函数最值的实际应用
专题73 一次函数在实际应用中的最值问题(解析版)
专题73 一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．解：(1)210(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.解：观察图象，得：(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－425.∴直线的解析式为y＝－425x＋100.当y＝100时，x＝0；当y＝84时，x＝100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km. ∴A型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.由图象可知：A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L 所行驶的路程为x km ，则500∶80＝x ∶16，解得x ＝100.∴A 型汽车1 h 行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．3、有A B 、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40度电，A 焚烧20吨垃圾比B 焚烧30吨垃圾少1800度电.（1）求焚烧1吨垃圾，A 和B 各发多少度电？（2）A B 、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾的两倍，求A 厂和B 厂总发电量的最大值.【答案】（1）焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度；（2）当60x =时，y 取最大值25800度.【详解】（1）设焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电a 度，B 发电厂发电b 度，则4030201800a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得：300260a b =⎧⎨=⎩ 答：焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度.（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧()90x -吨，总发电量为y 度，则300260(90)4023400y x x x =+-=+∵2(90)x x ≤-∵60x ≤∵y 随x 的增大而增大∵当60x =时，y 取最大值25800度.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）A 的单价30元，B 的单价15元（2）购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少【详解】解：（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩， 3015x y =⎧∴⎨=⎩， ∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，1(30)3z z ≥-， 152z ∴≥， 3015(30)45015W z z z =+-=+，当=8z 时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少；5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．【详解】解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：5 23110 x yx y-=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得：2520xy=⎧⎨=⎩，故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）设该网店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（500﹣m）袋，根据题意得4(500)522.418(500)10000 m mm m⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，解这个不等式组得：222.2＜m≤227.3，因m为整数，故有5种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，w 最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．【答案】（1）W=8t+900；（2）有三种购买方案．为了使拍照的资金更充足，应选择方案：购买30件文化衫、15本相册．【详解】1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根据题意得：，解得：30≤t≤32，∵有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册．∵W=8t+900中W随x的增大而增大，∵当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，∵为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【答案】（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷；（2）有七种方案，当大型收割机用8台时，总费用最低，最低费用为4800元．【详解】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∵，解得：5≤m≤7，∵有三种不同方案．∵w=200m+4000中，200＞0，∵w值随m值的增大而增大，∵当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【答案】（1）购进篮球40个，排球20个；（2）y=5x+1200；（3）共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．最大利润为1415元．【详解】解：（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：6080504200m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：4020mn=⎧⎨=⎩．答：购进篮球40个，排球20个．（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，∵y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200．（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：512001400 8050(60)4300 xx x+≥⎧⎨+-≤⎩，解得：40≤x≤1303．∵x取整数，∵x=40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．∵在y=5x+1200中，k=5＞0，∵y随x的增大而增大，∵当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）∵当x≤10时，y与x的关系式为：；∵当x＞10时，y与x的关系式为：；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【答案】（1）∵y=300x﹣600；∵y=﹣12x2+420x﹣600；（2）停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．【详解】(1)∵由题意得：y=300x﹣600；∵由题意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600，即y=﹣12x2+420x﹣600；(2)依题意有：﹣12x2+420x﹣600=3000，解得x1=15，x2=20．故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；(3)、当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元）；当x＞10时，y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12（x2﹣35x）﹣600=﹣12（x﹣17.5）2+3075，∵当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数，∵x取17或18．显然x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【答案】（1）A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元；（2）购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；其中购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．【详解】解：（1）设A品种芒果箱x元，B品种芒果为箱y元，根据题意得：23450{2275x yx y+=+=，解得：75{100xy==.答：A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元．（2）设A品种芒果n箱，总费用为m元，则B品种芒果18﹣n箱，∵18﹣n≥2n且18﹣n≤4n，∵ 185≤n≤6，∵n非负整数，∵n=4，5，6，相应的18﹣n=14，13，12；∵购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；∵所需费用m分别为：4×75+14×100=1700元；5×75+13×100=1675元；6×75+12×100=1650元，∵购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．11。
三角函数最值问题在物理学科中的应用
三角函数最值问题在物理学科中的应用三角函数最值问题在物理学科中有着广泛的应用，以下是几个例子：1. 炮弹轨迹问题在炮弹轨迹问题中，可以利用三角函数的最值来求解最大射程和最大高度。
假设炮弹的初速度为v，发射角度为θ，则炮弹的水平速度为v*cosθ，竖直速度为v*sin θ。
炮弹的水平位移为x=v*t*cosθ，竖直位移为y=v*t*sinθ-0.5*g*t^2，其中g为重力加速度，t为时间。
为了求解最大射程和最大高度，需要分别求解x和y的最大值。
由于cosθ和sinθ的最大值均为1，因此可以得到炮弹的最大射程为v^2/g*sin2θ，最大高度为v^2/2g*sin^2θ。
2. 摆锤问题在摆锤问题中，可以利用三角函数的最值来求解摆锤的最大速度和最大角度。
假设摆锤的长度为l，摆锤的初始角度为θ，摆锤的重量为m，则摆锤的运动方程为θ''+g/l*sinθ=0，其中g为重力加速度，θ''表示θ对时间的二阶导数。
为了求解最大速度和最大角度，需要分别求解θ'和θ的最大值。
由于sinθ的最大值为1，因此可以得到摆锤的最大速度为l*sqrt(2g*(1-cosθ))，最大角度为π/2。
3. 交流电路问题在交流电路问题中，可以利用三角函数的最值来求解电流和电压的最大值。
假设电路中的电阻为R，电感为L，电容为C，交流电源的电压为V，交流频率为ω，则电路的运动方程为L*i''+R*i'+1/C*i=V*sin(ωt)，其中i''表示i对时间的二阶导数，i'表示i对时间的一阶导数。
为了求解电流和电压的最大值，需要分别求解i和V的最大值。
由于sin(ωt)的最大值为1，因此可以得到电流的最大值为V/sqrt(R^2+(ωL-1/ωC)^2)，电压的最大值为V。
函数最值在一些实际问题中的应用
解 ： 然 ， 同一 种 地 形 上 ． 车 应 沿 直 线 行 进 ， 以 它 从 Ａ 到 Ｂ 料 制 成 的 ， 么 当它 的底 面 直 径 和 高 相 等 的时 候 用 料 最 省 。许 多 圆柱 显 在 汽 所 那 的 运 动 轨 迹应 是 两条 线 段 组 成 的折 线 。 形 的 日常 用 品 ， 漱 口 杯 、 暖 桶 等 ， 是 采 用 这 样 的 比 例 （ 近 似 这 如 保 都 或
内的 最 大 值 、 小值 问题 。 这就 需 要 将 实 际 问题 转 化 为微 积 分 中 的 最 最 值 问 题 来 求 解 。 以 研 究 函 数 的最 值 问题 及 其 应 用 有 很 重 要 的 现 实 意 所
义 。
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２３ 最 值 问题 在经 济 学 中 的应 用 ＿ 最 值 问题 在社 会 的许 多 方 面 ， 其 是 经 济 活 动 分 析 中得 到 了广 泛 尤 的应用 ， 因为 经 济 活 动 中 最 重 要 的 目标 之 一 ， 是 用 最 小 的 花 费 去 赢 就
２２ 几 何应 用 ．
１ 微 积 分 中 的最 值 的 计 算 方 法
函数最值定义的应用一例
函数最值定义的应用一例
函数最值定义是数学中一类重要的概念，它在很多地方都有广泛的应用。
今天，我们来讨论一个关于函数最值的应用实例。
在工业生产中，比如汽车制造业、服装制造业等，都需要大量的资源进行生产。
在这类行业中，公司需要有效地分配资源，以达到最优的生产效益。
假设有一家服装制造公司，他们生产T恤，要求每件T恤的价格不低于8元，在月采购成本不超过10000元的前提下，要想获得最大的利润，该公司应该如何安排资源？
为了解决这一问题，可以用函数最值定义的方法，首先建立一个函数表达式：F(x,y) = 8x+9y-10000。
其中，x、y分别表示T恤的价格为8元的数量和价格为9元的数量，10000表示月采购成本上限。
接着，我们可以对函数求最值，因为F(x,y)是关于x,y的二次函数，结合公司月采购成本上限的要求，我们可以设置一个最优解，假设函数最值为F(m,n)，m,n为正整数，则公司应该采购m件价格为8元的T恤和n件价格为9元的T恤，这样它就能达到最大的利润。
通过上述的最值分析，公司就能有效的分配资源，保证自身利益最大化。
可以看出，函数最值定义无论是在生活中，还是在工业中都有着重要的应用价值。
总之，函数最值定义是一类重要的概念，在工业生产中也有广泛的应用。
它可以有效地安排资源，达到最佳的利润效益。
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论文函数的极值问题在实际中的应用.
函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。
用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。
正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。
一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。
1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。
使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。
当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。
定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。
（1）若当时，当时，则在点取得最小值。
（2）若当时，当时，则在点取得最大值。
定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。
（1）若，则在取得极大值。
（2）若，则在取得极小值。
由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。
这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。
在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。
因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。
下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。
二次函数的应用最值问题
二次函数的应用最值问题二次函数是一个在数学中广泛应用的函数模型。
在实际问题和生产生活中，二次函数的最值问题也经常出现。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括实际问题中的二次函数最值、生产生活中的二次函数最值、利用配方法求二次函数的最值、利用导数求解二次函数的最值、利用作图法求解二次函数的最值、利用公式法求解二次函数的最值和利用对称轴求解二次函数的最值等方面。
一、实际问题中的二次函数最值在实际问题中，二次函数最值通常出现在诸如最大利润、最小成本、最高产量等问题中。
例如，一个工厂生产一种产品，该产品的成本包括固定成本和可变成本。
固定成本是不随产量变化的成本，而可变成本是随产量变化的成本。
因此，总成本函数是一个开口向下的二次函数。
为了使总成本最低，需要找到自变量的取值，使得总成本函数的导数为零，并判断导数是否为零，从而确定最值是否存在。
二、生产生活中的二次函数最值在生产生活中，二次函数最值也经常出现。
例如，一个公司投资一个项目，该项目的收益随投资额变化，且收益函数是一个开口向下的二次函数。
为了使收益最大，需要找到投资额的最优解。
最优解可以通过求解收益函数的导数并令其为零得到。
三、利用配方法求二次函数的最值配方法是求二次函数最值的一种常用方法。
该方法的基本思想是将二次函数转化为一个完全平方项和一个常数项之和的形式，然后利用平方的非负性求出最值。
具体步骤如下：（1）将二次函数配方为一个完全平方项和一个常数项之和的形式；（2）根据平方的非负性，求出这个完全平方项的取值；（3）将这个完全平方项的取值代入配方后的二次函数中，求出最值。
四、利用导数求解二次函数的最值利用导数求解二次函数的最值是一种比较简单的方法。
该方法的基本思想是先求出二次函数的导数，然后令导数为零，解出此时的自变量取值，最后比较所有自变量取值对应的函数值，找出最大（或最小）的一个即可。
五、利用作图法求解二次函数的最值作图法是一种直观地求解二次函数最值的方法。
函数最值问题在生活中的应用
函数最值问题在生活中的应用
函数最值问题在生活中的应用非常广泛，例如：
1. 购物优惠：在购物时，商家会通过函数来计算不同的优惠方案，以便让消费者获得最大的优惠。
2. 股票投资：股票价格的波动可以用函数来描述，通过对股票价格的函数进行最值分析，可以帮助投资者做出更明智的投资决策。
3. 交通规划：交通规划中需要考虑最短路径、最小成本等问题，这些问题都可以通过函数最值来求解。
4. 生产计划：生产企业需要考虑如何最大限度地节约成本，通过函数最值的方法可以确定最优的生产计划。
5. 能源管理：能源管理涉及到如何在最短的时间内使用最少的能量来完成任务，这也可以通过函数最值来求解。
因此，函数最值问题在生活中的应用非常广泛，对于我们的日常生活和工作都具有重要的意义。
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大一高数函数的最值及应用
大一高数函数的最值及应用大一高数中，研究函数的最值是一个重要的课题。
在本文中，我将介绍函数的最值的概念、最值的计算与求解方法，以及函数最值在实际应用中的具体例子。
首先，我们来了解函数的最值是什么。
在数学中，函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值是函数在定义域内的所有值中最大的那个值，最小值则是函数在定义域内的所有值中最小的那个值。
函数的最值是函数图像中的极值点，可以帮助我们研究函数的性质和特征。
函数的最大值和最小值可以通过计算和求解来得到。
对于一个可导函数，首先我们需要找到函数的驻点，就是函数导数为零的点。
然后，根据驻点和定义域的端点，比较这些点对应的函数值，最终得到函数的最值。
接下来，我们来看一个具体的例子，以说明如何计算和求解函数的最值。
例子1：求函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+4在区间[-2,3]上的最值。
首先，我们计算函数的驻点。
函数的导数为f'(x)=6x^2-6x-12，令其等于零，得到x^2-x-2=0。
该二次方程可以因式分解为(x-2)(x+1)=0，解得x=2和x=-1。
所以，函数的驻点为x=2和x=-1。
然后，我们比较定义域端点x=-2和x=3以及驻点x=2和x=-1对应的函数值，最终得到函数的最值。
f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-12(-2)+4=34f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+4=19f(2)=2(2)^3-3(2)^2-12(2)+4=-20f(3)=2(3)^3-3(3)^2-12(3)+4=13所以，函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为34，最小值为-20。
上述例子是一个简单的例子，但它演示了如何从求解函数的驻点出发，通过比较函数值来得到最值。
接下来，我们来看一些函数最值在实际应用中的具体例子，以说明最值的应用。
例子2：在围栏建设中，为了围住一块矩形的土地，需要使用有限长度的围栏。
假设围栏的一边与河边平行，沿河边围地的一边使用围栏，而其他三条边使用河作为围栏。
函数最值问题在生活中的应用
函数最值问题在生活中的应用
函数最值问题是数学中的一个重要概念，它在生活中也有着广泛的应用。
比如，我们在购买物品时，往往会关心这个物品的最低价或最高价是多少。
这个问题就可以通过函数最值来解决。
我们可以将该物品的价格与时间建立成一个函数，然后求出这个函数的最小值或最大值，就可以得到该物品的最低价或最高价了。
又比如，我们在做运动时，也需要考虑自己的身体状况和能力，以确定最适合自己的运动强度和时间。
这个问题也可以通过函数最值来解决。
我们可以将运动强度和时间作为自变量，将身体状况和能力作为因变量，建立一个函数，然后求出这个函数的最大值或最小值，就可以确定最适合自己的运动强度和时间了。
此外，函数最值还可以应用于金融和经济领域。
比如，在股票买卖中，我们需要关注股票的最高价和最低价，以决定买入或卖出的时机。
这个问题也可以通过函数最值来解决。
总的来说，函数最值问题在生活中有着广泛的应用，它可以帮助我们做出更明智的决策，提高我们的生活质量。
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应用高等数学-2.4.5函数的最值及其应用
故每月每套租金为350元时收入最高.
此时最大收入为:
R(
x)
(350
20)
68
350 10
10890 (元)
例3
点击图片任意处播放\暂停
解 (1)建立三角形面积函数关系:
如图，设所求切点坐标为 y
则切线PT为
y y0 2 x0( x x0 ),
求A、 B 、 C三个点的坐标： o
T
y=x2
R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令
L( p) =2400 – 8p = 0 得p =300，该问题确实存在最大值.
所以，当价格为p =300元时，利润最大. 其最大利润为
L(300) 2400300 43002 250000 11000（0 元）．
解 (1)建立目标函数
如图，设茶缸底半径为x ，高为y
茶缸容积为 V = x2 y，设表面积
y
为 S，则 S = 2x2 + 2x y，
V
因为 V 为常数，所以，y x2 ,
x
由此可得目标函数为：
S( x) 2x2
2xV x 2
2x2
2V x
,
x 0.
S( x) 2x2
2xV x 2
2x2
设所围矩形场地正面长为x 米， 另一边长为y 米，则矩形场地面 积为xy=150，于是
设四面围墙的高相同，都为h，则四面围墙所使用材料的费
用为
(2)求材料费最小时的长和宽 f (x) 9h(1 1x020).
由于驻点唯一，由实际意义可知，问题的最小值存在，因 此当正面长为10米，侧面长为15米时，所用材料费最少.
函数最值问题在生活中的应用
以我们要从小养成良好的生活习惯，重视肠道健康，这对防止 脑功能退化有至关重要的意义 参考文献
[1]吴巧凤,尹海燕,徐广银,等.肠道菌群与脑科学[J].世 界华人消化杂志,2017(20):1832-1839.
[2]游懿君,韩小龙,郑晓皎,等.肠道菌群与大脑双向互动的 研究进展[J].上海交通大学学报:医学版,2017,37(2):253-257.
关键词 函数最值 问题 应用 函数的最值问题一般可以分为最大值和最小值两大类问 题，而这类问题也是我们生活中经常会遇到而且需要我们及时 解决的问题。这类问题的有效解决，能够有效地利用空间和材 料，使资源的利用率达到最优化的合理安排，因而最值问题在 我们的生活中有着重要的意义。函数最值问题在我们生活中的 应用具体体现在以下几个方面。 1 利用最值问题使空间达到最佳优化利用 在生活中我们常常会遇到这样的问题，为了提高我们的生 活质量、绿化我们的生活空间，我们常常需要考虑如何使我们 家里的空地资源得到最佳的合理利用。在遇到这类问题的过程 中，我们不光要考虑到绿化面积的大小，还要考虑到浇花和赏 花，以及路面硬化等因素，既要方便我们的浇花、赏花，又要 使绿地面积最大化，如何安排才能实现空地最优化的安排呢？ 要求出绿化地带的最佳设计方案，就可以利用最值问题，使资 源和空间得到最大限度的优化和利用。利用函数能够帮助我们 解决生活中常见的空间利用问题和开发问题。 2 利用函数最值问题计算最佳距离，做出科学预测 虽然我们目前的生活很安定，但是不排除不安全因素存在 的可能，因此需要时刻做好准备，为保卫我们的祖国、保卫人 民的生命财产安全、保护他人和自身的人身安全做出科学的预 测。我们在生活中遇到犯罪分子为了自身的利益，劫持手无缚 鸡之力的人质，在这个时候，警方应如何选择最佳方位进行安 全把守，在犯罪分子威胁到人质的生命财产安全之前，将之擒 获或击毙，也就需要应用到函数最值问题。 3 利用函数最值问题，实现利润的最大化 在商场经营玩具买卖的过程中，购进时的价钱是每件30 元，据市场调查显示，当玩具的销售单价时40元一件时，销售 量为600件，若是将每件玩具的价钱上调1元，那么销售量就会 减少10件。那么在销售过程中，如何定价才能够取得利润的最 大化，也需要用到函数最值问题。利润的增长并不是随着售价 的上涨而上涨的，单价的上涨会导致销售量的下降。在生活中 遇到类似问题的时候，我们进行商品价格的估定的时候，可以
多项式函数的最值与应用
多项式函数的最值与应用多项式函数是基础数学中一种重要的函数类型。
在实际应用中，多项式函数的最值问题常常是我们需要解决的。
本文将介绍多项式函数的最值计算方法以及其在实际应用中的几个典型例子。
一、多项式函数的最值计算方法多项式函数的最值指的是函数在定义域范围内的最大值和最小值。
为了求解多项式函数的最值，我们可以采用以下方法：1. 导数法通过对多项式函数求导，然后解方程求导数为零的点，可以得到函数的极值点。
进一步比较这些极值点以及函数的端点的函数值，即可确定最大值和最小值。
2. 完全平方式对于二次多项式函数，可以通过将其转化为完全平方式，即将函数转化为完全平方的形式，然后根据完全平方公式求解。
这种方法适用于求解二次多项式函数的最值。
3. 等价变形法对于特定形式的多项式函数，我们可以通过进行等价变形，将其转化为更易求解的形式。
例如，可以通过换元、配方等方法将函数转化为最简形式，然后进行求解。
二、多项式函数的最值应用举例1. 面积最大问题在建筑设计中，常常需要考虑如何通过给定的材料最大限度地利用空间。
假设给定一定长度的钢材，需要制作出一个封闭的矩形门框。
我们可以建立一个多项式函数来描述矩形的面积，并通过求解这个函数的最值来确定最大的门框面积。
2. 商品成本最小问题在市场经济中，企业追求利润最大化的同时，也要考虑成本的控制。
假设某公司生产某种商品的总成本可以表示为多项式函数，我们可以通过求解该函数的最小值，来确定最佳生产规模和成本控制策略。
3. 投资收益最大问题在投资决策中，如何最大化收益是一个重要的问题。
假设某个投资项目的收益可以表示为多项式函数，我们可以通过求解该函数的最大值，来确定最合理的投资方案和预期收益。
三、多项式函数最值计算的注意事项在求解多项式函数的最值过程中，需要注意以下几点：1. 注意定义域在计算过程中，需要明确多项式函数的定义域范围，确保所求解的极值在定义域内。
2. 考虑特殊情况某些情况下，求解多项式函数的最值可能存在特殊情况。
九年级数学二次函数的实际应用---最值问题
学习好资料 欢迎下载二次函数的实际应用 --- 最值问题2. 某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映： 每涨价 1元，每 星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元， 如何定价才能使利润最大？ 附答案： 巩固练习：1．( 1)解析：解： y (x 1)2 4当 x 1 时， y 有最小值 4 ，无最大值．2(2)解： y (x 1)2 4∵ 0 x 3 ，对称轴为 x 1∴当 x 0时y 有最小值 3；当 x 3时y 有最大值 12 ．2．解：设涨价(或降价)为每件 x 元，利润为 y 元，y 1 为涨价时的利润， y 2 为降价时的利润 则： y 1 (60 40 x)(300 10x)10(x 2 10x 600) 10(x 5)2 6250当 x 5，即：定价为 65 元时， y max 6250 (元)y 2 (60 40 x)(300 20x)20(x 20)(x 15) 20(x 2.5)2 6125当 x 2.5 ，即：定价为 57.5 元时， y max 6125 (元) 综合两种情况，应定价为 65元时，利润最大．三、知识点梳理 1．二次函数在没有范围条件下的最值再现及巩固 二次函数的一般式 y ax 2 bx c ( a 0) 化成顶点式 y a(x b )2 2a 果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) b4ac b2 即当 a 0时，函数有最小值，并且当 x b ， y最小值 4ac b 2a4ac b 2，如4a当 a 0时，函数有最大值，并且当 4a2 b 4ac b x ， y最大值 ．2a 4a巩固练习 1. 求下列二次函数的最值： x 2 2x 3的最值． 1)求函数 y 2)求函数 y x 2 2x 3的最值． (0 x 3)2．二次函数在有范围条件下的最值 如果自变量的取值范围是 x 1 x x 2 ，如果顶点在自变量的取值范围 则当 x b ， y 最值4ac b ，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的 2a 最值4a取值范围 内的 增减 性；如 果在此 范围 内 y 随 x 的增大 而增大 ，则 当 x x 2 时， y最大ax 22 bx 2 c ，当 x x 1时， y 最小ax 12 bx 1 c ；如果在此范围内 y 随 x 的 增大而减小， 则当x x 1时，y 最大 ax 12 bx 1 c ，当 x x 2时，y 最小ax 22 bx 2 c ．讲练同步例 1】某商店购进一批单价为 20 元的日用品，如果以单价 30 元销售，那么半个月内可以 售出 400 件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？同步练习】 1. 某旅行社组团去外地旅游， 30 人起组团，每人单价 800元．旅行社对超过 30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低 10 元．你能帮助分析 一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？【例 2】某产品每件成本 10元，试销阶段每件产品的销售价 x （元）与产品的日销售量 y （ 件） 之间的关系如下表：若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数．⑴ 求出日销售量 y （件）与销售价 x （元） 的函数关系式；⑵ 要使每日的销售利润最大， 每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润 是多少元？2b 二次函数的一般式 y ax 2 bxc （ a 0） 化成顶点式 y a （x ） 2a如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）2 b4ac b x ， y 最小值2a 4a b 4ac b 2 x ， y最大值 2a 4a即当 a 0 时，函数有最小值，并且当 当 a 0 时，函数有最大值，并且当4ac b 2，4ax x 2 内， x 1同步练习】 2. 市“健益”超市购进一批 20元/ 千克的绿色食品， 如果以 30?元/ 千克销售， 那么每天可售出 400 千克．由销售经验知，每天销售量 y （千克）? 与销售单价 x （元） （ x 30 ）存在如下图所示的一次函数关系式． （1）试求出 y 与 x 的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价为何值时， 每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据市场调查， 该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，?现该超市经理要求每天 利润不得低于 4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 x 的范围 （?直接写 出答案 ） ．同步练习 2 图例 3】有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延 长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持 不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是，放养一天 需支出各种费用为 400 元，且平均每天还有 10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部 销售出，售价都是每千克 20 元．（1） 设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式； （2）如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元，写出 Q 关于 x 的函数关系式． （3） 该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润 （利润 =Q －收购总额 ）？同步练习】 3. 研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生 产并销售该产品提供了如下成果： 第一年的年产量为 x （吨）时，所需的全部费用 y （万1元）与 x 满足关系式 y 110x 2 5x 90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价， （万元）均与 满足一次函数关系． （注：年利润＝年销吨，根据（ 1），（ 2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产 销才能获得较大的年利润？1）成果表明，在甲地生产并销售 吨时，表示甲地当年的年销售额，并求年利润2）成果表明，在乙地生产并销售 吨时， ，请你用含 的代数式（万元）与 之间的函数关系式；（ 为常数），且在乙地的值；某投资商计划例 4 】小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小 明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃 的围栏， 为了浇花和赏花的方便， 准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及 在左右花圃各放一个 1 米宽的门(木质) ．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面 积最大？同步练习】 4. 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形BF=1．试在 AB 上求一点 P ，使矩形 PNDM 有最大面积。
函数的极值最值在经济中的应用
§1-6函数的极值、最值在经济中的应用在各个经济领域和工农业生产中，经常需要解决最优化的问题，这些问题在数学的领域里就是求极值和最值的问题.一.函数的极值设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 如果对于任意)(0x U x ∈有 ))()()(()(00x f x f x f x f ><或,则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.如图4-1所示.图6-1由图4-1可以看出，在极值点出如果曲线的切线存在，则切线比与x 轴平行，此时切线的斜率为0.但是如果在某点的切线平行于x 轴，这一点不一定是极值点.在上述的分析基础上，我们给出函数极值的如下定理： 定理1(必要条件)设函数)(x f 在点0x 处可导, 且在0x 处取得极值,那么0)(0='x f .使0)(0='x f 的点称为驻点.驻点可能是函数的极值点，也可能不是函数的极值点. 定理2（极值判别法1）设函数)(x f 在点0x 的某邻域内连续且可导（但)(0x f '可以不存在）.（1）如果当0x x <时，0<')(x f ；当0x x >时，0>')(x f ，那么)(0x f 是)(x f 的极小值；（2）如果当0x x <时，0>')(x f ；当0x x >时，0<')(x f ，那么)(0x f 是)(x f 的极大值；（3）如果在点0x 的左右两侧（点0x 除外）的)(x f '同号，那么)(x f 在0x 处没有极值. 由定理2，有求函数)(x f 的极值点和极值的步骤： （1）求出函数)(x f 的定义域和)(x f '；（2）解方程0=')(x f ，求出函数的驻点和一阶导数不存在点；（3）判断上述两种点左右两侧的一阶导数的符号，根据定理2求出极值点和极值. 例1求函数321)()(-=x x f 的极值.解 （1）函数的定义域为),(+∞-∞，3323213211-='-='-='x x x x f ])[(])([)(（2）令0=')(x f ，无解；但1=x 时，一阶导数不存在. （3）用1=x 将整个定义域),(+∞-∞划分为两部分，列表讨论：由上表可知，函数)(x f 的极小值为01=)(f ，无极大值. 定理3（极值判别法2）设)(,)(000x f x f ''='存在 （1）如果00>'')(x f ，那么)(0x f 为)(x f 的极小值； （2）如果00<'')(x f ，那么)(0x f 为)(x f 的极大值； （3）如果00='')(x f ，那么定理失效. 例2求函数33x x x f -=)(的极值.解 x x f x x x x x x f 611333323-=''+-=-='-=')();)(()()( 令0=')(x f ，得1121-==x x ,.因为061<-='')(f ，所以21=)(f 为极大值； 因为061>=-'')(f ，所以41-=-)(f 为极小值；二.函数的最值 从几何的角度看，若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，必然有一个最高点和一个最低点，则函数)(x f 在闭区间],[b a 上一定有最大值和最小值，如图4.1所示.取得最小值的点称为最小值点，取得最大值的点称为最大值点.最大值和最小值统称为最值.极值和最值是不同的概念，极值是局部性概念，最值是全局性概念.若函数在一个闭区间上连续，最值既可能在区间内部取得，也可能在区间端点取得，而极值只能在区间内部取得.在一个区间里极大（小）值可以有多个，而最值则是唯一的，如果有最大（小）值则只有一个，但取得最值的点可以有多个.如图4.2所示.如果最值在区间内部取得，若是最大值则一定是极大值，若是最小值则一定是极小值.因此连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最值只可能在以下几种点取得：（1）驻点；（2）导数不存在的点；（3）区间端点.所以有求连续函数在闭区间],[b a 上的最值的一般解题步骤：（1）求出函数在),(b a 内的所有驻点和导数不存在的点； （2）求出函数在上述点对应的函数值和端点函数值)(),(b f a f ；（3）比较这些函数值的大小，其中最大（小）的则是函数在],[b a 上的最大（小）值. 例3 求196)(23-+-=x x x x f 在区间]3,0[上的最大值和最小值.解 )(x f 在]3,0[上连续，)3)(1(39123)(2--=+-='x x x x x f ，令0)(='x f ，得驻点3,121==x x ，没有导数不存在的点， 计算3)1(,1)0(=-=f f ，1)3(-=f ,比较各值得函数在]3,0[上的最大值和最小值：,1)3()0(min-===f f y图4-2 图4-33)1(max==f y .例4 求323)4(1)(-⋅-=x x x f 在]3,0[上的最大值和最小值.解)(x f 在]3,0[上连续，313231313232)4()1(2)4()1(32)4()1(31)(---=--+--='--x x x x x x x x f令0)(='x f ，得驻点：2=x ；有导数不存在的点：4,1==x x （舍去，因为4不属于]3,0[）；计算3332)3(,4)2(,0)1(,22)0(===-=f f f f比较各值得)(x f 在]3,0[的最小值和最大值：,22)0(3min -==f y3max4)2(==f y .在求最值时需要注意两点： （1）若)(x f 在],[b a 上单调，则)(a f 和)(b f 是最值；若)(x f 在),(b a 上单调，则无最值；（2）若可导函数)(x f 在一个区间I （有限或无限，开或闭）内只有一个驻点，并且0x 是)(x f 唯一的极值点，那么当)(0x f 时极大值时，)(0x f 就是)(x f 在区间I 上的最大值，当)(0x f 时极小值时，)(0x f 就是)(x f 在区间I 上的最小值.例5 求)1ln(2+=x y 在)2,1(-上的最大值和最小值. 解 函数)1ln(2+=x y在)2,1(-上连续，122+='x xy ，令0='y ，得0=x ，无导数不存在的点.0=x 将)2,1(-分成两个区间：)20()0,1(，、-.列表讨论导数的符号变化及函数值的情况：由上表可得：)(x f 在0=x 取得极小值，极小值为0)0(=y ，并且只有一个极小值，没有极大值，所以此极小值为最小值，因此函数)1ln(2+=x y 在)2,1(-上没有最大值，有最小值为0)0(=y .三.极值、最值在经济中的应用举例 1.收入最大化问题例6 某房产公司有100套公寓要出租，当每套公寓的租金定为每月200元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少每月可获得多少的最大收入？解 设每套公寓的月租金为x （),200(+∞∈x ）元， 则租出去的房子有： )10200(100--x 套， 因此每月的收入：)10200100)(20()(---=x x x R )10120)(20(xx --= 5122)(x x R -=' 令0)(='x R 得610=x (唯一驻点)，因为051)(<-=''x R ，故34810)610(=R 为唯一的极值，且为极大值，此极大值为最大值，所以每月每套公寓租金为610元时收入最高，最高为34810元. 2.利润最大化问题设某商品的销售量为q ，总收益函数为)(q R ，总成本函数为)(q C ，总利润函数为)(q L ，则有)()()(q C q R q L -=，令0)()()(='-'='q C q R q L ，有)()(q C q R '='最大利润原则：必要条件：边际收益=边际成本充分条件：边际收益的变化率<边际成本的变化率例7 某企业的某一产品的一个季度价格函数为60005.0+-=x p （元／件） （100000≤≤x ）该产品的总成本为40020001.0)(2++-=x x x C （元），问该企业该季度应生产多少件产品才能获得最大利润，最大利润是多少？解 该季度的收入函数：x x px x R 60005.0)(2+-==该季度的利润函数：40040004.0)()()(2-+-=-=x x x C x R x L40008.0)(+-='x x L ，令0)(='x L 得5000=x ，计算 400)0(-=L ，9600)5000(=L ，400)10000(-=L比较各值得9600)5000(=L 为最大值，所以该企业该季度生产5000件产品才能获得9600元的利润.3.成本最小化问题在经济生产中经常会遇到在一定的生产条件下，怎样生产才能使成本最低的问题.在现实中，随着产量的增加总成本肯定呈现的是上升趋势，只会越来越大，所以不可能会有最低的总成本，故成本最小化问题不是讨论总成本最低问题，而是讨论平均成本最小的问题.某产品的平均成本是产量q 的函数：qq C q C )()(=，即)()(q C q q C =，两边求导得： )()()(q C q q C q C '+='，因此有qq C q C q C )()()(-'='，令0)(='q C ，有)()(q C q C ='，即边际成本等于平均成本，这就是平均成本最小化的必要条件.在求实际问题中，如果存在最小的平均成本，并且驻点唯一，则在此点上可以取得最小的平均成本.例8 某工厂生产q 吨产品时的边际成本为20002.0)(+='q q C （元／吨），固定成本为1600元，问产量是多少时平均成本最低？解 生产q 吨的总成本函数：160020001.01600)20002.0()(2++=++=⎰q q dq q q C生产q 吨的平均成本函数：qq q q C q C 160020001.0)()(++==， 求导有2160001.0)(qq C -='，令0)(='q C ，有4,421-==q q （舍去）， 因为)0(,03200)(3>>=''q qq C ，所以04.600)4(=C 为极小值，且为唯一的极值，故04.600)4(=C 为最小值，因此产量是4吨时平均成本最低.习题１－４１.求下列函数在指定区间上或整个定义域内的最值 （1）36)(2++=x x x f ； （2）xxx f +=1)(； （3）xxe x f =)( [-2，0]； （4）12)(2--=x x x f [0，2].２.要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒，问怎样设计才能使所用材料最省？ ３.某商品的需求量q 是价格p 的函数：p q 260-=，问p 是多少时总收益最大？４.某企业一年生产q 件产品的总成本为2220)(q q q C +=（万元），得到的总收入为232020)(q q q R -=（万元），问该企业一年应该生产多少件产品才能达到最大利润？最大利润为多少？５.某电子公司在一个月内生产q 个某种型号的电子产品，估计边际收益：q q R 4.010)(-='，该公司生产和销售这种型号的电子产品的总成本为：q q C 220)(+= 求该公司在一个月内生产多少个该型号的电子产品才能使利润最大？６.设某商品的总成本函数为1004)(2+=q q C ，求使平均成本最小的产量水平及最小平均成本？７.某商品的平均成本为4)(=q C ，价格是销售量q 的函数，q p 210-=，国家向企业每件商品征税为 t ，问在企业取得最大利润的情况下，t 为何值时才能使总税收最大？习题答案1.（1）解：)(x f 的定义域为R ，62)(+='x x f ，令0)(='x f ，得3-=x ，无一阶导数不存在点，因为02)(>=''x f ，所以6)3(-=-f 为极小值，而没有极大值，因此此极小值为最小值.故在其定义域内有一个最小值为6)3(-=-f .（2）解：)(x f 的定义域为1-≠x0)1(2)1(222)1()1(2)1()2()(222>+=+-+=+'+-+'='x x x x x x x x x x f 所以)(x f 在其定义域内单调递增，无最值.（3）解：)1()(+='x e x f x，令0)(='x f ，得1-=x ，无一阶导数不存在点， 计算 12)1(,0)0(,2)2(---=-=-=-e f f e f ，比较上述值有：最大值为0)0(=f ， 最小值为1)1(--=-e f .（4）最小值：1)2()0(-==f f ；最大值：0)1(=f .2. 解： 要使材料最省，就是要罐头筒的总表面积最小.r ，高为h ，，底面积为，因此总表面积为)),0((22222∞+∈+===r r V r S r V h h r V πππ，所以有由体积公式)),0((0442,033∞+∈>+=''=='r r VS V r S ππ，又得令 。
二次函数的最值及实际应用
第六讲二次函数的最值及实际应用板块一 二次函数的最值对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴当自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最小值，无最大 值。
⑵若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =。
⑶若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =。
⑷若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，如图④，当2bx a=-，min y y =；当x n =，max y y =。
b()20y ax bx c a =++<练习： ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值。
【例1】真题大比拼。
⑴（2010镇江市）已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 。
⑵（2009昌平二模）当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为( ) A ．4-B ．154-C ．12- D．12【例2】（2009—2010人大附练习题）如图，有长为30米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度10a 米），当AB 为多少米时，围成的花圃面积最大。
【例3】（2009—2010查与预测，种植树木的利润y 量x 成二次函数关系，如图2①分别求出利润1y 与2y ②如果这位专业户以8润是多少？【例4】（河北中考）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。
函数极值知识在生活中的应用
函数极值知识在生活中的应用
极值理论是数学上非常重要的概念，可以用于解决复杂的现实生活中的问题。
将函数极值理论应用于生活中，可以帮助人们优化购买或出租某种财产的决策，决定生产某种产品的最佳数量，求解物流优化等等。
比如说，当我们打算购买或出租某种财产时，我们可以通过函数极值理论，从
不同的方面来看待价格的变化，看看价格最低时的情况，可以帮助我们做出最明智的投资决定。
比如你想购买一个房子，但该地区有着不断变化的房价，考虑结合极值理论，找出最适合你购买的价格，是不是明智的。
另一个例子是生产某种产品时，企业要考虑销量、投入报酬率等多方面的因素，如果想要看出最优的决策，就可以使用函数极值理论。
通过函数最值来推断，从而决定生产某款产品的最佳数量，同时把控完全的生产费用，才能达到最佳的利润效果。
此外，在物流管理中，也可以利用函数极值理论求解最优的路径。
它可以帮助
企业有效地分配流量，优先选择最快到达目的地的路径，同时节省运输成本，提高此次运输的效率。
总之，函数极值理论在生活中有着重要的作用，通过函数极值理论，我们可以
优化购买或出租某种资产和决定生产某种产品的最佳数量，还可以求解物流优化等问题。
函数极值的运用可以帮助我们节省资源，在财务、时间等方面取得更好的收益。
函数最值的求解方法及应用
函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。
函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。
本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。
一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。
对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。
-首先，求出f(x)的导数f'(x)。
-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。
-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。
2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。
- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。
-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。
-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。
3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。
-首先，选择任意一个起始点x_0。
-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。
-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。
二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。
例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。
供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。
2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。
例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。
3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。
似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。
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（3）【信息梳理】
原题信息
整理后的信息
要求种植A种草莓的
六
亩数不少于种植B种
x≥
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2(6-x)
草莓的一半
解：根据题意可得x≥ 1(6-x)，
2
解得x≥2， ∵k=-8000<0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=2时，y有最大值为464000.
答：若种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓 的一半，那么种植A种草莓2亩时，可使农场每 年草莓全部被采摘的总收入最多.
A
B
年亩产(单位： 千克)
1200
2000
采摘价格(单位：
60
40
元/千克)
（1）【信息梳理】设该农场种植A种草莓a亩， B种草莓b亩.
原题信息
整理后的信息
一
某采摘农场计划种植A、 B两种草莓共6亩
a+b=6
A种草莓年亩产为1200千 A种草莓每年每亩全部被
克，采摘价格为60元/千 采摘的收入为(60×1200)
二次函数最值的实际应用
1. 解题步骤 ①先分析问题中的数量关系，列出函数解析式； ②研究自变量的取值范围； ③研究所得的函数； ④检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并 求相关的值； ⑤解决提出的实际问题.
典例精讲 二次函数的实际应用
例2 (’14桂林模拟)某工厂共有10台机器，生产 一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等 因素限制，会产生一定数量的次品.每台机器产 生 的 次 品 数 p(千 件 )与 每 台 机 器 的 日 产 量 x(千 件)(生产条件要求4≤x≤12)之间变化关系如表：
一次函数最值的实际应用题
例1 某采摘农场计划种植A、B两种草莓共6亩， 根据表格信息，解答下列问题：
年亩产(单位： 千克)
采摘价格(单位： 元/千克)
A 1200
60
B 2000
40
(1) 若 该 农 场 每 年 草 莓 全 部 被 采 摘 的 总 收 入 为 460000元，那么A、B两种草莓各种多少亩？
解：∵某采摘农场计划种植A、B两种草莓共6 亩，该农场种植A种草莓x亩， ∴该农场种植B种草莓(6-x)亩， 根据题意可得y=60×1200x+40×2000(6-x)， 整理得y=-8000x+480000， ∴y关于x的函数关系式为 y=-8000x+480000(0≤x≤6).
解：∵某采摘农场计划种植A、B两种草莓共6 亩，该农场种植A种草莓x亩， ∴该农场种植B种草莓(6-x)亩， 根据题意可得y=60×1200x+40×2000(6-x)， 整理得y=-8000x+480000， ∴y关于x的函数关系式为 y=-8000x+480000(0≤x≤6).
(1)【思路分析】由表格中的数据可以看出p与x 是二次函数关系，根据对称点找出顶点坐标(6， 0.6)，设出顶点式代入点求得函数解析式.
解：根据表格中的数据可以得出：p与x是二次 函数关系，且图象经过的顶点坐标为(6，0.6)， 设函数解析式为p=a(x-6)2+0.6， 把(8，1)代入得4a+0.6=1， 解得a=0.1， 所 以 函 数 解 析 式 为 p=0.1(x-6)2+0.6=0.1x21.2x+4.2.
日产量 x(千件/ … 5 6 7 8 9 …
台) 次品数 p(千件/ … 0.7 0.6 0.7 1 1.5 …
台)
已知每生产1千件合格的元件可以盈利1.6千元，但 每生产1千件次品将亏损0.4千元.(利润=盈利-亏损)
(1)观察并分析表中p与x之间的对应关系，用所 学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有 关知识求出p(千件)与x(千件)的函数解析式；
60×1200a+40×2000b=460000，
解得 a=2.5
b=3.5.
答：该农场种植A种草莓2.5亩，B种草莓3.5亩.
（2）【信息梳理】
原题信息
整理后的信息
某采摘农场计划种植 四 A、B两种草莓共6亩， 该农场种植B种草莓
该农场种植A种草莓x (6-x)亩 亩
五 农场每年草莓全部被 y=60×1200x+40× 采摘的收入为y元 2000(6-x)
年亩产(单位： 千克)
采摘价格(单位： 元/千克)
A 1200
60
B 2000
40
一次函数最值的实际应用题
例1 某采摘农场计划种植A、B两种草莓共6亩，
根据表格信息，解答下列问题：
A
B
年亩产(单位： 千克)
1200
2000
采摘价格(单位：
60
40
元/千克)
一次函数最值的实际应用题
例1 某采摘农场计划种植A、B两种草莓共6亩， 根据表格信息，解答下列问题：
【方法指导】一次函数与不等式结合的实际应 用问题就是利用一次函数、不等式等知识解决 实际问题.对涉及到求最值问题，在确定一次函 数的解析式时，要注意自变量的取值范围应受 实际条件的限制(一次函数的图象不是一整条直 线).而涉及到方案设计问题常利用不等式解出相 关量的取值范围，从而确定有几种方案.方程的 应用通常适用于可以从已知题干中找出等量关 系的问题.
(2)【思路分析】根据实际利润=合格产品的盈 利-生产次品的亏损，将生产这种元件所获得的 实际利润y(千元) 表示为日产量x(千件)的函数； 再进一步求得最值即可.
解：y=10[1.6(x-p)-0.4p] =16x-20p =16x-20(0.1x2-1.2x+4.2)， =-2x2+40x-84(4≤x≤12)， y=-2x2+40x-84=-2(x-10)2+116， ∵4≤x≤12，∴当x=10时，y取得最大值，最大利 润为116千元. 答：当每台机器的日产量为10千件时，所获得 的利润最大，最大利润为116千元.
二 克，B种草莓年亩产为 元，B种草莓每年每亩全
2000千克，采摘价格为 部被采摘的收入为
40元/千克
(40×2000)元
三
若该农场每年草莓全部 被采摘的总收入为
60×1200a+40×2000b=
460000元
460000
解：设该农场种植A种草莓a亩，B种草莓b亩， 依题意，得
a+b=6
(2)设农场每年草莓全部被采摘的收入为y元，该 农场种植A种草莓x亩.求y关于x的函数关系式， 并写出x的取值范围； (3)在(2)的条件下，若要求种植A种草莓的亩数 不少于种植B种草莓的一半，那么种植A种草莓 多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的 总收入最多？
一次函数最值的实际应用题
例1 某采摘农场计划种植A、B两种草莓共6亩， 根据表格信息，解答下列问题：