2012高三数学寒假作业(1)

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江苏省南京师大附中高三数学寒假作业

南京师大附中2012届高三寒假作业数学(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则A B = ▲ 2．若复数()(1)a i i -+（i 是虚数单位，a R ∈）是纯虚数,则a = ▲ .3．直线l 经过点)1,2(-，且与直线0532=+-y x 垂直，则l 的方程是 ▲ .4．命题“x R ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是 ▲ .5．函数x x y cos 2+=在(0,)π上的单调递减区间为 ▲ .6．已知平面向量(1,2)a =，(1,3)b =-，则a 与b夹角的余弦值为 ▲ 7. 把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是 ▲ .（用分数表示）8．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组),(y x 依次记为),(11y x ，),(22y x ，，(,)n n x y ,，则程序运行结束时输出的最后一个数组为 ▲ .9．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ . 10．已知n m ,是两条不同的直线，α为两个不同的平面，有下列第9题第8四个命题：① 若//,//m n αα，则//m n ； ② 若,m n αα⊥⊥，则//m n ； ③ 若//,m n αα⊥，则n m ⊥；④ 若,m m n α⊥⊥，则//n α．其中真命题的序号有 ▲ .（请将真命题的序号都填上）11．若函数2x by x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a = ▲ .12．将正偶数排列如右表，其中第i 行第j 个数表示为*(,)ij a i j N ∈，例如4318a =，若2010ij a =，则i j += ▲ 13．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上存在一点M ，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为 ▲ .14．锐角ABC ∆的三边c b a ,,和面积S 满足条件22()4c a b S k --=,又角C 既不是ABC ∆的最大角也不是ABC ∆的最小角,则实数k 的取值范围是 ▲ 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分). 已知角,,A B C 是ABC ∆的内角，向量(1,3),(sin(),sin())2m n A A ππ==--，m ⊥n. （Ⅰ）求角A 的大小（Ⅱ）求函数)23cos(sin 22B B y -+=π的值域.2 6 10 12第12ACB1AD1B1C第1616．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB AB =，B A AC 11⊥，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：1B C ∥平面BD A 1；（Ⅱ）求证：平面11AB C ⊥平面11ABB A .17．(本小题满分14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t =+，人均消费()g t （元）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）.18．(本小题满分16分)已知22:1O x y +=和点(4,2)M . （Ⅰ）求以点M 为圆心，且被x轴截得的弦长为⊙M 的方程；（Ⅱ）过点M 向O 引切线l ，求直线l 的方程；第18（Ⅲ）设P 为⊙M 上任一点，过点P 向O 引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分) 已知数列}{n a 是以d 为公差的等差数列，数列}{n b 是以q 为公比的等比数列．（Ⅰ）若数列}{n b 的前n 项和为n S ,且112a b d ===,31003252010S a b <+-,求整数q 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列}{n b 中是否存在一项k b ，使得k b 恰好可以表示为该数列中连续(,2)p p N p ∈≥项的和？请说明理由；（Ⅲ）若123,,r s r t b a b a a b a ==≠=（其中t s r >>，且（s r -）是（t r -）的约数），求证：数列}{n b 中每一项都是数列}{n a 中的项.20．(本小题满分16分)已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠. （Ⅰ）当1a >时，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；（Ⅲ）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.南京师大附中2012届高三寒假作业数学参考答案必做题部分填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. [0,2]2. 1a =-3. 3240x y ++=4. x R ∃∈,sin 1x <-5.5(,)66ππ6.27.13 8. (27,6)- 9.38a 10.②③ 11. 116 12. 6013.14.1,1)解答题：本大题共6小题，计90分.15. 解：（Ⅰ）因为(sin ,cos )n A A =-，且m ⊥n ，所以m ·n=sin 0A A = (4)分则tan A =A (0,)π∈，所以3A π=…………………………………………………7分（Ⅱ）因为1(1cos 2)(cos 22)2y B B B =-++112cos 22B B =-1sin(2)6B π=+- ……………………………………………11分而3A π=，所以203B π<<，则72666B πππ-<-<，所以1sin(2),162B π⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦ 故所求函数的值域为1,22y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ……………………………………………………………14分 16. 证明：（Ⅰ）设11AB A B O =，连结OD .由于点O 是1AB 的中点，又D 为AC 的中点，所以1//OD B C ………………………………5分而1B C ⊄平面BD A 1，OD ⊂平面BD A 1，所以1B C ∥平面BD A 1…………………………7分（Ⅱ）因为1BB AB =，所以是11ABB A 正方形，则11A B AB ⊥，又11A B AC ⊥,且11,AC AB ⊂平面11AB C ,11AC AB A =，所以1A B ⊥平面11ABB A …12分而1A B ⊂平面11AB C ，所以平面11AB C ⊥平面11ABB A ………………………………………14分17．解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t =⋅=+--……………………………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………………………7分 ①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t =++=++4401441≥⨯= 当且仅当25t t =，即5t =时取等号……………………………………………………………10分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t =+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033………………………………………………13分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元…………………………14分 18. 解：（Ⅰ）设圆的半径为r ，则9)5(2222=+=r ……………………………………3分∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x ……………………………………………………5分（Ⅱ）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得11|24|2=+-k k，解得k =……………8分∴切线l方程为24)y x -=- ………………………………………………………10分（Ⅲ）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，根据题意可得122-+=y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1b y a x y x …………………………12分即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得： [])11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ ………………………………14分若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ，解得310,51,522,1,2======λλb a b a 或，∴可以找到这样的定点R ，使得PR PQ为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2；点R 的坐标为)51,52(时，比值为310…………………………………………………………16分19．解：（Ⅰ）由题意知，12,2n n n a n b q -==⋅，所以由31003252010S a b <+-，得21231003212352010420062010430b b b a b b b b q q ++<+-⇒-+<-⇒-+<……3分解得13q <<，又q 为整数，所以2q =………………………………………………………5分（Ⅱ）假设数列{}n b 中存在一项k b ，满足121k m m m m p b b b b b +++-=+++⋅⋅⋅+，因为2nn b =，∴11221k m p k m p b b k m p k m p +-+->⇒>⇒>+-⇒≥+（*）…………8分又111212(21)222221m p k m m n p k m m m m p b b b b b ++-+++--==+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-=22m pm +-2m p +<，所以k m p <+，此与（*）式矛盾.所以，这要的项k b 不存在………………………………………………………………………11分（Ⅲ）由1r b a =，得21()r s r b b q a q a a s r d ====+-，则(1)r a q d s r -=- ………………12分又22231(1)()()r r t r r r a q b b q a q a a t r d a q a t r s r -====+-⇒-=-⋅-，从而(1)(1)(1)r r t ra q q a q s r -+-=-⋅-，因为12s r a a b b ≠⇒≠，所以1q ≠，又0r a ≠，故1t rq s r -=--. 又t s r >>,且（s r -）是（t r -）的约数,所以q 是整数,且2q ≥………14分对于数列}{n b 中任一项i b （不妨设3i >），有11(1)i i i r r r b a q a a q --==+- 2222(1)(1)()(1)i i r r r a a q q q q a d s r q q q --=+-+++⋅⋅⋅+=+-+++⋅⋅⋅+ 22[(()(1)1)1]i r a s r q q q d -=+-+++⋅⋅⋅++-⋅，由于22()(1)1i s r q q q --+++⋅⋅⋅++是正整数，所以i b 一定是数列}{n a 的项……………16分 20. 解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=+-=+-…………………………………3分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ……………………………………………………………5分（Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增，故()0f x '=有唯一解0x =……………………………………………………………………7分所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：又函数|()|1y f x t =--有三个零点，所以方程()1f x t =±有三个根，而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t = ……………………………11分（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…………12分由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a aa a --=+--++=--，记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥（当1t =时取等号），所以1()2ln g t t tt =--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =，所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <，也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-………………………14分 ①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥，②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e --≥-⇒+≥-⇒<≤，综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦…………………………………………16分。

高三寒假作业上篇

假期是快乐的，玩耍时快乐，学习是快乐的，进步是快乐的，有玩有学，又学又玩最快乐！高中数学知识总结（上篇）一、集合与逻辑1、区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝{}2|1,y y x x M =+∈，则M N = ___（答：[1,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈ ，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+ ，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）2、条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

（答：a ≤0）3、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

（答：3(3,)2-）4、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别:命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q ”，“p 且q ”的否定是“┐P 或┐Q ”注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数二、函数与导数1、对勾函数x ax y +=是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a ；递减，在时)0,[],0(,0a a a ->递增，在),a [],a (+∞--∞2、单调性①定义法;②导数法. 如：已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(,3]-∞))；注意①：0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

2012-2013学年高三数学寒假作业1 含答案

数学寒假作业1一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.中国教考资源网1. 已知集合A 、B 满足A B A =，那么下列各式中一定成立的是（）A.ABB 。

B AC 。

A B B = D.A B A =2．设条件,0:;0:2≥+>a a q a p 条件那么p 是q 的什么条件（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件中国教考资源网C ．充分且必要条件D ．非充分非必要条件中国教考资源网3.若12ab,则（）（A ）22aba(B)22abb（C ）2log ()1ab(D)2log ()2ab4．已知双曲线)0,0(,12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（ )A ．34B ．35C ．45D ．235. 设向量a ,b 满足:||3=a ,||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ）A ．3B 。

4C ．5D ．66．为确保信息安全,信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密），输入a,b,c,d22234m a b n b c p c d q d←+←+←+←输出m,n,p,q 结束开始第7题图接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16。

当接收方收到密文14,9, 23,28时,则解密得到的明文为（）A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,77.在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是（）.（A ）BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离（B ）BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离（C ）BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30︒ （D)BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30︒8．已知)(x f 是业义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数R∈b a ,满足：)()2(,2)2(),()()(*∈==+=⋅N n n f a f a bf b af b a f n n ，)(2)2(5*∈=N n b n n n 中国教考资源网考察下列结论：网①);1()0(f f =②数列｛a n }为等比例数列；中国教考资源网③数列{b n }为等差数列。

高三数学寒假作业：(一)(Word版含答案)

高三数学寒假作业（一）一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.满足条件{1,2}{1,2,3}M =的所有集合M 的个数是 A.1B. 2C. 3D. 42.下列说法正确的是（） A. 命题“R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ” B. “1>a ”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在),0(+∞上为增函数”的充要条件 C. “p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件 D. 命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题3.设函数()|sin(2)|3f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（） A. ()f x 是偶函数B. ()f x 最小正周期为πC. ()f x 图象关于点(,0)6π-对称 D. ()f x 在区间7[,]312ππ上是增函数 4.实数5lg 24lg 81log 22723log 322++∙- 的值为（）5.函数()sin ,[,],22f x x x x =∈-12()()f x f x >若，则下列不等式一定成立的是( ) A ．021>+x x B ．2221x x > C ．21x x > D ．2221x x <6.已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a ( )A. 55B. 35C. 50D. 467.在等差数列{}n a 中，12012a =-，其前n 项和为12102012,2,n S a a S -=若则的值等于 A.2010-B.2011-C.2012-D.2013-8.在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，如果 cos(2)2sin sin 0B C A B ++<，那么三边长a 、b 、c 之间满足的关系是（）A ．22ab c >B ．222a b c +<C ．22bc a >D ．222b c a +<9.若点(4,2)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（）A ．2100x y +-=B ．20x y -=C ．280x y +-=D ．260x y --=二、填空题10.已知复数(2)x yi -+ (,x y R ∈),则yx的最大值是 . 11.一根绳子长为6米，绳上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为．12.曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是______________. 13.已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 .三、计算题14.（本小题满分14分）设对于任意的实数,x y ，函数()f x ，()g x 满足1(1)()3f x f x +=，且(0)3f = ()()2g x y g x y +=+，(5)13g =，*n N ∈（Ⅰ）求数列{()}f n 和{()}g n 的通项公式；（Ⅱ）设[()]2n n c g f n =，求数列{}n c 的前n 项和n S （Ⅲ）已知123lim03n n n -→∞+=，设()3n F n S n =-，是否存在整数m 和M 。

高三数学寒假作业(完整答案)

高三数学寒假作业—数列答案一、选择题：1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝()A ．5B ．8C ．10D ．14解析解法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.解法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 答案 B2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64解析在等比数列{a n }中，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列，故(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，则(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63. 答案 C3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5解析设等差数列的公差为d ，由等差数列的性质可得2d ＝a 3－a 1＝4，得d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.S k ＋2－S k ＝a k ＋2＋a k ＋1＝2(k ＋2)－1＋2(k ＋1)－1＝4k ＋4＝36，解得k ＝8.4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)，a 1a 2a 3＝27，则a 6＝( )A ．27B ．81C ．243D ．729 解析设数列{a n }的公比为q ，∵S 2n ＝4×a 1－q 2n1－q2＝a 1－q 2n1－q，∴q ＝3，又a 1a 2a 3＝27，∴a 32＝27，∴a 2＝3，∴a 6＝a 2q 4＝35＝243，故选C. 答案 C5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1·a n －1＝a n (n ≥2)，则a 2 013的值等于( ) A ．3 B ．1 C.13 D ．32 013解析由已知得a n ＋1＝a n a n －1，a n ＋3＝a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n ×1a n ＋1＝1a n ，故a n ＋6＝1a n ＋3＝a n ，于是，该数列是周期为6的数列，a 2 013＝a 3＝a 2a 1＝3. 答案 A6．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于( )A ．201B ．210C ．211D ．212解析由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)，得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211. 答案 C7．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析在等比数列中，a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 1－qn1－q＝a 1－qa n 1－q ＝2－32q 1－q＝62，解得q ＝2，又a n ＝a 1q n －1，所以2×2n －1＝2n＝32，解得n ＝5.同理当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62解得q ＝12，由a n＝a 1qn －1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124，即n －1＝4，n ＝5，综上项数n 等于5，选B.答案 B8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12. 答案 C9．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *，且m ≥2)，则必定有( ) A ．S m >0，且S m ＋1<0 B ．S m <0，且S m ＋1>0 C ．S m >0，且S m ＋1>0 D ．S m <0，且S m ＋1<0解析由题意，得：－a m <a 1<－a m ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0.显然，易得S m ＝a 1＋a m2·m >0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)<0.答案 A10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2 B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5 C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5解析由已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝a n ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以当k ∈N时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.答案 D10（理）已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)满足g(x)≠0,f'(x)·g(x)<f(x)·g'(x),f(x)=a x ·g(x),+=.令a n =,则使数列{a n }的前n 项和S n 超过的最小自然数n 的值为二、填空题：13．(2014·江西卷)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则d 的取值范围________．解析当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0，a 9<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0.∴－1<d <－78.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78 12．已知函数f (x )＝x ＋sin x ，项数为19的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.解析因为函数f (x )＝x ＋sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而(1)(1)f g (-1)(-1)f g 52()()f n g n 1516等差数列{a n }有19项，a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则必有f (a 10)＝0，所以k ＝10. 答案 1011．(2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则：(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1(n ≥2)，∴a n ＝(－1)na n －(－1)n －1a n －1＋12n (n ≥2)．当n 为偶数时，a n －1＝－12n (n ≥2)，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n (n ≥2)，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.根据以上{a n }的关系式及递推式可求．a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128，…， a 2＝12，a 4＝12，a 6＝12，a 8＝12，….∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋123＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1.答案 (1)－116 (2)13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－114．已知对于任意的自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴相交于A n ，B n 两点，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝________.解析令(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1n 2＋n ，由题意得|A n B n |＝|x 2－x 1|，所以|A n B n |＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1n 2＋n 2－4·1n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，因此|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015. 答案2 0142 01515．(文) 设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________.解析由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n c 1＋c n2，前2n 项和为S 2n ＝2nc 1＋c 2n2，所以S 2nS n ＝2nc 1＋c 2n2n c 1＋c n2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－d nd.因为数列{c n }是“和等比数列”，即S 2nS n为非零常数，所以d ＝4. 答案 415．(理)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3，则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析设正项等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q >0)，则由a 5＝12得a 6＋a 7＝a 5q ＋a 5q 2＝12(q ＋q 2)＝3，即q ＋q 2＝6，解得q ＝2，代入a 5＝a 1q 4＝a 124＝12⇒a 1＝125，式子a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 变为a 1－qn1－q>答案 12三、解答题：．16．(2014·北京卷)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20且{b n －a n }是等比数列． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1，从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n－1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n－1.17．(2014·安徽卷)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而b n ＝n ·3nS n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ①3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1②①－②得：－2S n ＝31＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1＝－3n1－3－n ·3n ＋1＝－2nn ＋1－32所以S n ＝n －n ＋1＋3418．已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝a n log 12 a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的最小的正整数n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＋a 4＝28，a 3＋＝a 2＋a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 2＋a 4＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32q ＝12(舍去)∴a n ＝a 1qn －1＝2n.(2)b n ＝2nlog 122n＝－n ·2n ，设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，① 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②①－②得－T n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ×2n ＋1＝－(n －1)·2n ＋1－2，∴S n ＝－T n ＝－(n －1)×2n ＋1－2.由S n ＋n ·2n ＋1>50，得－(n －1)·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1>50，则2n>26，故满足不等式的最小的正整数n ＝5.19．(2014·山东)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意，得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n－14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)20．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1(n ≥2且n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令d n ＝1＋log aa 2n ＋1＋a 2n ＋25(a >0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n ，若S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.解 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1(n ∈N *)，① 所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1，② 由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n＝2(n ≥2)．当n ＝2时，a 1－a 2＝－1，因为a 1＝1，所以a 2＝2，a 2a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．故a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n －1，所以d n ＝1＋log aa 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2n log a 2.因为d n ＋1－d n ＝2log a 2，所以{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列，所以S 2nS n＝2n ＋2log a ＋2n n －2×2log a 2n＋2log a＋nn －2×2log a 2＝2＋n ＋a21＋n ＋a 2＝λ ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0，因为S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－a2＝0，λ－＋log a＝0，解得λ＝4，a ＝12.21．（文）数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线2x ＋y －2＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)由题意，可得2a n ＋1＋S n －2＝0.① 当n ≥2时，2a n ＋S n －1－2＝0.② ①－②，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以a n ＋1a n ＝12(n ≥2)．因为a 1＝1,2a 2＋a 1＝2，所以a 2＝12.所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知，S n ＝1－12n1－12＝2－12.若⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列，则S 1＋λ＋λ2，S 2＋2λ＋λ22，S 3＋3λ＋λ23成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋9λ4＝S 1＋3λ2＋S 3＋25λ8，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋9λ4＝1＋3λ2＋74＋25λ8，解得λ＝2.又λ＝2时，S n ＋2n ＋22n ＝2n ＋2，显然{2n ＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，使得数列{S n ＋λn ＋λ2n }成等差数列．21．(理)（2014·江苏卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．解 (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n＝a m .所以{a n }是“H 数列”． (2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d . 因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1. 因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1.从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n－n 2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n－n2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1. (3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n n ＋2a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n n ＋2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{ b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．。

2012年广东外语外贸大学附设外语学校高三数学寒假作业(数学文)1

数学寒假作业（数学文）1数学文本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页。

试题1至4页，答题卷5至8页。

满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．第一部分（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数i m m m z )1()32(2-+-+=为纯虚数,则实数m 的值为:A.1B.1-或3C.3-或1D.3- 2．若函数()f x A ，函数()lg(1)g x x =-,[2,11]x ∈的值域为B ，则AB 为A.(,1]-∞B.(,1)-∞C. [0,1]D.[0,1) 3. 已知平面直角坐标系内的点A(1,1),B(2,4),C(-1,3),AC AB ⋅的值为: A.-4 B.4 C.-8 D.84. 等比数列{}n a 中,2a =4,1617=a ,则5463a a a a +的值是: A.1 B.2 C.21 D.415. 曲线32x x y -=在1-=x 的处的切线方程为A.02=-+y xB.02=++y xC.02=+-y xD.02=--y x6. 如果实数y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-010201x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最大值为 A.2B.3C.27 D.47．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1=x ”的充分不必要条件B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题． 8.已知一个正三棱锥P-ABCA.399B.54C.527D.3369．椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F，，过2F 作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为A ．2B ．2(2CD ．10.已知函数1(),()12x x f x g x x +==+，若()()f x g x >，则实数x 的取值范围是（） A (,1)(0,1)-∞- B 1(,1)(0,-+-∞- C 15(1,0)()-+-+∞ D 1(1,0)(0,-+- 第二部分（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分．11．已知α是第二象限角，21sin =α，则=+)4sin(πα ．12.已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填______. 13.已知数列{n a }的通项公式是22++=kn n a n ,若对于n *∈N ，都有n a >+1n a 成立，则实数k 的取值范围是．选做题:(14,15两题只需选答其中一题,两题都答者按第14题给12题分)14.极坐标系中,曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点A,B,则AB =______.15.如图,已知:△ABC 内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上， AD 是⊙O 的切线，若o30=∠B ,2=AC ,则OD 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．（解答请写在答题卷上）16.(12分)已知向量)2cos ,(cos ),1,sin 2(x x x =-=,定义函数OQ OP x f ⋅=)(. (Ⅰ)求函数)(x f 的表达式,并指出其最大最小值;(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,且1)(=A f ,8=bc , 求△ABC 的面积S.A17．（本小题满分12分）a 、b 是常数，关于x 的一元二次方程023)(2=++++abx b a x 有实数解记为事件A ．⑴若a 、b 分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数，求)(A P ； ⑵若R a ∈、R b ∈，66≤+≤-b a 且66≤-≤-b a ，求)(A P ．18.(14分)如图,在四棱锥ABCD P -中,ABCD PA 底面⊥,o 120=∠BCD ,BC ⊥AB,CD ⊥AD,BC=CD=PA=a,(Ⅰ)求证:平面PBD ⊥平面PAC.(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD 的体积V;PBACD19.(14分)已知常数a 、b 、c 都是实数，函数c bx x a x x f +++=2323)(的导函数为)(x f '(Ⅰ)设)0(),1(),2('='='=f c f b f a ，求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设 ()()()f x x x γβ'=--，且12γβ<≤<,求(1)(2)f f '⋅'的取值范围；20.(14分)已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由21.(14分)在数列{}n a 中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥(Ⅰ)证明:}1{na 是等差数列; (Ⅱ)求数列{}n a 的通项； (Ⅲ)若11n n a a λλ++≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围.数学寒假作业（数学文）数学文参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．D 2．C 3． B 4． C 5．B 6． C 7． D 8．A 9．A 10．D二、填空题： 11．462-， 12．3 13． ),3(+∞- 14.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16.(Ⅰ))42sin(22cos 2sin )2cos ,(cos )1,sin 2()(π-=-=⋅-=⋅=x x x x x x OQ OP x f ……4分2,2:)(-∴的最大最小值分别是x f . ………6分(Ⅱ)∵f(A)=1, ∴22)42sin(=-πA ∴4342442ππππ=-=-A A 或 ………8分 ∴24ππ==A A 或,又△ABC 为锐角三角形,所以4π………10分 ∵bc=8,∴△ABC 的面积2222821sin 21=⋅⋅==A bc S ………12分17．⑴方程有实数解，0)23(4)(2≥+⨯-+abb a ，即1222≥+b a ……1分依题意，1=a 、2、3、4、5、6，1=b 、2、3、4、5、6，所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有3666=⨯种结果……2分当且仅当“1=a 且1=b 、2、3”，或“2=a 且1=b 、2”，或“3=a 且1=b ”时，1222≥+b a 不成立……5分，所以满足1222≥+b a 的结果有30)123(36=++-种……5分，从而653630)(==A P ……6分．⑵在平面直角坐标系aOb 中，直线6±=+b a 与6±=+b a 围成一个正方形……7分正方形边长即直线6=+b a 与6-=+b a 之间的距离为26266=+=d ……8分正方形的面积722==d S ……10分，圆1222=+b a 的面积为π12/=S ……10分圆在正方形内部……12分，所以66721272)(/ππ-=-=-=S S S A P……12分．18. (Ⅰ)连结AC,∵BC=CD,AB=AD,∴AC ⊥BD, ………2分又PA ⊥平面ABCD,且ABCD BD 平面⊂ ∴PA ⊥BD ………3分又PA ∩AC=A, ∴BD ⊥平面PAC ………4分又BDP BD 平面⊂ ∴平面PBD ⊥平面PAC ………6分(Ⅱ)依题意得∠CBD=∠CDB=300,又BC ⊥AB,CD ⊥AD,所以∠DBA=∠BDA=600又BC=CD=a ，∴a BD 3= ∴△ABD 是边长为3的正三角形 ……9分∴PA S S V ABD BCD ⋅+=∆∆)(31a AB AD CD BC ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=)60sin 21120sin 21(31032233)32323(61a a a a =⋅⨯+=………14分 19.(Ⅰ)解：b ax x x f ++='2)(．⎪⎩⎪⎨⎧==++=++∴cb b b a ab a 124，解得：⎩⎨⎧-==-=31c b a ．…5分 33213)(23---=∴x x x x f ．……7分 (2)()()()f x x x γβ'=--．又 12,(1)(1)(1)0,(2)(2)(2)0f f γβγβγβ<≤<∴'=-->'=--> ………10分[][])2)(1()2)(1()2)(2)(1)(1()2()1(ββγγβγβγ--⋅--=----='⋅'∴f f2212121()()2216γγββ-+--+-≤⋅=161)2()1(0≤'⋅'<∴f f (14)分20.(14分)解:(Ⅰ)因为a e ==,所以c=1,则b=1,所以椭圆C 的标准方程为2212x y += ………5分PBACDE(Ⅱ)∵P(1,1),∴12PF k =,∴2OQ k =-,∴直线OQ 的方程为y=-2x, ∴点Q(-2,4)…7分 ∴1PQ k =-,又1OP k =,∴1k k PQ O P -=⊥,即OP ⊥PQ,故直线PQ 与圆O 相切 ……10分(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切 ………11分证明:设00(,)P x y(0x ≠则22002y x =-,所以001PF y k x =+,001OQ x k y +=-, 所以直线OQ 的方程为001x y x y +=- 所以点Q(-2,0022x y +) ………12分所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x x kx x y x y y +--+--====-+++,又00OP y k x = ……13分所以1k k PQ O P -=⊥,即OP ⊥PQ,故直线PQ 始终与圆O 相切. ………14分21.解:(Ⅰ)将1130(2)n n n n a a a a n --+-=≥整理得：1113(2)n n n a a --=≥ ………3分所以}1{na 是以1为首项,3为公差的等差数列. ………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得:113(1)32nn n a =+-=-，所以132n a n =- ………8分 (Ⅲ)若11n n a a λλ++≥恒成立，即3132n n λλ++≥-恒成立 ………9分整理得：(31)(32)3(1)n n n λ+-≤- 令(31)(32)3(1)n n n c n +-=- 1(34)(31)(31)(32)(31)(34)33(1)3(1)n n n n n n n n c c n n n n ++++-+--=-=-- ………12分因为2n ≥，所以上式0>，即{}n c 为单调递增数列，所以2c 最小，2283c =，所以λ的取值范围为28(,]3-∞ ………14分。

江苏省南通中学(南区)高三数学寒假作业4 2012,1

高三数学寒假作业4 2012.1.17一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1 已知i 是虚数单位，复数411i z i i +=+-的共轭复数z 在复平面内对应点落在第象限．2 已知集合{|{|12}M x y N x x ===+≤，且M 、都是全集I 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为；3 设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，22008201020082010=-S S ，则2a = ；4 已知向量,m n 的夹角为6π，且||3m = ，||2n = ，在∆ABC 中，,3AB m n AC m n =+=- ，D 为BC 边的中点，则||AD =；5 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程20a x b x c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P 与圆O ；222=+y x 的位置关系是________．6 函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 .7. 若}33,)1(,2{122++++∈a a a a ,则实数=a .8.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a = ．若要从身高在 [120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在 [140,150]内的学生中选取的人数应为． 9 设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；其中正确命题的序号为 .10 已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l 的斜率的取值范围是 .11某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口遇到红灯或绿灯是等可能的，遇到红灯时停留的时间都是2min ．则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率为．二、解答题：15 已知函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的图像如图所示，直线37,88x x ππ==是其两条对称轴。

2012高三寒假作业二(数学理)

高三年级寒假作业（二）数学试题（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1、若复数ii z -=1，则=|z |( )．A ．21 B ．22 C ．1 D ．22、设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-,33,1,1y x y x y x 则目标函数y x z +=4的最大值为（）A ．4 B. 11 C. 12 D .14 3、右图是2008年底CCTV 举办的全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（） A.5; 1.6B.85;1.6C.85;0.4D.5;0.44、下列命题：①2x x x ∀∈,≥R ；②2x x x ∃∈,≥R ； ③43≥； ④“21x ≠”的充要条件是“1x ≠,或1x ≠-”. 中,其中正确．．命题的个数是（） A. 0 B.1 C. 2 D. 3 5、要得到函数x y 2cos =的图象，只需将函数)32sin(π-=x y 的图象（）A 、向左平移π65B 、向右平移π65C 、向左平移π125 D 、向右平移π1256、如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则全面积是( )．A ．324 B.334 C. 12 D . 87.如图, 共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别为1234,,,e e e e ,其大小关系为 ( )俯视图7984446793Ａ．1234e e e e <<< Ｂ．2134e e e e <<<Ｃ．1243e e e e <<<Ｄ．2143e e e e <<<8、已知函数2()(32)ln 20082009f x x x x x =-++-，则方程()0f x =在下面哪个范围内必有实根（）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4)9、将20名城市义工（其中只有2名女性）平均分成两组，女性不在同一组的概率是（）A .102091812CC C B.1020818122CC CC.1020919122CC C D.102081812CC C10、函数R x x x x f ∈+=,)(3，当20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ()1,0B ()0,∞-C ⎪⎭⎫⎝⎛∞-21,D ()1,∞- 11.函数f(x)=x 3-ax 2-bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为（） A ．a=3,b=-3，或a=-4,b=11 B ．a=-4,b=11 C ．a=3,b=-3 D ．以上都不正确12. 已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点，动点M 满足)22121(31GC GB GA GM ++=，则M 一定是ABC ∆的（）A ．线段CD 的中点B ．线段CD 的三等分点（非重心）C ．重心D ．线段AB 的中点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

高三数学寒假作业(1)及答案

一、选择题：本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{|22}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B = （）A ．(0,2)B ．(0,2]C ．[0,2)D ．[0,2]2.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员中位数分别是( ) A ．19、13 B ．13、19 C ．20、18 D ．18、203.已知向量)1,(),21,8(x x ==，其中1>x ，若)2(+∥，则x 的值为（） A ．0 B ．2C ．4D ．84.已知函数2log (0)()2(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，若1()2f a =，则实数a = （） A ．1-BC ．1-D ．1或5.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是（） A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定6.在区间[0,1]上任取两个数a 、b ，则方程220x ax b ++=有实根的概率为（） A ．18B ．14C ．12D ．347.已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件甲乙 7 9 8 0 7 8 5 5 7 9 1 1 1 3 3 4 6 2 2 0 2 3 1 0148.曲线y=2x-x 3在横坐标为-1的点处的切线为l ，则点P(3,2)到直线l 的距离为（） A ．227B ．229 C ．2211D ．101099．等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．26010．设由正数组成的等比数列，公比q =2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于A ．102B ．202C ．162 二、填空题：本大题共7个小题，把答案填在题中横线上.11.已知复数i a a a a )6()32(22-++-+表示纯虚数，则实数a 的值等于 12.函数x x y 21-+=的值域是13.已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 42+=的最小值为 . 14.已知αββαtan ,41tan ,31)tan(则==+的值为。

山东省临清三中2012届高三数学元旦假期作业试题理【会员独享】.doc

山东省临清三中2012届高三元旦假期作业数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. sin 600o的值是（）A ．12 B ． 12- C.3D. 3-2. 设集合{}2|230A x x x =--<，{}|14B x x =≤≤,则B A I （） A. {}|13x x ≤< B. {}|13x x ≤≤ C. {}|34x x <≤ D. {}|34x x ≤≤3已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的（）(A) 必要而不充分条件 (B) 既不充分也不必要条件 (C) 充要条件 (D) 充分而不必要条件 4.下列函数中，既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（A ）x x f sin )(=（B ）1)(+-=x x f （C ）)(21)(x x a a x f -+=（D ）xxx f +-=22ln)( 5.设312.0212,)31(,3log ===c b a ，则（A ）c b a << （B ）a b c << （C ）b a c << （D ）c a b <<6.函数π)0(sin ln <<=x x y 的大致图象是7.已知a 为实数，函数))(23()(2a x x x f ++=，若函数f(x)的图象上有与x 轴平行的切线，则a 的取值范围是（A ）[)+∞--∞,2)223,(Y（B ）(]),223(2,+∞-∞-Y （C ）⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-223,（D ）),223(223,+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-Y 8. 函数1)且a 0,3(a a f(x)1x ≠>+=-的图象过一个点P ，且点P 在直线0)且n 00(m 1ny mx >>=-+上，则nm 41+的最小值是 A.12 B.13 C.24 D.259. 已知=)(x f ⎩⎨⎧--x a x a a log )3( 是（+∞-∞,）上是增函数，那么实数a 的取值范围是A.(1,+∞)B.)3,23(C.)3,23[ D.(1,3)10.已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件： ①对于任意的x ∈R 都有)()4(x f x f =+②对于任意的121202()()x x f x f x ≤<≤<都有；③函数)2(+=x f y 的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是（A ）)5.15()5()5.6(f f f >> （B ）)5.15()5.6()5(f f f << （C ）)5.6()5.15()5(f f f <<（D ）)5.6()5()5.15(f f f >>11.动点),(y x A 在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间0=t 时，)23,21(的坐标是点A ，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（A ）[0，1] （B ）[1，7] （C ）[7，12] （D ）[0，1]和[7，12]12.设方程123|lg()|,xx x x =-的两个根为，则（）（A ）021<x x（B ）021=x x（C ）121>x x（D ）1021<<x x二、填空题（每题4分共16分）13.已知向量a=(3,-1),b=(-1,m),c=(-1,2)，若(a+b)⊥c ，则m= . 14.⎰=-=-4π,22)cos (sina dx x a x 则实数 . 15若实数x,y 满足约束条件 0k y x 3x 05y x ≥++≤≥+-，且y 4x 2z +=的最小值为-6，则常数k= .x<1x ≥116.下列命题：①命题“∈∃x R ，012=++x x ”的否定是“∈∃x R ，210x x ++≠”； ②若{}0>=x x A ，{}1-≤=x x B ，则I A ( R B ）=A ；③函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>是偶函数的充要条件是2ππ+=k ϕ（∈k Z ）； ④若非零向量a,b 满足a=λb,b=λa(λ∈R ），则1=λ. 其中正确命题的序号有 .三、解答题：本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）(1)计算：lg5(lg8＋lg1000)＋(32lg )2＋lg 16＋lg0.06；（2）化简()()()()()()sin 180sin 270tan 90sin 90tan 270tan 360αααααα-⋅-⋅-+⋅+⋅-o o o o o o18.（本小题满分10分）已知函数412sin 21)(),3πcos()3πcos()(-=-+=x x g x x x f .（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并求使的集合取得最大值的x x f )(；（Ⅱ）设函数[]上的图象在画出π,0)(),()()(x h x g x f x h -=.19.（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，321a a a ，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321a a a ，，中第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式。

2012年高三寒假作业一

高三寒假作业（一）（答案）（寒假开始了，你定计划了吗？良好的开始可是成功的一半）一、填空题（每题 4 分，共 48 分） 1、已知集合 A  y y  x , B  y y  22x，则 A  B =____ y y  0； ______22、若  为非零向量 a 与 b 的夹角，且 a  b  0 ，则 log cos  (1  tan  ) =____  2 ；_____ 3、函数 f (x) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x  2)  4、已知平面上直线 l 的方向向量 e  (1 ， f (1)  5 ， f (5) =__  5 ；若则 f ( x)4 3 , ) ，点 O(0,0) 和点 A(1,2) 在 l 上的射影分别为 5 5O ' 和 A ' ，则 O ' A'   e ，则其中  =____  2 ；_____ 7 5、点 A(1,4) 关于直线 l：x  3 y   0 的对称点是___ (3,1) ；____ 2 2 2 x y2 6、已知 P(4,2) 是直线 l 被椭圆   1 所截的线段的中点，则直线 l 的方程为___ 36 9 x  2 y  8  0 ；______7、设复数 z 满足条件 z  1 ，那么 z  2 2  i 的最大值是____4；______ 8、若关于 x 的不等式 x  log3 x  a 对a  (4, ) ；1  x  3 恒成立，则实数 a 的取值范围为 3；9、有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有___ 2520__ 10、在棱长为 a 的正方体 ABCD  A1 B1C1 D1 中，过 B 且平行于平面 AB1 D1 的平面与平面3 a ； ______ 3 2 n 1 n * 11、设 A 是 n 阶方阵，定义运算： A  A  A , A  A  A(n  N ) ，称这一运算为矩阵  1 1 * m n m n 的乘方。

2012届大连一中高三年级文科假期作业(一)数学试卷

2012届大连一中高三年级文科假期作业(一）数学试卷一、选择题 (共12 小题，每小题 5分) 1. 已知：a>b>c,且a+b+c=0,则（）A ．ab>bcB ．ac>bcC ．ab>acD ．a │b │>c │b │2. 下表是x 与y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归直线必过（）A ．点（2,2）B ．点（1.5,2） C.点(1,2) D.点（1.5,4） 3. 数列﹛a n ﹜的前n 项和 S n =n 2a n (n ≥2) ．而a 1=1,通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n =( ) A ．2(n+1)2 B ．2n(n+1)C ．22n -1D ．22n-14. 平面内原有k 条直线，它们的交点个数记ƒ(k)，则增加一条直线ι后，它们的交点个数最多为（）A ．ƒ(k)+1B ．ƒ(k)+kC ．ƒ(k)+k+1D ．k ·ƒ(k)5. ()()()等于则可导在设xx x f x x f ，x x f x 3lim0000--+→ （）A 、()02x f 'B 、()0x f 'C 、()03x f 'D 、()04x f '6. 复数32322323i ii i+--=-+ （） A 、0 B 、2 C 、-2i D 、2i7. “y x ≠”是“y x sin sin ≠”的（）条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分又不必要8. 命题：“若0),,(,022==∈=+b a R b a b a 则”的逆否命题是（）A 、若0),,(022≠+∈≠≠b a R b a b a 则 B 、若0),,(022≠+∈≠=b a R b a b a 则 C 、若0),,(0022≠+∈≠≠b a R b a b a 则且 D 、若0),,(0022≠+∈≠≠b a R b a b a 则或9. 曲线54223++-=x x x y 在1=x 处的切线方程是（）A 、053=++y xB 、053=-+y xC 、053=--y xD 、053=+-y x10. 设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（）11. 已知函数2sin y x x =，则y '＝（）A 、2sin x xB 、 2cos x xC 、22sin cos x x x x +D 、22cos sin x x x x +12. 设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是（）、6π=x C 、3π=xD 、2π=x二、填空题 (共5 小题，每小题 20 分)13. 已知m>0,n>0,向量()()111a m b n ==-，，，，且a //b，则12m n+的最小值是 .14. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标是；原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为 .15. 已知抛物线px y 22=)0(>p ，过点)0,2(p M 的直线与抛物线相交于A ,B ,=⋅OB OA16. 已知非零向量,a b ，||2||a b =,若关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b的夹角的最小值为三、解答题17. 已知抛物线y x 42=的焦点为B A F ,,是抛物线上的两动点，且).0(>=λλ过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（Ⅰ）证明AB FM ⋅为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出)(λf S =的表达式，并求S 的最小值.18. 已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a 1+n =2a n +1(n ∈N *)（Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足4k1-14k2-1…4k-1=(a n +1)km (n ∈N *),证明:{b n }是等差数列; （Ⅲ）证明:231213221na a a a a a n n n ＜＜++⋯++-(n ∈N *).19. 已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的两个焦点分别为)0)(0,(),0,(21>-c c F c F ，过点)0,(2ca E 的直线与椭圆相交于点A,B 两点，且||2||,//2121B F A F B F A F = （Ⅰ求椭圆的离心率（Ⅱ）直线AB 的斜率；（Ⅲ）设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线B F 2上有一点H(m,n)(0≠m )在C AF 1∆的外接圆上，求mn的值。

北京44中学2012高三数学寒假作业-答案

【寒假作业01】+【寒假作业02】答案一.选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A DCDDABC二.填空题（每小题5分，共30分） 9.243 ； 10.15 ； 11.5 ； 12.0x ey -=； 13.2 ； 14.(2,2).三.解答题（本大题共6小题，共80分）15.（12分）解：（Ⅰ）∵函数f(x)=asinx+bcosx 的图像经过点(,0),(,1)63ππ∴1302231122a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，……………………………………………………4分解得：a=3,b=-1 ……………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=3sinx-cosx=2sin(x-6π)………………………8分 ∵x [0, 2π]，∴x-6π[-6π,3π], ………………………………… 9分∴当x-6π=3π,即x=2π时，f(x)取得最大值3.……………………12分 16.（13分）证明（Ⅰ）：∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD,AC 交于点E ，∴PA ⊥BD,AC BD,∴BD 平面PAC, ∵FG 平面PAC,∴BD FG ………………………………7分解（Ⅱ）：当G 为EC 中点，即AG=34AC 时，FG//平面PBD, …………………………………9分理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ，而FG 平面PBD, PE 平面PBD,故FG//平面PBD.…………………………………13分17.（15分）解：（Ⅰ）由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0.00810=0.08，全班人数为2250.08=，……… 3分所以分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4；………………………5分（Ⅱ）分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；分数在[60，70）之间的总分为607+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[70，80）之间的总分为7010+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[80，90）之间的总分约为854=340；分数在[90，100]之间的总分为95+98=193；所以，该班的平均分约为1144567473401937425++++=.……………………………………………………8分估计平均分时，以下解法也给分：分数在[50，60）之间的频率为2/25=0.08；分数在[60，70）之间的频率为7/25=0.28；分数在[70，80）之间的频率为10/25=0.40；分数在[80，90）之间的频率为4/25=0.16；分数在[90，100]之间的频率为2/25=0.08；所以，该班的平均分约为550.08+650.28+750.40+850.16+950.08=73.8. 频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为4100.01625÷=.……10分（Ⅲ）将[80,90)之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90,100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6),(5,6)共15个， ………………………………………………12分其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，……………………14分故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是90.615=.………………………15分 18.（13分）设323()(1)312f x x a x ax =-+++.（Ⅰ）若函数f (x )在区间（1，4）内单调递减，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数f (x )在x=a 处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间（1，4）内函数f (x )的单调性.解:2()33(1)33(1)()f x x a x a x x a '=-++=-- ……………………………………2分（1）∵函数f (x )在区间（1，4）内单调递减,∴(4)0f '≤,∴a [4,)+∞ ； ……………………………………5分（2）∵函数f (x )在x=a 处有极值是1，∴()1f a =,即32232313(1)3111222a a a a a a -+++=-++=, ∴2(3)0a a -=，所以03a =或， ………………………………………8分当a=0时，f(x)在(,0)-∞上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以0f （）为极大值，这与函数f (x )在x=a 处取得极小值是1矛盾，所以a 0. ……………………10分当a=3时，f(x)在(1,3)上单调递减，在（3，+）上单调递增，所以f(3)为极小值，所以a=3.此时，在区间（1，4）内函数f (x )的单调性是：f(x)在（1，3）内减，在[3,4)内增. ……………………………………13分 19．（13分）在直角坐标系xOy 中，点M到点F 1(3,0)-.F 2(3,0)的距离之和是4，点M的轨迹是C ，直线l ：2y kx =C 交于不同的两点P 和Q ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）是否存在常数k ，使0OP OQ ⋅=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点M 到(3,0)-，(3,0)的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴长为4，焦点在x 轴上焦距为23圆，其方程为 2214x y +=． ……………………4分（2）将2y kx =C 的方程，整理得22(14)8240k x kx +++=． ①………………………………………6分设1122()()P x y Q x y ，，，，由方程①，得1282kx x +=-， 122414x x k =+． ② …………8分又 212121212(2)(2)2()2y y kx kx k x x k x x ⋅=++=+++． ③ ……………………9分若0OP OQ ⋅=，则12120x x y y +=，…………………………………………10分将②.③代入上式，解得62k=±．…………………………………………12分又因k 的取值应满足0∆>，即 2410k ->（*），将6k =±代入（*）式知符合题意．……13分20.（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①212n n n a a a +++<；②存在实数M ，使M a n ≤.（ n 为正整数）(Ⅰ)在只有5项的有限数列{}n a . {}n b 中，其中1231,2,a a a ===3，44a =，55a =；123451,4,5,4,1b b b b b =====，试判断数列{}n a .{}n b 是否为集合W 中的元素；(Ⅱ)设{}n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，334,18c S ==，证明数列{}W S n ∈；并写出M 的取值范围； (Ⅲ)设数列{}n d W ∈，且对满足条件的常数M,存在正整数k ，使k d M =.求证：123k k k d d d +++>>.解：(Ⅰ)对于数列{n a }，当n=1时，1322a a +==2a ，显然不满足集合W 的条件①，故{}n a 不是集合W 中的元素. ………………………………………………2分对于数列{n b}，当n {1,2,3,4,5}时，不仅有13232b b b +=<，24342b bb +=<，35432b b b +=<，而且有5n b ≤，显然满足集合W 的条件①②，故{}n b 是集合W 中的元素.………………………………………………4分(Ⅱ)∵{}n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，334,18c S ==，设其公差为d ，∴333218c d c d c -+-+=，∴d=-2∴3(3)210nc c nd n =+-=-+, 29n S n n =-+………………………7分 ∵21102n n n S S S +++-=-<，∴212n n n S S S +++<； ∵2981()24n S n =--+， ∴n S 的最大值是4520S S ==,即420n S S ≤=.∴{}W S n ∈，且M 的取值范围是[20,+∞)……………………………9分(Ⅲ)证明：∵{}n d W ∈，∴212k k k d d d +++<，整理21111()()k k k k k k d d d d d d M +++++<+-=+-，∵k d M =，∴1k d M +≤，∴21k k d d ++<；又∵1322k k k d d d ++++<，∴32212()k k k k k d d d d d +++++<+-<，∴123k k k d d d +++>>.………………………………………………14分【寒假作业03】+【寒假作业04】答案一.选择题（每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C DACBBCD二.填空题（每小题5分，共30分） 9.1 ； 10.3314π-； 11.x-2y-2=0 ； 12.345； 13.6 ； 14. [-2,0]. 三.解答题（本大题共6小题，共80分） 15.（12分）解：（Ⅰ）由图知A=2, ……………………1分T=2(588ππ-)=,∴=2, ……………………3分∴f(x)=2sin(2x+) 又∵()8f π=2sin(4π+)=2, ∴sin(4π+)=1,∴4π+=22k ππ+,=4π+2k π,(k Z)∵02πϕ<<,∴=4π……………………6分由（Ⅰ）知：f(x)=2sin(2x+4π)，∴()8f πα+=2sin(2+2π)=2cos2=4cos2-2…………9分∵tan =2, ∴sin =2cos ,又∵sin2+cos2=1, ∴cos2=15,∴()8f πα+=65- ……………………12分 16.（13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ABCD ⊥底面，M 为SA 的中点，N 为CD 的中点．（Ⅰ）证明：平面SBD ⊥平面SAC ；（Ⅱ）证明：直线MN SBC 平面‖．证明：（Ⅰ）∵ABCD 是菱形，∴BD AC ， ………………………………1分∵SA ABCD ⊥底面，∴BDSA ， ……………2分∵SA 与AC 交于A,∴BD 平面SAC, …………………………………4分∵BD⊂平面SBD∴平面SBD ⊥平面SAC …………………6分（Ⅱ）取SB 中点E ，连接ME ，CE ，∵M 为SA 中点，∴ME AB 且ME=12AB, ………8分又∵ABCD 是菱形，N 为CD 的中点，∴CN AB 且CN=12CD=12AB, …………………10分∴CN EM,且CN=EM ，∴四边形CNME 是平行四边形，∴MNCE, …………………12分又MN 平面SBC, CE 平面SBC, ∴直线MNSBC 平面‖ …………………13分ENACSM17.（14分）解: （Ⅰ）所有基本事件如下:(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4) ，共有15个.………………………………4分设事件“2a ≥，且3b ≤”为A,则事件A 包含的基本事件有8个, ………………………………… 6分所以P(A)=815. ……………………………………………8分（Ⅱ）设事件“14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数”为B,因函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2ab x = 且a >0，所以要使事件B 发生，只需a b ab≤≤2,12即.…………………………10分由满足题意的数对有（1，-1）.（2，-1）.（2，1）.（3，-1）.（3，1），共5个， …………………………12分所以，P(B)=51153=. …………………………14分 18.（14分）解：（Ⅰ）∵11a =，121()n n a S n N *+=+∈，∴121(,1)n n a S n N n *-=+∈>， ∴112()n n n n a a S S +--=-，∴12n n n a a a +-=，∴13(,1)n n a a n N n *+=∈> …………………………3分而2112133a a a =+==，∴13()n n a a n N *+=∈∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴13()n n a n N -*=∈ …………………………5分 ∴1231,3,9a a a ===，在等差数列{}n b 中，∵12315b b b ++=，∴25b =. 又因11a b +.22a b +.33a b +成等比数列，设等差数列{}n b 的公差为d ， ∴（15d +-）(95)64d ++= ………………………………7分解得d=-10,或d=2, ∵0n b >(*)n N ∈，∴舍去d=-10，取d=2， ∴b 1=3,∴b n =2n+1()n N *∈， ………………………………9分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ∴1122nn n T a b a b a b =++++++ =(1212)()n n a a a b b b +++++++=13(321)132n n n -+++-=231222n n n ++- ………………………14分 19.（14分）解: （Ⅰ）2()2f x x ax '=- …………………………………………1分由题意知: (2)440f a '-=+=,得a=-1，………………………2分∴2()2f x x x '=+，令()0f x '>，得x<-2或x>0, ………………………4分令()0f x '<，得-2<x<0, ………………………5分∴f(x)的单调递增区间是（-，-2）和（0，+），单调递减区间是（-2，0）.…………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=3213x x b ++， f(-2)=43b +为函数f(x)极大值，f(0)=b 为极小值.…………………8分 ∵函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点， ∴(3)0(0)0f f -≤⎧⎨>⎩或(3)0(2)0f f ≥⎧⎨-<⎩或(3)0(3)0f f ->⎧⎨<⎩或(2)0(3)0f f -=⎧⎨<⎩或(3)0(0)0f f ->⎧⎨=⎩，即180403b b +≥⎧⎪⎨+<⎪⎩ ，…………………………………………………………13分∴4183b -≤<-，即b 的取值范围是4[18,)3--. …………………14分20.（13分）解：(Ⅰ)设F(c,0)，则直线L 的方程为2x-y-2c=0，∵坐标原点O 到L 的距离为55， 2555=，c=1.………………………………………………………2分 ∵椭圆22221x y a b+=经过点(0,1),∴211b =,b=1,由222a b c =+得22a =. ∴椭圆的方程为2212x y += ……………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，直线L 过点F(1,0)，设其方程为y=k(x-1)（0k ≠），点A(11,x y )，C （22,x y ），解2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(21)4220k x k x k +-+-=. ∴22121222422,2121k k x x x x k k -+==++，……………………………………………6分221212||(1)[()4]AC k x x x x =++-2212221k k ++()*……………………………8分∵过F 的另一直线交椭圆于,B D 两点，且AC BD ⊥， 0k ≠，∴直线BD 的方程为y=1k -(x-1) . 把()*式中k 换成1k -，类比可得221||222k BD k +=+，…………… 10分∴四边形ABCD 的面积222214(1)||||2(2)(21)k S AC BD k k +==++169=， …………11分解得1k =±， ∴直线L 的方程为x-y-1=0或x+y-1=0 . ………………………13分【寒假作业05】+【寒假作业06】答案（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为34Cπ=，sin5A =，所以cos5A ==. 由已知得4BA π=-.则sin sin()sin cos cos sin444B A A A πππ=-=- ==. ……………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin B =，根据正弦定理sin sin b a B A =,得a =.又因为a b ⋅=2a =，b =…………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）ab ，ac ，，,，bd ，be ，cd ，ce ，de. ………………………3分 (Ⅱ) 记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为ac ，ad ，ae , bc ，bd ，be ，共6个基本事件.所以6()0.610P A ==. 答：恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6. ………………………………8分 (Ⅲ)记“至少摸出1个黑球”为事件B ，则事件B 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，ae , bc ，bd ，be ，共7个基本事件，所以7()0.710P B ==. 答：至少摸出1个黑球的概率为0.7 . ……………………………………13分（17）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接OD .因为O 为1AB 的中点，D 为AB 的中点，所以OD ∥1BB 且12OD =又E 是1CC 中点，则EC ∥1BB 且112EC BB =,即EC ∥OD 且EC OD =，则四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥CD .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ，则CD ∥平面1A BE . (Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥，所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥.所以CD⊥平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥CD ，所以EO ⊥平面11A ABB .所以EO ⊥1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O =，EO ⊂平面1A EB ,1A B ⊂平面1A EB , 所以1AB ⊥平面1A BE . ……………………………………………………13分（18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()f x '=2363mx x +-.因为函数()f x 在1x =-处取得极值，所以(1)0f '-=，解得3m =.于是函数32()333f x x x x =+-，(1)3f =,2()963f x x x '=+-. 函数()f x 在点M (1,3)处的切线的斜率(1)12k f '==，则()f x 在点M 处的切线方程为1290x y --=. …………………………6分（Ⅱ）当0m <时，2()363f x mx x '=+-是开口向下的抛物线，要使()f x '在(2, )+∞上存在子区间使()0f x '>，应满足0,12,1()m m f m ≥0,<⎧⎪⎪-⎨⎪⎪'->⎩或0,12,(2.m m f <⎧⎪⎪-<⎨⎪'⎪>⎩)0解得102m -<≤，或3142m -<<-，所以m 的取值范围是3, 04⎛⎫- ⎪⎝⎭．……14分 (19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191,41,2.a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩ 解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………5分（Ⅱ）若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+，由221,43(2)1,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=. 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---⋅+⋅-->.整理得32(63)0k +>.解得12k >-．又1228(21)34k k x x k -+=+，21221616834k k x x k--=+，且2PA PB PM⋅=，即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=，所以 22125(2)(2)(1)||4x x k PM --+==. 即 212125[2()4](1)4x x x x k -+++=.所以 222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-++==+++，解得12k =±.所以12k =．于是存在直线l 满足条件，其的方程为12y x =. ………………13分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为1212nn n a a a n n n x x x ++++==，且数列{}n x 中各项都是正数，所以 1122lg lg lg n n n n n n a x a x a x ++++==．设1122lg lg lg n n n n n n a x a x a x p ++++===， ①因为数列{}n a 是调和数列，故0n a ≠，12211n n n a a a ++=+．所以122n n n p p p a a a ++=+． ② 由①得1212lg , lg , lg n n n n n n p p p x x x a a a ++++===，代入②式得12 2lg lg lg n n n x x x ++=+，即212 lg lg()n n n x x x ++=.故212 n n n x x x ++=. 所以数列{}n x 是等比数列． ………………………………5分（Ⅱ）设{}n x 的公比为q ，则437x q x =，即48128q =．由于0n x >，故2q =．于是333822n n n nx x q --==⨯=．注意到第 (1,2,3,)n n =行共有n 个数，所以三角形数表中第1行至第1m-行共含有(1)123(1)2m m m -++++-=个数.因此第m 行第1个数是数列{}n x 中的第2(1)2122m m m m --++=项.故第m 行第1个数是2222222m m m m x -+-+=，所以第m 行各数的和为2222222(21)2(21)21m m m m mm m S -+-+-==--． …………10分（Ⅲ）由 31211114444n n b b b b b n x ----⋅⋅⋅⋅=，得312)(4(2)n n b b n b b b n ++-++=，即312)](2[22n n b b n b b b n ++-++=，所以122[()]n n b b b n nb +++-=， ①12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②—① 得 1122(1)n n n b n b nb ++-=+-，即1(1)20n n n b nb +--+=， ③21(1)20n n nb n b ++-++=， ④④-③ 得 2120n n n nb nb nb ++-+=，即212n n n b b b +++=.所以{}n b 为等差数列． ………………………………………………14分【寒假作业07】+【寒假作业08】答案一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A CABD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题:本大题共6小题,共80分. 15.解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos(2f x x x x =--sin 2(cos 2cossin 2sin )66x x x ππ=-+13sin 2cos 222x x =-sin(2)3x π=-，函数()f x 的最小正周期为π. ………………………………………………7分（Ⅱ）因为2[0, ]3x π∈，所以2,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当π232x π-=，即5π12x =时函数()f x 的最大值为1. ………………………………13分 16. 解：（Ⅰ）此运动员射击的总次数为2+7+8+3=20次，射击的总环数为277889310172⨯+⨯+⨯+⨯=（环）.所以此运动员射击的平均环数为1728.620=（环）. …………………………………6分（Ⅱ）依题意，用(, )m n 的形式列出所有基本事件为（2，7），（2，8），（2，3），（7，8），（3，8），（3，7），（7，2），（8，2），（3，2），（8，7），（8，3）（7，3）所以基本事件总数为12. 设满足条件“10m n ≥+”的事件为A ，则事件A 包含的基本事件为（2，8），（7，8），（3，8），（3，7），（8，2），（8，7），（8，3），（7，3）总数为8，所以82().123P A == 答：满足条件“10m n ≥+”的概率为2.3………………………………………13分17. 解：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，ACBD O =，所以O 是AC ，BD 中点.由已知，SA SC =, SB SD =, 所以SO AC ⊥,SO BD ⊥,又ACBD O =，所以SO ⊥平面ABCD . ………………………………………………6分（Ⅱ）对于SC 上任意一点E ，平面BDE ⊥平面SAC .910111213 14[]0,213-32711000331n d c-证明如下：由（Ⅰ）知SOABCD ⊥面，[来源:学科网]而BD ABCD ⊂面，所以SO BD ⊥.又因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥.因为ACSO O =，所以BD SAC ⊥面. 又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面SAC .………………………13分18.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，1()(1)f x ax a x'=+-+. 由(2)1f '=，解得32a =． ……………………………………………………3分（Ⅱ）由()ln f x x x =-，得11()1x f x x x-'=-=．由1()0x f x x -'=>，解得01x <<；由1()0xf x x-'=<，解得1x >．所以函数()f x 在区间(0, 1)递增，(1,)+∞递减.因为1x =是()f x 在(0,)上唯一一个极值点，故当1x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为(1)1f =-．…………………7分（Ⅲ）因为21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x-++--'=+-+== （1）当0a =时，1()x f x x -'=.令1()0xf x x-'=>解得01x << （2）0a >时，令(1)(1)0ax x x --=，解得1x a=或1x =. （ⅰ）当11a>即01a <<时，由2(1)10ax a x x-++>，及0x >得 2(1)10ax a x -++>，解得01x <<，或1x a >；（ⅱ）当11a =即1a =时，因为0x >，2221(1)()0x x x f x x x -+-'==≥恒成立. （ⅲ）当11a <即1a >时，由2(1)10ax a x x-++>，及0x >得 2(1)10ax a x -++>，解得10x a<<，或1x >；综上所述，当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, 1)；当01a <<时，函数()f x 的递增区间是(0, 1)，1(, )a+∞；当1a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞；当1a >时，函数()f x 的递增区间是1(0, )a，(1, )+∞.……………………14分19.解：（Ⅰ）由椭圆的定义知222(23)1(23)1a =--++-+.解得 26a=，所以2222b a c =-=.所以椭圆M 的方程为22162x y +=．………………………………………………4分（Ⅱ）由题意设直线AB 的方程为3y x m =+，由221,623,x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得22223360x mx m ++-=．因为直线AB 与椭圆M 交于不同的两点,A B ，且点C 不在直线AB 上，所以221224(2)0,313.m m m ⎧∆=-->⎪⎨≠⋅+⎪⎩解得22m -<<，且0m ≠．设,A B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则123x x m +=-，212362m x x -=，1133y x m =+，2233y x m =+．所以2222212112124||()()[()4]243AB x x y y x x x x m =-+-=+-=-.点(3,1)C 到直线3y x m =+的距离3||m d =. 于是ABC ∆的面积222133(4)||||4322m m S AB d m m +-=⋅=⋅-⋅=≤，当且仅当2||4m m =-，即2m =±时=“”成立. 所以2m =±时ABC ∆的面积最大，此时直线AB 的方程为32y x =±. 即为360x y -±=．……………………………………………………………13分20. 已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；解：（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或112a =．由于11a >，所以12a =．因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++.故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=．[来源:学。

2012届高三数学寒假作业

2012届高三数学寒假作业
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2012届高三数学寒假作业三
一、填空题(14×5′=70′)
1. 已知全集为实数集，，则.
2.复数(i是虚数单位)的虚部为.
3.设向量a，b满足：，，则.
4. 角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P 是角终边上一点，则= .
5.在平面直角坐标系xoy中，直线与直线互相垂直的充要条件是m= .
6.函数的最小正周期是.
7.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是.
8.为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟
输入汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是.
9.运行如图所示程序框图后，输出的结果是.
10.已知直线与曲线相切，则的值为.
11. 关于直线和平面，有以下四个命题：
①若，则;②若，则;
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高三年级理科数学寒假作业

π-πxyO2012-2013学年度神木中学高三年级寒假作业（1）数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为（）A ．3B ．1C ．-3D ．1或-32．设p ∶210||2x x -<-，q ∶260x x +->，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3．设)(x f 是定义在R 上最小正周期为π35的函数，且在[),32ππ-上 ⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=),0[,cos )0,32[,sin )(ππx x x x x f ，则)316(π-f 的值为（） A ．32-B ．12-C ．12 D ．234．已知向量a 与b 的夹角为o 120，3a =，13a b +=，则b =（）A. 5B. 4C. 3D. 1 5．设函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，且()31y f x =-的图像过点()13,1，则()131y f x -=-的图像必过点（）A.()13,0 B. ()131, C. ()23,0 D. ()0,1 6．设{n a }为公比q>1的等比数列，若2009a 和2010a 是方程24830x x -+=的两根，则20112012a a +=（） A.18 B.10 C.25 D.97．如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（）A ．24π B ．34π C ．22π D ．32π8.已知22a <<，则函数22()2f x a x x =-+-的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若||||122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A.),1(+∞B.]3,0(C.]3,1(D.]2,1( 10.函数11y x=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（） A.2 B.4 C.6 D.8第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11. 右图中的三个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图，则h= cm 12．已知223＋＝2·23，338＋＝3·38,4415＋＝4·415,…。

江苏省姜淮高考复读学校高三数学寒假作业1

2012届高三数学寒假作业一一、填空题：1．集合{}0,2A =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4A B ⋃=，则实数a 的值为．2．已知角α的终边经过点(),6P x -，且23tan -=α，则x 的值为．3．若复数12,1z a i z i =-=+（i 为虚数单位），且12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为．4．曲线C ：()sin 1x f x e x =++在0x =处的切线方程为．5．在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是． 6．若命题“R x ∈∃，01)1(2<+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围为． 7．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则=n a ．8．根据如图所示的算法流程，可知输出的结果S 为．9．下图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60）为考试合格，则这次考试的合格率为．10．设向量a 与b 的夹角为60,且|b |＝4,(a ＋2b )·(a －3b )＝－72,则向量|a |＝． 11．三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是．12．直线4)2(+-=x k y 与曲线24x y -=有两个交点，则实数k 的取值范围为．13．已知实数x 、y 满足205040x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若不等式222()()a x y x y +≥+恒成立，则实数a 的最小值是．14．在区间]1,[+t t 上满足不等式1|13|3≥+-x x 的解有且只有一个，则实数t 的取值范围为．二、解答题：15．已知97)sin(,972cos 2)20(=+-=∈∈βαβππβπα），，（，，．（Ⅰ）求βcos 的值；（Ⅱ）求αsin 的值．16．如图，在四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BE BC =，AE BE ⊥， M 为CE 上一点，且BM ⊥平面ACE ． ⑴求证：AE BC ⊥；⑵如果点N 为线段AB 的中点，求证：MN ∥平面ADE ．17．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数()f t （万人）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）.18、已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2．⑴求椭圆C 的方程；⑵设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与椭圆的右准线l 有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．19. 设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，用分点b x x x x x a T n i i =<<<<<<=- 110:将区间],[b a 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式M x f x f ni i i ≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1 =）恒成立，则称)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.（1）函数2)(x x f =在]1,0[上是否为有界变差函数？请说明理由；（2）设函数)(x f 是],[b a 上的单调递减函数，证明：)(x f 为],[b a 上的有界变差函数；（3）若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足：存在常数k ，使得对于任意的1x 、],[2b a x ∈ 时，2121)()(x x k x f x f -⋅≤-.证明：)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.20．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ．（1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值；（ⅱ）当n ∈N *时，求证：13242231516n n n S S S S S S +++++<；（2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．2012届高三数学寒假作业一参考答案1．2± 2．4 3．1- 4．22+=x y 5.87 6．[-1，3] 7．13-=n a n 8．61 9．72％ 10．611. 4 12．]1,43( 13．9514．)13,0(-15．(本小题满分14分)解：(Ⅰ) ∵cos 22cos 12ββ+= …………………………2分=912)97(1=-+ …………………………4分又∵(,)2πβπ∈∴cos β=31-…………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知：sin β=322)31(1cos 122=--=-β…………………………8分由(0,)2πα∈、(,)2πβπ∈得（βα+）∈（23,2ππ）cos （βα+）=-924)97(1)(sin 122-=--=+-βα………………………10分sin α=sin(βα+-β)=sin(βα+)cos β-cos(βα+)sin β…………13分=97×-()31-)924(-×322=31…………………………14分16．证明：⑴因为BM ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以BM AE ⊥．……2分因为AE BE ⊥，且BE BM B ⋂=，BE BM ⊂、平面EBC ，所以AE ⊥平面EBC ．………………………………………4分因为BC ⊂平面EBC ，所以AE BC ⊥．…………………………………6分 ⑵取DE 中点H ，连结MH AH 、．因为BM ⊥平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，所以BM ⊥EC ．因为BE BC =，所以M 为CE 的中点．………………………………8分所以MH 为△EDC 的中位线．所以MH ∥12DC ，且MH =12DC ．…………10分因为四边形ABCD 为平行四边形，所以DC ∥AB ，且DC =AB ．故MH ∥12AB ，且MH =12AB ．因为N 为AB 中点，所以MH ∥AN ，且MH =AN ．所以四边形ANMH 为平行四边形，所以MN ∥AH ．……………………12分因为MN ⊄平面ADE ，AH ⊂平面ADE ，所以MN ∥平面ADE ．…………14分 17．解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--……………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………7分 ①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯=当且仅当25t t=，即5t =时取等号………………………………………10分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033…………13分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元………………14分18．解：⑴因为22c =，且12c a =，所以1,2c a ==．…………………2分所以23b =． ………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=．……………6分⑵设点M 的坐标为()00,x y ，则2200143x y +=．因为()11,0F -，24a c=，所以直线l 的方程为4x =．……………………………8分由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径R ．因为()22221001R MF x y ==++，所以()()22200041x x y -≤++，………………10分即20010150y x +-≥ ．又因为2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以20033101504x x -+-≥．…………………………12分解得0423x ≤≤．…………………………………………………………………14分当043x =时，0y ()12max 122MF F S =⨯= ．…………16分 19.解：（1）函数2)(x x f =在]1,0[上是增函数， ∴对任意划分T ，)()(1->n n x f x f1)0()1()()()()()()()()(1120111=-=-++-+-=--=-∑f f x f x f x f x f x f x f x f x f n n ni i i ，取常数1≥M ，则和式M x f x f ni i i ≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1 =）恒成立，所以函数2)(x x f =在]1,0[上是有界变差函数. （2）函数)(x f 是],[b a 上的单调递减函数，且对任意划分T ，b x x x x x a T n i i =<<<<<<=- 110: )()()()()()(110b f x f x f x f x f a f n n =>>>>=∴-)()()()()()()()()()(1211011b f a f x f x f x f x f x f x f x f x f n n ni i i -=-++-+-=-∴-=-∑ ，一定存在一个常数0>M ，使M b f a f ≤-)()(，故)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.（3） 2121)()(x x k x f x f -⋅≤-∴对任意划分T ，b x x x x x a T n i i =<<<<<<=- 110:)()()(111111a b k x x k x x k x f x f ni i i n i i i ni i i -=-=-≤-∑∑∑=-=-=-，取常数)(a b k M -=，∴由有界变差函数定义知)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.20．(1) (ⅰ) 解:11,2,a d ==21(1),2n n n dS na n -∴=+=646416,nS n n n +=+≥= 当且仅当64,n n=即8n =时,上式取等号.故64n S n+的最大值是16.……………………………………………………4分(ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知2n S n =，当n ∈N *时,2222211111(2)4(2)n n n n S S n n n n +⎡⎤++==-⎢⎥++⎣⎦，……6分 222222132422311111111114134244(2)n n n S S S S S S n n +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2222222111111111412435(1)(2)n n n ⎡⎤⎛⎫=+++-++++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦222211111,412(1)(2)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦……………………………………8分22110,(1)(2)n n +>++ 22132422311115().41216n n n S S S S S S ++∴+++<+<……………………………………10分 (2)对n ∀∈N *,关于m 的不等式1(1)m a a m d n =+-≥的最小正整数解为32n c n =-，当1n =时，111(1)1a c d a +-=≥；……………………10分当2n ≥时，恒有11(1)(2)n n a c d n a c d n +-≥⎧⎨+-<⎩，即11(31)(3)0(31)(4)0d n a d d n a d -+-≥⎧⎨-+-<⎩,从而111310(31)2(3)014,1.31033(31)2(4)0d d a d d a d d a d -≥⎧⎪-⨯+-≥⎪⇔=≤<⎨-≤⎪⎪-⨯+-<⎩……………………13分当114,133d a =≤<时,对n ∀∈N *,且2n ≥时, 当正整数n m c <时,有1111.33n c m a a n --+<+<……………………15分所以存在这样的实数1a ,且1a 的取值范围是41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.………………………16分。