含字母系数的方程和函数
初中数学-含有字母系数的一元一次方程及区分母的典型例题
关于解方程中的去分母的典型例题一例 解下列方程（1）22)5(54 x x x （2）13.02.03.05.09.04.0 y y （3）52221 y y y （4）6.15.032.04 x x （5）621223 x x x （6）01.002.01.02.02.018 x x x 分析：①先找出各分母的最小公倍数，去掉分母．②分母出现小数，为了减少运算量，将分子、分母同乘以10，化小数为整数． 解：（1）去分母，得，)2(5)5(10)4(2 x x x ，去括号，得，105501082 x x x ．移项合并后，6813 x ．两边同时除以13，得1368x ． （2）原方程化为1323594 y y ， 去分母，得15)23(5)94(3 y y ，去括号，得1510152712 y y ，移项合并后32 y ．系数化为1，得23y ． （3）去分母，得 )2(220)1(510 y y y去括号，得42205510 y y y移项，得54202510 y y y合并，得117 y系数化为1，得711y （4）原方程可以化成 6.15)3(102)4(10 x x 去分母，得6.1)3(2)4(5 x x去括号，得6.162205 x x移项，得2066.125 x x合并，得6.273 x系数化为1，得2.9 x（5）去分母，得)2(6)23(36 x x x去括号，得26696 x x x移项，得92666 x x x合并，得1313 x系数化为1，得1 x（6）原方程可化为21022108 x x x 去分母，得)210(2)210(16 x x x去括号，得42021016 x x移项，得10420216 x x x合并，得142 x系数化为1，得7 x说明：（2）去分母时要注意不要漏乘没有分母的项，当原方程的分母是小数时，可以先用分数基本性质把它们都化成整数后，再去分母；（3）分数线除了可以代替“÷”以外，还起着括号的作用，分子如果是一个式子时，应该看作一个整体，在去分母时，不要忘了将分子作为整体加上括号．解方程的过程是等式恒等变形的过程，计算中要注意括号、符号等，掌握正确计算的方法．关于解方程中的去分母的典型例题二例 代数式318x 与1 x 的值的和是23，求x 的值．分析：根据题意，可列方程23)1(318 x x ，解x 即可． 解：得方程23)1(318 x x ， 去分母，得693318 x x ．移项，合并得484 x ．所以，12 x 即x 的值为12．说明：①方程的形式不同，解方程的步骤也不一定相同，五个步骤没有固定顺序，也未必全部用到．②解方程熟练以后，步骤可以简化．关于解方程中去分母的典型例题二例 汽车从甲地到乙地，用去油箱中汽油的41，由乙地到丙地用去剩下汽油的51，油箱中还剩下6升．（1）求油箱中原有汽油多少升？（2）若甲乙两地相距22千米，则乙丙两地相距多少千米？（3）若丁地距丙地为10千米，问汽车在不再加油的情况下，能否去丁地然后再沿原路返回到甲地？分析：①利用等量关系：甲乙路段的汽油＋乙丙路段的汽油＋剩余的汽油＝油箱的总油量；②利用路程与油量成比例方程；③看油量6升能使用多少千米？解：（1）设油箱的总油量为x 升，则x x x x6514141， 整理得62012 x ，得10 x （升）． （2）设乙、丙相距y 千米，则甲乙相距22千米，用油5.24110（升） 每升油可行驶8.85.222 千米． 乙、丙之间用油5.151)5.210( （升）， 所以2.135.18.8 y （千米）．（3）若从丙地返回还需用4升油，因此还剩2升油要从丙到丁再返回，6.1728.8 （千米）．2升油可行驶17.6千米，而丙、丁来回10×2＝20千米，6.1720 ，因此，不能沿原路返回．说明：①多个问题的题目，前面问题的解可作为后面问题的条件；②本题关键要找出每升汽油可行驶多少千米．关于解方程中去分母的典型例题三例 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成．现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做．剩下的部分需要几小时完成？解：设剩下的部分需要x 小时完成．根据两段工作量之和应是总工作量，得11220204 x x 去分母，得605312 x x移项及合并，得488 x6 x答：剩下的部分需要6小时完成．说明：此问题里的相等关系可以表示为：全部工作量＝甲独做工作量＋甲、乙合做的工作量．于是问题转化为如何表示工作量，我们知道，工作量＝工作效率×工作时间．这里的工作效率是用分数表示的：一件工作需要a 小时完成，那么1小时的工作效率为a 1．由此可知：m 小时的工作量＝工作效率a m m，全部工作量＝工作效率1 aa a ，即在工程问题中，可以把全部工作量看作是1．关于解方程中的去括号的典型例题一例 解下列方程：（1）)72(65)8(5 x x（2）)1(2)1()1(3 x x x（3） 1720815432 x分析：方程中含有多重括号，一般方法是逐层去括号，但考虑到本题的特点，可先将－7移到右边，再两边除以2，自动地去掉了大括号，同理去掉中括号，再去掉小括号．解：（1）去括号，得42125405 x x移项，得54042125 x x合并，得777 x系数化为1，得11 x（2）去括号，得22133 x x x移项，得13223 x x x合并，得42 x系数化为1，得2 x（3）移项，得 820815432 x两边都除以2，得 4208)15(43 x移项，得 248)15(43 x两边都除以3，得88)15(4 x移项，得16)15(4 x两边都除以4，得415 x移项，得55 x系数化为1，得1 x说明：去括号时要注意括号前面的符号，是负号时去掉括号后要改变括号内各项的符号；解方程的过程是等式恒等变形的过程，计算中要注意括号、符号等，掌握正确计算的方法．关于解方程中去括号的典型例题二例 某抗洪突击队有50名队员，承担着保护大堤的任务．已知在相同的时间内，每名队员可装土7袋或运土3袋．问应如何分配人数，才能使装好的土及时运到大堤上？解：设分配工人装土，则运土有)50(x 人．根据装上的袋数与运土的袋数相等的关系，列得)50(37x x去括号，得x x 31507移项及合并，得15010 x所以运土的人数为3550 x ．答：应分配15人装土，35人运土，才能使装好的土及时运到大堤上．说明：找准题目中的相等关系关键在于如何理解“装好的土及时运到大堤上”，即使得已装好土的袋数和运走的袋数是相同的，所以依靠总人数50人可没装土的人数为x 人，则可以用x 表示运土的人数．其实在题中还可以依靠其他的相等关系列方程，试试看．关于解方程中去括号的典型例题三例 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿．现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有270条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍少5．问蜘蛛、蜻蜓各有多少只？解：设蜘蛛有x 只，则蜻蜓有)52( x 只．。
含字母系数的一元一次方程
含字母系数的一元一次方程
字母系数的一元一次方程是数学中一种重要的概念，它的性质特别复杂：等式中存在未知的量，但是等式中的字母系数是已知的量，这就是字母系数的一元一次方程的特点。
字母系数的一元一次方程的定义是：字母系数的一元一次方程是指形如ax+b=0的一元一次方程，其中a、b分别是实数系数或字母系数（而非未知数），x是未知量，a和b是等号两边相同的字母系数。
在学习字母系数的一元一次方程时，要明白它的概念，以及解决字母系数的一元一次方程的基本思路。
一元一次方程有两个变量，一个是字母系数，另一个是未知数，字母系数包括系数a和系数b；未知数是未知的量，它可以用x来表示。
在解决字母系数的一元一次方程时，首先要理解问题中给出的数据，然后根据问题的具体情况把它们组合起来，把字母系数的一元一次方程中的变量给出来，最后把方程改写成一元一次方程的标准形式：ax+b=0，即可以解出相应的x值。
在解决字母系数的一元一次方程时，可以采用两种解法。
一种是直接求解法，即把原方程展开，用移项、消元等方法求出x的值；另一种是因式分解法，即将原方程分解成若干个一元一次方程，再将其解结合起来，得出最终的x值。
字母系数的一元一次方程有它惟一的特点，可以采用上述两种解法，来灵活处理，以得出正确答案。
在学习中要注意，字母系数的一元一次方程并不是所有的一元一次方程，所以要弄清楚它们之间的区别，并正确理解字母系数一元一次方程中的系数和未知数，以保证更好地自学能力和学习效率。
总之，字母系数的一元一次方程是一种重要的数学概念，它的解法也是学习数学的基础，要学好字母系数的一元一次方程，就要理解它的概念，根据特定情况运用对应的解法，这样才能取得成功。
部编数学七年级下册专题12含“字母系数”(含参)的二元一次方程组的解题思路(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题12 含“字母系数”（含参）的二元一次方程组的解题思路（解析版）第一部分典例剖析类型一利用二元一次方程的定义构造一元一次方程或二元一次方程组1．（2020春•博兴县期中）若方程3x|m|﹣2＝3y n+1+4是二元一次方程，则m，n的值分别为（ ）A．2，﹣1B．﹣3，0C．3，0D．±3，0思路引领：根据二元一次方程的定义得出|m|﹣2＝1，n+1＝1，解之可得答案．解：∵方程3x|m|﹣2＝3y n+1+4是二元一次方程，∴|m|﹣2＝1，n+1＝1，解得m＝3或m＝﹣3，n＝0，故选：D．总结提升：本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．2．（2022春•开州区期中）若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y m﹣2＝0是二元一次方程，则m+n的值（ ）A．1B．2C．4D．2或4思路引领：由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，据此可列出方程，并求解．解：∵关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y m﹣2＝0是二元一次方程，∴|n|＝1且n﹣1≠0，m﹣2＝1，解得m＝3，n＝﹣1，∴m+n＝3﹣1＝2．故选：B．总结提升：此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．3．（2017春•分宜县校级期中）方程（m2﹣9）x2+x﹣（m+3）y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）A．±3B．3C．﹣3D．9思路引领：根据二元一次方程的定义可得m2﹣9＝0，且m+3≠0，再解即可．解：由题意得：m2﹣9＝0，且m+3≠0，解得：m＝3，总结提升：此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．类型二利用二元一次方程（组）的解的定义构造一元一次方程或二元一次方程组4．若关于x、y的二元一次方程组x+y=2tx−y=4t的解也是二元一次方程2x+3y＝9的解，求t的值和这个方程组的解．思路引领：将t看作已知数求出方程组的解表示出x与y，代入二元一次方程中即可求出t的值，进而确定出方程组的解．解：x+y=2t①x−y=4t②，①+②得：2x＝6t，解得：x＝3t，①﹣②得：2y＝﹣2t，解得：y＝﹣t，将x＝3t，y＝﹣t代入2x+3y＝9中得：6t﹣3t＝9，解得：t＝3，则方程组的解为x=9y=−3．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．5．（2020春•天津期末）已知方程组ax+by=7ax−by=5的解为x=2y=1，则a，b的值为（ ）A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3C．a＝3，b＝1D．a＝1，b＝3思路引领：把x与y的值代入方程组求出a与b的值即可．解：把x=2y=1代入方程组得：2a+b=7①2a−b=5②，①+②，得4a＝12，∴a＝3，把a＝3代入①，得6+b＝7，∴a ＝3，b ＝1，故选：C ．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解．解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．6．已知方程2x +（1+m ）y ＝﹣1与方程nx ﹣y ＝1有一个相同的解x =−2y =1，你能求出（m +n ）2020的值吗？思路引领：把x 与y 的值代入方程求出m 与n 的值，即可确定出所求式子的值．解：把x =−2y =1代入2x +（1+m ）y ＝﹣1，得﹣4+1+m ＝﹣1，解得m ＝2；把x =−2y =1代入程nx ﹣y ＝1，得﹣2n ﹣1＝1，解得n ＝﹣1．∴（m +n ）2020＝（2﹣1）2020＝1．总结提升：此题考查了有理数的乘方以及二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．类型三 已知方程组的错解构造一元一次方程求解7．（2021春•青神县期中）甲、乙两人同时解方程组mx +y =5①2x−ny =13②甲解题看错了①中的m ，解得x =72y =−2，乙解题时看错②中的n ，解得x =3y =−7．试求：（1）原方程组m ，n 的正确值；（2）原方程组的解．思路引领：（1）把甲的解代入②中求出n 的值，把乙的解代入①中求出m 的值即可；（2）把m 与n 的值代入方程组求出解即可．解：（1）把x =72y =−2代入②得：7+2n ＝13，解得n ＝3，把x =3y =−7代入①得：3m ﹣7＝5，解得m ＝4．所以m ＝4，n ＝3；（2）把m ＝4，n ＝3代入方程组得：4x +y =5①2x−3y =13②，①×3+②得：14x ＝28，即x ＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣3，则方程组的解为x=2y=−3．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．类型四利用方程同解构造二元一次方程组8．（2021春•上思县期末）若方程组2x+4y=−68x−4y=16和方程组ax−by=11bx−ay=13的解相同，试求（3b﹣2a）2021的值．思路引领：求出第一个方程组的解，代入第二个方程组求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．解：2x+4y=−6①8x−4y=16②，①+②得：10x＝10，解得：x＝1，把x＝1代入①得：2+4y＝﹣6，解得：y＝﹣2，∴方程组的解为x=1y=−2，把x=1y=−2代入方程组ax−by=11bx−ay=13得：a+2b=11b+2a=13，解得：a=5 b=3，则（3b﹣2a）2021＝（3×3﹣2×5）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．9．已知关于x，y的方程组3x−y=54ax+5by=−22与2x−3y+4=0ax−by−8=0有相同的解，求a，b的值．思路引领：因为关于x，y的方程组有相同的解，根据二元一次方程组的解的定义，只需把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．解：由题意，关于x，y的方程组3x−y=52x−3y+4=0和4ax+5by=−22ax−by−8=0的解也相同．解方程组3x−y=5①2x−3y+4=0②，得x=197y=227．把x=197y=227代入4ax+5by=−22ax−by−8=0，a+1107b=−22a−227b=8解得a=1419b=−2111．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解法及方程组解的意义，由于数比较大，计算较复杂，理解方程组公共解的意义和掌握解二元一次方程组的解法是解决本题的关键．10．（2019春•大丰区期末）已知关于x、y的方程组4x+ay=162x+y=4b+2和3x+ay=132x−3y=−6的解相同，求a、b值．思路引领：先把方程4x+ay＝16和3x+ay＝13相减，可得x的值，再代入方程2x﹣3y＝﹣6，求出y的值，再把x，y的值代入第一个方程组即可求得a，b的值．解：方程4x+ay＝16和3x+ay＝13相减，得x＝3，把x＝3代入方程2x﹣3y＝﹣6，得y＝4．把x＝3，y＝4代入方程组4x+ay=162x+y=4b+2，得12+4a=166+4=4b+2解这个方程组，得a＝1，b＝2．总结提升：利用方程组的解相同，可以重新组合方程组，求得未知数的值．类型五利用二元一次方程组的解适合第3个方程，构造一元一次方程或者用整体思想求解11．已知方程组2x+3y=7，5x−y=3m+1的解能使等式x﹣7y＝2成立，求m的值．思路引领：观察方程组中两方程的x与y的系数，发现方程①减去方程②×2后恰好直接得到（x﹣7y）的值．解：2x+3y=7①，5x−y=3m+1②，由②﹣①×2，得x﹣7y＝3m﹣13，∴3m﹣13＝2，解得m＝5．总结提升：本题主要考查的是解二元一次方程组，求得x、y的值是解题的关键．12．（2022春•沙坪坝区期末）已知关于x，y的方程组3x+4y=a+22x+3y=2a的解满足x+y＝1，求a的值及方程组的解．思路引领：根据题意，①﹣②得x+y＝﹣a+2，再根据已知条件可得a的值，根据加减消元法解二元一次方程组即可．解：3x+4y=a+2①2x+3y=2a②，①﹣②得x+y＝﹣a+2，∵x+y＝1，∴﹣a+2＝1，解得a＝1，∴原方程组化为3x+4y=3①2x+3y=2②，①×2﹣②×3得﹣y＝0，解得y＝0，将y＝0代入3x+4y＝3，得3x＝3，解得x＝1，∴原方程组的解为x=1 y=0．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．13．（2019春•西湖区校级月考）已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=m+32x−y=2m−1的解x与y的值互为相反数，试求m的值和方程组的解．思路引领：由已知方程组，利用加减消元法求出x=5m17，y=9−4m7，再由x与y的值互为相反数，即可求出m的值，再将m的值代入所求x、y的表达式，即可求方程组的解．解：方程组3x+2y=m+3①2x−y=2m−1②，②×2+①得7x＝5m+1，∴x=5m17，将x=5m17代入②，得y=9−4m7，∵x与y的值互为相反数，∴5m17+9−4m7=0∴m＝﹣10，∴x＝﹣7，y＝7，∴原方程组的解为x=−7 y=7．总结提升：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，同时结合相反数的性质灵活解题是关键．14．当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m﹣1，n+1）为巧妙点．（1）若A（m﹣1，5）是巧妙点，则m＝ ，巧妙点A（ ，5）；（2）判断点P（3，1）是否为巧妙点，并说明理由．（3）已知关于x，y的方程组x+y=4x−y=2a，当a为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是巧妙点？思路引领：（1）利用题中的新定义列式计算即可；（2）利用题中的新定义判断即可；（3）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．解：（1）由题意得：2（m﹣1+1）﹣（5﹣1）＝8，解得：m＝6，∴m﹣1＝5，∴巧妙点A（5，5），故答案为：6，5；（2）点P（3，1）是巧妙点，理由如下：根据题意得m−1=3n+1=1，解得：m=4 n=0，代入得：2m﹣n＝8﹣0＝8，∴点P（3，1）是巧妙点；（2）x+y=4①x−y=2a②，①+②得：2x＝2a+4，解得：x＝a+2，把x＝a+2代入①得：y＝2﹣a，根据题意得：m−1=a+2 n+1=2−a，解得：m=a+3 n=1−a，代入得：2m﹣n＝2a+6﹣1+a＝3a+5，当3a+5＝8，即a＝1时，满足2m﹣n＝8，即以方程组的解为坐标的点B（x，y）是巧妙点．总结提升：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．第二部分专题提优训练1．（2022春•滨海县月考）若方程（a﹣6）x|a|﹣5+5y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）A．±6B．﹣6C．±5D．5思路引领：根据二元一次方程的定义解答即可．解：∵（a﹣6）x﹣y|a|﹣5＝1是关于x，y的二元一次方程，∴a−6≠0|a|−5=1，解得a＝﹣6．故选：B．总结提升：本题考查解二元一次方程的定义，解题关键是熟知二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．（2021春•银海区期中）若（R﹣2）x|R|﹣1﹣3y＝2是关于x，y的二元一次方程，那么3R﹣2的值为（ ）A．4B．﹣8C．8D．4或﹣8思路引领：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．解：根据题意得：R−2≠0|R|−1=1，解得R＝﹣2，∴3R﹣2＝﹣6﹣2＝﹣8，故选：B．总结提升：此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．3．（2021春•平凉期末）如果x=3y=−2是方程组ax+by=1ax−by=5的解，则a2008+2b2008的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4思路引领：将方程组的解代入方程组可得关于a 、b 的二元一次方程组3a−2b =13a +2b =5，再求解方程组即可求解．解：∵x =3y =−2是方程组ax +by =1ax−by =5的解，∴3a−2b =1①3a +2b =5②，①+②得，a ＝1，将a ＝1代入①得，b ＝1，∴a 2008+2b 2008＝1+2＝3，故选：C ．总结提升：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．二．解答题（共8小题）4．若x =2y =1是方程组ax +y =b 4x−by =3a−1的解，求a 、b 的值．思路引领：把x =2y =1代入方程组ax +y =b 4x−by =3a−1，然后解关于a ，b 的方程组即可．解：把x =2y =1代入方程组ax +y =b 4x−by =3a−1，得：2a +1=b 8−b =3a−1，解得：a =85b =215，故a =85，b =215．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解，属于基础题，关键是掌握用代入法解方程组．5．已知二元一次方程px +2y ＝8，5x ﹣6y ＝4，2x +5y ﹣8＝0有公共解，求p 的值．思路引领：解方程组5x−6y =42x +5y−8=0得x ，y 的值，再代入px +2y ＝8求解即可．解：解方程组5x−6y =42x +5y−8=0得x =6837y =3237，代入px +2y ＝8，得6837p +2×3237=8，解得p =5817．总结提升：本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是求出方程组公共解．6．（2021秋•金寨县期末）解方程组ax+by=6x+cy=4时，甲同学因看错a符号，从而求得解为x=3y=2，乙因看漏c，从而求得解为x=6y=−2，试求a，b，c的值．思路引领：甲同学因看错a符号，把x＝3，y＝2代入x+cy＝4，求出c，因看错a符号，得﹣3a+2b＝6，乙因看漏c，把x＝6，y＝﹣2代入ax+by＝6，组成新的二元二次方程组，解出即可．解：∵甲同学因看错a符号，∴把x＝3，y＝2代入x+cy＝4，得c=1 2，﹣3a+2b＝6．∵乙因看漏c，∴把x＝6，y＝﹣2代入ax+by＝6，得6a﹣2b＝6，得−3a+2b=6 6a−2b=6，解得，a＝4，b＝9；综上所述，a＝4，b＝9，c=1 2．总结提升：本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握做题的方法是解题关键．7．（2019秋•平桂区期末）已知x=2y=1是二元一次方程组mx+ny−7=0nx+my−2=0的解，求m+3n的值．思路引领：把方程组的解代入方程组求出m与n的值，即可求解．解：把x=2y=1代入方程组mx+ny−7=0nx+my−2=0，得2m+n−7=02n+m−2=0，解方程组，得m=4，n=−1把m=4n=−1代入m+3n，得m+3n＝4+3×（﹣1）＝1．总结提升：本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．8．（2021春•娄底月考）已知方程组2x+3y=10ax+by=9与方程组bx−ay=84x−3y=2的解相等，试求a、b的值．思路引领：两个方程组的解相同，也就是有一组x、y的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解，所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解．解：由已知可得2x+3y=104x−3y=2，解得x=2y=2，把x=2y=2代入剩下的两个方程组成的方程组ax+by=9bx−ay=8，得2a+2b=9 2b−2a=8，解得a=14b=174．故a、b的值为a=14b=174．总结提升：解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力．9．（2018春•岳麓区校级期中）（1）已知关于x，y方程组x+2y=3k2x+y=2k+1的解满足x﹣y＝3，求k的值；（2）在（1）的条件下，求出方程组的解．思路引领：（1）方程组中两式相减后可得x﹣y＝1﹣k，再根据条件即可求出k的值．（2）根据二元一次方程组的解法即可求出答案．解：（1）∵x+2y=3k①2x+y=2k+1②，∴②﹣①得：x﹣y＝1﹣k，∵x﹣y＝3，∴1﹣k＝3，∴k＝﹣2．（2）将k＝﹣2代入x+2y=−6①2x+y=−3②，①×2得：2x+4y＝﹣12③②﹣③得：﹣3y＝9，∴y＝﹣3，将y＝﹣3代入①得：x﹣6＝﹣6，∴x＝0，∴方程组的解为x=0 y=−3总结提升：本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．10．已知方程组2x+y=5ax−by=−4与5x−4y=62ax−3by=2有公共解，求a、b的值．思路引领：由于两方程组有公共解，所以可把方程①和方程③联立为一个方程组进行求解，然后把所求结果代入方程②和方程④中，形成一个关于a、b的二元一次方程组，解答即可．解：在方程组2x+y=5①ax−by=−4②与5x−4y=6③2ax−3by=2④，因为有公共解，所以有2x+y=55x−4y=6和ax−by=−42ax−3by=2．由第一组可解得x=2 y=1，代入第二组，得2a−b=−4 4a−3b=2，解得a=−7b=−10．总结提升：本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．11．（2021秋•长丰县月考）已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=a2x−y=1．（1）当方程组的解为x=1y=1时，求a的值．（2）当a＝﹣2时，求方程组的解．（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将x=−2y=−2代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．思路引领：（1）将x=1y=1代入方程组x+2y=a2x−y=1即可求a的值；（2）用加减消元法求方程组的解即可；（3）x=−2y=−2不是方程2x﹣y＝1的解，因此x=−2y=−2不是方程组的解．解：（1）∵x=1y=1是方程组x+2y=a2x−y=1的解，∴1+2×1＝a，∴a＝3；（2）∵a＝﹣2，∴x+2y=−2①2x−y=1②，②×2得，4x﹣2y＝2③，①+③得，5x＝0，∴x＝0，将x＝0代入②得，y＝﹣1，∴方程组的解为x=0y=−1；（3）不正确，理由如下：将x=−2y=−2代入方程2x﹣y＝1，可得2×（﹣2）﹣（﹣2）＝﹣2≠1，∴x=−2y=−2不是方程组的解，∴解法不正确．点睛：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，会用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．。
二元一次方程组含字母系数
二元一次方程组含字母系数二元一次方程组是初中数学内容中的一个重要知识点，在我们的日常生活中也有着广泛的应用，我们可以通过解二元一次方程组来求解很多实际问题。
二元一次方程组含字母系数的概念在解二元一次方程组时，系数往往都是常数，但在实际应用中，很多情况下系数却含有字母，这就是所谓的二元一次方程组含字母系数。
举个例子，如下所示的方程组：2x + 3y = a4x - y = b其中a和b都是字母，此时我们就需要通过一些特殊的方法来解决这类问题。
解二元一次方程组的通常方法解二元一次方程组的方法有多种，比如代入法、消元法、用公式解、图像法等等。
在这里，我们以代入法和消元法为例来进行讲解。
代入法代入法又称直接代入法，其基本思路是将一个方程的一项用另一个方程的未知数表示出来，然后代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的一元一次方程，进而求出该未知数，再代入任意一个方程，得到另一个未知数的值。
我们以上面的方程组为例进行演示。
化简出y：y = 4x - b带入第一式：2x + 3(4x - b) = a化简得：14x - 3b = a化简出x：x = (a + 3b)/14再带入第一个式子，化简出y得：y = (2a - 9b)/14至此，我们就求得了这个方程组中的x和y的值，其中含有未知字母。
这就是用代入法解决二元一次方程组含字母系数的方法。
消元法消元法又称加减消元法，它的基本思路是将两个方程的某一个系数相加或相减得到一个新方程，使得这个新方程中含有一个未知数的项系数是相反数，从而通过消元求解。
还是以上面的方程组为例进行演示。
通过第二个方程，化简出y：y = 4x - b代入第一个方程：2x + 3(4x - b) = a化简得：14x - 3b = a将第二个方程变形：y = 4x - b 可得： 4x = y + b 代入第一个方程：2x + 3y + 3b = a再将第二个方程中的4x替换为上式得：2(y + b) + 3y + 3b = a化简得：5y + 7b = a用此式将b消元：3b = (a - 5y)/7将其代入12x = 4y + 4b中得：x = (a + 3y)/14最终可求出y和x的值，其中还是包含有未知字母。
数学人教版七年级上册含字母系数的方程的解法
4 x 2 10 x 1 6
4 x 10 x 6 2 1
合并同类项，得 系数化为1，得
6x 5
5 x 6
知识巩固
1.判断下列说法的正误. （1）关于 x 的方程 3x-a=0，若a=0 ，则方程无解.
（ × ） （ √ ） （√ ）
（4）关于 x 的方程 ax=a 的解为x=1 .
2. 当 a ,b 满足什么条件时，关于x的方程 2a(x+1)-2=3(2x+b)-1 有解？ 解：将原方程化简，得 (2a-6)x=3b-2a+1 ∵原方程有解 １.原方程有唯一解 ２.原方程有无数解 ∴2a-6≠0,3b-2a+1为任意数 ∴a≠3,b为任意实数 ∴2a-6=0（ ×）
2.填空.
x x a 例1.解关于的 x方程 a ( x 12) 3 2 6
解下列关于 x 的方程. （1） ax b bx
随堂演练
（2）x 3( x 1)
kx k
例2.已知关于x 的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-3b+4有无数解， 求b的值. 解：将原方程化简，得 (3x+2b-8)x=2a+4 ∵原方程有无数解 ∴ 3a+2b-8=0 , 2a+4=0 ∴a=-2 , b=7
含字母系数的方程 的解法
武汉实验外国语学校 余聪焕
复习回顾
1.概念 方程： 含有未知数的等式叫做方程. 方程的解： 使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫 做方程的解.
回顾解一元一次方程的过程
解：去分母，得
去括号，得 移项，得
2 x 1 10 x 1 1 3 6
22 x 1 10 x 1 6
含字母系数的一元一次方程
含字母系数的一元一次方程咱先来说说啥是含字母系数的一元一次方程哈。
就比如“ax ＋ b ＝0”这种形式的，这里的“a”和“b”可以是已知数，也可以是未知数，而“x”就是咱们要求的那个未知数。
我记得有一次，我给班上的同学讲这部分内容的时候，有个小同学一脸懵地看着我，问：“老师，这字母在方程里捣乱，怎么算呀？”我笑着跟他说：“别着急，这字母呀，就像是藏在方程里的小怪兽，咱们得有方法把它驯服。
”咱们先来看，如果方程里的“a”不等于 0 ，那这就简单啦，直接把“ax”看成一个整体，通过移项就能算出“x＝b/a”。
比如说方程“2x ＋ 3＝0”，这里“a ＝2”，“b ＝3”，那“x”就等于“－3/2”。
可要是“a ＝0”呢？这就得再分情况啦。
要是“b ＝0”，那这个方程就变成了“0x ＝0”，这时候呀，x 可以取任何值，因为不管 x 是多少，0 乘以它还是 0 。
但要是“b 不等于0”，那这个方程就无解啦，比如“0x ＋ 5 ＝0”，这怎么可能有解呢？有一次做作业的时候，有个同学把“ax ＋b ＝0”当成了普通的方程，直接得出“x ＝b”，完全忘了考虑“a”是不是 0 。
我就跟他说：“你这可不行呀，就像走路不看路，容易摔跤的。
”然后我又给他仔细地讲了一遍。
再给大家举个例子，方程“3x ＋ 2a ＝0”，如果告诉你“x ＝－2”，那咱们就能求出“a”的值啦。
把“x ＝－2”代入方程，就得到“3×（－2) ＋ 2a ＝0”，解这个方程，“－6 ＋ 2a ＝0”，移项得到“2a ＝6”，所以“a ＝3”。
还有一种情况，比如说方程“（a 1)x ＋ 2 ＝0”，如果告诉你这个方程有唯一解，那咱们就能知道“a 1 不等于0”，所以“a 不等于1”。
学习含字母系数的一元一次方程，可不能马虎，得一步一步来，认真分析字母的取值情况。
就像走迷宫，得看清每一个岔路口，才能找到正确的出路。
总之，含字母系数的一元一次方程虽然有点小复杂，但只要咱们掌握了方法，多做几道题练练手，就一定能把它拿下！希望同学们都能在这个数学的小天地里畅游，不怕这些小怪兽，把它们统统驯服！。
初中数学含字母系数的方程
含字母系数的方程【典型例题】例1．解下列关于x 的方程：①ax+b=bx+a;(a ≠b); ②)53(3)4(4)13(-≠-=+m x m x m .例2．已知关于x 的方程21ax+5=237-x 的解x 与字母a 都是正整数，求a 。
例3．已知方程x =ax+1有一个负根而没有正根，求a 的取值范围.例4．选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+cy ax y x 275① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解例5．a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x ay x 的解是正数？例6．m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？例7．已知关于x ，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a 值它都能使方程成立吗？一、填空1．若2（3-a ）x-4=5是关于x 的一元一次方程，则a ≠ . 2．关于x 的方程ax=3的解是自然数，则整数a 的值为： .3．x=2是方程2x-3=m-x 21的解，则m=. 4．若-2x2-5m+1=0 是关于x 的一元一次方程，则m=.5．当m=时，方程65312215--=--x m x 的解为0. 6．已知a ≠0.则关于x 的方程3ab-(a+b)x=(a-b)x 的解为.7．若23234+x a 与43152+x a 是同类项，则x=.8．当a=时，方程14523-+=-ax a x 的解是x=0. 9．若a ≥0,且方程a+3x=10的解是自然数，则a= .10．若（1-3x ）2+mx -4=0,，则6+m 2=.11．已知方程2+-=-axb b a x 是关于x 的一元一次方程，则a,b 之间的关系是.二、1．要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x kky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？2．如果方程35425x m xm +=-与方程4103365+=-x x +1的解相同，求m 的值.一、选择1．方程ax=b 的解是（ ）. A ．有一个解x=ab B ．有无数个解 C ．没有解D ．当a ≠0时，x=ab 2．若关于x 的方程3(x-1)+a=b(x+1)是一元一次方程，则（ ）. A ．a,b 为任意有理数 B ．a ≠0 C ．b ≠0D ．b ≠33．若关于x 的方程10-4)2(35)3(--=+x k x x k 与方程8-2x=3x-2的解相同，则k 的值为( ) A.0 B.2C.3D.4二、解答题1．a 取什么值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=+229691322a a y x a a y x 的解是正数？2．a 取哪些正整数值，方程组⎩⎨⎧=--=+a y x ay x 24352的解x 和y 都是正整数？。
含字母系数的一元一次方程
含字母系数的一元一次方程嘿，同学们！今天咱们要来聊聊含字母系数的一元一次方程，这可是数学里一个挺有意思的小天地呢！先来说说我之前遇到的一件小事儿。
有一次我去逛商场，看中了一款漂亮的笔记本，标价是 x 元。
我手里有一张 10 元的优惠券，买完这本子结账的时候，售货员跟我说：“亲，用了优惠券后您实际支付的价格是 3 元哦。
”那这时候，咱们就能列出一个含字母系数的一元一次方程：x 10 ＝ 3 。
通过解方程就能算出这本子原本的价格是 13 元。
怎么样，是不是一下子就感觉到方程在生活中的用处啦？那到底啥是含字母系数的一元一次方程呢？简单来说，就是方程里不仅有未知数，还有字母表示的系数。
比如咱们常见的 ax ＋ b ＝ 0 这种形式，这里的 a 和 b 可以是已知数，也可以是含有字母的式子，而 x 就是咱们要解的未知数。
在解这类方程的时候，可有不少要注意的地方。
比如说，如果系数a 等于 0 ，那情况可就不一样啦。
假设方程是 0x ＋ 5 ＝ 0 ，这显然是无解的，因为 0 乘以任何数都得 0 ，不可能等于 5 嘛。
但要是方程是0x ＝ 0 ，那 x 就可以取任何数，因为不管 x 是多少，0 乘以它都等于0 ，是不是挺有趣？再给大家举个例子。
比如方程 2ax 5 ＝ 15 ，如果 a ＝ 1 ，那方程就变成 2x 5 ＝ 15 ，解这个方程，先把－5 移到等号右边变成 2x ＝20 ，然后 x ＝ 10 。
但如果 a ＝ 2 ，方程就成了 4x 5 ＝ 15 ，解出来 x ＝ 5 。
所以说，字母系数的不同取值，会让方程的解也发生变化呢。
咱们做练习题的时候，经常会碰到一些需要讨论字母系数取值的情况。
就像有一道题：已知方程（a 1)x ＝ 3 ，当 a 取什么值时，方程有解？当 a 取什么值时，方程无解？这就得咱们好好动动脑筋啦。
如果 a 1 不等于 0 ，也就是 a 不等于 1 时，方程有解，x ＝ 3/（a 1) 。
人教版七年级数学讲义 第8节 含字母系数的一元一次方程
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．【例1】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵【巩固】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵； ⑶【例2】（1）x=2是方程2x+a-9=0的解，则a 的值是 。
（2）已知方程2（x+1）=3(x-1)的解为x=a+2,则a 的值是 。
x ax b =xn c m=+y 21y ax -=xm n y-=0ay b c -+=模块一 参数模块二 同解方程含字母系数的一元一次方程知识精讲典型例题若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．【例3】当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同． 解析：法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-.法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解， 把解代入另一个方程．【例4】（1）已知方程3（x-1）=4x-5与关于x 的方程2x+a-9=0的解相同，求a 的值。
（2）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-9=0的解相同，求a 的值（3）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-2=0的解互为相反数，求a 的值知识精讲典型例题（4）已知关于x 的方程3（x-1）=4x-a 的解比方程2x+a-9=0的解大2，求a 的值【例5】若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．分类讨论--解含字母系数方程含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定．⑴当时，，原方程有唯一解； ⑵当且时，解是任意数，原方程有无数解； ⑶当且时，原方程无解．分类讨论产生的原因→等式的性质②等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式， 所得结果仍是等式．若，则，． ax b =a b 0a ≠bx a=0a =0b =0a =0b ≠a b =am bm =a bm m=(0)m ≠模块三 解含参的一元一次方程知识精讲能力提升由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。
关于数学初二章节知识点内容
关于数学初二章节知识点内容数学初二章节知识点(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2—b2=(a+b)(a—b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2—2ab+b2=(a—b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子： a2—b2=(a+b)(a—b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a—b)2=a2—2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2—2ab+b2 =(a—b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2—2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。
原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。
含字母系数的一次方程
分析：题目给出的是一个连等式，可以分别拆开再求出 x 由已知条件得 x =+ (b c) x, b =+ (c a) x, c =+ ( a b) x 三式相加，得 a + b + c= 2(a + b + c) x 当 a + b + c ≠ 0 时，则 x =
答案： a 7或a 2
1 ； 2 c = −1 a+b
当a+b+c = 0 时，则 a + b = −c ，则 x = 3、 如果关于 x 的方程
2( kx + 3) 1 5(2 x + 3) 有无数个解，那么 k = __ + = 3 2 6
分析：经化简后一定是 0 ⋅ x = 0 ，从而求出 k 结果 k =
5 2
a 3x + a 1 − 5 x 4、 已知关于 x 的方程 3[ x − 2( x − )] = 4x 和 − = 1 有相同的解，那么这个解是 3 12 8
答案：
答案： 3, 2 10. 如果方程 m( x − 1) = 2001 − n( x − 2) 有无数个根，则 m 2001 + n 2001 = ___ （第 12 届初一希望 杯） 答案： 0 。
0 m + n = 可化为 (m + n) x = 2001 + m + 2n 有无数个根，所以 0 2001 + m + 2n =
含字母系数的一次方程 如果方程中的已知数用字母表示，那么这样的方程就叫做含字母系数的方程。 最简一元一次方程 ax=b 的解有以下三种情况： ①当 a≠0 时，方程有且仅有一个解； ②当 a=0，b≠0 时，方程无解； ③当 a=0，b=0 时，方程有无穷多个解. 例题： 1、 解关于 x 的方程 mnx − n 2 = mn − m 2 x 分析：移项合并同类项得 m(m + n) x =(m + n)n 当 m + n ≠ 0 ，且 m ≠ 0 时，方程有唯一解 x = 当 m + n ≠ 0 ，且 m = 0 时，方程无实数解； 当m+n = 0 时，方程的解为任意数。 2、 = 若x
初中一年级数学公式总结
初中一年级数学公式总结（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a 、b 可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)?(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1. 在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1. 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2. 分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3. 如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4. 分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y ＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n 次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6. 类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
含字母系数的一元一次方程
含字母系数的一元一次方程字母系数是一种在数学中使用的特殊形式，其中，一个数学问题可以用字母来代替数字，从而产生一个新的数学概念。
字母系数可以用来处理一元一次方程，可以解决一些复杂的问题。
一元一次方程包括一个变量，比如x，它的系数是由字母表示的，比如a，b，c等。
如果只有一个变量，那么变量和字母系数组合在一起，就可以构成一个方程。
一元一次方程的定义是，只有一个变量的一次方程，而不是一个式子中的变量之和。
例如，有一个一元一次方程：ax + b = c。
其中，a是一个字母系数，b和c是变量，x是未知数。
根据字母系数，解决该方程的答案就可以用数字表示出来：x = (c-b)/a。
字母系数还可以用来解决一种特殊的一元一次方程：平行线方程。
平行线的两条边是完全平行的，其中的每一项都是一元一次方程，它们的变量和字母系数是相同的，但是变量的值不同。
因此，可以把这种特殊的一元一次方程写成：ax + b = c; ax + d = e，这就可以用字母系数来解决，两个方程的变量x的值就可以知道了。
此外，字母系数还可以用来解决二元一次方程，二元一次方程是一个含有两个变量的一次方程，它可以用字母系数来表示，比如ax + by = c; dx + ey = f，此时，变量x和y的值可以通过这两个方程的变量和系数来解决。
总之，字母系数的一元一次方程可以用来解决一般的一元一次方程、平行线方程和二元一次方程。
字母系数是一种特殊的数学概念，它使得数学问题变得更加复杂，也更加有利于深入探索数学问题。
学习字母系数是一个解决数学问题的有效方法，在学习过程中，可以更好地了解和应用字母系数，从而更好地解决复杂的数学问题。
字母系数
一元二次方程中字母系数的求解思路(河北星星老师) 字母系数的确定是难点。
一直以来，学生解答一元二次方程问题的错误主要集中在含有字母系数的一元二次方程这类题型上，也正是这个原因，各省市的中考命题总爱在此设下陷阱，为增加同学们的免疫力，给同学们打以下预苗：一．如果题目中没有指明方程的次数和根的个数，应注意二次项系数可能为零。
例：m为何值时，关于x的方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根？分析：由于题设对含字母系数的方程次数未做任何规定，因此，“关于x的方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根”可理解为“一元二次方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根”和“一元一次方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根”两种情况。
解：分两种情况，1(1)当m≠0时，由△≥（2m-1）2-4m(m+2)≥0,即m≤121且m≠0时，原方程有两个实数根。
∴当m≤12（2）当m=0 时，原方程为-x+2=0.看得出方程有一个实数根。
说明：当二次项系数中含有字母且对方程没有作明确规定时，求解时一定要对“方程的次数”做以讨论，否则将进入陷阱。
二．当题目中指明是二次方程或有两个实数根，应注意二次项系数不能为零。
例：已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2，求k的取值范围1且k≠0 解：由题目意可知：k≠0, △＞0,（2k-1）2-4k2解得k＜4说明：不能只考虑△＞0，而忽视了二次项系数k≠0这一隐含条件。
否则原二次方程的二次项消失，变成了一次方程，与已知条件有两个不相等的实数根相违背。
三．运用根的判别式解一元二次方程时，注意方程有实根的隐含条件△≥0。
例：若关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0两实根的平方和等于9，求x的值。
分析：条件已明确一元二次方程有两实数根，因而必须满足△≥0，然后再根据韦达定理解题。
解：设方程的两根为x1,x2，由韦达定理得，x1+x2=-(2k-1), x1x2=k2-1. ∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=［-(2k-1)］2-2(k2-1)=9整理得，k2-2k-3=0, k1=-1 ,k2=3 注意到二次方程有两个实根。
六年级含字母系数的方程(组)的解法
学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 含字母系数的方程（组）的解法教学内容1． 会解形如ax b =的方程；2． 理解二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解有多种可能性． （此环节设计时间在10-15分钟）说明：本讲内容如果没有特别说明，在含有字母系数的方程（组）或不等式（组）中，一般用a 、b 、c 等表示已知数，用x 、y 、z 表示未知数。
回顾上次课的预习思考内容形如ax b =的方程的解的情况讨论：◆ 当0a ≠时，方程有唯一解，为b x a=（等式基本性质） ◆ 当0,0a b ==时，即00x ⨯=，方程有无数个解，即解为一切数◆ 当0,0a b =≠时，方程无解二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的可能性：◆ 当1112a b b b ≠时，方程组有唯一的解； ◆ 当111122a b c b b c =≠，方程组无解； ◆ 当111122a b c b b c ==时，方程组有无数多个解 练习：1．关于x 的方程53ax x =-无解，则a ＝ ；2．关于x 的方程2354mx x n -=-无解，则m ，n ；3．已知二元一次方程组3221ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值是（ ） A ．a ＝－2 B ．a ＝6 C ．a ＝2 D ．a ＝－6参考答案：1、5； 2、5324m n =≠、； 3、D （此环节设计时间在50-60分钟）例题1：解关于x 的方程(1)32m x x -=+教法说明：首先回顾下等式的基本性质：等式的两边同乘以（除以）同一个不为零的数，等式的性质不变 参考答案：(3)22303330305m x m m m m x m m m x -=++-≠≠=--==⨯=解：原方程整理得当，即时，原方程的解为当，即时，原方程变为,所以原方程无解试一试：解关于x 的方程23ax b x -=-(2)332022203023203023a x b b a a x a a b a b a b a b -=---≠≠=--=-≠=≠-=-===解：原方程整理得当，即时，原方程的解为当，，即，时，所以原方程无解当，，即，时，所以原方程有无数个解例题2：解关于x 、y 的二元一次方程组 2(1)(20)3(2)mx y n m n nx y m +=⎧+≠⎨-=⎩教法说明：解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便参考答案：222222(1)(2)2(2)662(1)(2)(2)3326232m n x m nm n x m nn m m n y n m n m y m nm n x m n n m y m n +⨯+=++=+⨯-⨯+=--=++⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解：得 得 所以原方程组的解为试一试：解关于x 、y 的方程组：1(0,0)2ax by a b bx ay -=⎧≠≠⎨+=⎩ 参考答案： 222222222222(1)(2)()22(1)(2)2()2222a b a b x a ba bx a b b a b y a b a by a b a b x a b a by a b ⨯+⨯+=++=+⨯-⨯+=--=++⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解：得 得 所以原方程组的解为例题3：若方程组223x y m x y +=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 均为正数，求m 的取值范围．教法说明：要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组，将本方程组中字母m 的看成是常数 参考答案：解：解方程组得1383m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 因为x 与y 均为正数，即00x y >⎧⎨>⎩ 所以103803m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩. 解不等式组得， 8m >所以m 的取值范围是8m >．试一试：已知关于x y 、的二元一次方程组26322x y m x y m +=⎧⎨-=⎩的解满足二元一次方程435x y -=，求m 的值。
含字母系数的一元一次方程
含字母系数的一元一次方程
字母系数是数学中常见的一种方程类型，其定义是：在一次方程中，字母取代常数，其值未知，可以用算法求解出其值。
这类方程又称为字母系数方程。
一元一次方程是指一个未知数只出现一次，而系数则为非零数字，其形式是ax+b=0，其中a和b分别为系数，x为未知数。
当系数a或b为字母时，就是一元一次字母系数方程，其形式为ax+b=0。
一元一次字母系数方程的解法可以用称为“解析解”的算法来解决，这类算法是利用一元一次方程的性质，结合加减乘除算法等来求解出字母系数a和b的值。
例如，有一类一元一次字母系数方程：2x+3y=1，那么使用“解
析解”的算法，可以得出的解为：x=1/2，y=-1/3。
此外，一元一次字母系数方程还可以通过“分段函数”的算法来求解，即把字母系数分段，利用一元一次方程的性质，把分段的未知数解出来。
例如，有一元一次字母系数方程2x+3y=1，那么可以把它分成2段：2x=-3y+1，x=-1/2y+1/2。
把它分成两段，可以分别求出x和y
的值，得出的解为：x=1/2，y=-1/3。
总而言之，一元一次字母系数方程是数学中比较常见的一种方程类型，其解法可以使用“解析解”、“分段函数”等技巧，来求解出字母系数a和b的值。
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含字母系数的方程与函数
一、基本思想
含有字母系数的方程和函数的问题涉及的知识面广，它与方程的定义、根的定义、根的判别式、根与系数的关系、函数的定义等都有紧密的联系。
需要注意以下几个问题：
1、一元二次方程（二次函数）二次项系数不能为零；
2、用方程思想根据已知条件构造方程求字母系数的值；
3、根据函数的类型确定首项系数。
解题基本思路：1、看a ；2、看Δ；3、看根与系数的关系。
二、问题解答
1、若函数y=kx 2﹣6x ﹣4的图像与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是______________。
2、已知关于x 的一元二次方程kx 2－(2k －1)x +k =0有两个不相等的实根则k 的取值范围是_____________________。
3、若函数a x x a y 24)1(2+--=的图象与x 轴有且只有一个交点， 则a 的值为
________。
4、已知：函数y=ax 2﹣（3a+1）x+2a+1（a 为常数）．
（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值；
（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴相交于点C ，且x 2﹣x 1=2．
① 求抛物线的解析式；
② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC ，DC ，求sin ∠DCB 的值．
三、巩固训练
已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0
（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x 1，x 2,且│x 1－x 2│=2,求k 的值.。