系统动力学模型案例分析

系统动力学模型介绍
1.系统动力学的思想、方法
系统动力学对实际系统的构模和模拟是从系统的结构和功能两方面同时进行的。

系统的结构是指系统所包含的各单元以及各单元之间的相互作用与相互关系。

而系统的功能是指系统中各单元本身及各单元之间相互作用的秩序、结构和功能，分别表征了系统的组织和系统的行为，它们是相对独立的，又可以在—定条件下互相转化。

所以在系统模拟时既要考虑到系统结构方面的要素又要考虑到系统功能方面的因素，才能比较准确地反映出实际系统的基本规律。

系统动力学方法从构造系统最基本的微观结构入手构造系统模型。

其中不仅要从功能方面考察模型的行为特性与实际系统中测量到的系统变量的各数据、图表的吻合程度，而且还要从结构方面考察模型中各单元相互联系和相互作用关系与实际系统结构的一致程度。

模拟过程中所需的系统功能方面的信息，可以通过收集，分析系统的历史数据资料来获得，是属定量方面的信息，而所需的系统结构方面的信息则依赖于模型构造者对实际系统运动机制的认识和理解程度，其中也包含着大量的实际工作经验，是属定性方面的信息。

因此，系统动力学对系统的结构和功能同时模拟的方法，实质上就是充分利用了实际系统定性和定量两方面的信息，并将它们有机地融合在一起，合理有效地构造出能较好地反映实际系统的模型。

2.建模原理与步骤
(1)建模原理
用系统动力学方法进行建模最根本的指导思想就是系统动力学的系统观和方法论。

系统动力学认为系统具有整体性、相关性、等级性和相似性。

系统内部的反馈结构和机制决定了系统的行为特性，任何复杂的大系统都可以由多个系统最基本的信息反馈回路按某种方式联结而成。

系统动力学模型的系统目标就是针对实际应用情况，从变化和发展的角度去解决系统问题。

系统动力学构模和模拟的一个最主要的特点，就是实现结构和功能的双模拟，因此系统分解与系统综合原则的正确贯彻必须贯穿于系统构模、模拟与测试的整个过程中。

与其它模型一样，系统动力学模型也只是实际系统某些本质特征的简化和代表，而不是原原本本地翻译或复制。

因此，在构造系统动力学模型的过程中，必须注意把握大局，抓主要矛盾，合理地定义系统变量和确定系统边界。

系统动力学模型的一致性和有效性的检验，有一整套定性、定量的方法，如结构和参数的灵敏度分析，极端条件下的模拟试验和统计方法检验等等，但评价一个模型优劣程度的最终标准是客观实践，而实践的检验是长期的，不是一二次就可以完成的。

因此，一个即使是精心构造出来的模型也必须在以后的应用中不断修改、不断完善，以适应实际系统新的变化和新的目标。

(2)建模步骤
系统动力学构模过程是一个认识问题和解决问题的过程，根据人们对客观事物认识的规律，这是一个波浪式前进、螺旋式上升的过程，因此它必须是一个由粗到细，由表及里，多次循环，不断深化的过程。

系统动力学将整个构模过程归纳为系统分析、结构分析、模型建立、模型试验和模型使用五大步骤这五大步骤有一定的先后次序，但按照构模过程中的具体情况，它们又都是交叉、反复进行的。

第一步系统分析的主要任务是明确系统问题，广泛收集解决系统问题的有关数据、资料和信息，然后大致划定系统的边界。

第二步结构分析的注意力集中在系统的结构分解、确定系统变量和信息反馈机制。

第三步模型建立是系统结构的量化过程(建立模型方程进行量化)。

第四步模型试验是借助于计算机对模型进行模拟试验和调试，经过对模型各种性能指标的评估不断修改、完善模型。

第五步模型使用是在已经建立起来的模型上对系统问题进行定量的分析研究和做各种政策实验。

3.建模工具
系统动力学软件VENSIM PLE软件
4.建模方法
因果关系图法
在因果关系图中，各变量彼此之间的因果关系是用因果链来连接的。

因果链是一个带箭头的实线(直线或弧线)，箭头方向表示因果关系的作用方向，箭头旁标有“+”或“-”号，分别表示两种极性的因果链。

a．正向因果链A→+B：表示原因A的变化(增或减)引起结果B在同一方向上发生变化(增或减)。

b．负向因果链A→-B：表示原因A的变化(增或减)引起结果B在相反方向上发生变化(减或增)。

如图
流图法
流图法又叫结构图法,它采用一套独特的符号体系来分别描述系统中不同类型的变量以及各变量之间的相互作用关系。

①状态变量
状态变量又称作位，它是表征系统状态的内部变量，可以表示系统中的物
质、人员等的稳定或增减的状况。

状态变量的流图符号是一个方框，方框内填写状态变量的名字。

显然，能够对状态变量的变化产生影响的只是速率变量。

状态方程可根据有关基本定律来建立，如连续性原理、能量质量守恒原理等。

状态方程有三种最基本的表达方式：微分方程表达、差分方程表达和积分方程表达。

在一定的条件下，这三种表达方式可以互相转化。

如图
5.建模方程类型
以财政补贴为例
PT.K=PT.J+PTL*PT.J*Time
式中
PT.K—第K年财政补贴（万元）；
PT.J—第J年年财政补贴（万元）；
PTL—年财政补贴率
程序模块如图
方程建立好后，设置变量和时间步长，检查模型，运行得到模拟图像和预测数据。

下面用人口的出生率为例
影响出生率的因素我们可以认为有人口性别比例，人口年龄分布，政策系数等一般来说人口性别比例应该是1:1，但是考虑到统计的实际的数据有可能不是1:1，这个可以通过历年的不同性别的人口数量得到，人口年龄分布即为：婴儿，小孩，青年，中年，老年等。

影响出生率的当然就是达到生育年龄的青年和中年（一般16~45岁）。

政策系数即为计划生育政策执行的严格程度（政府部门可以得到）。

如果严格执行“一对夫妇一个孩”的人口政策，政策系数=1，随着执行程度的放松，其值增加。

例如，如果实施“一对夫妇两个孩”的人口政策，政策系数=2。

迁入迁出的人口数量可以通过统计数据得到。

下面主要看下这几个因素对出生率的影响，建模方程
d(出生率)/d(时间)=“青年和中年（一般16~45岁）”*出生率*（性别比）/（100+性别比）*政策系数+（迁入-迁出）*系数(函数)；
（也有可能符合一定的非线性方程之类的，要继续深入的研究）
模型参数估计常用方法：
应用统计资料、调查资料确定参数；
一些常用的数学方法，如经济计量学方法，算法等；
从模型中部分变量关系中确定参数值；
根据模型的参考行为特征估计参数值
专家评估。

此处借用别人的图像解释效果。

GRAPH
2,000
4,000
2,000
6,000
0 1,000
4
4
4
4
4
4
44
4
4 3
3
3
3
3
3
3
3
3
33 2
2
2
2
2
222
2
2
2 1
1
1
1
1
1
1
1111
20102014201820222026203020342038204220462050
Time (Year)
0-14岁11111111111 15-64岁22222222222 65岁及以上3333333333
总人口4444444444
5.模型里还可以加入数学函数，逻辑函数，取大取小函数，阶跃函数，开关函数，延迟函数等，进而模型将会更复杂。

其他的小系统模块（投资收益，缴费金额等）的建模类似。

6.把每个小的系统模块的微分方程或者差分方程，输入系统，运行模块即可得到模拟曲线和一些模拟预测数据，通过改变变量，反复试验可以得到主要影响变量，每个小的系统模块再进行集成，一层一层的就可以得到目标的要求，同时还可以根据每次的实验结果给出相关的政策与对策。