北京中考数学说明解读

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北京2023年中考数学题型分析及知识点复习(含练习和答案)

北京2023年中考数学题型分析及知识点
复习(含练习和答案)
引言
北京市的中考是全市初中毕业生的重要考试，其数学科目一直
是需要花费大量时间和精力进行复的科目之一。

为了帮助考生更好
地备战中考数学科目，本文将对2023年中考的数学题型进行分析，并提供相应的知识点复资料，包括练和答案。

数学题型分析
选择题
选择题是中考数学试卷中的基础题型，分为单选和多选两种形式。

其中，单选题每题1分，多选题每题2分。

选择题在中考数学
试卷中占比较大。

填空题
填空题也是中考数学试卷中的常见题型，通常需要填写数字或者符号。

填空题比较注重考察考生对知识点的掌握程度和对整个数学知识体系的理解。

填空题每题2分。

解答题
解答题是中考数学试卷中的重点，需要考生理解和掌握知识，并运用知识进行解题。

解答题每题4-10分不等。

知识点复资料
为了帮助考生更好地备战中考数学科目，我们提供以下知识点复资料，包括练和答案：
- 代数式的基本性质
- 一元一次方程式的解法
- 整式的加、减、乘、除
- 相似三角形的性质
- 平面图形的面积和周长计算
- 空间图形的表面积和体积计算
- 统计图及其应用
- 随机事件及概率的计算
结论
中考数学是考生普遍认为比较难的科目之一，考生需要花费大
量时间和精力进行复。

本文对2023年中考的数学题型进行了分析，并提供相应的知识点复资料，希望能够帮助考生有针对性地进行复
和备考。

2021北京数学中考26题第2问解析

2021年北京数学中考26题第2问解析1. 题目描述在2021年北京市中考数学试卷的第26题中，第2小题要求考生使用定积分的概念来求解函数f(x)的定积分。

具体来说，要求考生计算函数f(x)=x^2+2在区间[1,3]上的定积分值。

这个题目涉及到了定积分的计算以及函数曲线下的面积，对学生的数学综合能力提出了一定的挑战。

2. 题目分析我们需要理解定积分的概念和计算方法。

定积分是微积分中的一个重要内容，它可以用来计算函数曲线下的面积以及求解定积分方程。

在这个题目中，需要根据函数f(x)在区间[1,3]上的图像，计算出曲线与x 轴之间的面积，即定积分的值。

这需要考生对函数的图像有一定的理解，并且能够运用定积分的计算方法来解题。

3. 解题步骤要解决这个题目，首先需要求出函数f(x)在区间[1,3]上的曲线图像。

可以通过计算函数在该区间上的导函数来找到函数的极值点和拐点，从而确定曲线的凹凸性和大致形状。

根据函数在该区间上的图像，可以确定定积分的计算范围和方法。

利用定积分的计算公式，求解出函数f(x)在区间[1,3]上的定积分值。

4. 个人观点对于这样的定积分计算题目，我认为重点在于对函数图像的理解和计算方法的灵活运用。

通过练习和掌握相关的定积分计算技巧，可以更加轻松地解决这类题目。

另外，定积分的概念和应用也是数学学习中的一个重要环节，它不仅对数学理论有所贡献，还在实际问题的求解中具有重要的作用。

5. 总结2021年北京数学中考26题第2问是一个涉及定积分计算的题目，考查了考生对定积分概念和计算方法的掌握程度。

通过对题目的深入分析和解答，可以帮助考生更好地理解定积分的应用和意义，从而提高数学解题能力和综合运用能力。

希望学生能够在学习中多加练习，提高对定积分的理解和应用水平。

定积分是微积分中的重要内容，它不仅可以用来计算函数曲线下的面积，还可以应用于求解几何和物理问题，因此在数学学习中具有重要的地位。

在解决定积分计算题目时，我们需要对函数的图像有一定的理解，并且能够灵活运用定积分的计算方法。

名师解读：北京中考说明之数学

名师解读：2019年北京中考说明之数学一、2019年北京数学中考的变化1.一个降低：平方根、算术平方根、立方根、近似数和科学记数法等部分降低了考试要求2.一个删除：删除了“圆锥的侧面积和全面积”的部分要求以及“角与角平分线”要求中的“估计角的大小”等内容；3.一个调整：相反数的要求、整式的加法和减法的要求、二次函数的要求、图形的轴对称的要求等内容有所调整。

二、2019年中考的分析与预测1.从中考说明的变化可以看出几个细节：①算术平方根、科学记数法出现的“偏、难、怪题”，比如根号4的算术平方根是多少、1015万用科学计数法表示保留2位有效数字是多少，等等这样的题2019年可能不再考察；②已知圆锥的底面半径和母线求圆锥侧面积等，与圆锥侧面积全面积相关的题目不再考察；③从变化中的“降低”、“删除”、“调整”(调整不增加难度)可预测，2019年中考整体难度可能会下降。

2.从中考说明及近三年中考试题的变化可以看出：①中档题的难度在下降，比如2019年第20题圆的两问小综合题的难度降低了，同时第19题也从考察梯形转变到考察平行四边形；②从2019-2019年连续三年，压轴题第25题均综合考察了圆的知识，尤其对于线与圆的位置关系比较侧重，综合压轴题中圆的考察仍会持续；③中考整体难度可能会下降，主要体现在第8题、第12题、第22题的难度可能会有所下降，同时为了体现中考的分层选拔作用，仍会保持第23、24、25题这三道压轴题最后一问的难度；三.2019年中考数学的复习建议1.注重基础，全面突破中考仍注重考查初中数学的基本知识、基本技能和基本思想方法，同时注重各个知识点的综合运用，因此，同学们在复习时不能有任何知识点上的漏洞，我们的中考一轮复习就是对初中数学基础知识的全面把握，同时体现各个知识点的综合运用；2.加强对“圆”的理解与运用加强对圆的概念、性质、圆周角、线圆位置关系等知识点的掌握与运用，我们的中考一轮二轮复习的课程均对“圆”作了重点讲解与剖析；3.加强对压轴题的训练压轴题最能体现能力差异与分数层次，其难度与地位“江山不倒”，同学们不仅要反复练习，还应该多总结方法，针对自己的薄弱环节逐个击破，我们的中考二轮复习及点睛冲刺等课程均以压轴题为核心，真正解决同学们中考数学的关键问题。

北京中考数学定义总结(3篇)

北京中考数学定义总结第1篇二元一次方程组1、定义：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的解法(1)代入法由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。

(2)因式分解法在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采用因式分解法通过消元降次来解。

(3)配方法将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。

(4)韦达定理法通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

(5)消常数项法当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解。

解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

(1)转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式)(2)系数化1：将二次项系数化为1(3)移项：将常数项移到等号右侧(4)配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方(5)变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式(6)开方：左右同时开平方(7)求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

代数式1、代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2、整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

北京市中考数学考试说明及详细解读新人教版

一、考试范围数学学科考试以教育部颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的“课程目标”与“内容标准”的规定为考试范围，参考《义务教育数学课程标准（2011年版）》的理念和精神，适当兼顾北京市现行不同版本教材和教学实际情况。

二、考试内容和要求考试内容是指《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中所规定的学习内容。

关于考试内容的要求划分为A、B、C三个层次。

A：能对所学知识有基本的认识，能举例说明对象的有关特征，并能在具体情境中进行辨认，或能描述对象的特征，并能指出此对象与有关对象的区别和联系。

B：能在理解的基础上，把知识和技能运用到新的情境中，解决有关的数学问题和简单的实际问题。

C：能通过观察、实验、推理和运算等思维活动，发现对象的某些特征及与其他对象的区别和联系；能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法，实现对特定的数学问题或实际问题的分析与解决。

数学学科中考注重考查初中数学的基础知识、基本技能和基本思想方法；考查数感、符号感、空间观念、统计观念、运算能力、推理能力、发现问题和分析解决问题的能力，以及应用意识等。

考试内容和考试要求细目表考试内容考试要求A B C数与代数数与式有理数理解有理数的意义能比较有理数的大小无理数了解无理数的概念能根据要求用有理数估计一个无理数的大致范围平方根、算术平方根了解开方与乘方互为逆运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方运算的方法，求某些数的立方根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点一一对应相反数会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意掌握相反数的性质义，会求实数的相反数绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题和计算问题有理数运算理解乘方的意义掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；能运用有理数的运算解决简单的问题能运用的有理数的运算解决简单问题运算律理解有理数运算律能用运算律简化有理数运算近似数和科学记数法了解近似数的概念；会用科学记数法表示数在解决实际问题中，能按问题的要求对结果取近似值代数式了解代数式，理解用字母表示数的意义能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；能解释一些简单代数式的实际意义或几何意义代数式的值了解代数式的值的概念会求代数式的值；能根据代数式的值或特征，推断这些代数式反映的规律能根据特定的问题所提供的资料，合理选用知识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值整式了解整式的有关概念整式的加减运算理解整式加法和减法运算的法则会进行简单的整式加法和减法运算能运用整式的加法和减法运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题整数指数幂了解整数指数幂的意义和基本性质能用幂的性质解决简单问题整式的乘法理解整式乘法的运算法则，会进行简单的整式乘法运算会进行简单的整式乘法与加法的混合运算能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形平方差公式、完全平方公式理解平方差公式、完全平方公式，了解其几何背景能利用平方差公式、完全平方公式进行简单计算能根据需要，运用公式进行相应的代数式的变形因式分解了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系会用提公因式、公式法（直接利用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）能运用因式分解的知识进行代数式的变形，解决有关问题分式的概了解分式的概念，能能确定使分式的值为一元二次方程了解一元二次方程的概念，理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会运用一元二次方程解决简单的实际问题不等式（组）了解不等式的意义能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组）不等式的性质理解不等式的基本性质会利用不等式的性质比较两个实数的大小解一元一次不等式（组）了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式解决简单问题函数函数及其图象了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；能举出函数的实例；会确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值能用适当的函数表示法刻画简单问题中变量之间的关系能探索具体问题中的数量关系和变化规律，并用函数加以表示；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析一次函数理解正比例函数；了解一次函数的意义，会画出一次函数的图像；理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题反比例函数了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质能根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解问题空间与图形图形与证明命题了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；了解反例的作用，知道列举反例可以判断一个命题是假命题推理与证明理解证明的必要性；了解反证法的含义掌握用综合法证明的格式，证明的过程要步步有据会用归纳和类比进行简单的推理图形与坐标平面直角坐标系认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；了解特殊位置的点的坐标特征能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；会由点的特殊位置，求点的坐标中相关字母的范围；会求点到坐标轴的距离；在同一直角坐标系中，会求图形变换后点的坐标灵活运用不同的方式确定物体在坐标平面内的位置图形的认识立体图形、视图和展开图会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）；能根据三视图描述基本几何体；了解直棱柱、圆锥的侧面展开图；了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）三者之间的关系；观察与现实生活有关的图片，并能对其几何图形的形状、大小和相互位置会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述实物原型；能根据直棱柱、圆锥的展开图判断立体图形作简单的描述中心投影与平行投影了解中心投影和平行投影线段、射线和直线会表示点、线段、射线、直线，知道它们之间的联系与区别；结合图形理解两点之间距离的概念；会比较两条线段的大小，并能进行与线段有关的简单计算会用尺规作图：作一条线段等于已知线段，作线段的垂直平分线；会用线段中点的知识解决简单问题；结合图形认识线段间的数量关系会运用两点之间的距离解决有关问题注：对于尺规作图题，要求会写已知、求作和作法。

薛老师——2022年北京市中考数学试题深度解析

薛老师——2022年北京市中考数学试题深度解析2022年北京中考数学试卷直到昨天（7月1日）才姗姗来迟，之前已经解析了最后三道题，和原卷对比，除了极个别语言描述之外，题意都是完全符合的：2022北京中考几何压轴题解析2022北京中考新定义试题解析2022北京中考数学压轴试题解析本文对其余试题进行简要的解析。

所用试题来自网络，可能存在图片不清晰导致的错误，如有发生，请以官方版本为准。

2018年的北京中考数学试卷分值分布格式已经有所调整：全卷满分100分，28道题目。

其中选择题8道题，每题2分，共16分；填空题8道题，每题2分，共16分；解答题12道题，共计68分。

今年依然沿袭这样的分值分布。

所有解析均为原创，转载/引用请注明出处。

严禁抄袭。

时间仓促，知识与能力有限，错误之处在所难免，敬请批评指正。

第〇部分概述2022年中考试题的一个显著变化是，新函数图象或者函数应用类型的图目，重新回到试卷中来。

而21年20，北京中考试卷格式则经历了一次小小的波折，春节前明确21年20北京中考数学试卷将从28题改为25题，期末考试各城区多是按照25题命制试卷，春节后下达新消息，要求按照年2020试卷格式，28道题不变，但是取消了新函数图象这个类型的题目。

第一部分选择题选择题每题2分，8道题，共16分。

选择题第1题几何体【解析】小学题，简单几何题，选B。

选择题第2题科学计数法【解析】必考题，科学计数法，不用计算，选B。

选择题第3题角度【解析】对顶角相等。

选A。

选择题第4题数轴【解析】选D。

数轴的理解与应用。

选择题第5题概率【解析】4种情况，红绿、红红、绿红、绿绿，选A。

选择题第6题判别式应用【解析】判别式的应用，选C。

选择题第7题估值【解析】选D。

选择题第8题函数图象题【解析】选A。

与前两年的试题相比，本题由一个函数关系变为三个函数关系，算是稍微有了一些变化。

第二部分填空题填空题每题2分，8道题，共16分。

填空题第9题二次根式【解析】答案：x≥8.看看去年的题目：填空题第10题估值计算【解析】答案：x(y+1)(y-1). 看看去年的题目：填空题第11题分式方程【解析】口算就行，x=5，记得检验. 看看去年的题目：填空题第12题反比例函数【解析】＞。

2021年北京市中考数学试卷及答案解析

2021年北京初中学考数学试题解析【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】本题选A。

【解析】【解析】答案为2:3,1/2.第三部分解答题解答题第17题混合运算【解析】作图题的新花样，创新型试题，和海淀一模的“圭表”试题很相似，有画图，有依据填空。

本题是等腰三角形三线合一的性质。

【解析】【解析】1）平四的判定与证明，两组对边分别平行；2）Rt△BEF三边之比为3:4:5，EF=CE=AD。

这道题中规中矩，虽然是知识点交汇处命题，但是整体难度不大。

【解析】1）函数图象平移，高频考点，y=1/2x-1；解答题第24题圆综合题【解析】真的是比较简单的一道题。

（1）角度相等，垂径定理的应用；（2）OE为△BCG的中位线，△OAF∽△GCF可得线段长。

这道题没有切线的相关考察。

【解析】1）数一数，第13个数字为10.1，故m=10.1；2）p1=12，乙城市平均是11.0，中位数11.5，平均数低于中位数，则一定有p1＜p2；3）采用平均数计算即可，11.0x200=2200（百万元）。

第四部分压轴题题【解析】短小精悍的一道题。

【解析】（1）很简单的一问，基础题型，但是一个小问题其实是两个问题。

（2）有些难度的问题，虽然也是中点类型。

可以采取不同的思路进行。

方法一：同一法设DE的中点为H，连接AH，连接MH并延长交AB于G。

可证△AMC∽△AHD，△ADC∽△AHM，于是∠AMH=∠ACD，则点∠AMH+∠BAM=90°，于是可得点H在FM上，即点H、N重合，问题得证。

方法二：辅助圆可证∠AMN=∠C=∠AOD，可得辅助圆如图所示，有∠AND=∠AMD=90°，问题得证。

字型造全等【解析】（1）比较简单，如图所示，可得结论。

（2）也可以看做是作图题。

如图，可得点A的纵坐标。

（3）难度最大的一问，需要借助特殊位置进行分析。

先来分析最小值，AC=AC'=2，而圆O的直径为2，于是可作草图，再作圆A，进而确定点B和B'，此时OA最小值为1，且BC长为根号3；再来确定最大值。

北京中考数学考点梳理

北京中考数学考点梳理一、数与式一)有理数1、有理数的分类法则是把有理数按一定的标准分成三类：按定义、性质分成整数和分数；按符号分成正数、负数和零；按绝对值大小分成正有理数和负有理数．2、有理数的运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的．3、有理数的运算律包括加法运算律和乘法运算律．二)实数1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．2、算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．3、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．4、无理数的概念是由无限不循环小数引出的．初中阶段只研究实数，所以初中阶段学的无理数都是无限不循环小数．5、实数的运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的．6、实数的运算律包括加法运算律和乘法运算律．三)代数式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式．2、代数式的求值要先化简，即化简为最简代数式．化简的方法根据已知条件来确定．二、方程(组)与不等式(组)一)方程(组)1、一元一次方程的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a0)．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．2、解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1.中考语文考点梳理中考语文考点众多，涵盖了语文知识、文学常识、文化素养、语言表达等多个方面。

本文将重点对中考语文的一些重要考点进行梳理，帮助考生更好地备考中考语文。

一、基础知识基础知识是中考语文的重要组成部分，包括字音、字形、词语辨析、成语辨析、修辞手法、文学常识等。

考生需要熟练掌握这些基础知识，以便在考试中准确理解和运用。

二、阅读理解阅读理解是中考语文的必考题型，主要考查考生对文本的理解能力和分析能力。

名师解读：北京中考说明之数学-精选学习文档

2022年北京中考数学试卷含答案解析

2022年北京中考数学试卷含答案解析第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下面几何体中，是圆锥的为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案．【详解】解：A 选项为圆柱，不合题意；B 选项为圆锥，符合题意；C 选项为三棱柱，不合题意；D 选项为球，不合题意；故选B ．【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥．2.截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学计数法表示应为（）A.1026.288310 B.112.6288310 C.122.6288310 D.120.26288310 【答案】B 【解析】【分析】将262883000000写成11100 na a ，n 为正整数的形式即可．【详解】解：将262883000000保留1位整数是2.62883，小数点向左移动了11位，∴262883000000112.6288310 ，故选B ．【点睛】本题考查用科学计数法表示绝对值大于1的数，掌握11100 na a 中n 的取值方法是解题的关键．3.如图，利用工具测量角，则1 的大小为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A 【解析】【分析】利用对顶角相等求解．【详解】解：量角器测量的度数为30°，由对顶角相等可得，130 ．故选A ．【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．4.实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A. 2a ＜B.1b ＜C.a b ＞D.a b＞【答案】D 【解析】【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．【详解】解：点a 在-2的右边，故a >-2，故A 选项错误；点b 在1的右边，故b >1，故B 选项错误；b 在a 的右边，故b >a ，故C 选项错误；由数轴得：-2<a <-1.5，则1.5<-a <2，1<b <1.5，则a b ＞，故D 选项正确，故选：D ．【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A.14 B.13C.12D.34【答案】A 【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A ．【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．6.若关于x 的一元二次方程20x x m 有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A.4B.14C.14D.4【答案】C 【解析】【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m 的方程，解答即可．【详解】∵一元二次方程20x x m 有两个相等的实数根，∴∆=0，∴2140m ，解得14m，故C 正确．故选：C ．【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．7.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A.1B.2C.3D.5【答案】D【解析】【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．【详解】解∶如图，一共有5条对称轴．故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．8.下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A【解析】【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定．【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 随放水时间x 的增大而减小，故②可以利用该图象表示；③设绳子的长为L ，一边长x ，则另一边长为12L x ，则矩形的面积为：21122y L x x x Lx，故③不可以利用该图象表示；故可以利用该图象表示的有：①②，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________．【答案】x ≥8【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x -8≥0，然后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：x -8≥0，解得：x ≥8．故答案为：x ≥8．0)a 是解题的关键．10.分解因式：2xy x ______．【答案】 11x y y 【解析】【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x21x y11x y y 故答案为： 11x y y ．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．11.方程215x x的解为___________．【答案】x =5【解析】【分析】观察可得最简公分母是x (x +5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．【详解】解：215x x方程的两边同乘x (x +5),得：2x =x +5,解得：x =5,经检验：把x =5代入x (x +5)=50≠0.故原方程的解为：x =5【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根，12.在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）【答案】＞【解析】【分析】根据反比例函数的性质，k >0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵k >0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，25∵＜，∴1y >2y ．故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．13.某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双．【答案】120【解析】【分析】根据题意得：39码的鞋销售量为12双，再用400乘以其所占的百分比，即可求解．【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240012040双．故答案为：120【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据题意得到39码的鞋销售量为12双，销售量最高是解题的关键．14.如图，在ABC 中，AD 平分,.BAC DE AB 若2,1,AC DE 则ACD S ____．【答案】1【解析】【分析】作DF AC 于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC 于点F ，∵AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，∴1DF DE ，∴1121122ACD S AC DF．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．15.如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ，则AE 的长为_______．【答案】1【解析】【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ，∴14AE AF BC FC ，2222534BC AC AB ，∴144AE ，∴1AE ，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．16.甲工厂将生产的I 号、II 号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，每个包裹的重量及包裹中I 号、II 号产品的重量如下：包裹编号I 号产品重量/吨II 号产品重量/吨包裹的重量/吨A 516B 325C 235D 437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II 号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．【答案】①.ABC （或ABE 或AD 或ACD 或BCD ）②.ABE 或BCD【解析】【分析】（1）从A ，B ，C ，D ，E 中选出2个或3个，同时满足I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II 号产品最多的方案即可．【详解】解：（1）根据题意，选择ABC 时，装运的I 号产品重量为：53210 （吨），总重6551619.5 （吨），符合要求；选择ABE 时，装运的I 号产品重量为：53311 （吨），总重6581919.5 （吨），符合要求；选择AD 时，装运的I 号产品重量为：549 （吨），总重671319.5 （吨），符合要求；选择ACD 时，装运的I 号产品重量为：52411 （吨），总重6571819.5 （吨），符合要求；选择BCD 时，装运的I 号产品重量为：3249 （吨），总重5571719.5 （吨），符合要求；选择DCE 时，装运的I 号产品重量为：4239 （吨），总重7582019.5 （吨），不符合要求；选择BDE 时，装运的I 号产品重量为：34310 （吨），总重5782019.5 （吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC 或ABE 或AD 或ACD 或BCD ．故答案为：ABC （或ABE 或AD 或ACD 或BCD ）．（2）选择ABC 时，装运的II 号产品重量为：1236 （吨）；选择ABE 时，装运的II 号产品重量为：1258 （吨）；选择AD 时，装运的II 号产品重量为：134 （吨）；选择ACD 时，装运的II 号产品重量为：1337 （吨）；选择BCD 时，装运的II 号产品重量为：2338 （吨）；故答案为：ABE 或BCD ．【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：0(1)4sin 45 3.【答案】4【解析】【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．【详解】解：0(1)4sin 45 3.2=1432=4．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．18.解不等式组：274,4.2x x xx【答案】14x 【解析】【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．【详解】解：274 4 2x x xx①②解不等式①得1x ，解不等式②得4x ，故所给不等式组的解集为：14x ．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．19.已知2220x x ，求代数式2(2)(1)x x x 的值．【答案】５【解析】【分析】先根据2220x x ，得出222x x ，将2(2)(1)x x x 变形为2221x x ，最后代入求值即可．【详解】解：∵2220x x ，∴222x x ，∴2(2)(1)x x x 22221x x x x 2241x x 2221x x 2215【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将2(2)(1)x x x 变形为2221x x ，是解题的关键．20.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ABC ,求证：180.A B C 方法一证明：如图，过点A 作.DE BC ∥方法二证明：如图，过点C 作.CD AB ∥【答案】答案见解析【解析】【分析】选择方法一，过点A 作//DE BC ，依据平行线的性质，即可得到B BAD ，C EAC ，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180 ．【详解】证明：过点A 作//DE BC ，则B BAD ，C EAC ．(两直线平行，内错角相等）∵点D ，A ，E 在同一条直线上，180DAB BAC C ．（平角的定义）180B BAC C ．即三角形的内角和为180 ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．21.如图，在ABCD 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF ．（1）求证：四边形EBFD 是平行四边形；（2）若,BAC DAC 求证：四边形EBFD 是菱形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据四边形ABCD 为平行四边形，得出AO CO ，BO DO ，再根据AE CF ，得出EO FO ，即可证明结论；（2）先证明DCA DAC ，得出DA DC ，证明四边形ABCD 为菱形，得出AC BD ，即可证明结论．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO CO ，BO DO ，∵AE CF ，∴AO AE CO CF ，即EO FO ，∴四边形EBFD 是平行四边形．【小问2详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ，∴DCA BAC ，∵,BAC DAC ∴DCA DAC ，∴DA DC ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ，即EF BD ，∵四边形EBFD 是平行四边形，∴四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．22.在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k 的图象经过点(4,3)，(2,0) ，且与y 轴交于点A ．（1）求该函数的解析式及点A 的坐标；（2）当0x 时，对于x 的每一个值，函数y x n 的值大于函数(0)y kx b k 的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）112y x ，(0,1)（2）1n 【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x 时，求出y 即可求解．（2）根据题意112x n x 结合0x 解出不等式即可求解．【小问1详解】解：将(4,3)，(2,0) 代入函数解析式得，3=402k b k b，解得121k b，∴函数的解析式为：112y x ，当0x 时，得1y ，∴点A 的坐标为(0,1)．【小问2详解】由题意得，112x n x，即22x n ，又由0x ，得220n ，解得1n ，∴n 的取值范围为1n ．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关系．23.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．【答案】（1）8.6（2）甲（3）乙【解析】【分析】（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解．（2）根据方差的计算方法先算出甲乙的方差，再进行比较即可求解．（3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲乙丙的平均分，再进行比较即可求解．【小问1详解】解：丙的平均数：101010998398108.610，则8.6m ．【小问2详解】2222212(8.68)4(8.69)2(8.67)2(8.610) 1.0410S甲，222214(8.67)4(8.610)2(8.69) 1.8410S乙，22S S ∵甲乙，∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，故答案为：甲．【小问3详解】由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：甲：889799910=8.6258 ，乙：77799101010=9.758 ，丙：10109989810=9.1258，∵去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高，因此最优秀的是乙，故答案为：乙．【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取信息，掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键．24.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，,AB CD 连接,.AC OD （1）求证：2;BOD A （2）连接DB ,过点C 作,CE DB 交DB 的延长线于点E ，延长,DO 交AC 于点F ，若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为O 的切线．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设AB 交CD 于点H ，连接OC ，证明Rt COH Rt DOH ，故可得COH DOH ，于是 BCBD ，即可得到2BOD A ；（2）连接，解出60COB ，根据AB 为直径得到90ADB ，进而得到60ABD ，即可证明//OC DB ，故可证明直线CE 为O 的切线．【小问1详解】证明：设AB 交CD 于点H ，连接OC ，由题可知，OC OD ，90OHC OHD ，OH OH ∵，Rt COH Rt DOH HL ，COH DOH ，BCBD ，COB BOD ，2COB A ∵，2BOD A ；【小问2详解】证明：连接AD ，OA OD ∵，OAD ODA ∴，同理可得：OAC OCA ,OCD ODC ，∵点H 是CD 的中点，点F 是AC 的中点，OAD ODA OAC OCA OCD ODC ，180OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∵，30OAD ODA OAC OCA OCD ODC ，223060COB CAO ，AB Q 为O 的直径，90ADB ，90903060ABD DAO ，60ABD COB ，//OC DE ，CE BE Q ，CE OC ，直线CE 为O 的切线．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．25.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a ．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m 02581114竖直高度y /m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0);y a x h k a （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.04(9)23.24.y x 记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为2d ，则1d ______2d （填“>”“=”或“<”）．【答案】（1）23.20m ； 20.05823.20y x （2）＜【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h 、k 的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a 的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为t ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t 表示出1d 和2d ，然后进行比较即可．【小问1详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为： 8,23.20，∴8h ，23.20k ，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m ，根据表格中的数据可知，当0x 时，20.00y ，代入 2823.20y a x 得：220.000823.20a ，解得：0.05a ，∴函数关系关系式为： 20.05823.20y x ．【小问2详解】设着陆点的纵坐标为t ，则第一次训练时， 20.05823.20t x ，解得：8x 或8x ，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离18d ，第二次训练时， 20.04923.24t x ，解得：9x 9x∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离29d ，∵ 2023.202523.24t t ＜，，∴12d d ＜．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t ，用t 表示出1d 和2d ，是解题的关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,),(3,)m n 在抛物线2(0)y ax bx c a 上，设抛物线的对称轴为.x t （1）当2,c m n 时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点00(,)(1)x m x 在抛物线上，若,m n c 求t 的取值范围及0x 的取值范围．【答案】（1）（0，2）；2（2）t 的取值范围为322t ，0x 的取值范围为023x 【解析】【分析】（1）当x =0时，y =2，可得抛物线与y 轴交点的坐标；再根据题意可得点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t 对称，可得t 的值，即可求解；（2）抛物线与y 轴交点关于对称轴x t 的对称点坐标为（2t ，c ），根据抛物线的图象和性质可得当x t 时，y 随x 的增大而减小，当x t 时，y 随x 的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时；当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，即可求解．【小问1详解】解：当2c 时，22y ax bx ，∴当x =0时，y =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标为（0，2）；∵m n ，∴点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t 对称，∴1322t；【小问2详解】解：当x =0时，y =c ，∴抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ），∴抛物线与y 轴交点关于对称轴x t 的对称点坐标为（2t ，c ），∵0a ，∴当x t 时，y 随x 的增大而减小，当x t 时，y 随x 的增大而增大，当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，1t ，∵,m n c 1＜3，∴2t ＞3，即32t（不合题意，舍去），当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，点0(,)x m 在对称轴的右侧，13t ，此时点(3,)n 到对称轴x t 的距离大于点(1,)m 到对称轴x t 的距离，∴13t t ，解得：2t ，∵,m n c 1＜3，∴2t ＞3，即32t ，∴322t ，∵0(,)x m ，(1,)m ，对称轴为x t ，∴012x t ，∴013222x ，解得：023x ，∴t 的取值范围为322t ，0x 的取值范围为023x ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．27.在ABC 中，90ACB ，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC ，连接AF ，EF ，若AF EF ，求证：BD AF ；（2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD ，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析（2）CD CH ；证明见解析【解析】【分析】（1）先利用已知条件证明 SAS FCE BCD ，得出CFE CBD Ð=Ð，推出EF BD ∥，再由AF EF 即可证明BD AF ；（2）延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，先证 SAS MEC BDC ，推出ME BD ，通过等量代换得到222AM AE ME ，利用平行线的性质得出90BHE AEM Ð=Ð=°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD CH ．【小问1详解】证明：在FCE 和BCD 中，CE CD FCE BCD CF CB，∴ SAS FCE BCD ，∴CFE CBD Ð=Ð，∴EF BD ∥，∵AF EF ，∴BD AF ．【小问2详解】解：补全后的图形如图所示，CD CH，证明如下：延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，∵90ACB ，CM ＝CB ，∴AC 垂直平分BM ，∴AB AM ，在MEC 和BDC 中，CM CB MCE BCD CE CD，∴ SAS MEC BDC ，∴ME BD ，CME CBD Ð=Ð，∵222AB AE BD ，∴222AM AE ME ，∴90AEM ，∵CME CBD Ð=Ð，∴BH EM ∥，∴90BHE AEM Ð=Ð=°，即90DHE ，∵12CE CD DE ==，∴12CH DE =，∴CD CH ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明90DHE 是解题的关键．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右(0)a 或向左(0)a 平移a 个单位长度，再向上(0)b 或向下(0)b 平移b 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．（1）如图，点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上，若点(2,0),P 点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证：1;2NT OM （2）O 的半径为1，M 是O 上一点，点N 在线段OM 上，且1(1)2ON t t ，若P为O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）【答案】（1）见解析（2）42t 【解析】【分析】（1）①先根据定义和(1,1)M 求出点P'的坐标，再根据点P'关于点N 的对称点为Q 求出点Q 的坐标；②延长ON 至点 3,3A ，连接AQ ，利用AAS 证明ΔΔAQT OPT ，得到12TA TO OA ，再计算出OA ，OM ，ON ，即可求出2122NT ON OT OM ；（2）连接PO 并延长至S ，使OP OS ，延长SQ 至T ，使ST OM ，结合对称的性质得出NM 为Δ'P QT 的中位线，推出1=2NM QT ，得出 12221SQ ST TQ t t ，则 max min 2PQ PQ PS QS PS QS QS ．【小问1详解】解：①点Q 如下图所示．∵点(1,1)M ，∴点(2,0)P 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'，∴ '1,1P ，∵点P'关于点N 的对称点为Q ， 2,2N ，∴点Q 的横坐标为： 2215 ，纵坐标为：2213 ，∴点 5,3Q ，在坐标系内找出该点即可；②证明：如图延长ON 至点 3,3A ，连接AQ ，∵//AQ OP ，∴AQT OPT ，在ΔAQT 与ΔOPT 中，AQT OPT ATQ OTP AQ OP，∴ ΔΔAQT OPT AAS ，∴12TA TO OA ，∵ 3,3A ，(1,1)M ，(2,2)N ，∴OA，OMON ，∴12TO OA ，∴2NT ON OT ，∴12NT OM ；【小问2详解】解：如图所示，连接PO 并延长至S ，使OP OS ，延长SQ 至T ，使ST OM ，∵(,)M a b ，点P 向右(0)a 或向左(0)a 平移a 个单位长度，再向上(0)b 或向下(0)b 平移b 个单位长度，得到点P'，∴'1PP OM ，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，∴'NP NQ ，又∵OP OS ，∴OM ∥ST ，∴NM 为Δ'P QT 的中位线，∴//NM QT ，1=2NM QT ，∵1NM OM ON t ，∴222TQ NM t ，∴ 12221SQ ST TQ t t ，在ΔPQS 中，PS QS PQ PS QS ，结合题意，max PQ PS QS ，min PQ PS QS ，∴ max min 242PQ PQ PS QS PS QS QS t ，即PQ 长的最大值与最小值的差为42t ．【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q 和点P'的轨迹是解题的关键．。

2022年北京中考数学试题及答案详解

2022年北京中考数学试题及答案详解（试题部分）一、选择题(共16分，每题2分)第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.下面几何体中，是圆锥的为()A B C D2.截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2 628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨。

将262 883 000 000用科学记数法表示应为() A.26.288 3×1010B.2.628 83×1011C.2.628 83×1012D.0.262 883×10123.如图，利用工具测量角，则∠1的大小为()A.30°B.60°C.120°D.150°4.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是()A.a<―2B.b<1C.a>bD.―a>b5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是()A.14B.13C.12D.346.若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为()A .―4B .―14C .14D .47. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )A.1B.2C.3D.58. 下面的三个问题都有两个变量：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 与行驶时间x ； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x ； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x.其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是 ( )A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题(共16分，每题2分)9. 若√x −8在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 . 10. 分解因式：xy 2―x = . 11. 方程2x+5=1x 的解为 .12. 在平面直角坐标系xOy 中，若点A (2，y 1)，B (5，y 2)在反比例函数y =kx (k >0)的图象上，则y 1 y 2(填“>”“=”或“<”).13. 某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双.14.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC=2，DE=1，则S△ACD=.15.如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5，AFFC =14，则AE的长为.16.甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的质量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的质量如下：甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂. (1)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号)；(2)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号).三、解答题(共68分，第17―20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23―24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27―28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.( 5分)计算：(π―1)0+4×sin 45°―8+|―3|.18.( 5分)解不等式组：{2+x>7−4x,①x<4+x2.②19.( 5分)已知x2+2x―2=0，求代数式x(x+2)+(x+1)2的值.20.( 5分)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.180°，21.( 6分)如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形.22.( 5分)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4，3)，(―2，0)，且与y轴交于点A.(1)求该函数的解析式及点A的坐标；(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围.23.( 6分)某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.a.甲、乙两位同学得分的折线图：b.丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数：根据以上信息，回答下列问题：(1)求表中m的值；(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断：甲、乙两位同学中，评委对的评价更一致(填“甲”或“乙”)；(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是(填“甲”“乙”或“丙”).24.( 6分)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.(1)求证：∠BOD=2∠A；(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F，若F为AC的中点，求证：直线CE为☉O的切线.25.( 5分)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x―h)2+k(a<0).示意图某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x―h)2+k(a<0)；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=―0.04×(x―9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1d2(填“>”“=”或“<”).26.( 6分)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为直线x=t.(1)当c=2，m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0，m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c，求t的取值范围及x0的取值范围.27.( 7分)在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.图1图2 28.( 7分)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a，b)，N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”.(1)如图，点M(1，1)，点N在线段OM的延长线上，若点P(―2，0)，点Q为点P的“对应点”.①在图中画出点Q；OM.②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT=12(2)☉O的半径为1，M是☉O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1<t<21)，若P为☉O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在☉O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示).2022年北京中考数学试题及答案详解（答案详解）1.B通过观察可知，选项A是圆柱，选项B是圆锥，选项C是三棱锥，选项D是球.故选B.2.B262 883 000 000=2.628 83×1011.故选B.3.A根据对顶角相等可得∠1=30°.故选A.4.D根据题图可得―2<a<―1，1<b<2，所以a<b，所以选项A，B，C错误.根据题图可以判断―a在数轴上所对应的点位于b所对应的点的右侧，则―a>b，故选D.5.A列表如下：由表可知，共有4种等可能的结果，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果有1种，所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率P=1，故选A.46.C∵该方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即1―4m=0，.故选C.解得m=147.D五角星是轴对称图形，它的对称轴是每条过顶点与中心的直线，而圆也是轴对称图形，它的对称轴是每一条直径所在的直线，故图中图形的对称轴就是五角星的五条对称轴.8.A①A、B两地的路程一定，由于汽车是匀速行驶，那么汽车在相同时间内走的路程也是相同的，则剩余路程的减少值也是相同的，所以汽车的剩余路程y与行驶时间x在一定范围内是一次函数关系，故①对；②由于水箱中原有的水量是固定的，而水箱的水是匀速放出，所以在相同时间内水的减少量也是相同的，所以剩余水量y与放水时间x在自变量的取值范围内是一次函数关系，故②对；③设矩形的周长为C，则由题意可知C是定值，所以矩形的另一边长为C−2x2，所以y=x·C−2x2=―x2+C2x，故y是关于x的二次函数，所以其对应的图象是抛物线，故③错.故选A.9.答案x≥8解析二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即x―8≥0，解得x≥8. 10.答案x(y+1)(y―1)解析xy2―x=x(y2―1)=x(y+1)(y―1).11.答案x=5解析方程两边同乘x(x+5)，得2x=x+5，解得x=5.当x=5时，x(x+5)≠0，故x=5是原方程的解.12.答案>解析∵k>0，∴反比例函数的图象位于第一、三象限，∴当x>0时，y随x的增大而减小.∵2<5，∴y1>y2.13.答案120解析由题表可知需求最多的是39码滑冰鞋，有12双，所以估计该商场进39码滑冰鞋的数量为400×1240=120(双).14.答案 1解析过点D 作DF ⊥AC 于F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF =DE =1.∴S △ACD =12AC ·DF =12×2×1=1.15.答案 1解析 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC =90°，AD =BC ，AD ∥BC.在Rt △ABC 中，AC =5，AB =3，∴BC =√AC 2−AB 2=4.∴AD =BC =4. ∵AD ∥BC ，∴∠EAF =∠BCF ，∠AEF =∠CBF ， ∴△AEF ∽△CBF.∴AE BC =AF FC =14，即AE 4=14，∴AE =1.16.答案 (1)ABC(答案不唯一) (2)ACE解析 (1)根据包裹的质量数据分析，若要满足载重不超过19.5吨的条件，则包裹数量不能超过3个，根据Ⅰ号产品质量的数据分析，若要装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，则满足条件的装运方案可以为AD ，ABC ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD .(2)在满足Ⅰ号产品的装运条件下，要求Ⅱ号产品最多，首先选择E .由于载重不超过19.5吨，所以在Ⅱ号产品次多的C 和D 中选择C ，由于Ⅰ号产品不少于9吨，故第三个包裹选择A .所以满足条件的装运方案是ACE . 17.解析原式=1+2√2―2√2+3 =1+3 =4.18.解析解不等式①，得x >1，解不等式②，得x <4.∴原不等式组的解集为1<x <4. 19.解析 x (x +2)+(x +1)2 =x 2+2x +x 2+2x +1=2x2+4x+1.∵x2+2x―2=0，∴2x2+4x=4，∴原式=4+1=5.20.证明选择方法一：过点A作DE∥BC，则∠B=∠DAB，∠C=∠EAC.∵点A在DE上，∴∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°.选择方法二：过点C作CD∥AB，则∠B+∠BCD=180°，∠A=∠ACD，∴∠B+∠ACB+∠ACD=180°，∴∠B+∠ACB+∠A=180°.21.证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO.∵AE=CF，∴AO―AE=CO―CF，即OE=OF.∵BO=DO，∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAC=∠DCA.∵∠BAC=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴DA=DC，∴四边形ABCD是菱形.∴BD⊥AC，又∵四边形EBFD是平行四边形，∴四边形EBFD是菱形.22.解析(1)∵函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4，3)，(―2，0)，∴{4k+b=3,−2k+b=0,解得{k=12,b=1.∴函数解析式为y=12x+1.当x=0时，y=1，∴点A的坐标为(0，1).(2)n≥1.提示：首先清楚函数y=x+n的图象是与直线y=x平行的一系列直线，通过题目中给定的范围x>0，可以找到临界点A(0，1)，由y=x+n过点A可以求出n=1.当x=0时，函数y=x+1的值等于函数y=12x+1的值，将直线y=x+1向上平移能够保证当x>0时，直线y=x+1在直线y=12x+1的上方，所以当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+1的值大于函数y=12x+1的值.故n≥1.23.解析(1)m=(10+10+10+9+9+8+3+9+8+10)÷10=8.6.(2)甲.详解：从得分的折线图可以看出甲同学得分的波动明显小于乙同学，故甲同学得分的方差小于乙同学得分的方差.(3)丙.详解：三位同学的平均分相同，最高分也相同，但是丙的最低分3分远远低于甲、乙的最低分7分，所以去掉一个最高分和一个最低分后丙的平均分会高于甲、乙.24.证明(1)连接AD，∵AB是☉O的直径，AB⊥CD，∴BC=BD，∴∠BAC=∠BAD.∵BD=BD，∴∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=2∠BAC.(2)连接OC，∵AB是直径，AB⊥CD，∴AC=AD，∴AC=AD，∵O是圆心，F是AC的中点，∴OF⊥AC，∴DA=DC，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC=60°，∴∠ODC=30°，∵AB是直径，∴∠BDA=90°，∴∠BDC=30°，∴∠ODC=∠BDC，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCD=∠BDC，∴OC∥DE，又∵CE⊥DE，∴OC⊥CE，∵OC是☉O的半径，∴CE是☉O的切线.25.解析(1)通过题中表格可以得出顶点坐标为(8，23.20)，竖直高度的最大值是23.20米，则解析式为y=a(x―8)2+23.2.∵抛物线过点(11，22.75)，∴22.75=9a +23.2，解得a =―0.05.∴解析式为y =―0.05(x ―8)2+23.2.(2)<.提示：二次函数图象的开口大小与|a |有关，|a |越大抛物线开口越小，|a |越小抛物线开口越大.第一次训练|a 1|=0.05，第二次训练|a 2|=0.04，所以第二次训练的抛物线开口更大，同时第二次训练的抛物线顶点相对于第一次训练的抛物线顶点向右平移，再向上平移，所以第二次的着陆点的水平距离比第一次着陆点的水平距离更远.所以d 1 <d 2.26.解析 (1)∵c =2，∴抛物线的解析式为y =ax 2+bx +2.令x =0，则y =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标是(0，2).∵点(1，m )，(3，n )在抛物线上，m =n ，∴对称轴为直线x =t =1+32=2.(2)解法一：∵a >0，∴抛物线开口向上，∵抛物线的表达式为y =ax 2+bx +c ，∴点(0，c )在抛物线上，∵点(1，m )，(3，n )在抛物线上，∴可得到三个点的示意图.∵m <n ，∴t <1+32，即t <2， ∵n <c ，∴t >0+32，即t >32，∴32<t <2.∵(x 0，m )，(1，m )都在抛物线上，∴x 0+1=2t ，∴x 0=2t ―1，∵32<t <2，∴3<2t <4，∴2<2t ―1<3，即2<x 0<3.解法二：∵点(1，m )，(3，n )在抛物线y =ax 2+bx +c 上，∴m =a +b +c ，n =9a +3b +c ，∵m <n <c ，∴{a +b +c <9a +3b +c,①9a +3b +c <c,②由①得b >―4a ，③由②得b <―3a ，④∵a >0，∴由③得―b 2a <−4a −2a ，即―b 2a <2，∴由④得―b 2a >−3a −2a ，即―b 2a >32，∴32<―b 2a <2，即32<t <2.∵点(x 0，m )，(1，m )在抛物线上，∴x 0+1=2t ，∴x 0=2t ―1，∵32<t <2，∴3<2t <4，∴2<2t ―1<3，即2<x 0<3.27.解析 (1)证明：在△BCD 和△FCE 中，{BC =FC,∠BCD =∠FCE,DC =EC,∴△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC =∠E ，∴BD ∥EF.又∵AF ⊥EF ，∴BD ⊥AF.(2)CH =CD.证明：延长BC 至点F 使CF =BC ，连接AF ，EF ，∵BC =CF ，∠ACB =90°，∴AF =AB ，由(1)可得，BD =EF ，BD ∥EF.∵AB 2=AE 2+BD 2，∴AF 2=AE 2+EF 2.∴△AEF 是直角三角形，∠AEF =90°.∵BD ∥EF ，∴∠BHE =∠AEF =90°，在Rt △DEH 中，∵CD =CE ，∴CH =12DE ，∴CH =CD. 28.解析 (1)①点Q 如图所示.②证明：依题意可知P'的坐标为(―1，1)，P 的坐标为(―2，0)，∴∠P'PO =45°，PP'=√2，∵∠MOx =45°，∴∠P'PO =∠MOx ，∴PP'∥ON ，∴△QNT ∽△QP'P ，∴QN QP′=NT P′P ，∵P'和Q 关于点N 对称，∴NQ =NP'，∴QN QP′=12，∴NT P′P =12，∴NT =√22，∵M (1，1)，∴OM =√2，∴NT =12OM.(2)PQ 长的最大值与最小值的差为4t ―2.详解：∵M 是☉O 上一点，PP'∥OM ，∴P'在以点P为圆心，1为半径的圆上，作点P关于点O的对称点S，点P'关于点M的对称点T，则点Q在以点S为圆心的圆上，∵M、N分别为P'T，P'Q的中点，∴TQ=2MN，∵ON=t，∴MN=1―t，∴TQ=2―2t，∴SQ=ST―TQ=1―(2―2t)=2t―1，∵Q在以S为圆心，半径r=2t―1的圆上运动，∴PQ max=PS+r，PQ min=PS―r，∴PQ max―PQ min=(PS+r)―(PS―r)=2r=4t―2.。

北京中考《考试说明》数学解读

2019年北京中考《考试说明》数学解读2019年是北京中考发生较大改变的一年，反映在数学试卷上，选择，填空各加两题，阅读量明显增加，题目更加贴近生活。

而2019年则是稳定，延续这种变革的一年。

试卷结构延续了去年的模式，选择30分，填空18分，解答72分。

考试时间为2019年6月25日上午8：30—10：30，共120分钟。

整体上，包括考试要求层次C层(最高层次，代表运用能力)以内的多处增加了对阅读的要求。

这也就意味着经过2019的尝试，2019年将会延续，甚至再次提升阅读量，与生活结合，与传统文化结合的高阅读量题型可能会再添把火。

在具体的要求上，本次数学主要出现了三个删除和七个调整：具体被删除的知识点①“会确定分式有意义或使分式的值为零的条件”;②“会确定二次根式有意义的条件”;③“对分式方程的解进行检验”。

点评：删除部分是分式和二次根式比较基础的知识，改动不是很大。

二次根式与分式的复习仍需要抓计算。

具体调整的知识点①“会进行简单的实数运算” → “能进行简单的实数运算”;点评：计算能力的重要性提升了，小伙伴们计算题一定要稳②“会按实际问题的要求对结果取近似值” → “会按问题的要求对结果取近似值”;点评：取近似值问题的宽泛性增加。

③“理解正比例函数和一次函数的意义” → “理解正比例函数;了解一次函数的意义”;④“一次函数结合图象与表达式，理解当k0和k0时，一次函数图象的变化情况”由A级要求(理解)调整为B级要求(掌握); 点评：一次函数的两个改动，弱化了一次函数意义的考察，强调了k值对一次函数图像的变化，对于前面的简单函数题目可能会表现出一个难度的略微增加，而对于代几综合大题来说影响不是很大，总体来说一次函数仍然是需要孩子们熟练掌握的。

⑤“了解角平分线的概念” →“理解角平分线的概念”;点评：角平分线的概念很可能将会以作图的形式考查，小伙伴们看完后请在心里默背一遍角平分线的画法！⑥“了解三角形中位线的概念” → “理解三角形中位线的概念”;点评：中位线会带来相似三角形的问题，几何题注重积累，历年真题中用到中位线的问题相对不是很多，所幸中位线的概念并不难理解，产生的位置和数量关系也并不难发现，运用的不够熟练的小伙伴，一定把中位线加入自己的解题工具⑦“了解解直角三角形的概念” → “理解解直角三角形的概念”。