 远，则转动惯量就愈大；反之，则愈小。
第3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
式中,Fx表示作用于质点上的合力沿x轴方向的投影，Fy 表示合力沿y轴方向的投影, ax为加速度在x轴方向的投 影, ay为加速度在y轴方向的投影。 第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－2 质点运动微分方程及其应用
求解质点动力学的两类问题
1.质点动力学的第一类问题---已知运动 求作用力
已知质点的运动(运动方程、速度方程和 加速度),将运动方程或速度方程对时间求 导得到加速度,将加速度代入基本方程,可 求解出质点上的作用力。求解较容易。
达因换算
d2x dt 2
Fx
m
d2 y dt 2
Fy
m
d2z dt 2
Fz
称为直角坐标形式的质点运动微分方程。将矢量形式的质点运动微分方程
投影到自然坐标轴上，有
mmddvt222s
F Fn
0 Fb
称为自然坐标形式的质点运动微分方程。
第7页/共16页
9.3.2 质点动力学的两类基本问题
1．第一类问题 已知质点的运动，求作用于质点上的力。求解这类问题实际上是一个求导数 的运算。求解这类动力学问题的步骤可大致归纳如下： (1) 选取研究对象，画受力图； (2) 分析运动，根据给定的条件，分析某瞬时的运动情况； (3) 根据研究对象的运动情况，列质点的运动微分方程； (4) 求解未知量
，
m dv mgsin
dt
又因为 v ds d (l) l&，上式可表示为
dt dt
ml&& mg sin
0
l
F
v
mg
由于 sin ，上面的运动微分方程可写为
第12页/共16页
&& g 0
l
引入 k g ，则上式可表写为
l
&& k 2 0
它的通解为Βιβλιοθήκη Acos(kt )，
由初始条件
第3页/共16页
当质点同时受到几个力的作用时，式中的应为此汇交力系的合 力，此时，第二定律可表示为：
ma F
在国际单位制(SI)中，力的单位是牛顿。质量为1kg的质点，获得1m/s2的 加速度时，作用于该质点的力为1N(牛顿)，即
1N 1kg 1m / s2
第4页/共16页
在精密仪器工业中，也用厘米克秒制(CGS)。力的单位是dyn(达因)，即
运动微分方程
F = ma
铁球在未离开筒壁前m的vR2速度F，N等mvgcoRwsq πnR
于筒壁上与其重合点的速度。即
30
运动微分方程
mvR2 FNmgcosq
v Rw πnR
30
1
nπ3R0m R(FNmgcoqs)2
当θ=θ0 时铁球将落下，这时FN =0，于是得滚筒转速
n9.549 Rg cosq0
q0 F
速度成正比：F=cv，c为常数。求回收舱到达地
面时的速度和加速度。
运动微分方程
例题粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平
匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0 时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。
q0 F
n
FN mg
视铁球为质点。铁球被旋 转的滚筒带着沿圆弧向上运动， 当铁球到达某一高度时，会脱 离筒壁而沿抛物线下落。
aC
Fe
OC
O'
R
这就是小环 M 相对于大圆环的运动微分方程。
应用循环变换q q dq，将式( a )的变量分离并代
dq
入初始条件进行积分
运动微分方程
q q dq dq
qw2siqn
qqdqqw2siqndq
2w
0
q w q 222(1co)s
w O
art
vr
FN M
ae
aC
Fe
arn qFC s
牛顿定律的适用范围： 惯性坐标系； 速度远远小于光速； 宏观物体; 质点(平动刚体)
动力学理论有着广泛的应用。航天航空中的动力学计 算、结构的动荷响应、高速转动机械的动力学行为分 析等都需要有动力学的知识作为基础。
(导学)10质点运动微分方程
g e
。
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
20
8 战斗机重力为P1=29.4kN,引擎的推进力为F1=14.7kN，其 起飞速度为v=36.1m/s。空气阻力与速度的平方成正比，为 FR=kv2，单位为N，阻力方向与速度方向相反，其中，k=1.96。 为使战斗机能在舰船上起飞，采用弹射器以减少飞机的滑行路 程，假定弹射器的附加推力等于F2＝4.9kN,试问战斗机起飞跑 道的长度可缩短多少？
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
4
2) 质点运动微分方程的常用表达式
形式 矢量 O
r
图例 M
a
F
运动微分方程
d2 r m 2 F dt
适用 空间曲线
z
直角坐标
az Fy
Fx
Fz
M
z
x
ay
y
x
弧坐标
（自然法）
O
y
ax
s (-)
O a n (+) Fn
Fr
答案
Fmax=102kN，F=99kN。
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
17
5 筛粉机如图所示。已知曲柄OA以匀角速度转动， OA=AB=l，石料与筛盘间的摩擦因数为fs，为使碎石料在筛盘 中来回运动。试求曲柄OA的角速度至少应多大？
答案
gf s 2l
。
工程力学导学 动力学
切线方向：
mq r mg sin q
q g sin q / r
积分（注意分离变量）：
dq dq dq dq q q dt d q d t dq
理论力学11 质点运动微分方程
质点。
2.质点系 质点系：由有限或无限个有着一定联系 质点系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 刚体 不变的质点组成,又称为不变质点系。
1
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
5
二. 第二定律（力与加速度关系定律） 第二定律（力与加速度关系定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与质点的质量成反比， 小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。 向相同。
即：
r r F a= m
r r 或 ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式 为动力学基本方程 动力学基本方程。 动力学基本方程 注意： 注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的合力。
2
授课教师：薛齐文 授课教师： 土木与安全工程学院力学教研室
3
第十一章
质点运动微分方程
§11–1 动力学基本定律 §11–2 质点运动微分方程
4
§11.1 动力学基本定律 动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为 动力学的理论基础 动力学的基本定律。 第一定律（惯性定律） 一. 第一定律（惯性定律） 任何质点如不受力作用， 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。 直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 称为惯性 事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为 平衡力系，则等效于质点不受力。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。
质点运动微分方程
ma= F
式中：m——质点的质量； F——作用于质点上的所有力的合力； a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其
加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点，作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示，取活塞初 始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2
或
m d2x v
dt 2
令k
m
，则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压
式中：m——质点的质量； F——作用于质点上的所有力的合力； a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其
加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点，作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示，取活塞初 始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2
或
m d2x v
dt 2
令k
m
，则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压
第十一章 质点运动微分方程理论力学
第十一章 质点运动微分方程 该定律表明：
14
1、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时 对质点运动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表 现的。作用力并不直接决定质点的速度，速度的方向 可以完全不同于作用力的方向。 2、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点 上，则质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越 大。 这说明：质量越大，保持其原来运动状态的能力越 强，即质量越大，惯性也越大。因此，质量是质点惯 性大小的度量。
Fmax
2 v0 = P(1 + ) gl
第十一章 质点运动微分方程
25
※ 刚才介绍的是动力学第一类问题，其要点是运动方程的 建立，基本数学方法是求导 ※ 动力学第二类问题，是已知力求运动。基本数学方法是 积分。积分的难易取决于载荷的复杂程度。通常有： F=F（c、t、v、r） ※ 目前要求掌握： F=c F=F（v） F=F（t） F=F（r） 须将积分 变量作变换 dv dv dx m = m ⋅ = F ( x) dt dx dt
第十一章 质点运动微分方程 第二定律（力与加速度关系定律）
13
质点受力作用时所获得的加速度的大小与作 用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速 度的方向与力的方向相同。 即：
F a= m
或
ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常 称上式为动力学基本方程。 当质点同时受几个力的作用时上式中的F 应理解 为这些力的合力。
α ω α B
l
M
F F N1 N2 an FN2 α mg M
a
a
l
第十一章 质点运动微分方程
A α ω α B l M a FN 1 sin α + FN 2 sin α ρ
[理学]动力学专题4——质点的运动微分方程
![[理学]动力学专题4——质点的运动微分方程](https://img.taocdn.com/s3/m/b6c9abe30912a2161579298f.png)
越大，因此，质量是质点惯性的度量。
第三定律（作用与反作用定律）
两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方 向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质 点上。
在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力 学里，这一定律依然成立。
由于作用与反作用，引起了机械运动在相互 作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种 机械运动转移的反映。
v0cos0
sg 2gH
v0sin0 2gH
抛射初速度大小与发射角0为：
v0
(v0cos0)2(v0sin0)2
g2s2 2gH 2gH
9.81252 29.811.5m/s10.5m/s 29.811.5
0 ta 1 v v 0 0 c s nio 0 0 n tsa 1 2 s H n ta 1 2 5 n 1 .5 3 1
动拉力。全部拉力称为动拉力。
例题 4-2
煤矿用填充机进行填充, 为保证充填材料抛到 距离为s=5 m，H=1.5 m的顶板A处。求 (1)充填材 料需有多大的初速度v0 ？ (2)初速 v0与水平的夹
角 0？ 不计空气阻力。
解：已知力为常量，属于第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，画受力图，M作 斜抛运动。 t0,x00,y00;
§4-1 动力学基本定律
1. 动力学基本定律
动力学基本定律是动力学的基础,但它们只能直 接应用于质点。对于质点系,应该将它们分别应用于 每一质点,然后导出质点系的运动规律。
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复 杂物体系统的基础，质点动力学基本方程给出了质 点受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是 三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成 果基础上提出的，称为牛顿三定律。
研究对象 2. 受力分析
第三定律（作用与反作用定律）
两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方 向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质 点上。
在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力 学里，这一定律依然成立。
由于作用与反作用，引起了机械运动在相互 作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种 机械运动转移的反映。
v0cos0
sg 2gH
v0sin0 2gH
抛射初速度大小与发射角0为：
v0
(v0cos0)2(v0sin0)2
g2s2 2gH 2gH
9.81252 29.811.5m/s10.5m/s 29.811.5
0 ta 1 v v 0 0 c s nio 0 0 n tsa 1 2 s H n ta 1 2 5 n 1 .5 3 1
动拉力。全部拉力称为动拉力。
例题 4-2
煤矿用填充机进行填充, 为保证充填材料抛到 距离为s=5 m，H=1.5 m的顶板A处。求 (1)充填材 料需有多大的初速度v0 ？ (2)初速 v0与水平的夹
角 0？ 不计空气阻力。
解：已知力为常量，属于第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，画受力图，M作 斜抛运动。 t0,x00,y00;
§4-1 动力学基本定律
1. 动力学基本定律
动力学基本定律是动力学的基础,但它们只能直 接应用于质点。对于质点系,应该将它们分别应用于 每一质点,然后导出质点系的运动规律。
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复 杂物体系统的基础，质点动力学基本方程给出了质 点受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是 三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成 果基础上提出的，称为牛顿三定律。
研究对象 2. 受力分析
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已知: m ,v 0,E A c o sk t,v 0 E ,F eE ,不 计 重 力
求:质点的运动轨迹。
解:
m d d t2 2 x m d d v tx 0 , m d d 2 t2 y m d d v ty ec A k ots
由 t0 时 vxv0, vy0 ,
转动, OA=r,AB=l,当 r/l 比较小时,以O 为坐标
原点,滑块B 的运动方程可近似写为
xl142rcots4co2st
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和时 ,
连杆AB所受的力. 2
则已x知:l 1 常 4 2 ,rO c量 o r ,tA s A 4c l, o B 2 m st。 设 r l 1
Flsin2
m
2.1ms
这是混合问题。
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有 mr2Fl2r2 l
得 Fm2 r2 l2r2
这属于动力学第一类问题。
例7-2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强 度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强
度垂直,如图所示。质点在电场中受力 FeE 作用。
已知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。
第7章 质点运动微分方程
7.1 概述：动力学、质点、质点系
动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
空气动力学
动力学
结构动力学
超高速碰撞动力学
动力学的抽象模型
质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可 忽略不计的物体。
质点动力学
质点系：由几个或无限个相互有联系的质点组 成的系统。
质点系动力学
刚体：特殊质点系，其中任意两点之间的距离 保持不变。
7.2 动力学基本定律
第一定律 (惯性定律):
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律（力与加速度之间关系定律）
ma F
力的单位:牛[顿], 1N1kg1ms2
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反, 沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
t
0 dx 0v0dt ,
ydyeAtsin kdtt
0
mk0
得运动方程
xv0t,
yeA coks t1
m2k
消去t, 得轨迹方程
ymeAk2 cosvk0 x1
这是第二类基本问题。
例7-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小 球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,
有 mat Ft, mv2Fn, 0Fb
3 、质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力.
第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
7.4 质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知运动求力. 第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
例7-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度
积分
dv vx
v0
x
0
0vydvy
eAtcoksd tt m0
得
vx
dx dt
v0
vy
dyeAsink dt mk
t
已知: m ,v 0,E A c o sk t,v 0 E ,F eE ,不 计 重 力
求:质点的运动轨迹。
由t0时xy0,积分
x
并与铅直线成 60 角。如小球在水平面内作
匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
已知: m 0 .1 k,gl0 .3 m , 600匀速
求: v, F
解 : 研究小球， m v2 F sin
Fcosmg0
其中 lsin
解得
F mg1.96N
cos
v
Hale Waihona Puke 7.3 质点运动微分方程质点动力学第二定律
m a Fi
或
m
d2r dt2
Fi
1）质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
d 2x
d 2y
d 2z
m d t2 F x,m d t2 F y,m d t2 F z
2）质点运动微分方程在自然轴上的投影
由 a a t a n n ,a b 0 ,
求: 0, 时A 杆 受 BF 力 ?
2
解:研究滑块
mxaFcos
其中 a x x r2 co t s c2 o ts
当 0 时 ,a x r2 1 ,且 0
得 Fmr 21
当 2 时 , a x r2 且 co l s 2 r 2l