热传导方程及其定解问题的导出
大学物理-热传导方程的定解问题例题
du u dx E0 cosdR
现在计算上式从 R 0到 的积分。由于在静电 场中，上式的积分与积分的路线无关，故可取积分路 线为直线，如图(1)所示。将 E0 cos 作为常数提出积分
号外，并将 u(0) 0代入，便有
第五章 数学物理方程和定解条 件的导出 例题
5.2 热传导及稳定场问题
例1 在均匀外电场 E0中置入半径为 R0的导体球，若导体 球接有电池，使球与地保持电势差 u0 。试写出电势 u
满足的泛定方程与定解条件。设导体置入前球心位置
的电势 u(0) 0。 解：选z轴沿均匀外电场 E0的方向，见图1 。
u |R E0R cos |0R E0R cos
球面上电势连续，即 u1(R0 ) u2 (R0 ) u0
因为本题比较简单，有些条件(如周期性条件等)不需要 列出也可以求出结果，就不用列出了。
E0
u2
• • u1 u0
0
R0
z
dx
• E0
•
0
Z
(a)
(b)
（图 1）
设球内外电势分别用u1、u2 表示。
（1）泛定方程。因为除球面上 (R R0 )有自由电荷
分布外，球内外的 f 0，故
2u1 0, R R0 2u2 0, R R0
（2）定解条件 因为导体表面有限的电荷分布对无穷远处电势的
热传导方程的导出及其定解问题的导出
热传导方程的导出及其定解问题的导出1. 热传导方程的导出考察空间某物体G 的热传导问题。
以函数u (x ,y ,z ,t )表示物体G 在位置(x ,y ,z )及时刻t 的温度。
依据传热学中的Fourier 实验定律，物体在无穷小时段dt 内沿法线方向n 流过一个无穷小面积dS 的热量dQ 与物体温度沿曲面dS 法线方向的方向导数学成正比，即o n d udQ =-k (x ,y ,z )dSdt (1-1)o n 其中k (x ,y ,z )称为物体在点(x ,y ,z )处的热传导系数，它应取正值。
(1-1)式中负号的出 o u现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ 应和异号。
o n在物体G 内任取一闭曲面r ，它所包围的区域记为0，由(1-1)式，从时刻t 到t 流进12此闭曲面的全部热量为Q =f t 2仙k (x ,y ,z)—dS\dt (1-2)4I r O nJ这里表示u沿r 上单位外法线方向n 的方向导数。
o n流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔(t ,t )中物体温度从u (x ,y ,z ,t )121变化到u (x‘y ,z ,t2)，它所应该吸收的热量是JU c (x ,y ,z )P (x ,y ,z )[u (x ,y ,z ,t )一u (x ,y ,z ,t )]dxdydz其中c 为比热，P 为密度。
因此就成立 >dt=JfJ C (x ,y ,z )P (x，y ,z)[u (x,y ,z ,12)一U (x ,y ,z ,t i )]dxdydz(1-3)假设函数u 关于变量x ,y ,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(1-3)化为交换积分次序，就得到J t t 12仰(x ，y ,z )护t10O x{k 譽'O x 丿(一O u 、 +—k 二+—°y°y 丿 O z (O u 、k 一>dxdydzdt =c P JI o 丿J 「E O u dtdxdydztO t 丿dxdydzdt =0(1-4)训c P '0、由于t i,t2,0都是任意的，我们得到(1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。
大学物理-热传导方程的定解问题
在各向同性的介质中，热流强度 q 与温度的负梯度成正比， 即
(k：热传导系数)
|q|：单位时间垂直通过等温面单位面积的热量，即 q 的方向：等温面的法线方向 (由高温指向低温) 定律的物理意义：q 正比于温度的下降率 单位时间内流入 / 流出 V 的热量为
单位时间内热源在 V 中释放 / 吸收的热量为
单位时间内，V 中介质温度升高/降低所需/放出的热量为
能量守恒定律：Q3 = Q1 + Q2 则 由 V 的任意性，得到
若介质均匀，即 k 为常量，有来自定义：，因此得到
当 V 内无热源，即 f = 0，故有
二、扩散方程 1. 扩散现象：当空间各点浓度分布不均匀时，就有粒子
从高浓度处流向低浓度处。(浓度：单位体 积中的粒子数) 2. 方程的推导 设：空间中任一小体积 V，其边界面为 S
粒子源强度：F (x, y, z, t) ——单位时间，单位体积 内产生的粒子数
求：空间各点粒子浓度 u(x, y, z, t) 的方程 V 内粒子数增加的来源：扩散 + 粒子源
扩散浓度：N ——单位时间通过垂直于 v (粒子定向运动速 度) 的单位面积的粒子数 N=uv，方向：v 的方向
对于扩散现象，有斐克定律： 扩散强度与浓度的负梯度成正比，即 D：扩散系数
扩散导致 V 内粒子增加的数量：
粒子源 V 粒子增加的数量： 内粒子数总的增加数：
因粒子数守恒，有 由 V 的任意性，得到 若 D 为常量，且设 D = a2，则
若 V 内无粒子源，即 F = 0，因而
总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两 者物理本质不同，但满足同一微分方程。
数学物理方程第三版答案谷超豪
数学物理方程第三版答案谷超豪【篇一：数学物理方程_答案_谷超豪】/p> 1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程???u????u????x????e? ?t??t??x??x?其中?为杆的密度，e为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x??x。
现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。
在时刻t这段杆两端的坐标分别为：x?u(x,t);x??x?u(x??x,t)其相对伸长等于令?x?[x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x?x?ux(x???x,t)，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。
由虎克定律，张力t(x,t)等于t(x,t)?e(x)ux(x,t)其中e(x)是在点x的杨氏模量。
设杆的横截面面积为s(x),则作用在杆段(x,x??x)两端的力分别为e(x)s(x)ux(x,t);e(x??x)s(x??x)ux(x??x,t).于是得运动方程 ?(x)s(x)??x?utt(x,t)?esu利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得??(x)s(x)u?(esux)?x若s(x)?常量，则得?u?t22x(x??x)|x??x?esux(x)|x?(x)即得所证。
=(e(x)?u?x)2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在x?0,x?l两点则相应的边界条件为u(0,t)?0,u(l,t)?0.(2)若x?l为自由端，则杆在x?l的张力t(l,t)?e(x)的边界条件为?u?x?u?x|x?l等于零，因此相应|x?l=0?u同理，若x?0为自由端，则相应的边界条件为?x(3)若x?l端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的∣x?0?0偏移由函数v(t)给出，则在x?l端支承的伸长为u(l,t)?v(t)。
热传导方程热传导方程的导出及其定解条件
(1.9)
二、扩散方程
在研究分子扩散过程中也会遇到类似的方程。例如气体的扩散，液体的渗透，半
导体材料中的杂质扩散等。下面，我们来建立所考察介质扩散过程所满足的偏微分方
程。
由于扩散方程和热传导方程的导出极为类似，我们不重复这一过程。只要将扩散
过程所满足的物理规律与热传导过程所满足的物理规律作个类比，扩散方程就不难写
本章中的讨论仅限于对一个空间变量的方程进行，对于多个空间变量的情形， 可 以 进 行 类 似 的 讨 论 ， 有 兴 趣 的 读 者 可 以 参 看F. John编 著 的 《Partial Differential Equations》, Springer-Verlag, 1982.
§ 1. 热传导方程的导出及其定解条件
出。
在 推 导 热 传 导 方 程 的 过 程 中 起 基 本 作 用 的 是Fourier定 律 与 热 量 守 恒 定 律 ， 即 方
程(1.1)与方程(1.3)式。在考虑扩散过程时，我们碰到的是相应的扩散定律与质量守恒
定律，即
dm
=
−γ(x,
y,
z)
∂U ∂n
dS
dt,
(1.10)
t2 t1
S
由于t1，t2与区域Ω都是任意的，于是
νρ
∂u ∂t
=
∂ ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂y
k
∂u ∂y
+
∂ ∂z
k
∂u ∂z
.
(1.4) (1.5)
(1.5)式称为非均匀的各向同性介质的:热:::传::导:::方::程:::。如果介质是均匀的，此时k ，ν 及ρ均 为常数，记k/νρ = c2，即得
热传导方程
0
(1 − ξ) sin kπξdξ
例 2.3 如果有一长度为 l 的均匀细棒, 其周围以及两端 x = 0, x = l 均为绝热, 初始温度 分别为 u( x, 0) = f ( x), 问以后时刻的温度分布如何? 且证明当 f ( x) 等于常数 u0 时, 恒 有 u( x , t ) = u0 . 解: ( 2 2 ) ut = a2 u xx , ∞ ∑ kπ k π u x | x=0 = u x | x=l = 0, ⇒ u( x, t) = Ck exp − 2 a2 t cos x l l u| k=0 t=0 = f ( x). ∫ ∫ 1 l 2 l kπ C0 = f (ξ)dξ, Ck = f (ξ) cos ξdξ (k 0) l 0 l 0 l f ( x ) ≡ u0 ⇒ C0 = u0 , Ck = 0 (k 0) ⇒ u( x, t) ≡ u0 .
∞ ∑
(
例 2.5 长度为 l 的均匀细杆的初始温度为 0 ◦ C, 端点 x = 0 保持常温 u0 , 而在 x = l 和 侧面上, 热量可以发散到周围的 介质中去, 介质的温度为 0 ◦ C, 此时杆上的温度分布函数 u( x, t) 满足下述定解问题: ut = a2 u xx − b2 u, u(0, t) = u0 , (u x + Hu)| x=l = 0, u( x, 0) = 0. 试求出 u( x, t). 解: 令 u( x, t) = e−b t v( x, t) + ψ( x), 则当 ψ( x) 满足
T ′ + λa2 T = 0, X (0) = X ′ (π) = 0. k = 0, 1, 2, . . . ( 1) sin k + x. 2
数学物理方程-福州大学-江飞-2.1热传导方程及其定解问题的导出
n
k
u n
k1 u
u1 uΒιβλιοθήκη k k1u nu1
一般形式：u
u n (x,y,z)
g(x, y, z,t)
或
u
u n
g
泛定方程：u t
a2
2u x2
2u y2
2u z2
f
柯 西
初始条件 u
a2u f
问 题
t0
初 边
u g
值边
热管道 1D : ut a2uxx f
t1
则有热源的热传导方程为 ut a2u f a2u F / c .
2. 扩散方程的导出
扩散物从浓度高流向浓度低
* Nerst扩散定律
在该点的扩散系数
扩散物在无穷小时段dt内沿法线方向流过一个无穷
小面积dＳ的质量dm与扩散物浓度沿曲面dＳ法线
方向的方向导数N 成正比，即
n
t1,t2
由能量守恒：Q流入 Q吸收
t2 k(x, y, z) udSdt
t1
n
N-L公式及交换下积分次
c(x, y, z)(x, y, z)[u(x, y, z,t2) u(x, y序, z,t1)]dxdydz
t2 t1
ctudxdydzdt
利用高维N-L积分公式，
左端 t2 k(x, y, z) udSdt
dm D(x, y, z) N dSdt
n
因此类似热方程推导：
t2 D(x, y, z) NdSdt
t1
n
(N(x, y, z,t2) N(x, y, z,t1))dxdydz
tN(x, y, z,t) x DxN x DyN x DzN
热传导方程
4热传导方程§1方程的导出和定解问题§2初值问题§3有界域上的定解问题§4应用举例——————————————————————————————————————1 方程的导出和定解问题1. 1热传导方程由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导。
介质内部的温度分布用函数u(x,y,z,t)表示。
定义热流密度q (x,y,z,t ) 为单位时间里通过单位横截面积的热量。
Fourier定理热流密度q与温度函数u的梯度成正比，比例系数k称为导热系数，记为q= -k▽u (4.1) 在介质内部取一体积元，在x, x+dx ; y , y+dy ; z , z+dz 间，如图4.1图4.1 体积元热流从一个面流入，则会从另一个面穿出，净流人体积元的热量等于从一些面元流入的减去从其它面元流出的热量．这里符号规则规定热流流出为正．单位时间内流入小体积元内的总热量dQ为dxdydzuk dxdyq qdxdzqqdydzqqdQzzdzzzyydyyyxxdxxx) ()|| ()||()|| (∇∇=------=+++如果小体积元内无热源，则小体积元的温度变化正比于流入净热量，由比热定律有dxdydzdt u k dudxdydz c )(∇∇=ρ ( 4.2 )其中C 是介质的比热，ρ是质量密度．对于均匀和各向同性的介质， k c ,,ρ 都是正常数，式(4.2)可写成Ω∈=∇-a y x u a u t ,,022其中c k a ρ/2=成为热导率。
其大小取决于介质性质。
表4.1列出部分材料的热导率。
表 4.1 部分材料的热导率 a 2 (cm 2/sec )银 1.71铜 1.14铝 0.86铁 0.12若物体内部有热源，比如有电流或有化学反应做出热量，将单位时间单位体积产热率称为热密度，记为 F= ( x , y , z , t )．那么，在式（4．2）右边应加上Fdxdydzdt 如如何一项．从而，导出非齐次热传导方程),,,(22t z y x f u a u t =∇- ( 4.4 ) 其中，ρc F t z y x f /),,,(=定解条件① ① 初始条件),,(),,,(z y x o z y x u ϕ= ( 4.5 )热传导方程只需一个初值条件，是因为热传导方程只含有u 对时间一阶偏导数u t 。
热传导方程习题解答
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 13 / 51
初边值问题的分离变量法
Example 2.1
用分离变量法求下列定解问题的解:
ut = a2uxx (t > 0, 0 < x < π), u(0, t) = ux(π, t) = 0 (t > 0), u(x, 0) = f(x) (0 < x < π).
故单位时间流入 (x, x + ∆x) 的热量为
( ∂
) ∂u
πl2
dQ = dQ1 + dQ2 + dQ3 = ∂x
k(x) ∂x
·
x∗
4 ∆x − k1(u − u1)πl∆x.
综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 [x1, x2] 杆段的热量为
∫ t2
t1
∫ x2
x1
[ ∂ ∂x
(
)
∂u
k(x) ∂x
y,
z)
∂N ∂n
dSdt.
因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 Ω (Γ 为 Ω 的表面) 的质量为
∫ t2
D(x, y, z) ∂N dSdt = ∫ t2
t1
Γ
∂n
t1
div(DgradN)dxdydzdt.
Ω
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 5 / 51
热传导方程及其定解问题的导出
(
)
∂u 1 ∂ ∂t = cρ ∂x
∂u k(x) ∂x
−
4k1 cρl
(u
−
u1).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 4 / 51
数学物理方程答案谷超豪
数学物理方程答案谷超豪【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】>第一章．波动方程1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为t(x)??g(l?x)且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。
仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角又sin??tg??于是得运动方程?u ?x.?u?2u?u??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g?xx?x?t利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得?2u??u?g[(l?x)]。
?x?x?t25. 验证u(x,y,t)?1t2?x2?y2在锥t?x?y0中都满足波动方程222?2u?2u?2u1222证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?yx,y,t有二阶连续偏导数。
且232?u??(t2?x2?y2)?t??t35??u(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22?t?(t2?x2?y2)?32?(2t2?x2?y2)?u?(t2?x2?y2)?x?32?x?2u?x2?t?x?22352?2222?22?y?3t?x?yx??????52??u同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?2?y所以即得所证。
2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 2??2u2?u?2?a2t?x??ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0?5??t2?x2?y22t2?2x2?y2??2u?x2?2u?y2?t?x??225?y22??2t2?x?y22???t2.?2u解：u(x,t)=f(x-at)+g(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=f（0）+g（2x）令x+at=0 得 ?(x)=f（2x）+g(0) 所以 f(x)=?()-g(0). g（x）=?()-f(0). 且 f（0）+g(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?(x2x2x?atx?at)+?()-?(0). 22即为古尔沙问题的解。
热传导动方程
用 F ( x , y , z , t ) 表示热源强度，即单位时间内从单位 体积内放出的热量，则从 t 1 到 t 2 这段时间内 内热 源所提供的热量为 t2 Q2 [ F ( x, y, z, t )dV ]dt (1.3)
t1
Q2
第二章 热传导方程
由热量守恒定律得：
t2 u u u u c dV ]dt [ ( ( k ) ( k ) ( k ))dV ]dt t1 [ t1 t x x y y z z t2
u n u
特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，表示物体绝热。
g( x, y, z , t ), ( x, y, z ) ,
t 0,
(1.10)
k1 k1 其中： 0, g u1 . k k
数学物理方程 注意第三边界条件的推导：
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
t 0 : u( x , t ) ( x , y , z ), ( x, y, z ) G , (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u
g( x, y, z, t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
数学物理方程
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n
第二章 热传导方程
g( x , y , z , t ),
( x , y , z ) ,
t 0,
(1.9)
热力学热传导的数学模型推导
热力学热传导的数学模型推导热力学热传导是研究热量在物体内部传递的过程以及温度随时间和空间的变化规律。
在热力学热传导中，需要利用数学模型来描述热传导的行为。
本文将详细推导热力学热传导的数学模型。
热传导方程是描述热传导行为的基本方程之一。
其推导基于以下假设：物体是均匀且各向同性的媒介，热传导过程不考虑对流和辐射。
根据能量守恒原理，可以得到热传导方程。
首先，我们考虑一维情况下的热传导。
设物体长度为L，则可以将其划分为无数个微小的元素，每个微小元素的长度为Δx。
假设该元素内的温度为T，由热力学第一定律可知，该元素内的净热流量可以表示为：dQ = -kA(T_x)Δt其中，dQ表示该元素内的净热流量，k为物体的热传导系数，A为该元素的横截面积，T_x表示该元素的温度梯度，Δt为时间间隔。
根据定义，温度梯度可以表示为温度对长度的导数，即：T_x = dT/dx将温度梯度代入热流量表达式中，可以得到：dQ = -kA(dT/dx)Δt对于该微小元素内的热量，可以表示为：dQ = ρcAΔT其中，ρ为物体的密度，c为物体的比热容，ΔT为该元素内的温度变化。
将两个表达式相等，可以得到：-kA(dT/dx)Δt = ρcAΔT去除A并整理后得到：ρc(dT/dx) = -k(ΔT/Δt)对右侧进行变量分离，左侧进行积分，可以得到：∫(1/ρc)dT = -∫(k/Δt)dx对两个积分进行求解，可以得到：(T - T_0)/(ρc) = -(k/Δt)(x - x_0) + C其中，T_0为初始温度，x_0为物体线性分布的起点，C为常数。
进一步整理可以得到：T - T_0 = (k/ρcΔt)(x - x_0) + C综上所述，我们推导得到一维情况下的热传导方程：T - T_0 = (k/ρcΔt)(x - x_0) + C该方程描述了一维情况下物体内部温度随时间和位置变化的规律。
对于二维和三维情况下的热传导，可以将热传导方程进行推广。
二维热传导方程导出及求解
｛ ” ｘ ， ｙ ， ０ ） ＝ ｏ ， ∈ 【 一 口 ， 口 ］ ， Ｙ ∈ ［ 一 ｂ ， ｂ 】
Ｉ － ａ ， Ｙ ， ｆ ） ＝ “ ａ ， Ｙ ， ｆ ） ＝ ０ ，Ｙ ∈ 【 一 ６ ， ｂ 】 Ｉ Ｕ ｙ （ ｘ ， － ｂ ， ｔ ） ～， ｘ ｂ） ＝ ０ ，Ｘ ￣ ： ［ － ａ ， ａ ］
ｖ （ ｘ ， ｙ ， ０ ） ＝ ２ ７ ３ ． １ ５ ， ∈ 卜 口 】 ， ｙ ￣ ［ － ｂ ， ｂ 】 ｖ （ － ａ ， ｙ ， ｔ ） ＝ ｖ （ ａ ， ｙ ， ｆ ） ＝ ｏ ，ｙ ￣ ［ － ｂ ， ｂ 】 ｂ ， ｔ ） ： （ 五 ｆ ） ＝ ０ ， ∈ ［ 一 口 ， ａ 】 故原方程可化解为
由于产热恒定则此时热平衡方程可改写为2其中为单位面积内热量的生成速率c为定压比热容为面密度将2简写可得到二定解条件的提出要具体确定热传导方程的解还必须给出适当的定解条件假设长方形物质初始时刻的温度为27315k即选取第二边界条件可得方程再考虑物体不向外散热则即可将方程改写三热分布方程的提出将方程统一即可得烤盘边缘的热分布方程代入方程6两端除以得到其中数由此便其中均为常数且
（ ７ ） （ ８ ） （ ９ ）
Ｉ ｇ ． Ａ， 建 立直 角坐 标系， 以“ （ ｘ ， Ｙ ， ｆ ） 表 示点 （ ｘ ， ｙ ） 在 时刻ｔ 的 温
度 。依据传 热学 中的 Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ 实 验定 律 ，从 时刻 ｔ 到ｔ 流进 此
曲面的全部热量与在时间间隔（ ｆ ｌ ， ｔ ） 中， 它所应吸收的热量相
生
得 出 该 方 程 后 ， 求 解 “ ｘ ， Ｙ ， ｆ ） 。 令 （ ， ｙ ， ） “ ） 一 盖 ， 则
数学物理方程谷超豪版第二章课后规范标准答案
,.第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-=又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xu kts xu k t s xukdQ xx xx ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l k xu k t u c --∂∂=∂∂ρ 或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
热传导热传导方程的推导
热传导热传导方程的推导热传导是指物质内部由高温区向低温区传递热量的过程。
热传导广泛应用于各个领域，如工程、物理学和地球科学等。
热传导方程是描述热传导过程的数学表达式。
本文将通过推导展示如何得到热传导方程。
1. 热传导基本原理热传导的基本原理是根据热量传递的分子动力学理论。
在物质内部，分子之间存在着热运动，高温区的分子会以更高的速度振动，从而传递给低温区的分子。
这种热传递是通过分子之间的碰撞和能量传递来实现的。
2. 热传导方程的推导为了推导热传导方程，我们首先需要定义一些物理量：- 温度：表示物体的热状态，用T表示。
- 热流密度：表示单位时间内通过单位面积的热量，用q表示。
- 热导率：表示物质传导热量的能力，用λ表示。
- 热传导方程：用于描述热传导过程的方程，用符号形式表示如下： q = -λ∇T其中，∇T表示温度的梯度，即温度变化的速率。
为了推导热传导方程，我们需要考虑热量在物质内部的传递过程。
假设一个空间区域Ω内的物体，我们可以将其划分为无数个小体积元，每个小体积元的体积为dV。
在Ω内，热量总是从高温区向低温区传递，而且传递的热量正比于温度梯度。
考虑Ω内任意一个小体积元dV，在时间t时刻，该小体积元所受到的热流密度q可以表示为：q = -λ∇T dV根据物质的连续性，Ω内的热量变化率等于通过Ω的表面流出的热量，即：dQ = -∇·(λ∇T) dV其中，∇·表示散度运算符，表示向各个方向上的热量流出。
根据高斯公式，上式可以进一步变形为：dQ = -λ∇^2T dV其中，∇^2表示拉普拉斯运算符，表示温度的二阶偏导数。
由于dV是任意小体积元的体积，所以可以将上式中的dV移至等式右侧，得到：dQ/dV = -λ∇^2T因为dQ/dV等于单位体积内的热量变化率，即ρc∂T/∂t（其中，ρ表示物体的密度，c表示物体的比热容），所以我们可以将上式改写为：ρc∂T/∂t = λ∇^2T这就是热传导方程的推导过程。
数学物理方程谷超豪版第二章课后答案.doc
第二章热传导方程§ 1热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dQ k 1(u u 1 )dsdt又假设杆的密度为，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度u u( x,t) 。
记杆的截面面积 l 2为 S 。
t 到 tt 内流入截面坐标为 x 到 xx 一小段细杆的热量为 4由假设，在任意时刻dQu s t k u2u s x tkxs t k1x x x xx 2 xt 到 tt 在截面为杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻x 到 xx 一小段中产生的热量为4k 1dQ2k 1 u u l x tu u s x t1l1又在时刻 t 到 tt 在截面为 x 到 xx 这一小段内由于温度变化所需的热量为dQc u x,tt u x,t s x c u s x t由热量守恒原理得：3t tcu s x t k2us x t4k 1u u s x tt tx2 xl1消去 sx t ，再令x 0 ， t 2 u 0 得精确的关系：cuk 4k 1 u ut x 2 l1u k 2u 4ka 22 u4k或t cx2c 1u u 1x2c 1u u 1ll其中a2kc2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t 1 到 t 2 流入此闭曲面的溶 质，由 dMDudsdt ，其中 D 为扩散系数，得nt 2D udsdtMt 1 snt 2t 2C udvdtM 1C u x, y, z, t 2 u x, y, z, t 1 dxdydzCudtdvt 1tt 1t两者应该相等，由奥、高公式得：t 2uuut 2C udvdtMD D D dvdt M 1t 1xx y y z zt 1t其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。
数学物理方程 第二章练习题
Example 1.3
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2012-10-3
7 / 49
热传导方程及其定解问题的导出
. . 砼(混泥土)内部储藏着热量, 称为水化热, 在它浇筑后逐渐放出, 放热速度和 它所储藏的水化热成正比. 以 Q(t) 表示它在单位体积中所储的热量, Q0 为 初始时刻所储的热量, 则 ddQ t = −βQ, 其中 β 为正常数. 又假设砼的比热为 c, 密度为 ρ, 热传导系数为 k, 求它在浇筑后温度 u 满足的方程. . 解: 设砼内点 (x, y, z) 在时刻 t 的温度为 u(x, y, z, t), 显然 dQ = −βQ, dt Q(0) = Q0 , ⇒ Q(t) = Q0 e−βt .
2012-10-3 3 / 49
Example 1.1
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
热传导方程及其定解问题的导出
故单位时间流入 (x, x + ∆x) 的热量为 ( ) ∂u πl2 ∂ k(x) · ∆x − k1 (u − u1 )πl∆x. dQ = dQ1 + dQ2 + dQ3 = ∂x ∂x x∗ 4 综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 [x1 , x2 ] 杆段的热量为 ) ] ∫ t2 ∫ x2 [ ( ∂u πl2 ∂ k(x) − k1 (u − u1 )πl dxdt. ∂x ∂x 4 t1 x1 而在这段时间内 [x1 , x2 ] 杆段内各点温度从 u(x, t1 ) 变到 u(x, t2 ), 其吸收热量 为 ∫ t2 ∫ x2 2 ∫ x2 πl ∂u πl2 cρ dxdt. cρ(u(x, t2 ) − u(x, t1 )) dx = 4 4 ∂t t1 x1 x1 根据热量守恒, 并注意到 x1 , x2 , t1 , t2 的任意性, 得所求方程为 ( ) 1 ∂ ∂u ∂u 4k1 = (u − u 1 ). k(x) − ∂t cρ ∂x ∂x cρl
3 数理方程-热传导方程的导出
ux | x=L = q / k ux | x=L = q / k ux | x=L = – q / k
∂u | x = L = k1 ( u | x = L − u1 ) −k ∂x ∂u k | x = 0 = k1 ( u | x = 0 − u1 ) ∂x 电子科技大学
8/12
拉普拉斯方程与拉普拉斯算子 二维热传导方程: 二维热传导方程 ut = a2[uxx + uyy] 三维热传导方程: 三维热传导方程 ut = a2[uxx + uyy + uzz ]
t2 ∂u ∂u dt ]dxdydz = ∫ [ ∫∫∫ cρ dxdydz ]dt = ∫∫∫ cρ [ ∫ t 1 ∂t t1 ∂t V V
V
t2
Q1 = Q2
∫ [∫∫∫ k[div(Grad u )]dxdydz ]dt = ∫
t1 V
t2
t2
t1
∂u [ ∫∫∫ c ρ dxdydz ]dt ∂t V
∂u Q1 = ∫ [ ∫∫ k ds ]dt t1 ∂n 电子科技大学 S
t2
3/12
通过曲面进入导热体的总热量: 通过曲面进入导热体的总热量
Q1 = ∫ [ ∫∫∫ k[div (Grad u)]dxdydz ]dt
t1 V t2
温度升高所需热量: 温度升高所需热量
Q2 = ∫∫∫ cρ [u( x , y , z , t 2 ) − u( x , y , z , t1 )]dxdydz
(边界上有热流进入 边界上有热流进入) 边界上有热流进入
∂u = β ( x, y, z, t ) ∂n S
∂u III. 第三类边界条件 [ + σu] = γ ( x , y , z , t ) 第三类边界条件: ∂n S (边界上有热交换 边界上有热交换 边界上有热交换)
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第一章 热传导方程本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会遇到这类方程.§1 热传导方程及其定解问题的导出1.1热传导方程的导出物理模型在三维空间中,考虑一均匀,各向同性的物体Ω,假定它内部有热源,并且与周围介质有热交换,需要来研究物体内部温度的分布和变化.以函数),,,(t z y x u 表示物体Ω在位置),,(z y x 及时刻t 的温度.物体内部由于各部分温度不同,产生热量的传递,它们遵循能量守恒定律. 能量守恒定律物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和.在物体Ω内任意截取一块D .现在时段],[21t t 上对D 使用能量守恒定律.设),,,(t z y x u u =是温度(度),c 是比热(焦耳∕度·千克),ρ是密度(千克/米3), q是热流密度(焦耳/秒·米2),0f 是热源强度(焦耳/千克·秒).注意到在dt 时段内通过D 的边界D ∂上小块dS 进入区域D 的热量为dSdt n q ⋅-(n是D ∂的外法向),从而由能量守恒律,我们有,)||(2121120⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+⋅-=-∂==t t Dt t DDt t t t dxdydz f dt ds n q dt dxdydz u u c ρρ（1.1） 大家知道,热量流动的原因是因为在物体内部存在温差.依据传热学中的傅立叶实验定律,在一定条件下,热流向量与温度梯度成正比,u k q ∇-=（梯度⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂==∇z u y u x u gradu u ,,） （1.2） 这里负号表明热量是由高温向低温流动,k 是物体的导热系数.,nu k n u k n q ∂∂-=⋅∇-=⋅从而(1.1)式可改写为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∂∂=-∂==2121120)||(t t Dt t D D t t t t dxdydz f dt dS n uk dt dxdydz u u c ρρ (1.3) 假设(,,,)u x y z t 在柱体(0,)Ω⨯+∞内具有连续微商222222,,,z u y u x u t u ∂∂∂∂∂∂∂∂.则应用散度定理(或高斯公式)立得:[]22110()t t t t D Dudt c dxdydz dt k u f dxdydz t ρρ∂=∇∇+∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,由于被积函数在(0,)Ω⨯+∞内连续,以及],[21t t ,D 的任意性,又由于物体均匀,各向同性,k c ,,ρ都是常数,立得:,)(0f u k tuc ρρ+∇∇=∂∂ ,)(0cf u c kt u +∇∇=∂∂ρ ,,,,,)(222222u zuy u x u z u z y u y x u x z u y u x u z y x u ∆∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇⋅∇记为令,,02cf f c ka ==ρ∆是三维Laplace 算子,则 ,2f u a tu+∆=∂∂ （1.4） 称为热传导方程.当0≥f 时表示热源,当0≤f 时表示热汇.为了具体确定物体内部的温度分布,我们还需要知道物体的初始温度分布以及通过物体的边界受周围介质的影响. 初始条件Ω∂⋃Ω=Ω∈=),,(),,,()0,,,(z y x z y x z y x u ϕ边界条件有三类: 1.已知边界上的温度分布),,,,(t z y x g u =∑这里[0,)∑=∂Ω⨯∞.特别当≡g 常数时,称物体的边界保持恒温. 2.已知通过边界Ω∂的热量),,,,(t z y x g nu k=∂∂∑(n 为Ω∂上的单位外法向量),0≥g 表示流入,0≤g 表示流出,特别当0≡g 表示物体绝热. 3已知通过边界Ω∂与周围介质有热交换.(),00∑∑-=∂∂u g nu kα或),,,,(t z y x g u n u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂∑α这里0g 表示周围介质温度,00>=kαα表示热交换系数.定解问题为了具体确定物体的温度场,我们需要求解热传导方程的某一特定的定解问题. 设Ω是空间3R 中的有界开区域.第一初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Ω∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑),,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2t z y x g u z y x z y x z y x u t z y x f u a t u ϕ 第二初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂Ω∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑),,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2t z y x g nu z y x z y x z y x u t z y x f u a t u ϕ 第三初边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Ω∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑),,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2t z y x g u nuz y x z y x z y x u t z y x f u a t u αϕ初值问题(或称Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧∈=∞⨯∈=∆-∂∂332),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,R z y x z y x z y x u R t z y x f u a tu ϕ 什么是定解问题的解(解说一下)验证2212),(x t a t x u u +==是方程0222=∂∂-∂∂xu a t u 的一个解; ()0,21),(2242>=--t eta t x u ta x ξπ(ξ是参数)是方程0222=∂∂-∂∂x u a t u 的一个解. 数学物理方程的主要问题,在推导出方程之后,求出方程的解.然而求出一个偏微分方程的精确解一般是困难的. 附注1 方程f u a tu=∆-∂∂2虽然通常称为热传导方程,但绝不只用来表述热传导现象.事实上,自然界还有很多现象同样可用这个方程来刻划,一个重要的例子是考虑某类分子在介质(如空气,水,…)中的扩散.浓度u 的不均匀产生分子运动(扩散),它遵循质量守恒定律.根据Nernst 实验定律:分子运动速度与浓度的梯度成正比:u D v ∇-=,D 称为扩散系数.从而同样可导出分子浓度u 适合的方程f u a t u=∆-∂∂2,这里2a 是一个与扩散系数成正比的常数,f 表示反应项.因此人们通常把方程f u a tu=∆-∂∂2称为扩散方程,而u a ∆-2称为扩散项.附注2 对某些三维问题,如果根据问题的某些性质,适当选取坐标系,可以化归为或近似地化归为一维或二维问题来处理.这样的简化对于 求解定解问题,特别是求问题的近似解带来方便.例 1. 如果物体可看成一根细杆,它的侧表面绝热,它与周围介质的热交换只在杆的两端l x ,0=进行;如果在任意一个与杆的轴线垂直的截面上,初始温度和热源强度的变化很小,那么我们可以近似地认为杆上的温度分布只依赖于截面的位置.因此如果取杆的轴线为轴,那么方程(1.4)可改写为),(222t x f x u a t u =∂∂-∂∂ （1.5） 我们称它为一维热传导方程.同样,如考虑薄片物体上的热传导,薄片的侧面绝热,可得二维热传导方程.例 2 考虑一半径为R 的球体,它通过球表面与周围介质有热交换.如果在球面上所有各点所受周围介质的影响都相同,且球内任意一点的初始温度和热源强度只依赖于它到球心的距离而与它的方位无关,那么如果我们选择以球心为坐标原点并引进球坐标,从而球内的温度),(t r u u =适合方程),(2222t r f r u r ru a t u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂ 这是由于222),,(),,,(z y x r t r v t z y x u u ++===.rx r v x r r v x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂, r vrx r r x r v r x x r v r x r v r x r v x x u ∂∂-+⋅∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⋅∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂∂∂=∂∂3222222222222, 同理 r vry r r y r v y u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222, r vrz r r z r v z u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222, 于是222222zuy u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆ ()r v rz y x r r z y x r v ∂∂++-+++⋅∂∂=322222222223 r vr rv ∂∂+∂∂=222 .我们称它为球对称问题的热传导方程.例 3 考虑一高为H ,半径为R 的圆柱形物体.引入柱坐标系,取柱体的轴线为z 轴,下底落在0=z 平面上,假设在柱体的侧表面和上下底上给出的边界条件只分别依赖于z 和r (点到轴线的距离),且柱体初始温度和内部热源亦只是z r ,的函数.这样在柱体内温度),,(t z r u u =适合方程),,(122222t z r f z u r u r r u a t u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ 这是一个二维轴对称问题的热传导方程. 这是由于22),,,(),,,(y x r t z r v t z y x u u +===r vrx r r x r v x u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222 r v ry r r y r v y u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222rvr r v y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂1222222 若进一步假设柱长无穷,且通过柱体侧表面受周围介质的影响是相同的,又若柱体的初始温度的内部热源只依赖于r ,这样在柱体内温度),(t r u u =适合方程.),(1222t r f r u r r u a t u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂ 附注3 如果物体内部的热源以及它和外界的热交换与时间无关.这样在相当长时间以后物体内部的温度渐趋于稳定。
设),,(),,,(lim z y x v t z y x u t =+∞→,则有0lim=∂∂+∞→tut ,从而稳定温度场适合Poisson 方程Ω∈=∆-),,(,),,(2z y x z y x f v a .。