(整理)偏微分方程相关材料翻译

目录

前言vii 1 应用与方法概述 1

1.1 什么是偏微分方程1

1.2 求解并解释偏微分方程7

2傅里叶级数17

2.1 周期函数18

2.2 傅里叶级数26

2.3 以任意数为周期的函数的傅里叶级数38

2.4 半幅展开:余弦级数和正弦级数50

2.5 均方逼近和帕塞瓦尔恒等式53

2.6 傅里叶级数的复数形式60

2.7 受迫振动69

收敛性的补充内容

2.8 傅里叶级数表示定理的证明77

2.9 一致收敛性和傅里叶级数85

2.10 狄利克雷判别法和傅里叶级数的收敛性94

3 直角坐标中的偏微分方程103

3.1 物理和工程中的偏微分方程104

3.2 建模2 弦振动和波动方程109

3.3 一维波动方程的求解:分离变量法114

3.4 达朗贝尔方法126

3.5 一维热传导方程135

3.6 棒中的热传导:各种边界条件146

3.7 二维波动方程和热传导方程155

3.8 直角坐标中的拉普拉斯方程163

3.9 泊松方程:特征函数展开法170

3.10 诺伊曼条件和罗宾条件180

3.11 最大值原理187

4 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程193

4.1 各个坐标系中的拉普拉斯算子194

4.2 圆膜的振动:对称情况198

4.3 圆膜的振动:一般情况207

4.4 圆域中的拉普拉斯方程216

4.5 圆柱体中的拉普拉斯方程228

4.6 亥姆霍兹方程和泊松方程231

关于贝塞尔函数的补充内容

4.7 贝塞尔方程和贝塞尔函数237

4.8 贝塞尔级数展开248

4.9 贝塞尔函数的积分公式和渐近式261

5球面坐标中的偏微分方程269

5.1 问题和方法概述270

5.2 对称狄利克雷问题274

5.3 球面调和函数和一般狄利克雷问题281

5.4 亥姆霍兹方程及其在泊松方程、热传导方程和波动方程中的应用291

关于贝塞尔函数的补充内容

5.5 勒让德微分方程300

5.6 勒让德多项式和勒让德级数展开308

5.7 连带勒让德函数和连带勒让德级数展开319

6施图姆-刘维尔理论及其在工程中的应用325

6.1 正交函数326

6.2 施图姆-刘维尔理论333

6.3 悬链346

6.4 四阶施图姆-刘维尔理论353

6.5 梁的弹性振动和屈曲360

6.6 双调和算子371

6.7 圆板的振动377

7傅里叶变换及其应用389

7.1 傅里叶积分表示390

7.2 傅里叶变换398

7.3 傅里叶变换法411

7.4 热传导方程和高斯核420

7.5 狄利克雷问题和泊松积分公式429

7.6 傅里叶余弦变换和正弦变换433

7.7 半无限区间上的问题440

7.8 广义函数445

7.9 非齐次热传导方程461

7.10 杜阿梅尔原理471

8拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用479

8.1 拉普拉斯变换480

8.2 拉普拉斯变换的进一步性质491

8.3 拉普拉斯变换法502

8.4 汉克尔变换及其应用508

9 有限差分数值方法515

9.1 热传导方程的有限差分法516

9.2 波动方程的有限差分法525

9.3 拉普拉斯方程的有限差分法533

9.4 拉普拉斯方程的迭代法541

10抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用546

10.1 抽样定理547

10.2 偏微分方程与抽样定理555

10.3 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换559

10.4 傅里叶变换与离散傅里叶变换567

11量子力学引论573

11.1 薛定鄂方程573

11.2 氢原子574

11.3 海森伯格不定性原理581

关于正交多项式的补充内容

11.4 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式590

12格林函数和保角映射611

12.1 格林定理和恒等式612

12.2 调和函数和格林恒等式622

12.3 格林函数629

12.4 圆域和上半平面的格林函数638

12.5 解析函数645

12.6 利用保角映射求解狄利克雷问题663

12.7 格林函数与保角映射674

12.8 诺伊曼函数和诺伊曼问题的解684

附录

A 常微分方程：概念和方法回顾A1

A.1 线性常微分方程A2

A.2常系数线性常微分方程A10

A.3 变系数线性常微分方程A21

A.4 幂级数法，部分I A28

A.5 幂级数法，部分II A40

A.6 弗罗贝尼乌斯法A51

B 变换表A65

B.1 傅里叶变换表A66

B.2 傅里叶余弦变换表A68

B.3 傅里叶正弦变换表A69

B.4 拉普拉斯变换表A70

参考文献A73

部分习题答案A75

索引A99

前言

自本书第1版出版以来，我很高兴地收到了来自读者的积极回应。这一版采纳了他们的许多建议，包含了更多的源自工程和物理的应用、更多的数学证明与理论。为保持原版的组织结构，大部分变化体现在各章后面的新增小节里。与第一版一样，本书旨在作为偏微分方程和边值问题(包括傅里叶级数)的现代基础教材，供学完常微分方程基础课程的学生使用。

本书内容与安排

本书是为了读者较好地从常微分方程基础课程过渡到偏微分方程基础课程而设计的。虽然本书面向那些强调应用的工程、数学和物理等专业的学生，但本版新增内容为教师提供了多种选择:以理论为主的偏微分方程课程，或者强调边值问题和傅里叶级数的偏微分课程。除了偏微分方程基础课程的核心内容(参见下面的“教学安排”)外，本书还包含许多特别专题，教师可以根据需要讲授，或者作为专题研究的题目。这些基于核心内容的高级专题基本上是相互独立的。预修要求

在附录A 中，汇总了一些线性常微分方程的基本理论，包括级数法。教师可以根据需要将这些内容仔细讲授或完全省略，这是为了方便学生回顾与查阅.特别的，A.4~A.6 节包含了对幂级数方法和弗罗贝尼乌斯方法的详细讨论，适合于那些第一次接触这些内容的学生阅读。考虑到现在在常微分方程基础课程中省略级数方法这一趋势，我认为有必要对这些内容作较为详细的讨论。

习题和计算机辅助教学

每一节的习题都以一组基础题目开始，这些基础题目是为了加深学生对该节基本概念的理解而设计的；接着是难度较大的提高题，引导读者对概念进行更深入的理解。这些提高题通常都给出了详细的提示，以使绝大多数学生都可以完成。有些节包含了专题问题，专题问题是一些较长的习题，其结果有一定价值或涉及相关的应用。专题问题可以由学生独自完成，或由小组共同完成，或由教师作进一步的讲解。

虽然本书是从传统观点来编写的，无需计算机辅助教学，但还是包含了一些需要利用计算机的例题和习题。需要使用计算机的习题都标上了计算机标记，这些问题都是要求学生利用计算机辅助作图功能研究一些问题(例如傅里叶展开、贝塞尔展开、勒让德展开以及其他特殊函数的展开式的部分和序列的收敛性) ，