课标通用版2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第11讲函数模型及其应用检测文

第11讲 函数模型及其应用

[基础题组练]

1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )

解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．

2．某市家庭煤气的使用量x (m 3

)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝

⎩

⎪⎨⎪⎧C ，0A .已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：

A ．12.5元

B ．12元

C ．11.5元

D ．11元

解析：选 A.由题意得C ＝4.将(25，14)，(35，19)代入f (x )＝4＋B (x －A )，得

⎩⎪⎨⎪⎧4＋B （25－A ）＝14，4＋B （35－A ）＝19，解得⎩

⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝12

.所以f (x )＝⎩

⎪

⎨⎪⎧4，0

4＋12

（x －5），x >5.故当x ＝22时，f (22)＝12.5.故选A.

3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )

A ．5千米处

B ．4千米处

C ．3千米处

D ．2千米处

解析：选A.设仓库应建在离车站x 千米处．因为仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距

离成反比，所以令反比例系数为m (m >0)，则y 1＝m x .当x ＝10时，y 1＝m

10＝2，所以m ＝20.因

为每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n (n >0)，则y 2＝nx .当x ＝10时，y 2＝10n ＝8，所以n ＝45.所以两项费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋4x

5≥

2

20x ·4x 5＝8，当且仅当20x ＝4x

5

，即x ＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A.

4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e

－kt

(k ，P 0均为正的常数)．如果在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排

放前至少还需要过滤的时间是( )

A.1

2小时 B.5

9小时 C ．5小时

D ．10小时

解析：选C.由题意，前5小时消除了90%的污染物．因为P ＝P 0e －kt

，所以(1－90%)P 0

＝P 0e

－5k

，所以0.1＝e

－5k

.设废气中污染物含量为1%所需过滤时间为t ，由1% P 0＝P 0e

－kt

，即

0.01＝e －kt

，得e

－kt

＝(0.1)2

＝(e －5k )2

＝e

－10k

，所以t ＝10，所以排放前至少还需过滤t －5＝

5(小时)．故选C.

5．(2019·河北武邑中学月考)已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数且a >0)，广告效应为D ＝a A －A .那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)

解析：由题意得D ＝a A －A ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫A －a 22

＋a 24，且A ≥0，所以当A ＝a 2，即A ＝a 2

4时，

D 最大．

答案：a 2

4

6.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2，若要使S 最大，则y ＝____________．

解析：由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，S ＝(x －2)a ＋(x －3)×b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)×

y －3

3＝1 808－3x －83y ＝1 808－3x －83×1 800

x

＝1 808－⎝ ⎛⎭

⎪⎫3x ＋4 800x ≤1 808－2

3x ×4 800x ＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800

x

，即x ＝

40时取等号，所以当S 取得最大值时，y ＝1 800

40

＝45.

答案：45

7．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝

⎛⎭

⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2

)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6

W/m 2

，求其声强级；

(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？

解：(1)当声强为10－6

W/m 2

时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭

⎪⎫10－6

10－12＝10lg 106

＝60(分

贝)．

(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭

⎪⎫I 10－12

得10lg ⎝

⎛⎭

⎪⎫I 10－12＝0. 所以I

10－12＝1，即I ＝10

－12

W/m 2

，

则最低声强为10

－12

W/m 2

.

8．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4

v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．

(1)当0

(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．

解：(1)由题意得当0

⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，

4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1

8，b ＝52，

所以v ＝－18x ＋5

2

，

故函数v ＝⎩⎪⎨⎪

⎧2，0

，4

(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝