建立空间直角坐标系的几个常见思路

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建立空间直角坐标系的几个常见思路

建立空间直角坐标系的几种常见思路坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2,底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1,求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解析:如图1,以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B (2，4，０），∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，，．设1BC 与CD 所成的角为θ，则11317cos 17BC CD BC CDθ==．二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =,BB 1＝2,BC ＝1,∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．解析：如图2，以B 为原点,分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2,∠BCC 1＝3π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,有B （０，０,０）、A （０，０,2）、B 1（０，2，０）、31022c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，、133022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，．设302E a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<, 由EA ⊥EB 1,得10EA EB =，即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，233(2)2044a a a a =+-=-+=,∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即12a =或32a =（舍去)．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．由已知有1EA EB ⊥,111B A EB ⊥,故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(002)B A BA ==，，，31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中,底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．（1）证明AB ⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．解析:（1)取AD 的中点O 为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A （1,０，０）、D (－1，０，０）、B （1，2，０)、 V (０，０,3），∴AB ＝（０，2，０），VA ＝（1，０,－3）．由(020)(103)0AB VA =-=，，，，,得 AB ⊥VA ．又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直，∴ AB ⊥平面VAD ；(2）设E 为DV 的中点,则13022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴33022EA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，，，33222EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(103)DV =，，． ∴332(103)022EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，, ∴EB ⊥DV ．又EA ⊥DV ，因此∠AEB 是所求二面角的平面角．∴21cos 7EA EB EAEB EA EB==，．故所求二面角的余弦值为217．四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4 已知正四棱锥V －ABCD 中,E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．（1）求∠DEB 的余弦值;（2)若BE ⊥VC ,求∠DEB 的余弦值．解析：（1)如图4,以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ,则由AB ＝2a ，OV ＝h ，有B （a ，a ，０）、C (—a ，a ,０）、D （-a ,—a ,０)、V （0,0，h )、222a a h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，,3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．∴22226cos 10BE DEa h BE DE a h BE DE-+==+，, 即22226cos 10a h DEB a h -+=+∠;（2）因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ，所以0BE VC =，即3()0222a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，，，，，∴22230222a h a --=，∴2h a =．这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+，,即1cos 3DEB =-∠．引入空间向量坐标运算,使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析,只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4．（1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； (3）求点P 到平面QAD 的距离．简解：（1）略;（2）由题设知，ABCD 是正方形,且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ,y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，,1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB<>==，．所求异面直线所成的角是1arccos3．（3)由(2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，．设n =(x ,y ,z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n n．点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后,相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．。

空间直角坐标系的建立

空间直角坐标系的建立空间直角坐标系是用于表示空间中一个点位置的一种系。

建立空间直角坐标系需要确定三个互相垂直的坐标轴，分别沿着三个方向选取单位长度，用来表示空间中的位置。

在这个坐标系中，根据对应的坐标值可以唯一地确定一个点的位置。

建立空间直角坐标系的方法和建立平面直角坐标系非常类似。

下面我们来介绍一下建立空间直角坐标系的步骤。

步骤一：确定原点建立空间直角坐标系需要确定一个起点，称为原点。

原点通常位于三个坐标轴的交点处。

可以任选一个位置作为原点。

步骤二：确定坐标轴方向建立空间直角坐标系需要确定三个互相垂直的坐标轴，它们固定的方向通常为正方向。

我们可以先确定一个坐标轴方向，比如说选择x轴（也可以选择y轴或z轴作为起点）。

确定x轴的正方向后，可以确定y轴的正方向与z轴的正方向。

y轴的正方向可以沿着x 轴与z轴之间垂直的方向上，z轴的正方向可以沿着x轴与y轴之间垂直的方向上。

步骤三：选取单位长度建立空间直角坐标系需要确定沿着坐标轴的单位长度。

我们需要选择一个单位长度用来表示空间中的位置。

通常情况下，我们可以选择1个单位长度。

空间直角坐标系的表示方法比较灵活。

通常情况下，我们可以用一个有序数对表示二维平面上的点，例如(1, 2)，用一个有序三元组表示三维空间中的点，例如(1, 2, 3)。

其中，第一个元素对应x轴的坐标值，第二个元素对应y轴的坐标值，第三个元素对应z轴的坐标值。

在空间直角坐标系中，一个点的坐标可以表示为(x,y,z)。

其中x、y、z的取值范围是实数集合。

点的坐标是有序三元组(x,y,z)。

空间直角坐标系在数学中扮演了非常重要的角色，可用于描述空间中的物理现象，建立三维模型等等。

掌握建立空间直角坐标系的方法，对深入理解空间的坐标系，解决三维空间中的几何问题非常关键。

空间直角坐标系的建立过程

空间直角坐标系的建立过程空间直角坐标系的建立过程空间直角坐标系是三维空间中的一种描述方法，将空间中的任意一点用三个数表示出来，称为它的直角坐标。

直角坐标系是物理、数学、计算机等领域中最基本的描述工具之一，本文将介绍空间直角坐标系的建立过程。

1. 三视图法建立空间直角坐标系的第一步是选定坐标轴方向。

三视图法是空间坐标系建立的常用方法，通过正、侧、俯三个视图，确定坐标轴的方向和位置。

建立坐标系的步骤如下：（1）将图形分解成不同的平面（一般取三平面）；（2）对每个平面分别画出三视图，分别为正视图、侧视图和俯视图；（3）在每个视图中确定一个原点，分别标出三个轴线（X、Y、Z）；（4）确定每个轴线的正负方向。

通过三视图法建立的坐标系具有明确的方向和位置，但是缺陷也明显，需要在设计过程中进行大量的图形拆解和视图的绘制。

2. 直线法直线法是另一种常用的坐标系建立方法。

直线法的思想是将空间中三条相交直线作为坐标轴，其中一条为X 轴，与其垂直的两条线分别为Y轴和Z轴。

建立坐标系的步骤如下：（1）选择任意一个点作为坐标原点；（2）从原点引出三条互相垂直的直线，作为坐标轴；（3）根据轴线的正方向确定坐标系的符号约定。

直线法建立空间坐标系简单方便，但是需要选择相交直线，容易出现方向的混乱。

3. 利用矢量利用矢量建立空间坐标系的方法也比较简单，是通过三个相互垂直的单位矢量 i、j、k 来建立坐标系。

其中，i 矢量表示X轴的正方向，j 矢量表示Y轴的正方向，k 矢量表示Z轴的正方向。

建立坐标系的步骤如下：（1）选定任意一点作为坐标原点；（2）在原点处引出 i、j、k 三个相互垂直的单位矢量；（3）确定坐标系的符号约定。

利用矢量建立坐标系时，不需要考虑相交直线或者视图的绘制，建立方便。

在物理、数学、计算机等领域中广泛应用。

4. 总结空间直角坐标系是三维空间中最基本的描述方法之一，建立坐标系的方法有三视图法、直线法和利用矢量法。

建立空间直角坐标系建系的方法及技巧

建立空间直角坐标系建系的方法及技巧建立空间直角坐标系在解决立体几何问题中起着重要作用。

向量法是建系的一种常用方法，它引入了空间向量坐标运算，使解题过程更加简便。

建立适当的坐标系是向量解题的关键步骤之一，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。

一种建系的方法是利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系。

例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在棱DD1、BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1.要证明点C1在平面AEF内，并求二面角A-EF-A1的正弦值。

另一种建系的方法是利用线面垂直关系构建直角坐标系。

例如，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD上，AE=CF=，EF交BD于点H。

将△XXX沿EF折到△D'EF的位置，OD'=.要证明D'H⊥平面ABCD，并求二面角B-D'A-C的正弦值。

还有一种建系的方法是利用面面垂直关系构建直角坐标系。

例如，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD，AB=BC=1AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点。

要证明直线CE//平面PAB，求二面角M-AB-D的余弦值。

有些图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系，例如正三棱柱、正四棱柱等，利用自身对称性可建立空间直角坐标系。

例如，在圆锥D-O-ABC中，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=6DO。

要证明PA⊥平面PBC，并求二面角B-PC-E的余弦值。

另外，利用正棱锥的中心与高所在直线也可构建直角坐标系。

建立空间直角坐标系的方法及技巧有多种，根据不同的图形特点选择合适的方法，能够更加高效地解决立体几何问题。

1.中，给定正四棱锥P-ABCD，其所有棱长均为6.底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD、BC平行于x轴，棱AB、CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上。

建立空间直角坐标系的方法及技巧

建立空间直角坐标系的方法及技巧1.确定坐标轴方向：首先需要确定空间直角坐标系的坐标轴方向，通常选择三个相互垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。

可以选择其中一个轴为参考轴，然后使用右手定则来确定其他两个轴的方向。

在右手定则中，将右手的拇指、食指和中指分别与x、y和z轴对齐，那么食指和中指所形成的平面就是坐标系的平面，拇指的方向就是z轴的方向。

2.确定原点位置：确定好坐标轴方向后，需要确定坐标系的原点位置。

原点通常可以选择在三维空间中的一些特殊点上，例如物体的质心、交点或者其他方便计算的点。

原点的选择应根据具体问题和需求进行确定。

3.确定单位长度：建立坐标系后，需要确定单位长度，也就是每个坐标轴上的单位距离。

单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定，可以根据物体的大小和所需精度进行估计。

常用的单位长度包括米、厘米、毫米等。

4.标示坐标轴刻度：在建立坐标系后，需要在每个坐标轴上标示刻度，以便表示点的位置。

可以根据需求和所测量的物体大小来确定每个刻度的长度和数量。

通常可以使用尺子、直尺等工具来测量和标示刻度。

在标示刻度时，可以选择以原点为起点，沿着每个坐标轴正方向逐个标示刻度，或者以坐标轴的负方向为起点标示刻度。

5.标示点的坐标：建立好坐标轴和刻度后，就可以根据需要来标示空间中的点的坐标。

对于一个三维空间中的点，可以通过它到坐标轴的距离来确定它的坐标值。

通常可以使用直角坐标系中的(x,y,z)来表示一个点的坐标，其中x、y和z分别是点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。

1.灵活选择参考轴：参考轴的选择应根据具体问题和需求进行确定。

在确定参考轴时，可以考虑使问题的描述尽量简洁和直观，同时方便计算和分析。

2.注意坐标轴的方向：在确定坐标轴的方向时，使用右手定则可以帮助确定其他两个轴的方向。

要确保坐标轴的方向满足右手定则中拇指、食指和中指的排列次序。

3.注意单位长度的选择：单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定。

建立空间直角坐标系的几种方法

建立空间直角坐标系的几种方法1.给定坐标轴方向及原点位置：最直接的方法是给定三个坐标轴的方向及原点位置。

通常，我们选择三个相互垂直的轴，并确定它们的正方向。

例如，我们可以选择X轴向右，Y轴向上，Z轴垂直于XOY平面向外，然后选择原点为坐标轴的交点。

通过这种方法，我们就可以建立一个三维直角坐标系。

2.使用原点和两个已知点：在给定两个已知点和原点的情况下，我们可以建立一个空间直角坐标系。

首先，我们将其中一个已知点作为坐标轴上的一个点，然后确定一个与此轴垂直的第二个轴。

接下来，我们确定第三个轴的方向，使其与前两个轴正交，并选择原点位置。

通过这种方法，我们可以构建一个三维直角坐标系。

3.使用平面和轴的交点：另一种建立空间直角坐标系的方法是确定两个平面及其在坐标轴上的交点。

首先，我们选择平面XY作为参考平面，并将其与X轴和Y轴在原点处的交点作为坐标轴上的两个点。

然后，选择两个非共线的轴分别与平面XZ和平面YZ正交，并确定它们的正方向。

通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。

4.使用向量运算：通过向量运算的方法可以建立空间直角坐标系。

首先，选择一个已知向量为其中一个坐标轴的向量。

然后，选择另一个与已知向量相互垂直的向量，并进行正规化。

接下来，使用向量叉积运算确定第三个轴的方向，并对其进行正规化。

最后，选择原点位置。

通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。

这些方法都是建立空间直角坐标系的常见方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行建立。

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧、禾U用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1已知直四棱柱ABC D A i B i CD中，AA= 2,底面ABCD是直角梯形，/ A为直角，AB//CD AB= 4, AD= 2,DC= 1,求异面直线BC与DC所成角的余弦值.解析：如图1, 以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角1 , 2)、B(2, 4, 0), •- BC =(-2,3,2) , CD=(0, -1,0).坐标系，则C （0,设BC i与CD所成的角为vCD 3 '1717二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC- ABC中，AB丄侧面BBCQ, E为棱CC上异于C C的一点,EAL EB.已知AB = J2 , BB = 2, BC= 1, / BCC=上.求二面角A- EB—A的平面角的正切值.3解析：如图2，以B为原点，分别以BB、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB 的直线为x轴建立空间直角坐标系.由于BC= 1, BB= 2, AB= -/2，/ BCG=—,3•••在三棱柱ABC- ABC 中，有（0, 0, 0）、（0, 0,C1 第3 /—,—,0 .I2 2丿輛〕〔3设E — , a, 0 且一丄<a<3,I2丿22由EAL EB，得EAEB =0,CDBA 丄EB ，故二面角 A- EB —A i 的平面角日的大小为向量 BA 与 EA 的夹角.訳=BA = （0,0八 2） , EA 二三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD 丄底面ABCDAB 丄 VA又ABL AD 从而AB 与平面VAD 内两条相交直线 VA AD 都垂直，二 (2)设E 为DV 的中点，则J-1显1 I 22丿即「2，一皿］ X ,2—aJ< 2 丿+a （a —2）=a 2—2a+3=0,「. 'a —丄 |4 I 2丿3 4 即-2或a =| (舍去).故E 佇，,0 . ■ 3i3 去（3,0,_Q,时,2, -纠辽 2丿 I 2 2丿，DV =（1,0, 3）. 由已知有EA _ EB i , 故 COS V =灵晁^，即ta —子EA'B 1A 1(1)证明 AE 丄平面VAD(2)求面 VAD 与面VDB^成的二面角的余弦值.解析：(1) 取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系.设 AD= 2，则 A （1，0，0）、D （— 1，0，0）、B （ 1，2，0）、V （0，0，爲），二 AB =（0， 2， 0）， VA =（ 1，0， — V 3 ）.由 ABVA = （0,2,0壯1,0, - . 3） = 0，得AB 丄平面VAD故所求二面角的余弦值为 —217四、禾U 用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系已知正四棱锥 V-ABCD 中, E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a ,高为h .即 cos Z DEB =「6a 2 h ：； 10a 1 2 +h 2(2)因为E 是VC 的中点，又BE! VCc 2 , 23 2 a h a 0 ,• h -、2a . 2 2 21 1，即 cos Z DEB 二-一• EB[DV 」i,o,J 3)=o ,••• E 吐 DV又 EAL DV 因此/ AEB 是所求二面角的平面角.(1) 求/ DEB 的余弦值;(2) 若BE! VC 求/ DEB 的余弦值.解析: (1)如图4,以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x / BC O y // AB,则由 AB^ 2a , OV= h ,有 B (a ,a , 0)、C (- a , a ,0)、D( - a , -a,0)、V (0, 0, h)、*222'丿•晁…3a ,I 2a h 2 2) 丨h a,_ •- cos ：. BE ,DEBE DE 2 2 ? 10a h =o ,即 _3a,-a h I 22,2 心，a ，-h )“ , 这时 cos ；： BE ,DE -6a 2 h 2 10a 2 h 2E 八EB .'21 …cosEB _ 7图4所以五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等) 自身对称性可建立空间直角坐标系.例5已知两个正四棱锥 P — ABCDfQ-ABCD 勺高都为 2, AB= 4.(1) 证明：PQL 平面ABCD(2) 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角;(3) 求点P 到平面QAD 勺距离.(2)由题设知，ABCDI 正方形，且ACL BD 由( 1),PQL 平面ABCD 故可分别以直线 CA, DB , QP 点评：禾U 用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出•第(3)问也可用“等体积法”求距离. 3 3 ，利用为x , y , z 轴建立空间直角坐标系(如图 1),易得 A5 =(—2J2Q ，- 2),PB =(0,2、2- 2), cos ：： AQ ,PB =AQ PB1 arccos —. 3(3)由(2)知，点 D(0,— 2矩0) AD =(—2逅,—2J2,0)PQ所求异面直线所成的角是 = (0,0, 4).设n = (x , y , z )是平面QAD 的一个法向量，则 0[nLAD = 0,得、，2x • z = 0,取 1,得 x y =0, n = (1, -1, - .2) •点P 到平面QAD 勺距离d -PQL nn| =2】2 .。

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空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．;解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０），∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，，．设1BC 与CD 所成的角为θ，则11317cos 17BC CD BC CDθ==．二、利用线面垂直关系构建直角坐标系~例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、3102c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，、13302C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，．设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<，、由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎝⎭，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即12a =或32a =（舍去）．故3102E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．》因11(002)B A BA ==，，，3122EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝，，故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．^（1）证明AB ⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1，2，０）、V （０，０，3），∴AB ＝（０，2，０），VA ＝（1，０，－3）．#由(020)(103)0AB VA =-=，，，，，得 AB ⊥VA ．又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直，∴ AB ⊥平面VAD ；（2）设E 为DV 的中点，则13022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴33022EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，33222EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(103)DV =，，．》∴332(103)02EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ∴EB ⊥DV ．又EA ⊥DV ，因此∠AEB 是所求二面角的平面角．∴21cos 7EA EB EAEB EA EB==，．故所求二面角的余弦值为21． …四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．（1）求∠DEB 的余弦值；（2）若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．解析：（1）如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，则由AB ＝2a ，OV ＝h ，有B （a ，a ，０）、C （-a ，a ，０）、D （-a ，-a ，０）、V （0，0，h ）、222a a h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，]∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．∴22226cos 10BE DEa h BE DE a h BE DE-+==+，，即22226cos 10a h DEB a h -+=+∠；（2）因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ，所以0BE VC =，即3()0222a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，，，，，》∴22230222a h a --=，∴2h a =．这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+，，即1cos 3DEB =-∠．五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4．-:（1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角；（3）求点P 到平面QAD 的距离．（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(022)AQ PB =--=-，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB<>==，．所求异面直线所成的角是1arccos3．（3）由（2）知，点(0(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，．设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得00z x y +=+=⎪⎩，，取x ＝1，得(11-，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n n．点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．。

空间直角坐标系建立方法

空间直角坐标系建立方法在几何学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统。

它可以用来描述三维空间中的点和向量。

在本文中，我们将介绍如何建立空间直角坐标系及其相关概念和方法。

1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成的，通常用x、y和z表示。

这些坐标轴可以分别与长、宽和高相关联。

坐标轴的原点称为原点，确定了整个坐标系的基准点。

通过在每个坐标轴上选择一个单位长度，我们可以测量任意点的位置。

2. 建立空间直角坐标系的步骤建立空间直角坐标系的方法可以分为以下步骤：步骤1：选择基准面基准面是用于确定坐标轴位置的平面。

在建立空间直角坐标系时，我们需要选择一个基准面作为起点。

通常情况下，我们选择一个平面作为基准面，例如一个水平的地面或桌子。

步骤2：确定坐标轴方向在确定了基准面之后，我们需要确定三个坐标轴的方向。

通常情况下，我们选择一个垂直于基准面的方向作为z轴的正方向。

剩下的两个坐标轴的方向可以根据实际情况选择。

步骤3：确定坐标轴长度单位在建立空间直角坐标系时，我们需要选择一个长度单位来测量点的位置。

常用的长度单位包括米、英尺等，根据具体应用场景选择适合的单位。

步骤4：确定原点位置确定了基准面、坐标轴方向和长度单位后，我们需要确定原点的位置。

原点通常位于基准面上，它是坐标系的起点。

步骤5：确定坐标轴的位置和范围确定了原点位置后，我们需要确定坐标轴的位置和范围。

坐标轴的位置可以通过在基准面上选择足够多的点来确定，这些点可以作为参考点。

坐标轴的范围通常由应用场景决定，可以根据实际需要进行调整。

3. 空间直角坐标系的应用空间直角坐标系在几何学和物理学中具有广泛的应用。

它可以用来描述三维空间中的点和向量，计算点之间的距离和方向，以及解决各种几何和物理问题。

在几何学中，空间直角坐标系可以用来描述多面体的形状和位置关系，计算多面体的体积和表面积，以及解决与多面体相关的几何问题。

在物理学中，空间直角坐标系可以用来描述物体的运动和力的作用，计算物体的速度和加速度，以及解决与物体运动和力相关的物理问题。

建立空间直角坐标系的几种方法

建立空间直角坐标系的几种方法坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０），∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，．设1BC u u u u r 与CDuuu r 所成的角为θ，则11317cos BC CD BC CD θ==u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ．二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、3102c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，、13302C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．设30E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<，由EA ⊥EB 1，得10EA EB =u u u r u u u r g ，即33220a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭g ，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ，即12a =或32a =（舍去）．故3102E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．由已知有1EA EB ⊥u u u r u u u r ，111B A EB ⊥u u u u r u u u r ，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A u u u u r 与EA u u u r 的夹角．因11(002)B A BA ==u u u u r u u u r ，，，3122EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝u u u r ，，故11112cos 3EA B A EA B A θ==u u u r u u u u r g u u u r u u u u r ，即2tan 2θ=三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．（1）证明AB ⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1，2，０）、V，∴AB u u u r ＝（０，2，０），VA u u r ＝（1．由(020)(100AB VA ==u u u r u u r g g ，，，，，得 AB ⊥VA ．又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直，∴ AB ⊥平面VAD ；（2）设E 为DV 的中点，则1022E ⎛- ⎝⎭，，∴3022EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，3222EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，(10DV =u u u r ．∴32(1002EB DV ⎛== ⎝⎭u u u r u u u r g g ，，，∴EB ⊥DV ．又EA ⊥DV ，因此∠AEB 是所求二面角的平面角．∴cos 7EA EB EA EB EA EB==u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，．．四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．（1）求∠DEB 的余弦值；（2）若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．解析：（1）如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，则由AB ＝2a ，OV ＝h ，有B （a ，a ，０）、C （-a ，a ，０）、D （-a ，-a ，０）、V （0，0，h ）、222a a h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，，． ∴22226cos 10BE DE a h BE DE a h BE DE -+==+u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，，即22226cos 10a h DEB a h -+=+∠；（2）因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ，所以0BE VC =u u u r u u u r g ，即3()0222a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭g ，，，，， ∴22230222a h a --=，∴2h a =．这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+u u u r u u u r ，，即1cos 3DEB =-∠．引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高都为2，AB＝4．（1）证明：PQ⊥平面ABCD；（2）求异面直线AQ与PB所成的角；（3）求点P到平面QAD的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如CA DB QP图1），易得(2)(02)AQ PB =--=-u u u r u u u r ，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB <>==u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r ，．所求异面直线所成的角是1arccos 3．（3）由（2）知，点(0((004)D AD PQ -=--=-u u u r u u u r ，，，．设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g ，，n n得00z x y +=+=⎪⎩，，取x ＝1，得(11-，，n =．点P 到平面QAD的距离PQ d ==u u u r g nn点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．。

建立空间直角坐标系的几种方法

建立空间直角坐标系的几种方法方法一：直角坐标系基于物体的参考点和参考线。

首先，选择一个点作为原点，然后选择一个方向作为x轴的正方向，并将参考直线从原点开始延伸。

然后，选择与x轴垂直的方向作为y轴的正方向，并延伸直线。

最后，选择与xy平面垂直的方向作为z轴的正方向，并延伸直线。

这样，就完成了一个空间直角坐标系的建立。

方法二：直角坐标系基于坐标系的旋转和平移。

在二维平面中，我们可以通过将一个坐标系进行旋转和平移来建立另一个坐标系。

同样，在三维空间中，我们可以通过对一个已有的坐标系进行旋转和平移来建立一个新的坐标系。

通过旋转和平移的组合，我们可以得到一个新的坐标系，其中的坐标轴可以与原坐标系的坐标轴成直角。

方法三：直角坐标系基于物体的方向和参考面。

在航空航天等领域，直角坐标系通常是根据物体的方向和参考面来建立的。

例如，在航空航天器中，航天员在太空中的朝向通常是以地球为参考面建立的直角坐标系。

方法四：直角坐标系可以通过测量和计算得到。

在地理测量和地质勘探等领域，可以通过测量物体的位置和方向来确定一个直角坐标系。

测量可以通过使用全站仪或其他测量设备进行精确的三维测量来完成。

方法五：直角坐标系可以基于地图坐标系建立。

在地理信息系统（GIS）中，地图坐标系是一种基于平面坐标系的直角坐标系。

通过将地图上的点与已知的地理坐标进行对应，并利用平面坐标系的投影方法，可以建立地图坐标系。

以上是建立空间直角坐标系的几种常见方法。

这些方法在各种领域中得到广泛应用，可以帮助我们更好地理解和描述物体在空间中的位置和方向。

建立空间直角坐标系的方法及技巧(修改)

建立空间直角坐标系的方法及技巧
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∠CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ∠侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ∠EB 1．已知2AB =
，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3
π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ∠底面ABCD ．
（1）证明AB ∠平面VAD ；
（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．
四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．
（1）求∠DEB的余弦值；
（2）若BE∠VC，求∠DEB的余弦值．
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．
例5已知两个正四棱锥P－ABCD与
Q－ABCD的高都为2，AB＝4．
（1）证明：PQ⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AQ与PB所成的角；
（3）求点P到平面QAD的距离．。

怎么建立空间直角坐标系右手法则

怎么建立空间直角坐标系右手法则在空间中，为了方便描述物体的位置、方向和运动等属性，我们需要建立空间直角坐标系。

与平面直角坐标系相似，空间直角坐标系也分为三个坐标轴，分别为x、y和z轴。

针对给定坐标系，我们建立右手法则便于描述物体的方向和项目之间的关系。

建立直角坐标系步骤如下：第一步，选定一个固定的点O，这个点就是我们建立坐标系的原点。

因为坐标系是用来描述物体的位置的，原点就是一开始的参考点。

第二步，选取一条直线作为x轴，因为直线有确定的方向，方向是靠确定这条直线上的点的排列顺序来确定的。

第三步，为了能够固定y轴的方向，在O点的那个平面上任选另一条直线作为y轴，这条直线必须和x轴垂直。

如果y轴选择得好，可以帮助我们方便地描述物体在z轴的方向上的运动或者旋转。

第四步，最后一步就是选取一条垂直于x轴和y轴的直线作为z 轴。

z轴的方向不能与x轴和y轴的方向在同一平面内，通过确定x、y和z轴的位置关系，可以确定该坐标系的方向。

接下来，为了方便地描述物体的方向和位置关系，我们需要建立右手法则：第一步，让右手的食指朝着正方向的x轴，中指朝着y轴，让拇指从x轴转向y轴，向着z轴的正方向弯曲。

第二步，食指、中指和拇指的方向组成一个右手柿子，如果你观察的话，你会发现这个柿子会从x、y的正方向转向正的z轴方向。

这个柿子的方向就是这个坐标系的正向。

第三步，如果手指不能放下，说明这个坐标系是左手坐标系，否则就是右手坐标系。

建立右手法则的意义在于使得固定性和标准化，让每个建立的坐标系都有一个确定的方向，相互之间不会混淆。

同时，建立直角坐标系右手法则也为空间描述提供了便利，使我们能够更加容易地描述物体的方向、位置关系以及运动情况。

常见建立空间直角坐标系的方法

常见建立空间直角坐标系的方法在数学中，直角坐标系是一种常见的坐标系统，用于描述平面上的点的位置。

然而，当我们需要描述三维空间中的点的位置时，就需要使用空间直角坐标系。

空间直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，通常分别记作x、y和z轴。

建立空间直角坐标系的方法有很多种，下面将介绍一些常见的方法：1. 建立三个相互垂直的平面：这是最常见的方法之一、我们可以选择一个水平的平面作为xy平面，再选择一个与之垂直的平面作为xz平面，最后选择与之都垂直的平面作为yz平面。

通过这三个平面的交线，我们就可以建立一个空间直角坐标系。

2.直角投影：这是另一种常见的方法。

它通过将三个相互垂直的轴投影到一个平面上来建立坐标系。

首先，选择一个水平平面作为基准面，通常选择地面或水平桌面。

然后，沿着垂直于基准面的方向，线性地延长三个轴线段，直到它们相交于一个点P。

此时，基准平面上的四个交点将构成一个四边形，可以将其看作一个平行于基准平面的投影区域。

通过将这个投影区域等分成正方形或长方形，我们可以建立一个坐标系。

3.三面角投影法：这种方法的基本思想是选择三个不共面的平面，用它们的交线来建立坐标系。

三个平面可以是任意的，只要它们不共面即可。

通过选择适当的角度和距离，我们可以确保三个平面的交线相互垂直，并与坐标轴一一对应。

4.旋转和平移：这是一种几何变换法，通过对平面或轴进行旋转和平移来建立坐标系。

首先，我们可以选择一个水平平面作为基准平面。

然后，通过旋转和平移一个或多个轴，使其与基准平面垂直。

通过这种方式，我们可以建立一个与基准平面相垂直的坐标系。

通过以上方法可以建立一个空间直角坐标系，然后就可以用来描述三维空间中的点的位置。

在这个坐标系中，每个点都可以由一个有序的三元组（x，y，z）来表示，其中x，y和z分别表示该点在x、y和z轴上的投影坐标。

总结起来，建立空间直角坐标系的方法包括建立相互垂直的平面、直角投影、三面角投影法以及旋转和平移等方法。

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧建立空间直角坐标系是解决空间向量问题的基础。

下面将介绍建立空间直角坐标系的方法及技巧。

一、确定坐标轴的方向和位置1.确定原点：选择一个固定点作为原点，通常选择一个与问题相关的点，如物体的质心或一个已知的点。

2.确定x轴的方向和位置：选择一个与原点不共线的点作为x轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。

然后确定一个与x轴垂直的直线作为x轴，并确定x轴的正方向。

3.确定y轴的方向和位置：选择一个与原点和x轴不共面的点作为y轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。

然后确定一个与x轴和y轴都垂直的直线作为y轴，并确定y轴的正方向。

4.确定z轴的方向和位置：选择一个与原点、x轴和y轴不共线的点作为z轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。

然后确定一个与x轴、y轴和z轴都垂直的直线作为z轴，并确定z轴的正方向。

二、确定坐标轴的刻度和单位1.确定刻度：确定每个坐标轴上的刻度间隔，刻度的选择应根据问题而定，可以根据已知数据、问题要求或实际情况选择。

2.确定单位：确定每个坐标轴上的单位，单位的选择应根据问题而定，可以选择国际单位制（如米、千克）或其他适当的单位。

三、确定坐标系的右手定则建立空间直角坐标系时，要符合右手定则，即将右手放在坐标轴上，大拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，则中指指向的方向即为z轴的正方向。

四、根据空间向量的位置确定其坐标根据已知空间向量的位置，确定其在空间直角坐标系中的坐标。

首先确定向量所在直线与坐标轴的交点，然后根据交点的坐标确定向量的坐标。

五、利用正交性简化向量运算空间直角坐标系有一个重要的特点，即坐标轴两两正交。

利用这一性质，可以简化向量的运算。

例如，两个向量的数量积可以分别计算各个坐标上的乘积，然后相加，而不必进行向量的点积运算。

总结：建立空间直角坐标系的方法及技巧主要包括确定坐标轴的方向和位置、确定坐标轴的刻度和单位、确定坐标系的右手定则、根据空间向量的位置确定其坐标和利用正交性简化向量运算。

高中数学空间直角坐标系的构建策略知识点解析

专题突破三空间直角坐标系的构建策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求直线与直线所成的角解如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)，所以BC 1→＝(－2，－3,2)，CD →＝(0，－1,0)．所以cos 〈BC 1→，CD →〉＝BC 1→·CD →|BC 1→||CD →|＝31717.故异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为31717.点评本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可．跟踪训练1 如图，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠P AD ＝90°，且P A ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段P A ，CD 的中点，求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值．考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求直线与直线所成的角解因为平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥AD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以，P A ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)． EF →＝(1,2，－1)，BD →＝(－2,2,0)，故cos 〈EF →，BD →〉＝243＝36.即异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为36. 二、利用线面垂直关系例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中点，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．考点空间向量的正交分解题点向量的坐标解过点B 作BP 垂直BB 1交C 1C 于点P ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥BP ，AB ⊥BB 1，以B 为坐标原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Bxyz .又BP ⊥BB 1，BB 1∩AB ＝B ，且BB 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，所以BP ⊥平面ABB 1A 1，因为AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3，所以CP ＝12，C 1P ＝32，BP ＝32，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，2)，B 1(0,2,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，C 1⎝⎛⎭⎫32，32，0，E⎝⎛⎭⎫32，12，0，A 1(0,2，2)，P ⎝⎛⎭⎫32，0，0.点评空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥平面BB 1C 1C ”，可作为建系的突破口．跟踪训练2 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．考点向量法求直线与平面所成的角题点向量法求直线与平面所成的角解取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz . 由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0,2，－4)， PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0,2,1)．于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||A N →|＝8525.设AN 与平面PMN 所成的角为θ，则sin θ＝8525，∴直线AN 与平面PMN 所成的角的正弦值为8525.三、利用面面垂直关系例3 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点．将△ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AEC (如图2)，连接BC ，BD .求平面ABE 与平面BCD 所成的锐角的大小．考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角解取AE 中点M ，连接BM ，DM .因为在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形，所以BM ⊥AE ，DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ，平面BAE ∩平面AEC ＝AE ，所以BM ⊥平面AEC ，所以BM ⊥MD .以M 为坐标原点，分别以ME ，MD ，MB 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Mxyz ，如图，则B (0,0，3)，C (2，3，0)，D (0，3，0)，M (0,0,0)，所以DC →＝(2,0,0)，BD →＝(0，3，－3)，MD →＝(0，3，0)，设平面BCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝2x ＝0，m ·BD →＝3y －3z ＝0.取y ＝1，得m ＝(0,1,1)，又因平面ABE 的一个法向量MD →＝(0，3，0)，所以cos 〈m ，MD →〉＝m ·MD →|m ||MD →|＝22，所以平面ABE 与平面BCD 所成的锐角为45°.点评本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．跟踪训练3 在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD . (1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求二面角A －VD －B 的平面角的余弦值．考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角 (1)证明取AD 的中点O 作为坐标原点，由题意知，VO ⊥底面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1，0,0)，B (1,2,0)，V (0,0，3)．易得AB →＝(0,2,0)， VA →＝(1,0，－3)．∵AB →·VA →＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0， ∴AB →⊥VA →，即AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，AD ∩VA ＝A ，∴AB ⊥平面VAD . (2)解易得DV →＝(1,0，3)．设E 为DV 的中点，连接EA ，EB ，则E ⎝⎛⎭⎫－12，0，32，∴EA →＝⎝⎛⎭⎫32，0，－32，EB →＝⎝⎛⎭⎫32，2，－32.∵EB →·DV →＝⎝⎛⎭⎫32，2，－32·(1,0，3)＝0，∴EB →⊥DV →，即EB ⊥DV .又EA ⊥DV ，∴∠AEB 为所求二面角的平面角， ∴cos 〈EA →，EB →〉＝EA →·EB →|EA →||EB →|＝217.故所求二面角的平面角的余弦值为217. 四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系例4 如图所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，O 1，O 分别为上、下底面的中心，且A 1在底面ABCD 上的射影是O .(1)求证：平面O 1DC ⊥平面ABCD ；(2)若点E ，F 分别在棱AA 1，BC 上，且AE ＝2EA 1，问点F 在何处时，EF ⊥AD? 考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直(1)证明如图所示，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设OA ＝1，OA 1＝a .则A (1,0,0)，B (0,1,0)，A 1(0,0，a )，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，O 1(－1,0，a )．则O 1D →＝(1，－1，－a )，O 1C →＝(0,0，－a )．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面O 1DC 和平面ABCD 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·O 1D →＝0，m ·O 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1－z 1a ＝0，－z 1a ＝0.令x 1＝1，则m ＝(1,1,0)，而n ＝λOA 1→＝(0,0，λa )，故m ·n ＝0，即平面O 1DC 与平面ABCD 的法向量垂直，故平面O 1DC ⊥平面ABCD . (2)解由(1)可知，OE →＝⎝⎛⎭⎫13，0，23a ，AA 1→＝(－1,0，a )， AD →＝BC →＝(－1，－1,0)．设BF →＝γBC →，则BF →＝(－γ，－γ，0)，故点F 的坐标为(－γ，1－γ，0)，∴FE →＝⎝⎛⎭⎫13＋γ，γ－1，23a . EF ⊥AD ⇔FE →·AD →＝0，而FE →·AD →＝－13－γ－γ＋1＝0，解得γ＝13.故当F 为BC 的三等分点(靠近B )时，有EF ⊥AD .点评依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系．跟踪训练4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 的中点，正四棱锥的底面边长为2a ，高为h .(1)求∠DEB 的余弦值；(2)若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求直线与直线所成的角解 (1)如图所示，以V 在底面ABCD 内的正投影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB .由AB ＝2a ，OV ＝h ，知B (a ，a,0)，C (－a ，a,0)，D (－a ，－a,0)，V (0,0，h )，E ⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，h 2. ∴BE →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，－a 2，h 2，DE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，32a ，h 2， ∴cos 〈BE →，DE →〉＝BE →·DE →|BE →||DE →|＝－6a 2＋h 210a 2＋h 2. 即cos ∠DEB ＝－6a 2＋h 210a 2＋h 2.(2)∵BE ⊥VC ，∴BE →·VC →＝0，即⎝⎛⎭⎫－32a ，－a 2，h 2·(－a ，a ，－h )＝0， ∴32a 2－a 22－h 22＝0，∴h ＝2a . 此时cos 〈BE →，DE →〉＝－6a 2＋h 210a 2＋h 2＝－13，即cos ∠DEB ＝－13.1.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角为________．答案 45°解析以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)， E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，F ⎝⎛⎭⎫12，0，12， EF →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－12， DC →＝(0,1,0)，∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角是45°.2．在底面为直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值为________．考点向量法求二面角题点向量法求二面角答案63解析以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，平面SAB 的一个法向量 AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0，并求得平面SCD 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12，则cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝63.即所求锐二面角的余弦值为63. 3.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝2，AA 1＝22，D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且OC ⊥平面ABB 1A 1.(1)证明：BC ⊥AB 1；(2)若OC ＝OA ，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．考点题点(1)证明由题意知tan ∠ABD ＝AD AB ＝22，tan ∠AB 1B ＝AB BB 1＝22，又∠ABD ，∠AB 1B 为三角形的内角，故∠ABD ＝∠AB 1B ，则∠AB 1B ＋∠BAB 1＝∠ABD ＋∠BAB 1＝π2，所以∠AOB ＝π2，即AB 1⊥BD .又CO ⊥平面ABB 1A 1，AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以AB 1⊥CO ，因为BD ∩CO ＝O ，BD ，CO ⊂平面CBD ，所以AB 1⊥平面CBD ，又BC ⊂平面CBD ，所以AB 1⊥BC .(2)解如图，以O 为坐标原点，分别以OD ，OB 1，OC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A ⎝⎛⎭⎫0，－233，0，B ⎝⎛⎭⎫－263，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，0，233，D ⎝⎛⎭⎫63，0，0， AB →＝⎝⎛⎭⎫－263，233，0，AC →＝⎝⎛⎭⎫0，233，233， CD →＝⎝⎛⎭⎫63，0，－233，设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧－263x ＋233y ＝0，233y ＋233z ＝0，令y ＝1，则z ＝－1，x ＝22， ∴平面ABC 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫22，1，－1. 设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则sin α＝|cos 〈CD →，n 〉|＝|CD →·n ||CD →|·|n |＝⎪⎪⎪⎪63×22＋0×1＋⎝⎛⎭⎫－233×(－1)5＝155.一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.56 C.55 D.22 考点题点答案 C解析以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(1,1，3)，D 1(0,0，3)，所以AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)，因为cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→||DB 1→|＝－1＋325＝55.2.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是( )A.3030 B.25 C.－3030D.15考点题点答案 A解析由题设易知，AB ，AD ，AQ 两两垂直．以A 为原点，AB ，AD ，AQ 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2，则A (0,0,0)，E (1,0,0)，M (0,1,2)，F (2,1,0)，EM →＝(－1,1,2)，AF →＝(2,1,0)，cos 〈EM →，AF →〉＝EM →·AF →|EM →|·|AF →|＝－130＝－3030，则异面直线EM 与AF 所成角的余弦值为3030. 3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值是( ) A.33 B.63 C.22D ．1 考点题点答案 B解析以D 1为坐标原点，D 1A 1—→，D 1C 1—→，D 1D →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A 1(2,0,0)，C 1(0,2,0)，D (0,0,2)，B (2,2,2)，且n ＝(1,1,1)是平面A 1C 1D 的一个法向量，因为DB →＝(2,2,0)，所以cos 〈n ，DB →〉＝DB →·n |DB →||n |＝422×3＝63.设DB 与平面A 1C 1D 所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，DB →〉＝63.4．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．75° C ．105°D ．90°考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求直线与直线所成的角答案 D解析建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0， C 1(0，2，0)，B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.5．(2018·贵州贵阳高二检测)如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱P A 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为( )A.23 B.66 C.33 D.63考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角答案 B解析如图，以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (0,3,0)，P (0,0,3)，D (3,3,0)，E (0,2,1)， ∴BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)．设平面BED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝2y ＋z ＝0，n ·BD →＝3x ＋3y ＝0，取z ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1. 又平面ABE 的法向量为m ＝(1,0,0)， ∴cos 〈n ，m 〉＝m ·n |n ||m |＝1262×1＝66.∴平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为66. 6.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°，则二面角A －A 1C －B 的余弦值是( )A.55 B.105 C.155D.22考点题点答案 C解析由题意知AB ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB →，AC →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0.又因为BC →＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，3，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，令y ＝1，则n ＝(3，1,1)．取m ＝AB →＝(1,0,0)为平面AA 1C 的一个法向量，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝3×1(3)2＋1＋1×1＝155.所以二面角A －A 1C －B 的余弦值为155. 二、填空题7.如图所示，在四面体ABCD 中，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为________．考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求直线与直线所成的角答案24解析取BD 的中点O ，连接OA ，OC . 由题意知OA ，OC ，BD 两两垂直，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0,0,1)，所以AB →＝(1,0，－1)，CD →＝(－1，－3，0)， cos 〈AB →，CD →〉＝－12×2＝－24，因为异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，所以AB 与CD 所成角的余弦值是24. 8.如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，OA ＝4，OB ＝3，OP ＝4，OP ⊥底面ABCD .设点M 满足PM →＝λMC →(λ>0)，当λ＝12时，直线P A 与平面BDM 所成角的正弦值是________．考点题点答案1010解析以O 为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则P A →＝(4,0，－4)，DB →＝(0,6,0)，AB →＝(－4,3,0)．当λ＝12时，得M ⎝⎛⎭⎫－43，0，83，所以MB →＝⎝⎛⎭⎫43，3，－83. 设平面DBM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧DB→·n ＝6y ＝0，MB →·n ＝43x ＋3y －83z ＝0，解得y ＝0，令x ＝2，则z ＝1，所以n ＝(2,0,1)．因为cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →||n |＝442×5＝1010，所以直线P A 与平面BDM 所成角的正弦值为1010. 9．(2018·山西太原高二检测)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A＝PD ＝5，平面ABCD ⊥平面P AD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是________．考点向量法求直线与平面所成的角题点向量法求直线与平面所成的角答案88585解析如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系．则B (1,2,0)，C (－1,2,0)，P (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫－12，1，1. ∴BM →＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1. 设平面PCO 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OP →＝(x ，y ，z )·(0，0，2)＝0，n ·OC →＝(x ，y ，z )·(－1，2，0)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＝2y ，取n ＝(2,1,0)．因此直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是 |cos 〈BM →，n 〉|＝|－3－1|172×5＝88585.10.如图，四棱锥F －ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.若CF ⊥平面ABCD ，CF ＝2，则二面角B －AF －D 的大小为________．考点题点答案 π2解析过点A 作AE ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，BD →，AC →，AE →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B ⎝⎛⎭⎫－22，1，0，D ⎝⎛⎭⎫22，1，0，F (0,2,2)．设平面ABF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－22x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0，令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1，所以n 1＝(－2，－1,1)．同理，可求得平面ADF 的一个法向量为n 2＝(2，－1,1)．由n 1·n 2＝0，知平面ABF 与平面ADF 垂直，所以二面角B －AF －D 的大小为π2.11.如图，在棱长为2的正方体AC 1中，点P ，Q 分别在棱BC ，CD 上，B 1Q ⊥D 1P ，且PQ ＝ 2.若P ，Q 分别为BC ，CD 的中点，则二面角C 1－PQ －A 的余弦值是________．考点题点答案－13解析以A 为坐标原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则P (2,1,0)，Q (1,2,0)，C 1(2,2,2)．设平面C 1PQ 的法向量为n ＝(a ，b ，c )．因为PQ →＝(－1,1,0)，PC 1→＝(0,1,2)，又n ·PQ →＝n ·PC 1→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＋2c ＝0.令c ＝－1，则a ＝b ＝2，所以n ＝(2,2，－1)．因为k ＝(0,0,2)为平面APQ 的一个法向量，所以cos 〈n ，k 〉＝－13.因为二面角为钝角，所以所求余弦值为－13.12．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成角的大小为________．考点题点答案 30°解析以A 为坐标原点，AB ，AA 1所在直线为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )，C 1⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ， AB →＝(0，a,0)，AA 1→＝(0,0，2a )， AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a .设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ·AB →＝0且n ·AA 1→＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ay ＝0，2az ＝0，∴y ＝z ＝0.故n ＝(x,0,0)．∴cos 〈AC 1→，n 〉＝n ·AC 1→|n ||AC 1→|＝－x 2|x |，∴|cos 〈AC 1→，n 〉|＝12.又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 三、解答题13.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．考点向量法求直线与平面所成的角题点向量法求直线与平面所成的角解如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以{OB →，OC →，OO 1→}为基底，建立空间直角坐标系Oxyz .因为AB ＝AA 1＝2，所以A (0，－1，0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)．(1)因为P 为A 1B 1的中点，所以P ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，从而BP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，AC 1→＝(0,2,2)，故|cos 〈BP →，AC 1→〉|＝|BP →·AC 1→||BP →||AC 1→|＝|－1＋4|5×22＝31020.因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020.(2)因为Q 为BC 的中点，所以Q ⎝⎛⎭⎫32，12，0，因此AQ →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0，AC 1→＝(0,2,2)，CC 1→＝(0,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AQ →·n ＝0，AC 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋32y ＝0，2y ＋2z ＝0.不妨取n ＝(3，－1,1)．设直线CC 1与平面AQC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈CC 1→，n 〉|＝|CC 1→·n ||CC 1→||n |＝22×5＝55.所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55.14.如图，在四棱锥E －ABCD 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC ∥AB ，BC ⊥CD ，EA ⊥ED ，AB ＝4，BC ＝CD ＝EA ＝ED ＝2.(1)证明：BD ⊥平面AED ；(2)求平面ADE 和平面CDE 所成角(锐角)的余弦值．考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角(1)证明因为BC ⊥CD ，BC ＝CD ＝2，所以BD ＝2 2. 又因为EA ⊥ED ，EA ＝ED ＝2，所以AD ＝2 2. 又因为AB ＝4，由勾股定理知BD ⊥AD . 又因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面AED .(2)解如图，取AD 的中点O ，连接OE ，则OE ⊥AD .因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以OE ⊥平面ABCD .取AB 的中点F ，连接OF ，则OF ∥BD . 因为BD ⊥AD ，所以OF ⊥AD .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则D (－2，0,0)，C (－22，2，0)，E (0,0，2)，DC →＝(－2，2，0)，DE →＝(2，0，2)．设平面CDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DC →·n 1＝0，DE →·n 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x ＋z ＝0，令x ＝1，可得平面CDE 的一个法向量n 1＝(1,1，－1)．又平面ADE 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)．因此|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝33. 所以平面ADE 和平面CDE 所成角(锐角)的余弦值为33. 15.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成的角为90°.(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值．考点题点解 (1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行．延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面P AB )，点M 即为所求的一个点．理由如下：由已知得，BC ∥ED ，且BC ＝ED . 所以四边形BCDE 是平行四边形．从而CM ∥EB .又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ，所以CM ∥平面PBE .(2)由已知得，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥平面P AD .又PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角．所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，AB ∩CD ＝M ，AB ，CD ⊂平面ABCD ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为坐标原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)，设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝2，得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13. 所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.。

如何建立恰当的空间直角坐标系

二、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），
利用自身对称性可建立空间直角坐标系，再写出空间点的坐标。
例 3、已知两个正四棱锥 P－ABCD 与 Q－ ABCD 的高都为 2，AB ＝ 4, 两个正四棱锥底
面重合，试建立适当的直角坐标系，并写出各点坐标．
为零 , 则 C（ 0， 1，0）， M 点在面 xOy 的射影是 A1，因此 M 同 A1 的横坐标和竖坐标相同，
又 M为 A1B1 的中点，故其纵坐标值为
1 ，故 M （ 1， 1 ， 1），同理可得 N （ 1， 1， 1 ） .
2
2
2
z
D1
C1
A1
M
B1
D O A
x
N Cy
B
点评：对于正方体和长方体，可以直接建立右手直角坐标系，再根据棱长写出各点坐标。
由已知，容易得 A （0， 0， 0）， B（0，a， 0）， A 1（0， 0， 2 a），下面重点谈谈如何
计算点 C 的坐标，在平面 ABC 中，过点 C 作直线 AB 的垂线 CD 交 AB 于点 D，过点 C 作
xA 的垂线于点 E,则在等边三角形 ABC 中， AD
1 AB
1 a ，AE
AC cos
如何建立恰当的空间直角坐标系
引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，
只需
建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤
之一．下面通过举例分析建立空间直角坐标系的三个方法．
一、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系

空间几何体建立空间直角坐标系技巧

空间几何体建立空间直角坐标系技巧空间几何体建立空间直角坐标系技巧在空间几何中，建立空间直角坐标系是非常重要的一步。

它能够帮助我们更清晰的看到空间中的几何体，更好地理解空间几何的概念。

本文将探讨如何建立一个空间直角坐标系。

一、基本概念在开始建立坐标系之前，我们需要先了解一些基本概念。

在空间几何中，我们通常使用三个数作为一个点的坐标，其中第一个数表示点在x轴上的位置，第二个数表示点在y轴上的位置，第三个数表示点在z轴上的位置。

我们将这三个数分别称为点的x坐标、y坐标和z坐标，用一个有序三元组(x, y, z)表示。

有了这些基础知识，我们就可以开始建立坐标系了。

二、建立坐标系的基本步骤建立坐标系的主要步骤如下：1.确定坐标轴首先，确定一个点作为坐标系原点。

然后，确定x轴、y轴和z轴的方向。

x轴通常取与yoz平面交点在y轴正半轴上，y轴取与xoz平面交点在x轴正半轴上，z轴取与xy平面交点在x轴和y轴所在平面第一象限中。

2.标出单位长度在确定坐标轴后，需要在每个方向上标出单位长度。

在三维空间中，单位长度可以用一个“1”长度的线段表示，但实际上，我们需要画出更多的线段以便表示更大的距离。

因此，需要选择一个适当的比例尺，使得在较小的范围内可以表示出较大的距离。

3.绘制坐标平面接下来，我们需要在每个坐标轴上绘制坐标平面。

x轴和y轴的交点是坐标平面xy，y轴和z轴的交点是坐标平面yz，x轴和z轴的交点是坐标平面xz。

在这些坐标平面上，我们可以确定几何体各点的坐标。

4.确定坐标最后，根据需要，确定空间几何体的坐标。

将每个点的坐标写成一个有序三元组(x, y, z)，表示该点在x轴、y轴和z轴上的位置。

在确定每个点的坐标后，我们可以方便地绘制几何体，并进行各种运算。

三、小结本文介绍了建立空间直角坐标系的基本步骤。

通过这些步骤，可以方便地确定空间几何体的坐标，并进行各种运算。

建立坐标系的过程需要认真细致，希望通过本文的介绍，能够对读者有所帮助。

建立空间直角坐标系建系的方法及技巧

建立空间直角坐标系建系的方法及技巧在数学和物理领域中，空间直角坐标系是一个重要的工具，用于描述和分析三维空间中的位置和运动。

建立空间直角坐标系的方法和技巧可以总结如下：1.空间直角坐标系的三个轴：在空间直角坐标系中，三个轴通常被命名为x轴，y轴和z轴。

要建立一个坐标系，首先需要确定这三个轴的方向和位置。

通常情况下，我们可以选择x轴为水平方向，y轴为垂直于x轴的水平方向，z轴为垂直于x和y轴的竖直方向。

这样就建立了一个右手坐标系，其中x和y轴构成一个平面，z轴垂直于该平面。

2.坐标轴的标定：确定了轴的方向和位置后，就需要对坐标轴进行标定。

标定的目的是为了确定每个轴的起点和单位长度。

通常情况下，我们可以选择x轴起点为原点O，y轴起点为O点到x轴正向的一个单位长度，z轴起点为O点在x-y平面上的投影到z轴上的一个单位长度。

标定完成后，就可以根据需要选择适当的比例来表示不同长度的点和线段。

3.坐标的表示和读取：在空间直角坐标系中，任意一个点的位置都可以用一组坐标来表示。

坐标是一个有序的数对或数组，一般表示为(x,y,z)，其中x表示点在x轴上的投影距离原点的长度，y表示点在y轴上的投影距离原点的长度，z表示点在z轴上的投影距离原点的长度。

在读取坐标时，先读取x轴上的坐标，再读取y轴上的坐标，最后读取z轴上的坐标。

4.坐标系的旋转和平移：空间直角坐标系可以通过旋转和平移来与物体的实际位置和方向相适应。

旋转可以改变坐标系中的轴的方向和位置，平移可以改变坐标系中的原点位置。

要进行旋转和平移操作，可以通过矩阵变换的方法或向量运算的方法来实现。

5.坐标系的投影：在进行建立空间直角坐标系时，我们通常需要将三维空间中的物体投影到一个二维平面上进行观察和分析。

投影可以是正交投影或透视投影。

正交投影是指物体在投影过程中保持平行关系，透视投影是指物体在投影过程中呈现出透视效果。

根据具体需求，可以选择适当的投影方式。

6.坐标系的缩放和变换：在实际问题中，我们经常需要将物体的大小和形状进行缩放和变换。

空间直角坐标系的建立

解：由图形可知，M点在正方体的上底面，所以M点的竖坐标与D′的竖坐标相同，M在面BCC′B′上，得到点的纵坐标为3a，因为 CM 2 MB ，所以M点的横坐标是2a，所以M点的坐标是（2a，3a，3a）
.
1．空间直角坐标系的概念． 2．空间直角坐标系的画法． 3．运用空间直角坐标系表示空间点的坐标．
坐标.
D¢(0, 0, 2) A¢(3, 0, 2) B¢(3, 4, 2) C(0, 4, 0)
z D'
A' O
xA
C' B'
Cy B
.
例2．在空间直角坐标系中作出点P(3,-2,4).
解:先确定点P′(3,-2,0)在xOy平面上的位置.
因为点P的z坐标为4, 则|P′P|=4，且点P和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就确定了点P在空间直角坐标系中的位置,如图所示.
.
例1 如图点P′在x轴正半轴上，|OP′|=2,P′P 在xOz平面上，且垂直于x轴，|P′P|=1，求点P′ 和P的坐标. 解：点P′的坐标为（2,0,0）,点P的坐标为(2,0,1)或(2,0,-1).
.
【变式练习】
在长方体OABC-D′A′B′C′中， |OA|=3,
|OC|=4, |OD′|=2,写出D′，A′，B′，C四点的
.
探究点2 空间直角坐标系中点的坐标思考1：有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？
z
c
o
a
x
Ａ(a,b,c) b
y
.
提示:经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和 z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序实数对（a,b,c)叫作点Ａ的坐标. 记为Ａ（a,b,c).