北师大版数学高二定积分的简单应用教案 选修2-2

高中数学 定积分的简单应用教案 选修2-2

一：教学目标 知识与技能目标

1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；

2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；

3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；

4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法

难点 定积分求体积以及在物理中应用

三：教学过程：

1、复习

1、求曲边梯形的思想方法是什么？

2、定积分的几何意义是什么？

3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用

（一）利用定积分求平面图形的面积

例1．计算由两条抛物线2

y x =和2

y x =所围成的图形的面积.

【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：2

01y x

x x y x

⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1

1

20

0xdx x dx =

-⎰

⎰，所以

⎰1

20S =(x -x )dx 32

1

3023

3x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习 计算由曲线3

6y x x =-和2

y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =

以及x 轴所围图形的面积S.

分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯

2

x y =y x

A B

C D O

形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直

线4y x =-与 x 轴的交点．

解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的

面积．

解方程组2,

4

y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩

得直线4y x =-与曲线2y x =

的交点的坐标为（8,4) .

直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2

4

8

8

4

4

2[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰

⎰

⎰

33

482822044

2222140||(4)|3323

x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，

再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．

例3.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π

==x x x 轴所围成的图形面积。

答案： 2

33

2320

=

-=⎰

ππ

o x xdx S |cos

sin ＝ 练习

1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。

答案：3

32

33323132

23

1=-+=--⎰

|))x x x dx x x S （－＋（＝

2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。 略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 、

62+-=x y ，则所求图形的面积为

49346234342

23

3

2

3

2＝＝

dx x x x dx x x x S )]()[()]()[(-+--+-+

-+---⎰

⎰

3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。 略解：所求图形的面积为

dy dy y f y g S y ⎰

⎰

⨯-=

-1

1

224)()()(【＝

e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（

4、在曲线)0(2

≥=x x y 上的某点A 轴所围成的面积为

12

1

.试求：切点A 的坐标以及切线方程.

略解：如图由题可设切点坐标为

),2

00x x （ 为2

002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为

),(02

0x

，则由题可知有121

122302

2

002

20

2

00=

=+-+=⎰

⎰

x dx x x x x dx x S x x x )( 10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y

总结：1、定积分的几何意义是：a x x f y b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、

x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即

轴下方轴上方－x x b

a

S S

dx x f =⎰)(.

因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要

特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０　π2,sin ∈=x x y 的图像与x 轴围成

的图形的面积为4,而其定积分为0.

2、求曲边梯形面积的方法与步骤：

（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；

（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3） 确定被积函数；

x

x

O y=x 2 A

B C

x

y

o

y=－x 2+4x-3