高中数学教师竞赛作品《椭圆的几何性质》课件 苏教版选修1-1

x2 2 16
y2 12
= 2,
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的 关系
x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
轴成轴对称； 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成 中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) 、 、 、 (c,0)、(-c,0) 、 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 、 、 (0,a)、(0,-a) 、 (0 , c)、(0, -c) 、 同前 同前 同前
(a,0)、(-a,0)、 、 、 (0,百度文库)、(0,-b) 、 (c,0)、 (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e =
思考： ＝ 时 曲线是什么？ ＝ 时曲 思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 什么？ 线又是 什么？ c a −b b [3]e与a,b的关系 e = = 的关系: 与 的关系 = 1− a a a
2 2 2 2 2
问：对于椭圆C1 : 9 x + y = 36与椭圆C ： +
2 2
C2 更接近于圆的是−−−−−−−−−。
(±3, 0) 。
60
。
解题的关键： 、 2 解题的关键：21、将椭圆方程转化为标 x y 明确a、 准方程 + = 1 明确 、b
25 9
2、确定焦点的位置和长轴的位置 、
练习
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、 求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离 心率。 心率。
（1）x2+9y2=81 ）
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e = 叫做椭圆的离心率。 叫做椭圆的离心率。 a [1]离心率的取值范围：0<e<1 离心率的取值范围： 离心率的取值范围
[2]离心率对椭圆形状的影响： 离心率对椭圆形状的影响： 离心率对椭圆形状的影响 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭 就越小， ） ， ， 就越小 圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 ） 就越大， ， ， 就越大 圆就越圆
一.情景引入 情景引入
2005年10月12日上午九时整，随着一声巨 年 月 日上午九时整 日上午九时整， 我国研制的神州六号载人飞船， 响，我国研制的神州六号载人飞船，从酒泉卫 星发射中心顺利升空，不久， 星发射中心顺利升空，不久，飞船进入了以近 地点200公里，远地点 公里， 地点 公里 远地点347公里的椭圆轨道围绕 公里的椭圆轨道围绕 地球运行，举世瞩目，万众欢腾。 地球运行，举世瞩目，万众欢腾。 请问你能利用所学的知识求出椭圆轨道的 方程吗？ 方程吗？你想知道椭圆有哪些重要的几何性 质吗？ 质吗？
(2) 25x2+9y2=225 (4) 4x2+5y2=1
(3) 16x2+y2=25
练习： 练习：已知椭圆 x 2 + (m + 3) y 2 = m(m > 0) 的离心率
3 的值及椭圆的长轴和短轴的长、 的值及椭圆的长轴和短轴的长 e= , 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 2
标、顶点坐标。 顶点坐标。
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点 、 2 2 x y + = 1( a > b > 0 ) 2 2 a b
？，说明椭圆与 轴的交点 轴的交点？ 令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ ， ？， 轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ ， ？ 轴的交点 *顶点：椭圆与它的对称轴 顶点： 顶点 的四个交点， 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。 顶点。
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
椭圆的对称性
Y P1（-x，y） ， ）
P（x，y） （ ， ）
O P2（-x，-y） ， ）
X
2、对称性： 、对称性
从图形上看，椭圆关于 轴 从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 轴 原点对称。 从方程上看： 从方程上看： 换成-x方程不变 轴对称； （1）把x换成 方程不变，图象关于 轴对称； ） 换成 方程不变，图象关于y轴对称 换成-y方程不变 轴对称； （2）把y换成 方程不变，图象关于 轴对称； ） 换成 方程不变，图象关于x轴对称 （3）把x换成 ，同时把 换成 方程不变，图象关于原点成中 换成-x，同时把y换成 方程不变， 换成-y方程不变 ） 换成 y 心对称。 心对称。
x y + =1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x y + =1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
2
2
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量 、 刻画椭圆扁平程度的量) 刻画椭圆扁平程度的量
二.师生互动 师生互动
x y 椭圆的图形； + = 1 椭圆的图形； 请画出 25 9
2 2
如何解决精确性的问题呢？ 如何解决精确性的问题呢？
二、椭圆
x 1、范围： 2 ≤ 1, 、范围： a -a≤x≤a,
2
简单的几何性质
y2 ≤ 1得： 2 b -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 椭圆落在 ± 组成的矩形中 y
e =
c a
a2=b2+c2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 b a
|x|≤ a,|y|≤ b
轴成轴对称； 关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
c a
a2=b2+c2
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 它的长轴长是 焦距是： 焦距是
10 。短轴长是 短轴长是： 短轴长是
。
6
8
焦点坐标是： 焦点坐标是 (0, ±4) 外切矩形的面积等于： 外切矩形的面积等于
4 离心率等于： 5 离心率等于
。 。
。顶点坐标是 顶点坐标是： 顶点坐标是
y
B2 (0,b)
A1
b
a F2
， A2 (a，0)
， *长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0) F1 长轴、短轴：线段 长轴 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 、 分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。 轴长和短半轴长。
o c
B1 (0,-b)
根据前面所学有关知识画出下列图形