人教版七年级数学上册专题复习数轴上的动点问题讲义含部分答案
数学人教版七年级上册数轴上的动点问题
15 12 BC
小结：化归思想的运用 化复杂为简单化陌生为熟悉
变式练习：如果A，B两 点做相向运动呢
4t-t=15
t=5
M 点的位置：-3-t=-8 C点所行驶的路程：20t=100个单位 长
• 小结： • 1.将以数轴为背景的动点问题转化为行程问题 来解决，注意动点的运动方向，并画行程图辅 助解题 2.灵活运用数形结合思想，分类思想，化归思 想来解题
（2）同向而行，向左运动
4x M P A -20 0 6x 6x-4x=120 x=60 M点的位置：-20-60×4=-260 综上所述，M点的位置为28或-260 120 B 100 Q
小结：体会分类思想的运用。
•
练习：A,B两点在数轴上的位置如图所示，它们分别以1个单位/秒，4个单 位/秒的速度同时向左运动，第三个点C同时从B点的初始位置出发向A运 动，当遇到A点后，立即返回向B点运动，遇到B点后，立即返回向A点运 动，如此往返，直到B点追上A点时，C点立即停止运动。若C点的速度为 20个单位/秒，那么C点从运动到停止行驶的路程为多少？ 分析：处理此题时，很容易被C点的往返运动形式干扰，细读题发现C点 速度已知，要求路程，则运动时间是关键，而C点的运动时间就是A，B两 点做追及运动所需时间，从而将问题转化为我们熟悉的问题 M t A -3 4t
数轴上的动点问题
湖北省随州市曾都区文峰学校 李俊丽
做一做：甲乙两人分别从相距24km的A,B两地同时相向而行，甲 速1km/h, 乙速2km/h， 求几小时两人相遇？
甲 A 相遇处 这是一道典型的相向而行的行程问题，直线型相遇问题。 知识点：相向运动——相遇问题 甲所行的路程+乙所行的路程=A,B两地间距离 乙 B
人教版七年级上册数学期末复习数轴上的动点问题课件
(2)设运动时间为 x 秒， 根据题意得 13x＋2x＝25＋35， 解得 x＝4， ∴35－2×4＝27. 答：运动时间为 4 秒，相遇点表示的数字为 27； (3)运动总时间为 60÷2＝30(秒)， ∴13×30÷60＝6……30， 即点 P 运动了 3 个来回后，又运动了 30 个单位长度， －25＋30＝5，即点 P 所在的位置表示的数为 5； (4)由(3)得一共相遇了 7 次．
(3)不变．BC－AB＝2. t 秒时，点 A 对应的数为－1－t，点 B 对应的数为 2t＋1，点 C 对应的数为 5t＋5. ∴BC＝(5t＋5)－(2t＋1)＝3t＋4，AB＝(2t＋1)－(－1－t)＝3t＋2， ∴BC－AB＝(3t＋4)－(3t＋2)＝2， 即 BC－AB 的值不随着时间 t 的变化而改变，其值恒为 2.
图4
(1)填空：a＝___－25_______，b＝____35 ______； (2)求运动多长时间，点 P，Q 第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (3)求当点 P，Q 停止运动时，点 P 所在的位置表示的数； (4)在整个运动过程中，点 P 和点 Q 一共相遇了几次(直接写出答案)． 解：(1)∵(a＋25)2＋|b－35|＝0， ∴a＋25＝0，b－35＝0， 解得 a＝－25，b＝35；
数轴上的动点问题
[2019 秋·苍南期中]如图 1①，在一条可以折叠的数轴上，点 A，B 分 别表示数－9 和 4.
图 1① (1)A，B 两点之间的距离为_____13 _____； (2)如图②，如果以点 C 为折点，将这条数轴向右对折，此时点 A 落在点 B 的 右边 1 个单位长度处，则点 C 表示的数是____－2______．
图3 (1)数轴上点 B 表示的数为______9 ____；点 P 表示的数为__－3＋_2t _______(用含 t 的 代数式表示)．
专题03数轴上的动点问题压轴题真题分类(解析版)—七年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题03数轴上的动点问题压轴题真题分类（解析版）专题简介：本份资料包含《有理数》这一章中动点问题压轴题常考的主流题型，所选题目源自各名校月考试题、期中试题中的典型考题，按难度逐渐递增的情况分成三类题型：简易型求运动时间、定值问题、新定义类动点问题。
适合于培训机构的老师给优等生作动点问题专题培训时使用或者想冲击满分的尖子生考前刷题时使用。
【解题方法总结】第一步：用含t 的式子表示动点，往左运动：可以表示为“起点t ⋅-速度”，往右运动：“起点t ⋅+速度”；第二步：表示距离：数轴上A 、B 两点表示的数为分别为a 、b ，则A 与B 间的距离AB=|a －b|；第三步：列式化简或者列方程后再解方程。
题型一简易型求运动时间1．如图数轴上有A 、B 两点，分别表示的数为－50和70，点A 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点B 以每秒2个单位长度向左匀速运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）运动开始前，A 、B 两点的距离为；（2）它们按上述方式运动，t 秒后A 点表示的数为；B 点所表示的数为；（用含t 的式子表示）（3）它们按上述方式运动至两点相遇，则相遇点所表示的数为．【详解】解：（1）∵A 、B 两点，分别表示的数为－50和70，∴运动开始前，A 、B 两点的距离为()7050120--=故答案为：120；（2） 点A 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点B 以每秒2个单位长度向左匀速运动，∴t 秒后A 点表示的数为503t -+；B 点所表示的数为702t -，故答案为：503t -+，702t -；（3）根据题意，503t -+=702t -，解得24t =，50+32422-⨯=，故答案为：22。
2.（立信）点A 、B 在单位长度为1的数轴上，点A 表示的数是﹣2，点A 和点B 表示的数互为相反数，若点A 以每秒3个单位长度向右运动，点B 以每秒1个单位长度向右运动．（1）在数轴上标出原点O ，并求出点B 表示的数；（2）当点A 与点B 重合于点C 时，求运动时间？（3）若点A 运动到点M ，点B 运动到点N 时，线段MN ＝100时，求线段MN 盖住数轴上的整数点的个数是多少？【解答】解：（1）∵点A 表示的数是﹣2，点A 和点B 表示的数互为相反数，∴点B 表示的数是2．（2）设运动时间为x 秒时点A 与点B 重合于点C ，3t ＝4+t ，解得t ＝2．（3）设运动时间为y 秒时线段MN ＝100，3y ＝4+y +100，解得y ＝52，∴﹣2+52×3＝154，2+52＝54，∴M 、N 表示的数分别为154和54，∴线段MN 盖住数轴上的整数点的个数是101个．3．（青竹湖）已知在数轴上有A ，B 两点，点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且AB ＝12．若有一动点P 从数轴上点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点O 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t 秒．（1）当t ＝1秒时，写出数轴上点B 、P 、Q 所表示的数分别为、、；（2）若点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，当点P 与点Q 重合时，求t 的值；（3）若M 为线段AQ 的中点，点N 为线段BP 的中点．当点M 到原点的距离和点N 到原点的距离相等时，求t 的值．【解答】解：（1）由题知，B 点表示的数为8﹣12＝﹣4，P 点表示的数为8﹣3＝5，Q 点表示的数为﹣4+2＝﹣2，故答案为：﹣4，5，﹣2；（2）根据题意得，2t +3t ＝12，解得t ＝，即t 的值为；（3）根据题意知，|﹣4+2t +8|＝|8﹣3t ﹣4|，解得t ＝0（舍去）或t ＝8，∴当点M 到原点的距离和点N 到原点的距离相等时，t 的值为8．4.已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A ，B 两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．(1)数轴上点B 表示的数是______，点P 表示的数是______(用含t 的代数式表示)；(2)动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发．求：当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度？(3)若点M 为AP 中点，点N 为BP 中点，在点P 运动过程中，求出线段MN 的长．【详解】（1）解：点B 表示的数是6104-=-，点P 表示的数是66t -，故答案为：4-，66t -；（2）解：Q 表示的数是44t --，点P 表示的数是66t -，根据题意得：()44668t t ----=，即2108t -=或2108t -=-，解得9t =或1t =，答：当点P 运动9秒或1秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度；（3）解：线段MN 的长度不发生变化，理由如下：A 表示的数为6，点P 表示的数是66t -，表示的数是5．（长雅）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示示数b，点A与点B之间的距离表示为AB．若点A与点O之间的距离OA＝2，点B与点O之间的距离OB＝6．（1）a＝，b＝；（2）如图①，请在数轴上找一点C，使AC＝2BC，则C点表示的数为；（3）如图①，若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．①分别表示出甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【解答】解：（1）∵OA＝2，A在O的左侧，∴a＝﹣2，∵OB＝6，B在O的右侧，∴a＝6，故答案为：﹣2，6；（2）设C表示的数是c，当点C在AB之间时有：c﹣（﹣2）＝2（6﹣c），解得：c＝，当点C在B的右侧时有：c﹣（﹣2）＝2（c﹣6），解得：c＝14，故答案为：或14；（3）①甲距原点的距离为：2+t，乙距原点的距离为：当0≤t≤3时，6﹣2t，当t＞3时，2（t﹣3）＝2t﹣6，②当0≤t≤3时，2+t＝6﹣2t，解得：t＝，当t＞3时，2+t＝2t﹣6，解得：t＝8，答：甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为秒或8秒．题型二定值问题6．（麓山）数轴上两点A 、B ，A 在B 左边，原点O 是线段AB 上的一点，已知AB ＝4，且OB ＝3OA ．点A 、B 对应的数分别是a 、b ，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x ．（1）a ＝，b ＝，并在数轴上面标出A 、B 两点；（2）若PA ＝2PB ，求x 的值；（3）若点P 以每秒2个单位长度的速度从原点O 向右运动，同时点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒．请问在运动过程中，3PB ﹣PA 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【解答】解：（1）因为AB ＝4，且OB ＝3OA ．A ，B 对应的数分别是a 、b ，所以a ＝﹣1，b ＝3．故答案为：﹣1，3．（2）①当P 点在A 点左侧时，PA ＜PB ，不合题意，舍去．②当P 点位于A 、B 两点之间时，因为PA ＝2PB ，所以x +1＝2（3﹣x ），所以x ＝．②当P 点位于B 点右侧时，因为PA ＝2PB ，所以x +1＝2（x ﹣3），所以x ＝7．故x 的值为或7．（3）t 秒后，A 点的值为（﹣1t ），P 点的值为2t ，B 点的值为（3+3t ），所以3PB ﹣PA＝3（3+3t ﹣2t ）﹣[2t ﹣（﹣1﹣t ）]＝9+3t ﹣（2t +1+t ）＝9+3t ﹣3t ﹣1＝8．所以3PB ﹣PA 的值为定值，不随时间变化而变化．7.已知a 、b 满足()25|1|0a b -++=.请回管问题：（1）请直接写出a 、b 的值，a =______，b =_______.（2）当x 的取值范围是_________时，||||x a x b -+-有最小值，这个最小值是_____.（3）数轴a 、b 上两个数所对应的分别为A 、B ，AB 的中点为点C ，点A 、B 、C 同时开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点C 分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，当A 、B 两点重合时，运动停止.①经过2秒后，求出点A 与点B 之间的距离AB .②经过t 秒后，请问：BC AB +的值是否随着时间t 的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.【解答】解：()15,1-；()215x -≤≤，6；()3:5213,1211312A B AB -⨯==-+⨯==-=①，()()515,1,323223115=3+226A tB tC t t BC AB t t t t t t -=-=-+=+=++=+--++-+--+-②,A B 重合时，()()51113t =+÷+= ,A B 重合时，运动停止，03,t ∴≤≤3+20,260.t t ∴-≤＞32(26)9BC AB t t +=+--=．所以()()238262738124720AP OB OP t t t t t t +-=+++-=+++-=.9．（长郡）如图，在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，b 是最小的正整数，且a ，b ，c 满足（c ﹣5）2+|a +b |＝0．回答问题：（1）点P 为一动点，其对应的数为x ，若PA ＝2PC ，求x 的值；（2）点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 1秒．请问在运动过程中，BC ﹣AB 的值是否随着时间t 1的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．（3）在（2）的条件下，若点C 从第2秒开始掉头向左继续运动，速度不变；A 、B 保持原来运动方向，速度不变继续运动，设继续运动时间为t 2秒．请问在运动过程中，是否存在某个时刻，A ，B ，C 中某一点是另外两点的中点？如果有，请求出t 2的值；如果没有，请说明理由．【解答】解：（1）依题意得b ＝﹣1，c ﹣5＝0，a +b ＝0，解得a ＝﹣1，b ＝1，c ＝5；∵点P 为一动点，其对应的数为x ，∴PA ＝|x +1|，PC ＝|x ﹣5|，∴|x +1|＝2|x ﹣5|，解得x ＝11或x ＝3；（2）BC ﹣AB 的值不变．根据题意可知，BC ﹣AB ＝[5+5t 1﹣（1+2t 1）]﹣[1+2t 1﹣（﹣1﹣t 1）]＝5+5t 1﹣1﹣2t 1﹣1﹣2t 1﹣1﹣t 1＝2，故BC ﹣AB 的值不会随着时间t 的变化而改变；（3）存在，理由如下：第2A 对应的数为：﹣1﹣2＝﹣3，点B 对应的数为：1+2×2＝5，点C 对应的数为：5+2×5＝15．∵继续运动时间为t 2秒，∴点A 对应的数为：﹣3﹣t 2，点B 对应的数为：5+2t 2，点C 对应的数为：15﹣5t 2．若A ，B ，C 中某一点是另外两点的中点，则分三种情况：①当点B 为AC 的中点，则BA ＝BC ，∴5+2t 2﹣（﹣3﹣t 2）＝（15﹣5t 2）﹣（5+2t 2），解得t 2＝，②当点C 为AB 的中点，则CA ＝CB ，∴15﹣5t 2﹣（﹣3﹣t 2）＝（5+2t 2）﹣（15﹣5t 2），解得tt 2＝，③当点A 为BC 的中点，则AB ＝AC ，∴（5+2t 2）﹣（﹣3﹣t 2）＝﹣3﹣t 2﹣（15﹣5t 2），解得t 2＝26，综上，若A ，B ，C 中某一点是另外两点的中点，则t 2的值为或或26．题型三新定义类动点问题10．（中雅）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：（1）若点A表示的数为﹣5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为；（2）若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A 表示的数为，点B表示的数为；（3）点A表示的数为﹣6，点C，D表示的数分别是﹣4，﹣2，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点（点B可与C、D两点重合）．①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有；②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，求t的所有整数值，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”．【解答】解：（1）（﹣5+1）＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）2﹣4.5＝﹣2.5，2+4.5＝6.5，故答案为：﹣2.5，6.5；（3）设B表示的数为x（﹣4≤x2），①m＝（﹣6+x），所以整数m的值为：﹣4，﹣5，故答案为：﹣4，﹣5；②由题意得：A表示的数为：﹣6+2t，D表示的数为：﹣2+2t，∵O可以为点A与点B的“雅中点”，∴B表示的数为：6﹣2t，∵点B为线段CD上一点（点B可与C、D两点重合），∴﹣4≤6﹣2t≤﹣2+2t，解得：2≤t≤5，∵t的所有整数值为：2，3，4，5．t＝3不符合题意，舍去．故满足条件的t的值为2，4，5．11．（广益点）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P 到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“广益点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“广益点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“广益点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．【解答】解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离，∴点P是AB的中点，∴BP＝AP＝AB＝6，∴点P表示的数为﹣2；（2）设点P运动时间为t秒，根据题意可知，PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，∴t+8＝3|4﹣t|，解得：t＝1或10，∴点P运动的时间为1秒或10秒；（3）设点P表示的数为n，根据题意可得，PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，分五种情况进行讨论：①当点A是关于P→B的“广益点”时，得PA＝3AB，即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；②当点A是关于B→P的“广益点”时，得AB＝3AP，即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；③当点P是关于A→B的“广益点”时，得PA＝3PB，即﹣n﹣8＝3（4﹣n），解得n＝10；（不符合题意，舍去），或n+8＝3（4﹣n），解得n＝1（不符合题意，舍去）；④当点P是关于B→A的“广益点”时，得PB＝3AB，即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；⑤当点B是关于P→A的“广益点”时，得BP＝3AB，即4﹣n ＝36，解得n＝﹣32，综上所述，所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．12．（长郡）已知：点A、B、P为数轴上三点，我们约定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k 倍，则称P是[A，B]的“k倍点”，记作：P[A，B]＝k．例如：若点P表示0，点A表示﹣2，点B表示1，则P是[A，B]的“2倍点”[A，B]＝2．（1）如图，A、B、P、Q、M、N为数轴上各点，如图图示，回答下面问题：①P[A，B]＝；②M[N，A]＝；③若C[Q，B]＝1，则C表示的数为．（2）若点A表示﹣1，点B表示5，点C是数轴上一点，且C[A，B]＝3，求点C所表示的数．（3）数轴上，若点M表示﹣10，点N表示50，点K在点M和点N之间，且K[M，N]＝5．从某时刻开始，M、N同时出发向右匀速运动，且M的速度为5单位/秒，点N速度为2单位/秒，设运动时间为t（t＞0），当t为何值时，M是K、N两点的“3倍点”．【解答】解：（1）①∵A、B、P三点表示的数分别是﹣3、5、3，∴PA＝3﹣（﹣3）＝6，PB＝5﹣3＝2，∴PA＝3PB，即P[A，B]＝3；②∵MN＝7﹣（﹣5）＝12，MA＝﹣3﹣（﹣5）＝2，∴MN＝6MA，即M[N，A]＝6；③∵C[Q，B]＝1，∴CQ＝CB，∴C为线段QB的中点，∴C表示的数为＝2．故答案为：①3；②6；③2．（2）设点C在数轴上表示的数为x，∵C[A，B]＝3，∴CA＝3CB，∴|x﹣（﹣1）|＝3|x﹣5|，∴x＝3.5或8．故点C所表示的数为：3.5或8．（3）∵K[M，N]＝5，∴KM＝5KN，∵点M表示﹣10，点N表示50，点K在点M和点N之间，∴KM+KN＝MN＝60，∴KN＝MN＝10，∴点K表示的数为50﹣10＝40．由题意得，运动t秒时点M表示的数为﹣10+5t，点N表示的数为50+2t．∵M是K、N两点的“3倍点”，∴MK＝3MN，∴|40﹣（﹣10+5t）|＝3|50+2t﹣（﹣10+5t）|，∴t＝或．即当t为或时，M是K、N两点的“3倍点”．。
七年级上册 数学讲义《第3讲 数轴动点(二)》人教版 初一数学
人教版·七年级上册数学讲义第3讲 数轴动点（二）疯狗问题知识导航疯狗问题的难度并不大，特征也很明显，即一个较高的速度动点（疯狗）不断在两低速动点间往返运动，两低速动点相遇时，高速度动点随之停止．在这个运动过程中，我们并不能清晰的分析出这里的运动状态，但可以通过两低速动点相遇所花费的时间来得到高速动点的运动时间，结合其速度求出它的路程．例题1点A 、B 、C 在数轴上表示的数a 、b 、c 满足：()()222240b c ++-=，且多项式32321a x y ax y xy +-+-是五次四项式．若数轴上有三个动点M 、N 、P ，分别从点A 、B 、C 开始同时出发，在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度，其中点P 向左运动，点M 向右运动，点N 先向左运动，遇到点M 后回头再向右运动，遇到点P 后回头向左运动，……，这样直到点P 遇到点M 时三点都停止运动，求点N 所走的路程．练习1已知数轴上的点A 、B 对应的数分别为x 、y ，且()21002000x y ++-=．点P 为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒，若点A 沿数轴向右运动，速度为10单位长度/秒，点B 沿数轴向左运动，速度为20单位长度秒，点A 、B 、P 三点同时开始运动．点P 先向右运动，遇到点B 后立即掉头向左运动，遇到点A 后再立即掉头向右运动……如此往返．当A 、B 两点相距30个单位长度时，点P 立即停止运动，求此时点P 移动的路程为多少个单位长度？ 挡板问题到达挡板后停止例题2已知点A 、B 在数轴上表示的数分别为a 、b ，且满足2a -与()290b -互为相反数．（1）a 值为_____，b 值为_____．（2）已知电子狗P 从点A 出发，向右匀速运动，速度为每秒1个单位长度，另一电子狗Q 从点B出发，向左匀速运动，速度为每秒3个单位长度，且Q比P先运动2秒，已知在原点O处有病毒，若电子狗遇到病毒则停止运动，未遇到病毒则继续运动．问电子狗P经过多长时间，有P、Q 两只电子狗相距70个单位长度？练习2数轴上A、B两点对应的数分别为-80、20，一电子蚂蚁P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，目的地为B点；另一电子蚂蚁Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，目的地为A点．（1）运动多长时间后，P、Q两只电子蚂蚁相距20个单位长度？（2）运动多长时间后，P、Q两只电子蚂蚁相距80个单位长度？到达挡板后返回例题3如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足++=．+a b a430（1）求A、B两点之间的距离．（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；两秒后另一个小球乙从点处以3个单位秒的速度也向左运动，左碰到挡板后（忽略球的大小，可以看作一点）乙球以4个单位/秒的速度向相反的方向运动，设甲球的运动的时间为t（秒）．①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用含的式子表示）．②求甲、乙两小球到原点的距离相等时，甲球所在位置对应的数．数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26、-10、20，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，当P点运动到C点时运动停止设点P移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P点对应的数：__________．（2）当P点运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回A点．①用含t的代数式表示Q在由A到C过程中对应的数：__________．②当t=__________时，动点P、Q到达同一位置（即相遇）．③当PQ=3时，求的值．练习32019~2020学年10月湖北武汉江岸区武汉市七一华源中学初一上学期月考第24题12分已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足()2-+-=．440a b a（1）直接写出a、b的值．（2）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动．当10PQ=时，求P点对应的数．例题4已知多项式26233---中，多项式的项数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且a、25320m n m n nb、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）写出a=_____；b=_____；c=_____．（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1、2、3，（单位/秒），当乙追上甲时，甲、乙继续前行，丙此时以原速向相反方向运动，问甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发到乙、丙相距2个单位长度时所经历的时间是多少秒？总结归纳无论是遇到挡板后停止的动点问题，还是遇到挡板后返回的动点问题，其本质都是，在遇到挡板的前后，该动点的运动状态发生了改变．因此，必须以到达终点或碰到挡板的时间为界，分别表示出在不同时间段内动点的位置表达式（含t的代数式），即分段讨论，在此基础上再来研究相关点的距离关系，这样才不会漏解．同学们可以体会挡板问题和一般的动点问题的不同之处，自己归纳易错点和相应解法，这样印象更深刻，能真正理解动点问题的本质以及各题型之间的异同．练习42018~2019学年10月湖北武汉洪山区武汉市卓刀泉中学初一上学期月考第24题12分已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足()2++++-=．动点a b c2410100P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，（1）求a、b、c的值．（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．例题52018~2019学年湖北武汉东湖高新区初一上学期期中第24题12分数轴上m，n，q所对应的点分别为点M，点N，点Q．若点Q到点M的距离表示为QM，点N到点Q的距离表示为NQ．我们有QM q m=-．=-，NQ n q（1）点A，点B，点C在数轴上分别对应的数为-4，6，c．且BC CA=，直接写出c的值_____．（2）在（1）的条件下，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点出发向右运动，甲的速度为4个单位每秒，乙的速度为1个单位每秒．求经过几秒，点B与两只蚂蚁的距离和等于7．（3）在（1）（2）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点B后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动至B点后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向B点运动，当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动，运动时间为多少时，两只蚂蚁相遇．练习52019~2020学年10月湖北武汉武昌区武昌首义中学初一上学期月考第24题12分如图，数轴上点A、C对应的数分别是a、c，且a、c满足()2a c++-=，点B对应的数是-3．410（1）求数a、c．（2）点A、B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动时间为t秒，在运动过程中，点B运动到点C处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A运动至点C处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点C运动，当点B停止运动时，点A随之停止运动，求在此运动过程中，A、B两点同时到达的点在数轴上表示的数是_____（直接写出答案）挑战压轴题2017~2018学年湖北武汉江岸区武汉二中广雅中学初一上学期期中第24题如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为-20、40，C点在A、B之间．在A，B、C三点处各放一个档板，M、N两个小球都同时从C处出发，M向数轴负方向运动，N向数轴正方向运动，碰到档板后则向反方向运动，一直如此下去（当N小球第二次碰到B档板时，两球均停止运动）（1）若两个小球的运动速度相同，当M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好第二次碰到B档板求C点所对应的数．（2）在（1）的结论下，若M，N小球的运动速度分别为2个单位/秒，3个单位/秒，则N小球前三次碰到档板的时间依次为a，b，c秒钟，设两个球的运动时间为t秒钟．①请直接写出下列时段内小球所对应的数（用含t的代数式表示）当0t a≤≤时，N小球对应的数为_____，当a t b<≤时，N小球对应的数为_____，当b t c<≤时，N小球对应的数为_____．②当M、N两个小球的距离等于30时，求t的值．（3）移走A、B、C三处的挡板，点P从A点出发，以6个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从B点出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向左运动．已知E为AP中点，点F在线段BQ上，且14QF BQ=，问出发多少秒后，点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍？巩固加油站巩固12019~2020学年12月湖北武汉蔡甸区经济技术开发区第一中学初一上学期月考第24题12分如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴的正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A，B的速度之比为1:4（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A，B两点从原点出发运动3秒时的位置．（2）若A，B两点从（1）中的位置同时按原速度向数轴负方向运动，几秒后，两动点到原点的距离相等？（3）在（2）中若B在A的右侧，A、B两点继续同时开始向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向点A运动……如此往返，直到点B追上点A时，点C立即停止运动．若点C一直以20单位长度秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，行驶的路程是多少个单位？巩固2数轴上A、B两点表示的有理数为a、b，且()2350a b-++=．小蜗牛甲以1个单位长度秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度处的食物爬去，3秒后位于点A的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度秒的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D 点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发到此时，小蜗牛甲共用去多少时间？巩固3数轴上A点对应的数是-1，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再以同样速度立即返回到A点，共用了4秒钟．（1）求点C对应的数．（2）若小虫甲返回到A点后再做如下运动：第1次向右爬行3个单位，第2次向左爬行5个单位，第3次向右爬行7个单位，第4次向左爬行9个单位……依此规律爬下去，求它第10次爬行后停在点所对应的数．（3）回答下列各问：①若小虫甲返回到A点后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从出发沿着数轴的负方向以每秒6个单位的速度爬行，则运动t秒后，甲、乙两只小虫的距离为_____（用含t的整式表示）．②若小虫甲返回到A点后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，同时另两只小虫乙、丙分别从点B和点C出发背向而行，乙的速度是每秒2个单位，丙的速度是每秒1个单位．假设运动t秒后，甲、乙、丙三只小虫对应的点分别是D、E、F，则32DE EF-是定值吗？如果是，请求出这个定值．巩固4如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点A、B、C、D对于的数分别是a、b、c、d，且214d a-=．（1）那么a=_____，b=_____．（2）点A以3个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点B以4个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动．当点A到达D点处立刻返回，与点B在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数．（3）如果A、B两点以（2）中的速度同时向数轴的负方向运动，点C从图上的位置出发也向数轴的负方向运动，且始终保持23AB AC=．当点C运动到-12时，点A对应的数是多少？。
部编数学七年级上册专题1.4数轴中的简单动点问题(强化)(解析版)含答案
专题1.4 数轴中的简单动点问题【例题讲解】【例1】已知：b 是最小的正整数且a ，c 满足2|3|(8)0a c ++-=，点A 、B 、C 在数轴上对应的数分别是a 、b 、c ，试回答问题．（1）请直接写出a 、b 、c 的值．a = 3- ，b = ，c = ．（2）若点B 不动，点A 、C 同时向左运动，点A 的速度为每秒2个单位，点C 的速度为每秒1个单位，经过几秒后B 为线段AC 的中点？【解答】解：（1）b Q 是最小的正整数，1b \=；又2|3|(8)0a c ++-=Q ，3a \=-，8c =．故答案是：3-；1；8；（2）设经过t 秒后B 为线段AC 的中点．依题意得：238t t +=-，解得53t =．答：经过53秒后B 为线段AC 的中点．【题组训练】1．已知，数轴上三个点A 、O 、B ．点O 是原点，固定不动，点A 和B 可以移动，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ．（1）若AB 移动到如图所示位置，计算a b +的值．（2）在图的情况下，B 点不动，点A 向左移动3个单位长，写出A 点对应的数a ，并计算||b a -．（3）在图的情况下，点A 不动，点B 向右移动15.3个单位长，此时b 比a 大多少？请列式计算．【解答】解：（1）由图可知：10a =-，2b =，8a b \+=-故a b +的值为8-．（2）由B 点不动，点A 向左移动3个单位长，可得13a =-，2b =||21311b a b a \-=+=-=-故a 的值为13-，||b a -的值为11-．（3）Q 点A 不动，点B 向右移动15.3个单位长10a \=- 17.3b =17.3(10)27.3b a \-=--=故b 比a 大27.3．2．如图，点A 从原点O 出发沿数轴向左运动，同时，点B 也从原点出发沿数轴向右运动，5秒后，两点相距15个单位长度，已知点B 的速度是点A 的速度的2倍（速度单位：单位长度/秒）．（1）求出点A 、点B 运动的速度；并在数轴上标出A 、B 两点从原点O 出发运动5秒时的位置．（2）若A 、B 两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，①再过几秒，A 、B 两点重合？②再过几秒，可以让A 、B 、O 三点中一点是另外两点所成线段的中点？【解答】解：（1）设A 的速度是x 单位长度/秒，则B 的速度为2x 单位长度/秒，由题意，得5(2)15x x +=，解得：1x =，B \的速度为2，A\到达的位置为5-，B到达的位置是10，在数轴上的位置如图：答：A的速度为1；B的速度为2．（2）①设y秒后，A、B两点重合，由题意，得210(5)y y-=--，15y=．答：再过15秒，A、B两点重合；②设z秒后，原点恰好在A、B的正中间，由题意，得1025z z-=+，53z=．B点恰好在A、原点的正中间，由题意，得2(210)5z z-=+，253z=．A点恰好在B、原点的正中间，由题意，得2102(5)z z-=+，无解．答：再过53秒或253时，原点恰好处在点A、点B的正中间．3．一个动点M从一水平数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2s，到达A后立即返回，向左运动7s到达点B，若动点M的运动速度为2.5个单位长度，求此时点B在数轴上所表示的数的相反数．【解答】解：①点M距原点4个单位长度，且位于原点的右侧，4M\=，4 2.52 2.578.5B\=+´-´=-，\此时点B在数轴上所表示的数的相反数是8.5，②点M距原点4个单位长度，且位于原点的左侧，\=-，M4\=-+´-´=-，4 2.52 2.5716.5B\此时点B在数轴上所表示的数的相反数是16.5．4．如图，数轴的单位长为1．- 、 （1）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是 4（2）当点B为原点时，在数轴上是否存在点M，使得点M到点A的距离是点M到点D的距离的2倍，若存在，请求出此时点M所表示的数；若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，点A、点C分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点P从原点出发以3个单位长度/秒的速度向左运动，当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？【解答】解：（1）Q点B，D表示的数互为相反数，\点B为2-，D为2，\点A为4-，-，2；故答案为：4（2）存在，如图：当点M在A，D之间时，设M表示的数为x，--=-则(2)2(4)x x解得：2x=，--=-，当点M在A，D右侧时，则(2)2(4)x x解得：10x=，所以点M所表示的数为2或10；（3）设当点A与点C之间的距离为3个单位长度时，运动时间为t，A点运动到：22t-+，+，C点运动到：30.5t（1）22(30.5)3t t -+-+=解得：163t =，所以P 点对应运动的单位长度为：163163´=，所以点P 表示的数为16-．（2）30.5(22)3t t +--+=解得：43t =，所以P 点对应运动的单位长度为：4343´=，所以点P 表示的数为4-．答：点P 表示的数为16-或4-．5．已知：a 是最大的负整数，b 是最小的正整数，且c a b =+，请回答下列问题：（1）请直接写出a ，b ，c 的值：a = 1- ；b = ；c = ；（2）a ，b ，c 在数轴上所对应的点分别为A ，B ，C ，请在如图的数轴上表示出A ，B ，C 三点；（3）在（2）的情况下．点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A ，点C 以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点B 以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ，请问：AB BC -的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB BC -的值．【解答】解：（1）由题意可得1a =-，1b =，110c =-+=（2）（3）(15)(0)16BC t t t=+--=+Q (15)(1)26AB t t t=+---=+26(16)1AB BC t t \-=+-+=AB BC \-的值不会随着时间的变化而改变，AB BC -的值为1．6．数轴上有两条AB 和CD 线段，线段AB 长为4个单位长度，线段CD 的长度为2个单位长度，点A 在数轴上表示的数是5，且AD 两点之间的距离为11．（1）点B 在数轴上表示的数是 1或9 ，点C 在数轴上表示的数是 ．（2）若线段CD 以每秒3个单位的速度向左匀速运动，当点D 运动到点A 时，线段CD 与线段AB 开始有重叠部分，此时线段CD 运动了 秒．（3）在（2）的条件下，线段CD 继续向左运动，问再经过 秒后，线段CD 与线段AB 不再有重叠部分．【解答】解：（1）点B 在数轴上表示的数是 1或9，点C 在数轴上表示的数是8-、4-、14、18．故答案为：1或9；8-、4-、14、18；（2）由题意：B 点是1时，C 点是18时，11(165)33-¸=，故答案为：113；（3）当B 点是1时，C 点是18时，17(181)33-¸=．故答案为：173．7．A 点坐标为20-，C 点坐标为40，一只电子蚂蚁甲从C 点出发向左移动，速度为2个单位长度/秒．B 为数轴上（线段AC 之间）一动点，D 为BC 的中点．（1）这只电子蚂蚁甲由D 点走到AB 的中点E 处，需要几秒钟？（2）在（1）的条件下，当电子蚂蚁甲从E 点返回时，另一只蚂蚁乙同时从C 点出发向左移动，速度为3个单位长度/秒，如果两只蚂蚁相遇于H 点离B 点5个单位长度，求B 点对应的数．【解答】解：（1）A ，B 两处的距离之和是：402060BD DA DC DA AC +=+==+=；D Q 、E 分别是AB 、BC 的中点，11603022DE AC \==´=，\这只电子蚂蚁甲由D 点走到AB 的中点E 处需要的时间是：30215¸=（秒)．答：这只电子蚂蚁甲由D 点走到AB 的中点E 处需要15秒钟；（2）设B 点的位置为m ，相遇点为F ，①点F 在线段AB 上离B 点5个单位长度处，依题意有1[(20)5]:(405)2:32m m +--+=，解得3217m =；②点F 在线段BC 上离B 点5个单位长度处，依题意有1[(20)5]:(405)2:32m m ++--=，解得177m =．故B 点的位置为3217或177．8．在学习了||a 为数轴上表示数a 的点到原点的距离之后，爱思考和探究的爱棣同学想知道数轴上分别表示数a 和数b 的两个点A ，B 之间的距离该如何表示．小明采取了数学上常用的从特殊到一般的归纳法，请聪明的你和爱棣同学一起完成如下问题：（1）选取特例：①当3a =，7b =时，A ，B 之间的距离4AB =；②当3a =-，7b =时，A ，B 之间的距离AB = 10 ；③当3a =-，7b =-时，A ，B 之间的距离AB = ；（2）归纳总结：数轴上分别表示有理数a ，b 的两点A ，B 之间的距离表示为AB = ；（3）应用：数轴上，表示x 和2的两点P 和Q 之间的距离是4，试求x 的值．【解答】解：（1）②10，③4，故答案为：10；4；（2）数轴上分别表示有理数a ，b 的两点A ，B 之间的距离表示为||AB a b =-，故答案为||a b -；（3）解：由题意得：|2|4x -=，当20x -…时，24x -=，解得：6x =；当20x -<时，24x -=-，解得：2x =-；x \的值为6或2-．9．（1）小明从家出发（记为原点)O向东走3m，他在数轴上3+位置记为点A，他又向东走了5m，记为点B，B点表示什么数？接着他又向西走10m到点C，点C表示什么数？请你在数轴上标出点A、B的位置，这时如果小明要回家，则小明应如何走？-，3，若要使点E表示的数是点F表示的（2）若数轴上的点E和点F所表示的数分别是1数的2倍，保持F点不动，应将点E怎样移动？【解答】解：（1）由题意得：B点表示数8-．+，C点表示数2在数轴上表示出来如下所示：如果小明要回家，则小明可以向东走2m即可；Q点表示的数的2倍是236-，（2）E´=，E点原来所表示的数为1\应把E点向右移动7个单位．-；向东走2m；（2）向右移动7个单位故答案为：（1）8+，210．如图，点A从原点出发向数轴负方向运动，同时点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，A，B两点相距15个单位长度．已知点A与点B的速度之比是1:4（速度单位：长度/秒）．（1）求出A，B两点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒后的位置；-（2）如果A，B两点从（1）中求得的位置开始同时向数轴的负方向运动，经过几秒表示1的点恰好在A，B两点的正中间？【解答】解：（1）设动点A的速度是x单位长度/秒，根据题意得：x x+=，3(4)15解得：1x=，则44x=．答：动点A的速度是1单位长度/秒，动点B的速度是4单位长度/秒；（2）设t秒时，表示1-的点恰好处在两个动点的正中间，根据题意得：----=---，1(3)124(1)t t解得： 2.2t =，答：2.2秒时，表示1-的点恰好处在两个动点的正中间．11．如图， 已知动点P 从原点O 出发， 沿数轴的负方向以每秒 1 个单位长度的速度运动， 动点Q 从原点O 出发， 沿数轴的正方形以每秒 2 个单位长度的速度运动， 运动的时间为t （秒)．（1） 当2t =时， 求PQ 的长， 若点A 是线段PQ 的中点， 则点A 表示的数是多少？（2） 当3t =时， 求PQ 的长， 若点A 是线段PQ 的中点， 则点A 表示的数是多少？（3） 当t n =时， 求PQ 的长， 若点A 是线段PQ 的中点， 则点A 表示的数是多少？ （用 含n 的代数式表示）【解答】解： （1） 当2t =时， 动点P 从原点O 出发， 沿数轴的负方向运动 2 个单位长度， 动点Q 从原点O 出发， 沿数轴的正方向运动 4 个单位长度， 则246PQ =+=，若点A 是线段PQ 的中点， 则点A 表示的数是：(24)21-+¸=；（2） 当3t =时， 动点P 从原点O 出发， 沿数轴的负方向运动 3 个单位长度， 动点Q 从原点O 出发， 沿数轴的正方向运动 6 个单位长度， 则369PQ =+=，若点A 是线段PQ 的中点， 则点A 表示的数是：(36)2 1.5-+¸=；（3） 当t n =时， 动点P 从原点O 出发， 沿数轴的负方向运动n 个单位长度， 动点Q 从原点O 出发， 沿数轴的正方向运动2n 个单位长度， 则23PQ n n n =+=，若点A 是线段PQ 的中点， 则点A 表示的数是：(2)22n n n -+¸=．12．如图，已知A、B、C是数轴(O是原点）上的三点，点C表示的数是6，点A与点B 的距离为12，点B与点C的距离为4．（1）写出数轴上A、B两点表示的数；（2）若点B移动后与点A的距离为20，求点B与点C的距离．【解答】解：（1）因为点C表示得数为6，点B与点C的距离为4，点B在点C的左侧，所以点B表示的数为642-=，又因为点A与点B的距离为12，点A在点B左侧，所以点A表示的数为，21210-=-；--=，（2）点A与点C之间的距离为|6(10)|16①当点B向左移动时，若点B与点A的距离为20，如图1所示，所以点B与点C的距离为201636+=，②当点B向又移动时，若点B与点A的距离为20，如图2所示，所以点B与点C的距离为20164-=．13．如图，在数轴上有A、B、C这三个点．回答：（1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？:A 6- ；:B ；C ．:（2）A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．（3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？【解答】解：（1）根据图示，知A、B、C这三个点表示的数各是6-、1、4，故答案为6-、1、4；AC=--=，AB=--=；|64|10（2）根据图示知|61|7故答案为：7；10；（3）10Q，AC=\点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可．14．如图，数轴上点A，B表示到2-的距离都为6，P为线段AB上任一点，C，D两点分别从P，B同时向A点移动，且C点运动速度为每秒2个单位长度，D点运动速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒．（1）A点表示数为 8- ，B点表示数为 ，AB= ．（2）若P点表示的数是0，①运动1秒后，求CD的长度；②当D在BP上运动时，求线段AC，CD之间的数量关系式．AB=--=．【解答】解：（1）A点表示数为268--=-，B点表示的数为264-+=，4(8)12故答案为：8-，4，12；（2）①运动1秒后，:0212D-´=；C-´=-；:4311CD=--=；1(2)3②当D在BP上运动时，CD t t t=-+=-，=-，432482AC t则2=．AC CD15．已知A，B两地相距30米，小猪佩奇从A地出发前往B地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果A地在数轴上表示的数为16-．（1）求出B地在数轴上表示的数；（2）小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？（3）若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？【解答】解：（1）163014--=-．-+=，163046答：B地在数轴上表示的数是14或46-；（2）第七次行进后：12345674-+-+-+-=-，第八次行进后：123456784-+-+-+-+=，因为点P、Q与A点的距离都是4米，所以点P、点Q到A地的距离相等；（3）当n为100时，它在数轴上表示的数为：161234(1001)1001615034--+-+-¼--+=-+´=，--=（米)．34(46)80答：经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是80米．16．已知A，B两点在数轴上分别示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在-，3，=-．已知数轴上A，B两点对应的数分别为1数轴上A，B两点之间的距离||AB a bP为数轴上一动点，A，B两点之间的距离是 4 ．设点P在数轴上表示的数为x，则点P与4-表示的点之间的距离表示为 若点P到A，B两点的距离相等，则点P对应的数为 若点P到A，B两点的距离之和为8，则点P对应的数为 现在点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？【解答】解：|13|4AB =--=，点P 与4-表示的点之间的距离表示为：|4|x +，若点P 到A ，B 两点的距离相等，则点P 对应的数为1312-+=，①当点P 在点A 的左侧时，8PA PB +=Q ，即8PA PA AB ++=，4AB =，2PA \=，此时点P 所表示的数为123--=-，②点P 在点A 、B 之间时，48PA PB AB +==¹，因此不符合题意；③当点P 在点B 的右侧时，8PA PB +=Q ，即8PB PB AB ++=，4AB =，2PB \=，此时点P 所表示的数为325+=，故答案为：3-或5．设运动的时间为t 秒，Ⅰ) 当点A 、B 在相遇前相距3个单位长度时，有20.543t t -=-，解得，23t =，此时点A 所表示的数为：211233-+´=，Ⅱ) 当点A 、B 在相遇前相距3个单位长度时，有20.543t t -=+，解得，143t =，此时点A 所表示的数为：14251233-+´=，所以当点A 与点B 之间的距离为3个单位长度时，点A 所对应的数是13或253．17．如图，周长为2个单位长度的圆片上有一点Q 与数轴上的原点重合．（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q 到达数轴上点A 的位置，点A 表示的数是 2- ；（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：计次第1次第2次第3次第4次第5次第6次滚动周数3+1-2-4+3-a ①第6次滚动a 周后，Q 点距离原点4，请求出a 的值；②当圆片结束六次滚动时，求Q点一共运动的路程．【解答】解：（1）Q圆片沿数轴向左滚动1周，\点A表示的数：2-；（2）①Q第6次滚动a周后，Q点距离原点是4，\--+-+=¸=，a|31243|422\+=，a|1|2\=或3-；a1+++++´=；②当1a=时，(312431)228+++++´=．当3a=-时，(312433)232答：当圆片结束六次滚动时，Q点一共运动的路程是28或32．18．如图所示，在数轴上有三个点A，B，C，请回答：（1）将点B向左移动4个单位后，三个点中，点 B 所表示的数最小，是 ．（2）将点A向右移动3个单位后，三个点中，点 所表示的数最小，是 ．（3）将点C向左移动5个单位后，这时点B所表示的数比点C所表示的数大 ．（4）怎样移动点A，B，C中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？【解答】解：如图：（1）将点B向左移动4个单位后，三个点中，点B所表示的数最小，是6-．故答案为：B，6-；（2）将点A向右移动3个单位后，三个点中，点B所表示的数最小，是2-．-；故答案为：B，2（3）将点C 向左移动5个单位后，点B 所表示的数比点C 所表示的数大0．故答案为：0；（4）有三种不同的移动方法：方法一：将点A 向右移动2个单位，将点C 向左移动5个单位；方法二：将点A 向右移动7个单位，将点B 向右移动5个单位；方法三：将点B 向左移动2个单位，将点C 向左移动7个单位．19．在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中2AB =，1BC =，如图所示，设点A ，B ，C 所对应数的和是P ．（1）若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算P 的值；若以C 为原点，P 又是多少？（2）若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且38CO =，求P ．【解答】解：如图所示：（1）2AB =Q ，1BC =，\点A ，C 所对应的数分别为2-，1；又201P =-++Q ，1P \=-，当以C 为原点时，A 表示3-，B 表示1-，C 表示0，此时3(1)04P =-+-+=-．（2）Q 原点0在图中数轴上点C 的右边，38CO =，C \所对应数为38-，又2AB =Q ，1BC =，点A ，B 在点C 的左边，\点A ，B ，所对应数分别为39-，41-，又41(39)(38)P =-+-+-Q 118P \=-．20．如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，b 是最小的正整数，且a ，c 满足2|2|(7)0a c ++-=．（1）a = 2- ，b = ，c = ；（2）若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则点B 与数 表示的点重合；（3）点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，则AB = ，AC = ，BC = ．（用含t 的代数式表示）（4）请问：32BC AB -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【解答】解：（1）2|2|(7)0a c ++-=Q ，20a \+=，70c -=，解得2a =-，7c =，b Q 是最小的正整数，1b \=，故答案为：2-，1，7；（2）(72)2 4.5+¸=Q ，\对称点为7 4.5 2.5-=，2.5(2.51)4+-=，故答案为：4；（3）Q 点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t \秒钟过后，点A 表示的数为2t --，点B 表示的数为12t +，点C 表示的数为74t +，12(2)12233AB t t t t t \=+---=+++=+，74(2)74259AC t t t t t =+---=+++=+，74(12)741226BC t t t t t =+-+=+--=+，故答案为：33t +，59t +，26t +；（4）不变，理由如下：由（3）知：33AB t =+，26BC t =+，\-=+-+=+--=，BC AB t t t t323(26)2(33)6186612\-的值不随着时间t的变化而改变．BC AB3221．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为1-、3，（1）点P为数轴上一动点，其对应的数为x．①若点P到点A、点B的距离相等，则x= 1 ；②若点P到点A、点B的距离之和为10，则x= ；（2）若将数轴折叠，使1-与3表示的点重合．①则3-表示的点与数 表示的点重合；②若数轴上M、N两点之间的距离为2021，且M、N两点经过折叠后互相重合，求M，N两点表示的数．【解答】解：（1）①Q点P到点A、点B的距离相等，\点P为线段AB的中点，Q、B对应的数分别为1-、3，A\点P对应的数为1；故答案为：1；②Q点P到点A、点B的距离之和为10，对点P的位置分情况讨论如下：当点P在点A左边，Q点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4，\点P到点A的距离为3，x\=-；4当点P在线段AB上，不符合题意，舍去；当点P在点B右边，Q点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4，\点P到点B的距离为3，\=；6xx=-或6；\综上所述：4-或6；故答案为：4（2）①若将数轴折叠，使1-与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1，3-Q 到1的距离为4，5\到1的距离也为4，\则3-表示的点与数5表示的点重合；故答案为：5；②若数轴上M 、N 两点之间的距离为2021(M 在N 的左侧），且M ，N 两点经过折叠后互相重合，则对折点对应的数值为1，\点M 到1的距离为1010.5，M \对应的数为1009.5-，Q 点N 到1的距离为1010.5，N \点对应的数为1011.5．22．如图，已知数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ．（1）当数a 、c 满足2|4|(8)0a c ++-=时，a = 4- ，c = ．（2）若点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，认真观察图形并结合（1）的条件发现，随着点P 在数轴上左右移动，代数式||||x a x c -+-可以取得最小值，这个最小值为 ．（3）结合图形及条件（1）可知点A 与点C 之间的距离可表示为||AC a c =-，同样，点A 与点B 之间的距离可表示为||AB a b =-，点B 与点C 之间的距离表示为||BC b c =-，若点B 在直线AC 上，且满足BC AB =，求b 的值．【解答】解：（1）2|4|(8)0a c ++-=Q ，40a \+=且80c -=，4a \=-；8c =；（2）4a =-Q ；8c =，|4||8|x x \++-表示数x 与4-，8的距离之和，当48x -……时，数x 与4-，8的距离之和等于8与4-的距离，|4||8|x x \++-的最小值|8(4)|12=--=；（3）数轴上点B 表示的数为b ，Q，=BC AB\点B在线段AC上，\-=-，c b b a||||b b-=--，即8(4)解得：2b=．23．如图A在数轴上所对应的数为2-．（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到6-所在的点处时，求A，B两点间距离．-+=，【解答】解：（1）242答：点B所对应的数为2；（2）(26)22-+¸=（秒)，++´=，4(23)214答：A，B两点间距离是14个单位长度．24．已知M、N在数轴上，M对应的数是3-，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点：（1）写出点N所对应的数；（2）点P到M、N的距离之和是6个单位长度时，点P所对应的数是多少？（3）如果P、Q分别从点M、N同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点P每秒走2个单位长度，点Q每秒走3个单位长度，3秒后，点P、Q之间的距离是多少？【解答】解：（1）341-+=．故点N所对应的数是1；-¸=，（2）(64)21①点P在点M的左边：314--=-，+=．②点P在点N的右边：112故点P 所对应的数是4-或2；（3）①向左运动时：点P 对应的数是3329--´=-，点Q 对应的数是1338-´=-，\点P 、Q 之间的距离8(9)1---=；②向右运动时：点P 对应的数是3323-+´=，点Q 对应的数是13310+´=，\点P 、Q 之间的距离1037-=；综上所述，点P 、Q 之间的距离是1或7．25．如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点示数b ，C 点表示数c ，b 是最小的正整数，且a 、c 满足2|2|(7)0a c ++-=．（1）a = 2- ，b = ，c = ；（2）若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则点B 与数 表示的点重合；（3）点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，那么32BC AB -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【解答】解：（1）2|2|(7)0a c ++-=Q ，20a \+=，70c -=，解得2a =-，7c =，b Q 是最小的正整数，1b \=；故答案为：2-，1，7．（2）(72)2 4.5+¸=，对称点为7 4.5 2.5-=，2.5(2.51)4+-=；故答案为：4．（3）不变，2333AB t t t =++=+Q ，4959AC t t t =++=+，26BC t =+；323(26)2(33)12BC AB t t \-=+-+=．26．对于数轴上的A ，B ，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两点的“倍联点”．例如数轴上点A ，B ，C 所表示的数分别为1，3，4，满足2AB BC =，此时点B 是点A ，C 的“倍联点”．若数轴上点M 表示3-，点N 表示6，回答下列问题：（1）数轴上点1D ，2D ，3D 分别对应0，3.5和11，则点 1D 是点M ，N 的“倍联点”，点N 是 这两点的“倍联点”；（2）已知动点P 在点N 的右侧，若点N 是点P ，M 的倍联点，求此时点P 表示的数．【解答】解：（1）数轴上点1D ，2D ，3D 分别对应0，3.5和11，则点1D 是点M ，N 的“倍联点”，点N 是2D ，3D 这两点的“倍联点”；故答案为：1D ；2D ，3D ；（2）设点P 表示的数为x ，第一种情况：2NP NM =，则62[6(3)]x -=´--，解得24x =．第二种情况：2NP NM =，则2(6)6(3)x -=--，解得：212x =．综上所述，点P 表示的数为24或212．27．如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q 与数轴上的原点重合（计算结果保留)p （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q 到达数轴上点A 的位置，点A 表示的数是 2p - ；（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：计次第1次第2次第3次第4次第5次第6次滚动周数3+1-2-4+3-a ①第6次滚动a 周后，Q 点距离原点4p ，请直接写出a 的值；②当圆片结束运动时，求Q 点运动的路程．【解答】解：（1）Q 把圆片沿数轴向左滚动1周．\点A 表示的数是：212p p -´=-．（2）①Q 第6次滚动a 周后，Q 点距离原点4p ，|31243|422a p p \--+-+=¸=，|1|2a \+=，1a \=或3a =-，②当1a =时，(312431)228p p +++++´=，当3a =-时，(312433)232p p +++++´=．故答案为：2p -．28．如图，点A 表示的数为3-，线段12AB =（点B 在点A 右侧），动点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB 向终点B 运动，同时，另一个动点N 从点B 出发，以每秒3个单位的速度在线段AB 上来回运动（从点B 向点A 运动，到达点A 后，立即原速返回，再次到达B 点后立即调头向点A 运动）．当点M 到达B 点时，M 、N 两点都停止运动．设点M 的运动时间为x 秒．（1）当2x =时，线段MN 的长为 4 ．（2）当M 、N 两点第一次重合时，求线段BN 的长；（3）是否存在某一时刻，使点BN 的中点恰好与点M 重合，若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意，当2x =时，此时：2AM =，326BN =´=，12264MN AB BN AM =--=--=，故答案为：4；（2）设x 秒后，MN 、第一次重合，得：312x x +=解得：3x =，39BN x \==；（3）设x 秒后，点BN 的中点恰好与点M 重合，根据题意，①当点N 从点B 出发未到点A 时，即04x <<时，有3392x x -+=-，解得 4.8x =（舍去）；②当点N 到达点A 后，从A 到B 时，即48x <…时，有3332x x -+=-，解得0x =（舍去）；③当点N 第一次返回到B 后，从B 到A 时，812x <…时，有33212x x -+=-，解得9.6x =；综上所述：当9.6x =时，点Q 恰好落在线段AP 的中点上．29．阅读下面的材料并解答问题：A 点表示数a ，B 点表示数b ，C 点表示数c ，且点A 到点B 的距离记为线段AB 的长，线段AB 的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB b a =-．若b 是最小的正整数，且a 、b 满足2(5)||0c a b -++=．（1）a = 1- ，b = ，c = ．（2）若将数轴折叠，使得A 与C 点重合：①点B 与数 表示的点重合；②若数轴上P 、Q 两点之间的距离为2020(P 在Q 的左侧），且P 、Q 两点经折叠后重合，则P 、Q 两点表示的数是 、 ．【解答】解：（1）Q 最小的正整数是1，1b \=，又2(5)c -Q 和||a b +都是非负数，\当2(5)||0c a b -++=时，50c -=，0a b +=，解得1a =-，5c =，故答案为：1-，1，5；（2）Q 当将数轴折叠，使得A 与C 点重合时，可得折痕过数轴上的点表示的数为：1522-+=，\①点B 重合的点表示的数为：2213´-=，②点P 表示的数为：202022101010082-=-=-，点Q 表示的数为：202022101010122+=+=，故答案为：1008-，1012．30．如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 在原点O 的左边，表示的数为10-，点B 在原点的右边，且3BO AO =．点M 以每秒3个单位长度的速度从点A 出发向右运动．点N 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发向右运动（点M ，点N 同时出发）．（1）数轴上点B 对应的数是 30 ，点B 到点A 的距离是 ；（2）经过几秒，原点O 是线段MN 的中点？（3）经过几秒，点M ，N 分别到点B 的距离相等？【解答】解：（1）因为点A 表示的数为10-，3OB OA =，所以330OB OA ==，30(10)40--=．故B对应的数是30，点B到点A的距离是40，故答案为：30，40；（2）设经过y秒，原点O是线段MN的中点，根据题意得y=．-++=，解得210320y y答：经过2秒，原点O是线段MN的中点；（3）设经过x秒，点M、点N分别到点B的距离相等，根据题意得x=或10x=．-+=，解得14x xx x-=-或1032340302答：经过14秒或10秒，点M、点N分别到点B的距离相等．。
人教版七年级上期末动点问题专题(附答案)
人教版七年级上期末动点问题专题(附答案)七年级上期末动点问题专题 1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．（1）求线段AB的长．（2）设点P在数轴上对应的数_，当PA﹣PB=2时，求_的值．（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，_的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变． 2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为_．（1）PA=_________ ；PB= _________ （用含_的式子表示）（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出_的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由． 3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值． 4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是20__．（1）若BC=300，求点A对应的数；（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；（3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由． 6．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F 为AE的中点．（1）如图1，若CF=2，则BE= _________ ，若CF=m，BE与CF 的数量关系是（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF 的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD=7，且DF=3DE？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 7．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM= _________ AB．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值． 8．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为_．（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么_的值是_________ ；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出_的值；若不存在，请说明理由．（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？ 9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数_________ ，点P 表示的数_________ 用含t的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？（3）若M为AP的中点，N 为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；10．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数_________ ，点P表示的数_________ （用含t的代数式表示）；②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；（2）动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．（1）求线段AB的长．（2）设点P在数轴上对应的数_，当PA﹣PB=2时，求_的值．（3）M、N分别是PA、PB 的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，_的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．2097170 分析^p ：（1）根据非负数的和为0，各项都为0；（2）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题；（3）利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出．解答：解：（1）∵|2b﹣6|+（a+1）2=0，∴a=﹣1，b=3，∴AB=|a﹣b|=4，即线段AB的长度为4．（2）当P在点A左侧时， |PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣4≠2．当P在点B右侧时， |PA|﹣|PB|=|AB|=4≠2．∴上述两种情况的点P不存在．当P在A、B之间时，﹣1≤_≤3，∵|PA|=|_+1|=_+1，|PB|=|_﹣3|=3﹣_，∴|PA|﹣|PB|=2，∴_+1﹣（3﹣_）=2．∴解得：_=2；（3）由已知可得出：PM=PA，PN=PB，当①PM÷PN的值不变时，PM÷PN=PA÷PB．②|PM﹣PN|的值不变成立．故当P在线段AB上时， PM+PN=（PA+PB）=AB=2，当P在AB延长线上或BA延长线上时， |PM﹣PN|=|PA﹣PB|=|AB|=2．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为_．（1）PA= |_+1| ；PB= |_﹣3| （用含_的式子表示）（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出_的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．2097170 分析^p ：（1）根据数轴上两点之间的距离求法得出PA，PB的长；（2）分三种情况：①当点P在A、B之间时，②当点P在B点右边时，③当点P在A点左边时，分别求出即可；（3）根据题意用t表示出AB，OP，MN的长，进而求出答案．解答：解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为_，∴PA=|_+1|；PB=|_﹣3|（用含_的式子表示）；故答案为：|_+1|，|_﹣3|；（2）分三种情况：①当点P在A、B之间时，PA+PB=4，故舍去．②当点P在B点右边时，PA=_+1，PB=_﹣3，∴（_+1）（_﹣3）=5，∴_=3.5；③当点P在A点左边时，PA=﹣_﹣1，PB=3﹣_，∴（﹣_﹣1）+（3﹣_）=5，∴_=﹣1.5；（3）的值不发生变化．理由：设运动时间为t分钟．则OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3， AB=OA+OB=25t+4，AP=OA+OP=6t+1， AM=AP=+3t， OM=OA﹣AM=5t+1﹣（+3t）=2t+， ON=OB=10t+，∴MN=OM+ON=12t+2，∴==2，∴在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，的值不发生变化．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键． 3．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．考点：两点间的距离．2097170 分析^p ：（1）求出MP，NP的长度，即可得出MN的长度；（2）分三种情况：①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，分别表示出MN的长度即可作出判断；（3）设AC=BC=_，PB=y，分别表示出①、②的值，继而可作出判断．解答：解：（1）∵AP=8，点M是AP中点，∴MP=AP=4，∴BP=AB﹣AP=6，又∵点N是PB中点，∴PN=PB=3，∴MN=MP+PN=7．（2）①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，均有MN=AB=7．（3）选择②．设AC=BC=_，PB=y，①==（在变化）；（定值）．点评：本题考查了两点间的距离，解答本题注意分类讨论思想的运用，理解线段中点的定义，难度一般． 4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP 上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．考点：比较线段的长短．2097170 专题：数形结合．分析^p ：（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；（2）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以．解答：解：（1）根据C、D的运动速度知：BD=2PC ∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，∴点P在线段AB上的处；（2）如图：∵AQ﹣BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ；又AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴，∴．当点Q＇在AB的延长线上时 AQ＇﹣AP=PQ＇所以AQ＇﹣BQ＇=3PQ=AB 所以=；（3）②．理由：如图，当点C停止运动时，有，∴；∴，∵，∴，∴；当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，．点评：本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 5．如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是20__．（1）若BC=300，求点A对应的数；（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；（3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC﹣AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由．考点：一元一次方程的应用；比较线段的长短．2097170 分析^p ：（1）根据BC=300，AB=AC，得出AC=600，利用点C对应的数是20__，即可得出点A对应的数；（2）假设_秒Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，得出等式方程求出即可；（3）假设经过的时间为y，得出PE=10y，QD=5y，进而得出+5y﹣400=y，得出﹣AM=﹣y原题得证．解答：解：（1）∵BC=300，AB=，所以AC=600，C点对应20__，∴A点对应的数为：20__﹣600=﹣400；（2）设_秒时，Q在R右边时，恰好满足MR=4RN，∴MR=（10+2）×，RN=[600﹣（5+2）_]，∴MR=4RN，（10+2）×=4×[600﹣（5+2）_]，解得：_=60；∴60秒时恰好满足MR=4RN；（3）设经过的时间为y，则PE=10y，QD=5y，于是PQ点为[0﹣（﹣800）]+10y﹣5y=800+5y，一半则是，所以AM点为：+5y﹣400=y，又QC=20__+5y，所以﹣AM=﹣y=300为定值．点评：此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析^p ． 6．如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF=2，则BE= 4 ，若CF=m，BE与CF的数量关系是（2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD=7，且DF=3DE？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．考点：两点间的距离；一元一次方程的应用．2097170 分析^p ：（1）先根据EF=CE﹣CF求出EF，再根据中点的定义求出AE，然后根据BE=AB﹣AE代入数据进行计算即可得解；根据BE、CF的长度写出数量关系即可；（2）根据中点定义可得AE=2EF，再根据BE=AB﹣AE整理即可得解；（3）设DE=_，然后表示出DF、EF、CF、BE，然后代入BE=2CF求解得到_的值，再求出DF、CF，计算即可得解．解答：解：（1）∵CE=6，CF=2，∴EF=CE﹣CF=6﹣2=4，∵F为AE的中点，∴AE=2EF=2×4=8，∴BE=AB﹣AE=12﹣8=4，若CF=m，则BE=2m， BE=2CF；（2）（1）中BE=2CF仍然成立．理由如下：∵F为AE的中点，∴AE=2EF，∴BE=AB﹣AE， =12﹣2EF， =12﹣2（CE﹣CF）， =12﹣2（6﹣CF），=2CF；（3）存在，DF=3．理由如下：设DE=_，则DF=3_，∴EF=2_，CF=6﹣_，BE=_+7，由（2）知：BE=2CF，∴_+7=2（6﹣_），解得，_=1，∴DF=3，CF=5，∴=6．点评：本题考查了两点间的距离，中点的定义，准确识图，找出图中各线段之间的关系并准确判断出BE的表示是解题的关键． 7．已知：如图1，M是定长线段AB 上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM= AB．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．考点：比较线段的长短．2097170 专题：分类讨论．分析^p ：（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；（2）根据图形即可直接解答；（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．解答：解：（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=6cm ∵AB=10cm，CM=2cm，BD=6cm ∴AC+MD=AB﹣CM﹣BD=10﹣2﹣6=2cm （2）（3）当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣AM=MN∴BN=AM=AB，∴MN=AB，即．当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣BN=AB ∴MN=AB，即．综上所述= 点评：本题考查求线段的长短的知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答． 8．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为_．（1）如果点P到点M，点N 的距离相等，那么_的值是﹣1 ；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出_的值；若不存在，请说明理由．（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．2097170 分析^p ：（1）根据三点M，O，N对应的数，得出NM的中点为：_=（﹣3+1）÷2进而求出即可；（2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可；（3）分别根据①当点M和点N在点P同侧时，②当点M和点N在点P两侧时求出即可．解答：解：（1）∵M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P到点M，点N的距离相等，∴_的值是﹣1．（2）存在符合题意的点P，此时_=﹣3.5或1.5．（3）设运动t分钟时，点P对应的数是﹣3t，点M对应的数是﹣3﹣t，点N对应的数是1﹣4t．①当点M和点N在点P同侧时，因为PM=PN，所以点M和点N重合，所以﹣3﹣t=1﹣4t，解得，符合题意．②当点M和点N在点P两侧时，有两种情况．情况1：如果点M在点N左侧，PM=﹣3t﹣（﹣3﹣t）=3﹣2t．PN=（1﹣4t）﹣（﹣3t）=1﹣t．因为PM=PN，所以3﹣2t=1﹣t，解得t=2．此时点M对应的数是﹣5，点N对应的数是﹣7，点M在点N右侧，不符合题意，舍去．情况2：如果点M在点N右侧，PM=（﹣3t）﹣（1﹣4t）=2t﹣3．PN=﹣3t﹣（1+4t）=t﹣1．因为PM=PN，所以2t﹣3=t﹣1，解得t=2．此时点M对应的数是﹣5，点N对应的数是﹣7，点M在点N 右侧，符合题意．综上所述，三点同时出发，分钟或2分钟时点P到点M，点N 的距离相等．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M，N位置的不同进行分类讨论得出是解题关键． 9．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数﹣4 ，点P表示的数6﹣6t 用含t的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？（3）若M为AP的中点，N 为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；考点：数轴；一元一次方程的应用；两点间的距离．2097170 专题：方程思想．分析^p ：（1）B点表示的数为6﹣10=﹣4；点P表示的数为6﹣6t；（2）点P运动_秒时，在点C处追上点R，然后建立方程6_﹣4_=10，解方程即可；（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．解答：解：（1）答案为﹣4，6﹣6t；（2）设点P运动_秒时，在点C处追上点R（如图）则AC=6_，BC=4_，∵AC﹣BC=AB，∴6_﹣4_=10，解得：_=5，∴点P运动5秒时，在点C处追上点R．（3）线段MN的长度不发生变化，都等于5．理由如下：分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=5；②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=5，∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．点评：本题考查了数轴：数轴的三要素（正方向、原点和单位长度）．也考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离． 10．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数﹣4 ，点P表示的数6﹣6t （用含t的代数式表示）；②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；（2）动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P遇到点R时，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．2097170 专题：动点型．分析^p ：（1）①设B点表示的数为_，根据数轴上两点间的距离公式建立方程求出其解，再根据数轴上点的运动就可以求出P点的坐标；②分类讨论：当点P在点A、B两点之间运动时；当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN；（2）先求出P、R从A、B出发相遇时的时间，再求出P、R相遇时P、Q之间剩余的路程的相遇时间，就可以求出P一共走的时间，由P的速度就可以求出P点行驶的路程．解答：解：（1）设B点表示的数为_，由题意，得 6﹣_=10，_=﹣4 ∴B点表示的数为：﹣4，点P表示的数为：6﹣6t；②线段MN的长度不发生变化，都等于5．理由如下：分两种情况：当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=5；当点P运动到点B的左侧时：MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=5，∴综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．（2）由题意得：P、R的相遇时间为：10÷（6-）=3014s，（追及问题）P、Q剩余的路程为：3014×（6-1）=15014，（3014s时P、Q行程差）P、Q相遇的时间为：15014÷（6+1）=15014_7s，（相遇问题）∴P点走的路程为：6×（3014+15014_7）=108049 点评：本题考查了数轴及数轴的三要素（正方向、原点和单位长度）．一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离公式的运用，行程问题中的路程=速度×时间的运用．。
人教版七年级数学上册专题复习 数轴上的动点问题讲义 含部分答案
精品文档数轴上的运动问题在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。
分钟，小明的平均速度为多少米每秒？米，小明从甲地步行到乙地，用时 3 1】甲乙两地相距200 【题这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会【分析】解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：小明乙地甲地10 ?200 ?180 （米/ 秒）【解法一】直接利用：速度=路程÷时间解决。
910x ?秒200 ? 180x x米/ ，根据路程=时间×速度，得：。
，解得【解法二】用方程解。
设速度为9如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数轴上的运动问题了。
200 0 出 A ，一只电子蚂蚁 A 表示的数为P ，点 B 表示的数为从2【题】如图，数轴上有两点A、B，点1。
B 点运动停止。
设运动时间为tB 个单位每秒的速度由A 往运动，到发，以运动的距离；t 的代数式表示电子蚂蚁P （1）用含表示的数；t 的代数式表示电子蚂蚁P （2）用含的距离。
到数 B （3）用含t 的代数式表示电子蚂蚁P的三等分点？为线段AB （4）当电子蚂蚁运动多少时间后，点P引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无【分析】轴上=速度×时间。
其余的点的距离，利用数限的距离问题。
所以，对于运动的点，处理的核心思想依然是路程两点间距离公式解决。
t ?AP ；=速度×时间，有：）根据路程（1t t AP ?；，故点P （2）表示的数为t t PB ? 200 ?，点P ，且P 在B 表示的数为左边，故。
（3）点B 表示的数为200 的三等分点，有两种情况：）若P 为AB （4400???? 2 ?t 200 ?t t ，解得，即：①AP=2PB秒； 3200?t t t 2? 200 ?，解得②2AP=PB，即：秒； 3一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：2】一般化，线段AB 现在，我们将【题b a 200 的距离为B 表示的数为，且数A 和数B ，点【题3】如图，数轴上有两点A、B A 表示的数为，点1点运动停止。
人教版数学七年级上学期专题02 数轴上的三种动点问题(原卷版)(原卷版+解析版)(人教版)
专题02 数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。
那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。
【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A 、B 两点表示的数为分别为a 、b ，则A 与B 间的距离AB=|a －b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a 表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为a+b ；向左移动b 个单位长度后到达点表示的数为a －b.类型一、求值（速度、时间、距离）例1．如图在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，a ，b 满足2a +＋6b -＝0；(1)点A 表示的数为 ；点B 表示的数为 ；(2)若点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，请在数轴上找一点C ，使AC ＝2BC ，则C 点表示的数 ；(3)若在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处以2个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 （用t 表示）．【答案】(1)-2；6；(2)103或14 (3)甲球与原点的距离为：t +2；当03t 时，乙球到原点的距离为62t -；当3t >时，乙球到原点的距离为26t -【解析】(1)解：∵|a +2|+|b −6|=0，∵a +2=0，b −6=0，解得，a =−2，b =6，∵点A 表示的数为−2，点B 表示的数为6．故答案为：−2；6．(2)设数轴上点C 表示的数为c ，∵AC =2BC ，∵|c −a |=2|c −b |，即|c +2|=2|c −6|，∵AC =2BC >BC ，∵点C 不可能在BA 的延长线上，则C 点可能在线段AB 上和线段AB 的延长线上， ①当C 点在线段AB 上时，则有−2∵c ∵6，得c +2=2(6−c )，解得：c =103； ②当C 点在线段AB 的延长线上时，则有c >6，得c +2=2(c −6)，解得c =14，故当AC =2BC 时，c =103或c =14；故答案为：103或14． (3)∵甲球运动的路程为：1∵t =t ，OA =2，∵甲球与原点的距离为：t +2；乙球到原点的距离分两种情况：①当0<t ∵3时，乙球从点B 处开始向左运动，直到原点O ，∵OB =6，乙球运动的路程为：2∵t =2t ，乙到原点的距离：6−2t (0∵t ∵3)；②当t >3时，乙球从原点O 处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t −6(t >3)．例2．如图，数轴上两个动点A ，B 起始位置所表示的数分别为8-，4，A ，B 两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A 点的运动速度为2个单位/秒．(1)若A ，B 两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B 点的运动速度．(2)若A ，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？(3)若A ，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C 点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有2CA CB =，求C 点的运动速度．【答案】(1)1个单位/秒；(2)4秒和20秒；(3)43个单位/秒 【解析】(1)解：B 点的运动速度为：8422OA OB ÷=÷=1个单位/秒． (2)∵OA +OB =8+4=12＞8，且A 点运动速度大于B 点的速度，∵分两种情况，①当点B 在点A 的右侧时，运动时间为1281821OA OB -+-=-=4秒． ②当点A 在点B 的右侧时，运动时间为1281821OA OB +++=-=20秒， 综合①②得，4秒和20秒时，两点相距都是8个单位长度；(3)设点C 的运动速度为x 个单位/秒，运动时间为t ，根据题意得知8+（2-x ）×t =[4+（x -1）×t ]×2，整理，得2-x =2x -2，解得x =43， 故C 点的运动速度为43个单位/秒．【变式训练1】如图，将一条数轴在原点O 和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A 表示-10，点B 表示10，点C 表示18，我们称点A 和点C 在数轴上相距28个长度单位．动点P 、Q 同时出发，点P 从点A 出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q 从点C 出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B 运动到点O 期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t 秒．问：(1)动点P 从点A 运动至点C 需要多少时间？(2)求P 、Q 两点相遇时，t 的值和相遇点M 所对应的数．【答案】(1)动点P 从点A 运动至点C 需要19秒；(2)P 、Q 两点相遇时，t 的值为313秒，相遇点M 所对应的数是163． 【解析】(1)解：由图可知：动点P 从点A 运动至C 分成三段，分别为AO 、OB 、BC ，AO 段时间为102＝5，OB 段时间为101=10，BC 段时间为82=4， ∵动点P 从点A 运动至C 点需要时间为5+10+4=19（秒），答：动点P 从点A 运动至点C 需要19秒；(2)解：点Q 经过8秒后从点B 运动到OB 段，而点P 经过5秒后从点A 运动到OB 段，经过3秒后还在OB 段，∵P 、Q 两点在OB 段相遇，设点Q 经过8秒后从点B 运动到OB 段，再经进y 秒与点P 在OB 段相遇，依题意得：3+y +2y =10，解得：y =73，∵P 、Q 两点相遇时经过的时间为8+73=313（秒）， 此时相遇点M 在“折线数轴”上所对应的数是为3+73=163； 答：P 、Q 两点相遇时，t 的值为313秒，相遇点M 所对应的数是163． 【变式训练2】如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，点B 表示的数为4，8AB =，2BC =．(1)点A 表示的数是______，点C 表示的数是______．(2)动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P 的运动时间为t （0t >）秒．①用含t 的代数式表示：点P 表示的数为______，点Q 表示是数为______；②当1t =时，点P 、Q 之间的距离为______；③当点Q 在C B →上运动时，用含t 的代数式表示点P 、Q 之间的距离；④当点P 、Q 到点C 的距离相等时，直接写出t 的值．【答案】(1)4-，6；(2)①42t -+，6t -；②7；③103t -；④t 的值为103或10 【解析】(1)解：A 点在B 点左边，B 点表示4，AB =8，∵A 点表示的数，4-8=-4；C 点在B 点右边，BC =2，∵C 点表示的数为：4+2=6；(2)解：①P 点向右运动，∵P 点表示的数为-4+2t ；Q 点向左运动，∵Q 点表示的数为6-t ；②t =1时，P 点-2，Q 点5，两点距离=5-（-2）=7；③∵Q 点在右，P 点在左，∵两点距离=6-t -（-4+2t ）=10-3t ，④当P ，Q 相遇时，两点到C 点距离相等，此时2t +t =10，解得：t =103， 当P 点在C 点右边，Q 点在C 点左边时，-4+2t -6=6-（6-t ），解得：t =10，∵t 的值为103或10； 【变式训练3】如图，点A 、B 为数轴上的点（点A 在数轴的正半轴），8AB =，N 为AB 的中点，且点N 表示的数为2．(1)点A 表示的数为______，点B 表示的数为______；(2)点M 为数轴上一动点，点C 是AM 的中点，若1CM =，求点M 表示的数，并画出点M 的位置；(3)点P 从点N 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，设运动时间为()0t t >秒．在运动过程中，点P 、Q 之间的距离为3时，求运动时间t 的值．【答案】(1)6，﹣2；(2)8或4；(3)1秒或7秒．【解析】(1)解：∵8AB =，N 为AB 的中点，∵AN ＝BN ＝12AB ＝4∵点N表示的数为2，点A在点N的右侧，点B在点N的左侧∵点A表示的数为2＋4＝6，点B表示的数为2－4＝﹣2，即点A表示的数为6，点B表示的数为﹣2，故答案为：6，﹣2(2)解：当点M在点A的右侧时，如图1所示，∵ C是AM的中点，CM＝1，∵AM＝2CM＝2，∵点M表示的数是6＋2＝8；当点M在点A的左侧时，如图2所示，∵ C是AM的中点，CM＝1，∵AM＝2CM＝2，∵点M表示的数是6－2＝4．故点M表示的数是8或4；(3)解：当点P在点Q的右侧，即点P还没追上点Q时，如图3，由题意得t＋4－2t＝3，解得t＝1，当点P在点Q的左侧，即点P追上点Q并超过点Q时，如图4所示，由题意得2t－t－4＝3，解得t＝7，∵点P、Q之间的距离为3时，运动时间t＝1秒或7秒．类型二、定值问题例1．已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n－m3n2－m－2的次数．请回答下列问题：(1)请直接写出a、b、c的值．a＝，b＝，c＝．(2)数轴上，a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．①t秒钟过后，AC的长度为（用含t的关系式表示）；②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【答案】(1)-1，1，5；(2)①4t＋6；②不会变化，2【解析】(1)解：由题意得，单项式-xy2的系数a＝-1，最小的正整数b＝1，多项式2m2n-m3n2-m-2的次数c＝5；故答案为：-1，1，5(2)①t秒后点A对应的数为a-t，点B对应的数为b＋t，点C对应的数为c＋3t，故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t；故答案为：6＋4t②∵BC＝5＋3t-（1＋t）＝4＋2t，AB＝1＋t-（-1-t）＝2＋2t；∵BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2，故BC-AB的值不会随时间t的变化而改变．其值为2．AB=．动点P从点A出发，【变式训练1】如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上一点．且20t t>秒．以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)(1)写出数轴上点B表示的数___，点P表示的数___（用含t的代数式表示）；(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q；(3)若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【答案】(1)﹣8，12﹣5t；(2)点P运动10秒时追上点Q；(3)线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由见解析．【解析】(1)解：∵点A 表示的数为12，B 在A 点左边，AB =20，∵点B 表示的数是12-20=-8，∵动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t （t ＞0）秒， ∵点P 表示的数是12-5t ．故答案为：-8，12-5t ；(2)解：设点P 运动x 秒追上点Q ，Q 表示的数是-8-3t ，根据题意得：12-5x =-8-3x ，解得：x =10，∵点P 运动10秒时追上点Q ；(3)解：线段MN 的长度不发生变化，都等于10；理由如下：∵点A 表示的数为12，点P 表示的数是12-5t ，M 为AP 的中点，∵M 表示的数是1212551222t t +-=-， ∵点B 表示的数是-8，点P 表示的数是12-5t ，N 为PB 的中点，∵N 表示的数是81255222t t -+-=-， ∵MN =（12-52t ）-（2-52t ）=10． 【变式训练2】如图，已知数轴上点A 表示的数为9，B 是数轴负方向上一点，且15AB =．动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为(0)t t >秒．(1)数轴上点B 表示的数为_____，点P 表示的数为________；（用含t 的代数式表示）(2)动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P ，Q 同时出发，问t 为何值时，点P 追上点Q ？此时P 点表示的数是多少？(3)若点M 是线段AP 的中点，点N 是线段BP 的中点．点P 在运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出MN 的长度；【答案】(1)6-，95-t ；(2)－16；(3)不发生变化，152【解析】(1)解：∵数轴上点A 表示的数为8，且AB =14，∵点B 表示的数为−6，点P 表示的数为95-t ，故答案为：6-，95-t ．(2)解：设点P 运动t 秒时，在点C 处追上点Q ，如图，则5,2==AC t BC t ，因为AC BC AB -=，所以5215-=t t ．解得5t =．所以点P 运动5秒时，在点C 处追上点Q ．当5t =时，9592516-=-=-t ．此时P 点表示的数是16-．(3)解：不发生变化．理由是：因为M 是线段AP 的中点，N 是线段BP 的中点，所以11,22==PM AP PN BP ． 分两种情况：①当点P 在点A 、B 两点之间运动时，如图所示，所以111115()22222=+=+=+==MN MP NP AP BP AP BP AB ． ②当点P 运动到点B 的左侧时，如图所示，所以111115()22222=-=-=-==MN MP NP AP BP AP BP AB ． 综上所述，线段MN 的长度不发生变化，其值为152． 【变式训练3】点A 、B 在数轴上对应的数分别为a 、b ，且a 、b 满足2130a b ++-=．(1)如图1，求线段AB 的长；(2)若点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程12122x x +=-的根，在数轴上是否存在点P 使PA PB BC +=，若存在，求出点P 对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图2，点P 在B 点右侧，P A 的中点为M ，N 为PB 靠近于B 点的四等分点，当P 在B 的右侧运动时，有两个结论：①2PM BN -的值不变；②23PM BN -的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．【答案】(1)4；(2)存在，当点P 表示的数为-1.5或3.5时，PA PB BC +=；理由见解析(3)结论①正确，2PM BN -=2【解析】(1)解：∵|a +1|+（b -3）2=0，∵a +1=0，b -3=0，∵a =-1，b =3，∵AB =|-1-3|=4．答：AB 的长为4；(2)解：存在，∵12122x x +=-，∵x =-2，∵BC =23--=5． 设点P 在数轴上对应的数是m ，∵PA PB BC +=，∵|m +1|+|m -3|=5，令m +1=0，m -3=0，∵m =-1或m =3．①当m ≤-1时，-m -1+3-m =5，m =-1.5；②当-1＜m ≤3时，m +1+3-m =5，（舍去）；③当m ＞3时，m +1+m -3=5，m =3.5．∵当点P 表示的数为-1.5或3.5时，PA PB BC +=；(3)解：设P 点所表示的数为n ，∵P A =n +1，PB =n -3．∵P A 的中点为M ，∵PM =12P A =12n +． ∵N 为PB 的四等分点且靠近于B 点，∵BN =14PB =34n -，∵①PM -2BN =12n +-2×34n -=2（不变）， ②PM +23BN =12n ++23×34n -=23n （随点P 的变化而变化）， ∵正确的结论为①，且PM -2BN =2．类型三、点之间的位置关系问题例1．如图，已知在数轴上有A ，B 两点，点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且12AB =．若有一动点P 从数轴上点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P 的运动时间为t 秒．(1)解决问题：①当1t =时，写出数轴上点B ，P 所表示的数；②若点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，问点P 运动多少秒与点Q 相距3个单位长度？(2)探索问题：若M 为AQ 的中点，N 为BP 的中点．当点P 在A ，B 两点之间运动时，探索线段MN 与线段PQ 的数量关系（写出过程）．【答案】(1)①点B 表示-4，点P 表示5；②1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析【解析】(1)解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∵点B表示的数是8-12=-4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∵点P表示的数是8-3×1=5．②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB-3，∵3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∵3x+2x=15，解得：x=3．∵点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=12AQ+12BP-PQ=12（AQ+BP-PQ）-12PQ=12AB-12PQ=12（12-PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．例2.如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c 满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止．(1)a＝，b＝；(2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，P A+PB+PC＝13，求x的值．(3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值．【答案】(1)﹣3，﹣1；(2)13或1或53或233；(3)1，2617，167，8．【解析】(1)解：b是最大的负整数，即b=﹣1，|a+3|+（c﹣9）2＝0，∵|a+3|=0，（c﹣9）2＝0，∵a=﹣3，c=9，故答案为：﹣3，﹣1；(2)解：AB=2，BC=10，AC=12，P A+PB+PC＝13，P A+PC=12，则PB=1，∵此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得：由B到A时：x=1÷3=13，由A到B时：x=3÷3=1，由B到C时：x=5÷3=53，由C到B时：x=23÷3=233；故x的值为:13或1或53或233．(3)解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1（0≤t＜23），当P点由A到C运动时P=﹣3＋（3t－2）=3t－5（23≤t＜143），当P点由C到B运动时P=9－（3t－14）=﹣3t＋23（143≤t≤8），当M点由A到C运动时M=4t－3，当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9，PM相遇时3t＋4t=2，t=27，MN相遇时4t＋5t=12，t=43，PN相遇时3t＋5t=12＋2，t=74，0≤t＜27，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t－1）解得t=﹣85舍去；2 7＜t＜23，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2（4t－3）解得t=78舍去；2 3≤t＜43，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2（4t－3）解得t=1；4 3＜t＜74，N在中间，则4t－3＋3t－5=2（﹣5t＋9）解得t=2617；7 4＜t＜143，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（3t－5）解得t=167；14 3≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t＋23）解得t=8；故t的值为：1，2617，167，8．【变式训练1】如图，已知A、B、C是数轴上三点，点O为原点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．(1)写出数轴上点A、B表示的数；(2)动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，点M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝13CQ，设运动时间为t（t＞0）秒．①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）；②当M、B、N三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t的值．【答案】(1)A点表示-10，B表示2，(2)①点M表示的数为：-10+3t，点N表示的数为：6+t，②t的值为：2秒或285秒或20秒；【解析】(1)解：∵O为原点，C表示6，BC=4，∵B表示2，∵AB=12，∵A点表示-10；(2)解：①∵点P从A点以每秒6个单位长度沿数轴向右匀速运动，∵P点表示的数为-10+6t，∵点M为AP的中点，∵点M表示的数为：12（-10-10+6t）=-10+3t，∵点Q从C点以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动，∵Q点表示的数为6+3t，∵点N为13CQ，∵点N表示的数为：6+13×（6+3t-6）=6+t，②当M是B、N中点，B点在左侧时，BM=MN，即-10+3t-2=6+t-（-10+3t），解得：t=285，当B是M、N中点，M点在左侧时，BM=BN，即2-（-10+3t）=6+t-2，解得：t=2，当N是B、M中点，B点在左侧时，BN=MN，即6+t-2=-10+3t-（6+t），解得：t=20，∵t的值为：2秒或285秒或20秒；【变式训练2】已知，如图1：数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为－5，点B表示的数为13，点C 表示的数为－2，将一条长为9个单位长度的线段MN放在该数轴上（点M在点N的左边）．(1)求线段AB中点表示的数；(2)如图2：若从点M与点A重合开始，将线段MN以0.3个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动，经过x秒后，点N恰为线段BC的中点，求x的值；(3)如图3：在（2）的基础上，若线段MN向右移动的同时，动点P从点C开始以0.6个单位长度/秒的速度也沿数轴向右移动，设移动的时间为t秒，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，求t的值．【答案】(1)4；(2)5；(3)703或803【解析】(1)解：线段AB中点表示的数为51342-+=，∵线段AB中点表示的数为4；(2)解：点N表示的数为：-5+9=4线段BC中点表示的数为：2135.52-+=根据题意，得4+0.3x=5.5，解得：x=5，∵点N恰为线段BC的中点重合时，x的值为5；(3)解：当点N恰为线段BP的中点时，根据题意，得20.61340.32tt-++=+，方程无解，当点P恰为线段BN的中点时，根据题意，得40.31320.62tt++=-+，解得：t=703，当点B恰为线段PN的中点时，根据题意，得20.640.3132t t-+++=，解得：t=803，综上，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，t的值为703或803．【变式训练3】已知A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C 是(),A B的优点．例如：如图1，A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是(),A B的优点；表示数0的点D到点C的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是(),B C的优点．(1)在图1中，点C是(),A B的优点，也是（A，_____________）的优点；点D是(),B C的优点，也是（B，_____________）的优点；(2)如图2，A ，B 为数轴上两点，点A 所表示的数为－2，点B 所表示的数为4．设数x 所表示的点是(),A B 的优点，求x 的值；(3)如图3，A ，B 为数轴两点，点A 所表的数为－20，点B 所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁Р从点B 出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A 停止，设点Р的运动时间为t 秒，在点Р运动过程中，是否存在P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点﹖如果存在请求出t 的值；如果不存在，说明理由．【答案】(1)D ，A ；(2)10或2；(3)当4t =或6t =或8t =时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点【解析】(1)解：A ，B 为数轴上两点，点A 表示的数为－1，点D 表示的数为0，表示数1的点C 到点A 的距离是2，到点D 的距离是1，那么点C 是(),A D 的优点；表示数0的点D 到点B 的距离是2，到点A 的距离是1，那么点D 是A 的优点，故答案为：D ；A ；(2)解：由题意得()224x x --=-，∵()224x x +=-或()224x x +=--，解得10x =或2x =；(3)解：由题意得运动t 秒时点P 表示的数为405t -，∵()40520605PA t t =---=-，()=404055PB t t --=，()402060AB =--=，当A 是（B ，P ）的优点时，∵()602605t =-，解得6t =；当B 为（A ，P ）的优点时6025t =⋅，解得6t =；当P 为（A 、B ）的优点时60525t t -=⋅，解得4t =；当P 为（B ，A ）的优点时()52605t t =-，解得8t =；综上所述，当4t =或6t =或8t =时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的优点专题02 数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。
部编数学七年级上册专题08线段上册动点问题的三种考法(解析版)(人教版)含答案
专题08 线段上动点问题的三种考法类型一、求值问题例.数轴上有A ，B ，C 三点，A ，B 表示的数分别为m ，n ()m n <，点C 在B 的右侧，2AC AB -=．(1)如图1，若多项式()371231m n x x x +--+-是关于x 的二次三项式，请直接写出m ，n 的值：(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段EF （E 在F 的左侧）在A ，B 之间沿数轴水平滑动（不与A ，B 重合），点M 是EC 的中点，N 是BF 的中点，在EF 滑动过程中，线段MN 的长度是否发生变化，请判断并说明理由；(3)若点D 是AC 的中点．①直接写出点D 表示的数____________（用含m ，n 的式子表示）；②若24AD BD +=，试求线段AB 的长．【答案】(1)5m =-，1n =；(2)不变化，理由见解析；(3)①12m n ++；②103【解析】(1)解：由题可知，n -1=0，7+m =2，∴1n =，5m =-故答案为：5m =-，1n =(2)解：MN 的长不发生变化，理由如下：由题意，得点C 表示的数为3，设点E 表示的数为x ，则点F 表示的数为1x +∴6AB = ，2BC = ，5AE x =+ ，6AF x =+ ，3EC x =- ，BF x =-，∵点M 是EC 的中点，N 是BF 的中点∴32x MC ME -==，2x NF -=，即311222x x MN ME EF FN --=--=--=(3)解：①∵A ，B 表示的数分别为m ，n ()m n <又点C 在B 的右侧，∴AB =n -m∵2AC AB -=，∴AC = n -m +2∵点D 是AC 的中点，∴AD =12AC = 12（n -m +2）∴D 表示的数为：m + 12（n -m +2）=12m n ++②依题意，点C 表示的数分别为2n +∴AB n m =-，1122m n n m AD m +-=+-=+∴1122m n m n BD n +-=+-=+，22122m n BD m n -=+=-+∵24AD BD +=，即1242n m m n -++-+=当20m n -+>时．()1242n m m n -++-+=，2m n -=∵m n <，∴2m n -=不符合题意，舍去当20m n -+<时．()1242n m m n -+--+=，103n m -=综上所述，线段AB 的长为103.【变式训练1】如图1，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB ，AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”．（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知AB ＝15cm ．动点P 从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速运动；点Q 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿BA 向点A 匀速运动，点P ，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t （s ），当t ＝__s 时，Q 为A ，P 的“巧点”．【答案】是 7.5或457【解析】（1）若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点”（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，①Q为AP中点，20152tt+-=，∴t＝7.5；②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，∵AQ＝2PQ，∴15﹣t＝2（3t﹣15），∴457t=；③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），∴t＝9>7.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或45 7．故答案为：（1）是；（2）7.5或45 7．【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s 的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3AB的值．【答案】(1)7cm；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=13 BM故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∵BM ＝AB ﹣AM ∴AB ﹣AM ＝3AM ，∴AM ＝14AB ，①当点N 在线段AB 上时，如图∵AN ﹣BN ＝MN ，又∵AN ﹣AM ＝MN ，∴BN ＝AM ＝14AB ，∴MN ＝12AB ，即2MN 3AB =13．②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图∵AN ﹣BN ＝MN ，又∵AN ﹣BN ＝AB ，∴MN ＝AB ，∴MN AB=1,即2MN 3AB =23．综上所述2MN 3AB ＝13或23【变式训练3】如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则AB OM的值为_______．【答案】1或53【解析】设运动的时间为t 秒，点M 表示的数为m则OC=t ，BD=4t ，即点C 在数轴上表示的数为-t ，点D 在数轴上表示的数为b-4t ，∴AC=-t-a ，OD=b-4t ，由OD=4AC 得，b-4t=4（-t-a ），即：b=-4a ，①若点M 在点B 的右侧时，如图1所示：由AM-BM=OM 得，m-a-（m-b ）=m ，即：m=b-a ；∴=1b a B O mA m M m -==②若点M 在线段BO 上时，如图2所示：由AM-BM=OM 得，m-a-（b-m ）=m ，即：m=a+b ；∴=4543b a b a a a m a AB b a a OM ----===+-③若点M 在线段OA 上时，如图3所示：由AM-BM=OM 得，m-a-（b-m ）=-m ，即：433a b a a m a +-===-∵此时m ＜0，a ＜0，∴此种情况不符合题意舍去；④若点M 在点A 的左侧时，如图4所示：由AM-BM=OM 得，a-m-（b-m ）=-m ，即：m=b-a=-5a ；而m ＜0，b-a ＞0，因此，不符合题意舍去，综上所述，AB OM 的值为1或53．类型二、证明定值问题例.如图，已知线段AB m =，CD n =，线段CD 在直线AB 上运动（点A 在点B 的左侧，点C 在点D 的左侧），若()21260m n -+-=．（1）求线段AB ，CD 的长；（2）若点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，4BC =，求线段MN 的长；（3）当CD 运动到某一时刻时，点D 与点B 重合，点P 是线段AB 的延长线上任意一点，下列两个结论：①PA PB PC -是定值，②PA PB PC+是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【答案】（1）12AB =，6CD =；（2）9；（3）②正确，2PA PB PC+=，见解析【解析】（1）由()21260m n -+-=，()212600m n ³--³，，12=06=0m n --，，得12m =，6n =，所以12AB =，6CD =；（2）当点C 在点B 的右侧时，如图，因为点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，4BC =，所以()()1124118222AM AC AB BC ==+´+==，()()111645222DN BD CD BC ===++=，又因为124622AD AB BC CD =++=++=，所以22859MN AD AM DN =--=--=，当点C 在点B 的左侧时，如图，因为点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，所以()()1111244222AM MC AC AB BC ===--==，()()111641222BN ND BD CD BC ===--==，所以126414AD AB CD BC =+-=+-=所以14419MN AD AM DN =--=--=．综上，线段MN 的长为9；（3）②正确，且2PA PB PC+=．理由如下：因为点D 与点B 重合，所以BC DC =，所以6AC AB BC AB DC =-=-=，所以AC BC =，所以()()222PC AC PC BC PA PB PC AC BC PC PC PC PC PC++-++-====．【变式训练1】已知线段AB ＝m ，CD ＝n ，线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 的左侧，C 在D 的左侧），且m ，n 满足|m －12|＋（n －4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，∴AM=CM=12AC ，DN=BN=12BD∴MN=CM+CD+DN=12AC +CD+12BD=12AC +12CD+12BD+12CD=12(AC +CD+BD)+12CD=12(AB +CD)=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：81013231a a+++=++，解得：a=2，在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是线段BC的中点，∴CE= BE=12BC=2+t；Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0，∴FC-5 DE =0；Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t，∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2，∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．【变式训练2】如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为________；（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．【答案】（1）6；6；（2）不发生改变，MN为定值6，过程见解析【详解】解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=4，NP=23BP=2，∴MN=MP+NP=6；若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=8，NP=23BP=2，∴MN=MP-NP=6．故答案为：6；6．（2）MN的长不会发生改变，理由如下：设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=23（a+6），NP=23BP=23（3-a），∴MN=MP+NP=6；当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=23（a+6），NP=23BP=23（a-3），∴MN=MP-NP=6．综上所述：点P 在射线AB 上运动（不与点A ，B 重合）的过程中，MN 的长为定值6．【变式训练3】(1)如图1，在直线AB 上，点P 在A 、B 两点之间，点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP 的中点，若AB n =，且使关于x 的方程()46n x n -=-无解.①求线段AB 的长；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由；(2)如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA PB PC+的值不变.【答案】（1）①AB=4；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由见解析；（2）见解析.【详解】解：（1）①∵关于x 的方程()46n x n -=-无解．∴4n -=0，解得：n=4．故AB=4．②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由如下：∵M 为线段PB 的中点，∴PM=12PB ．同理：PN= 12AP ．．∴MN=PN+PM= 12（PB+AP ）= 12AB= 12×4=2．∴线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关．（2）设AB=a ，BP=b ，则PA+PB=a+b+b=a+2b ．∵C 是AB 的中点，1122BC AB a \==12PC PB BC a b \=+=+，2212PA PB a b PC a b ++\==+，所以PA PB PC+的值不变.类型三、数量关系例.数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12-，线段CE 在数轴上运动，点C 在点E 的左边，且8,CE =点F是AE 的中点．（1）如图1，当线段CE 运动到点,C E 均在,A B 之间时，若1CF =，则AB =_________，点C 对应的数为________，BE =________；（2）如图2，当线段CE 运动到点A 在C E 、之间时，画出草图并求BE 与CF 的数量关系．【答案】（1）16；2；2；（2）2BE CF =，画图见解析．【解析】（1）Q 数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12-，12(4)16AB \=--=8,1CE CF ==Q 7EF CE CF \=-=Q 点F 是AE 的中点，7AF EF \==，6AC AF CF \=-=6AC AO CO =+=Q ，2CO \=，C \对应的数是2，2BE AB AF EF \=--=故答案为：16；2；2；（2）,BE AB AE CF CE EF =-=-Q ，Q 点F 是AE 的中点，2AE EF\=162,8BE AB AE EF CF CE EF EF \=-=-=-=-，2BE CF\=故答案为：（1）16；2；2；（2）2BE CF =，画图见解析．【变式训练1】如图，已知线段AB ，延长线段BA 至C ，使CB ＝43AB ．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出AC AB＝ _______；（2）设AB ＝ 9cm ，点D 从点B 出发，点E 从点A 出发，分别以3cm/s ，1cm/s 的速度沿直线AB 向左运动．①当点D 在线段AB 上运动，求AD CE 的值；②在点D ，E 沿直线AB 向左运动的过程中，M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．当点C 恰好为线段BD 的三等分点时，求MN 的长．【答案】（1）13，（2）3，（3）12cm 或24cm ．【详解】解：（1）图形补充完整如图，∵CB ＝43AB ，∴CA ＝13BC AB AB -=，13AC AB =，故答案为：13；（2）①AB ＝ 9cm ，由（1）得，133CA AB ==（cm ），设运动的时间为t 秒，(93)DA t =-cm ，(3)CE t =-cm ，93=33AD t CE t-=-，②当3BD CD =时，∵AB ＝ 9cm ， 3CA =cm ，∴212CB CD ==cm ，∴6CD =cm ，318BD CD ==cm ，运动时间为：18÷3=6（秒），则6AE =cm ，15BE BA AE =+=cm ，3ED BD BE =-=cm ，∵M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．∴ 1.5DM =cm ， 4.5BN =cm ，12MN BD DM BN =--=cm ，当3BD CB =时，∵AB ＝ 9cm ， 3CA =cm ，∴12CB =cm ，∴336BD CB ==cm ，运动时间为：36÷3=12（秒），则12AE =cm ，21BE BA AE =+=cm ，15ED BD BE =-=cm ，∵M ，N 分别是线段DE 、AB 的中点．∴7.5DM =cm ， 4.5BN =cm ，24MN BD DM BN =--=cm ，综上，MN 的长是12cm 或24cm ．【变式训练2】已知点C 在线段AB 上，AC ＝2BC ，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式32AD ECBE+=，则CDAB＝ ．【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或283；（2）1742或116【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，∴CD＝163或CD＝83，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83=283；（2）当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵32AD ECBE+=，∴0.532x y yx y++=-，∴y＝27x，∴CD＝1.5x﹣27x＝1714x，∴171714342==xCDAB x；当点E在点A的左侧，如图，设BC ＝x ，则DE ＝1.5x ，设CE ＝y ，∴DC ＝EC +DE ＝y +1.5x ，∴AD ＝DC ﹣AC ＝y +1.5x ﹣2x ＝y ﹣0.5x ，∵32AD EC BE +=，BE ＝EC +BC ＝x +y ，∴0.532y x y x y -+=+，∴y ＝4x ，∴CD ＝y +1.5x ＝4x +1.5x ＝5.5x ，BD ＝DC +BC ＝y +1.5x +x ＝6.5x ，∴AB ＝BD ﹣AD ＝6.5x ﹣y +0.5x ＝6.5x ﹣4x +0.5x ＝3x ，∴ 5.51136==CD x AB x ，当点E 在线段AC 上及点E 在点B 右侧时，无解，综上所述CD AB 的值为1742或116．故答案为：1742或116．课后作业1.已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点从左到右顺次为A ，B ，C ，其中b 是最小的正整数，a 在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB ．（1）填空：a= ，b= ，c= （2）点D 从点A 开始，点E 从点B 开始， 点F 从点C 开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F 追上点D 时停止动，设运动时间为t 秒．试问：①当三点开始运动以后，t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？②F 在追上E 点前，是否存在常数k ，使得DF k EF +×的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=52；②k=-1【解析】（1）∵最小正数为1．最大的负整数为小-1，a 在最大的负整数左侧1个单位长度∴点A 表示的数a 为-1-1=-2，点B 表示的数b 为1，∴AB=1-（-2）=3∵223=6BC AB ==´，∴点C 表示的数为c=1+6=7，故答案为：-2，1，7；（2）①依题意，点F 的运动距离为4t ，点D 、E 运动的距离为t,∴点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t ，1-t ， 7-4t,当点F 追上点D 时，必将超过点B ，∴存在两种情况，即DE=EF 和DF=EF ，如图，当DE=EF ，即E 为DF 的中点时，()21=274t t t ----+，解得，t=1，如图，当EF=DF ，即F 为DE 中点时，()74=21t t t ---+-2，解得t=52，综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝52时，满足题意．②存在，理由：点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t ，1-t ，7-4t,如图，F 在追上E 点前， ()74-2=93DF t t t =----，()74-1=63EF t t t =---，()()93639633DF k EF t k t k k t +×=-+-=+-+，当DF k EF +×与t 无关时，需满足3+3k=0，即k=-1时，满足条件．故答案为：（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=52；②k=-12．已知点C 在线段AB 上，2AC BC =，点D 、E 在直线AB 上，点D 在点E 的左侧．若18AB =，8DE =，线段DE 在线段AB 上移动．(1)如图1，当E 为BC 中点时，求AD 的长；(2)点F （异于A ，B ，C 点）在线段AB 上，3AF AD =，3CE EF +=，求AD 的长．【答案】(1)7；(2)3或5【解析】(1)2AC BC =，18AB =，6BC \=，12AC =，如图1，E Q 为BC 中点，3CE BE \==，8DE =Q ，∴8311BD DE BE =+=+=，∴18117AD AB DB =-=-=，(2)Ⅰ、当点E 在点F 的左侧，如图2，或∵3CE EF +=，6BC =，\点F 是BC 的中点，∴3CF BF ==，∴18315AF AB BF =-=-=，∴153AD AF ==，∵3CE EF +=，故图2（b ）这种情况求不出；Ⅱ、如图3，当点E 在点F 的右侧，或12AC =Q ，3CE EF CF +==，∴9AF AC CF =-=，∴39AF AD ==，3AD \=．∵3CE EF +=，故图3（b ）这种情况求不出；综上所述：AD 的长为3或5．3.已知线段AB ，点C 在直线AB 上，D 为线段BC 的中点．(1)若8AB =，2AC =，求线段CD 的长．(2)若点E 是线段AC 的中点，请写出线段DE 和AB 的数量关系并说明理由．【答案】(1)3或5(2)2AB DE =，理由见解析【解析】(1)解：如图1，当C 在点A 右侧时，∵8AB =，2AC =，∴6C AB C B A =-=，∵D 是线段BC 的中点，：∴132CD BC ==；如图2，当C 在点A 左侧时，∵8AB =，2AC =，∴10BC AB AC =+=，∵D 是线段BC 的中点，∴152CD BC ==；综上所述，3CD =或5；(2)解：2AB DE =．理由是：如图3，当C 在点A 和点B 之间时，∵E 是AC 的中点，D 是BC 的中点，∴2AC EC =，2BC CD =，∴222AB AC BC EC CD DE =+=+=；如图4，当C 在点A 左侧时，同理可得：()2222AB BC AC CD CE CD CE DE =-=-=-=；如图5，当C 在点B 右侧时，同理可得：()2222AB AC BC EC CD EC CD DE =-=-=-=．4.已知：如图1，M 是定长线段AB 上一定点，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm/s 、3cm/s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3AB的值．【答案】(1)7cm；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=13BM，故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM，∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝14 AB，①当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝14AB，∴MN＝12AB，即2MN3AB=13．②当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，，∴MNAB=1,即2MN3AB=23．综上所述2MN3AB＝13或235．如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足()2390a c ++-=．点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A 后立刻返回到点C ，到达点C 后再返回到点A 并停止．（1）=a ________，b =________，c =________．（2）点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，13PA PB PC ++=，求x 的值．（3）点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M ，N 分别从点A 和点C 同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t 秒钟时，P 、M 、N 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t 的值．【答案】（1）3-，1-，9；（2）13x =或1x =或53x =或233x =；（3）167t =，1，2617，8，12【详解】解：（1）∵b 是最大的负整数，且a ，c 满足()2390a c ++-=，∴b=-1，a+3=0，c-9=0，∴a=-3，c=9．故答案为：-3；-1；9．（2）由题意知，此过程中，当点P 在AB 上时．∴PA+PB=AB=b-a=-1-(-3)=2．∴()13-=13-2=11PC PA PB =+．又∵BC=c-b=9-(-1)=10．∴PB=PC-BC=11-10=1．当P 从B 到A 时，如图所示：∵PB=1，可以列方程为：3x=1，解得：x=1；当P 从A 到C 时，分两种情况讨论：①当P 在线段AB 之间时，如图所示：可以列方程为：3x=3,解得：x=1，②当P 在线段BC 之间时，如图所示：∵PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，∵PB+PC=10∴PA=13-10=3，∴PB=PA-AB=3-2=1，可列方程为：3x=5，解得：53x =．当P 从C 到B 时，如图所示：可列方程为：3x=23，解得：233x =．综上所述，13x =或1x =或53x =或233x =．（3）当点从为PN 中点时，当0<t<23时，点P 向A 运动，．此时，P=-1-3t ，M=-3+4t ，N=9-5t ．（-1-3t ）+（9-5t ）=2（-3+4t ），解得t=78（舍去）．当23≤t≤43时，点P 从A 返回向B 运动．此时，P=-3+3（t-23）=3t-5．3t-5+9-5t=2（-3+4t ），解得t=1．当P 为MN 中点时，t>43．（9-5t ）+（-3+4t ）=2（3t-5），解得t=167 ．当点N 为PM 中点时，t>43．（-3+4t ）+（3t-5）=2（9-5t ）,解得t=2617．综上所述，t 的值为1， 167或2617．6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考. （1）发现：如图1，线段12AB =，点,,C E F 在线段AB 上，当点,E F 是线段AC 和线段BC 的中点时，线段EF 的长为_________；若点C 在线段AB 的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段EF 与线段AB 之间的数量关系为_________.（2）应用：如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB ，其左右两端各有一段（AC 和BD ）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳AB 和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF . 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF ，请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点E 、点F 的位置，并简述画图方法；②请说明①题中所标示,E F 点的理由.【答案】（1）6；补图见解析，12EF AB （2）①见解析（答案不唯一）②见解析.【详解】解：（1）点,,C E F 在线段AB 上时，因为点E 是线段AC 的中点，所以CE=12AC ，因为点F 是线段BC 的中点，所以CF=12BC ，所以EF=CE+CF=12AC+12BC=12AB ，又AB=12，所以EF=6．当点C 在线段AB 的延长线上时，如图2，此时，EF=EC-FC ═12AC-12BC=12AB.答案为：6；EF=12AB.（2）①图3如图，在CD 上取一点M ，使CM CA =，F 为BM 的中点，点E 与点C 重合. （答案不唯一）②因为F 为BM 的中点，所以MF BF =.因为,AB AC CM MF BF CM CA =+++=，所以222()2AB CM MF CM MF EF =+=+=.因为40AB =米，所以20EF =米.因为20AC BD +<米，40AB AC BD CD =++=米，所以20CD >米.因为点E 与点C 重合，20EF =米，所以20CF =米，所以点F 落在线段CD 上.所以EF 满足条件.7．问题背景整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1，A 、B 、O 三点在同一直线上，射线OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，则∠DOE 的度数为 （直接写出答案）．(2)当x ＝1时，代数式a 3x +bx +2021的值为2020，当x ＝﹣1时，求代数式a 3x +bx +2021的值．(3)①如图2，点C 是线段AB 上一定点，点D 从点A 、点E 从点B 同时出发分别沿直线AB 向左、向右匀速运动，若点E 的运动速度是点D 运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE ＝3CD ，求AC AB 的值；②如图3，在①的条件下，若点E 沿直线AB 向左运动，其它条件均不变．在点D 、E 运动过程中，点P 、Q 分别是AE 、CE 的中点，若运动到某一时刻，恰好CE ＝4PQ ，求此时AD AB的值．【答案】(1)90°；(2)2022；(3)①14；②112或512【解析】(1)解：如图1，∵射线OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，∴∠DOC =12∠AOC ，∠COE =12∠BOC ，∵∠DOE =∠DOC +∠COE ，∴∠DOE =12∠AOC +12∠BOC =12(∠AOC +∠BOC )，∵∠AOC +∠BOC =180°，∴∠DOE =12×180°=90°，故答案为：90°．(2)∵当x ＝1时，代数式a 3x +bx +2021的值为2020，∴a +b +2021=2020，∴a +b =-1，∴-a -b =1，当x ＝﹣1时，a 3x +bx +2021= -a -b +2021=1+2021=2022．(3)①如图2，设点D 运动的路程为x ，则点E 运动的路程为3x ，∴CE ＝BC +BE =BC +3x ，CD =CA +AD =CA +x ，∵CE ＝3CD ，∴BC +3x = 3CA +3x ，∴CB =3AC ，∴AB =CB +AC =4AC ，∴AC AB =14．②根据①，设AC =m ，则CB =3m ，AB =4m ，设点D 运动的路程为AD =x ，则点E 运动的路程为EB =3x ，当点E 在C 点的右侧时，如图3，∴CE ＝BC -BE =3m -3x ，CD =CA +AD =m +x ，∵点P 、Q 分别是AE 、CE 的中点，∴PE =12AE ，QE =12CE ，∴PQ =PE -QE =12AE -12CE =11()222m AE CE AC -==，∵CE ＝4PQ ，∴3m -3x =4×2m ，解得x =3m ，故AD =3m ，∴AD AB =13412m m =．当点E 在C 点的左侧，且在点A 的右侧时，如图4，∴CE ＝BE -BC =3x -3m ，CD =CA +AD =m +x ，∵点P 、Q 分别是AE 、CE 的中点，∴PE =12AE ，QE =12CE ，∴PQ =PE +QE =12AE +12CE =11()222m AE CE AC +==，∵CE ＝4PQ ，∴3x -3m =4×2m ，解得x =53m ，故AD =53m ，∴AD AB =53412m m =．当点E 在A 点的左侧时，如图5，∴CE ＝BE -BC =3x -3m ，CD =CA +AD =m +x ，∵点P 、Q 分别是AE 、CE 的中点，∴PE =12AE ，QE =12CE ，∴PQ =PE +QE =12AE +12CE =11()222m AE CE AC +==，∵CE ＝4PQ ，∴3x -3m =4×2m ，解得x =53m ，故AD =53m ，∴AD AB =553412m m =．综上所述，AD AB 的值为112或512．8．已知：如图1，点M 是线段AB 上一定点，AB ＝12cm ，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）（1）若AM ＝4cm ，当点C 、D 运动了2s ，此时AC ＝ ，DM ＝ ；（直接填空）（2）当点C 、D 运动了2s ，求AC +MD 的值．（3）若点C 、D 运动时，总有MD ＝2AC ，则AM ＝ （填空）（4）在（3）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN ﹣BN ＝MN ，求MN AB的值．【答案】（1）2，4；（2）6 cm ；（3）4；（4）13MN AB =或1．【详解】（1）根据题意知，CM ＝2cm ，BD ＝4cm ，∵AB ＝12cm ，AM ＝4cm ，∴BM ＝8cm ，∴AC ＝AM ﹣CM ＝2cm ，DM ＝BM ﹣BD ＝4cm ，故答案为：2cm ，4cm ；（2）当点C 、D 运动了2 s 时，CM ＝2 cm ，BD ＝4 cm∵AB ＝12 cm ，CM ＝2 cm ，BD ＝4 cm∴AC +MD ＝AM ﹣CM +BM ﹣BD ＝AB ﹣CM ﹣BD ＝12﹣2﹣4＝6 cm ；（3）根据C 、D 的运动速度知：BD ＝2MC ，∵MD ＝2AC ，∴BD +MD ＝2（MC +AC ），即MB ＝2AM ，∵AM +BM ＝AB ，∴AM +2AM ＝AB ，∴AM ＝13AB ＝4，故答案为：4；（4）①当点N 在线段AB 上时，如图1，∵AN ﹣BN ＝MN ，又∵AN ﹣AM ＝MN ，∴BN ＝AM ＝4∴MN ＝AB ﹣AM ﹣BN ＝12﹣4﹣4＝4，∴13MN AB =；②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图2，∵AN ﹣BN ＝MN ，又∵AN ﹣BN ＝AB ，∴MN ＝AB ＝12，∴1MN AB=；综上所述13MN AB =或1故答案为13MN AB =或1．9．如图，数轴正半轴上的A ，B 两点分别表示有理数a ，b ，O 为原点，若3a =，线段5OB OA =.（1）=a ______，b =______；（2）若点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度向x 轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点P 到点A 的距离是点P 到点B 距离的3倍；（3）数轴上还有一点C 表示的数为32，若点P 和点Q 同时从点A 和点B 出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C 点运动，P 点到达C 点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A ，求点P 和点Q 运动多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为4.【答案】（1）3a =，15b =；（2）9或92；（3）8或503【详解】解：（1）∵数轴正半轴上的A ，B 两点分别表示有理数a ，b ，|a|=3，线段OB=5OA ，∴a=3，b=15，故答案为：3，15；（2）设运动时间为t 秒时，点P 到点A 的距离是点P 到点B 距离的3倍．由题意得：AB=15-3=12，当点P 在A 、B 之间时，有2t=3（12-2t ），解得：t=92；当点P 在B 的右边时，有2t=3（2t-12），解得t=9；即运动时间为92或9秒时，点P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的3倍；（3）根据题意，由点C 为32，则AC=32-3=29，BC=32-15=17，∴点P 运动到点C 所需要的时间为：2914.52t ==秒，点Q 运动到点C 所需要的时间为：17171t ==秒，则可分为两种情况进行分析：①当点P 还没有追上点Q 时，有：1224t t +-=，解得：8t =；②当点P 运动到点C 返回时，与点Q 相遇后，与点Q 相距4，则有：2124292t t ++-=´，解得：503t =.10．已知数轴上三点M ，O ，N 对应的数分别为－3，0，1，点P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ．(1)如果点P 到点M ，点N 的距离相等，那么x 的值是______；(2)数轴上是否存在点P ，使点P 到点M ，点N 的距离之和是5？若存在，请直接写出x 的值；若不存在，请说明理由．(3)如果点P 以每分钟3个单位长度的速度从点O 向左运动时，点M 和点N 分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P 到点M ，点N 的距离相等.（直接写出答案）【答案】（1）1-；（2）x= 3.5-或1.5；（3）4t 3=分钟或t=2分钟时点P 到点M ，点N 的距离相等．【详解】解：（1）∵M ，O ，N 对应的数分别为-3，0，1，点P 到点M ，点N 的距离相等，∴x 的值是1-．故答案为1-；（2）存在符合题意的点P ；∵点M为-3，点N为1，则点P分为两种情况，①点P在N点右侧，则(1)(3)5x x-++=，解得： 1.5x=；②点P在M点左侧，则(3)(1)5x x--+-=，解得： 3.5x=-；∴ 3.5 1.5x=-或=.（3）设运动t分钟时，点P对应的数是-3t，点M对应的数是-3-t，点N对应的数是1-4t．①当点M和点N在点P同侧时，因为PM=PN，所以点M和点N重合，所以：-3-t=1-4t，解得t＝43，符合题意．②当点M和点N在点P两侧时，有两种情况．情况1：如果点M在点N左侧，PM=-3t-（-3-t）=3-2t．PN=（1-4t）-（-3t）=1-t．因为PM=PN，所以3-2t=1-t，解得t=2．此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，不符合题意，舍去．情况2：如果点M在点N右侧，PM=3t-t-3=2t-3．PN=-3t-（1-4t）=t-1．因为PM=PN，所以2t-3=t-1，解得t=2．此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，符合题意．综上所述，三点同时出发，43分钟或2分钟时点P到点M，点N的距离相等．11．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有1CD AB2=，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②MNAB的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P在线段AB上的13处；（2）13；（3）②MNAB的值不变.【详解】解：（1）由题意：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，∴点P在线段AB上的13处；（2）如图：∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=13AB，∴13PQAB=（3）②MNAB的值不变.理由：如图，当点C停止运动时，有CD=12 AB，∴CM=14AB，∴PM=CM-CP=14AB-5，∵PD=23AB-10，∴PN=1223（AB-10）=13AB-5，∴MN=PN-PM=112 AB，当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以111212ABMNAB AB==.。
人教版七年级数学上册专题复习 数轴上的动点问题讲义 含部分答案
线段 AB 以 6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动。
（1）运动多少时，BC=8？
BD AP
（2）P 是线段 AB 上一点，当 B 点运动到线段 CD 上时，是否存在关系式
3，若存在，求线段
PC
PD 的长；若不存在，请说明理由。
【题 2】如图，点 A、B 和线段 CD 都在数轴上，点 A、C、D、B 起始位置所表示的数分别为-2,0,3,12；线
段 CD 沿数轴的正方向以每秒 1 个单位的速度移动，移动时间为t 秒。
（1）当 t 0秒时，AC 的长度为
；当 t 2秒时，AC 的长度为
；
（2）用含有 t 的代数式表示 AC 的长为 ．
（2）①P 与 Q 相遇之前，即 P 在 Q 的左边，此时有数 Q＞数 P， 0秒 t＜ 200 秒，此时： 3
PQ 200 2t t 200 3t ②P 与 Q 相遇后，Q 停止运动前，即 Q 在 P 的左边，此时有数 P＞数 Q， 200 秒 t 100秒 ，此时：
【思考】线段（直线、射线）上的运动问题，可以转化为数轴上的运动问题来处理吗？
最后，放几个题结束本文。 【题 1】如图，数轴上 A、B 两点对应的有理数分别为-8 和 12，点 P 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度 的速度沿数轴负方向运动，同时点 Q 从原点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动 时间为t 秒。 （1）求经过两秒后，数轴点 P、Q 分别表示的数； （2）当t 3 时，求 PQ 的值； （3）在运动过程中，是否存在时间 t，使得 AP=BQ，若存在，求出 t 值；若不存在，说明理由。
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人教版七年级上册数学期末复习专题---数轴类动点问题(4)
人教版七年级上册数学期末复习专题---数轴类动点问题（4）1．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：①请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：；B：；②观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：；③若将数轴折叠，使得A点与﹣3表示的点重合，则B点与数表示的点重合；④若数轴上M、N两点之间的距离为2014（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N表示的数分别是：M：；N：．2．同学们，你会求数轴上两点间的距离吗？例如：数轴上，3和5两数在数轴上所对的两点之间的距离可理解为|3﹣5|＝2或理解为5﹣3＝2，5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可理解为|（﹣5）﹣2|＝7或|5﹣（﹣2）|＝7．试探索：（1）求7与﹣7两数在数轴上所对的两点之间的距离＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4这样的整数是．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x+6|是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由．3．根据给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：，B：．（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：．（3）若将数轴折叠，使得A点与﹣2表示的点重合，则：①B点与哪个数表示的点重合？②若数轴上M、N两点之间的距离为2011（M在N的左侧），且M、N两点经过折叠后互相重合，求M、N两点表示的数分别是多少？4．某中学位于东西方向的北京路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家，请问：（1）聪聪家与刚刚家相距多远？（2）如果把这条北京路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你画出这条数轴，并在数轴上标出他们三家与学校的大概位置（数轴上一格表示50米）（3）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在点所表示的数是多少？（4）如果数轴上有两点A、B，点A所表示的数是x1，点B所表示的数是x2，你认为可用一个怎样的式子来求数轴上AB两点之间的距离d？请用含有x1，x2的式子把d表示出来．5．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以3，再把所得数对应的点向左平移1个单位，得到点P的对应点P′．（1）点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图，若点A表示的数是1，则点A′表示的数是；若点B′表示的数是﹣4，则点B表示的数是；（2）若数轴上的点M经过上述操作后，位置不变，则点M表示的数是．并在数轴上画出点M的位置．6．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：；B：；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：；（3）若将数轴折叠，使得A点与﹣3表示的点重合，则B点与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：N：．7．一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走2.5千米到达小颖家，然后向西走了10千米到达小明家，最后回到超市．（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，在数轴上表示出小明家，小彬家，小颖家的位置．（2）小明家距小彬家多远？（3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？8．一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续走了1.5千米到达小红家，又向西走了10千米到达小刚家，最后回到百货大楼．（1）以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置；（2）小明家与小刚家相距多远？（3）若货车每千米耗油0.05升，那么这辆货车共耗油多少升？9．已知在数轴上到表示数﹣3的点和表示数5的点距离相等的点表示数1，有这样的关系，那么在数轴上到表示数a的点和表示数b的点之间距离相等的点表示的数是．（3）已知在数轴上表示数x的点到表示数﹣2的点的距离是到表示数6的点的距离的2倍，求数x．10．邮递员骑摩托车从邮局出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km到C时，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（2）C村离A村有多远？（3）若这辆摩托车每100km耗油2升，这趟路共耗油多少升？参考答案1．解：（1）由数轴可知，A点表示数1，B点表示数﹣2.5．故答案为：1，﹣2.5；（2）A点表示数1，与点A的距离为4的点表示的数是：﹣3或5．故答案为：﹣3或5；（3）当A点与﹣3表示的点重合，则B点与数0.5表示的点重合．故答案为：0.5；（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2014（M在N的左侧）可知，点M、N到﹣1的距离为2014÷2＝1007，所以，M点表示数﹣1﹣1007＝﹣1008，N点表示数﹣1+1007＝1006．故答案为：﹣1008，1006．2．解：（1）7﹣（﹣7）＝14，故答案为：14；（2）∵|x+3|+|x﹣1|＝x+3+1﹣x＝4，∴x+3≥0，且x﹣1≤0，∴﹣3≤x≤1，即符合条件的整数有±1，0，﹣2，﹣3，故答案为：±1、0、﹣2、﹣3．（3）有最小值．最小值为9，理由是：∵丨x﹣3丨+丨x+6丨可以理解为：在数轴上表示x到3和﹣6的距离之和，∴当x在3与﹣6之间的线段上（即﹣6≤x≤3）时：即丨x﹣3丨+丨x+6丨的值有最小值，最小值为3﹣（﹣6）＝9．3．解：（1）利用数轴得出：A：1 B：﹣2.5；故答案为：1，﹣2.5；（2）分为两种情况：①当点在表示1的点的左边时，数为1﹣4＝﹣3；②当点在表示1的点的右边时，数为1+4＝5；故答案为：5和﹣3；（3）①∵A点与﹣2表示的点重合，∴A点与﹣2关于﹣0.5对称，∴B点与表示1.5的点重合，②∵数轴上M、N两点之间的距离为2011（M在N的左侧），且M、N两点经过折叠后互相重合，∴M、N两点表示的数分别是﹣1006，1005．4．解：（1）150+200＝350（米）；（2）如图所示：；（3）体育场所在点所表示的数是﹣110；（4）数轴上两点x1，x2之间的距离是d＝|x1﹣x2|．5．解：（1）点A'表示的数是：1×3﹣1＝2；设点B表示的数为x，则3x﹣1＝﹣4，解得：x＝﹣1，若点B'表示的数是：﹣4，则点B表示的数是﹣1；（2）设点M表示的数为y，则3y﹣1＝y，解得：y＝，即点M表示的数是：，在数轴上画出点M的位置如图所示：．6．解：（1）由数轴可知，A点表示数1，B点表示数﹣2.5．故答案为：1，﹣2.5；（2）A点表示数1，与点A的距离为4的点表示的数是：﹣3或5．故答案为：﹣3或5；（3）当A点与﹣3表示的点重合，则B点与数0.5表示的点重合．故答案为0.5；（4）由对称点为﹣1，且M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧）可知，点M、N到﹣1的距离为2010÷2＝1005，所以，M点表示数﹣1﹣1005＝﹣1006，N点表示数﹣1+1005＝1004．故答案为：﹣1006，1004．7．解：（1）；（2）根据数轴可知：小明家距小彬家是7.5个单位长度，因而是7.5千米；（3）路程是2×10＝20千米，则耗油量是：20×0.5＝10升．答：小明家距小彬家7.5千米，这趟路货车共耗油10升．8．解：（1）如图所示：A、B、C分别表示小明、小红、小刚家（2）小明家与小刚家相距：4﹣（﹣4.5）＝8.5（千米）；（3）这辆货车此次送货共耗油：（4+1.5+10+4.5）×0.05＝1（升）．答：小明家与小刚家相距8.5千米，这辆货车此次送货共耗油1升．9．解：（1）4﹣（﹣3）＝7．（2）在数轴上到表示数a的点和表示数b的点之间距离相等的点表示的数是：（a+b）．（3）由x与﹣2的差的绝对值等于x与6的差的绝对值的2倍，得：x﹣（﹣2）＝2（x﹣6），解得：x＝14．x﹣（﹣2）＝﹣2（x﹣6），解得：x＝．10．解：（1）（2）C村离A村为：4﹣（﹣2）＝4+2＝6（km）．答：C村离A村有6km．（3）邮递员实际一共走了|﹣2|+|﹣3|+|+9|+|9﹣5|＝2+3+9+4＝18（km），18÷100×2＝0.36答：这趟路共耗油0.36升．。
人教版七年级上册专题复习讲义 第二讲 数轴上的动点问题
解题思路和方法. 4.表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间 t 的式子表示） 。 5.根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度（一般用含有时间 t 的式子 表示） 。 6.根据题目问题中线段的等量关系（一般是和、差关系）列绝对值方程。 7.解绝对值方程并根据实际问题验算结果。 （解绝对值方程通常用零点分类讨论 方法）
（1）则数轴上点 B 表示的数是________，点 P 表示的数________（用含 t 的代数式表示）
（2）动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运 动，若 P、Q 两点同时出发，则运动多少秒时点 P 追上点 Q？
（3）若 M 为 AP 的中点，N 为 BP 的中点，点 P 在运动的过程中，线段 MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线 段 MN 的长.
二、典例解析
【例 1】 如图，A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对 A 点做如下移动： 第 1 次从原点向右移动 1 个单位长度至 B 点， 第 2 次从 B 点向左移动 3 个 单位长度至 C 点，第 3 次从 C 点向右移动 6 个单位长度至 D 点，第 4 次从 D 点向左移动 9 个单位长度至 E 点，…，(从第 3 次起，下次移动的长度比上 次多 3 个单位长度),依此类推， 这样移动第 5 次后该点所表示的数是________； 这样移动 40 次后该点所表示的数________；这样移动 41 次后该点表示的数是 ________.
（2）数轴上是否存在 P 点，使 P 点到 A、B 距离和为 10？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点 A、点 B 和 P 点（P 点在原点）同时向左运动.它们的速度分别 为 1、2、1 个单位长度/分钟，则第几分钟时 P 为 AB 的中点？
初一数学上册数轴动点问题
初一数学上册数轴动点问题一、什么是数轴动点问题数轴动点问题呢，就是在数轴这个特定的数学环境里，有一些点是可以动来动去的，然后让我们根据这些点的运动情况去解决各种各样的数学问题。
比如说，一个点从数轴上的某个位置开始，按照一定的速度向左或者向右移动，然后问我们在某个时刻这个点的位置在哪里呀，或者几个点之间的距离是多少啦之类的。
这就像一群小蚂蚁在数轴这条小路上跑来跑去，我们得搞清楚它们的位置变化情况。
二、常见的题型类型1. 求动点表示的数这种题就是给你一个动点在数轴上的初始位置，还有它运动的方向和速度，然后让你求出经过一段时间后这个动点所表示的数。
比如说，一个点在数轴上表示3，它以每秒2个单位长度的速度向右运动，经过5秒后，这个点就向右移动了2×5 = 10个单位长度，那这个点表示的数就变成了3+10 = 13啦。
2. 求两点之间的距离有时候会给你两个动点，它们分别在数轴上运动，然后问你在某个时刻这两个动点之间的距离是多少。
这就需要我们先算出这两个动点在那个时刻分别在数轴上的位置，然后用较大的数减去较小的数（如果是求绝对值距离的话就直接求两个数差的绝对值）。
就像两个人在数轴这条跑道上跑，我们要看看他们之间隔了多远。
3. 动点与线段的关系还有一种题型是关于动点和线段的关系的。
比如说，一个动点在数轴上运动，问这个动点什么时候会在线段的中点上，或者什么时候这个动点会把某条线段分成一定比例的两段。
这就比较复杂啦，我们要综合考虑线段的端点位置、动点的运动情况等很多因素呢。
三、解决数轴动点问题的小技巧1. 画数轴这可是超级重要的一步哦。
把题目中的情况在数轴上画出来，这样我们就能很直观地看到各个点的位置关系啦。
就像画画一样，把那些抽象的数字和动点变成我们能看得见的东西。
比如说，题目里说一个点在 -2的位置，另一个点在4的位置，我们就把它们在数轴上标出来，然后再根据动点的运动情况，一点一点地画出它们的新位置。
七年级数学上册人教版数轴上的动点专题复习导学案及配套作业(解析版)
数轴上的动点专题（解析版）第一部分 教学案类型一 数轴上的和差倍分问题例1 （2020秋•京山市期中）已知数轴上有A 、B 两个点对应的数分别是a 、b ，且满足|a +3|+（b ﹣9）2＝0；（1）求a 、b 的值；（2）点M 是数轴上A 、B 之间的一个点，使得MA ＝2MB ，求出点M 所对应的数； （3）点P ，点Q 为数轴上的两个动点，点P 从A 点以3个单位长度每秒的速度向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为t 秒，若AP +BQ ＝2PQ ，求时间t 的值．思路引领：（1）先根据非负数的性质求出a ，b 的值即可；（2）先根据两点间的距离公式可求AB ，再根据题意即可得出结论；（3）先用t 表示出AP ，BQ 及PQ 的值，再根据AP +BQ ＝2PQ 列出关于t 的方程，求出t 的值即可．解：（1）∵|a +3|+（b ﹣9）2＝0，∴a +3＝0，b ﹣9＝0，解得a ＝﹣3，b ＝9； （2）AB ＝9﹣（﹣3）＝12， ∵MA ＝2MB ，∴点M 所对应的数是﹣3+12×23=5；（3）∵点P 从A 点以每秒3个单位的速度向右运动，点Q 同时从B 点出发以每秒2个单位的速度向左运动，∴AP ＝3t ，BQ ＝2t ，PQ ＝12﹣5t ． ∵AP +BQ ＝2PQ ，∴3t +2t ＝24﹣10t ，解得t =85；还有一种情况，当P 运动到Q 的右边时，PQ ＝5t ﹣12，方程变为3t +2t ＝2（5t ﹣12），解得t =245． 故时间t 的值为85或245．总结提升：本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 变式训练1．（2020秋•包河区期末）点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且a 、b 满足|a +5|+（b ﹣3）2＝0．（1）求点A ，B 所表示的数；（2）点P 在直线AB 上点B 右边一点，且AP ＝bPB ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长．思路引领：（1）根据a 、b 满足|a +5|+（b ﹣3）2＝0，即可得到a 、b 的值，从而可以得到点A ，B 所表示的数；（2）设点P 表示的数为m ，先根据中点的定义表示点Q ，根据数轴上两点的距离表示AP ＝bPB ，列方程可得结论． 解：（1）∵|a +5|+（b ﹣3）2＝0， ∴a +5＝0，b ﹣3＝0， 解得a ＝﹣5，b ＝3，即点A ，B 所表示的数分别为﹣5，3； （2）设点P 表示的数为m ，∵点P 在直线AB 上点B 右边一点， ∴m ＞3，∵点Q 为PB 的中点， ∴点Q 表示的数为m+32，∵AP ＝bPB ， ∴m +5＝b （m ﹣3）， ∵b ＝3， ∴m ＝7， ∴AQ ＝AB +BQ =m+32+5=7+32+5＝10． 总结提升：本题考查一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数轴上两点的距离表示线段的长． 类型二 数轴上的两点间的距离问题例2（2020秋•铁西区校级期末）已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为﹣1，3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值．若不存在，请说明理由？（3）当点P 以每分钟一个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等？思路引领：（1）根据点P 到点A 、点B 的距离相等，结合数轴可得答案；（2）此题要分两种情况：①当P 在AB 左侧时，②当P 在AB 右侧时，然后再列出方程求解即可；（3）点P 、点A 、点B 同时向左运动，点B 的运动速度最快，点P 的运动速度最慢．故P 点总位于A 点右侧，B 可能追上并超过A ．P 到A 、B 的距离相等，应分两种情况讨论． 解：（1）如图，若点P 到点A 、点B 的距离相等，P 为AB 的中点，BP ＝P A ．依题意得3﹣x ＝x ﹣（﹣1）， 解得x ＝1；（2）由AB ＝4，若存在点P 到点A 、点B 的距离之和为5，P 不可能在线段AB 上，只能在A 点左侧，或B 点右侧．①P 在点A 左侧，P A ＝﹣1﹣x ，PB ＝3﹣x ， 依题意得（﹣1﹣x ）+（3﹣x ）＝5， 解得 x ＝﹣1.5；②P 在点B 右侧，P A ＝x ﹣（﹣1）＝x +1，PB ＝x ﹣3， 依题意得（x +1）+（x ﹣3）＝5， 解得x ＝3.5；（3）设运动t 分钟，此时P 对应的数为﹣t ，B 对应的数为3﹣20t ，A 对应的数为﹣1﹣5t ．①B 未追上A 时，P A ＝PB ，则P 为AB 中点．B 在P 的右侧，A 在P 的左侧． P A ＝﹣t ﹣（﹣1﹣5t ）＝1+4t ，PB ＝3﹣20t ﹣（﹣t ）＝3﹣19t ， 依题意有1+4t ＝3﹣19t ， 解得 t =223； ②B 追上A 时，A 、B 重合，此时P A ＝PB ．A 、B 表示同一个数． 依题意有﹣1﹣5t ＝3﹣20t ， 解得t =415． 即运动223或415分钟时，P 到A 、B 的距离相等．总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． 变式训练1．（2022秋•上杭县期中）已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点．（1）直接写出点N所对应的数：；（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P对应的数是多少？（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q 对应的数各是多少？思路引领：（1）根据向右就做加法，列式求解；（2）根据两点间的距离公式列方程求解；（3）设P点运动时间为t，列方程求出t的值，再求P，Q对应的数．解：（1）﹣3+4＝1，故答案为：1；（2）设P点表示的数为x，则|x+3|+|x﹣1|＝5，解得：x＝﹣3.5或x＝1.5；（3）设P点运动的时间为t秒，则Q运动的时间为（t﹣5）秒，由题意得：|（﹣3﹣2t）﹣[1﹣3（t﹣5）]|＝2，解得：t＝17或t＝21，当t＝17时，P表示的数为：﹣3﹣34＝﹣37，Q表示的数为：1﹣36＝﹣35，当t＝21时，P表示的数为：﹣3﹣42＝﹣45，Q表示的数为：1﹣48＝﹣47．总结提升：本题考查了数轴，方程思想和分类讨论思想是解题的关键．类型三数轴上的行程问题例3（2020秋•香河县期末）数轴上A点对应的数为﹣5，B点在A点右边，电子蚂蚁甲、乙在B分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A以3个单位/秒的速度向右运动．（1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求C点表示的数；（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B点表示的数；（3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．思路引领：（1）根据电子蚂蚁丙运动速度与时间来计算相关线段的长度；（2）设B 表示的数为x ，则B 到A 的距离为|x +5|，点B 在点A 的右边，故|x +5|＝x +5，根据时间差为1秒列出方程并解答； （3）分相遇前和相遇后两种情况进行解答． 解：（1）由题知：C ：﹣5+3×5＝10 即C 点表示的数为10；（2）设B 表示的数为x ，则B 到A 的距离为|x +5|，点B 在点A 的右边，故|x +5|＝x +5， 由题得：x+53+1−x+53+2=1，即x ＝15；（3）①在电子蚂蚁丙与甲相遇前，2（20﹣3t ﹣2t ）＝20﹣3t ﹣t ，此时t =103（s ）； ②在电子蚂蚁丙与甲相遇后，2×（3t +2t ﹣20）＝20﹣3t ﹣t ，此时t =307（s ）； 综上所述，当t =103s 或t =307s 时，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍． 总结提升：此题考查一元一次方程的运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． 针对训练1．（2014秋•拱墅区校级期末）如图1，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AC ＝2AB ，点A 对应的数是400．（1）若AB ＝600，求点C 到原点的距离；（2）在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，其中P 、Q 向右运动，R 向左运动如图2，已知点Q 的速度是点R 速度2倍少5个单位长度/秒，点P 的速度是点R 的速度的3倍，经过20秒，点P 、Q 之间的距离与点Q 、R 的距离相等，求动点Q 的速度．思路引领：（1）根据AB ＝600，AC ＝2AB ，得出AC ＝1200，利用点A 对应的数是400，即可得出点C 对应的数；（2）假设点R 速度为x 单位长度/秒，根据点P 、Q 之间的距离与点Q 、R 的距离相等，得出等式方程求出即可． 解：（1）∵AB ＝600，AC ＝2AB ， ∴AC ＝1200， ∵A 点对应400，∴C 点对应的数为：400﹣1200＝﹣800，即点C 到原点的距离为800；（2）设点R 速度为x 单位长度/秒，依题意有 20（3x ﹣5）＝1200﹣20[3x ﹣（2x ﹣5）]， 解得x ＝15，2x ﹣5＝2×15﹣5＝25．或20（3x ﹣5）＝20[3x ﹣（2x ﹣5）]﹣1200， 解得x ＝﹣25（舍去）．答：动点Q 的速度为25单位长度/秒．总结提升：此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 类型四 数轴上的动点定值问题例4（2020秋•双流区校级期中）如图1，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB ＝120，点A 对应的数是80．（1）若AB =12AC ，求点C 在数轴上对应的数；（2）如图2，在（1）的条件下，动点P 、Q 两点同时从C 、A 出发向右运动，同时动点R 从点A 向左运动，已知点P 的速度是点R 的速度的3倍，点Q 的速度是点R 的速度2倍少10个单位长度/秒，经过5秒，点P 、Q 之间的距离与点Q 、R 之间的距离相等，求动点Q 的速度；（3）如图3，在（1）的条件下，O 表示原点，动点P 、T 分别从C 、O 两点同时出发向左运动，同时动点R 从点A 出发向右运动，点P 、T 、R 的速度分别为10个单位长度/秒、2个单位长度/秒、4M 为线段PT 的中点，点N 为线段OR 的中点，请问PR+OT MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．若其它条件不变，将R 的速度改为5个单位长度/秒，求10秒后PR+OT MN的值．思路引领：（1）由题意可知，点A 在点B 的右侧，点C 在点B 的左侧，先确定点B 表示的数为﹣40，再求出点C 表示的数；（2）设点R 的速度为x 单位长度/秒，则点P 的速度为3x 单位长度/秒，点Q 的速度为（2x ﹣10）单位长度/秒，根据题意列方程求出x 的值，再求点Q 的速度；（3）设运动的时间为t 秒，用含t 的代数式分别表示出点P 、点T 和点R 对应的数，再根据线段中点的意义求出点M 和点N 对应的数，然后用含t 的代数式表示线段PR 、OT 和MN 的长，即可求得结果．解：根据题意可知，点A 在点B 的右侧，点C 在点B 的左侧， 因为点A 对应的数是80，AB ＝120， 所以80﹣120＝﹣40， 所以点B 表示的数是﹣40．（1）若AB =12AC ，则AC ＝2AB ＝2×120＝240， 所以80﹣240＝﹣160， 所以点C 表示的数是﹣160．（2）设点R 的速度为x 单位长度/秒，则点P 的速度为3x 单位长度/秒，点Q 的速度为（2x ﹣10）单位长度/秒，由经过5秒，点P 、Q 之间的距离与点Q 、R 之间的距离相等可知，此时点P 与点R 重合，根据题意得5×3x +5x ＝240， 解得x ＝12，所以2×12﹣10＝14（单位长度/秒）， 所以点Q 的速度为14单位长度/秒． （3）设运动的时间为t 秒，根据题意可知，点P 表示的数为﹣160﹣10t ，点T 表示的数为﹣2t ，点R 表示的数为80+4t ， 所以点M 表示的数为(−160−10t)+(−2t)2，即﹣80﹣6t ， 点N 表示的数为80+4t 2，即使40+2t ，所以PR ＝（80+4t ）﹣（﹣160﹣10t ）＝240+14t ，OT ＝2t ，MN ＝（40+2t ）﹣（﹣80﹣6t ）＝120+8t ， 所以PR+OT MN =(240+14t)+2t120+8t=2，所以PR+OTMN 的值不变，它的值为2；若R 的速度为5个单位长度/秒，则点R 表示的数为80+5t ， 所以点N 表示的数为80+5t 2，PR ＝（80+5t ）﹣（﹣160﹣10t ）＝240+15t ，MN =80+5t2−（﹣80﹣6t ）=240+17t2， 当t ＝10时，PR ＝240+15×10＝390，OT ＝2×10＝20，MN =240+17×102=205，所以PR+OT MN=390+20205=2．总结提升：此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清楚点运动的方向、速度和时间，并且正确地用代数式表示有关的点对应的数． 类型五 数轴上的动点规律问题例5（2020秋•洞头区期中）如图，A 点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A 点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B 点，第2次从B 点向右移动6个单位长度至C 点，第3次从C 点向左移动9个单位长度至D 点，第4次从D 点向右移动12个单位长度至E 点，…，依此类推，则点E 在数轴上所表示的数为 ，这样第 次移动到的点到原为2020．思路引领：根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题．解：第1次点A 向左移动3个单位长度至点B ，则B 表示的数为1﹣3＝﹣2； 第2次从点B 向右移动6个单位长度至点C ，则C 表示的数为﹣2+6＝4； 第3次从点C 向左移动9个单位长度至点D ，则D 表示的数为4﹣9＝﹣5； 第4次从点D 向右移动12个单位长度至点E ，则点E 表示的数为﹣5+12＝7； 第5次从点E 向左移动15个单位长度至点F ，则F 表示的数为7﹣15＝﹣8； …；由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：−12（3n +1）， 当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：3n+22，当移动次数为奇数时，−12（3n +1）＝﹣2020，n =40393（不合题意舍去）， 当移动次数为偶数时，3n+22=2020，解得：n ＝1346，故答案为：7；1346．总结提升：本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键．11．（2021秋•天宁区校级期中）【阅读理解】点A 、B 、C 为数轴上三点，如果点C 在A 、B 之间且到A 的距离是点C 到B 的距离4倍，那么我们就称点C 是{A ，B }的奇点． 例如，如图1，点A 表示的数为﹣4，点B 表示的数为1．表示0的点C 到点A 的距离是4，到点B 的距离是1，那么点C 是{A ，B }的奇点；又如，表示﹣3的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是4，那么点D 就不是{A ，B }的奇点，但点D 是{B ，A }的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣4，点N所表示的数为6．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，当P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？思路引领：（1）设数x所表示的点是{M，M}的奇点，由题意可得x+4＝4（6﹣x），求出x即可；设数y所表示的点是{N，M}的奇点，由题意可得6﹣y＝4（y+4），求出y即可；（2）设P点表示的数是a，分四种情况讨论：当P是{A，B}的奇点时，a＝14；当P时{B，A}的奇点时，a＝﹣34；当A是{B，P}的奇点时，a＝﹣70；当A是{P，B}的奇点时，a＝﹣370．解：（1）设数x所表示的点是{M，N}的奇点，∴x+4＝4（6﹣x），解得x＝4，∴数4所表示的点是{M，N}的奇点；设数y所表示的点是{N，M}的奇点，∴6﹣y＝4（y+4），解得y＝﹣2，∴数﹣2所表示的点是{N，M}的奇点，故答案为：4；﹣2；（2）设P点表示的数是a，当P是{A，B}的奇点时，P A＝4PB，∴a+50＝4（30﹣a），解得a＝14；当P时{B，A}的奇点时，PB＝4P A，∴4（a+50）＝30﹣a，解得a＝﹣34；当A是{B，P}的奇点时，AB＝4AP，∴80＝4（﹣50﹣a），解得a＝﹣70；当A是{P，B}的奇点时，4AB＝AP，∴320＝﹣50﹣a，解得a＝﹣370；当B是{A，P}的奇点时，AB＝4BP，∴80＝4（a﹣30），解得a＝50；当B是{P，A}的奇点时，BP＝4AB，∴a﹣30＝4×80，解得a＝350；综上所述，P点表示的数为14或﹣34或﹣70或﹣370或50或350时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇点．总结提升：本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间距离的求法，弄清定义是解题的关键．第二部分配套作业1．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0．a、b、c所对应的点分别为A、B、C．（1）请求出a、b、c的值；（2）点P为动点，其对应的数为x，当点P在原点到2对应的点之间运动时（即0≤x ≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|；（写出化简过程）；（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．设运动时间为t秒，请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．思路引领：（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）根据x的范围，确定x+1，x﹣1的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；（3）先求出BC﹣AB＝2，从而得出BC﹣AB的值不随着时间t的变化而变化．解：（1）依题意得b＝﹣1，c﹣5＝0，a+b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，c＝5；（2）当点P在原点到2对应的点之间运动时（即0≤x≤2时），因此，当0≤x≤1时，x+1≥0，x﹣1≤0，原式＝x+1+x﹣1＝2x；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，原式＝x+1﹣（x﹣1）＝2．（3）不变．因为点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动．所以A，B每秒增加3个单位长度；因为点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，所以B，C 每秒增加3个单位长度；所以BC﹣AB＝2，BC﹣AB的值不随着时间t的变化而变化．总结提升：此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解AB，BC 的变化情况是关键．2．（2015秋•渝北区期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别是﹣10、10、2．（Ⅰ）如图1，点P在数轴上自A向B以2个单位长度/秒的速度运动，同时，点Q在数轴上自B向A以3个单位长度/秒的速度运动，经过秒，P、Q两点到原点的距离相等，此时，P、Q两点表示的数分别是；（Ⅱ）如图1，若点P在数轴上自A向B以2个单位长度/秒的速度运动，同时，点Q在数轴上自B向A以3个单位长度/秒的速度运动，问经过几秒P、Q相距5个单位长度？并求出此时P、Q两点表示的数分别是多少？（Ⅲ）如图2，O为圆心，点P从点C开始，以OC为半径、以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时，点Q沿直线BA自B向A运动，若P、Q两点能相遇，求点Q运动的速度．思路引领：（Ⅰ）设t秒后P、Q两点到原点的距离相等，则点P表示的数为﹣10+2t，点Q表示的数为10﹣3t，根据P、Q两点到原点的距离相等即可得|﹣10+2t|＝|10﹣3t|，求解即可；（Ⅱ）P、Q相距5个单位长度可分为相遇前和相遇后两种情况，根据两点间距离公式得出关于t的方程，求解即可得；（Ⅲ）分“点P运动半周时与点Q相遇”和“点P运动一周时与点Q相遇”两种情况，先求出点P运动时间及点P所表示的数，再根据速度＝距离÷时间即可求得．解：（Ⅰ）设t 秒后P 、Q 两点到原点的距离相等， 则点P 表示的数为﹣10+2t ，点Q 表示的数为10﹣3t ， 根据题意，得：|﹣10+2t |＝|10﹣3t |， 解得：t ＝4或t ＝0（舍），此时点P 表示的数为﹣10+8＝﹣2，点Q 表示的数为10﹣12＝﹣2， 故答案为：4，﹣2、﹣2；（Ⅱ）①当P 和Q 相遇以前相距5个单位长度时， 10﹣3t ﹣（﹣10+2t ）＝5， 解得：t ＝3，此时点P 表示﹣4，点Q 表示1；②当P 和Q 相遇以后相距5个单位长度时， ﹣10+2t ﹣（10﹣3t ）＝5， 解得：t ＝5，此时点P 表示0，点Q 表示﹣5；（Ⅲ）①若点P 运动半周时与点Q 相遇，此时点P 运动时间为180÷60＝3（秒），点P 表示的数为﹣2， ∴点Q 的运动速度为10−(−2)3=4（单位长度/秒）；当点P 运动一周时于点Q 相遇，此时点P 运动时间为：360÷60＝6（秒），点P 表示的数为2，∴点Q 的运动速度为10−26=43（单位长度/秒）．总结提升：本题主要考查数轴、两点间距离公式及一元一次方程的应用，根据题意全面而且准确地分类讨论是解题的关键．3．（2022秋•鲤城区校级期中）已知，A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且|a ﹣20|+（b +10）2＝0，数轴上动点P 对应的数用x 表示．（1）在数轴上标出A 、B 的位置，并直接写出A 、B 之间的距离； （2）写出|x ﹣a |+|x ﹣b |的最小值；（3）已知点C 在点B 的右侧且|BC |＝9，当数轴上有点P 满足PB ＝2PC 时， ①求P 点对应的数x 的值；②数轴上另一动点Q 从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长第四次向右移动7个单位长度，…．点Q 能移动到与①中的点P 重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动可以重合．思路引领：（1）求出a、b的值，在数轴表示即可，求出AB的距离；（2）|x﹣20|+|x+10|的最小值，就是数轴上表示20的点，与表示﹣10的点之间的距离；（3）①求出c的值，设出点P对应的数，用距离列方程求解即可；②点Q移动时，每一次对应的数分别列举出来，发现规律，得出结论．解：（1）|a﹣20|+（b+10）2＝0，解得：a＝20，b＝﹣10；∴AB＝20﹣（﹣10）＝30；（2）|x﹣a|+|x﹣b|＝|x﹣20|+|x+10|，当x位于点A与点B之间时，即，﹣10≤x≤20时，|x﹣20|+|x+10|的值最小，最小值为AB＝30，答：|x﹣20|+|x+10|的最小值为30；（3）①点C在点B的右侧且|BC|＝9，因此点C所表示的数为﹣1，设点P表示的数为x，|x+10|＝2|x+1|，解得x＝8或x＝﹣4；②点Q每次移动对应在数轴上的数，第1次：﹣1，第3次：﹣3，第5次：﹣5，……第2次：2，第4次：4，第6次：6，……因此点Q能移动到与①中的点P重合的位置，与8重合时，移动第8次，不可能与﹣4重合，答：点Q能移动到与①中的点8次．总结提升：考查数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点之间距离的计算方法，是解决问题的关键．4．（2021秋•延庆区期末）已知点P是图形M上的任意点，点Q是图形N上的任意点．给出规定：如果P，Q两点的距离有最小值，那么我们称这个最小值为图形M﹣N的亲和距离；记作：d（图形M，图形N）．特别地，当P，Q两点重合时，d（图形M，图形N）＝0．举例说明：如图，数轴上的点A表示的数是1，点B，C表示的数分别是2与3，那么d（点A，线段BC）＝1．根据以上定义完成下列问题：数轴上的点D，点E表示的数分别是x，x+1，点O为原点．（1）当x＝1时，d（原点O，线段DE）＝；（2）如果d（原点O，线段DE）＝3，那么x＝；（3）数轴上的点F，点G表示的数分别是y，y+4，如果d（线段DE，线段FG）＝2，直接写出x﹣y的值．思路引领：（1）当x＝1时，点D表示的数是1，点E表示的数是2，根据亲和距离的定义可得答案；（2）分两种情况：点D在原点右侧和点E在原点左侧，分别列方程即可；（3）分两种情况：当点F在点E右侧和当点D在点G右侧，分别列方程y﹣（x+1）＝2和x﹣（y+4）＝2，整理即可．解：（1）当x＝1时，点D表示的数是1，点E表示的数是2，∴d（原点O，线段DE）＝1﹣0＝1，故答案为：1；（2）∵d（原点O，线段DE）＝3，∴x﹣0＝3或0﹣（x+1）＝3，解得x＝3或﹣4，故答案为：3或﹣4；（3）当点F在点E右侧时，y﹣（x+1）＝2，整理得y﹣x＝3，即x﹣y＝﹣3；当点D在点G右侧时，x﹣（y+4）＝2，整理得x﹣y＝6．综上，x﹣y的值是﹣3或6．总结提升：本题考查数轴，正确理解题意并利用一元一次方程解决是解题关键，注意分情况讨论．5．（2018秋•江阴市期末）在数轴上，图中点A表示﹣36，点B表示44，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，相向而行，动点P、Q的运动速度比之是3：2（速度单位：1个单位长度/秒）．12秒后，动点P到达原点O，动点Q到达点C，设运动的时间为t（t＞0）秒．（1）求OC的长；（2）经过t 秒钟，P 、Q 两点之间相距5个单位长度，求t 的值；（3）若动点P 到达B 点后，以原速度立即返回，当P 点运动至原点时，动点Q 是否到达A 点，若到达，求提前到达了多少时间，若未能到达，说明理由． 思路引领：（1）设P 、Q 速度分别为3m 、2m ，根据OB ﹣BC ＝OC 解答．（2）分类讨论：当A 、B 在相遇前、后且相距5个单位长度，由两点间的距离公式解答． （3）P 运动到原点时，Q 点已到达A 点．Q 点已到达A 点的时间为：36+442=802=40s ．通过作差求得答案．解：（1）设P 、Q 速度分别为3m 、2m ， 12×3m ＝36， ∴m ＝1∴P 、Q 速度分别为3、2． ∴BC ＝12×2＝24．∴OC ＝OB ﹣BC ＝44﹣24＝20．（2）当A 、B 在相遇前且相距5个单位长度时：3t +2t +5＝44+36，5t ＝75， ∴t ＝15s ．当A 、B 在相遇后且相距5个单位长度时：3t +2t ﹣5＝44+36，5t ＝85， ∴t ＝17s ．综上：t ＝15s 或17s ．（3）P 运动到原点时，t =36+44+443=1243s ，此时QB ＝2×1243=2483＞44+38＝80． ∴Q 点已到达A 点． ∴Q 点已到达A 点的时间为：36+442=802=40s ．故提前的时间为：1243−40=43s ．总结提升：本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．6．（2016秋•澄海区期末）如图1，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB ＝60，点A 对应的数是40．（1）若BC ：AC ＝4：7，求点C 到原点的距离；（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；（3）如图3，在（1）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N 为线段OR的中点．请问PT﹣MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．思路引领：（1）根据AB＝60，BC：AC＝4：7，得出BC＝80，利用点A对应的数是40，即可得出点C对应的数；（2）假设点R速度为x单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可；（3）分别表示出PR，MN的值，进而求出PT﹣MN的值．解：（1）如图1，∵AB＝60，BC：AC＝4：7，∴BCBC+60=47，解得：BC＝80，∵AB＝60，点A对应的数是40，∴B点对应的数字为：﹣20，∴点C到原点的距离为：80﹣（﹣20）＝100；（2）如图2，设R的速度为每秒x个单位，则R对应的数为40﹣5x，P对应的数为﹣100+15x，Q对应的数为10x+15，PQ＝5x﹣115或115﹣5xQR＝15x﹣25∵PQ＝QR∴5x﹣115＝15x﹣25或115﹣5x＝15x﹣25解得：x＝﹣9（不合题意，故舍去）或x＝7∴动点Q的速度是2×7﹣5＝9个单位长度/秒，（3）如图3，设运动时间为t秒P对应的数为﹣100﹣5t，T对应的数为﹣t，R对应的数为40+2t，PT＝100+4t，M对应的数为﹣50﹣3t，N对应的数为20+t，MN＝70+4t∴PT﹣MN＝30，∴PT﹣MN的值不会发生变化，是30．总结提升：此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．7．（2020秋•公安县期中）小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了3km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了6km到达学校，最后又向东跑回到自己家．（1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；（2）如果小明跑步的速度是150米/分钟，那么小明跑步一共用了多长时间？思路引领：（1）根据题意可知，小明家、小彬家、小红家、学校在数轴上对应的数分别是0、3，4.5、﹣1.5，将这四个点分别用O、A、B、C表示即可；（2）设小明跑步一共用了x分钟，计算出小明跑步的总路程为12km，即12000m，可列方程150x＝12000，解方程求出x的值即可．解：（1）如图，原点O、点A、点B、点C分别表示小明家、小彬家、小红家、学校．（2）设小明跑步一共用了x分钟，|+3|+|+1.5|+|﹣6|+|+1.5|＝12，所以小明跑步的总路程是12km，即12000m，根据题意得150x＝12000，解得x＝80，答：小明跑步一共用了80分钟．总结提升：此题重点考查数轴在实际问题中的应用、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识，正确地用代数式表示小明跑步的总路程是解题的关键．8．（2021秋•海陵区校级月考）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒运动1步，并且每步的距离为一个单位长度，x n 表示第n秒时机器人在数轴上位置所对应的数．则下列结论中正确的有（只需填入正确的序号）①x3＝3；②x5＝1；③x101＜x102；④x2019＜x2020．思路引领：“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节末位的数即x5＝1，第二个循环节末位的数即x10＝2，第三个循环节末位的数即x15＝3，…，第m个循环节末位的数就是第5m个数，即x5m＝m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．解：根据题意可知：x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝2，x5＝1，x6＝2，x7＝3，x8＝4，x9＝3，x10＝2，x11＝3，x12＝4，x13＝5，x14＝4，x15＝3，…，由上可知：第一个循环节末位的数即x5＝1，第二个循环节末位的数即x10＝2，第三个循环节末位的数即x15＝3，…，即第m个循环节末位的数即x5m＝m．∵x100＝20，∴x101＝21，x102＝22，x103＝23，x104＝22，x105＝21，故x101＜x102，∵x2015＝403，∴x2017＝404，x2018＝405，x2019＝406，x2020＝405，x2021＝404，故x2019＞x2020，所以正确的结论是①x3＝3；②x5＝1；③x102＜x103．故答案为：①②③．总结提升：此题主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．解决此题的关键是算出前面的数得出5个数一个循环．9．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数表示的点重合；（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为12（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？。
一元一次方程与实际应用问题(13)——数轴动点问题;人教版七年级上学期培优专题讲练(含答案)
专题二十：一元一次方程与实际应用问题（13）——数轴动点问题方法点睛数轴上动点问题，关键是设合适的未知数，并用未知数表示出动点所对应的数，依题意列方程。
在表示数轴上两点距离的时候，除非已知两点所对应两数的大小，不然一般需要以绝对值的形式表示未知数，所以在解方程的时候往往会得到含绝对值方程，求解含绝对值方程时记得需要“零点分段”。
典例精讲1．如图，点P、Q在数轴上表示的数分别是﹣8、4，点P以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒1个单位的速度运动．设点P、Q同时出发向右运动，运动时间为t秒．（1）若运动2秒时，则点P表示的数为，点P、Q之间的距离是个单位；（2）求经过多少秒后，点P、Q重合？（3）试探究：经过多少秒后，点P、Q两点间的距离为6个单位．举一反三2．如图，数轴上点A在原点O的左侧，点B在原点的右侧，AO＝5，BO＝7．（1）请写出点A表示的数为，点B表示的数为，A、B两点的距离为；（2）若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动；同一时刻，另一动点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动．①点P刚好在点C追上点Q，请你求出点C对应的数；②经过多长时间PQ＝5？专题过关3．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣2，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）AB的长为；（2）如果点P到点A、点B的距离相等，那么x的值是；（3）动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点N从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．求动点M经过几秒追上动点N？4．已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．（1）求k的值；（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？5．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）填空：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，PQ=35AB；（3）当点P运动到点B的右侧时，点M是线段P A上靠近于点A的四等分点，点N为线段PB上靠近于点P的三等分点，求PM−98BN的值．6．已知数轴上有A，B两点，分别代表﹣40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．（1）A，B两点间的距离为个单位长度；乙到达A点时共运动了秒．（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．7．如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）则OA＝cm，OB＝cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO 的长；（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为；此时，Q点所到的点表示的数为．（用含t的代数式表示）②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．8．已知数轴上两点A，B对应的数分别为a、b，且a、b满足|a+4|+（b﹣8）2＝0．（1）如图1，如果点P和点Q分别从点A，B同时出发，都沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位，设运动的时间为t（秒）．①a＝，b＝；②当BP＝3AP时，t的值为；当BQ＝3AQ时，t的值为；③当P、Q之间的距离为4时，点Q对应的数为．（2）如图2，如果点P从点A出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点M、N分别是线段AP、BP的中点，在运动过程中，线段MN的长度是否为定值．如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出线段MN的长度．【参考答案】1．解：（1）﹣4，10；（2）∵点P 、Q 同时出发向右运动，运动时间为t 秒，点P ，Q 重合时，﹣8+2t ＝4+t ，解得：t ＝12．∴经过12秒后，点P ，Q 重合．（3）∵点P 、Q 同时出发向右运动，运动时间为t 秒，故分为两种情况讨论：①未追上时：（4+t ）﹣（﹣8+2t ）＝6，解得：t ＝6；②追上且超过时：（﹣8+2t ）﹣（4+t ）＝6，解得：t ＝18．答：经过6秒或18秒后，点P 、Q 两点间的距离为6个单位．2．解：（1）﹣5；7；12．（2）当运动时间为t 秒时，点P 表示的数为3t ﹣5，点Q 表示的数为t +7． ①依题意，得：3t ﹣5＝t +7，解得：t ＝6，∴3t ﹣5＝13．答：点C 对应的数为13．②当点P 在点Q 的左侧时，t +7﹣（3t ﹣5）＝5，解得：t =72；当点P 在点Q 的右侧时，3t ﹣5﹣（t +7）＝5，解得：t =172．答：经过72秒或172秒时，PQ ＝5．3．解：（1）5；（2）0.5；（3）设动点M 经过t 秒恰好追上动点N ，依题意，得：3t ＝3+t ，解得：t ＝1.5．答：动点M 经过1.5秒恰好追上动点N ．4．解：（1）把x ＝﹣3代入方程（k +3）x +2＝3x ﹣2k 得：﹣3（k +3）+2＝﹣9﹣2k ， 解得：k ＝2；（2）当k ＝2时，BC ＝2AC ，AB ＝6cm ，∴AC ＝2cm ，BC ＝4cm ，当C 在线段AB 上时，如图，∵D 为AC 的中点，∴CD =12AC ＝1cm ．即线段CD 的长为1cm ；（3）在（2）的条件下，∵点A 所表示的数为﹣2，AD ＝CD ＝1，AB ＝6，∴D 点表示的数为﹣1，B 点表示的数为4．设经过x 秒时，有PD ＝2QD ，则此时P 与Q 在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x ，4﹣4x ． 分两种情况：①当点D 在PQ 之间时，∵PD ＝2QD ，∴﹣1﹣（﹣2﹣2x ）＝2[4﹣4x ﹣（﹣1）]，解得x =910；②当点Q 在PD 之间时，∵PD ＝2QD ，∴﹣1﹣（﹣2﹣2x ）＝2[﹣1﹣（4﹣4x ）]，解得x =116．答：当时间为910或116秒时，有PD ＝2QD ．5．解：（1）﹣2+3t ；8﹣2t ；（2）根据题意得：|（﹣2+3t ）﹣（8﹣2t ）|=35×10， |5t ﹣10|＝6，解得：t =165或45， ∴当t =165或45时，PQ =35AB ；（3）根据题意得PM=34PA=34×3t=94t，BN=23BP=23（AP﹣AB）=23×（3t﹣10）＝2t−203，∴PM−98BN=94t−98（2t−203）=152．6．解：（1）60，15；（2）设甲，乙经过x秒会相遇，根据题意得x+4x＝60，解得x＝12，﹣40+x＝﹣28．答：甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；（3）两种情况，相遇前，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y＝60﹣10，解得y＝10；相遇后，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y﹣60＝10，解得：y＝14，答：10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；（4）乙到达A点需要15秒，甲位于﹣40+15＝﹣25，乙追上甲需要25÷（1+4）＝5秒，此时相遇点的数是﹣25+5＝﹣20，故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣20．7．解：（1）8，4；（2）设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝﹣x+4﹣x，3x＝﹣4，解得x =−43；②点C 在线段OB 上时，∵AC ＝CO +CB ，∴8+x ＝4，解得x ＝﹣4（不符合题意，舍）．故CO 的长是43cm ； （3）①t （s ）后，P 点所到的点表示的数为﹣8+2t ；此时，Q 点所到的点表示的数为4+t ． 故答案为：﹣8+2t ，4+t ；②0＜t ＜4（P 在O 的左侧），OP ＝0﹣（﹣8+2t ）＝8﹣2t ，OQ ＝4+t ，2OP ﹣OQ ＝4，则2（8﹣2t ）﹣（4+t ）＝4，解得t ＝1.6；t ≥4（P 在O 的右侧），OP ＝﹣8+2t ﹣0＝﹣8+2t ，OQ ＝4+t ，2OP ﹣OQ ＝4，则2（2t ﹣8）﹣（4+t ）＝4，解得t ＝8．综上所述，t ＝1.6或8时，2OP ﹣OQ ＝4cm ．8．解：（1）①﹣4，8；②3；3或1.5；③﹣16或﹣4；（2）线段MN 的长度为定值，线段MN 的长度是6．理由如下：设ts 后，点P 对应的数为2t ﹣4，∴M 对应的数为2t−4−42=t ﹣4， N 对应的数为2t−4+82=t +2，∴MN ＝|t ﹣4﹣t ﹣2|＝6，故线段MN 的长度为定值，线段MN 的长度是6．。
专题1数轴上的动点问题2024-2025学年人教版数学七年级上册
专题1数轴上的动点问题1．数轴上，点A ，B ，C ，D ，E ，F 表示的数分别是132-，2-，0，112，0.25，2.1213．请解答下列问题：(1)画出数轴，在数轴上描出A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点，并按从小到大的顺序用“<”号连接起来；(2)若把数轴的原点取在点B 处，其余均不变，请直接写出点A ，C ，F 分别表示的数． 2．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm 到达A 点，再向右移动5cm 到达B 点，然后再向右移动3cm 到达C 点，数轴上一个单位长度表示1cm ．(1)请你在数轴上标出A 、B 、C 三点的位置，并填空：A 表示的数为_______，B 表示的数为_______，C 表示的数为______．(2)把点A 到点C 的距离记为AC ，则AB =_____cm ，AC =______cm ；(3)若点A 从（1）中的位置沿数轴以每秒1cm 匀速向右运动，经过多少秒使3cm AC =？ 3．如图所示，长方形ABCD ，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B 与1-表示的点重合，点P 是数轴上的一点，规定：ABC S ∆表示三角形ABC 的面积．(1)若点P 表示的数为3-，则PCD S是多少？ (2)若3PCD PAB S S =⨯，则点P 表示的数为多少？(3)若长方形ABCD 原来位置向左以2个单位速度移动，动点P 从20-表示的点以3个单位速度向右移动，当2PCD PAB S S =⨯，则点P 表示的数是多少？4．如图，在数轴上点A 表示的数是8，若动点P 从原点O 出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q 从点A 出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t （秒）．(1)当0.5t时，求点Q表示的数；=t=时，求点Q表示的数；(2)当 2.5(3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数．5．如图，数轴上一动点A向左移动4个单位长度到达点B，再向右移动7个单位长度到达点C．(1)若点A表示的数为1，则点B，C表示的数分别为，；(2)若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数为；(3)若点C距原点2个单位长度，则点A表示的数为．6．点A在数轴上所表示的数如图所示，将点A向左平移2个单位长度，得到点B的相反数，点P是数轴上一动点．(1)点B表示的数是_______；(2)若点B在数轴上移动了m个单位长度得到点C，且3AC=，求m的值；(3)若点D为AP的中点，点E为BP的中点，点P在运动过程中，线段DE的长度是否发生变化？若不发生变化，请你求出线段DE的长度；若发生变化，请你说明理由．b≥时，将点A向7．在数轴上有A，B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当0b<时，将点A向左移动||b个单位长度，得到点P．称右移动3个单位长度，得到点P；当0点P为点A关于点B的“联动点”．如图，点A表示的数为1-．(1)在图中画出当4b=时，点A关于点B的“联动点”P；(2)点A从数轴上表示1-的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点B从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒．①点B表示的数为__________（用含t的式子表示）；①是否存在t，使得此时点A关于点B的“联动点”P佮好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．8．如图，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，点C对应的有理数为c，且2c=-，点C向左移动3个单位长度到达点A，向右移动5个单位长度到达点B．(1)a = ，b = ；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，求与点C 重合的点表示的数；(3)若点P 从点A 开始以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点Q 从点B 开始以6个单位长度/秒的速度向右运动，点M 从点C 开始以4个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间t 秒，则72QM PM -的值是否随着t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．9．如图，在一条不完整的数轴上一动点A 向左移动6个单位长度到达点B ，再向右移动10个单位长度到达点C ．(1)①若点A 表示的数为0，则点B 、点C 表示的数分别为：_________、_________； ①若点C 表示的数为1，则点A 、点B 表示的数分别为：_________、_________；(2)如果点A C 、表示的数互为相反数，则点B 表示的数为_________．(3)若点A 表示原点，则距离点B 三个单位长度的点表示的有理数是_________． 10．如图，在数轴上点A 表示的有理数为6-，点B 表示的有理数为6，点P 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A 向B 运动，当点P 到达点B 后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A 停止运动，设运动时间为t （单位：秒）．(1)当1t =时，点P 表示的有理数为______，当点P 与点B 重合时，t 的值为________；(2)在点P 沿数轴由点A 到点B 再回到点A 的运动过程中，求点P 与点A 的距离．（用含t 的代数式表示）11．如图，数轴上有三个点A ，B ，C ，完成下列问题．(1)A 点表示的数是__________，B 点表示的数是___________，C 点表示的数是__________．(2)将点B 向右移动5个单位长度到点D ，D 点表示的数是___________．(3)在数轴上找点E ，使点E 到B ，C 两点距离相等，E 点表示的数是___________． 12．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴3-和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次的移动游戏规则如下：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正另一面是反，而后根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；①若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；①若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．(1)若第一次移动游戏，甲、乙两人都猜对了，则甲、乙两人之间的距离是_______________个单位；(2)若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n 次，且他最终停留的位置对应的数为m ．请你用含n 的代数式表示m ；(3)经过_______________次移动游戏，甲、乙两人相遇．13．已知，如图A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为-10，B 点对应的数为90．(1)与A 、B 两点距离相等的M 点对应的数是 ；(2)现在有一只电子蚂蚁P 从B 点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，则C 点对应的数是 ；(3)若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距24个单位长度？14．“数形结合”是重要的数学思想．如：()32--表示3与－2差的绝对值，实际上也可以理解为3与－2在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点AB ，所对应的数分别用a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离表示为AB a b 利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示－2和5的两个点之间的距离是______； (2)若13x -=，则x =______；(3)已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为－2，8，现在点A 、点B 分别以3个单位长度/秒和2单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A 与点B 之间的距离为2个单位长度时，求点A所对应的数是多少？15．在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．(1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝（s）；①在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值．。
专题02 数轴上的动点问题(解析版)(人教版)
专题02 数轴上的动点问题点的往返运动1．一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（）A．159B．-156C．158D．1【答案】A【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数．【详解】解：设向右为正，向左为负，则P表示的数为+1，1P表示的数为+32P表示的数为03P表示的数为-44P表示的数为+1……5运动时间问题，的值；(1)求a b(2)求AB的长；如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的点表示的数②一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B 点，则B 点表示的数是______；③数轴上点A 表示的数为m ．则点A 向左移动n 个单位长度所表示的数为______；(2)翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．①若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示______的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为8，点A 在点B 的左侧，A 、B 两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示﹣2的点，则A 点表示的数为______；③在数轴上，点P 表示的数为4，点Q 表示的数为x ，将点P 、Q 两点重合后折叠，折痕与数轴交于M 点；将点P 与点M 重合后折叠，新的折痕与数轴交于N 点，若此时点P 与点N 的距离为3，数x 的值为______．【答案】(1)①1；②7-或5或1-；③m n -；(2)①3；②6-；③16或8-．【分析】（1）平移：①根据右加左减的平移规律即可求解；②分四种情况：①两次向左移动；②两次向右移动；③第一次向左移动，第二次向右移动；④第一次向右移动，第二次向左移动．根据右加左减的平移规律分别求解即可；③设需将点P 向左移动x 个单位，根据P ，A 两点的距离是A ，B 两点距离的2倍列出方程，解方程即可；（2）翻折：①设所求数为x ，根据重合点相同列出方程，解方程即可；②设A 点表示的数为x ，根据A 与表示2-的点之间的距离等于4列出方程，解方程即可；③根据中点坐标公式得出点M 、N 表示的数，根据点P 与点N 的距离为3列出方程，解方程即可．【详解】（1）①由题意可得，笔尖的位置表示的数是：02+3=1-．故答案为：1；②分四种情况：①如果两次向左移动，那么B 点表示的数是：133=7----；②如果两次向右移动，那么B 点表示的数是：1335-++=；③如果第一次向左移动，第二次向右移动，那么B 点表示的数是：13+3=1---；④如果是第一次向右移动，第二次向左移动，那么B 点表示的数是：1+33=1---．（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA=_______cm．（2）817 =1+(2)=33 CA--17(1)一般地，数轴上表示数m和数n两点之间的距离我们可用│m-n│。
人教版七年级数学上册期末动点问题压轴题专题练习-带答案
人教版七年级数学上册期末动点问题压轴题专题练习-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足︱a+3︱+︱c-5 ︱=0（1）a=，b=，c=．（2）如果点P表示的数为x，当P点到B、C两点的距离之和为8时，x=（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则AB=，BC=．（用含t的代数式表示）（4）3BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值。
2．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b-3）2=0．（1）则a=，b=；并将这两个数在数轴上所对应的点A，B表示出来；（2）数轴上在B点右边有一点C到A、B两点的距离和为11，若点C的数轴上所对应的数为x，求x的值；（3）若点A，点B同时沿数轴向正方向运动，点A运动的速度为2单位/秒，点B运动的速度为1单位/秒，若|AB|=4，求运动时间t的值．3．已知数轴上有A，B两点，分别代表-40，20，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，B两点同时出发，其中甲以1个单位长度/秒的速度向右运动，到达点B处时运动停止．乙以4个单位长度/秒的速度向左运动．（1）A，B两点间的距离为个单位长度；乙到达A点时一共运动了秒．（2）甲、乙在数轴上运动，经过多少秒相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．4．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+(c−6)2=0．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则数轴上折痕所表示的数为，点B与数表示的点重合，原点与数表示的点重合；（3）动点P、Q同时从原点出发，点P向负半轴运动，点Q向正半轴运动，点Q的速度是点P 速度的3倍，2秒钟后，点P到达点A．①点P的速度是每秒▲ 个单位长度，点Q的速度是每秒▲ 个单位长度；②经过几秒钟，点P与点Q相距12个单位长度．5．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，可以看到终点表示的数是-2．已知点A，B是数轴上的点，完成下列各题．（1）若点A表示数-2，将A点向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，此时A，B两点间的距离是．（2）若点A表示数3，将A点向左移动6个单位长度，再向右移动5个单位长度后到达点B；此时A，B两点间的距离是．（3）若A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动t个单位长度后到达终点B6．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b−3|=0；（1）点A表示的数为；点B表示的数为；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动：同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后(忽略球的大小，可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)①当t=1时，甲小球到原点的距离=；乙小球到原点的距离=；当t=3时，甲小球到原点的距离=；乙小球到原点的距离=②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由.若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．7．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为3，BC＝2，AB＝6．（1）则点A对应的数是、点B对应的数是；（2）动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M在线段AP上，且AM＝MP，N在线段CQ上，且CN=14CQ，设运动时间为t（t＞0）．①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）；②猜想MQ的长度是否与t无关为定值，若为定值请求出该定值，若不为定值请说明理由；③探究t为何值时，OM＝2BN．8．数轴上点A表示的有理数为20，点B表示的有理数为﹣10，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动，到达点B后立即返回，返回过程中的速度是每秒2个单位长度，运动至点A停止，设运动时间为t（单位：秒）．（1）当t＝5时，点P表示的有理数为．（2）在点P往左运动的过程中，点P表示的有理数为（用含t的代数式表示）．（3）当点P与原点距离5个单位长度时，t的值为．9．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？10．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a-b|或|b-a|，我们把数轴上两点的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为-10，0，12.（1）直接写出结果，OA＝，AB＝．（2）设点P在数轴上对应的数为x．①若点P为线段AB的中点，则x＝．②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x-12|的化简结果是．（3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B 出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM=ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由.11．如图．数轴上A．B两点对应的有理数分别为-10和20．点P从点O出发．以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速发沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒。