北师大版数学高二定积分的简单应用教案选修2-2

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高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修2-2

§3定积分的简单应用[对应学生用书P42]如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．问题2：你能求得其面积吗？如何求？提示：能，先求由x＝a，x＝b和y＝f(x)围成的曲边梯形面积S1＝∫ba f(x)d x，再求由x＝a，x＝b和y＝g(x)围成的曲边梯形面积S2＝∫ba g(x)d x，则所求阴影部分面积为S1－S2.平面图形的面积一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的平面图形的面积为S，则S＝∫b a f(x)d x－∫b a g(x)d x，f(x)≥g(x)．定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．[对应学生用书P42]不分割型图形面积的求解[例1] 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．[思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．[精解详析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛-32(－x ＋2)d x －⎠⎛-32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x2 |2－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x |2－3 ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫－253＝1256. [一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示；⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1C.32D. 3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分⎠⎜⎛3π- 3πcos x d x ＝sin x 33ππ-＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 答案：D2．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D.4解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛024x －x 3dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4.答案：D3．计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成的图形的面积S.解：作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图形面积为S ＝∫10xdx －∫10x 3dx ＝23x32|1－14x 4|10＝23－14＝512.分割型图形面积的求解[例2] 求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．[思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．[精解详析]作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x dx ＋∫31(3－x)d x ＝(3x －ln x ) |113＋⎝⎛⎭⎪⎫3x －12x 2 |31＝4－ln 3.[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是( )A ．1 B.π4C .322D.22－2解析：S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎛4π 2π (sin x －cos x )dx ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4－(cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝(2－1)－(1－2)＝22－2.答案：D5．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，得B (2,4)，如图所示所求面积为S ＝⎠⎛012x d x －⎠⎛01x d x ＋⎠⎛122x d x －⎠⎛12x 2d x＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x＝12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|21＝76.简单几何体的体积的求解[例3] 求抛物线y ＝2x 2与直线x ＝a(a>0)及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积．[精解详析] 由a>0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，V ＝∫a 0π(2x 2)2d x ＝4π∫a 0x 4d x＝4π·15x5 |a 0＝45πa 5. [一点通] 求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数f (x )．③确定积分上、下限a ，b .④计算体积V ＝∫b a πf 2(x )d x .6．y ＝sin x(0≤x≤π)和x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为( )A ．π2B ．4π2C.13π2D.π22 解析：V ＝π∫π0sin 2x d x ＝π∫π1－cos 2x2d x ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin 2x 2| π0＝π22.答案：D7．给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC 的方程：y ＝a .则该旋转体即圆柱的体积为：∫a0π×a 2d x ＝πa 2x |a0＝πa 3.答案：πa 31．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限．2．由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a <b )以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为V ＝π⎠⎛a bf 2(x )d x .[对应课时跟踪训练十六]1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是( ) A ．4π B.5π2C ．3πD ．2π解析：如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D.答案：D2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( )A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100.W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 (J)．答案：A3．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为( ) A ．2 B.83 C.43D.23解析：S ＝－∫0－1(x 2＋2x )d x ＋∫10(x 2＋2x )d x ＝－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 20－1＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 210＝23＋43＝2. 答案：A4.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14 B.15C.16D.17解析：阴影部分的面积为∫10(x －x )d x ＝3222132x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎪⎪⎪1＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案：C5.如图是一个质点做直线运动的v t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________．解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－32x ＋9，故质点在前6 s 内的位移为∫4034x d x ＋∫64⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋9d x ＝38x 2⎪⎪⎪40＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x 2＋9x ⎪⎪⎪64＝6＋3＝9(m)．答案：9 m6.(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e27．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积．解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC －∫31(－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 8．已知抛物线y ＝x 2－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a的值．解：作出y ＝x 2－2x 的图像，如图所示．①当a <0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝－a 33＋a 2＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时，若0<a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪a＝a 2－13a 3＝43，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2. 若a >2，不合题意，综上a ＝－1或2.。

高中数学 4.3 定积分的简单应用(二) 教案北师大选修2-2

4.3 定积分的简单应用教学过程：（一）练习1．求定分3-⎰x ．2．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？ 31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S 3．你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负二、新课（一）例题选讲：例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。

练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ．[()()]b a f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]c b a c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]b b a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b a g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0（二）变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的定积分，即⎰=ba dt t v s )(． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 325 ．（三）变力作功1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）．2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W =⎰b a dx x F )(．练习：1．教材练习2．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J3．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径．证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ，其中G 为引力常数．则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ =11()()Mnh GMm k G k h k k h -+=⋅++．三、课堂小结：1．了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积3．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。

4.3定积分的简单应用教案(高中数学选修2-2 北师大版)

§3 定积分的简单应用3．1平面图形的面积3．2简单几何体的体积(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现并归纳曲边图形面积的求法以及发现并归纳简单旋转几何体体积的求法；(2)简单运用定积分解决某些与面积、体积有关的问题．2．过程与方法通过举例引导学生解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积、旋转体体积的过程中，体会积分思想在生活中的应用．3．情感、态度与价值观(1)通过对定积分的应用的探究学习，经历数学的探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节的运用实践，体会“分割——近似代替——求和——求极限”这一积分思想在实际生活中的应用，体会化归转化思想的运用以及用数学的思维方式解决问题，认识世界，进而领会数学的价值．●重点难点重点：应用定积分解决平面图形的面积、简单旋转几何体的体积等问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值．难点：将实际问题化归为定积分问题以及这一过程体现的思想方法．教学时从学生最近发展区切入，让学生思考不规则图形的面积、体积可通过分割的方法化为规则或近似规则图形来求解．结合具体问题深入剖析，并详细写出过程，让学生深刻体验积分过程，从而化解难点．引导学生在具体问题的求解过程中，发现方法，形成规律，尤其平面图形面积的求法及步骤，让学生在应用定积分的过程中更深入地理解定积分及其作用，以强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求简单旋转几何体的体积．解决这些问题的关键是将它们化归为定积分问题，前者主要是分割，而后者则要经历一个积分过程，需要学生通过思考、分析、归纳后结合定积分的定义求解．故本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在具体问题的导引下，学生通过独立探究、合作交流，揭示规律，形成方法．●教学流程创设情境，提出问题：如何求平面图形的面积？如何求旋转体的体积？⇒引导学生通过分割，将问题转化为定积分来解决.⇒通过引导学生回答问题，弄清平面图形面积、旋转体体积求解的一般思路.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握平面图形面积求解的方法和步骤.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握旋转体体积的求法和步骤.⇒通过例3及其变式训练，提高学生综合运用知识解决问题的能力.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.会用定积分求平面图形的面积．(重点)2.会用定积分求简单几何体的体积．(重点)3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法．(难点)平面图形的面积S ，则S ＝⎠⎛abf (x )d x －⎠⎛a bg (x )d x .简单旋转几何体的体积 x 轴旋转而成，设在区间[a，b ]上点x 处垂直x 轴的截面面积为A (x )＝πf 2(x )，则体积为V ＝⎠⎛ab πf 2(x )d x .求平面图形的面积求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．【思路探究】解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．【自主解答】画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S ＝⎠⎛01[x －(－13x )]d x ＋⎠⎛13[(2－x )－(－13x )]d x＝⎠⎛01(x ＋13x )d x ＋⎠⎛13(2－x ＋13x )d x＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136.1．正确画出图形，合理分割图形是解决本题的关键．2．求所围成的图形的面积时，先画出草图，确定所求面积是哪部分；其次是求解方程组得到交点的横坐标，从而确定积分上、下限．其中，有些所求面积可以分成两部分面积的差(和)的形式，要视情况而定．将本例条件中的“y ＝－13x ”换成“x 轴”，其他不变．【解】画出草图如图解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点为(1,1)，∴S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝23x 32|10＋(2x －12x 2)|21 ＝23＋(2×2－12×22－2×1＋12×1) ＝76.求由曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．【思路探究】所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可．【自主解答】曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示．设所求旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x ，直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2，直线x ＝2与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．V 1＝⎠⎛02π(2x )2d x ＝2π⎠⎛02x d x ＝2π·12x 2|20＝4π，V 2＝⎠⎛02π(12x 2)2d x ＝π4⎠⎛02x 4d x ＝π4×15x 5|20＝8π5，所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.1．两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即：V ＝π⎠⎛abf 2(x )d x －π⎠⎛a b g 2(x )d x，而不能写成V ＝π⎠⎛ab [f (x )－g (x )]2d x .2．求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )d x求解．设平面图形由[0，π2]上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12，x ＝π2围成，求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．【解】先画草图．设f (x )＝sin x ，x ∈[0，π2]，g (x )＝12.则f (x )与g (x )的交点为(π6，12)．V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π[sin 2x －(12)2]d x ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π(1－cos 2x 2－14)d x＝⎠⎜⎜⎛π6π2π(14－12cos 2x )d x ＝π(14x －14sin 2x )⎪⎪⎪π2π6＝π212＋3π.积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．【思路探究】设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程．【自主解答】设切点A (x 0，x 20)，切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0，得x＝x 02，如图，∴S ＝⎠⎜⎛0x02x 2d x ＋⎠⎜⎛x 02x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]d x ＝112x 30. ∴112x 30＝112，x 0＝1.∴切点A 的坐标为(1,1)，切线方程为y ＝2x －1.1．本题中求面积S 时，易错误地写成S ＝∫x 00⎠⎛0x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]d x .错误原因是没能分割好图形．2．关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题．已知抛物线y ＝－x 2a＋2x (a >0)，过原点的直线l 平分由抛物线与x 轴所围成的封闭图形的面积，求l 的方程．【解】如图所示，设l 的方程为y ＝kx ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝－x 2a ＋2x ，得交点O ，P 的坐标分别为(0,0)，(2a －ak,2ak －ak 2)．由题意得⎰2a －ak0(－x 2a ＋2x －kx )d x ＝12⎰2a 0(－x 2a＋2x )d x ，解得k ＝2－34，故所求l 的方程为y ＝(2－34)x .不能合理分割致误由y 轴，直线x ＝2和曲线y ＝2－x 2及y ＝x 围成的图形的面积为( ) A.23 B ．－23C ．3D ．－3。

4.2.2 定积分的简单应用课件(北师大版选修2-2)

【解析】根据定积分的几何意义可知 D 正确.
导.学. 固. 思
2
由 y=x2,x=0 和 y=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积可以表示为( B ).
A.V=π 0 ( �� ) �� B.V=π C.V=π D.V=π
1 2 2 2 [ 1 -(�� ) ]�� 0 1 2 2 ( �� ) �� 0 1 2 2 ( 1 �� )�� 0 1 2
��
导.学. 固. 思
问题3
如图,当 x∈[a,b]时,若 f(x)>g(x)>0 时,由直线 x=a,x=b(a≠b)和曲线 y=f(x),y=g(x)所围成的平面 �� 图形的面积 S= �� [ ��(��)-��(��)]��..
x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲 �� 边梯形的面积 S= �� (��)�� .
��
问题2 当 x∈[a,b]时,若 f(x)<0,由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0 ��和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 S= �� (��)�� .
4.2.2
定积分的简单应用
导.学. 固. 思
1.会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的
数学模型,并能利用积分公式表进行计算.
2.会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单旋转体的体积问题,建立它的数学模型,并能利用积分公式表进行计算. 3.通过积分方法解决实际问题的过程,体会到微积分把

北师大版数学高二4.3 定积分的简单应用(一) 教案 (北师大选修2-2)

4.3 定积分的简单应用教学过程：一．知识回顾1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？二．新知探究（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

练习：计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．四．拓展提高2x y =y x= A B C D O求曲线],[sin32π∈=xxy 与直线,,32π==xx x轴所围成的图形面积。

五．归纳总结总结：1、定积分的几何意义是：axxfyba==与直线上的曲线在区间)(],[、xbx以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－xxbaSSdxxf=⎰)(.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０　π2,sin∈=xxy的图像与x轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。

3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：x型区域：①由一条曲线）其中0≥=)()((xfxfy与直线)(,babxax<==以及x轴所围成的曲边梯形的面积：⎰b a dxxfS)(＝（如图（1））；②由一条曲线）其中0≤=)()((xfxfy与直线)(,babxax<==以及x轴所围成的曲边梯形的面积：⎰⎰babadxxfdxxfS)()(＝－＝（如图（2））；③由两条曲线）其中，)()()(()(xgxfxgyxfy≥==与直线)(,babxax<==图（1）图（2）图（3）所围成的曲边梯形的面积：⎰b a dxxgxfS|)()(|－＝（如图（3））；六．作业设计y )(xfy=)(xgy=abxy)(xfy=a bxy)(xfy=a b x1、必做题：P58练习（1）（2）；P60A 组1；2、选做题：P60B 组3。

高中数学北师大版选修2-2教案-1.2定积分_教学设计_教案

教学准备
1. 教学目标
1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景
；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；
3.理解掌握定积分的几何意义．
2. 教学重点/难点
重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．
难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
四、教学过程
（一）、创设情景
复习：1．回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
（二）、新课探析
1．定积分的概念
图形以及直线之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。

思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？。

高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用课件北师大版选修2_2

2.函数f(x),x∈[a,b]的图像围绕x轴旋转一周,所得到的几何体的体积V= �� π[f(x)]2dx .
��
名师点拨
Hale Waihona Puke ��
f(x)dx,
��
|f(x)|dx 与
��
��
��(��) d�� 的异同.
B.V=π D.V=π
1 0 1 0
[12-(x2)2]dx (12-x2)dx
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任何曲线 y=f(x)及 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形的面积都可 �� 以表示为 �� f(x)dx. ( × )
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0), 因此,所求图形的面积为S=S1+S2
8 4 8 = 0 √2�� dx+ 4 √2��d��- (��-4) d�� 4 2√2 3 4 2√2 3 8 1 40 = �� 2 |0 + �� 2 |4 − (x-4)2|8 = . 4 3 3 2 3
§4.3 定积分的简单应用
学习目标思维 1.能用求定积分的方法求由已知曲线所围成的平面图形的面积. 2.能用求定积分的方法求简单的几何体的体积. 3.注意平面图形的面积及几何体的体积与定积分的内在联系与区别. 4.要学会使用数形结合和转化思想解决问题.
脉
络
1.一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面 �� 图形(如图)的面积为 S,则 S= �� f(x)dx- �� g(x)dx.

高中数学选修2-2 北师大版 §3定积分的简单应用(第1课时)学案

§2 定积分的简单应用（第1课时）3.1 平面图形的面积【学习目标】1.理解定积分的几何意义，会将平面图形的面积问题转化为定积分问题；2.会用定积分求简单的曲边梯形的面积.【重点难点】重点：用定积分求平面图形的面积难点：将平面图形问题转化为定积分问题及确定被积函数【导学流程】一、知识链接定积分的几何意义：若y=f(x)与x=a ，x=b 和x 轴围成的曲边梯形面积为S ，则当f(x)≥0时，S=()⎰b a dx x f ；当f(x)≤0时，S=-()⎰ba dx x f . 二、课前预习认真分析课本第87-88页例1，例2，例3，归纳用定积分求复杂平面图形面积的方法步骤，完成：1.用定积分表示下列各平面图形的面积：2.求平面图形面积的步骤：①_________________________________________________；②_________________________________________________；③_________________________________________________；④_________________________________________________.3.第88页练习1，2.【课堂小结】目标达成_______________________________________________________；收获新知_______________________________________________________；我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.如图，阴影部分面积为（）A.()⎰b a dx x fB.()⎰ba dx x gC.()()[]⎰-b a dx x g x fD.()()[]⎰+ba dxx g x f 2.如图，阴影部分面积为（）A.()()[]⎰-ba dx x g x fB.()()[]()()[]⎰⎰-+-bc c a dx x g x f dx x f x gC.()()[]()()[]⎰⎰-+-bc c a dx x f x g dx x g x fD.()()[]⎰-ca dx x f x g3.课本第90页习题4-3第2题.4.课本第90页习题4-3第4题.。

高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章拓展资料：高考中的定积分

高考中的定积分定积分是微积分基本概念之一，应掌握其概念、几何意义、微积分基本定理以及简单应用．下面例析在高考中的考查方式．一、计算型是指给出定积分表达式，求其值，通常解法有：定义法，几何意义法，基本定理法及性质法等．例1计算以下定积分： ⑴2211(2)x dx x -⎰；⑵30(sin sin 2)x x dx π-⎰．分析：直接运用定义，找到一个原函数．解：⑴函数y ＝212x x -的一个原函数是y ＝32ln 3x x -．所以2211(2)x dx x -⎰＝3212(ln )|3x x -＝162ln 233--＝14ln 23-． ⑵函数y ＝sin x －sin2x 的一个原函数为y ＝－cos x ＋12cos2x ．所以30(sin sin 2)x x dx π-⎰＝(－cos x ＋12cos2x )30|π＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14．评注：利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数．对于被积函数是绝对值或分段函数时，应充分利用性质()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰，根据定义域，将积分区间分成若干部分，分别求出积分值，再相加．练习：计算以下定积分：⑴322dx ⎰；⑵21|32|x dx -⎰． (答案：⑴39ln22+；⑵12)．二、逆向型主要已知定积分的值，求定积分中参数．例2设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为．分析：本题是逆向思维题，可用求积分的一般方法来解决．解：112310001()()()3f x dx ax c dx ax cx =+=+⎰⎰ 203a c ax c =+=+．03x =∴．评注：常用方程思想加以解决．练习：已知a ＞0，且2a a x dx -∙⎰＝18，求a 的值． (答案：3)三、应用型主要指求围成的平面图形的面积及旋转体的体积．例3由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（） A ．154 B ．174 C ．1ln 22D ．2ln 2 分析：可先画出图象，找出范围，用积分表示，再求积分即．解：如图，面积22112211ln |ln 2ln 2ln 22S x x ===-=⎰，故选(D)．评注：用积分求围成面积，常常分四步：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分的上下限；④计算．练习：求由曲线y 2＝x ， y ＝x 2所转成的面积．(答案：13)．。

高中数学 4.1.2 定积分(二) 教案北师大选修2-2

4.1.2 定积分教学过程：一．创设情景复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()nnn ii i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念

y f (x)
a
b
x
5
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被积函数
被积表达式
积分变量
6
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt a
a
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
7
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分a f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ）上述和式 S n 时，无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
n n
间 [ a, b] 上的定积分。记为： S

b
a
f ( x )dx

高中数学第四章《定积分》教案北师大版选修2-2

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》全部教案§1定积分概念第一课时曲边梯形的面积一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。

二、教学重难点：重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近〔取极限〕难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲〞的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程 1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。

那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。

定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。

本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。

一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．〔不加说明，下面研究的都是连续函数〕 2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例题：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。

思考：〔1〕曲边梯形与“直边图形〞的区别？〔2〕能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形〞面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形〞的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形〞的所有边都是直线段．“以直代曲〞的思想的应用．0.1把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取〞，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。

高中数学北师大版选修2-2第4章《定积分的简单应用》(第3课时)ppt参考课件

定积分的简单应用（三）
利用定积分求简单几何体的体积
一、教学目标 1、理解定积分概念形成过程的思想； 2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。
二、学法指导本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，
关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。三、教学重难点：
x

6
∴所求“冰激凌”的体积为：

4 0
(2
x )2 dx
12
(
4
1 2
x

6) 2 dx

224
3
(cm)3
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一
部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中
A,A’是双曲线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个
端点，B,B’ 是下底直径的两个端点，已知
AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
(1)建立坐标系，并写出该曲线方程．
(2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，
取3.14）
(1) x2 y2 1 49 98
Ｃ’ Ａ’
ＣＡ
(2)V 8 x2dy 8 ( 1 y2 49)dy
b

，f 2即 x可d求x 旋转体体积的
a
值。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。

北师大版数学高二4.1.2 定积分(一) 教案 (北师大选修2-2)

4.1.2 定积分1.复习不定积分的概念. 2.讲授新课 2.1两个引例引例1 曲边梯形的面积由连续曲线)(x f y =（()0≥x f ）和b x a x ==,及0=y 围成的平面图形AabB 称为曲边梯形（如图5-1）．由于曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[]b a ,上是不断变化的，因而它的面积不能由公式A =底×高求得.为了计算曲边梯形的面积，我们可以先将它分割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯形中)(x f 的变化很小，可以用相应的小矩形近似代替，用所有小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积.显然，分割的越细，近似程度就越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析，我们按下面的方法求曲边梯形的面积.设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，且()0≥x f . 在],[b a 上任取1-n 个内分点：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，将区间[]b a ,分割为n 个小区间: 图101121[,],[,],,[,]n n x x x x x x -，记每一小区间长度为1--=∆i i i x x x ，过分点(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅作x 轴的垂线，将曲边梯形AabB 分割为n 个小曲边梯形；设i A ∆表示第i 个小曲边梯形的面积，则曲边梯形AabB AabB 的面积为1ni k A A ==∆∑.在每个小区间[]1,+i i x x 上任意取一点i ξ，以i x ∆为底边，)(i f ξ为高作小矩形，则小矩形的面积为()i i f x ξ∆，当i x ∆很小时，有()i i i A f x ξ∆≈∆(1,2,,i n =)若分点越多，i x ∆就越小，上式的近似程度就越高，小矩形的面积总和也就越接近于曲边梯形AabB 的面积.即()1ni i i A f x ξ=≈∆∑，此为曲边梯形面积的近似值．若用}{max 1i ai x ∆=≤≤λ来表示所有小区间中的最大区间长度，当分点数无限增大且λ趋于零时，该近似值就趋近于曲边梯形AabB 的面积A ，即1ni k A A ==∆∑()01lim ni i i f x λξ→==∆∑.我们把极限()01limniii f xλξ→=∆∑称之为曲边梯形的面积．引例2 变速直线运动的路程设质点运动的速度函数()t v v =是连续变化的且大于零，考虑从时刻a 到时刻b 所走过的路程s ．我们仍然采用分割的方法：（1）用分点：b t t t t t a n n =<<<<<=-1210 将时间区间],[b a 分成n 个小区间:[]1,i i t t -),,2,1(n i =，每个小区间的长度记为i t ∆1--=i i t t ),,2,1(n i =．（2）近似代替：在每一时间区间内任取一时刻i ξ，则质点在该时间区间走过的路程近似为()i i i s v t ξ∆≈∆，),,2,1(n i =（3）求和：将每个时间区间上质点所通过的路程的近似值累加起来，就得到时间区间],[b a 上质点所通过的路程s 的近似值，即()11nni i i i i s s v t ξ===∆≈∆∑∑（4）取极限：当分点无限增加时，记小区间最大的一个长度为}{max 1i ai t ∆=≤≤λ，当0→λ时，则和式()∑=∆ni iitv 1ξ的极限就是质点从时刻a 到时刻b 的路程，即()01lim ni i i s v t λξ→==∆∑定积分的定义以上两个例子的实际意义不同，但处理问题的思想方法是相同的，最后所得到的结果都归结为求和式的极限.数学上将这类和式的极限称作为定积分.定义1 设函数)(x f 在],[b a 上有定义，任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210将],[b a 分成n 个小区间][,1i i x x -).,,2,1(n i =，记1--=∆i i i x x x ).,,2,1(n i =为区间长度，}{max 1i ai x ∆=≤≤λ，并在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，得出乘积i i x f ∆)(ξ的和式1()niii f x ξ=∆∑若0→λ时，和式的极限存在，且此极限值与区间[b a ,]的分法及点i ξ的取法无关，则称这个极限值为函数)(x f 在],[b a 上的定积分，记为⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑. (1)这里)(x f 称为被积函数，)(x f dx 称为被积表达式，x 叫积分变量，],[b a 叫积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限.若)(x f 在[],a b 上的定积分存在，则说)(x f 在],[b a 上可积.根据定义，在上述例中的曲边梯形的面积用定积分可以表示为⎰=b adx x f A )(；变速直线运动的质点的路程可以表为：()b as v t dt =⎰.关于定积分的定义，有以下说明：(1)定积分的值只与被积函数、积分区间有关，与积分变量的符号无关.即()()()b b baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰.(2)定义中要求a b <，若a b >、a b =时有如下规定：当a b >时，()()baabf x f x =-⎰⎰，即互换定积分的上、下限，定积分要变号.当a b =时，0)(=⎰a adx x f .在怎样的条件下，()f x 在[],a b 上的定积分一定存在呢？有下面的定理：定理1 如果()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积.定理2 如果()f x 在[],a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[],a b 上可积. 由此可知，初等函数在其定义区间内都是可积的. 定积分的几何意义在讨论曲边梯形面积时，假定()0f x >，曲边梯形的图形在x 轴的上方，则积分值是正的，即0)(>=⎰A dx x f b a；若()0<x f ，图形在x 轴的下方，则积分值是负的，即A dx x f b a-=⎰)(；1lim ()ni i i f x λξ→==∆∑若()x f 在],[b a 上有正有负时，则积分值就表示曲线()y f x =在x 轴上方和x 轴下方的面积的代数和.如图2所示 .例1 用定积分表示图中阴影部分的面积.解 (1)221A x dx =⎰；(2)1211A x dx -=-⎰.例2 利用定积分的几何意义，说明22xdx =⎰的成立．解20xdx ⎰的几何意义是由曲线x y =，2x =，0y =围成的图形的面积S ，如图5-5所示，求得面积为2S =，故202xdx =⎰．定积分的性质设()x f 、()x g 在[]b a ,区间上可积，则根据定义可推证定积分有以下的性质：性质1a b dx dx bab a-==⎰⎰1.性质2 常数因子可直接提到积分符号前面.()()b baakf x dx k f x dx =⎰⎰.性质3 代数和的积分等于积分的代数和，即⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()(]()([）.这一结论可以推广到有限多个函数代数和的情况. 性质4 对任意的点c ，有图4图3图5图2图2⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f )()()(.这一性质称为定积分的可加性，无论[],c a b ∈还是[],c a b ∉，性质均成立性质5 如果在[],a b 上有()()x g x f ≥，则⎰⎰≥babadx x g dx x f )()(.特别地，当()0≥x f 时，0)(≥⎰b adx x f .性质6 （估值定理）若函数()x f 在区间[]b a ,上的最大值与最小值分别为M 和m ，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰.这是因为M x f m ≤≤)(，由性质5得⎰⎰⎰≤≤b ababaMdx dx x f dx m )(，再由性质1和性质2即可得结论.性质7(积分中值定理) 设()f x 在闭区间[]b a ,上连续，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()b af x dx f b a ξ=-⎰.其几何意义是：设()0≥x f ，则由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形面积等于以区间],[b a 为底，以)(ξf 为高的矩形abcd 的面积(如图6所示). 我们称⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ为()x f 在[]b a ,上的平均值.例3 比较下列各对积分值的大小： (1)12x dx ⎰与0⎰；(2)110xdx ⎰与15x dx ⎰.解 (1)因为在[]0,1上2x ≤，所以1200x dx ≤⎰⎰.(2)因为在[]0,1上105xx≥，所以11105x x dx ≥⎰⎰.例4 估计定积分⎰31dx e x 的值．解因xe xf =)(是指数函数，由指数函数的性质知，)(x f 在]3,1[上的最大值为3e ，)(x f y =图6最小值为e ，由性质６有331(31)(31x e e dx e -≤≤-⎰），即 33122x e e dx e ≤≤⎰.小结定积分的概念（1）定积分的实际背景是解决已知变量的变化率，求它在某范围内的累积问题．通过“分割，局部以不变代变得微量近似，求和得总量近似，取极限得精确总量”的一般解决过程，最后抽象得到定积分的概念．即．⎰badx x f )(01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑（2）据定积分的定义，在[a ，b ]上连续非负函数的定积分总表示由y =f (x )，x =a ，x =b 与x 轴围成的单曲边梯形的面积，得到定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是由y =f (x )，x =a ，x =b与x 轴围成区域的代数面积．（3）定积分是一个数，不定积分是一个函数的原函数的全体．因此，定积分和不定积分是两个完全不同的概念． 4．布置作业（略）。

新版北师大版数学选修2 2《定积分的简单应用》导学案(含答案)

新版北师大版数学选修2 2《定积分的简单应用》导学案（含答案）新版北师大版数学选修2-2《定积分的简单应用》导学案（含答案）定积分在北京师范大学新版优秀教材三班中的简单应用1.会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的数学模型,并能利用积分公式表进行计算.2.会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单旋转体的体积问题,建立它的数学模型,并能利用积分公式表进行计算.3.通过用积分法解决实际问题的过程，我们认识到微积分在统一不同背景问题方面的巨大作用和实用价值实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的,如非匀速直线运动在某时间段内位移;变力使物体沿直线方向移动某位移区间段内所做的功;非均匀线密度的细棒的质量等.所有这些问题都可以归结为曲边梯形的面积问题.问题1：当x∈ [a，b]，如果f（x）>0，则曲线梯形被直线x=a，x=b（a）包围的面积≠ b），y=0，曲线y=f（x）s=.问题2：当x∈ [a，b]，如果f（x）<0，则曲线梯形被直线x=a，x=b（a）包围的面积≠ b），y=0，曲线y=f（x）s=.问题3：如图所示，当x∈ [a，b]，如果f（x）>G（x）>0，平面图中被直线x=a，x=b（a）包围的区域≠ b）曲线y=f（x），y=g（x）=问题4:旋转体可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体,则该旋转体的体积为.1.用s表示图中阴影部分的面积，则s的值为（）a.c.f(x)dxb.|f(x)dx+f(x)dx|f(x)dxd.f(x)dx-f(x)dx2.将y=X2、x=0和y=1包围的平面图形绕x轴旋转得到的旋转体体积可表示为（）a.v=πc.v=π()2dyb、v=π[12-(x2)2]dx（x2）2dxd。

v=π（12-x2）dx3.汽车以v=(3t+2)m/s作变速直线运动时,在第1s至第2s间的1s内经过的路程是m.4.计算曲线y=2x2、直线y=-4x-2和直线x=1包围的闭合图形的面积求不分割型图形的面积计算曲线y2=x，y=x2包围的平面图形的面积s分割型图形面积的求解计算由直线y=x-4,曲线y=图中被x轴包围的区域，S简单旋转几何体的体积计算由椭圆+=1围绕X轴旋转图形形成的几何体的体积求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积.用y曲线求=连接坐标原点o及点p(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形,将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体,计算这个圆锥体的体积.(用定积分求解)，y=2-x，y=由-x包围的图形面积。

2019-2020年高中数学第七课时定积分的简单应用(二)教案北师大版选修2-2

2019-2020年高中数学第七课时定积分的简单应用（二）教案北师大版选修2-2一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。

二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）练习1．若d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6B ．4C ．3D ．22．设，则d x 等于（ C ） A ．B ．C ．D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵12231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰． ∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1． 4．求定分d x ． 5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S6．你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么?表示轴，曲线及直线，之间的各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正，在轴下方的面积取负。

（二）、新课探析例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x 与直线x=0 ,,x 轴所围成图形的面积。

练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ．d xB ．[()()][()()]c b acg x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]bbacf xg x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．d x2．求抛物线y = – x 2+ 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线所围成的面积．（三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。

北师大版数学高二定积分的简单应用教案 选修2-2