渗流力学2

x
◆复变函数：设有一复数z=x+iy的集合G，如果有一确定的
法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每个复数z，就有一
个或几个相应的复数w=u+iv随着确定，那么称复变数w是复变
数z的函数（复变函数），表示为：w=f(z)。
◆定理一：函数f(z)=u(x，y)+ iv(x，y)在其定义域D内解
析的充要条件是： u(x，y)、v(x，y) 在D任一点(x，y)可微 ，且满足柯西-黎曼条件：
e
A w
源一汇来求解，所得解的一部分即为所求。
◆汇源反映法：以等产量的异号像代替供给边缘作用的方
法，称为汇源反映法。
●势的分布、产量公式 地层中任一点 M 的势为：
q r1 M ln C 2 r2
供给边缘上，r1 r2 , M e 则：
e
e C
供给边缘附近一口井势分布表达式为：
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M w 则：
2h(e w ) Q re2 l 2 ln rw re
圆形供给边缘内一 口偏心井产量公式
§3.6 考虑边界效应的镜像反映法
3.供给边缘形状和井所处位置对井产量的影响
2Kh( Pe Pwf ) Q re ln rw
中心井
Pe
实际边缘
Pwf
2Kh( Pe Pw ) 直线供给边界 Q 2re 附近一口井 ln rw 2Kh( Pe Pwf ) 偏心井 Q 2 2 re l ln rw re
直线断层附近 两口生产井
直线供给边界附 近两口生产井
圆形供给边界内 两口偏心井
直线供给边界附 近一等产量直线 井排
圆形供给边界内 同心环形井排
两平行断层中间 多排井生产
▲多排井同时工作时，用叠加原理求解很
复杂，因此需要一种既能简单计算得到结果，
又能满足一定精度要求的方法。
§3.7 复变函数理论在平面渗流 问题中的应用
直线供给边缘附近 一口井生产
这种情况与无穷大地层中存在等产量一源一汇时，y轴右
§3.6 考虑边界效应的镜像反映法
●汇源反映法
在求解直线供给边缘附近一口生产井的渗 流问题时，可以供给边缘为对称轴，在其另一 侧，与生产井对称的位置上虚设一口等产量的 注入井，把问题转化为无穷大地层中等产量一
对称 等强度 异号反映
♂复变函数的简单复习
◆复数：对于任意二实数x、y，称z=x+iy为复数。有如下
表示方法：
y

z ( x, y )
复平面上的坐标点：z=x+iy；
复平面上过原点指向点（x,y）的向量； 三角函数形式：z r (cos i sin )； 指数函数形式：z re i。
复平面
z r
o
re
l
实际供给边缘简化 示意图
●供给边界形状对井产量的影响 实际边界简化成直线或圆形时，产量之比用系数 表示：
2re re re q圆 / q直线 ln / ln 1 0.301 / lg rw rw rw 取 rw 0.1m ，计算如下表： 误差 re (m) lg( re / rw )
●条件分析 流体在边界S及井壁之间的势 差 e w 的作用下发生流动的。 其流动的边界条件相当于无穷大 地层存在等产量一源一汇时，渗 流场中的两条等压线。
圆形供给边缘内一 口偏心井生产
等势线
e
B A w l D
re
S
同样可利用反映法将其转化为无穷大地层中存在等产量一 源一汇的问题进行求解。
对称（位置）、等强度（虚实井产量相等）、 同号（对直线断层）或异号（对供给边界）的
反映。反映完取消边界后，地层中的渗流场不
变，即原边界所在位置仍然保持边界存在时的
渗流条件。
§3.6 考虑边界效应的镜像反映法
三、复杂直线边界的镜像反映法
A ●反映方法 ＊井对边界反映时，遵循汇 源反映法或汇点反映法； ＊对井有影响的边界都必须 进行镜像反映； ＊井对其中一个边界反映时 ，必须把其它边界一同反映到边 成直角的两断层中间一口井 界的另一侧（或将边界延长）； ＊虚拟井对虚拟边界（或延长的边界）也要反映，直到 反映后的井点位置重合，有时需无数次反映才能取消边界， 在反复反映过程中，不能有虚拟井落入所研究区域。
的镜像，把问题转化为无穷大地层中存在等产量两汇来求解，
所得解的一部分即为所求。
◆汇点反映法：以等产量同号像的作用
A w
A w
代替直线断层作用的方法，称为汇点反映 法。
直线断层附近一口 井的反映
其势的分布和产量公式的形式与无穷
大地层中存在等产量两汇的公式形式完全
一样。
▲综上所述，简单边界的镜像反映就是：
r2
M
a w
r1 A
q r1 M ln e 2 r2 生产井井壁上， r1 rw , r2 2a, M w 则产量公式为：
2h(e w ) Q 2a ln rw
直线供给边缘附近 一口井产量公式
§3.6 考虑边界效应的镜像反映法
2.圆形供给边缘一口偏心井的反映
q r1 M ln C ① 2 r2 q l e ln C ② 2 re
y
r2
B
M
e
则 ②-①式得势分布表达式为：
r1 re
S
q l r2 M e ln 2 re r1 r1 rw , r2 2a, 生产井井壁上，
o A l D 2a
圆形供给边缘内一 口偏心井反映
DA DB re2
即：
满足该式的 井像位置B 即为所求。
o M2 A l D 2a
圆形供给边缘内一 口偏心井反映
e
◆定义：从圆心D出发的同一条射线上两点A和B，若满足 DA DB r 2 , 则
称A点和B点是关于半径为 re 的圆S的对称点，即共轭点，圆S称为反演圆。
由 DA DB re 得：
2
l ( 2a l ) r
2 e
整理
re2 l 2 2a l
井像与真实 井间的距离
y
⊙另：由直角坐标系下等势 圆方程：
1 C 2C0 a 2 2 2 (x a) y ( ) 2 1 C 1 C0
2 0 2 0
r2
B
M
e
r1 re
S
为使偏心距为 l ,半径为 re 的圆为等
v1
y
M
断层
成直角的混合边界中间一口井
v4
v2
v3
x
vMy v1 y v4 y v2 y v3 y 0
镜像反映实例
A
120°
成120°夹角两断层中角 的平分线上一口井
镜像反映实例
A
60° 60°
A
方法一
方法二
成60°夹角两断层中间一口井
镜像反映实例
A
两平行断层中间一口井
反映后成为无穷大地层中多口井，利用势叠加原理求解。
o A l D 2a
圆形供给边缘内一 口偏心井反映
x
势圆，得到如下方程组：
1 C02 aa l 2 1 C0 求解 2C0 a re 2 1 C0
re2 l 2 C0 l re , a 2l
●势的分布、产量公式
地层中任一点 M 的势为：
供给边缘上：r1 r2 C0 l / re , M e
●复杂直线边界镜像反映的适用条件
＊成 2 / n（n为整数）夹角
的两直线断层，能进行反映的条 件是： ①n为偶数时，井可在所研究 区域中的任意位置；
120°
虚拟井
A
②n为奇数时，井只有在所研
究区域角的平分线上才能反映；
＊成 2 / n（n为整数）夹角
的两混合边界，能进行反映的条 件是：n应为4的倍数。
dx dy vx v y
y
( x, y) C2
dy
o
dx
x
ds ——沿流线所取微小长度单元
流线满足的方程
vx , vy y x
二、直线断层附近一口生产井的镜像反映法
●条件分析 实际油田中的断层是不渗透边界，由于 液流不能穿过不渗透边界，所以，不渗透边 界起着分流线的作用。这种流动条件与无穷 大地层中存在等产量两汇y轴一侧的流动条 件完全相同，因此，二者的流动规律也应相 同。
直线断层附近一口 井生产
A w
●汇点反映法 在求解直线断层附近一口生产井生产的渗流问题时，可以 直线断层为镜面，在其另一侧反映出一口对称、等产量、同号
不渗透边界（如 ：断层）
复杂直线边界
§3.6 考虑边界效应的镜像反映法
一、供给边缘的镜像反映法
1.直线供给边缘附近一口生产井的反映 ●条件分析 ＊供给边界是等势线，势值为 e ； ＊井壁也是一条等势线，势值为 w ；
e
A w
＊流体在 e w 的作用下，由供给边 界流向井壁。
边汇点部分的条件完全一致。
§3.6 考虑边界效应的镜像反映法
求解方法
利用镜像反映理论， 转化为无穷大地层 多井生产问题。 利用保角变换，转化 为无穷大地层中的单 井或多井问题。
势叠加原理求解
利用复势理论求解
渗流规律
§3.6 考虑边界效应的镜像反映法
直线供给边缘 圆形供给边缘 单一直线断层
等势边界（如： 供给边缘） 边界类型
( x, y ) 表示。
v ( x, y ) s ds vy M vx
( x, y) C2
流线方程
势函数与流函数的关系： 沿流线取流函数全微分： d dx dy 0 ① x y 由流速和其分速度组成的三角 形与微小长度单元和其x、y轴方向 上的投影组成的三角形相似得：
100 1000 10000 3 4 5 1.1 1.075 1.0605 10﹪ 7.5 ﹪ 6.05﹪
Pe
实际边缘
re
Pwf
⊙说明：①同样情况下，中心井的产量大于直线
供给边界附近一口井的产量，实际情况下的产量
一般介于两者之间； ②由于定错边界形状而引起的产量误差 一般不超过10﹪，可见边缘形状对井产量影响不 大。 实际供给边缘简化 示意图
成120°(2 / 3) 夹角 两断层中一口井
●复杂直线边界镜像反映的检验方法 反映完取消边界后，原渗流场不变，即供给边界所在位置 为等势线，断层所在位置为流线，可分别用势的叠加和速度的 M 合成方法来验证。 r3 r1 供给边界
q r1r2 M ln C 2h r3r4
A
r4
r2
A
A
0.50 1.04 1.02
0.75 1.13 1.08
Pe
实际边缘
Pwf
100m 1000m
1 1
re
l
⊙说明：①偏心井产量比中心井高； ②偏心距小于0.5时，偏心距对产量的 影响可以不考虑，偏心距越大产量越高； ③供给边缘越大，井偏心影响越小。 实际供给边缘简化 示意图
§3.6 考虑边界效应的镜像反映法
●井像位置的确定 由无限大地层等产量一源一 汇等势线方程 r1 r2 C0 在供给边 界上两点必满足：
(r1 r2 ) M1 (r1 r2 ) M 2
re l re l DB re DB re
整理
井像的位置应满足 使得圆S为等势线
y
r2
B
M
e
r1 re
S
M1 x
re DB l re
u x v y u y v x
◆定理二：任何一个解析函数的实部和虚部都满足拉普拉
斯方程：
2 0
◆定理三：如果f(z)=u(x，y)+ iv(x，y)是解析函数，那
么 u( x, y) C1 , v( x, y) C2 必互相正交。
◆解析函数的导数：
f ( z ) u x i v x v y i u y
§3.6 考虑边界效应的镜像反映法
直线供给边界附近一口井
圆形供给边界中间两口井
直角断层中间一口井
§3.6 考虑边界效应的镜像反映法
◆边界效应：实际油气田中，在生产井和注水井
的附近，往往存在着各种边界，这些边界的存在对渗 流场中的等势线分布、流线分布和井的产量都会产生
影响。称这种影响为“边界效应”。
§3.7 复变函数理论在平面渗流 问题中的应用
一、用复势描述平面渗流场
1.势函数、流函数与复势 q ( x, y ) ln r C 2 q ln x 2 y 2 C 2
等压线
流线
势函数
( x, y) C1
等势线方程
平面径向流渗流场图
流线能否也用相应的函数来描述
◆表征流线特征的函数称为流函数，用
●油井所处位置对井产量的影响 其它条件相同时，井距直线边界越近产量越大；对圆形供 给边界，偏心距对产量有影响： 2 re re l 2 q偏心 / q中心 ln / ln rw rw re
取 rw 0.1m ，计算如下表：
l / re 0 r ( m)
e
0.1 0.25 1 1 1.01 1.00